mat financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA – PROF. ANTONIO HENRIQUES

FACULDADE DE ENGENHARIA DE GUARATINGUETÁFACULDADE DE ENGENHARIA DE GUARATINGUETÁ

ECONOMIA DE EMPRESASECONOMIA DE EMPRESASTÓPICOS DE ENGENHARIA ECONÔMICATÓPICOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA

PROF. PROF. Dr. Dr. ANTONIO HENRIQUESANTONIO HENRIQUES DE ARAÚJO JR DE ARAÚJO JR


EMENTA:EMENTA:

O valor do dinheiro no tempo. Critérios de capitalização de juros. Juros simples Juros compostos. Conversões de taxas de juros. Fluxo de caixa. Series simples e uniformes. Series equivalentes. Avaliação de investimento. Descontos em operações comerciais. Efeito de taxas e impostos em operações financeiras. O uso das funções financeiras no Excel.


BIBLIOGRAFIA:BIBLIOGRAFIA:

BIBLIOGRAFIA BASICA:

MATEMATICA FINANCEIRA E SUAS APLICAÇÕES BASICAS,Assaf, Alexandre Neto, Editora Atlas, 4a. Edição, 419 p., São Paulo, 1996.

MATEMATICA FINANCEIRAVieira, Jose Dutra Sobrinho, Editora Atlas, 7a. Edição, 409 p., São Paulo, 2000.

MATEMATICA FINANCEIRAPuccini, 5a.Edição, 318p. São Paulo 1998.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

MATEMATICA FINANCEIRA USANDO EXCEL 5 e 7,Laponi, J. Carlos, Ed. Laponi Treinameto, São Paulo, 1996.

ENGINEERING ECONOMY.Sullivan, W.G; Wicks, E. M., 12th edition, Prentice Hall, N.Jersey, 2003.


Procedimentos Metodológicos:Procedimentos Metodológicos:

Os alunos aprenderão, inicialmente, a raciocinar e resolver problemas de matemática financeira com o conceito de fluxo de caixa e a utilização de formulas. Com o domínio desta ferramenta, aprenderão a utilizar outros métodos, como resolução destes mesmos problemas com o uso de tabelas financeiras especificas, e aprenderão a construir, com o uso do Excel, tabelas de desconto e a resolver problemas mais complexos. A teoria sera fartamente ilustrada com exercícios a serem resolvidos em sala de aula e em casa.

Recursos Didáticos: Retro-projetor, calculadora 12-C, e micro-computador (laboratório,1 aula).


AvaliaçãoAvaliação

PROVA P3 e P4; Exercícios; Participação em sala.


1.1. Introdução: O valor do dinheiro no tempoIntrodução: O valor do dinheiro no tempo

1.1 O valor do dinheiro no tempoA matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de caixa, verificados em diferentes momentos. Sabemos, intuitivamente, que é melhor termos uma determinada quantia ou crédito hoje do que em, digamos, 3 anos. Receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa.

1.2 Definição de juros e de taxa de jurosPara Dutra (2000) juro representa a remuneração do capital emprestado, podendo ser ntendido como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Pode ser definido, ainda, como o custo pelo uso do dinheiro.Taxa de juro é a relação entre o juro recebido ou pago ao final de certo período de tempo de tempo (prazo) e o capital inicialmente aplicado, sendo definido como segue.

I = J/C (equação 1)

Onde I é a taxa de juro, J o valor do juro pago e C o capital inicial. Observe que a taxa de juro deve ser, sempre, expressa numa unidade de tempo, p.e. 20% a.a., 15% a.t., etc.


1. Introdução: Formação da taxa de juros 1. Introdução: Formação da taxa de juros

1.3 Fatores que influenciam, do ponto de vista microeconomico, as taxas de juros

Alguns fatores influenciam a formação da taxa de juros:

Custo de captação (taxa paga aos investidores + rateio de despesas administrativas);

Margem de lucro, taxa para remunerar o capital investido;

Taxa de risco (inadiplencia) que é calculada pela relação entre volume de empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos;

Inflação, taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivo da Moeda; Impostos.


2.1 Critérios de capitalizaçãoOs critérios ou regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e incorporados sucessivamente ao capital ao longo do tempo. Podem ser identificados dois regimes de capitalização de juros: simples (linear) e composto (exponencial).

