Cálculo 4

Aula 12

Prof. Gabriel Bádue

Integrais de Linha

Motivação

• Século XIX

• Fluídos

• Forças

• Eletricidade

• Magnetismo

TeoriaDada uma curva plana 𝐶, com equações paramétricas

𝑥 = 𝑥 𝑡 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏

e supondo que 𝐶 seja uma curva suave, isto é, 𝐫′ é contínua e 𝐫′(𝑡) ≠ 0,

Teoria

Teoria

Exemplo 1

Calcule a integral de linha, onde 𝐶 é a curva dada.

a) 𝐶 𝑦3 𝑑𝑠, 𝐶: 𝑥 = 𝑡3, 𝑦 = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2

b) 𝐶 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑠 , 𝐶 é o segmento de reta que liga (0,3) a (4,6).

Teoria

Integrais de linha de 𝑓 ao longo de 𝑪 com relação a 𝑥 e 𝑦.

Substituindo ∆𝑆𝑖 por ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ou ∆𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 na definição da integral de linha, obtemos

Exemplo 2

Calcule a integral de linha

𝐶

𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦

onde, 𝐶 consiste nos segmentos de reta de (0,0) a 2,1 e de 2,1 a(3,0).

TeoriaSeja 𝐶 uma curva especial suave dada por r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k. Aintegral de linha de 𝑓 ao longo de 𝐶 é

Exemplo 3

Calcule a integral de linha

𝐶

𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑠

onde, 𝐶: 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = −2𝑐𝑜𝑠𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.

TeoriaQual o trabalho exercido por uma força 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤 ao mover umapartícula ao longo de uma curva suave 𝐶?

W = F D

TeoriaSe a curva 𝐶 é dada por r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, então T(t) = r(t)/|r(t)|

Exemplo 3

Calcule a integral de linha 𝐶 𝐅 ∙ 𝑑𝐫, onde

𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦𝐢 + 3𝑦2𝐣, 𝐫 𝑡 = 11𝑡4𝐢 + 𝑡3𝐣, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

Aplicação

Determine o trabalho realizado pelo campo de força 𝐅 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝐢 + (𝑦 + 2)𝐣sobre um objeto que se move sobre um arco de cicloide 𝐫 𝑡 = (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝐢 +(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝐣, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.