função definida por várias sentenças

Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 07 Ministrante

Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi Material elaborado pela

Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi

SUMÁRIO

Função Definida Por Várias Sentenças

Lembrando...

Dados dois conjuntos não vazios 퐴 e 퐵, uma relação 푓de 퐴 em퐵 recebe a

denominação de função se, e somente se cada 푥 ∈ 퐴 associa um único y∈ 퐵. Assim, uma

função liga um elemento do domínio (conjunto 퐴 de valores de entrada) com um segundo

conjunto, o contradomínio (conjunto 퐵 de valores de saída) de tal forma que a cada

elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do

contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela 푓 a

algum 푥 do domínio é o conjunto imagem, denotado por 퐼푚(푓).

Considere as seguintes funções:

1. 푔 ∶ ℝ → ℝ, definida por 푔(푥) = 푥 ; 2. ℎ:ℝ → ℝ, definida por ℎ(푥) = 1− 푥

Gráfico da função g Gráfico da função h

Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 07

Agora, se pensarmos em uma função 푓definida por f(푥) = 푔(푥) = 푥 para 푥 < 1

e 푓(푥) = ℎ(푥) = 푥 + 1, quando 푥 ≥ 1, isto é:

푓(푥) = 푥 ,푠푒푥 > 11 − 푥,푠푒푥 ≥ 1

o gráfico da função 푓será o gráfico da função 푔 quando os valores de 푥são tomados

menores que 1, e quando os valores de 푥 são tomados maiores que 1, o gráfico da 푓 será

igual ao gráfico de ℎ:

Gráfico da função f

A função f é dita função definida por mais de uma sentença (a saber, definida por

duas sentenças).

Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma das sentenças

está associada à um subdomínio 퐷1,퐷2,퐷3, . . .퐷푛 e a união destes n-subconjuntos forma

o domínio 퐷 da função original, ou seja, cada domínio 퐷푖é um subconjunto de D. Vamos

ver algumas funções definidas por mais de uma sentença e seus respectivos gráficos.

EXEMPLO 1: Seja 푓:ℝ → ℝ definida por

푓(푥) =−푥 + 1,푠푒푥 < −2

푥 − 1,푠푒 − 2 ≤ 푥 < 1−푥 + 1,푠푒푥 ≥ 1

é uma função definida por várias sentenças. Note que cada sentença está associada a um subdomínio cuja união é o domínio de 푓. O gráfico de 푓:

:


EXEMPLO 2: Seja 푓:ℝ → ℝ definida por 푓(푥) = −푥,푠푒푥 < −1푥 − 1,푠푒 − 1 ≤ 푥

é uma função definida por várias sentenças. Novamente, cada sentença está associada a um subdomínio cuja união é o domínio de 푓. O gráfico de 푓:

Situações do cotidiano podem ser descritas por funções de várias sentenças, vejamos:

Toda manhã, David tem o habito de fazer cooper. Em certa manhã, David parte de

sua casa caminhando em direção ao calçadão da praia das Margaridas, com a sua

velocidade constante. Ao chegar a praia, começa a correr durante um tempo, mantendo a

variação de sua velocidade constante. Inicia seu cooper em ritmo constante durante um

tempo até perceber que começou a ficar sem fôlego, diminuindo seu ritmo gradativamente

até parar em uma barraca para beber agua de coco e recuperar suas energias. Como

você esboçaria o gráfico da velocidade de David em função do tempo no trajeto desta

manhã?


Agora vamos analisar cada etapa do projeto de David.

A 1o etapa do projeto e representada graficamente por um segmento de reta paralelo ao

eixo 푥. A lei que de ne este tipo de função e 푦 = 푘em que푘 e uma constante real. A

representação gráfica da 2o etapa e um segmento de reta obliqua aos eixos 푥e 푦. A lei

que de ne este tipo de função e 푦 = 푎푥. Na 3o etapa, o comportamento gráfico do trajeto

e o mesmo que na 1o etapa. A 4o etapa também e representada por um segmento de reta

obliquo aos eixos 푥 e 푦, como na 2o etapa. Então, podemos afirmar que não existe uma

única equação para representar a função que indica o trajeto de David. Esta função

apresenta comportamentos variados ao longo de diferentes trechos do seu domínio ou,

portanto há necessidade de mais uma equação. A função que descreve o trajeto de David

e a função definida por várias sentenças.

Atividade 1. Considere a função real 푔 ∶ ℝ → ℝ definida por:

푔(푥) =9,푠푒 − 2 ≥ 푥

푥 ,푠푒 − 2 < 푥 < 1푥 + 7,푠푒푥 ≥ 1

a) construa o gráfico da g.

b) calcule as imagens a baixo:

i. 푔(−6) = ii. 푔(−4) = iii. 푔(0) = iv. 푔(1) = v. 푔(−3) =


c) determine o domínio, imagem e contradomínio de 푔.

