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Exercícios de Aperfeiçoamento

[Análise Combinatória e Binômio de Newton]

1) Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de “salgadinhos”, dois quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?

a) 90 b) 21 c) 240 d) 38 e) 20 2) De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma branca?

a) 42 b) 52 c) 72 d) 240 e) 5040 3) Um aluno deverá ser examinado em Português e Matemática com uma única prova de 5 questões. Sabendo-se que Português tem 10 tópicos, Matemática 8 e que qualquer tópico só poderá aparecer no máximo em uma única questão, assinale o número de possíveis escolhas entre esses tópicos que o examinador terá para elaborar uma prova com três questões de Português e duas de Matemática.

a) 3806 b) 480 c) 3360 d) 92 e) 148

4) O bufê de saladas de um restaurante apresenta alface, tomate, agrião, cebola, pepino, beterraba e cenoura. Quantos

tipos de saladas diferentes podem ser preparados com cinco desses ingredientes, de modo que todas as saladas contenham

alface, tomate e cebola?

a) 3

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10 5) Numa turma de 10 amigos, um grupo formado por quatro destes será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo da excursão poderá ser formado sabendo que dois dos dez amigos (são marido e mulher) sempre irão?

a) 28 b) 115 c) 122 d) 126 e) 165 6) [PUC – SP] Formados e colocados em ordem crescente todos os números de 4 algarismos obtidos com os algarismos 1, 3, 5 e 7 (sem repetição), que lugar ocupa o número 5731?

a) 10º lugar b) 15º lugar c) 17º lugar d) 18º lugar e) 19º lugar

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7) A sentença 102

n

nC é verdadeira se, e somente se, !n for igual a:

a) 1

b) 6

c) 18

d) 720

e) 6 ou 720

8) Considere todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os elementos do conjunto

}65,4,3,2,1,{ . Quantos deles são maiores que 300?

a) 30

b) 40

c) 45

d) 60

e) 80

9) [FAAP-SP] Os valores de “x” que satisfazem a igualdade

1

12

13

12

xx são:

a) 1 e 4

b) 1 e 3

c) 3 e 4

d) 2 e 3

e) 2 e 4 10) Duas das cinquenta cadeiras numeradas de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que estes alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras, para ocupá-las, é:

a) 2450

b) 1225

c) 250

d) 49!

e) 50!

11) O valor de M na expressão 3

6

4

6 CCM , é:

a) 4

7C

b) 20

c) 6

6C

d) 15

e) 1

6C

12) [UDESC / Adaptada] Dado o conjunto A = {2, 4, 5, 7}, a quantidade de inteiros positivos com, no máximo, quatro algarismos, todos distintos, que podem ser formados com seus elementos é:

a) 24

b) 32

c) 64

d) 60

e) 48

Lembre-se que: p

nCp

n

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13) [ACAFE] Um professor de matemática elaborou 4 questões de geometria plana, 6 de geometria espacial e 5 de análise combinatória para montar uma prova de recuperação, com 10 questões. O número de provas diferentes que ele pode montar com 3 questões de geometria plana, 5 de geometria espacial e 2 de análise combinatória é:

a) 240

b) 144

c) 120

d) 288

e) 60

14) Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram disputadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes.

15) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS.

01. Com a palavra BALADA podemos formar 720 anagramas diferentes.

02. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma

corda. O número total de cordas assim formadas é de 56. 04. Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. O número de produtos de 4 fatores distintos, escolhidos

entre os elementos de A, contendo o fator 5 e sendo par, é 21.

08. Se x e y são números naturais maiores que 1 e tais que

1

56

2

2

yx

yx

C

A então o produto de x e y será 15.

16) [UEPG] Com os algarismos (2, 3, 4, 5, 6, 8) são formados números de 5 algarismos distintos. Assim, é correto afirmar que:

01) podem ser formados 720 números no total

02) 480 dos números formados são pares.

04) o algarismo 2 aparece em apenas 120 dos números formados.

08) 120 dos números formados são múltiplos de 5.

16) 240 dos números formados são ímpares.

