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conexões com a matemática

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Capítulo 22 introdução à Geometria espacial

a) triângulo.

b)quadrado.

c)retângulo.

d)pentágono.

e)hexágono.

8. Classifiquecadaafirmaçãoemverdadeiraoufalsa.

a)Duasretasreversassãocoplanares.

b)Duasretasconcorrentessãocoplanares.

c)Duasretasparalelas,nãocoincidentes,sãoreversas.

d)Ser}s5{},entãoressãoretasparalelasnãocoincidentesoureversas.

9. Umamesadetrêspernasécolocadanochãoplanoe horizontal. Sobre seu tampo é colocada, em re-pouso,apenasumabolinhadegude.Qualéaposi-çãorelativaquedeveteroplanodotampodamesaeoplanodochãoparaqueabolinhanãorole?

10. Dadosdoisplanosdistintos,aeb,paralelosentresi que são interceptados por um terceiro plano ß,demonstrequeasintersecçõessãoparalelasentresi.

11. Considereocubodafiguraaseguiredetermine:

BA

HG

FE

D C

a)duasarestasreversasaAD;

b)duasarestasparalelasaEF;

c)duasarestasperpendicularesaCG.

12. Considerandooparalelepípedoaseguir,identifiquedoisparesde:

A

E F

G

CD

H

B

a)segmentosparalelos;

b)segmentosperpendiculares;

c)segmentosreversos;

d)segmentosortogonais.

1. Classifiquecadaumadasfigurasemplanaounãoplana:

a) d)

b) e)

c) f )

2. Respondaàsquestões.

a)Quantasretaspassamporumúnicoponto?

b)Quantasretaspassampordoispontosdistintos?

3. Considerando cinco pontos distintos, A, B, C, De E, determine o número máximo de planos quecontêm apenas três desses pontos.

4. Classifiquecadaumadasproposiçõesemverdadeiraoufalsa.Justifiquesuaresposta.

a)Existeminfinitasretasdistintasnoespaço.

b)Porumaretapassaumúnicoplano.

c)Umplanopossuiinfinitospontos.

d)Trêspontosnãocolinearessãosemprecoplanares.

5. (Unicamp-SP)Écomumencontrarmosmesascom4pernasque,mesmoapoiadasemumpisoplano,balançam e nos obrigam a colocar um calço emuma das pernas se a quisermos firme. Explique,usandoargumentosdeGeometria,porqueissonãoacontececomumamesade3pernas.

6. Dados quatro pontos coplanares, A, B, C e D, taisquenenhumtriodessespontosécolinear,quantasretasdistintaspodemosformarpassandopordoisdessespontos?

7. (Fuvest-SP) Os segmentos ,VA VB VCe são arestasde um cubo. Um planoa, paralelo ao plano ABC,divideessecuboemduaspartesiguais.Aintersec-çãodoplanoacomocuboéum:

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introdução à Geometria espacialcapítulo 22

Grau de dificuldade das questões:Fácil Médio Difícil


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Capítulo 22 introdução à Geometria espacial

13. Analise a figura dada e classifique os pares de pla-nos em: paralelos, perpendiculares ou concorrentes.

B

E

D

H

GF

AC

J

I

a) ACF e FGH c) ACG e IDH e) AFI e CDG

b) BCD e ABI d) ABC e DEI

14. (Fuvest-SP) São dados cinco pontos não coplana-res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retângulo, AE AB= e AE AD= . Pode-se concluir que são per-pendiculares as retas:

a) EA EBe c) EB BAe e) AC BEe

b) EC CAe d) EA ACe

15. (Fuvest-SP) Dados um plano a e uma reta r, pode-mos afirmar que:

a) existe um plano b que contém r e é perpendicu-lar a a.

b) existe um único plano b que contém r e é per-pendicular a a.

c) existe um plano b que contém r e é paralelo a a.

d) existe um único plano b que contém r e é parale-lo a a.

e) qualquer plano b que contém r intercepta o plano a.

16. (Fuvest-SP) Sejam r e s duas retas distintas. Pode-se afirmar que sempre:

a) existe uma reta perpendicular a r e a s.

b) r e s determinam um único plano.

c) existe um plano que contém s e não intercepta r.

d) existe uma reta que é paralela a r e a s.

e) existe um plano que contém r e um único ponto de s.

17. Dois planos a e b formam entre si um ângulo t 5 60º e têm a reta r como intersecção. Um pon -to A pertencente a a é tal que a distância de A ao pla-no b é igual a 2 3. Determine a distância de A à reta r.

18. Dada a figura, determine a distância entre:

a) os pontos A e D;

b) as semirretas AB e ABî î;

c) os pontos A e B;

d) os segmentos AB a DCî î.

19. Sabendo que a distância de um ponto W a um pla-no ò é 24 cm e sua projeção ortogonal W’ sobre ò é o centro de uma circunferência contida nesse plano, se a distância de W a qualquer ponto da circunfe-rência é 30 cm, qual é o raio dessa circunferência?

20. (Fuvest-SP) O quadrado ABCD é a face de um cubo e I é o centro da face oposta. Sendo a o ângulo entre os planos ABI e CDI, calcule tg

2a .

a) 14 d) 4

b) 2 e) 14

c) 31

21. Analise as afirmações a seguir e assinale V para as verdadeiras e F para as falsas. Para as afirmações falsas, justifique sua reposta ou dê um contra-exemplo.

( ) A projeção ortogonal de uma reta em um plano é uma reta.

( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a todas as retas desse plano.

( ) A distância entre dois planos só é definida se esses planos são paralelos.

D’

A

A’ B’

d

Ba

7

53D

C’

C


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Capítulo 23 Poliedros

Aformadessesiloéobtidajuntando20placashe-xagonaisemais12placaspentagonais.

Combasenotexto,écorretoafirmarqueessesilotem:

a)90arestase60vértices.

b)86arestase56vértices.

c) 90arestase56vértices.

d)86arestase60vértices.

e) 110arestase60vértices.

f ) I.R.

