A integral definidaA integral definida   Seja y = f(x) uma função definida e limitada no Seja y = f(x) uma função definida e limitada no

intervalo [a, b], e tal que f(x) intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x 0 p/ todo x [a, [a, b]. b].

Problema:Problema: Calcular (definir) a área, A, da região Calcular (definir) a área, A, da região

do plano limitada pela curva y = f(x), o eixo OX e do plano limitada pela curva y = f(x), o eixo OX e

as retas x = a e x = b.as retas x = a e x = b.

  

               

Tomemos números xTomemos números x00, x, x11, x, x22, ..., x, ..., xnn [a, b] [a, b]

tais tais

que a = xque a = x0 0 < x< x11< x< x2 2 < ... < x< ... < xn n = b e , a= b e , a11, ,

aa22, ..., a, ..., ann

tais que atais que aii [x [xi-1,i-1, x xii]. Então ]. Então

Definição 1:Definição 1: Seja y = f(x) uma função Seja y = f(x) uma função definida definida

e limitada no intervalo [a, b]. Se existee limitada no intervalo [a, b]. Se existe  

dizemos que f é integrável em [a, b] e que dizemos que f é integrável em [a, b] e que sua sua

integral definidaintegral definida em [a, b] é I e é um em [a, b] é I e é um númeronúmero

real. real.

Notação:Notação:

• O processo de deO processo de detterminação do erminação do limilimite é cte é chhamado cálculo da amado cálculo da integralintegral

• Os números a e b são os limites de Os números a e b são os limites de integração; integração; aa é o limite inferior e é o limite inferior e bb é o limite superior.é o limite superior.

• A expressão f(x) é o integrando.A expressão f(x) é o integrando.

Proposição:Proposição: Se f (x) é contínua em [a, b] então Se f (x) é contínua em [a, b] então

é integrável em [a, b].é integrável em [a, b].

ExemploExemplo:: f(x) = x para todo x f(x) = x para todo x [0, 1].Mesmo [0, 1].Mesmo sabendo sabendo

tratar-se de uma função que possui integral, no tratar-se de uma função que possui integral, no momento momento

ainda não temos recursos que facilitem calcular ainda não temos recursos que facilitem calcular estaesta

integral. Usaremos a definição e faremos uma integral. Usaremos a definição e faremos uma escolha escolha

para os números xpara os números x00, x, x11, x, x22, ..., x, ..., xnne  ae  a11, a, a22, ..., a, ..., an n dada

seguinte forma:  Dado n seguinte forma:  Dado n N tomemos  N tomemos 

Propriedades da integral definidaPropriedades da integral definida

*Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, *Se f(x) e g(x) são funções integráveis em [a, b] b]

e k e k R então f R então f(x) (x) g(x) são integráveis em g(x) são integráveis em

[a,b] e [a,b] e

*k.f(x) é integrável em [a, b] e *k.f(x) é integrável em [a, b] e

*Se f(x) *Se f(x) g(x), para todo x g(x), para todo x [a, b] então [a, b] então

*Se f(x) 0, para todo x [a, b] então

     

Definição 2:Definição 2:

2.2) Se f(x) é integrável em 2.2) Se f(x) é integrável em [a, b] então[a, b] então

Propriedade i) Sejam a, b, e c R, se

 

 Propriedade ii) O Teorema da Média

Se f(x) é contínua em [a, b] então existe pelo menos um número c [a, b] tal que

 

" Se f(x) 0, a área da região limitada pela curva y = f(x) e o eixo Ox é igual a área do retângulo de base [a, b] e altura f(c)"

Definição 3 ( Valor médio): f(c) é o valor médio de f em [a, b].

Propriedade iii) Propriedade iii)

Se f(x) é contínua em [a, b] então Se f(x) é contínua em [a, b] então

é uma primitiva de f(x). é uma primitiva de f(x).

Isto é, F´(x)= f(x).Isto é, F´(x)= f(x).

Prova:Prova:

)()()(

f(Z)d)(f

x)(-)x(

0

),(

XfZfLIMZfLIM

FF

XZ

XXZ

X

X

O Teorema fundamental do O Teorema fundamental do cálculocálculo

Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é Se f(x) é contínua em [a, b] e F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então uma primitiva qualquer de f(x) então

a)(-)b()()(fb

a

b

a

FFXFdxx

BXAFXF

AFCCAFCXF

X

A

A

A

X

A

)(-)(d)(f

)(-)(d)(f)(d)(f

Prova:

Proposição 1: Sejam J um intervalo e g: [a, b] J uma função com derivada contínua e f : J R uma função contínua. Então,

Propriedade i) Se f(x) é uma função par e contínua em [-a, a] então

Propriedade ii) Se f(x) é uma função ímpar e contínua em [-a, a] então

 

Propriedade iii) Se f(x) é uma função contínua em R e periódica de período T então para todo a Î R temos

Cálculo de áreas de figuras planas (coordenadas cartesianas)

 

Observação 1: Dada f(x) uma função contínua em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelo eixo Ox e pela curva y = f(x) e tal que a x b então

Observação 2: Dadas f e g funções contínuas em [a,b], se A é a área da região do plano cartesiano limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e tal que a x b então

Exemplo : Calcular a área da figura do plano limitada pelas curvas