2.2 Regime de capitalização simples O regime de capitalização simples comporta-se como uma progressão aritmética (PA), com os juros crescendo linearmente ao longo do tempo. Por este critério, os juros só incidem sobre o capital inicial (principal). Admita-se um depósito de R$1.000 remunerados a uma taxa de 10% a.a. Os juros apurados ao longo de 5 anos, os juros acumulados e os montantes (capital inicial +juros) estão demonstrados no quadro 1:

2. Critério de capitalização de juros:2. Critério de capitalização de juros:

Quadro 1: Juros apurados com capitalização simples

Ano Juros apurados Juros acumulados Montanteem cada ano ano no ano

início 1o. Ano 0 1000fim 1o. Ano 100 100 1100fim 2o. Ano 100 200 1200fim 3o. Ano 100 300 1300fim 4o. Ano 100 400 1400fim 5o. Ano 100 500 1500


2.3 Regime de capitalização compostaNo regime de capitalização composta são incorporados ao capital, não apenas os juros referentes a cada período, mas também os juros incidentes sobre os juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros cresce, exponencialmente, em função do tempo. O conceito de montante aqui, é o mesmo da capitalização simples, ou seja é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo de aplicação ou da dívida. O comportamento equivale ao de uma progressão geométrica (PG), incidindo os juros sempre sobre o saldo apurado no inicio do período imediatamente anterior.Considere-se os mesmo R$ 1000,00 de capital inicial e a mesma taxa de juros de 10% a.a. adotados no exemplo anterior. O cálculo dos juros acumulados e do montante são ilustrados no quadro 2:

Quadro 2: Juros apurados com capitalização composta


Ano Juros apurados Juros acumulados Montanteem cada ano ano no ano

início 1o. Ano 0 1000fim 1o. Ano 100 100 1100fim 2o. Ano 110,00 210 1210fim 3o. Ano 121,00 331 1331fim 4o. Ano 133,10 464,1 1464,1fim 5o. Ano 146,41 610,51 1610,51



i=20% Montante Montante DiferençaAno Juros simples Juros compostos

início 1o. Ano 1000 1000 0fim 1o. Ano 1200 1200 0fim 2o. Ano 1400 1440 40fim 3o. Ano 1600 1728 128fim 4o. Ano 1800 2073,6 273,6fim 5o. Ano 2000 2488,32 488,32

i=10% Montante Montante Diferença

Ano Juros simples Juros compostosinício 1o. Ano 1000 1000 0

fim 1o. Ano 1100 1100 0fim 2o. Ano 1200 1210 10fim 3o. Ano 1300 1331 31fim 4o. Ano 1400 1464,1 64,1fim 5o. Ano 1500 1610,51 110,51

As diferenças entre a capitalização simples e a composta cresce, exponencialmente, com a taxa de juros...

Quadro 4: Juros apurados com capitalização composta

Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%)



0

500

1000

1500

2 000

2 500

3000

3500

4000

1 2 3 4 5 6

line ar 5%

i = 5%

i = 10%

i = 20%

i = 30%

Num regime de capitalização composta, o montante cresce exponencialmente com a taxa de juros ...

Número de períodos

Mon

tant

e

Fig. 2.1: Capitalização simples e composta



2.4 Capitalização simples

2.4.1 Cálculos dos jurosO valor dos juros num regime de capitalização simples é dado pela expressão:

niPJ ××=

onde:J = valor do Juro em valores monetários, P = valor do capital inicial ou principal, e n = prazo ou número de períodos.

Exemplo:

1. Qual é o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 1.000,00 peloprazo de 4 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 5,0% a.a.

Solução: J = P x i x n, substituindo os valores númericos, teremos, J = $ 1.000 x 0,05 x 4 = $ 200,00.

(equação 2)


2.4.2 Montante e valor atualO montante ou valor futuro, indicado por M, representa a soma do principal e dosjuros referentes ao período de aplicação:

M = P + J (equação 3)

Inserindo a equação 2 na equação 3, teremos:

M = P + P x i x n ou M = P (1 + i x n ) (equação 3a)

Exemplo:Sabendo-se que os juros de $ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de $ 7.500,00 a taxa de 8% ao trimestre, pede-se calcular o prazo de aplicação.

P = 7500,00 J = 6.000,00 i = 8% a.t. n = a ser calculado

Solução: J = P x i x n , portanto, n = J/(P x i ) = 6000/(7500)x 0,08) = 10 trimestres.

2. Critério de capitalização de 2. Critério de capitalização de jurosjuros::


1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado a taxa de 24% ao ano, durante 7 meses.R: $ 8.400,00.

7.Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11.200. Determinar a taxa unual.R: 60 %.

13.Durante 155 dias certo capital gerou um montante de $ 64.200. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4 % ao mes, deteminar o valor do capital aplicado.R: $ 53.204,42.

Exercícios para a segunda aulaExercícios para a segunda aula


4. Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, resultante da aplicação de certo capital a taxa de 42% ao ano, durante 13 meses.

