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Índice del librowww.editex.es

Integrales definidas. Aplicaciones

1. Cálculo de áreas por el método

exhaustivo

2. Áreas de recintos planos

3. Integral definida

4. Teorema del valor medio

5. Teorema fundamental del cálculo

integral

6. Regla de Barrow

7. Área encerrada bajo una curva

8. Área encerrada por dos curvas

9. Volúmenes

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Integrales definidas. Aplicaciones1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo

Dividimos el intervalo [0, a] en n partes iguales o subintervalos de amplitud o longitud a/n, como se aprecia en la figura. Sobre cada uno de estos subintervalos construimos dos rectángulos, uno de altura igual a la ordenada del extremo inferior del subintervalo y otro de altura igual a la ordenada del extremo superior. Calculamos la suma de las áreas de estas dos familias de rectángulos, rectángulos superiores (S) y rectángulos inferiores (s).

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Integrales definidas. Aplicaciones1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo

El área A del recinto está comprendida entre s y S:

Utilizando la suma de los primeros cuadrados, obtenemos:

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Integrales definidas. Aplicaciones1. Cálculo de áreas por el método exhaustivo

Tomando límites cuando n→+∞, lo cual equivale a tomar infinitos subintervalos, obtenemos:

Por tanto, el área del recinto vale

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Integrales definidas. Aplicaciones2. Áreas de recintos planos

Vamos a aplicar el método utilizado por Arquímedes, el método exhaustivo, para calcular el área o superficie del recinto limitado por la gráfica de una función f, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = a y x = b. La función f es continua y definida positiva en el intervalo [a, b].

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Integrales definidas. Aplicaciones2. Áreas de recintos planos

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Integrales definidas. Aplicaciones3. Integral definida

Propiedades1. Si los límites de integración son iguales, la integral es nula:

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Integrales definidas. Aplicaciones3. Integral definida

Propiedades2. Si f es definida positiva en [a, b], la integral definida en este intervalo representa el área del recinto correspondiente, y la integral es positiva:

Si f es definida negativa en [a, b], el valor opuesto de la integral definidaen este intervalo representa el área del recinto correspondiente, y la integral es negativa:

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Integrales definidas. Aplicaciones3. Integral definida

Propiedades

Si f cambia de signo en el intervalo [a, b], la integral definida de f en esteintervalo representa la suma algebraica de las áreas de los recintos correspondientes.Es decir, la suma de las respectivas integrales definidas, afectadas del signo correspondiente, nos da el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = a y x = b, tal y comopodemos ver en la figura:

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Integrales definidas. Aplicaciones3. Integral definida

Propiedades3. Si c es un punto interior al intervalo [a, b], se verifica:

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Integrales definidas. Aplicaciones3. Integral definida

Propiedades4. Al intercambiar los límites de integración, la integral definida cambia de signo:

5. La integral definida de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de las integrales definidas de ambas funciones:

6. Si K es un número real, se verifica:

7. Si f(x) ≤ g(x) ∀x [∈ a, b], entonces se verifica:

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Integrales definidas. Aplicaciones4. Teorema del valor medio

Interpretación geométrica

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Integrales definidas. Aplicaciones5. Teorema fundamental del cálculo integral

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Integrales definidas. Aplicaciones6. Regla de Barrow

Cálculo de integrales definidas

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Integrales definidas. Aplicaciones7. Área encerrada bajo una curva

• Si f es definida positiva en [a, b], el área del recinto correspondiente es:

• Si f es definida negativa en [a, b], el área del recinto correspondiente es:

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Integrales definidas. Aplicaciones7. Área encerrada bajo una curva

• Si f cambia de signo en el intervalo [a, b], el área del recinto correspondiente es la suma de las integrales definidas afectadas de los respectivos signos:

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Integrales definidas. Aplicaciones8. Área encerrada por dos curvas

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Integrales definidas. Aplicaciones9. Volúmenes9.1. Volumen de un cuerpo de revolución generado por una función

Dada una función y = f(x) continua y definida en [a, b], si el recinto limitado por la gráfica de y = f(x) y el eje OX entre las abscisas a y b gira alrededor del eje citado, se engendra un cuerpo de revolución:

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Integrales definidas. Aplicaciones9. Volúmenes9.1. Volumen de un cuerpo de revolución generado por una función

• El área de la sección circular es A(x) = π · [f(x)]2.• Un elemento de volumen del cuerpo de revolución será un pequeño

cilindro de radio|f(x)|y altura dx. El volumen de este cilindro será π [f(x)]2 dx. El volumen del cuerpo de revolución, V, vendrá dado por:

Este procedimiento recibe el nombre de integración por discos.

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Integrales definidas. Aplicaciones9. Volúmenes9.2. Volumen de un cuerpo de revolución generado por dos funciones

• Si el recinto que gira está determinado por dos funciones continuas definidas en [a, b], con 0 ≤ f(x) ≤ g(x), y la rectas x = a y x = b, el volumen se calcula restando los volúmenes de revolución engendrados por los recintos de las funciones f y g.

• Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los cuerpos engendrados en cada uno de los subintervalos donde se pueda aplicar el procedimiento anterior.