6. Calcule onúmerodevérticesdeumpoliedrocon-vexoquetemseisfacesquadrangularese10facestriangulares.

7. Determineonúmerodefacesdeumpoliedroconvexoquetem18vérticesesabendoquedecadaumdelessaem4arestas.

8. Qualé onúmerodearestasdeumpoliedrocon-vexocom20vérticese12faces?

9. Verifique se os poliedros a seguir são poliedros dePlatão.

a)Dodecaedrodefacespentagonais.

b)Decaedro com quatro faces triangulares e seisfacesquadrangulares.

c) Prismadebasetriangular.

d) Icosaedrocomfacestriangulares.

10. Represente uma possível planificação do sólido aseguir.

1. Qualéonomedecadapoliedro?

a)

b)

c)

2. Qualéonomedopoliedroconvexocom20vérticese30arestas?

3. Classifiquecadapoliedroemconvexoounãoconvexo.

a)

b)

c)

4. Determinequantasfacestemumpoliedroconvexode20arestasnoqualonúmerodevérticeséigualaodefaces.

5. (UFPel-RS)NoMéxico,hámaisdemilanos,opovoasteca resolveu o problema da armazenagem dapós-colheitadegrãoscomumtipodesiloemfor-madeumabolacolocadosobreumabasecirculardealvenaria.

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Poliedroscapítulo 23



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11. (Fuvest-SP) Uma formiga resolveu andar de umvérticeaoutrodoprismaretodebasestriangularesABCeDEG,seguindoumtrajetoespecial.Elapartiudo vértice G, percorreu toda a aresta perpendicu-laràbaseABC,paraemseguidacaminhar todaadiagonaldafaceADCG,efinalmentecompletouseupasseiopercorrendoaarestareversaaCG.Aformi-gachegouaovértice:

A B

D

G

E

C

a)A c) C e) E

b)B d) D

12. Calcule a medida da diagonal do paralelepípedoreto-retângulocujasmedidassão:8dm,6dme5dm.

13. Determineadiagonaldeumcubo,sabendoqueadiagonaldecadaumadesuasfacesmede7 2m.

14. A soma das medidas das arestas de um cubo é108cm.Encontreamedidadecadaaresta,dadiago-naldeumafaceedadiagonaldessecubo.

15. Considereoparalelepípedoreto-retânguloaseguir.Sesuadiagonalmede3 83cm,determineasmedi-dasa,b,cindicadas,sabendoquesãoproporcionaisaosnúmeros3,5e7.

a

b

c

3 83 cm

16. (UFSCar-SP)Afiguraindicaumparalelepípedoreto--retângulo de dimensões 3 32 2 7 , sendo A,B,CeDquatrodeseusvértices.

AdistânciadeBatéoplanoquecontémA,DeCéiguala:

a)411 d)

213

b)414 e)

23 7

c)211

17. Determineaáreatotaldasuperfíciedeumprismaretodebasequadrada,sabendoqueaalturamede12cmeadiagonaldabase,5 2cm.

18. Calculeaáreatotaldasuperfíciedeumcubocujaarestamede2 3m.

19. Determineaáreatotaleovolume,emlitro,deumaembalagemdeleite longavidacujaformalembraum paralelepípedo reto-retângulo de arestas me-dindo:0,95dm,0,65dme1,7dm.

20. (Unifesp)Umcubodearestadecomprimentoavaisertransformadonumparalelepípedoreto-retângulodealtura25%menor,preservando-se,porém,oseuvolumeeocomprimentodeumadesuasarestas.

Adiferençaentreaáreatotal(asomadasáreasdasseis faces)donovosólidoeaárea totaldosólidooriginalserá:

a) a61 2

b) a31 2

c) a21 2

d) a32 2

e) a65 2

21. (Unifor-CE)Apeçadeferroabaixofoiobtidadeumparalelepípedoreto-retângulodedimensões20cm,30cme40cm,comaretiradadequatrocubosiguaisdearesta10cm.

40 cm

30 cm

20 cm

Seadensidadedoferroé7,8g/cm3,entãoamassadessapeça,emquilograma,é:

a) 187,2

b) 179,4

c) 171,6

d) 163,8

e) 156

C

BD

A

7

2 2


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22. Determine a área total e o volume de um pris-ma hexagonal regular cujas dimensões são:arestadabase:8cmealtura:15cm

23. Calculeovolume,emcm3,deumlivrocom0,20mde largurapor0,27mdecomprimentoe3cmdealtura.

24. Determine o volume de um prisma reto de basetriangular, sabendoque todasassuasarestasme-dem5m.

25. Qualéacapacidade,emlitro,deumreservatóriocomaformadeumprismaretangularde8mdealtura,cujabaseéumquadradodeladomedindo1,5m?

26. Encontreovolumedeumprismade18mdearestalateral,cujabaseéumtrapézioisóscelescombasemenormedindo8m,basemaiormedindo14mealturade4m.

27. (UFG-GO) A figura abaixo representa um prismareto,cujabaseABCDéumtrapézioisósceles,sendoquesuasarestasmedemAB510,DC56,AD54eAE510.

A B

E

D C

H G

F

OplanodeterminadopelospontosA,HeG seccio-naoprismadeterminandoumquadrilátero.Aáreadessequadriláteroé:

a)8 7 c) 16 7 e) 64 7

b)10 7 d) 32 7

28. Considereumapirâmidedebasequadrada.Calculeamedidadoapótemadabaseedoapótemadapi-râmide,sabendoqueaarestadabaseeaalturadapirâmidemedemrespectivamente12cme8cm.

29. Determineonúmerodevérticesdeumapirâmidedebasehexagonal.

30. Verifiquequaisplanificaçõesrepresentamsuperfí-ciesdepirâmide.

a)

b)

c)

31. (Unifesp)Umpoliedroéconstruídoapartirdeumcubodearestaa . 0,cortando-seemcadaumdeseuscantosumapirâmideregulardebasetriangu-lar equilateral (os três lados da base da pirâmide

sãoiguais).Denoteporx, , xa

02

< ,aarestalateral

daspirâmidescortadas.

x x

face lateral daspirâmides cortadas

a)Dêonúmerodefacesdopoliedroconstruído.

b)Obtenha o valor de x, , xa

02

< , para o qual o

volume do poliedro construído fique igual acincosextosdovolumedocubooriginal.Aal-turadecadapirâmidecortada,relativaàbase

equilateral,é x

3.

