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história

NEWTON E O BINÔMIOJoão Bosco Pitombeira de Carvalho

INTRODUÇÃO

Geralmente, chama-se de “binômio de Newton” o desenvolvimento

( ) , (1)( )a b nk a bn

k

k nk n k+ =

=

=−∑

0

em que, quando n e k são números naturais, com n ≥ k, temos:

nk

n n n n kk

nk n k

=

− − − +=

−( )( ) ( )

!!

!( )!, (2)1 2 1

os chamados coeficientes binomiais, que são, entre outras coisas, o número de combinações de n objetos tomados k a k.

Se, em (1), fizermos a = 1 e b = x, obtemos:

10

+( ) =

=

=−∑x n

k xn

k

k nn k . (3)

Em verdade, a fórmula (1) já era conhecida bem antes da época de Newton. O caso em que n = 2 se encontra nos Elementos de Euclides, escrito em torno de 300 a.C. O triângulo de Pascal era co-nhecido por Chu Shih Chieh, na China, em torno de 1300 e, antes disso, pelos hindus e muçulmanos. O matemático hindu Bháskara (1114-1185?) sabia calcular o número de permutações, combinações e arranjos de n objetos. Umar al-Kayyami conhecia, em torno de

Michael Stifel (1487–1567)

Gottfried Wilhem Leibniz (1646–1716)

Isaac Newton (1643–1727)

Blaise Pascal (1623–1662)

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istór

ias

( ) ( )a b nk a bn

k

k nn k k+ =

=

=−∑

0.

1100, a fórmula, para n = 4,5 e 6, e afirmou explicitamente que ela podia ser generalizada para um número natural qualquer. Sabemos que o matemático árabe al-Karaji (953 – 1029?) conhecia a lei de formação dos elementos do triângulo de Pascal,

np

np

np

++

= +

+

11 1 .

O mesmo aconteceu com um matemático e filósofo francês, o rabino Levi ben Gerson (1288-1344), que nasceu e trabalhou no sul da França, e que, entre outras coisas, tentou demonstrar o 5o pos-tulado de Euclides. O nome coeficiente binomial foi introduzido mais tarde, por Michael Stifel (1487-1567), que mostrou, em torno de 1550, como calcular (a + b)n conhecendo o desenvolvimento de (a + b)(n − 1).

O primeiro aparecimento do triângulo de Pascal no ocidente foi no frontispício de um livro de Petrus Apianus (1495-1552). Nicolò Fontana Tartaglia (1499-1559) relacionou os elementos do triângulo de Pascal com as potências de (a + b). Pascal (1623-1662) publicou um tratado, em 1654, mostrando como utilizá-los para achar os coe-ficientes do desenvolvimento de (a + b)n. Mateus Bernoulli (1654-1705), em seu Ars conjecturandi, de 1713, usou a interpretação de Pascal para demonstrar que

Isaac Newton (1646-1727) mostrou como calcular diretamente (a + b)n sem antes calcular (a + b)(n − 1). Ele mostrou que cada coefi-ciente pode ser determinado usando o anterior, pela fórmula

nr

n rr

nr+

=

−+

1 1

.

OS COEFICIENTES BINOMIAIS GENERALIZADOS

Mostra-se que, se n e k são números naturais, com n ≥ k, en-

tão nk é um número natural. Usando-se a mesma expressão usada

para n ≥ k para definir nk quando n < k, obtemos o valor zero.

Observe também que (2) faz sentido sempre que k for um número natural e n for um número real qualquer. Só que, se n não é um número natural, o numerador n(n − 1)(n − 2) ∙∙∙ (n − k + 1) nunca será igual a zero (por quê?). Assim, definimos os coeficientes bino-miais generalizados:

Michael Stifel (1487–1567)

Gottfried Wilhem Leibniz (1646–1716)

Isaac Newton (1643–1727)

Blaise Pascal (1623–1662)

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