funÇÃo identidade 2vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads... · no final das séries de...

MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................... 2

FUNÇÃO LINEAR ........................................................................ 2

FUNÇÃO AFIM ............................................................................. 3

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ......................................... 3

IMAGEM ....................................................................................... 5

COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM ........................................... 5

ZERO DA FUNÇÃO AFIM ............................................................ 6

FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES ...................... 7

SINAL DE UMA FUNÇÃO ............................................................ 9

SINAL DA FUNÇÃO AFIM ......................................................... 10

INEQUAÇÕES ........................................................................... 12

SISTEMA DE INEQUAÇÕES ..................................................... 13

INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ................................................. 14

INEQUAÇÕES-PRODUTO ........................................................ 14

INEQUAÇÃO-QUOCIENTE ....................................................... 17

RESPOSTAS ............................................................................. 19

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 24

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

FUNÇÃO IDENTIDADE

Uma função f de ℝ em ℝ recebe o nome de FUNÇÃO IDENTIDADE quando

associa a cada elemento x ℝ o próprio x, isto é:

𝑓:ℝ → ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑥

Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes.

A imagem da função identidade é Im = ℝ.

FUNÇÃO LINEAR

Uma função f de ℝ em ℝ recebe o nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa

a cada elemento x ℝ o elemento ax ℝ onde a 0 é o número real dado, isto é:

𝑓:ℝ → ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0

É possível demonstrar que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, mas veremos esta demonstração mais a frente, num caso mais geral.

A imagem da função identidade é Im = ℝ e isto pode ser percebido facilmente, veja:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥

𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 ⇔ 𝑥 =𝑦

𝑎

assim, 𝑥 =𝑦

𝑎∈ ℝ, a 0, tal que:

y)x(f

a

ya)x(f

xa)x(f

Ex.: 1 Vamos construir o gráfico da função

𝑦 = 2𝑥. Resolução: como já sabemos que o gráfico da função linear é uma reta e que dois pontos distintos determinam uma reta, basta que encontremos dois pontos para construir o gráfico. Além disso, o gráfico da função linear passa sempre pela origem assim, já temos o ponto (0; 0) bastando encontrar apenas mais um ponto. Vamos, então, atribuir um valor não nulo a x e calcular o correspondente y = 2x.

𝑥 2 ∙ 𝑥 𝑦 1 2 ∙ 1 2

Agora devemos localizar, num sistema cartesiano, os pontos P(0; 0) e Q(1; 2) e traçar a reta PQ que será o gráfico procurado.

Note que Im(f) = ℝ. Veja o gráfico na coluna a seguir. Ex.2:

Construir o gráfico da função 𝑦 = −2𝑥.


Resolução: Analogamente, temos:

𝑥 −2 ∙ 𝑥 𝑦 1 −2 ∙ 1 −2

Agora, P(0; 0) e Q(1; -2).

Mais a frente, vamos tratar de um assunto que já pode ser observado nestes dois gráficos. Vamos, então, de forma incipiente, aproveitar a oportunidade.

No Ex.1, o termo que multiplica o x é 2. Este fator é chamado de “taxa de variação”. Isto significa que para cada uma unidade que o x varia, há uma variação de 2 unidades em y.

No Ex.2, essa taxa de variação é -2, ou seja, cada unidade em x faz o y variar em –2 unidades.

Agora vamos construir alguns gráficos.

1) Construa, num mesmo sistema cartesiano, os 4 gráfico de funções constantes a seguir. a) y = 2

b) y = 2 c) y = -3 d) y = 0

2) Construir, num mesmo sistema

cartesiano, os gráficos das funções 𝑓:ℝ → ℝ a seguir. a) y = x b) y = 2x c) y = 3x

d) 2

xy

3) Construir, num mesmo sistema

cartesiano, os gráficos das funções 𝑓:ℝ → ℝ a seguir. a) y = -x b) y = -2x c) y = -3x

d) 2

xy

FUNÇÃO AFIM

Uma função 𝑓:ℝ → ℝ recebe o nome de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada

elemento 𝑥 ∈ ℝ o elemento 𝑎𝑥 + 𝑏 ∈ ℝ onde 𝑎 0, isto é: 𝑓:ℝ → ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 0

1.: y = 2x + 4 onde a = 2 e b = 4 2.: y = -3x + 5 onde a = -3 e b = 5 3.: y = x – 1 onde a = 1 e b = -1 4.: y = 3x onde a = 3 e b = 0 Observe este último exemplo. Note

que, quando 𝑏 = 0, a função 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 assume a forma da função linear e, assim, podemos dizer que a função linear é um caso particular de uma função afim.

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e isto pode ser facilmente


demonstrado. A demonstração não faz parte da ementa deste curso. Caso tenha interesse ou curiosidade, ela foi acrescentada no final desta apostila.