32. (Fuvest-SP)AfiguraaseguirmostraumapirâmideretadebasequadradaABCDdelado1ealturaEF51.SendoGopontomédiodaalturaEFeaamedidadoânguloAGWB,entãocosavale:

A B

C

E

α

D

F

G

a)21 b)

31 c)

41 d)

51 e)

61


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33. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra um cubo dearestaiguala2cmondeospontosA,B,C,D,EeFsãopontosmédiosdascorrespondentesarestas.QualoraiodaesferainscritanapirâmidehexagonaldebaseABCDEFedevérticeP?

A

B

C

D

E

F

P

a) 22

3 3 cm d)32 cm

b) 12

3 3 cm e) 23 3cm

c)43 cm

34. Seja uma pirâmide regular de base triangularcomáreadabaseiguala12 3 cm2.Calculeovo-lume dessa pirâmide, sabendo que sua altura é2 2 cm.

35. Calculeaáreadabasedeumapirâmidecujaalturaé10dmeovolumeé120dm3.

36. Calculeovolumedeumapirâmideregulardebasehexagonal cuja altura é 100 mm e o apótema dabasemede10 3mm.

37. Umapirâmidedebasetriangulartemtodasassuasarestasmedindoa.Determineovolumedessapirâ-mideemfunçãodea.

38. (Mackenzie-SP)Nafigura,osvérticesdocubosãooscentrosdasfacesdooctaedroregulardearesta6 2.Ovolumedocuboé:

a) 64 c) 27 e) 72 2

b)27 2 d) 72

39. Em uma pirâmide regular de base quadrada comáreaiguala256cm2ealturade20cm,determineáreatotaldasuperfícieeovolumedapirâmide.

40. Uma pirâmide quadrangular regular ABCDE, comvérticeemE, temvolume iguala16m3.SendoM

o ponto médio do segmento AB e N o ponto mé-diodosegmentoAE, determineovolumedosólidoMBCDN.

41. (Unicamp-SP)Suponhaqueum livrode20cmdelargura esteja aberto conforme a figura a seguir,sendoDACX 5 120©eDBVC 5 60©.

CD

120°

20 cm

A

60°

B

a)CalculeaalturaABdolivro.

b) CalculeovolumedotetraedrodevérticesA,B,CeD.

42. (FGV) Considere uma pirâmide regular de altura

23 6 cujabaseéumquadradodelado3.Calcule:

a)ovolumedapirâmide.

b)oraiodaesferacircunscritaàpirâmide.

43. (UFBA) Considere-se uma barraca de camping quetemaformadeumapirâmideretangularcomares-taslateraiscongruentesealturaigualaummetro.

Assimsendo,écorretoafirmar:

a)Aprojeçãoortogonaldovérticedapirâmidesobreoplanodabasecoincidecomocentrodabase.

b)Se a altura e as medidas dos lados da base dapirâmideforemaumentadasem10%,entãoovo-lumeaumentaráem33,1%.

c) Se o piso da barraca tem área máxima entreasáreasde todososretânguloscomperímetroiguala8metros,entãoopisotemaformadeumquadrado.

d) Seabasedapirâmidetemaformadeumqua-dradocomladosmedindo2metros,entãoovo-

lumeéiguala34

metroscúbicos.

e) Suponha-se que a barraca está montada sobreumterrenohorizontal,esuabaseéumquadra-docom ladosmedindo2metros.Se,emdeter-minado instante, os raios solares formam umângulode45ºcomosolo,entãoalgumpontodabarraca será projetado pelos raios solares numpontodosolosituadoforadaregiãocobertapelopisodabarraca.

44. Aáreadabasedeumapirâmideéiguala900dm2.Umasecçãoparalelaàbaseexatamentea6cmdovérticetemáreaiguala81cm2.Calculeaalturadapirâmide.

CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

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BANCO DE QUESTÕES


45. (Fuvest-SP) Pedrinho, brincando com seu cubo má-gico, colocou-o sobre um copo, de maneira que:

• apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto;

• os pontos comuns ao cubo e ao copo determinas-sem um triângulo equilátero.

Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunfe-

rência de raio 2 3 cm, determine o volume da par-

te do cubo que ficou no interior do copo.

46. Considere um tetraedro regular de aresta igual a 12 cm. Determine:

a) a altura do tetraedro;

b) sua área total;

c) seu volume.

47. (Vunesp) Secciona-se o cubo ABCDEFGH, cuja ares-ta mede 1 m, pelo plano BDE, passando por vértices do cubo, e pelo plano IJK, passan do por pontos mé-dios de lados do cubo, como na figura a seguir. Cal-cule o volume do tronco de pirâmide IJKDBE, assim formado.

AB

CD

HK

E F

G

J

I

48. Determine o volume do tronco de pirâmide qua-drangular cuja altura é 6 cm e cujas bases têm ares-tas iguais a 8 cm e 4 cm, respectivamente.

LEA

ND

RO

KA

NN

O/G

UA

RA

IMA

GE

NS


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Capítulo 24 corpos redondos

menor e do cilindro maior valem, respectivamente, 8.900 kg/m3 e 2.700 kg/m3 .

4 m

2 m

3 m

Considerando-se π = 3, a massa desse sólido, em toneladas, vale:

a) 97,2 c) 213,6 e) 320,4

b) 114,5 d) 310,8

12. (UFC-CE) Em um contêiner de 10 m de comprimento, 8 m de largura e 6 m de altura, podemos facilmente em-pilhar 12 cilindros de 1 m de raio e 10 m de altura cada, bastando dispô-los horizontalmente, em três camadas de quatro cilindros cada. Porém, ao fazê-lo, um certo volume do contêiner sobrará como espaço vazio. Ado-tando 3,14 como aproximação para π, é correto afirmar que a capacidade volumétrica desse espaÇo vazio é:

a) inferior à capacidade de um cilindro.

b) maior que a capacidade de um cilindro, mas me-nor que a capacidade de dois cilindros.

c) maior que a capacidade de dois cilindros, mas me-nor que a capacidade de três cilindros.

d) maior que a capacidade de três cilindros, mas me-nor que a capacidade de quatro cilindros.

e) maior que a capacidade de quatro cilindros.