R: $ 31.271,48

10. Qual o valor a ser pago, no fim de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de $ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao

semestre. R: $ 156.500,00



2.5 Capitalização composta

2.5.1 Cálculos dos juros num regime de capitalização compostaConsideremos, num regime de capitalização composta, um principal P, ou valor presente, uma taxa de juros, i, e um montante F, também chamado de valor futuro, a ser capitalizado e um prazo n. No fim do 1o. período, o montante S será igual a: F = P + P x i ou P (1 + i)

O juro pago no fim do 2o. período será igual a:

P (1 + i) i

Portanto, o montante S, no fim do 2o. período, será dado por:

P (1 + i) + P (1 + i) I ou, F = P (1 + i)2.

E, assim, ao término do n-ésimo período o montante F, será dado por:

F = P (1 + i)n (equação 4)


O fator (1 + i)n é denominado Fator de Capitalização (FCC), sendo tabelado para uma determinada taxa i, e para um determinado número de períodos n. Adotemos no nosso curso, a seguinte notação para este fator, para uma taxa de 5% a.p. e 10 períodos, o fator FCC(5%, 10) será de (1 + 0,05)10 ou 1,62889.

Exercício: verificar, num dos textos sugerido na bibliografia, os FCCs para:

i =10% a.a. e 8 anos; e i = 8% a.s. e 2 semestres

2.5.1 Cálculo do valor futuro F, dados, P, i e n

Assim, dada a equação (4) podemos resolver problemas do seguinte tipo:

(...) conhecido o valor do principal P, ou valor presente, a taxa de juros i e o número de períodos n a ser capitalizado, podemos calcular o Montante F, ou valor futuro, como mostrado no fluxo de caixa abaixo:

F =

P

1 32

n

Fig. 2.2: Fluxo de caixa da situação: Dados P, i e n calcular S.



Exemplo:Quanto renderá em 6 meses, um capital de $ 2000,00, aplicado a uma taxa de juros de 5% a.m. Aplicando a equação (4): S = 2000 (1 + 0,05)6 = 2000 x 1,3400 => $ 2.680,00

2.5.2 Cálculo do valor presente P, conhecido o valor futuro F

A partir da equação (4) podemos deduzir que:

(equação 5)

O fator é denominado Fator de Atualização de Capital (FAC) e é igualmente tabelado

para uma determinada taxa de juros i e um determinado número de períodos n.

Passemos a adotar a seguinte notação para este fator: dada uma taxa de juros de 4% a.p.e 5 períodoso fator FAC (4%, 5) será de 0,82193. Note que os fatores FCC e FAC são números inversos, isto é, se multiplicarmos FAC (4%, 5) por FCC (4%, 5) obteremos 1 ou, no nosso exemplo, 0,8121 x 1,21665 = 1.

Exercício: verificar, num dos textos sugerido na bibliografia, os FACs para:

i = 10% a.a. e 8 anos; e i = 8% a.s. e 2 semestres

niFP

)1(

1

+⋅=

ni)1(

1

+



Assim, dada a equação (5) podemos resolver problemas do seguinte tipo:

(...) conhecido o valor F, ou valor futuro, a taxa de juros i e o número de períodos de capitalização n, podemos calcular o valor P, ou valor presente, como mostrado no fluxo de caixa abaixo:

F

P =

1 32

n

Fig. 2.3: Fluxo de caixa da situação: Dados S, i e n calcular P.

Exemplo:Quanto deverei aplicar hoje, num regime de capitalização composta, para obter, a uma taxa de 2% a.m., em 18 meses, a quantia de $ 5.000,00.Solução: aplicando a fórmula (5),

P = 5.000/(1+0,02)18 = 5.000/1,42825 = $ 3500,78, ou, resolvendo de uma outra formaP = S FAC(2%, 18) = 5.000 x 0,70016 = $ 3.500,78.

niFP

)1(

1

+⋅=



1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m. em um regime de juros compostos, a partir de um principal de $ 1.000.000,00. R: $ 1.428.250,00

8. Qual é o principal que deve ser investido nesta data para se obter um montante de $ 500.000,00, daqui a 2 anos, a uma taxa de 15% a.s. em um regime de juros compostos. R: $ 285.877,64

15. Um cidadão investiu $ 10.000 nesta data, para receber $ 14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento, em um regime de juros compostos. R: $ 3,0% a.m.



4. Quanto se terá daqui a 26 trimestres ao se aplicar $ 100.000,00 nesta data, a uma taxa de 2,75% a.m. no regime de juros compostos. R: $ 829.817,86

5. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, de 2% a.m., de forma que possa retirar $ 10.000,00 no final do 6o.mes e $ 20.000,00 no final do décimo segundo mes. Qual o menor

valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados. R: $ 24.650,00

13. Em quanto tempo triplica um capital que cresce a uma taxa de 3,0% a.m. R: 37,1 meses

18. Que taxa de juros está embutida numa operação que dobra o capital inicial de $ 1400,00 num prazo de 14 meses. R: 5,076% a.m.