Ex.1: Construir o gráfico da função y = 2x + 1. Resolução;

Sabendo que este gráfico é uma reta, vamos encontrar dois de seus pontos, localiza-los no plano cartesiano e, em seguida traçar a reta.

x 2x+1 y

0 2 • 0 + 1 1

1 2 • 1 + 1 3

O gráfico da função, então, é uma reta que passa pelos pontos (0; 1) e (1; 3).

É facilmente perceptível, pelo gráfico, que tanto o domínio quanto a imagem desta função são formados por todos os números reais, assim:

𝐷(𝑓) = ℝ e𝐼𝑚(𝑓) = ℝ Ex.2: Construir o gráfico da função y = -x + 3 Resolução: De modo análogo, temos:

x -x + 3 y

0 -0 + 3 3

2 -2 + 3 1

Assim, o gráfico da função, então, é a reta que passa pelos pontos (0; 3) e (2; 1).

𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ

4) Construa o gráfico da cada uma das 8 funções apresentadas. (Dica: em cada situação siga os exemplos fazendo, inclusive, a tabela afim de que a construção fique organizada)

a) y = 2x – 1 b) y = x+2 c) y = 3x+2

d) 2

3x2y

e) y = –3x – 4 f) y = –x – 1 g) y = –2x + 3

h) 2

x34y

5) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações do 1º grau:

4y3x2

3yx

6) Resolva analiticamente e graficamente os sistemas de equações do 1º grau:

a)

1yx

5yx


b)

8y3x2

14y2x3

c)

4y4x2

2y2x

7) Resolva os sistemas:

a)

4

1

yx

1

yx

1

4

3

yx

1

yx

1

Sugestão: faça byx

1ea

yx

1

b)

13yx2

3

1yx

2

12

5

3yx2

2

1yx

3

8) Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (1; 2) e (3; -2). b) (2; 3) e (3; 5) c) (3; -2) e (2; -3) d) (1; -1) e (-1; 2)

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 153 e 154– Exercícios 02 a 04

IMAGEM

O conjunto imagem de uma função afim 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 0 é ℝ.

De fato, qualquer que seja 𝑦 ℝ,

existe 𝑥 =𝑦−𝑏

𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓 (

𝑦−𝑏

𝑎) =

𝑎 ∙𝑦−𝑏

𝑎+ 𝑏 = 𝑦.

COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM

O coeficiente a da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente

angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função y = ax + b é denominado coeficiente linear. Os coeficientes a e b tem influência sensível no gráfico da função afim. Veja os exemplos a seguir onde são mostradas variações independentes em cada coeficiente.

Ex.1: Veja a construção, num mesmo plano cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note que em todos os casos, o coeficiente b não muda. A única variação é no coeficiente a.

Observe que a variação do coeficiente

a faz variar a declividade da reta que representa o gráfico da função. Ex.2: Agora você pode observar construções de funções que possuem o mesmo coeficiente angular variando, apenas, o coeficiente linear.


Veja neste caso, que a variação do coeficiente b faz variar o ponto em que a reta do gráfico da função toca o eixo OY.

9) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1; 3) e tem coeficiente angular igual a 2.

10) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 4) e tem coeficiente angular igual a -3. 11) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-3; 1) e tem coeficiente angular igual

a 2

1 .

12) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 1) e tem coeficiente angular igual a 4. 13) Obter a equação da reta que tem coeficiente angular igual a -3 e passa pelo ponto (-3; -2) 14) Dados os gráficos das funções

de ℝ em ℝ, obter a lei de correspondência dessas funções. Para tal considere cada quadradinho como referência de uma unidade. a)

b)

c)

d)

ZERO DA FUNÇÃO AFIM

Zero ou raiz de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0.

x é zero de y = f(x) f(x) = 0

Assim, para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do 1º grau

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

que apresenta uma única solução 𝑥 = −𝑏

𝑎.

Ex.1: Qual o zero da função f(x) = 2x – 1?

2𝑥 − 1 = 0 → 2𝑥 = 1 → 𝑥 = 1

2

Logo, a raiz da função é 2

1.

Ex. 2: Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo OX.


Note o gráfico da função f(x) = 2x – 1, intercepta o eixo das abscissas

em 2

1x , isto é, no ponto

0;

2

1.

FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES

Uma função 𝑓: 𝐴 𝐵 definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) é CRESCENTE no conjunto 𝐴1 𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2, temos 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

Em termos técnicos, 𝑓 é crescente quando:

( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇(𝒙𝟐))

Esta expressão acima também pode

ser escrita desta forma:

( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟐)

𝒙𝟏 − 𝒙𝟐> 𝟎)

Em termos não técnicos, podemos

dizer que uma função é crescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y também aumenta. Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função crescente.