13. (Unifesp) A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilin-dro circular oblíquo, com uma base no solo, e de um semicilindro.

solo

1,2 m1,0 m

Dado que o raio da circunferência da base do ci-lindro oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em cm3, é:

a) 11.000π c) 5.500π e) 1.100πb) 10.000π d) 5.000π

1. Represente a planificação de um cilindro reto de 4 cm de altura e base de 3 cm de diâmetro e, em seguida, calcule:

a) a área da base;

b) a área lateral;

c) a área da secção meridiana;

d) a área total.

2. Sabendo que dois cilindros retos têm 50 cm de altura cada um e que o raio da base do primeiro mede 10 cm e o do segundo mede 20 cm, determine e compare:

a) as áreas laterais dos dois cilindros;

b) as áreas totais dos dois cilindros.

3. A altura de um cilindro equilátero é 20 cm. Calcule a área da superfície desse cilindro.

4. Determine a razão entre a área lateral e a área to-tal de um cilindro cujo raio mede 8 cm e a altura é 16 cm.

5. Se o volume e a área da base de um cilindro reto são respectivamente 100π m3 e 25π m2, calcule a altura e a área lateral desse cilindro.

6. O volume de um cilindro equilátero é 128π cm3. De-termine a altura e o raio da base.

7. Calcule o volume de um cilindro reto, gerado por um quadrilátero de medidas 6 cm e 10 cm, que efe-tua uma rotação de 360© em torno do eixo que con-tém o lado maior.

8. Sabendo que a diagonal do quadrilátero que repre-senta a secção meridiana de um cilindro reto mede 20 cm e que o raio da base do cilindro é 6 cm, deter-mine a altura e o volume desse cilindro.

9. Calcule a quantidade de material necessária para fabricar 1.000 embalagens cilíndricas para bola-chas, sabendo que cada uma deverá ter 30 cm de altura por 6 cm de diâmetro. Considere 10% a mais de material (em cada embalagem) para o caso de dobras ou desperdício. (Use: π = 3,14)

10. Determine a capacidade, em litro, de uma embala-gem cilíndrica cuja altura é o dobro do diâmetro da base, que mede 10 cm. (Use: π = 3,14)

11. (Cesgranrio-RJ) Um sólido totalmente maciço é composto pela união de dois cilindros circulares re-tos de mesmo diâmetro. As densidades do cilindro

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corpos redondoscapítulo 24



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14. (Fuvest-SP) Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura, 4 cm, e raios das bases R e r, respec-tivamente.

x4 cm

4 cm

R

r

Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x da garrafa se expressa segundo o gráfico a seguir, quais são os valores de R e r?

20 4 6 8 x (cm)

V(x) (cm3)

44π

18π

15. Uma planificação representa a superfície lateral de um cone reto cuja geratriz mede 48 cm e o raio da base, 20 cm. Calcule o ângulo central do setor circular.

16. Dado um cone de revolução com 15 m de altura e geratriz de comprimento 17 m, calcule:

a) o raio da base; c) a área lateral;

b) a área da base; d) a área total.

17. A altura de um cone circular reto é 24 cm. Calcule a medida do raio da base e o comprimento da geratriz, sabendo que a área total é 360π cm2 e o volume é 800π cm3.

18. Sabendo que as áreas lateral e total de um cone cir-cular reto são, respectivamente, 135π m2 e 216π m2, determine o volume desse cone.

19. Dados um cone e um cilindro cujas bases são con-gruentes e sabendo que o raio da base mede 5 dm e a altura do cilindro é 13 dm, qual será a altura do cone para que os dois sólidos tenham o mesmo volume?

20. Calcule a área total e o volume de um cone circu-lar reto, sabendo que a geratriz mede 18 m e forma com o eixo desse cone um ângulo de 30©.

21. Determine o volume de um cone equilátero de raio 4 cm.

22. (UFU-MG) O cone maior da figura a seguir tem raio da base e altura iguais a 10 cm.

h

Determine a altura h de forma que o volume do tronco de cone de altura h seja igual à meta-de do volume do cone maior.

23. (UFJF-MG) Uma taça em forma de um cone circular reto estava cheia de vinho até a borda. Depois de se ter tomado metade do vinho, a figura que melhor re-presenta a quantidade de bebida que restou na taça é:

a) b) c) d) e)

0 cm

4 cm

8 cm

24. (Unifor-CE) Um funil tem a forma de um cone reto cuja planificação da superfície lateral corresponde a um setor circular de 216© e 9 cm de raio. O volume desse funil, em centímetros cúbicos, é:

a) 65,384π c) 69,984π e) 74,254πb) 67,256π d) 72,586π

25. (UFBA) Considere um recipiente de vidro com a for-ma de dois cones congruentes de altura H, raio da base R e vértice comum.Sabe-se que, inicialmente, um dos cones está com-pletamente cheio de areia e o outro, totalmente vazio. A areia é então redistribuída, de modo a for-mar, na parte superior do recipiente, um cone de

altura H2

e, na parte inferior, outro cone, de altu-

ra h e raio da base R, conforme a figura.

Com base nessas informações, determine a razão Hh

.

H

h

R

H2—


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26. (Fuvest-SP) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone cir-cular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coin-cide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da figura 2.

Antes

Figura 1

Depois

Figura 2

Se a área da base desse novo sólido é 32

da área de B, determine seu volume.

27. Em um cone circular, o raio da base mede 8 m e a altura, 16 m. A que distância do vértice devemos traçar um plano paralelo à base para obter secção de raio me-dindo 6 m?

28. Em um tronco de cone reto, os raios das bases me-dem 21 cm e 12 cm e a geratriz tem 15 cm de com-primento. Determine o volume do tronco.

29. Considere o trapézio ABCD, retângulo em A e D, no qual as bases eAB CD medem, respectivamente, 7 dm e 13 dm, e o lado oblíquo BQ mede 10 dm. Determine a área total e o volume do sólido obtido pela rotação desse trapézio em relação ao lado AD.

30. A que distância do centro de uma esfera de raio de medida 15 cm devemos traçar um plano para obter uma secção de área 144π cm2?