Atividade 2. Considere a função real 푓 ∶ ℝ → ℝ definida por:

푓(푥) =1,푠푒0 ≥ 푥

푥 + 1,푠푒0 < 푥 < 1−푥 + 7,푠푒푥 ≥ 1

a) construa o gráfico da f.

b) determine o valor da razão ( ) ( )( ) ( )

.

c) determine o domínio e o conjunto imagem de 푓.


Atividade 3: Construa o gráfico da função 푓:ℝ → ℝ, definida por 푓(푥) = 푥,푠푒푥 ≥ 0−푥,푠푒푥 < 0

FUNÇÃO MODULAR

MÓDULO.

Dado um número real 푎, o modulo ou valor absoluto desse número, denotado por |푎|, é uma operação que torna este número positivo (exceto o zero).

Por exemplo, |5| = 5 e |−5| = 5.

Sendo assim, dado 푥 ∈ ℝ, o módulo de x é dado pela expressão

|푥| = 푥,푠푒푥 ≥ 0−푥,푠푒푥 < 0

Da expressão acima, podemos tirar duas conclusões:

1. Se 푥 é zero ou um número positivo, então o módulo de 푥 é o próprio 푥. 2. Se 푥 é um número negativo, então o módulo de 푥 é o oposto aditivo de 푥.

É interessante associar a ideia de valor absoluto a distância, assim, o módulo de um

número x é a distância do afixo de x até a origem do sistema. Este conceito voltará a ser

usado quando estudarmos Números Complexos.


Propriedade do modulo:

1. |푥| = −|푥| 2. |푥| ≥ 0 3. |푥| = 0 ⇔ 푥 = 0 4. |푥푦| = |푥||푦| 5. |푥| = √푥 6. |푥 + 푦| ≤ |푥| + |푦| 7. |푥 − 푦| ≥ |푥|− |푦| 8. |푥| ≤ 푎 ⇔ −푎 ≤ 푥 ≤ 푎 9. |푥| ≥ 푎 ⇔ 푎 ≤ 푥푂푈푥 ≤ −푎

FUNÇÃO MODULAR

Uma função푓:ℝ → ℝ recebe o nome de função modular quando cada 푥 ∈ ℝ é associado

ao número|푥| ∈ ℝ, ou seja, 푓(푥) = |푥|.Utilizando o conceito de modulo de um número

real, a função modular pode ser definida também como segue:

푓(푥) = 푥,푠푒푥 ≥ 푥−푥,푠푒푥 < 0

Note que a função modular é uma função definida por mais de uma sentença, e seu gráficoé

Em cada exemplo a seguir vamos aprender um tipo de gráfico e, a seguir, construiremos

um semelhante.


1. Considere a função 푔:ℝ → ℝ definida por 푔(푥) = 2푥. O gráfico de 푔 é

Agora, considere a função ℎ:ℝ → ℝ definida por ℎ(푥) = |2푥|. Note que a função ℎ é, na verdade, uma função composta da função módulo 푓(푥) = |푥| com a função 푔, isto é, ℎ(푥) = |2푥| = |ℎ(푥)|. Portanto, sobre todos valores assumidos por 푔(푥),aplicamos a operação módulo. Assim,ℎ(푥) = |2푥| = 2푥,푠푒2푥 ≥ 0

−2푥,푠푒2푥 < 0 = 2푥,푠푒푥 ≥ 0−2푥,푠푒푥 < 0

Assim, o gráfico de ℎ é:


2. Agora, considere a função 푔:ℝ → ℝ definida por 푔(푥) = 푥 + 2. O gráfico de g é:

Agora, considere a função ℎ:ℝ → ℝ definida por ℎ(푥) = |푥 + 2|. Note que a função 푔 é

uma função composta da função módulo 푓(푥) = |푥| com a função 푓, isto é, ℎ(푥) =

|푥 + 2| = |푔(푥)|. Portanto, sobre todos valores assumidos por 푔(푥), aplicamos a operação

módulo, ou seja:

ℎ(푥) = |푥 + 2| = 푥 + 2,푠푒푥 + 2 ≥ 0−(푥 + 2),푠푒푥 + 2 < 0 = 푥 + 2,푠푒푥 ≥ −2

−푥 − 2,푠푒푥 < −2

Assim, o gráfico de ℎ é:

4. Considere a função ℎ:ℝ → ℝ definida por ℎ(푥) = |푥 + 2푥|. Note que a função 푔 é uma função composta da função módulo 푓(푥) = |푥| com a função 푓, isto é, ℎ(푥) = |푥 + 2푥| = |푔(푥)|. Portanto, sobre todos valores assumidos por 푔(푥), aplicamos a operação módulo, ou seja:

ℎ(푥) = |푥 + 2푥| = 푥 + 2푥,푠푒푥 + 2푥 ≥ 0−(푥 + 2푥),푠푒푥 + 2푥 < 0


Para construir o gráfico de h, precisamos analisar o sinal de 푥 + 2푥, cujas raízes são x=0 e x=-2. Como o gráfico de 푥 + 2푥tem concavidade voltada para cima, 푥 + 2푥é positivo em (−∞,−2)∪ (0, +∞), negativo em (−2,0) e nulo em -2 e 0. Assim, o gráfico de ℎ:

EXERCÍCIOS:

Construa o gráfico da função f e determine o seu domínio e Imagem.

푎)푓(푥) = |2푥 + 5|

푏)푓(푥) = −3푥 +52

푐)푓(푥) = |−푥 − 푥 + 6|

푑)푓(푥) = |2푥 + 6| − 4

푒)푓(푥) = |푥 − 2푥 − 3| + 5

푓)푓(푥) = |3푥 − 6| + 푥 − 1

푔)푓(푥) = |2푥 + 3푥 − 2| + 3푥 + 2

ℎ)푓(푥) = |4푥 + 4| − |3푥 − 4|

푖)푓(푥) = |푥 − 9| − |푥 − 3|

푗)푓(푥) = |푥 − 2푥| − |푥 − 4|

푘)푓(푥) = |3푥 + 2|− 3

푙)푓(푥) = |푥 − 4| − 6


EQUAÇÕES MODULARES

Uma equação modular quando a incógnita aparece no modulo. Assim, para 푎 ∈ ℝ, temos que:

|푦| = 푎 ⇔ 푦 =푎푂푈−푎

|푦| = |푥| ⇔ 푦 =푥푂푈−푥

Resolva as seguintes equações modulares:

1. |2푥 + 3| = 1 2. = 3 3. |푥 + 4| = 2푥 + 1 4. |푥| + 3|푥| + 4 = 0

INEQUAÇÕES MODULARES

Lembre-se das propriedades de modulo dos números reais. A ideia de módulo está ligada ao conceito de distância, com o foi dito no início. Assim, temos que, para 푘 > 0:

|푥| < 푘 ⇔ −푘 < 푥 < 푘

|푥| > 푘 ⇔ 푥 > 푘푂푈푥 < −푘

Utilizando estas propriedades podemos resolver algumas inequações modulares.

Resolva as seguintes equações modulares:

1. |2푥 + 1| < 3 2. |3푥 + 4| ≥ 1 3. |2푥 + 1| < 3 4. |4푥 − 7| > 0 5. |푥| + 2푥 − 7 ≤ 0 6. |푥 + 1| + 푥 + 2 < 0 7. |푥 − 4| + 3 < 7푥 8. |2푥 + 6| + |푥| < 4푥


Ministrante Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi

Material elaborado pela Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi

FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real 푎 > 0 com 푎 ≠ 1, chamamos de função exponencial de base 푎 a função 푓 ∶ ℝ → ℝ que associa cada 푥 ∈ ℝ ao número real 푎 . Em símbolos:

푓 ∶ ℝ → ℝ푥 ↦ 푎

Note que 퐷표푚푓 = ℝ e 퐼푚푓 = ℝ∗ . Exemplo de funções exponenciais:

푎.푓(푥) = 2 푏.푓(푥) =12 푐.푓(푥) = √2

Propriedades:

1. 푥 = 0 ⇒ 푓(0) = 푎 = 1. Isto significa que o gráfico de toda função exponencial corta o eixo das ordenada 푦 no ponto de ordenada 1.

2. Quando 푎 > 1, temos que

푥 < 푥 ⇔ 푓(푥 ) < 푓(푥 )

Isto significa que a função exponencial é crescente quando base 푎 for maior que 1.

3. Quando 1 > 푎 > 0, temos que

푥 < 푥 ⇔ 푓(푥 ) > 푓(푥 )

Isto significa que a função exponencial e decrescente quando base 푎 for um número entre 1 e 0.


4. A função exponencial 푓(푥) = 푎 e injetora, isto é:

푥 ≠ 푥 ⇒ 푓(푥 ) ≠ 푓(푥 ) Gráfico. Com relação ao gráfico da função exponencial 푓(푥) = 푎 , podemos dizer que:

1. A curva representativa está toda acima do eixo 푥, pois 푦 = 푎 > 0 para todo 푥 ∈ ℝ .

2. Corta o eixo 푦 no ponto de ordenada 1. 3. Se 푎 > 1, o gráfico de 푓 é uma curva crescente e, se 0 < 푎 < 1, o gráfico de 푓 é

uma curva decrescente.