Uma função 𝑓: 𝐴 𝐵 definida por

𝑦 = 𝑓(𝑥) é DECRESCENTE no conjunto 𝐴1 𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2, tivermos 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2).

Em termos técnicos, 𝑓 é crescente quando:

( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 𝒇(𝒙𝟏) > 𝒇(𝒙𝟐))

Esta expressão acima também pode ser escrita desta forma:

( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟐)

𝒙𝟏 − 𝒙𝟐< 𝟎)

Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é decrescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y diminui. Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função decrescente.

Ex.1: A função f(x) = 2x – 1 é crescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos:


1x21x2xx 2121

Ex.2: A função f(x) = -3x + 2 é decrescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos:

2x32x3xx 2121

Notemos que uma função y = f(x) pode assumir comportamentos variados (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio.

É bastante comum que, inclusive, que a função seja crescente em alguns intervalos e decrescentes em outros.

Veja o exemplo abaixo. A função é

decrescente em ℝ− e crescente em ℝ+

15) Com base nos gráficos a seguir, de funções de domínio e contradomínio reais, especificar onde a função é crescente e onde a função é decrescente. a)

b)

c)

O estudo do comportamento quanto a crescimento ou decrescimento de uma função afim é feito em relação ao coeficiente angular. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo.

Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, Se 𝒂 > 𝟎 então f é crescente.

DEMONSTRAÇÃO

crescente é baxxf

)xx(0xx

xfxf21

21

21

0xx

baxbax

21

21

0xx

baxbax

21

21

0a

0xx

xxa

21

21

Assim, podemos observar que

f(x) = ax + b é crescente a > 0

16) Demonstre que f(x) = ax + b se, e somente se, a < 0. 17) Especificar se cada uma das funções abaixo é crescente ou decrescente. a) y = 2x + 8 b) y = 3x – 9 c) y = -4x + 6 d) y = -2x – 6


e) 15

xy

f) 2

1x2y

g) 2

x1y

h) 2

x31y

18) Para quais valores de k a função f(x) = (k + 5)x – 7 é crescente? 19) Estudar, segundo os valores do parâmetro k, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo. a) y = (k – 1)x + 2 b) y = (k + 5)x – 7 c) y = (4 – k)x + 2 d) y = k(x + 3) – 5

SINAL DE UMA FUNÇÃO

Seja a função 𝑓: 𝐴 𝐵 definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥). Estudar o sinal da função é determinar para que valores de x temos y maior, menor ou igual a zero. Graficamente, isto pode ser feito observando os intervalos em que o gráfico está acima ou abaixo do eixo x. Note que o que realmente interessa é o comportamento do gráfico em relação ao eixo OX não importando a posição do eixo OY.

Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está representado na figura a seguir.

Como foi dito, não importa a posição do eixo das ordenadas, então vamos retira-lo e preparar um aspecto prático.

Conclusão: 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 4 ou 𝑥 = 8 𝑓(𝑥) > 0 para −3 < 𝑥 < 1 ou 1 < 𝑥 < 4 ou 𝑥 > 8 𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥 < −3 ou 4 < 𝑥 < 8

20) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados a seguir. a)

b)

c)


SINAL DA FUNÇÃO AFIM

Como vimos, estudar o sinal de uma

função 𝑦 = 𝑓(𝑥) significa estabelecer, para cada valor de 𝑥 𝐷(𝑓), qual das sentenças é verdadeira:

𝑦 > 0 𝑦 = 0 𝑦 < 0 Para a função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, temos com dois casos a considerar:

1º caso: 𝑎 > 0 Neste caso a função é crescente. Como para

𝑥 = −𝑏

𝑎 temos 𝑦 = 𝑓 (−

𝑏

𝑎)=0, vem:

𝑥 < −𝑏

𝑎⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−

𝑏

𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) < 0

𝑥 > −𝑏

𝑎⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓 (−

𝑏

𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) > 0

Considerando os valores de 𝑥 sobre um eixo, o sinal da função da função

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0, é:

Entende-se, com esta notação, que

para valores de 𝑥 à direita de −𝑏

𝑎, a função

retorna um valor positivo ( + ) e para valores

à esquerda de −𝑏

𝑎, a função retorna valores

negativos ( - ). Um outro processo de analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano. Já vimos que o gráfico cartesiano da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é uma reta e se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente. Construindo o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0 e lembrando o que está sendo dito na página 22, que a posição do eixo y não importa, temos:

2º caso: 𝑎 < 0 Neste caso a função é decrescente. Também

para 𝑥 = −𝑏

𝑎 temos 𝑦 = 𝑓 (−

𝑏

𝑎)=0, vem:

𝑥 < −𝑏

𝑎⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓 (−

𝑏

𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) > 0

𝑥 > −𝑏

𝑎⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−

𝑏

𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) < 0

Considerando os valores de 𝑥 sobre um eixo, o sinal da função da função

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 < 0, é:

Entende-se, com esta notação, que

para valores de 𝑥 à direita de −𝑏

𝑎 a função

retorna um valor negativo ( - ) e para valores

à esquerda de−𝑏

𝑎, a função retorna valores

positivo ( + ). Também podemos analisar com a construção do gráfico lembrando que para

𝑎 > 0, a função é decrescente.