17) Considerando os números binomiais, o valor de x na igualdade:

8

12

5

12

xx é:

a) 1

b) 3/2

c) 2

d) 2 ou 3/2

e) 1 ou 2

18) [UFSC / Adaptada] Um grupo formado por 4 rapazes e uma senhorita vai visitar uma exposição de arte. Um dos rapazes é um perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da sala de exposições sem que a senhorita já o tenha feito. Considerando que a entrada é de uma pessoa por vez, então haverá “x” possibilidades diferentes para a ordem de entrada do grupo. O valor de “x” é:

a) 48

b) 60

c) 66

d) 72

e) 120

Lembre-se que: p

nCp

n

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19) Os números binomiais

0

n,

1

1n e

2

2n, com Nn , nesta ordem, estão em progressão aritmética. A

SOMA dos valores de n é:

a) zero

b) 1

c) 2

d) 1

e) 2

20) [ACAFE] Anagramas são palavras formadas com as mesmas letras da palavra dada. Tais palavras podem não ter significado na linguagem comum. Considere as afirmações abaixo, com relação ao número de anagramas da palavra feliz.

(I) 48 começam com vogais.

(II) 24 mantêm as letras L e i juntas, nessa ordem.

(III) 18 começam com consoantes e terminam com vogais.

A alternativa que contém todas as afirmações corretas é:

a) I e III b) I, II e III c) II e III d) I e II e) Apenas III 21) [ACAFE] Sobre uma reta r se marcam 7 pontos e sobre uma outra reta s paralela a r, se marcam 4 pontos. O número de triângulos que se pode obter, unindo 3 quaisquer desses pontos, é:

a) 304

b) 152

c) 165

d) 330

e) 126 22) [ACAFE] Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. O número de maneiras que ele poderá pintar, em um mapa, os estados da região sul do Brasil (Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul), cada um com uma cor diferente é:

a) 120

b) 60

c) 10

d) 20

e) 30 23) [UDESC] Na sala de visitas de uma residência o teto foi rebaixado com gesso e foram colocadas 10 lâmpadas de cores diferentes. Por medida de economia, são acesas de 6 a 8 dessas lâmpadas simultaneamente. O número de maneiras que as

lâmpadas podem ser acesas é:

a) 210

b) 330

c) 66

d) 255

e) 375 24) [UDESC] Num escritório trabalham 7 mulheres e 6 homens. Determinar de quantos modos podemos formar uma comissão com 5 pessoas, fazendo com que:

a) em cada comissão figurem exatamente 3 mulheres; b) em cada comissão figurem no máximo 3 mulheres.

Lembre-se que: p

nCp

n

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25) (UDESC) Dados cinco (5) pontos de tal forma que não existe a possibilidade de três (3) pontos estarem alinhados.

Determinar quantas retas são possíveis de se formar com estes pontos. Se incluirmos a possibilidade de existirem três (3)

pontos alinhados, determinar quantas retas são possíveis de se formar com estes pontos.

26) (UDESC) Um campeonato de futebol é disputado por 28 equipes, de acordo com o seguinte esquema: Formam-se 4 grupos de 7 equipes. Em cada grupo, as equipes jogam entre si, uma só vez. Os 4 campeões de cada grupo jogam entre si, uma só vez, surgindo daí o campeão. Determine o número de jogos disputados.

27) (UFSC) Possuo 6 camisas (uma é vermelha) e 5 calças (uma é preta). O número de grupos de 4 camisas e 3 calças que poderei formar, se em cada grupo quero que apareça a camisa vermelha e a calça preta, é:

28) (UFSC) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma

corda. O número total de cordas assim formadas é: 29) (UFPR) Com base nos estudos de Análise Combinatória e Binômio de Newton, é correto afirmar que:

01. (2!)! = 4

02. Se KC5n , então K120A5

n

04. Se 53x e 53y , então (x + y)2 = 10

08. A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de (x + y)7 é igual a 128.

30) (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A equação x,2A = 2xA = 12 não possui solução.

02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas.

04. Seja A um subconjunto do plano com 20 pontos. Se não existirem três pontos colineares em A, então existem

1140 triângulos (distintos) cujos vértices são pontos de A.

08. O 4o termo é o termo médio do desenvolvimento do binômio 8

m

5b

10

m

.

31) (ACAFE) Num grupo de 10 pessoas, 8 são brasileiros e 2 estrangeiros. O número de grupos de 4 pessoas que podemos

formar, com um estrangeiro em cada um deles, é:

a) 84

b) 210

c) 140

d) 70

e) 112

32) (UEPG-PR) Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M, podemos formar 20 permutações. O número de letras M é:

a) 6

b) 12

c) 4

d) 3

e) 10

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33) (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).

01. Simplificando 3

5

4

6

A

A obtemos 6.

02. Podemos formar 720 anagramas com ou sem significado com as letras da palavra ESCOLA. 04. Numa sala estão 5 professores e 6 alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3

alunos, é 30.

08. Se 010 23 x

xx CA , então x é igual a 7.

