curva verdadeira
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4. ELASTICIDADE E PLASTICIDADE
4.1. RELAÇÕES ELÁSTICAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO
Até o momento o conceito de tensão e deformação tem sido completamente geral e aplicávela qualquer meio continuo. Buscando relacionar o tensor tensão, com o tensor deformação é
necessário introduzir as propriedades do material. Essas equações são denominadas equações
constitutivas e inicialmente aplicaremos a um material sólido elástico.
A lei de Hooke generalizada relaciona as tensões às deformações pequenas na região
elástica. A suposição é que as tensões são funções lineares das deformações, e as tensões e as
deformações são colineares. Essa condição é dada pela equação do tensor desviante:
' '1
2.ij ijG
σ ∈ = (130)
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∈−∈
∈−∈
∈−∈
m z yz xz
yzm y xy
xz xym x
m z yz xz
yzm y xy
xz xym x
G
σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
γ γ
γ γ
γ γ
.2
1
22
22
22
(131)
Onde:2(1 )
E G
ν = =
+módulo de rigidez
E = módulo de Young;
ν = módulo de Poisson.
3
3
z y x
m
z y x
m
σ σ σ σ
++=
∈+∈+∈=∈
Desenvolvendo a equação (131) obtém-se para um sólido isotrópico as relações elásticas
tensão-deformação, na sua forma usual, como:
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[ ])(E
1 z y x x σ σ ν σ +−=∈ (a)
[ ])(E
1 z x y y σ σ ν σ +−=∈ (b)
[ ])(E1
y x z z σ σ ν σ +−=∈ (c) (132)
xy xy
G
σ γ = (d)
yz yz
G
σ γ = (e)
xz xz G
σ
γ = (f)
Para o caso da tensão simples onde 0== z y σ σ , (132) reduz-se a fórmula elementar de
Lei de Hooke:
x x
E
σ ∈ = , .y x
E
ν σ ∈ = − e .z x
E
ν σ ∈ = − (133)
Uma nova constante, o módulo de compressibilidade cúbica ou módulo de elasticidade
volumétrica k, é definido:
1m p k
σ
β
−= = =
∆ ∆ (134)
Onde –p é a pressão hidrostática e β é a compressibilidade.
Se somarmos as equações (132-a), (132-b) e (132-c); tem-se:
1 2( )
1 2.3
x y z x y z
m
E
E
ν σ σ σ
ν σ
−∈ + ∈ + ∈ = + + ∴
−∆ = ∴
3.(1 2 ) 3.(1 2 )m E E
k k σ
ν ν = = ∴ =
∆ − − (135)
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4.1.1. Energia de Distorção Elástica ( Elastic Shear Distorcion Energy)
A energia de distorção de um material, por unidade de volume, para uma deformação geral é
dada como:
( )( ) ( )( )1
.2
D x m x m y m y m xz xz U σ σ σ σ σ ⎡ ⎤= − ∈ − ∈ + − ∈ − ∈ + + ∈⎣ ⎦K (136)
Desenvolvendo (136), considerando (132), (134) e (135) obtém-se:
( ) ( ) ( )
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+++
−+−+−
=222
222
62
1 xz yz xy
z x z y y x
DGU σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
(137)
Substituindo (57) em (137), vem:
2 216. .
6.D D U G U
G σ σ = ∴ = (138)
Logo, σ é proporcional a raiz quadrada da energia de distorção elástica.
4.1.2. Anisotropia do Comportamento Elástico
A lei de Hooke pode ser apresentada de uma forma mais geral considerando o fato de que as
constantes elásticas de um cristal variam com a direção como:
klijklijS σ .=∈ e, (139)
klijklij C ∈= .σ (140)
onde Sijkl é o tensor “compliance” e Cijkl é a rigidez elástica. Sijkl e Cijkl são quantidades tensoriais de
4ª ordem [a expansão de (139) e (140) define 81 constantes]. Como sabe-se que σij e εij são tensores
simétricos, isto é, εij = ε ji e σij = σ ji, tem-se:
.ij ijkl kl S σ ∈ = , ou .ij ijlk lk S σ ∈ = ∴
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lk ijlk klijkl SS σ σ .. = e lk kl σ σ = (a)
ou .ij ijkl kl S σ ∈ = , ou . ji jikl kl S σ ∈ = ∴ (141)
jiklijkl SS = e ij ji ∈ =∈ (b)
Portanto, devido à simetria dos tensores tensão e deformação, somente 36 componentes
tensoriais “compliance” são termos independentes e distintos. O mesmo acontece com o tensor
rigidez elástica.