Podemos fazer um resumo do estudo do sinal da função afim como está no quadro em destaque na coluna ao lado. Observe:

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 > 0,

{

𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 > −

𝑏

𝑎

𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −𝑏

𝑎

𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 < −𝑏

𝑎


𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 < 0,

{

𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 < −

𝑏

𝑎

𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −𝑏

𝑎

𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 > −𝑏

𝑎

Ex.1: Estudar o sinal da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Resolução

𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 2𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −1

2

Como 𝑎 > 0 (𝑎 = 2), temos que 𝑓 é crescente, assim:

{

𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 > −

1

2

𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −1

2

𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 < −1

2

Note que, de fato, quando procuramos, pela função acima, a imagem

de um número qualquer maior que−1

2,

encontraremos um valor positivo. A imagem

de −1

2 é zero e a imagem de qualquer valor

menor que −1

2 é um número negativo

Só para exemplificar, vamos encontrar os valores de 𝑓(3) e de 𝑓(−5)

𝑓(3) = 2 ∙ 3 + 1 = 7 𝑓(−5) = 2 ∙ (−5) + 1 = −9

Como previsto, a imagem de 3 é positiva e a imagem de -5 é negativa Ex.2: Estudar o sinal da função 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3. Resolução:

−2𝑥 + 3 = 0 ⟺ ⋯⟺ 𝑥 =3

2

Como 𝑎 < 0 (𝑎 = −2), temos que a função 𝑓 é decrescente, assim:

{

𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 <

3

2

𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 =3

2

𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 >3

2

Mais uma vez vamos verificar a resposta com um valor maior que a raiz ( 5 ) e outro menor que a raiz ( 1 ).

113121 ff 713525 ff

21) Estudar os sinais das seguintes funções

definidas em ℝ: a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = -3x + 2 c) f(x) = 4 – x d) f(x) = 5 + x

e) 2

3x

xf

f) 2

3

3

xxf

g) 3

42 xxf

h) f(x) = -x

22) Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 0 (zero).

______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES

Pág. 163 – Exercícios 18 a 20


INEQUAÇÕES

O último exercício apresentado (22) é um exemplo de inequação. Vamos agora resolver outras inequações.

Ex.: Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 3. Resolução: Note que este exemplo é bem parecido com o último exercício. Para encontrar a solução, basta resolver a inequação

4x – 5 > 3 4x > 8 x > 2

Logo a solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 2} Ex.2: Considerando as funções 𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 1 e 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3, determine os valores de x para os quais temos

f(x) g(x). Resolução: Vamos resolver a inequação:

4𝑥 − 1 ≤ −𝑥 + 3 4𝑥 + 𝑥 ≤ 3 + 1

5𝑥 ≤ 4

𝑥 ≤4

5

Solução:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤4

5}

Esta solução pode ser verificada de fato quando você substitui em ambas as funções valores iguais. Vamos testar completando a tabela abaixo. Os dois primeiros valores são

menores que 4

5 e os dois últimos são maiores.

𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) Qual é maior?

−1

1

3

4

5

1

4

Este mesmo exemplo pode ter uma solução gráfica. No plano cartesiano abaixo, você pode ver os gráficos das duas funções.

Note que em 𝑥 =

4

5, as funções são

iguais (é o ponto onde elas se cruzam). Para

valores menores que4

5, a função 𝑓 é menor

que a função 𝑔 e isto pode ser verificado pois

à esquerda de 𝑥 =4

5 . o gráfico de 𝑓 está

abaixo do gráfico de 𝑔. Esta situação se

inverte à direita de 𝑥 =4

5.

23) Para que valores reais de x a função

𝑓(𝑥) =2

3−𝑥

2 é negativa?

24) Para que valores do domínio da função

de 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =3𝑥−1

2 a

imagem é menor que 4?

25) Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3,

𝑔(𝑥) = 2 − 3𝑥 e ℎ(𝑥) =4𝑥−1

2 definidas e, ℝ,

para quais valores de x tem-se: a) f(x) > g(x) b) g(x) < h(x)

c) f(x) h(x)


26)

Dados os gráficos das funções 𝑓, 𝑔 e ℎ definidas em ℝ e considerando cada quadrinho como uma unidade, determine os

valores de 𝑥 ℝ, tais que: a) f(x) > g(x)

b) g(x) h(x)

c) f(x) h(x) d) g(x) > 4

e) f(x) 0 27) Dado um número real k, a função

𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑥 é chamada de função linear (pág. 2). a) Prove que o gráfico da função linear passa pela origem do sistema de ordenadas. b) Prove que se f é linear então 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) ∀𝑥 ∈ ℝ 28) Uma grandeza y é diretamente proporcional a uma grandeza x quando y é uma função linear de x. Se y é diretamente

proporcional a x e quando 𝑥 = 4 temos 𝑦 = 10. Então, para 𝑥 = 10, qual é o valor de y?

SISTEMA DE INEQUAÇÕES

Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente o que equivale a inequações em x separadas pelo conectivo e. O conjunto solução do sistema de inequações é a INTERSECÇÃO dos conjuntos-solução das diversas inequações que a formam.

Ex.1: Resolver o sistema de inequações

{3 − 2x ≤ 1 ①

3x − 1 ≤ 5 ②

Resolução:

De ①,

3 − 2x ≤ 1 𝑥 ≥ 1

De ②,

3x − 1 ≤ 5 𝑥 ≤ 2

Vamos, agora, fazer a interseção entre as soluções:

Logo, a solução é:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} Ex.2: Resolver o sistema

{

𝑥 − 1

3−𝑥 + 1

4≥ 4 ①

1 −𝑥 + 2

3≥ 0 ②

De ①,

2929

245243322

46

13124

2

1

3

1

xx

xxx

xxxx

De ②,

11

233

210

3

21

xx

xxx

Solução:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −29}


INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS

Uma dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) pode ser decomposta em duas desigualdades simultâneas, isto é, equivale a uma sistema de duas inequações em x separadas pelo conectivo e, aquele mesmo da intersecção entre conjuntos que estudamos na primeira apostila.

Por isso, para resolver uma situação com inequações simultâneas, devemos gerar um sistema de duas (ou mais) inequações e fazer a intersecção entre as soluções de cada inequação. Assim:

xhxg

xgxfxhxgxf

Indicando por S1 o conjunto solução da primeira inequação e por S2 o conjunto solução da segunda inequação, o conjunto solução das inequações simultâneas é:

S = S1 S2

Ex.: Resolver 3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 Resolução:

{3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ①

−𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 ②

De ①, De ②,

4

1

14

323

x

x

xx

x

x

xx

2

1

21

43

A intersecção desses dois conjuntos é

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| −1

2≤ 𝑥 <

1

4}

29) Resolver os sistemas a seguir:

a)

0123

033

x

x

b)

4826

2315

xx

xx

c)

0225

01212

xx

xx

d)

xxx

xx

71136

152231

30) Resolver as inequações em : a) -2 < 3x – 1 < 4

b) -4 < 4 – 2x 3 c) -3 < 3x – 2 < x

d) 12

371 x

xx

e) 3x + 4 < 5 0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) < 0

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 0

são denominadas inequações-produto.


Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto solução S de uma inequação do tipo 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0. De acordo com a regra dos sinais do

produto de números reais, um número 𝑥0 é solução da inequação 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0 se, e somente se, 𝑓(𝑥0) e 𝑔(𝑥0), não nulos, têm o mesmo sinal. Assim, são possíveis dois casos: 1º: 𝑓(𝑥) > 0 e 𝑔(𝑥) > 0 Se S1 e S2 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações,

então S1 S2 é o conjunto solução do sistema. 2º: f(𝑥) < 0 e 𝑔(𝑥) < 0 Se S3 e S4 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações,

então S3 S4 é o conjunto solução do sistema. Daí concluímos que o conjunto-solução da inequação produto 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0 é:

S = (S1 S2 ) (S3 S4 ) Um raciocínio análogo poderia ser

feito para f(x) g(x) < 0 porém buscando intervalos onde as funções possuem sinais diferentes.

Também no caso de f(x) g(x) 0 ou

f(x) g(x) 0, podemos agir da mesma forma sendo possível, neste caso, marcar os pontos que anulam cada função.

Ex.1: Resolver em ℝ a inequação

(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) > 0. Resolução

Como estamos procurando valores para x que tornem o produto (𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) positivo, então sabemos que (𝑥 + 2) e (2𝑥 − 1) devem ter o mesmo sinal.