16. O termo independente de x no desenvolvimento de (3x – 2)4 é 16.

34) (UDESC) O número de anagramas de quatro letras, começando com a letra G, que pode ser formado com a palavra PORTUGAL é:

a) 70 b) 1.680 c) 210 d) 40.320 e) 35

35) (ITA-SP) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão sobre uma mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos.

a) 210 b) 315 c) 410 d) 415 e) 521

36) (UFSC) Quantos números diferentes obteremos, permutando os algarismos do número 336.223 ?

37) (ACAFE) A quantidade de números que podemos formar com os algarismos 4, 5, 6, 7 sem repeti-los, maiores que 5000 é: a) 06 b) 16 c) 18 d) 48 e) 72

38) (UFSC) Dispomos de cimento, 3 tipos de areia e 4 tipos de brita. Determine a quantidade de tipos diferentes de concreto que poderia ser feita, aparecendo os três elementos na formação.

39) (CESGRANRIO-RJ) Um brinquedo comum em parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu responsável. De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco bancos?

a) 14.400 b) 3.840 c) 1.680 d) 240 e) 120

40) Qual o conjunto solução da equação 0n!.2n

?

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41) (UERJ) Numa cidade, os números telefônicos não podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatros primeiros constituem o prefixo. Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta ordem. O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o número telefônico completo dessa farmácia equivale a:

a) 6

b) 24

c) 64

d) 120

e) 168

42) (UFSC) Uma pessoa possui 5 camisas de cores diferentes entre si e 3 calças também de cores diferentes entre si. Sabendo-se que existem 3 camisas de mesma cor que as 3 calças, determine o número de trajes completos (calça e camisa) com que essa pessoa poderá vestir, onde somente apareçam calças e camisas de cores diferentes.

43) (ACAFE) A quantidade de números compreendidos entre 3000 e 4000 que podemos formar com os algarismos 1, 3, 5, 6, 7 e 8, sem repeti-los é:

a) 360

b) 20

c) 12

d) 60

e) 90

44) (UFPR) Numa certa rede bancária, cada um dos clientes possui um cartão magnético e uma senha formada por seis dígitos. Para aumentar a segurança e evitar que os clientes utilizem datas de aniversário como senha, o banco não permite o cadastro de senhas nas quais os dois dígitos centrais correspondam aos doze meses do ano, ou seja, senhas em que os dois dígitos centrais sejam 01, 02, …, 12 não podem ser cadastradas. Quantas senhas diferentes podem ser compostas dessa forma?

a) 12106

b) 26 10.1210

c) 24 10.1210

d) 12104

e) 46 10.1210

45) (UFSC) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem.

46) (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A solução da equação 1)!8(x 2)!(x 3)!(x é 0 (zero).

02. A solução da equação 2,x3,x AA 4. é 6.

04. Um time de futebol de salão é formado por 5 jogadores. Dispondo de 8 jogadores, podemos formar 64 times de

futebol de salão.

08. O número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra BRASIL, que começam com B e terminam

com L, é 24.

16. No desenvolvimento do binômio 6

1)(2x , o termo independente de x é 1.

47) Com base nos estudos dos fatoriais, determine o valor de “n” para:

a) (n – 1)! = 1

b) 7n1)!(n

n! 1)!(n

SENHA:

dígitos centrais

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48) (UFSM-RS) Para ter acesso a uma sala reservada, cada usuário recebe um cartão de identificação com 4 listras coloridas, de modo que qualquer cartão deve diferir de todos os outros pela natureza das cores ou pela ordem das mesmas nas listras. Operando com 5 cores distintas e observando que listras vizinhas não tenham a mesma cor, quantos usuários podem ser identificados?

a) 10

b) 20

c) 120

d) 320

e) 625

49) (UFPR) O mapa ao lado representa as regiões em que está dividido o Brasil. Cada região do mapa deve ser colorida de modo que regiões com uma fronteira comum tenham cores distintas (por exemplo, as regiões Sul e Sudeste devem ter cores diferentes, enquanto as regiões Sul e Nordeste podem ter a mesma cor). Tendo como base essa condição, é correto afirmar:

01. Três cores diferentes são suficientes para colorir o mapa.

02. Estando disponíveis cinco cores, existem 5432 modos diferentes de colorir o mapa se, em cada um desses modos, forem aplicadas as 5 cores.

04. Estando disponíveis cinco cores, e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul com a mesma cor, existem somente 433 modos diferentes de colorir o mapa.

