Cálculo 4

Aula 09

Prof. Gabriel Bádue

Integrais de Linha

✓ Integrais de Linha

• Século XIX

• Fluídos

• Forças

• Eletricidade

• Magnetismo

Dada uma curva plana 𝐶, com equações paramétricas

𝑥 = 𝑥 𝑡 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

e supondo que 𝐶 seja uma curva suave, isto é, 𝐫′ é contínua e 𝐫′(𝑡) ≠ 0,

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✓ Exemplo 1

Calcule a integral de linha, onde 𝐶 é a curva dada.

a) 𝐶 𝑥𝑦 𝑑𝑠, 𝐶: 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 2𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

b) 𝐶 𝑥𝑦4 𝑑𝑠 , 𝐶 é a metade direita do círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 16.

Integrais de linha de 𝑓 ao longo de 𝑪 com relação a 𝑥 e 𝑦.

Substituindo ∆𝑆𝑖 por ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ou ∆𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 na definição da integral de linha, obtemos

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✓ Exemplo 2

Calcule a integral de linha

න𝐶

𝑥𝑒𝑦𝑑𝑥

onde, 𝐶 é o arco da curva 𝑥 = 𝑒𝑦 de 0,1 a 𝑒, 1 .

Seja 𝐶 uma curva especial suave dada por r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. Aintegral de linha de 𝑓 ao longo de 𝐶 é

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✓ Exemplo 3

Calcule a integral de linha

න𝐶

𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑠

onde, 𝐶 é o segment de reta de (-1, 5, 0) a (1, 6, 4).

Qual o trabalho exercido por uma força 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤 ao mover umapartícula ao longo de uma curva suave 𝐶?

W = F D

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Se a curva 𝐶 é dada por r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, então T(t) = r(t)/|r(t)|

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✓ Exemplo 4

Calcule a integral de linha 𝐶 𝐅 ∙ 𝑑𝐫, onde

𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝐢 + y − z 𝐣 + 𝑧2𝐤, 𝐫 𝑡 = 𝑡2𝐢 + 𝑡3𝐣 + 𝑡2𝒌, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

✓ Exemplo 5

Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝐢 + (𝑦 + 2)𝐣

sobre um objeto que se move sobre um arco de cicloide 𝐫 𝑡 = (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝐢 +

(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝐣, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

✓ ExercíciosSTEWART, J. Cálculo, volume 2. Tradução da 7ª edição norte-americana

Seção 16.2

p. 952

Exercícios 1 ao 16, 19 ao 22, 39 ao 42.