31. Secciona-se uma esfera de raio 34 m por um plano que dista 30 m do centro. Determine a área dessa secção.

32. A área de um círculo máximo de uma esfera é 100π cm2. Calcule a área da superfície e o volume dessa esfera.

33. Considere uma superfície esférica de área 144π dm2. Sobre essa superfície foi determinado um fuso es-férico de 60©. Calcule a área desse fuso.

34. Um cubo de aresta 4 cm está inscrito em uma esfe-ra de raio r. Calcule r.

35. A área da superfície de uma esfera é 64π cm2. Deter-mine:

a) a medida do diâmetro dessa esfera;

b) o comprimento da circunferência máxima;

c) a área do círculo máximo.

36. (UFPR) Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para ficar totalmente cheia.

a) Se uma bolinha de gude de 2 cm de diâmetro for colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que volume de água?

b) Quantas bolinhas de gude de 2 cm de diâmetro serão necessárias para fazer com que a água se desloque até a borda superior da jarra?

37. (Fuvest-SP) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circu-lar de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quan-do completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão xh

é igual a:

a) 6

3_ i c)

3

2 3_ i e)

3

4 3_ i

b) 3

3_ i d) 3

38. (UFPel-RS) Todo sólido obtido através do movimen-to de rotação completa de uma região plana em tor-no de uma reta, sendo ambas no mesmo plano, é chamado sólido de revolução.Um giro completo na região destacada, em torno da reta r, determina um sólido de revolução. É correto afirmar que o volume desse sólido é:

a) 75π cm3 d) 99π cm3

b) 81π cm3 e) 72π cm3

c) 57π cm3 f ) I.R

5 cm

3 cm

3 cm

3 cm

r


4

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39. (Fuvest-SP) No jogo de bocha, disputado num ter-reno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A dis-tância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é:

A BA B

a) 8 c) 8 2 e) 6 3

b) 6 2 d) 4 3

40. (Vunesp) Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico transparente. Uma melan-cia com forma esférica de raio de medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais. Cada fatia tem a for-ma de uma cunha esférica, como representado na figura.

R

Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm é 4πR2 cm2, determine, em função de π e de R:

a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);

b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia.

41. (Unicamp-SP) Começando com um cilindro de raio 1 e altura também 1, define-se o procedimento de co-locar sobre um cilindro anterior um outro cilindro

de igual altura e raio 32

do raio do anterior. Embora

a altura do sólido fictício resultado seja infinita, seu volume pode ser calculado. Faça esse cálculo.


1

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Capítulo 25 Geometria analítica: conceitos básicos e a reta

3. (PUC-RJ) Seja d(P, Q) a distância entre os pontos P e Q. Considere A(21, 0) e B(1, 0) pontos do plano.

O número de pontos X(x, y) tais que 21

( , )d A B é igual a:

a) 0 b) l c) 2 d) 3 e) 4

4. (UFPel-RS) Engenheiros do Instituto Militar de Engenharia (IME) desenvolveram uma argila calcina-da, material que poderá baratear a construção de es-tradas. Essa argila não existe em nenhum outro país.

A pesquisa começou em 1997, com um objetivo: en-contrar um material que pudesse ser utilizado na Amazônia. A região é carente de rochas, e as dificul-dades no transporte encarecem a brita, comerciali-zada por mais de R$ 100,00 o metro cúbico. Segundo o IME, o custo da argila calcinada fica em torno de R$ 40,00.

Foram estudadas várias famílias de solos da Ama-zônia, chegando-se a conclusões animadoras nos últimos anos. O agregado artificial poderá ser usado em pavimentação rodoviária, pois resiste a desgaste. compressão e abrasão, e também em obras de con-creto. Segundo o coordenador da pesquisa, o mate-rial pode ser utilizado em qualquer região do país.

http://www1.folha.uol.com.br/folha/ ciência/ult306u13159.shtml acessado em 6/5/2005. [adapt.]

Também com o objetivo de baratear custos, na exe-cução do projeto de novas estradas, deve ser consi-derada sempre a menor distância entre os pontos a serem alcançados.

As cidades A e B, localizadas no mapa, com coorde-nadas A(8, 5) e B(12, 8), são ligadas por uma rodovia em linha reta.

A

B

C

1 cm

1 cm1 : 60.000.000

A construção de um novo trecho de menor dimen-são que ligue a rodovia existente à cidade C(10, 5), medirá:

a) 720 km c) 648 km e) 126 km

b) 300 km d) 1.200 km f ) I.R.

1. (Unesp) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, fo ram tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetro, dessas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o cres cimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei

mate mática 5 2y

x x12

24 2

. Um esboço desses gráfi-

cos está representado na figura.

3

tempo (dia)

Planta B

Planta A

altura (cm)

2

Determine:

a) a equação da reta;

b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mes-ma altura e qual foi essa altura.

2. (UFMG) Nesta figura, está representado um quadra-do de vértices ABCD:

A(0, 0)

B(3, 4)D(a, b)

x

y

C

Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são A(0, 0) e B(3, 4).

Então, é correto afirmar que o resultado da soma das coordenadas do vértice D é:

a) 22 c) 221

b) 21 d) 232

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Geometria analítica: conceitos básicos e a reta

capítulo 25



2

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5. (UFSM-RS) Num plano, são dados 4 pontos atra vés de coordenadas: (1, 1), (2, 4), (6, 5) e (5, 2). Li gando-se os 4 pontos pela ordem dada e fechando o polígono através da ligação de (1, 1) e (5, 2), por meio de seg-mentos de reta, obtém-se um:

a) quadrado de perímetro 4 17.

b) paralelogramo de perímetro 12 17 2 10.

c) losango de perímetro 4 17.

d) retângulo de perímetro 12 17 2 10.

e) trapézio isÓsceles de perímetro 1 8

2

17 10 5_ i> H.

6. (UFRJ) Esboce graficamente as retas y 5 x 2 1, y 5 x 2 3, y 5 2x 1 1 e y 5 1 e determine a área da região delimitada por essas retas.

x

y

7. (UEL-PR) Dois dos pontos A(2, 21), B(2, 23), C(1, 4), D(4, 23) estão numa das bissetrizes das retas 3y 2 4x 2 3 5 0 e 4y 2 3x 2 4 5 0.