08. Estando disponíveis cinco cores, e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul com a mesma cor, assim como as regiões Norte e Sudeste, existem 543 modos diferentes de colorir o mapa.

50) (FATEC-SP / Adaptada) Sendo Nn tal que: 7

110

011

210

nnn CCC

. O valor de “n” é:

a) n = 6

b) n = 5

c) n = 4

d) n = 3

e) n.r.a.

51) (MACK-SP) Para *Nn , se

10

n

20

n, então n é igual a:

a) 10

b) 20

c) (20!) – (10!)

d) 30

e) 20!/10!

52) (ACAFE) Sabe-se que 110knA e 55

knC . O valor de )(n.k é:

a) 22

b) 11

c) 20

d) 05

e) 10

53) (ACAFE) De quantas maneiras 4 bolinhas vermelhas e 3 bolinhas verdes podem ser colocadas enfileiradas num recipiente com argila?

a) 35

b) 7!

c) 144

d) 20

e) 12

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54) (UDESC) Uma minivan de 9 lugares distribuídos em três fileiras de três lugares, incluindo o assento do motorista, deve transportar 9 pessoas. Dessas 9 pessoas, 3 podem dirigir a minivan; uma é criança e deverá obrigatoriamente ocupar o assento próximo à janela direita, na última fila de assentos; outra é o guia de excursão que, obrigatoriamente, deverá ocupar o assento próximo à janela direita, na primeira fileira. Determine o número resultante das diferentes maneiras que essas pessoas podem ocupar os assentos da minivan. 55) (UDESC) Uma indústria de alimentos produz pizzas congeladas e dispõe de 10 sabores diferentes e de 2 tipos de massas. Quantas pizzas com 3 sabores distintos podemos compor, se estabelecermos como critério a obrigatoriedade de que o sabor mais consumido faça parte de todas as composições?

56) (UDESC) A soma dos valores de m e n, que são soluções do sistema

11

142

2,1,

2,2,

nm

nm

AC

CA , é:

57) (UEG) Desde 1990, as placas dos veículos no Brasil têm três letras e quatro algarismos. As letras indicam o estado em que o veículo foi emplacado pela primeira vez. Goiás tinha as seguintes séries de combinações: série inicial KAV-0001 e série final KFC-9999; por exemplo, a placa KEW-1234 é de Goiás e a placa KGY-9876 não. Recentemente, foram liberadas as seguintes novas séries de combinações para Goiás: série inicial NFC-0001 e série final NGZ-9999.

SUPERINTERESSANTE. São Paulo, maio 2004, [Adaptado].

Determine o número de veículos que podem ser emplacados em Goiás utilizando apenas as novas séries de combinações recém-liberadas. 58) Dentre oito alunos de uma faculdade, deve ser formada uma equipe composta por quatro alunos que representará a faculdade numa competição acadêmica internacional. Anselmo, Bruno e Carlos são alguns desses oito alunos. Se Anselmo não se relaciona bem com Bruno nem com Carlos, de quantas maneiras a equipe pode ser formada de modo que todos os componentes se relacionem bem?

a) 70

b) 56

c) 31

d) 45

e) 66 59) Um salão é composto por 7 portas distintas que podem ser abertas de forma independente. Pelo menos duas portas devem ser abertas simultaneamente para um evento. De quantas maneiras isso pode ser feito?

a) 5 040

b) 120

c) 21

d) 42

e) 2 520

60) (UFRJ) Uma estante da biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do livro “Combinatória é fácil” e 5 exemplares de

“Combinatória não é difícil”. Considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis. Determine de quantas maneiras

podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de Combinatória não é difícil nunca esteja juntos.

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61) (UNICENP–PR) Considere uma via urbana de tráfego em que os veículos deslocam-se de modo que, a cada bifurcação, distribuem-se igualmente em cada uma das duas opções de caminho, ou seja, metade segue pela direita e metade pela esquerda.

Pode-se calcular o número de veículos que passam por uma determinada bifurcação por meio do triângulo de Pascal, pois os números do triângulo são proporcionais às quantidades de veículos que passam em cada bifurcação. Observe o triângulo de Pascal, representado até a linha 5:

Supondo que um grande número de veículos passe pela via principal e siga até as saídas A, B, C, D e E. Desta forma, o número que mais se aproxima da razão entre a quantidade de veículos que chegam às saídas D e C é:

a) 2

1

b) 3

2

c) 4

3

d) 5

3

e) 5

4

62) (ACAFE) O coeficiente de 1x no desenvolvimento de

4

2x

x

1

é:

a) 4

b) 1

c) 6

d) – 4

e) –1

Via Principal

E D C B A

Saídas

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63) [ACAFE] O 3º termo do desenvolvimento de 6