33. . Conversões de taxas de juros:Conversões de taxas de juros:

3.1 Equivalencia de taxas de juros com capitalização composta

Uma condição para a equivalencia de taxas de juros é que estas taxas, aplicadas sobre um mesmo principal, ou capital inicial, produzam o mesmo montante, ao final de um certo prazo n.

Se uma certa taxa mensal im é equivalente a uma certa taxa anual ia, então:

P (1 + im )12 = P (1 + ia ) (equação 6)

Dividindo a equação (6) por P: (1 + im )12 = (1 + ia ) (equação 7)

Transformando a equação 7:

ou: (equação 8)

Exemplo:Calcular a taxa de juro mensal, equivalente a uma taxa de 20% a.a. Aplicando a equação (8) obtemos:

; = 1,01531 – 1 => 1,531% a.m.

12 )1()1( am ii +=+

1)1(12 −+= am ii

1)2,01(12 −+=mi 1)2,1(12 −=mi


3.2 Fórmulas para conversão de taxas de juros equivalentes

Existem duas situações básicas para a conversão de taxas de juros:

Conversão de uma taxa de período de tempo menor para uma taxa de período de tempo maior: Taxa semestral em taxa anual, taxa mensal em taxa anual, etc. Neste caso vamos aplicar a seguinte fórmula:

ie= (1 + iq )n - 1 (equação 9)

onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor.

Exemplo: converter uma taxa de 4% a.t. em taxa anual. Ie = (1 + 0,04)4 = 1,16985 => ie = 16,98% a.a. Neste caso n = 4, uma vez que um ano contém 4 trimestres.

Conversão de uma taxa de período de tempo maior para uma taxa de período de tempo menor: taxa anual em taxa trimestral, taxa semestral em taxa mensal, etc.



Vamos, neste caso aplicar a seguinte fórmula:

onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor.

Exemplo: Converter uma taxa de 40% a.a. em taxa quadrimestral.

=> 11,87% a.q.

1)1( −+= nqe ii

1)4,01(3 −+=ei

1)4,1(3 −=ei



Exercício

Calcular a taxa equivalente mensal de uma taxa de:

1. 100% a.a.;

2. 82% a.a.;

3. 28% a.s. e 28% a.a.;

4. 28% a.a. ;

5. 32% a.t.



ExercíciosExercícios

2. Determinar o montante no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de $ 100.000,00 a taxa de 3,75% a.m. R: $ 144.504,39

9. Uma pessoa empresta $ 80.000,00 hoje para receber $ 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. R: 8% a.m. ou 151,817% a.a.

16. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma institução finaceira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de $ 20.000,00 será resgatado por $ 36.018,23. R: 5 trimestres ou (15 meses).


1. Quanto devo aplicar hoje, a taxa de 51,107% a.a. para ter $ 1.000.000,00 no final de 19 meses. R: $ 520.154,96.

8. Em que prazo uma aplicação de $ 374.938,00 a taxa de 3.25% a.m., gera um resgate de $ 500.000,00 R: 9 meses.


44. . Fluxo de Caixa:Fluxo de Caixa:

4.1 Conceito de Fluxo de caixa A resolução de problemas de matemática financeira torna-se muito mais fácil quando utilizamos o conceito de fluxo de caixa.Um fluxo de caixa é uma representação gráfica de uma série de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos). As saídas são representadas por uma seta para baixo e as entradas por uma seta para cima.

Exercício:Representar as seguintes entradas e saídas num diagrama de fluxo de caixa:

Período Saída ($) Entrada ($)

0 - 1000 0

1 -500 + 800

2 + 800

3 + 1000

4 + 1500

5 -200 + 1800



1 3 4 52

1 3 4 520

O fluxo acima pode ser simplificado, de acordo com a representação abaixo:

4.2 Métodos de avaliação de fluxos de caixaOs métodos mais utilizados de avaliação de fluxos de caixa são: (a) o método do valor presente líquido (VPL) e (b) o método da taxa interna de retorno (TIR), que veremos mais a frente, na seção avaliação de investimentos.

4.2.1 Cálculo do valor de um fluxo de caixa São definidas algumas regras básicas para o cálculo do valor númerico de um fluxo de caixa: (i) o fluxo deve ser inicialmente simplificado, (ii) o fluxo deve ser calculado em um determinado período de tempo, isto é, todas as entradas e saídas devem ser trazidas para uma mesma data e (iii) as entradas e saídas devem ser trazidas para este período de tempo.