A convenção usual para designar os componentes do tensor “compliance” elástico e rigidez
elástica utiliza apenas dois subíndices em vez de quatro e é denominada notação reduzida. Os
subíndices somente denotam a linha e a coluna da matriz dos componentes a que eles pertencem.
Assim expandindo-se (139) e (140), tem-se:
11 11 11 12 22 13 33 14 23 15 13 16 12
22 21 11 22 22 23 33 24 23 25 13 26 12
33 31 11 32 22 33 33 34 23 35 13 36 12
23 41 11 42 22 43 33 44 23 45 13 46 12
13 51 11 52 22 5
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C
C C C
σ γ γ γ
σ γ γ γ
σ γ γ γ
σ γ γ γ
σ
= ∈ + ∈ + ∈ + + +
= ∈ + ∈ + ∈ + + +
= ∈ + ∈ + ∈ + + +
= ∈ + ∈ + ∈ + + += ∈ + ∈ + 3 33 54 23 55 13 56 12
12 61 11 62 22 63 33 64 23 65 13 66 12
C C C
C C C C C C
γ γ γ
σ γ γ γ
∈ + + +
= ∈ + ∈ + ∈ + + +
(142)
e
11 11 11 12 22 13 33 14 23 15 13 16 12
22 21 11 22 22 23 33 24 23 25 13 26 12
33 31 11 32 22 33 33 34 23 35 13 36 12
23 41 11 42 22 43 33 44 23 45 13 46 12
13 51 11 52 22 5
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
γ σ σ σ σ σ σ
γ σ σ
∈ = + + + + +
∈ = + + + + +∈ = + + + + +
= + + + + +
= + + 3 33 54 23 55 13 56 12
12 61 11 62 22 63 33 64 23 65 13 66 12
S S S
S S S S S S
σ σ σ σ
γ σ σ σ σ σ σ
+ + +
= + + + + +
(143)
Em geral, Cij = C ji e Sij = S ji. Das 36 constantes Cij restam 30 onde i ≠ j, já que existem seis
destas onde i = j, mas apenas a metade destas são constantes independentes, já que Cij = C ji. Logo,para um sólido elástico linear anisotrópico geral, existem 30/2 + 6 = 21 constantes elásticas
independentes.
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4.1.2.1. Lei de Hooke generalizada
Em notação compacta pode-se escrever:
jiji C ∈=σ (144)
onde: i, j = 1, 2 .......,6 Cij = matriz rigidez (stiffness matrix)
4.1.2.2- Comparação entre a notação do tensor e a notação compacta (contracted) para tensões e
deformações.
Tensões DeformaçõesNotação de Tensor Notação Compacta Notação de Tensor Notação Compacta
σ11 σ1 ∈11 ∈1
σ22 σ2 ∈22 ∈2 σ33 σ3 ∈33 ∈3
σ23 σ4 γ23 = 2∈23 ∈4
σ31 σ5 γ31 = 2∈31 ∈5
σ12 σ6 γ12 = 2∈12 ∈6
4.1.2.3- Simetria da matriz rigidez e da matriz “compliance”.
O trabalho incremental das forças internas por unidade de volume é definido como:
ii d dW ∈= σ (145)
Substituindo (144) em (145), vem:
i jij d C dW ∈∈=
Integrando-se tem-se:
jiijC W ∈∈=
Derivando-se W em relação a ∈i , vem: jiji
C W
∈=∈∂
∂
Derivando-se novamente W em relação a ∈ j , obtém-se: ij ji
C W
=∈∂∈∂
∂2
Pode-se mudar a ordem dos índices de tal forma que: ji
i j
C W
=∈∂∈∂
∂ 2
Logo, jiij C C = (matriz simétrica). De forma similar ijS é também uma matriz simétrica.
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4.1.2.4- Relações tensão - deformação.