5)(x é:

a) 15x

b) 15x4

c) 375x4

d) 750x4

e) 18x3

64) [UDESC] O sexto termo do binômio

10

3

y

x é:

a) 46

243

70yx

b) 55

27

28yx

c) 64

27

70yx

d) 37

729

40yx

e) 82

5 yx

65) [UDESC / Adaptada] O termo independente de x , no desenvolvimento binomial

6

2

1

xx é:

a) 1

b) 20

c) –15

d) –1

e) 15

66) [UFSC] O coeficiente numérico do termo em 2x , no desenvolvimento do binômio

101

x

x , é:

67) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio 632 )3( yx .

68) No desenvolvimento do binômio

6

2

12

x , qual o valor absoluto do coeficiente numérico de seu termo médio?

69) [UFSC] O termo independente de “ x ”, no desenvolvimento de

43 2

x

x , é:

70) (UNICENP–PR) No desenvolvimento do binômio de Newton

6

3 12

xx , o termo independente de “ x ”:

a) é o quarto termo. b) é o quinto termo. c) é o sexto termo. d) é o último termo. e) não existe.

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71) Sobre o desenvolvimento do binômio

62

xx , considere as seguintes afirmações:

I. A soma dos coeficientes é igual a zero.

II. O coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento é igual a –60.

III. Possui 6 termos.

Assinale a única alternativa correta:

a) Somente II é verdadeira.

b) Todas são falsas.

c) Somente I é falsa.

d) Somente III é falsa.

e) Somente II e III são falsas.

72) (UNICENP–PR) Considere o desenvolvimento do binômio

9a

xx

, obtido em potências decrescentes de “ x ”.

Se o termo independente de “ x ” possui coeficiente igual a –672, com “ a ” real e independente de “ x ”, a soma dos

coeficientes de tal desenvolvimento é:

a) –1

b) 512

c) 1

d) 0

e) –512

73) (UnB – DF) O coeficiente de 9x no desenvolvimento binomial de 92)1(2 xx é:

a) 0

b) 27

c)

9

0

9

kk

d) 27

e) 18

74) (UFPR) O termo independente de “ x ” no desenvolvimento do binômio

6

2

5

2

xxy é o

a) segundo termo

b) terceiro termo

c) quarto termo

d) quinto termo

e) sexto termo

75) (ITA) Determine o coeficiente de 4

x no desenvolvimento de 92 )1( xx .

76) (UDESC) O desenvolvimento da expressão 2)1327( toma forma ba 3 ; então calcule o valor numérico

de ba .

77) (UDESC) Sendo 1a e 3b , calcule o valor numérico da expressão 2

03

3 1153

ba .

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FORMULÁRIO: Análise Combinatória:

)!(!

!

pnp

n

p

np

nC

)!(

!

pn

np

nA

!nnP !...!.

!,...,

nnP

Binômio de Newton:

n

p

pnpp

n

n xaax C0

..)( pnpp

np xaT C

..1

Olá Estudantes de Matemática do Módulo 3:

Este material tem por objetivo complementar e aperfeiçoar o processo de aprendizagem de algumas das “Bases

Tecnológicas” abordadas em sala de aula. São elas: Fatorial, PFC, Permutação, Arranjo, Combinação e Binômio de Newton. Escolha aleatoriamente VÁRIOS exercícios para resolver, ou então escolha aqueles que mais lhe “atraem”.

Bom estudo!

Foco, Força e Fé!

Um grande abraço do Prof. Tomio!

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

01) A 02) A 03) C 04) C 05) A 06) D

07) B 08) E 09) B 10) A 11) A 12) C

13) A 14) 17 15) 12 16) 27 17) C 18) B

19) B 20) A 21) E 22) B 23) E 24a) 525

24b) 1056

25) 10 e 8 26) 90 27) 60 28) 28 29) 14 30) 06

31) E 32) D 33) 27 34) C 35) A 36) 60

37) C 38) 12 39) A 40) S = { } 41) B 42) 12

43) D 44) E 45) 24 46) 27 47a) { 1 , 2 }

47b) { 7 } 48) D

49) 11 50) D 51) D 52) A 53) A 54) 2160

55) 72 56) 08 57) 499.950 58) D 59) B 60) 792

61) A 62) A 63) C 64) B 65) E 66) 45

67) 64 68) 20 69) 32 70) E 71) B 72) A

73) A 74) C 75) 414 76) 57 77) 4