(+)

(-)



Exemplo:Calcular o seguinte fluxo de caixa, FC(0), considerando-se uma taxa de juros de 5% a.p.:

1 3 4 52

1000

200 800 14001600 1400

Descontando todas as saídas e entradas e trazendo para o momento 0, temos:

FC(0) = -1000 + 200/(1+0,05)1 + 800/(1+0,05)2 + 1600/(1+0,05)3 + 1400/(1+0,05)4 + 1400/(1+0,05)5 = -1000 + 190,47 + 725,62 + 1382,14 + 1151,78 + 1096,93 = $ 3546,94



1 3 4 52

500

300 400 600500 800

Exercício:Calcular o seguinte fluxo de caixa, FC(3), considerando-se uma taxa de juros de 10% a.p.:

FC(3) =


55. . Séries uniformes:Séries uniformes:

5.1 Cálculo de uma série uniforme postecipadaPodemos entender uma série uniforme de pagamentos como uma série de pagamentos que possui as seguintes características: (i) os valores dos pagamentos são todos iguais; e (ii) consecutivos, como ilustrado abaixo:

1 3 4 52

300 300 300300 300

0

(a)

Fig. 2.3: Série uniforme postecipada (a) eantecipada (b).

(b)

1 3 4 52

500 500 500500 500

0

500

5.1 Série postecipada e antecipadaNuma série postecipada (a) o primeiro pagamento ocorre a partir do primeiro período, enquanto uma série antecipada (b) é caracterizada pelo fato do primeiro pagamento ocorrer no início do período.


5.1 Cálculo do montante S de uma série uniforme postecipadaConsideremos uma série uniforme postecipada, descontada mensalmente a uma taxa de 4%, como mostrado abaixo:


1 3 4 52

100 100 100100 100

0

S =

É possível calcular o valor futuro da série com o uso de fórmulas já conhecidas:

S1 = 100 x (1,04)4 = 100 x 1,16986 = 116,98S2 = 100 x (1,04)3 = 100 x 1,12486 = 112,49S3 = 100 x (1,04)2 = 100 x 1,08160 = 108,16S4 = 100 x (1,04)1 = 100 x 1,04000 = 104,00S5 = 100 x (1,04)0 = 100 x 1,10000 = 100,00

St = .................................................. = 541,63

Assim, podemos concluir que, o montante de 5 aplicações, mensais e consecutivas aplicadasa um taxa de 4% a.m. acumula um montante de $ 541,63.



Sabemos que St = S1 + S2 + S3 + S4 + S5, substituindo S1, S2 , S3..., por seus respectivos valores temos:

St = 100 x (1,04)4 + 100 x (1,04)3 + 100 x (1,04)2 + 100 x (1,04)1 + 100 x (1,04)0.

Como o fator 100 é comum a todos os termos, podemos agrupar a expressão acima: St = 100 { (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 } (equação 10)

Como a série entre chaves, acima, representa a soma de uma progressão geométrica de razão 1,04, podemos aplicar a seguinte fórmula,

que nos fornece a soma dos termos de uma PG, com a1= (1,04)0 =1, q = 1,04 e n = 5.

Transformando a equação 10 com a inclusão da fórmula da soma de uma PG, como mostrado acima, obtemos: (equação 11)

111

−−×

q

aqa n

104,1

1)04,1(1100

5

−−××



Substituindo os termos genéricos na equação 11, obtemos:

(equação 12)onde: S = montante acumulado da série uniforme postecipada; A = valor das prestações; i = taxa de Juros e n = número de períodos ou prestações.

A expressão é chamada, também, de maneira análoga, as séries simples, de fator de acumulação de capital, FAC . Assim, a série uniforme postecipada, mostrada no início da seção 5.1 poderia, também, ser calculada da seguinte forma:

F = 100 x FAC(4%,5) = 100 x 5,41632 = $ 541,63

5.2 Cálculo do valor das prestações A, conhecido o montante acumulado SPodemos transformar a equação 12, colocando A em função de S:

(equação 13)

A expressão é denominada de fator de formação de capital (FFC), encontando-se

tabelada, como anexo, na maioria dos livros de matemática financeira.

i

iAF

n 1)1( −+×=

i

i n 1)1( −+

ni

iFA

)1( +×=

1)1( −+ ni

i


5.3 Cálculo do valor presente P de uma série uniforme postecipadaConsideremos uma série uniforme antecipada do tipo:

O valor presente P, pode ser calculado através da fórmula:

(equação 14)

onde:P = valor presente das prestações da série postecipada; A = valor das prestações; n = númerodas prestações.