I) Considerando o material ortotrópico:
Um material ortotrópico possui dois planos ortogonais de propriedades de simetria. Existirásimetria a um terceiro plano mutuamente ortogonal. Exemplos de materiais ortotrópicos: chapas
metálicas laminadas a frio com elevada textura, plásticos reforçados com fibra de vidro (“composite
materials”), compensado, etc.
Se os eixos ortogonais x,y e z são os eixos de simetria ortotrópica, então uma rotação de
180° em torno do eixo z, seguida por outra em torno do eixo x, reduz a matriz rigidez elástica e
“compliance”, definidas respectivamente por (142) e (143), de 21 constantes independentes para 9
constantes independentes; e as relações tensão-deformação para um material ortotrópico são dadaspor:
12
31
23
3
2
1
66
55
44
332313
232212
131211
12
31
23
3
2
1
0000000000
00000
000
000
000
γ γ
γ
σ σ
σ
σ
σ
σ
∈
∈
∈
=
C C
C
C C C
C C C
C C C
(146)
e
12
31
23
3
2
1
66
55
44
332313
232212
131211
12
31
23
3
2
1
0000000000
00000
000
000
000
σ
σ
σ
σ
σ
σ
γ
γ
γ
S
S
S
SSS
SSS
SSS
=∈
∈
∈
(147)
II) Considerando o material transversalmente isotrópico:
Dois planos ortogonais de propriedades de simetria produzem um material ortotrópico. Se
um dos planos ortogonais torna-se isotrópico, então esse é chamado transversalmente isotrópico.
Uma lâmina de material composto é caracterizada como tendo um plano isotrópico. O plano
que é perpendicular a direção das fibras é suposto ser isotrópico. Logo, a lâmina de um material
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composto é considerada como ortotrópica e transversalmente isotrópica com simetria hexagonal, e é
caracterizada por cinco constantes independentes; sendo as relações tensão-deformação para um
material transversalmente isotrópico dadas por:
12
31
23
3
2
1
66
44
44
331313
132212
131211
12
31
23
3
2
1
00000
00000
00000
000
000000
γ
γ
γ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
∈
∈∈
=
C
C
C
C C C
C C C
C C C
(148)
onde, )(2
1121166 C C C −= e
12
31
23
3
2
1
66
44
44
331313
131112
131211
12
31
23
3
2
1
00000
00000
00000
000
000
000
σ
σ
σ
σ
σ
σ
γ
γ
γ
S
S
S
SSS
SSS
SSS
=∈
∈
∈
(149)
onde, )(2 121166 SSS −=
III) Considerando o material isotrópico:
Uma lâmina de material composto pode ser fabricada através de váriso métodos, sendo que
algumas podem produzir materiais compostos com propriedades isotrópicas, tal como, orientação
ao acaso da lâmina. Assim, há um número infinito de planos de simetria definindo o material
isotrópico, o qual é caracterizado por duas constantes independentes; sendo as relações tensão-
deformação para um material isotrópico dadas como:
12
31
23
3
2
1
66
66
66
111212
121112
121211
12
31
23
3
2
1
00000
00000 00000
000
000
000
γ
γ γ
σ
σ σ
σ
σ
σ
∈
∈
∈
=
C
C C
C C C
C C C
C C C
(150)
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onde, )(2
1121166 C C C −= e
12
31
23
3
2
1
66
66
66
111212
121112
121211
12
31
23
3
2
1
00000
00000
00000000
000
000
σ
σ
σ
σ
σ
σ
γ
γ
γ
S
S
S
SSS
SSS
SSS
=∈
∈
∈
(151)
onde, )(2 121166 SSS −=
Observação: Cij, não é simplesmente a recíproca de Sij, mas deve ser determinado pela
inversão da matriz Sij.