Nessas condições, a equação dessa bissetriz é:

a) y 1 x 2 1 5 0 d) x 5 2

b) y 1 7x 2 11 5 0 e) y 1 x 2 5 5 0

c) y 2 x 2 1 5 0

8. (Uerj) Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15 dm de comprimento AB por 10 dm de largura AD, um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F, onde o marcenei ro pretende fixar um prego, ocorre a intersecção desses segmentos.

A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coorde-nados.

x (dm)BA

DE C

y (dm)

F

Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine as coordenadas do ponto F.

9. (Uerj) Observe o mapa da região Sudeste.

Belo Horizonte

São Paulo

52°30’ 50° 45°

15°

20°

25°

40°47°30’ 42°30’

17°30’

22°30’TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO Rio de Janeiro

Vitória

(Adaptado de BOCHICCHIO, V. R. Atlas atual: geografia.

São Paulo: Atual, 1999.)

Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45° como o ei xo das ordenadas. Neste sistema cartesiano, as coorde-nadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e Vitória são, respectivamente,

, , , , , e ,223

0 221

23

4 527d d d dn n n n, todas medi das em

centímetros.

a) Calcule, em quilômetros quadrados, a área do quadrilátero cujos vértices estão representa dos por estas quatro cidades, supondo que a escala do mapa é de 1 : 10.000.000.

b) Determine as coordenadas de uma cidade que fique equidistante das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte.

10. (UFC-CE) ABC é o triângulo, no plano cartesiano,com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5). Determine ascoordenadas do ponto P do plano, tal que a somados quadrados das distâncias de P aos vérticesde ABC seja a menor possível, e calcule o valormínimo correspondente da soma.

11. (UFC-CE) Os vértices do quadrado ABCD no plano cartesiano são A(21, 3), B(1, 1), C(3, 3) e D(x, y).

Então, os valores de x e y são:

a) x 5 1 e y 5 5

b) x 5 5 e y 5 1

c) y1 5 e 1 55 1 5 1x

d) y1 5 e 15 2 5x

e) y1 e 1 55 5 2x

12. (UFC-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).

a) Determine a equação da reta que contém a dia-gonal AC.

b) Determine a equação da reta que contém a dia-gonal BD.

c) Encontre as coordenadas do ponto de interse ção das diagonais AC e BD.


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13. (UFRJ) Determine a área da região R definida pela intersecção de R1, R2 e R3, sendo:

• R1 5 {(x, y) Ñ R2: 4x 1 5y 2 16 < 0}

• R2 5 {(x, y) Ñ R2: 4x 2 3y > 0}

• R3 5 {(x, y) Ñ R2: y > 0}

14. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, A é um ponto do pla-no cartesiano, com coordenadas (x, y).

–1

1–2

x

y

A s

r

1

Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se:

a) e, ,yx

y x2

12 1 d) , ,x yx

12

2 1

b) , .yx

y x2

1ou 2 1 e) , ,xy x

211

c) e, .xy y x

212 1

15. (UEL-PR) A trajetória de um móvel no plano car-tesiano pode ser descrita, em função do tempo t,

pelas equações paramétricas 5 15

x tty

23

) . Essa traje-

tória determina uma reta:

a) que contém os pontos (3, 9) e (22, 6).

b) paralela à reta de equação 6x 2 2y 2 1 5 0.

c) perpendicular à reta de equação 3x 2 y 1 1 5 0.

d) que contém os pontos (1, 3) e (7, 3).

e) perpendicular à reta de equação 5x 2 y 5 0.

16. (Unifesp) Considere a reta de equação 4x 2 3y 1 15 5 0, a senoide de equação y 5 sen x e

o ponto ,π

P2

35 c m, con forme a figura.

3

x

y

P

—π2

π

A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide é:

a) π5

12 21 c) π5

14 21 e) π5

16 21

b) π5

13 21 d) π5

15 21

17. (UFPel-RS) O gráfico abaixo representa a função y 5 log2 (x 2 2).

–2

x

A

B

y

Com base nisso, é correto afirmar que a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é:

a) 8x 2 3y 2 24 5 0 d) 6x 2 2y 1 6 5 0

b) 2x 1 6y 2 6 5 0 e) 3x 2 8y 1 24 5 0

c) 2x 1 6y 2 24 5 0 f ) I.R.

18. (UEG-GO) Na localização dos imóveis de uma ci-dade é usado como referência um sistema de co-ordenadas cartesianas em uma escala adequada. Neste sistema, a casa de número 23 de uma de-terminada rua está localizada no ponto A(22, 0), enquanto a loja de número 7, que está na mesma rua, coincidiu com o ponto B(0, 6). Determine uma equação que relacione as coordenadas x e y de um ponto C que indica a localização de um pré dio co-mercial, de modo que os pontos B, A e C se jam os vértices de um triângulo retângulo em C.

19. (Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do plano car-tesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação:(x2 1 y2 1 1) 8 (2x 1 3y 2 1) 8 (3x 2 2y 1 3) 5 0, pode ser representado, graficamente, por:

a)

x

y d)

x

y

b)

x

y e)

x

y

c)

x

y


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20. (UFRN) Sobre as retas y 5 2x 1 3 e y 5 x 1 3, pode-mos afirmar que elas:

a) Se interceptam no ponto de coordenadas (21, 2).

b) Se interceptam formando um ângulo de 60°.

c) São perpendiculares aos eixos OX e OY, res-pectivamente.

d) Estão a uma mesma distância do ponto de co-ordenadas (3, 3).

21. (Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do pla-no cartesiano que satisfazem t2 2 t 2 6 5 0, onde t 5 $ 2 $x y , consiste de:

a) uma reta. d) uma parábola.

b) duas retas. e) duas parábolas.

c) quatro retas.