A forma mais prática de encontrar os intervalos onde isto acontece é fazer um

estudo dos sinais de cada parte e montar num quadro como você verá.

f(x) = x + 2

x + 2 = 0 x = -2 Como a função é crescente,

2

1012

12

xx

xxg

Esta função também é crescente, então,

Vamos agora montar um quadro para o estudo do sinal da inequação produto:

Assim temos a solução:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 >1

2}

Ex.2: Resolver em ℝ a inequação (3𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 1) ∙ (3 − 𝑥) < 0

Resolução:

3

2023

23

xx

xxf

101

1

xx

xxg

303

3

xx

xxh


O próximo passo é montar o quadro de sinais onde a linha S é a solução obtida de

xhxgxf

E temos a solução:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 1 < 𝑥 <2

3 𝑜𝑢 𝑥 > 3}

Quando uma inequação-produto

apresenta ou , devemos lembrar que as raízes de cada uma das funções que formam a inequação-produto zeram toda a inequação e, desta forma, devem fazer parte da solução. Veja no exemplo.

Ex.1: Resolver, em ℝ, a inequação

(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) ≥ 0

f(x) = x + 2

x + 2 = 0 x = -2

2

1012

12

xx

xxg

Assim temos a solução:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥1

2}

_____________________________

Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações do tipo:

00

00

nn

nn

xfxf

xfxf

Para resolver estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e expoente inteiro:

“toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo”, isto é:

Nn,a,a n 02

“toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da base”, ou seja:

Nnaa

aa

aa

n

n

n

00

00

00

12

12

12

Assim sendo, temos as seguintes equivalências:

parénsexf

ímparénsexfxf

n

0

00

parénsex

ímparénsexfxf

n 00

parénsefDx

ímparénsexfxf

n 00

parénsexf

ímparénsexfxf

n

0

00

Ex.1:

3

2023023

3x|xSxx

Ex.2:

4

3034034

6x|xSxx


Ex.3:

2

1512012

5x|xSxx

Ex.4: Sx 02 4 Ex.5:

4028028 7 x|xSxx

Ex.6: Sx 013 2

Ex.7: 4048048 4 Sxx

32) Resolver em ℝ as inequações a seguir: a) 03533 xx b) 02524 xx c) 034225 xxx d) 064323 xxx e) 07216 xx f) 02725 xx g) 0351423 xxx h) 0412735 xxx

33) Resolver em ℝ as inequações a seguir:

a) 03 4 x

b) 083 3 x

c) 054 6 x

d) 071 5 x

e) 053 2 x

f) 015 3 x

g) 034 4 x

h) 083 5 x

34) Resolver em ℝ a inequação

0323 65 xx

35) Resolver em ℝ as inequações:

a) 02745 34 xx

b) 045213 853 xxx

c) 054266 1047 xxx

d) 0646215 68 xxx ______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 164– Ver R.7

INEQUAÇÃO-QUOCIENTE

Sendo f(x) e g(x) duas funções de

variável real x, as inequações do tipo

0xg

xf

0xg

xf

0xg

xf

0xg

xf

são denominadas inequações-quociente. Considerando que regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto observando o fato de que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo.

Ex.: Resolver em ℝ a inequação 21

43

x

x.

Resolução: Inicialmente devemos transformar a desigualdade de forma a compará-la a 0 (zero).


01

25

01

2243

01

12

1

43

021

432

1

43

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

5

2025

25

xx

xxf

101

1

xx

xxg

Fazendo o quadro-quociente para o estudo dos sinais, temos:

Solução:

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2

5 𝑜𝑢 𝑥 > 1}


a) 02

12

x

x b) 0

23

23

x

x

c) 018

43

x

x d) 0

13

23

x

x


a) 143

35

x

x b) 2

43

25

x

x

c) 31

1

x

x d) 1

42

53

x

x


a)

04

4321

x

xx b)

0

3552

13

xx

x

c)

045

1445

x

xx d)

035

21

xx

x


a) 3

2

4

1

xx b)

2

2

1

1

xx

c) 4

3

2

1

x

x

x

x d)

53

2

23

5

x

x

x

x

e) 54

15

14

25

x

x

x

x

f) 03

3

2

2

1

1

xxx

g) 1

1

1

1

13

2

xxx

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 168– Análise de Resolução

40) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = x g(x) = x + 3 h(x) = x - 3 41) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = -x g(x) = -x + 3 h(x) = -x - 3 42) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = 2x - 4 g(x) = x - 4 h(x) = -x - 4 43) Construa o gráfico da função:

163

12

xparax

xparaxxf

44) Construa o gráfico da função:

45

423

232

xparax

xparax

xparax

xf


RESPOSTAS 1)

2)

3)

4) a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)


h)

5) Resolução:

SOLUÇÃO ANALÍTICA. Existem diversas formas de se

resolver analiticamente esta questão como, por exemplo, por substituição, por adição ou por comparação. Aqui vou resolver apenas por adição, mas você pode [e deve] escolher outra forma.