O fator é denominado fator de valor atual, FVA, sendo encontrado, como anexo,

em tabelas em livros de matemática financeira.


ii

iAP

n

n

×+−+×=

)1(

1)1(

1 3 42

A A A A

0

P =

n

A

ii

in

n

×+−+

)1(

1)1(


ExercícioCalcular o valor atual de uma série de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de $150, capitalizadas a uma taxa mensal de $ 5% ao mes.

P = A x FVA(5%,12)= 150 x 8,86325 = $ 1.329,48 5.3 Cálculo do montante S de uma série uniforme antecipadaConsideremos uma série uniforme antecipada do tipo:

O montante S pode ser calculado através da fórmula:

(equação 15)onde:S = montante acumulado no final do período; A = valor das prestações; i = taxa de juros.

1 3 42

A A A A A

0

F =

n

A


−+×+×=i

iiAS

n 1)1()1(


55. . SériesSéries uniformesuniformes::

Note, que a expressão entre parentesis, indicada na equação 15, nada mais é que o fator de acumulação de capital, FAC, para séries uniformes postecipadas, mostrado na equação 12, na p. 35 do nosso texto.E, portanto, a equação 15 pode ser escrita da seguinte maneira:

(equação 16)

Exemplo:Quanto terei de aplicar mensamente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses, um montante de $ 100.000,00, sabendo-se que a taxa de juros contratada é de 34,489% ao ano, que as prestações são iguais e consecutivas e a primeira prestação é depositada no período 0.

Vamos, inicialmente, transformar a taxa anual em taxa mensal:

)%,()1( niFACiAF ×+×=

..%5,21024999,11)34489,01(12 maiim ==>−=−+=

1 2 63 4 50 35

F=$ 100.000

A =


Transformando a equação 16, e colocando A (prestação) em função de S (valor futuro acumulado das prestações) obtemos:

Aplicando a fórmula acima, com S = $ 100.000,00, i = 2,5% a.m. e n = 36, obtemos:

A = 100.000 x 1/(1+0,025) x FFC(2,5%,36)= 100.000 x 0,97560 x 0,01745 = $ 1.702,42 5.4 Cálculo do valor presente P de uma série uniforme antecipadaConsideremos uma série uniforme antecipada do tipo:

O valor presente P pode ser calculado através da expressão:

(equação 17)


)%,(1 )1(

1

)1()1(

1nin

FFCi

Si

i

iFA ×

+×=

+×

+×= −

1 2 63 4 50 35

P =

A =$100

)%,()1( niFVAiAP ×+×=


Exemplo:Determinar o valor presente do financiamento de um bem financiado em 36 prestações iguais de $ 100,00, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,0% a.m. e que a primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato.

Fazendo uso da equação 17:

P = A x (1+i) x FVA(3,0,%,36) = 100 x (1,03) x 21,83225 = $ 2248,72 5.5 Cálculo da prestação A, dado o valor presente P de uma série uniforme antecipadaNestas condições, o valor A da prestação pode ser calculado a partir da transformação da equação 17:

(equação 18)


)%,()1(

1

1)1(

)1(

)1(

1nin

n

FRCi

Pi

ii

iPA ×

+×=

−+×+×

+=


Exemplo:Um terreno é colocado a venda por $ 50.000,00 a vista ou em 24 prestações mensais sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa de 3,5 % a.a. pelo financiamento.

Aplicando a equação 18, obtemos:


1 2 63 4 50 23

P =$ 50.000,00

A =$

21,008.3$06227,0)035,01(

1000.50

)1(

1)%,( =×

+×=×

+×= niFRC

iPA


ExercíciosExercícios

1. Um investidor depositou, anualmente, $ 1000,00 numa conta de poupança, em nome de seu filho, a juros de 6% a.a. O primeiro depósito foi feito no dia em que seu filho completou 1 ano e o último quando este completou 18 anos. O dinheiro ficou depositado até o dia em que completou 21 anos, quando o montante foi sacado. Quanto recebeu seu filho. R: $ 36.809,24

10. Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um fundo de renda fixa, a taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final deste prazo, um montante

de $ 175.000,00. R: $ 4.375,00

17. Qual é o montante obtido no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 500,00 por mes, a taxa de 42,5776% ao ano. R: $ 4.446,17


1. Quantas aplicações mensais de $ 500,00 são necessárias para se obter um montante de $ 32.514,00, sabendo-se que a taxa é de 3,00% a.m., e que a primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate daquele valor. R: 36 aplicações.