22. (Fuvest-SP) Os pontos M(2, 2), N(24, 0) e P(22, 4) são, res pectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC. A reta mediatriz do seg-mento AB tem a equação:

a) x 1 2y 2 6 5 0 d) 2x 1 y 2 6 5 0

b) x 2 2y 1 2 5 0 e) 2x 1 2y 1 6 5 0

c) 2x 2 2y 2 2 5 0

23. (IFSP) Considere duas retas, r e s, passando pelo ponto (3, 1) e equidistantes da origem do plano car-tesiano. Se a equação da reta r é y 5 1, então a equa-ção da reta s é:

a) x 1 3y 1 2 5 0 d) 3x 2 4y 2 5 5 0

b) 3x 1 y 1 2 5 0 e) 3x 2 4y 1 1 5 0

c) 3x 2 y 2 2 5 0

24. (UFBA) Considerando, no plano cartesiano, os pon-tos A(x, 0), B(1, 0) e C(4, 0), determine todos os valo-res de x para os quais a soma da distância de A a B e da distância de A a C seja menor ou igual a 7.

25. (UFTM-MG) Na figura, tem-se o gráfico da função f(x) 5 cos(2x), ao qual pertencem os pontos A e B assinalados.

x

f(x)

A

B

Se A pertence ao eixo das abscissas e B tem ordena-

da 21, então o coeficiente angular da reta AB vale:

a) π742 c)

612 e)

π10

2

b) 3π52 d)

π9

42

26. (Ibmec) Considere, no plano cartesiano da figura, o triângulo de vértices A, B e C.

1

3

4

x

y

A

B

C

r

0 3 2 3

Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABCt , en-tão o coeficiente angular de r é igual a:

a) 33

c) 342 e) 32

b) 21 d) 232

27. (UFRS) O conjunto dos pontos P cujas coordenadas

cartesianas (x, y) satisfazem x

y

1

11

21

< está repre-

sentado na região hachurada da figura:

a)

1 2

–2

x

y

0

d)

1 2

–2

x

y

0

b)

1 2

–2

x

y

0

e)

12

–2

x

y

0

c)

12

–2

x

y

0

28. (ESPM) Sobre um segmento de reta de extremida-des A(29, 1) e B(6, 29) são marcados alguns pon-tos que o dividem em n partes iguais. Um desses pontos pertence ao eixo das ordenadas. O número n pode ser igual a:

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12


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29. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, a reta r tem equação cartesiana 2 1y x25 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0(0, 1). Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox com A0 5 O(0, 0). O ponto Di pertence ao segmen-to A Bi i, para 1 < i < 3.

B0

B1

B2

B3

D1

D2

D3

r

A1 A2 A3 x

y

O

Os segmentos A B1 1, A B2 2, A B3 3 são paralelos ao eixo Oy,

os segmentos B D0 1, B D1 2, B D2 3 são paralelos ao eixo

Ox, e a distância entre Bi e B1 1 i é igual a 9, para 0 < i < 2.

Nessas condições:

a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.

b) Sendo Ri o retângulo de base A A1 1i i e altura A D1 1i i1 1, para 0 < i < 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R1 e R2.

30. (UFG-GO) Para medir a área de uma fazenda de for-ma triangular, um agrimensor, utilizando um sis-tema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2, 1), B(3, 5) e C(7, 4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km2, é de:

a) 2

17 c) 2 17 e) 217

b) 17 d) 4 17

31. (UFG-GO) No plano cartesiano, as retas r e s, de equações 2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0, respecti-vamente, se intersectam em um ponto C. Conside-rando o ponto P(0,24), determine as coordenadas de dois pontos, A Ñ r e B Ñ s, de modo que o seg-mento CP seja uma mediana do triângulo ABC.

32. (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.

O perímetro do trapézio cujos vértices têm coorde-nadas (21, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:

a) 10 29 261 1 d) 17 2 261b) 16 29 261 1 e) 17 29 261 1c) 22 261

33. (Unemat-MT) Dado o gráfico da figura abaixo:

x

y = 4 – x

y = x

y

P

Seja o ponto P intersecção das duas retas, seu par ordenado será dado por:

a) P(1; 3) c) P(2; 3) e) P(2; 4)

b) P(2; 2) d) ;P32

2d n

34. (Unifesp) Num sistema cartesiano ortogonal, consi-derados os pontos e a reta exibidos na figura,

x

A

C

B

E

y = 2x + 1

DD

y

1O t

o valor de t para o qual a área do polígono OABC é igual a quatro vezes a área do polígono ADEB é:

a) 1 302 1 c) 10 e) 2

1 112 1

b) 1 52 1 d) 3

35. (Unifor-CE) Duas retas, r e s, perpendiculares entre si, interceptam os eixos cartesianos nos pontos A e B, como é mostrado na figura abaixo.

x

r

s

C

A B

y

–1 2

3

Se o ponto C é a intersecção de r e s, a área do triân-gulo ABC, em unidade de superfície, é:

a) 8

5 3 c) 8

7 3 e) 4

5 3

b) 4

3 3 d) 8

9 3


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36. (Ifal) Se as equações das retas suportes dos lados de um triângulo ABC são y 5 2x 2 1, y 5 5x 2 4 e x 5 5. A área da região triangular ABC é:

a) 10 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32

37. (Fuvest-SP) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, repre-sentado abaixo em um sistema de coordenadas.

1

x

y

BAD

C = (2, 3)

1 5

A

D

Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo pon-to P(a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:

a) 5 12 c) 5 22 e) 5 2 21b) 5 2 22 d) 2 51

38. (UFRGS) Os lados do quadrilátero da figura a seguir são segmentos das retas y 5 x 1 2, y 5 2 x 2 2, y 5 22x 1 2 e y 5 2x 2 2.

x

y

A área desse quadrilátero é:

a) 18

b) 19

c) 20

d) 21

e) 22


1

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Capítulo 26 circunferência

6. A figura abaixo representa uma praça circular construída com duas circunferências de mes-mo centro. A equação da circunferência L1 é x2 1 y2 1 4x 2 6y 2 36 5 0. Determine a equação da circunferência L2.

L2

L12

7. (Unicamp-SP) As equações (x 1 1)2 1 y2 5 1 e (x 2 2)2 1 y2 5 4 representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas.

a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências.

b) Encontre o valor de a Ñ R, a i 0, de modo que duas retas que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes às duas circunferências.