Exemplos:

1. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: 푓(푥) = 2

푥 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6


2. Construir o gráfico da função exponencial com base : 푓(푥) =

푥 13

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6


3. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: 푓(푥) = 2

4. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: 푓(푥) = 2| |

푥 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

푥 2| | -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6


5. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: 푓(푥) = 2 − 1

Equações Exponenciais Equações exponenciais são equações com incógnitas no expoente. Exemplos:

1) 2 = 32

2) 4 + 2 ∙ 14 = 3 ∙ 49

3) 2ퟐ ퟐ + 6 − 2 ∙ 3ퟐ ퟐ = 0 Método de redução a uma base comum

푥 2 − 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6


Este método, como o próprio nome já diz, será aplicado quando ambos membros da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potencias, forem redutíveis a potência de mesma base 푎 (0 < 푎 ≠ 1). Pelo fato de uma função exponencial 푓(푥) = 푎 ser injetora, podemos concluir que potencias iguais e de mesma base têm os expoentes iguais, ou seja:

푎 = 푎 ⇔ 푥 = 푦 Exercícios:

1) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 2 = 128

b) 4 = ퟏퟖ

c) 100 = 0.001

d) 2ퟑ ퟏ = 32

e) 11ퟐ ퟓ = 1

f) 27 = 9ퟓ

g) 2 = 128

h) 27 = 9

i) (2 ) = 32

j) 9 = 3

k) 3 −3 + 3 = 306

l) 2∙ 4 − 5 ∙ 4 − 3 ∙ 2 + 4 = 20

m) 4 − 2 − 2 = 0

n) 9 + 3 = 90


o) 2 − 2 − =

p) 3 =

q) 3 − = 4 ∙ 3

r) 푥 = 1

s) 푥 = 1

t) 푥 = 푥

u) 푥 = 푥

v) 푥 = 푥

w) 4 + 2 ∙ 14 = 3 ∙ 49

x) 2 + 6 − 2 ∙ 3 = 0

2) Resolva os sistemas de equações:

a) 4 = 16푦2 = 4푦

b) 푥 = 푦푥 = 푦 , onde 푥,푦 > 0 e 푚 ∙ 푛 > 0


Inequações Exponenciais Inequações exponenciais são inequações com incógnitas no expoente. Exemplos:

4) 2 > 32

5) 4 + 2 ∙ 14 > 3 ∙ 49

6) 2ퟐ ퟐ + 6 − 2 ∙ 3ퟐ ퟐ ≥ 0 Método de redução a uma base comum Este método será aplicado quando ambos membros da inequação puderem ser representados como potência de mesma base 푎(0 < 푎 ≠ 1). Lembre-se que a função exponencial (푥) = 푎 é crescente se 푎 > 1, e decrescente se 0 < 푎 < 1, portanto:

푆푒푏푒푐푠ã표푛푢푚푒푟표푠푟푒푎푖푠푒푛푡ã표:푝푎푟푎푎 > 1; 푎 > 푎 ⇔ 푏 > 푐

푝푎푟푎0 < 푎 < 1; 푎 > 푎 ⇔ 푏 < 푐

E

푆푒푏푒푐푠ã표푛푢푚푒푟표푠푟푒푎푖푠푒푛푡ã표:푝푎푟푎푎 > 1; 푎 ≥ 푎 ⇔ 푏 ≥ 푐

푝푎푟푎0 < 푎 < 1; 푎 ≥ 푎 ⇔ 푏 ≤ 푐

Exercícios:

1. 2 > 128 2. ≥ 3. 2 < 32 4. >

5. √3 ≤ 6. 32 > 2 > 8


7. 32 ≥ 4 > 8. 0.1 < 100 ≤ 1000 9. (2 ) < 128

10. ∙ ≤

11. 3 − 9 −3 − 9 > 12. 3 + 5 ∙ 3 +2 ∙ 3 +4 ∙ 3 +2 ∙ 3 < 63 13. 4 − 6 ∙ 2 + 8 < 0 14. 3 ∙ 3 − 1 ≥ 1 − 3 15. 푒 − 푒 −푒 + 푒 < 0 16. 푥 > 1 17. 푥 > 1 18. 푥 < 1 19. 푥 ≥ 1 20. |푥| > 1 21. 푥 < 푥

22. 푥 < 푥

função definida por várias sentenças

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