10. O Sr. Laerte resolveu fazer 12 aplicações mensais, como segue: a) 6 prestações iniciais de $ 1000 cada uma; b) 6 prestações restantes de $ 2000,00 cada uma. Sabendo-se que esta aplicação está sendo remunerada a 3,0% a.m., calcular o saldo acumulado de capital mais juros que estará a disposição do Sr. Laerte no final do prazo de aplicação. R:2.066,04


6. Avaliação de investimentos6. Avaliação de investimentos

6.1 Métodos de retorno de investimentoExistem 3 métodos, que são tradicionamente utilizados para a avaliação de investimentos:(a) o método do valor presente líquido (VPL), (b) o método da taxa interna de retorno (TIR) e (c) o método do pay back ou do tempo de retorno do investimento.

6.1 Método do valor presente líquidoO método do valor presente líquido baseia-se no cálculo do valor presente de um fluxo de caixa que envolve saídas (investimento) e entradas (receitas geradas por este investimento). É a seguinte a fórmula que permite calcular o valor presente líquido (VPL) de um fluxo deinvestimento. Dado um fluxo de caixa do tipo, descontado a uma taxa i:

O valor presente deste fluxo pode ser calculado como:

(equação 19)

031

211

)1(...

)1()1()1(FC

i

FC

i

FC

i

FC

i

FCVPL

nn −

+

++

++

++

=

1 3 42

FC1 FC2 FC4 FC3

0 n

FCn

FC0


Para que um investimento seja economicamente viável, o valor presente do fluxo de caixa deve ser positivo, isto é o valor presente das entradas (receitas geradas por este investimento) deve superar o valor presente das saídas (investimentos e despesas relativas ao investimento).Exemplo: Considere o fluxo de caixa mostrado na seção 4.1, descontado a uma taxa de 10% a.a.:

Descontando o fluxo de caixa FC(0) utilizando a equação 19, obtemos:VPL = 300/(1,1) + 800 /(1,1)2 + 1000 /(1,1)3 + 1500 /(1,1)4 + 1600 /(1,1)5 -1000= $ 2703,10


Período FC Investimentos

($)

Receitas

($)

FCL

($)

0 FC0 - 1000 0 - 1000

1 FC1 -500 + 800 + 300

2 FC2 + 800 + 800

3 FC3 + 1000 + 1000

4 FC4 + 1500 + 1500

5 FC5 -200 + 1800 + 1600

Quadro 6.1: Fluxo de caixa de um dado investimento:


No caso do exemplo anterior, o investimento é economicamente viável, uma vez que o valor presente líquido deste investimento é positivo, isto é, a soma das entradas (receitas) supera o valor das saídas (investimento e despesas). 6.2 Método da taxa interna de retornoA taxa interna de retorno (TIR) é a taxa que equaliza as entradas e saídas de um projeto de investimento. A equação que fornece a taxa interna de retorno, pode ser escrita da seguinte forma:

(equação 20)

Assim, existe pelo menos uma taxa de juros i, que iguala FC0 à somatória dos FCj. A taxa de juros que ¨zera¨ o fluxo de caixa é a própria taxa interna de retorno e representa a rentabilidade de um projeto de investimento. Na prática, o cálculo da taxa interna de retorno é feito através de um processo interativo, isto é, calculando-se o valor presente líquido do fluxo de caixa e observando-se a taxa, na qual ocorre a inversão do sinal do VPL do projeto de investimento.


+

++

++

++

=+

= ∑ = nnn

j j

j

i

FC

i

FC

i

FC

i

FC

i

FCFC

)1(...

)1()1()1()1( 31

21

11

10


Exercício:Determinar a TIR do fluxo de caixa mostrado na figura 6.1. Calculemos o VPL deste fluxo de caixa para diferentes taxas de juros:

VPL(10%) = $ 2703,19 VPL(20%) = $ 1750,64 VPL(30%) = $ 1115,43 VPL(40%) = $ 674,84 VPL(50%) = $ 358,85 VPL(60%) = $ 125,61 VPL(70%) = $ -50,89

Sabemos, portanto, que existe uma inversão de sinal no intervalo situado entre 60% e 70% e que a TIR está situada neste intevalo. Através de sucessivas aproximações obtemos uma TIR de 66,8% .




6.2 Método do ¨Pay-back¨ ou do tempo de retorno de um investimentoA viabilidade economica de um projeto de investimento pode se determinada, comparando-se o tempo de retorno do projeto com a vida útil dos ativos que compõem este investimento.Para que um projeto possa ser considerado economicamente viável, o tempo de retorno do projeto (em anos, meses ou qualquer outra unidade de tempo) deve ser inferior a vida util de um equipamento, ferramental, etc., por exemplo, que faz parte do investimento.Na prática, o tempo de retorno de um investimento é calculado através do fluxo de caixa descontado de um projeto de investimento.Considere o fluxo de caixa da figura 6.1. Observe, que no fluxo de caixa acumulado (coluna 7) existe uma inversão de sinal entre o 2o. e o 3o. ano. Isto significa que o tempo de retorno do projeto é superior a dois porém inferior a 3 anos. Aplicando uma regra de tres, proporcionalmente ao valor –66,12 do final do 2o. ano e 685,2 do final do 3o.ano, obtemos um tempo de retorno para este projeto de 2,1 anos.