8. (Unicamp-SP) A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela circunfe-rência C, definida pela equação x2 1 y2 5 4, e pela semirreta que parte da origem e faz um ângulo de 30° com o eixo x, conforme a figura a seguir.

x

y

PC

30°

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Calcule a área da região sombreada.

1. (UFG-GO) Considere duas circunferências no plano cartesiano descritas pelas equações x2 1 y2 5 10 e (x 2 x0)

2 1 (y 2 y0)2 5 1. Determine o ponto P(x0, y0)

para que as duas circunferências sejam tangentes externas no ponto A(3, 1).

2. (UFC-CE) Seja g uma circunferência de raio 2 cm, AB um diâmetro de g e r e s retas tangentes a g, respectivamente por A e B. Os pontos P e Q es-tão respectivamente situados sobre r e s e são tais que PQ também tangencia g. Se AP 5 1 cm, pode-se afirmar corretamente que BQ mede:

a) 3 cm

b) 4 cm

c) 4,5 cm

d) 8 cm

e) 8,5 cm

3. (UECE) A soma das coordenadas do centro da cir-cunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x 2 3y 5 0, é

a) 3 u.c.

b) 5 u.c.

c) 4 u.c.

d) 6 u.c.

4. (UFT-TO) Considere no plano cartesiano xy, a cir-cunferência de equação (x 2 2)2 1 (y 1 1)2 5 4 e o ponto P dado pela interseção das retas L1: 2x 2 3y 1 5 5 0 e L2: x 2 2y 1 4 5 0. Então a distân-cia do ponto P ao centro da circunferência é:

a) o dobro do raio da circunferência.

b) igual ao raio da circunferência.

c) a metade do raio da circunferência.

d) o triplo do raio da circunferência.

5. (UFSM-RS) A massa utilizada para fazer pastéis fo-lheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 1 y2 2 4x 2 6y 2 36 5 0 e adotando π 5 3,14, o diâ-metro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente:

a) 7 e 113,04 d) 14 e 113,04

b) 7 e 153,86 e) 14 e 153,86

c) 12 e 113,04

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circunferênciacapítulo 26



2

b)

(2, 0)

(–1, –1)

(0, 1)

x

y

c)

(2, 0)

(–1, –1)

(0, 1)

x

y

d)

(0, 1)

(–1, –1) (4, 0) x

y

e)

(0, 1)

(–1, –1)

(4, 0) x

y

12. (Unifor-CE) Considere que, num sistema de eixos cartesianos ortogonais, as intersecções das curvas de equações x2 1 y2 2 3x 2 19 2 0 e y2 5 x 1 4 são vértices de um polígono convexo cujos lados cor-respondem ao perímetro de um terreno. Se para desenhar esse terreno no sistema de eixos conside-rado foi usada uma escala de 1 : 6, a sua área real, em metros quadrados, é:

a) 288

b) 540

c) 960

d) 1.152

e) 2.304

9. (Udesc) A figura abaixo apresenta o triângulo ABC inscrito em uma circunferência de centro O.

0

B

C

1 3 42

O

xA

2

1

–2

–1

y

Analise as afirmativas abaixo de acordo com a figura.

I. A área do triângulo ABC é igual a 2 3 unidades de área.

II. A equação da circunferência é dada porx2 1 y2 1 4x 5 0.

III. A equação da reta que passa pelos pontos A e C é dada por y 5 3x.

IV. A medida do ângulo A CBV é igual a 60º.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

b) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras.

c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.

e) Somente a afirmativa I é verdadeira.

10. (UFG-GO) Dadas as circunferências de equações x2 1 y2 2 4y 2 0 e x2 1 y2 2 4x 2 2y 1 4 2 0 em um sis-tema de coordenadas cartesianas:

a) esboce os seus gráficos;

b) determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências.

11. (Unesp) Dentre as regiões coloridas, aquela que re-presenta no plano cartesiano o conjunto

U 5 {(x, y) Ñ R2$y > 2x 1 1 e x2 1 y2 < 4} é:

a)

(2, 0)

(–1, –1)

(0, 1)

x

y

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3

13. Um quadrado ABCD está inscrito na circunferência de equação (x 2 2)2 1 (y 2 1)2 5 2 e tem lados para-lelos aos eixos ordenados. Se o ponto A é o vértice que tem menor abscissa e maior ordenada, deter-mine suas coordenadas.

14. (FGV) Dada a circunferência de equação x2 1 y2 2 6x 2 10y 1 30 5 0, seja P seu ponto de or-denada máxima. A soma das coordenadas de P é:

a) 10 b) 10, 5 c) 11 d) 11, 5 e) 1

15. (Fuvest-SP) Uma reta de coeficiente angular m . 0 passa pelo ponto (2, 0) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices (1, 1), (5, 1), (5, 5) e (1, 5). Então:

1 3 5

1

3

5

x

y

2 4

2

4

a) m0 , ,31

d) m 5 1

b) m31= e) m1 , ,

35

c) m 1, ,31

16. (Fuvest-SP) Considere o triângulo ABC, onde A 5 (0, 4), B 5 (2, 3) e C é um ponto qualquer da cir-cunferência x2 1 y2 5 5. A abscissa do ponto C que torna a área do triângulo ABC a menor possível é:

a) 21 b) 243

c) 1 d) 43

e) 2

17. (ITA-SP) Dadas a circunferência C: (x 2 3)2 1 (y 2 1)2 5 5 20 e a reta r: 3x 2 y 1 5 5 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de 45° com r e cuja

distância à origem é .5

3 5 Determine uma equa-

ção da reta t.

18. (UFSM-RS) Uma luminária foi instalada no ponto C( 25, 10). Sabe-se que a circunferência iluminada por ela é tangente à reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q( 230, 215). O comprimento da linha cen-tral do passeio correspondente ao eixo y, que é ilu-minado por essa luminária, é:

a) 10 m c) 30 m e) 50 m

b) 20 m d) 40 m

19. (UFRJ) Os pontos (26, 2), (3, 21) e ( 25, 25) perten-cem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência.

20. (UFPA) Conhecendo as coordenadas de três pontos A(0, 2), B(3, 0) e C( 21, 22), encontre a coordenada do centro da circunferência que contém os três pontos.

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