{𝑥 − 𝑦 = −3 × (−2)

2𝑥 + 3𝑦 = 4 →

−2𝑥 + 2𝑦 = 6

2𝑥 + 3𝑦 = 4

Fazendo + encontramos:

5𝑦 = 10 → 𝑦 = 2

Substituindo em

2𝑥 + 3 ∙ 2 = 4 → ⋯ → 𝑥 = −1

Solução: 𝑆 = {(−1; 2)}

SOLUÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro passo para resolver pelo método geométrico é escrever um sistema equivalente àquele dado porém isolando y em ambas as equações.

3

4x2y

3xy

4y3x2

3yx

Agora vamos construir os gráficos de cada umas das funções afins e o ponto de intersecção entre os dois gráficos será a solução do sistema.

x 3x y x 3

4x2 Y

0 30 3 2 3

422 0

-4 34

-1

-4

3

442 4

Solução: 𝑆 = {(−1; 2)}

6) a) 𝑆 = {(3; 2)}

b) 𝑆 = {(−2; 4)}

c) 𝑆 = Ø

7) a) 𝑆 = {(3; −1)} b) 𝑆 = {(2; 1)}

8) Resolução Se estamos procurando uma

equação de reta, então esta equação assumirá a forma de uma função afim do tipo y = ax + b.

Desta forma, considerando que o ponto (1, 2) pertence à reta de equação y = ax + b, temos a sentença verdadeira

2 = a • 1 + b a + b = 2 Analogamente, para o ponto (3, -2) obtemos:

-2 = a • 3 + b 3a + b = -2 Resolvendo, agora, o sistema

2ba3

2ba


encontramos a = -2 e b = 4. Substituindo a e b em y = ax + b, encontramos a equação procurada que, neste caso, é: y = -2x + 4

b) 𝑦 = 2𝑥 + 1 c) 𝑦 = 𝑥 – 5 d) 𝑦 =

1−3𝑥

2

9) Resolução A equação procurada é da forma y = ax + b. Se o coeficiente angular é 2, então a = 2. Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem:

3 = 2 • 1 + b b = 1 Logo, a equação procurada é

y = 2x + 1

10) 𝑦 = −3𝑥 − 2

11) 𝑦 = −𝑥

2−1

2.

12) 𝑦 =3

2𝑥 − 4.

13) 𝑦 = −𝑥

3− 3.

14) a) 𝑦 =𝑥

3+1

3

b) 𝑦 = −𝑥

2+ 4

c) 𝑦 =2𝑥

3−1

3

d) 𝑦 = 2𝑥 + 3

15) a) Crescente:

] - ; -7[, ]-6; -4[ e ]1; [ Decrescente: ]-7; -6[ e ]-4; 1[

b) Crescente: ] -1; 0[ e ]1; [

Decrescente: ] - ; -1[ e ]0; 1[ c) Crescente: ] - ; 0[ e ]0; [

16) Demonstração

17) Crescente: a, b, e, f, g. Decrescente: c, d, h.

18) 𝑘 > −5

19) a) Crescente para

k – 1 > 0 k > 1 Constante para

k – 1 = 0 k = 1

Decrescente para

k – 1 < 0 k < 1 b) Cresc.: k > -5

Const.: k = -5 Decresc.: k < -5

c) Cresc.: k < 4 Const.: k = 4 Decresc.: k > 4

d) Cresc.: k > 0 Const.: k = 0 Decresc.: k < 0

20) a) f(x) = 0 para x = -1 ou x = 0 ou x = 4 ou x = 7 f(x) > 0 para x < -1 ou 0 < x < 4 ou x > 7 f(x) < 0 para -1 < x < 0 ou 4 < x < 7

b) f(x) = 0 para x = -4 ou x = 1 ou x = 6 f(x) > 0 para -4 < x < 1 f(x) < 0 para x < -4 ou 1 < x < 6 ou x > 6

c) f(x) = 0 para x = -2 ou x = 0 ou x = 2 f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2 f(x) < 0 para -2 < x < 0 ou 0 < x < 2

21) a)

{

𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −

3

2

𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −3

2

𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −3

2

.

b)

{

𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <

2

3

𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2

3

𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 >2

3

.

c) {

𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 4𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 4

.

d) {

𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −5𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −5𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −5

.


e) {


.

f)

{

𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −

9

2

𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −9

2

𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −9

2

.

g)

{

𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 >

2

3

𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2

3

𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <2

3

.

h) {


.