Comparando (132) e (151) torna-se aparente que:
111
S E
= , 12S E
ν = − e
GS
166 = (152)
Como:66 11 12
1 1 1
2.(1 ) 2.(1 ) 2.( )
E G G
E E S S S ν ν = = ⇒ = = ∴
+ + −
).(2 121166 SSS −=
Sendo as relações tensão-deformação em termos dos módulos elásticos mais comuns, para
um material isotrópico dadas como:
1
2
3
23
31
12
1
1
0
0
0
E
ν
ν
γ
γ
γ
∈
∈ −∈ −
=
0
0
0
1
ν
ν
−
−
0
0
0
1
ν
ν
−
−
0
0
)1(2
0
0
0
ν +
0
)1(2
0
0
0
0
ν +
12
31
23
3
2
1
)1(2
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ν +
(153)
ou
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70
12
31
23
3
2
1
12
31
23
3
2
1
2
2100000
02
210000
00221000
0001
0001
0001
γ
γ
γ
ν
ν
ν
ν ν ν
ν ν ν
ν ν ν
ν ν
σ
σ
σ
σ
σ
σ
∈
∈
∈
−
−−
−
−
−
+= )2-)(1(1
E
(154)
4.1.2.5. Relações tensão-deformação para tensão plana em um material ortotrópico
Para uma lâmina no plano 1-2, um estado de tensão plana é definido por:
03 =σ , 023 =σ e 031 =σ (155)
Para materiais ortotrópicos, (155) em (147) implica nas seguintes deformações:
3 13 1 23 2S S σ σ ∈ = + , 023 =γ e 031 =γ (155-a)
Logo as relações tensão-deformação reduzem-se a:
1 11 12 1
2 12 22 2
12 66 12
0
0 .0 0
S S
S S S
σ
σ
γ σ
∈ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Em termos de constantes de engenharia, vem:
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1 11
1.
E σ ∈ = e 12
2 11
.E
ν σ ∈ = − ⇒ 2
121
ν ∈
= −∈
012 =γ
Assim; 111
1S E = ; 1212
1S E
ν
= −
2 22 1
2121 2
1 22
1.
.
E
E
σ
ν ν
σ
⎫∈ = ⎪ ∈⎪⇒ = −⎬
∈⎪∈ = −⎪⎭
Logo:2
221
E=S ;
1
1212
Eν −=S e
1266
1G
S = , onde)1.(2 12
112
ν += EG
Observação: Notar que há apenas 4 constantes elásticas independentes: 121221 ,,, Gν EE
4.2. TEORIA DA PLASTICIDADE
A teoria da plasticidade estuda o comportamento dos materiais a níveis de deformações
em que já não se verifica a Lei de Hooke.
A deformação plástica não é, por exemplo, um processo reversível como a deformação
elástica. A deformação elástica depende apenas dos estados inicial e final da tensão e deformação,
enquanto que a deformação plástica depende da maneira segundo a qual é exercida a solicitação
mecânica para se atingir o estado final (ou seja, história do processo de deformação). Além disso,
não há na deformação plástica uma constante facilmente mensurável relacionando tensão-
deformação; como o módulo de elasticidade longitudinal (módulo de Young) na deformação
elástica. Da mesma forma diversos aspectos do comportamento real dos materiais, tais como
anisotropia plástica, histerese elástica, efeito Bauschinger não podem ser facilmente tratados.
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4.2.1. Natureza Fenomenológica da Teoria da Plasticidade.
As teorias da elasticidade e plasticidade descrevem a mecânica da deformação da maioria
dos sólidos em engenharia.
Ambas teorias, quando aplicadas aos metais e ligas metálicas, são baseadas em estudosexperimentais das relações entre tensão e deformação em um agregado policristalino sob condições
de carregamento simples. Assim, as teorias são de natureza fenomenológica, sob a escala
macroscópica, contudo associadas a um pouco de conhecimento das estruturas dos metais. É bem
conhecido o fato que cristais simples deformam-se por deslizamento ao longo de certos planos
cristalográficos, em certas direções cristalográficas quando a componente da tensão de cisalhamento
ao longo dessas direções alcança um valor crítico. Isso significa que um certo estado de tensão
produz uma tensão de cisalhamento crítica e está associada a um incremento de deformação.
4.2.2. Curva de Escoamento
A curva de tensão-deformação obtida por carregamento uniaxial, como ensaio simples de
tração, é de importância fundamental na plasticidade quando apresentada em termos de tensão
verdadeira, σ e deformação verdadeira ε. Isto porque se baseia em medidas instantâneas sobre as
dimensões de um corpo de prova.
A curva tensão-deformação verdadeira para um metal tipicamente dúctil é dada como:
Figura 36 – Curva tensão-deformação verdadeira de um material tipicamente dúctil.
