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5 Integral Definida
Dada uma função contínua 0)( xfy , a área entre a curva e o eixo das abscissas e
as retas ax e bx , é chamada integral definida de f entre os limites a e b ba que
se escreve ( )b
af x dx .
Exemplo 1: Calcular a integral 2
02x dx .
A expressão ( )b
af x dx é chamada integral definida de f de a a b ; a é o limite inferior da
integração e b é o limite superior da integração.
A integral definida é um número, o qual representa a área abaixo da curva.
A integral indefinida é uma função, isto é, uma família de antiderivadas.
28
5.1 Teorema Fundamental do Cálculo
Se f não-negativa e contínua no intervalo fechado ba, , então:
b
af x F b F a , onde F é qualquer função tal que xfxF ' para todo x em
.,ba
O Teorema Fundamental do Cálculo indica uma maneira de calcular uma integral
definida, e não um processo para achar antiderivadas.
Ao aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, é conveniente utilizar a notação
aFbFxFdxxfb
a
b
a
.
A constante de integração C pode ser omitida porque
aFbFCCaFbFCaFCbFCxFdxxfb
a
b
a
.
Exemplos:
Cálculo de integrais definidas
a)
32
0
xe dx
b) 2
1
1dx
x
29
c)4
13 x dx
d) 16
1
1dx
x
5.2 Propriedades da integral definida
Sejam f e g contínuas no intervalo fechado ba, .
1)
b
a
b
a
dxxfKdxxKf , K é uma constante
2)
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
3)
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf , bca
4) 0a
a
dxxf
5)
a
b
b
a
dxxfdxxf
30
Exemplos:
a) dxxx
2
0
3 635
b)
4
1
3
3225 dx
xxx
5.3 Aplicações da integral definida
5.3.1 Cálculo de áreas
1o Caso:
28
Exemplo:
1. Encontre a área limitada pela curva 24 xy e o eixo dos x.
2o Caso:
b
a
dxxfA )(
Exemplo:
2. Encontre a área limitada pela curva 24 xy e o eixo dos x.
29
3. Encontre a área da região S, limitada pela curva xseny e pelo eixo dos x de
20 a .
3o Caso:
b
a
dxxgxfA )()(
Exemplos:
1. Encontre a área limitada por 2xy e 2 xy .
30
2. Encontre a área limitada pelas curvas 3xy e xy .
3. Encontre a área da região limitada pelas curvas 12 xy e 1 xy .
EXERCÍCIOS
Calcule as seguintes integrais definidas:
1) 10
811
2
1
3
dxxx
2) 4874
0
3
2
dxxx
3) 160
3112
1
6 dx
x
4) 5
8442
9
4
dttt
31
5) 3
2
13
11
0
dyy
6) 0cos4
3
4
dxxsenx
7) 253
22
9
1
13
2
dxx
x
8)
0
2
23
2
15
2
2dv
v
v
9) 3
2612
5
1
dxx
10)
4
1
3 36
5
1
1dx
xx
11) 4
2
0
2
dxxsen
12) 15
1161
3
0
dxxx
13) 64
15
1
cos2
0
5
dx
senx
x
14) 212
14
0
dxx
15) 2ln52
3125752
1
2
23
dxx
xxx
16) 2
9122
3
dtt
t
EXERCÍCIOS
Nos exercícios seguintes, ache a área da região sombreada:
32
1) 2( ) 6
( ) 0
f x x x
g x
2) 2( ) 2 1
( ) 2 5
f x x x
g x x
3)
2
3
( )
( )
f x x
g x x
4) 3( ) 3( )
( ) 0
f x x x
g x
5) 3( ) ( 1)
( ) 1
f x x
g x x
6)
2
2
( ) 4 3
( ) 2 3
f x x x
g x x x
7) ( )
( ) 0
xf x e
g x
33
Respostas:
1) 36 2) 32
3 3)
1
12 4)
3
2 5)
1
4 6) 9
7) e – 1