22) 𝑥 > −5

4

23) 𝑥 >4

3

24) 𝑥 < 3

25) a) 𝑥 ≥ −1

5

b) 𝑥 >1

2

c) ∀𝑥 ∈ ℝ

26) a) 𝑥 > 2 b) 𝑥 0 c) ∄𝑥 ∈ ℝ d) 𝑥 < −2 e) 𝑥 3

27) (Demonstração)

28) 𝑦 = 25

29) a)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 2 < 𝑥 < 4}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 <1

2}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −4

3}

d) 𝑆 = ∅

30) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −1

3< 𝑥 <

5

3}

b)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1

2≤ 𝑥 < 4}

c)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −1

3< 𝑥 < 1}

d)𝑆 = ∅

e)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <1

3}

f)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 1}

31) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 < 𝑥 ≤ 4} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1} c) 𝑆 = ∅ 32) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 >

3

5}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −5

2𝑜𝑢 𝑥 > 2}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −3

4𝑜𝑢 −

2

5< 𝑥 < 2}

d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −2

3< 𝑥 <

4

3𝑜𝑢 𝑥 > 6}

e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −7

2𝑜𝑢 𝑥 ≥

1

6}

f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −2

7≤ 𝑥 ≤

5

2}

g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −3

5𝑜𝑢 −

1

4≤ 𝑥 ≤

3

2}

h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |1

4≤ 𝑥 ≤

5

3𝑜𝑢 𝑥 ≥

7

2}

33) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 3}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −8

3}

c) 𝑆 = ∅

d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 <1

7}

e) 𝑆 = ℝ

f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −1

5}

g) 𝑆 = {−4

3}

h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥8

3}

34) Solução: Estudaremos, separadamente, os

sinais das funções f(x) = (x – 3)5 e g(x) = (2x + 3)6. Lembrando que potência de expoente ímpar e base real tem sinal da base então o sinal de (x – 3)5 é igual ao sinal de x – 3, isto é:

A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x


+ 3)6 é positivo se 2

3x e é nulo se

2

3x , isto é:

Montando o quadro para estudo de sinais, temos:

Assim,

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 ≠ −3

2}

35) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥2

7}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −1

3< 𝑥 <

2

5}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −6 𝑜𝑢 𝑥 =1

3 𝑜𝑢 𝑥 = −

5

4}

d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥1

5𝑜𝑢 𝑥 = −3}

36) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > −1

2}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <2

3𝑜𝑢 𝑥 >

3

2}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −1

5< 𝑥 ≤

3

4}

d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −3

2𝑜𝑢 𝑥 > −

1

3}

37) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <7

8𝑜𝑢 𝑥 >

4

3}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −10 𝑜𝑢 𝑥 > −4

3}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 2 ≤ 𝑥 < −1} d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 < 2}

38) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −3

4< 𝑥 <

1

2𝑜𝑢 𝑥 > 4}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −5

2 𝑜𝑢 −

3

5< 𝑥 < −

1

3}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤4

5𝑜𝑢 −

1

4≤ 𝑥 <

5

4}

d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |1

2≤ 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 > 5}

39) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 > 11} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 2} c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 4 < 𝑥 < −2} d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −

5

3𝑜𝑢 −

29

24≤ 𝑥 < −

2

3}

e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −5

4< 𝑥 < −

9

42𝑜𝑢 𝑥 >

1

4 }

f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 1 𝑜𝑢3

2< 𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 3}

g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 < 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 1

3<

𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3}

40)

41)

42)

43)


44)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto; Matemática.

São Paulo, Ática, 2004

MACHADO, Antônio dos Santos;

Matemática, Temas e Metas. São Paulo,

Atual, 1988

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição

Links para as vídeos-aulas sugeridas

Pág. 06 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/graficof1g/

Pág. 25 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/estudosinalf1g

Pág. 39 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/inequacao-

produto/

Demonstração:

Sejam A, B e C três pontos quaisquer distintos pertencentes ao gráfico cartesiano

da função y = ax + b com a 0 e (x1; y1), (x2; y2) e (x3, y3), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos.

Para provar que os pontos A, B e C

pertencem a uma mesma reta, vamos

mostrar, em princípio, que os triângulos

ABD e BCE são semelhantes. Note que :

3baxyfy;x

2baxyfy;x

1baxyfy;x

3333

2222

1111

Fazendo 23 , temos:

4xxayybaxy

baxy

2323

22

33

Fazendo 12 , temos:

5xxayybaxy

baxy

1212

11

22

De 4 ,

12

12

1212

xx

yya

xxayy

De 5 ,

23

23

2323

xx

yya

xxayy

Assim, 23

23

12

12

xx

yy

xx

yya

Logo os triângulos ABD e BCE são

semelhantes e assim, os ângulos e são iguais e, consequentemente A, B e C estão alinhados. Daí está provado que o gráfico da função afim é uma reta. Sabendo, agora, que o gráfico da função afim é uma reta e que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos, vamos usar deste recurso para construir tais gráficos. Veja nos exemplos a seguir.

funÇÃo identidade 2vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads... · no final das séries de...

Documents