Período Saídas Entradas FCL Fatores FCD FCA1 2 3 4 5 6 70 -1000 0 -1000 1 -1.000,00 -1.000,001 -500 800 300 0,9090909 272,73 -727,272 800 800 0,8264463 661,16 -66,123 1000 1000 0,7513148 751,31 685,204 1500 1500 0,6830135 1.024,52 1.709,725 -200 1800 1600 0,6209213 993,47 2.703,19

Quadro 6.2: Fluxo de caixa de um investimento:



Assim, se a vida útil do equipamento for de 10 anos (suponhamos que este investimento se refira, por exemplo a aquisição de um caminhão) o projeto pode ser considerando viável, uma vez que este projeto trouxe um retorno num prazo inferior a vida útil deste bem.


7. Desconto Simples (Bancário ou comercial)7. Desconto Simples (Bancário ou comercial)

7.1 ConceituaçãoA operação de desconto é realizada quando se conhece o valor futuro, também conhecido como valor nominal, valor de face ou valor de resgate.Entende-se desconto como a diferença entre o valor de resgate de um título e seu valor presente na data de operação, ou seja,

D = S – P (equação 21)

onde, D representa o valor monetário do desconto, S o valor futuro ou valor de face e P o valor presente ou valor creditado ou pago ao titular.Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a determinado período de tempo. É frequente a confusão entre taxa de juros e desconto. Repare que a taxa de juros incide sempre sobre o montante do período anterior (juros compostos) ou sobre o principal ou capital inicial (juros simples) e no desconto a taxa refere-se, sempre, ao seu montante ou valor futuro.

7.2 Desconto simples ou bancário Desconto simples é aquele, no qual a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro S. É utilizado de maneira ampla no Brasil nas chamadas operações realizdas pelos bancos e chamadas de ¨desconto de duplicatas¨.


7. Desconto Simples (Bancário ou comercial) 7. Desconto Simples (Bancário ou comercial)

O desconto é obtido multiplicando-se o seu valor de resgate F, pela taxa de desconto d (taxa de juros paga pela instituição financeira), e pelo prazo a transcorrer até seu vencimento, n ou:

D = F x d x n (equação 21)

O valor presente P, ou de antecipação, pode ser calculado subtraindo-se do valor de resgate S, o desconto D, ou:

P = F - D (equação 22)

Exemplo:Qual é o valor de desconto simples de um título de $ 1.000,00 com vencimento de 120 dias a taxa de 3,0% a.m. e o valor a receber na data da antecipação. Aplicando diretamente a equação 21, obtemos: D = 1000 x 4 x 0,03 = $ 120,00

O valor a receber pelo aplicador será de :

P = 1000 – 120 = $ 880,00


7.2 Desconto compostoDesconto composto é aquele, no qual a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro S, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido em função de cálculos exponenciais, e praticamente não é utilizado em nenhum país do mundo.

O valor líquido de um título calculado por este critério, por um prazo igual a n períodos unitários, é dado pela expressão:

P = F (1 – d)n (equação 23)

Exemplo:Uma duplicata de $ 10.000,00 com 90 dias para seu vencimento é descontada a uma taxa de 3,0% a.m. de acordo com o conceito de juros compostos. Calcular o valor líquido a ser creditado na conta e o valor do desconto concedido. A aplicação direta da equação 23 fornece o valor descontado (presente) do título:

P = 10000 (1 – 0,03)3 = 10000 x 0,91267 = $ 9126,73

O desconto é a diferença entre o valor de face (futuro) e o valor descontado e portanto

D = 10000,00 – 9126,73 = $ 873,27

7. Desconto Simples (Bancário ou comercial) 7. Desconto Simples (Bancário ou comercial)


Exercícios sobre DescontosExercícios sobre Descontos

1. Qual o valor atual de um título de valor de resgate de $ 90.000,00 com 4 meses a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,25% ao mes, com a) desconto simples e desconto composto. R: a) $ 78.300,00 ; b) 78.852,12

9. Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de umcliente foi de $ 57.170,24, correspondente a um título de $ 66.000,00 a taxa de 5,0% a.m. Determinar o prazo a

decorrer até o vencimento deste título com a) juros simples e juros compostos. R: a) 2,67 meses e b) 2,8 meses.

mat financeira

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