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Função Modular
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Função Modular
1.Função definida por várias sentenças abertas
2.Módulo
3.Função modular
4.Equações modulares
5.Inequações modulares
3
Uma função f pode ser definida por váriassentenças abertas, cada uma das quais está ligadaa um domínio D, contido no domínio da f.
1. Função definida por váriassentenças abertas
4
Exemplos preliminares
1o) Seja a função definida por
que também pode ser indicada por
1. Função definida por váriassentenças abertas
:f →ℝ ℝ
( ) 1 para 0
( ) 1 para 0 2
( ) 3 para 2
f x x
f x x x
f x x
= < = + ≤ < = ≥
1 se 0
( ) 1 se 0 2
3 se 2
x
f x x x
x
<= + ≤ < ≥
5
1. Função definida por váriassentenças abertas
f(x) = 1f(x
) = x
+ 1
f(x) = 3
0
1
2
3
4
-6 -4 -2 0 2 4 6
O seu gráfico está representado abaixo
6
2o) Seja a função definida por
que também pode ser indicada por
1. Função definida por váriassentenças abertas
:f →ℝ ℝ
2
( ) para 1
( ) 1 para 1
f x x x
f x x x
= − < −
= − ≥ −
2
se 1( )
1 se 1
x xf x
x x
− < −=
− ≥ −
7
O seu gráfico está representado abaixo
1. Função definida por váriassentenças abertas
f(x) = -x
f(x) =
x2 -1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
8
Definição algébrica: Sendo , define-se mó-dulo ou valor absoluto de x, que se indica por |x|,por meio da relação
Isso significa que:
1o) o módulo de um número real não negativo é igualao próprio número;
2o) o módulo de um número real negativo é igual aooposto desse número;
2. Módulo
x ∈ℝ
se 0
se 0
x x x
x x x
= ≥
= − <
9
Assim, por exemplo, temos:
2. Módulo
3 32 2, 7 7, 0 0
5 5+ = + − = + = − = +
2 2, 3 3− = + + = +
10
Definição geométrica: O módulo de um número é adistância da imagem desse número à origem dareta real.
2. Módulo
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
−72 2 2
− = + + = +7 7 2 2 2 2
2 2
11
Propriedades: Decorrem da definição as seguintespropriedades
2. Módulo
2 2
I. 0,
II. 0 0
III. ou ,
IV. ,
V. e 0
VI. e 0 ou
x x
x x
a b a b a b x
x x x
x a a a x a
x a a x a x a
≥ ∀ ∈
= ⇔ =
= ⇔ = = − ∀ ∈
= ∀ ∈
≤ > ⇔ − ≤ ≤
≥ > ⇔ ≤ − ≥
ℝ
ℝ
ℝ
12
Demonstrações:
2. Módulo
�
�
22
22
02 2 2 2 2 2
02 2 2 2 2 2
Se 0, então e daí
Se 0, então - e daí (- ) (- ) , isto é,
0
0 ou
a
a
x x x x x
x x x x x x x x x
x a x a x a x a a x a
x a x a x a x a x a x a
>
>
≥ = =
< = ⋅ = ⋅ =
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − ≥
13
Uma aplicação de em recebe o nome de
função módulo ou modular quando a cada as-
socia o elemento .
3. Função modular
ℝ ℝ
x ∈ℝx ∈ℝ
( )f x x=
14
Utilizando o conceito de módulo de um
número real, a função modular pode ser definida
também da seguinte forma:
3. Função modular
0( )
0
x se xf x
x se x
≥= − <
15
O gráfico da função modular é a reunião de
duas semi-retas de origem O, que são as
bissetrizes do 1o e 2o quadrantes.
3. Função modular
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
16
A imagem desta função é , isto é,
a função modular somente assume valores reais
não negativos.
3. Função modular
Im += ℝ
17
Lembremos da propriedade do módulo dos
números reais para :
e, utilizando essa propriedade, vamos resolver
algumas equações modulares.
4. Equações modulares
0k >
ou x k x k x k= ⇔ = = −
18
Exemplo 1: Resolver .
4. Equações modulares
2 1 3x − =
2 1 3 2
2 1 3 ou
2 1 3 1
x x
x
x x
− = ⇒ =− = ⇒ − = − ⇒ = −
{ }2, 1S = −
19
Exemplo 2: Resolver .
Lembrando da propriedade
4. Equações modulares
3 1 2 3x x− = +
ou a b a b a b= ⇔ = = −
24,
5S = −
3 1 2 3 4
3 1 2 3 ou
23 1 2 3
5
x x x
x x
x x x
− = + ⇒ =
− = + ⇔ − = − − ⇒ = −
20
Exemplo 3: Resolver .
Devemos ter inicialmente
para que seja possível a igualdade.
4. Equações modulares
1 3 2x x+ = +
23 2 0
3x x+ ≥ ⇒ ≥ −
21
Supondo , temos:
4. Equações modulares
23
x ≥ −
12
S = −
11 3 2
21 3 2 ou
31 3 2 (não convém)
4
x x x
x x
x x x
+ = + ⇒ = −
+ = + ⇔ + = − − ⇒ = −
22
Lembrando das propriedades de módulo dos
números reais para :
e, utilizando essas propriedades, podemos resolver
algumas inequações modulares.
5. Inequações modulares
0k >
1)
2) ou
x k k x k
x k x k x k
< ⇔ − < <
> ⇔ < − >
23
Exemplo 4: Resolver em : .
Então:
5. Inequações modulares
2 1 3x + <
{ }/ 2 1S x x= ∈ − < <ℝ
ℝ
2 1 3 3 2 1 3 2 1x x x+ < ⇒ − < + < ⇒ − < <
24
Exemplo 5: Resolver em : .
Então:
5. Inequações modulares
4 3 5x − >
1/ ou 2
2S x x x = ∈ < − >
ℝ
ℝ
14 3 5
24 3 5 ou
4 3 5 2
x x
x
x x
− < − ⇒ < −
− > ⇒ − > ⇒ >