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A Lei de Hooke é obedecida até uma determinada tensão σ0 (o valor de σ0 dependerá da
precisão com que é medida a deformação). Além de σ0 o metal deforma-se plasticamente. A
maioria dos metais encrua nesta região, assim sendo, maiores deformações necessitam valores mais
altos de tensão que σ0, a tensão inicial de escoamento. Se o metal for deformado até o ponto A,
quando a carga é retirada a deformação total decrescerá imediatamente de um valor σ /E, de ε1 para
ε2. O decréscimo de deformação (ε1 - ε2) é a deformação elástica recuperável.
No entanto, a deformação remanescente não é toda ela deformação plástica permanente.
Dependendo do metal e da temperatura desaparecerá com o tempo uma pequena quantidade de
deformação plástica (ε2 - ε3). Isto é conhecido como comportamento anelástico do material. A
deformação anelástica é geralmente desprezada nas teorias matemáticas da plasticidade.
Normalmente a curva tensão-deformação, no descarregamento a partir de uma deformação
plástica, não será exatamente linear e paralelo à porção elástica da curva de escoamento. Além
disso, ao se recarregar, a curva geralmente irá dobrar-se à medida que a tensão aproximar-se do
valor original no qual ocorreu o descarregamento. Após uma pequena deformação plástica
adicional, a curva tensão-deformação torna-se uma continuação daquela que seria obtida caso não
houvesse ocorrido o descarregamento. O anel de Histerese resultante do descarregamento e
carregamento de um metal em deformação plástica é geralmente desprezado nas teorias de
plasticidade.
Figura 37 - Histerese elástica de um material (Anel de Histerese).
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74
Figura 38 – Efeito Bauschinger.
Se um corpo de prova for deformado plasticamente além do limite de escoamento segundo
uma direção, em tração, e depois descarregado até a tensão zero e então recarregado na direção
oposta, em compressão, o limite de escoamento em compressão será inferior ao de tração, ou seja;
σc<σt. Esta dependência da tensão de escoamento com o caminho e direção do carregamento échamado de Efeito Bauschinger. O efeito Bauschinger normalmente é ignorado na teoria da
plasticidade, e usualmente considera-se que os limites de escoamento em tração e em compressão
sejam iguais em módulo.
“A curva tensão-deformação verdadeira é chamada freqüentemente de curva de
escoamento, porque ela fornece a tensão necessária para causar o escoamento plástico do metal a
qualquer nível de deformação”.
Várias tentativas foram feitas no sentido de ajustarem-se equações matemáticas a
curva tensão-deformação verdadeira do metal. A mais comum é a expressão potencial da forma:
(“Equação de Hollomon”)
nK ∈= .σ (155-c)
onde: K – é o coeficiente de resistência do material definido para ln∈ = 1,0 e;
n – o coeficiente de encruamento do material, é a inclinação do gráfico ∈lnln xσ
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75
da equação potencial.
Esta equação só é válida no começo do escoamento plástico até a carga máxima, na qual o
corpo de prova inicia a formação de estricção.
Mesmo a simples equação (155-c), pode resultar numa considerável complexidade
matemática quando usada com as equações da teoria da plasticidade. Desta forma, é comumempregarem-se curvas de escoamento idealizadas que simplifiquem o tratamento matemático, não
se desviando muito da realidade física.
4.2.2.1. Curvas de escoamento idealizadas.
a-) Material perfeitamente elástico.
b-) Material rígido perfeitamente plástico.
c-) Material rígido com encruamento linear.
d-) Material elástico perfeitamente plástico.
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e-) Material elástico com encruamento linear.
4.2.2.2. Equações empíricas da curva tensão-deformação.
a-) Hollomon: nK ε σ .= (materiais recozidos)
b-) Ludwik: nK ε σ σ .0 +=
Observação: quando hard Aln 211⇒=
c-) Swift: nK ).( 0ε ε σ +=
Onde: ε0 – encruamento inicial do material
Equação bastante realista, aplicável para deformações grandes; difícil manipulação.
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77
d-) Voce: )].exp(1)[( ε σ N K M K −−−+=
Boa para chapas metálicas, difícil manipulação. Materiais que apresentam comportamento
signoidal (forma de S).
e-) Praga: ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
'0
0.
σ
ε σ σ
E tgh
Esta curva tem um módulo tangente de E para deformação zero e aproxima-se de σ0
assintoticamente a uma rápida taxa .
f-) Ramberg-Osgood:n
K E
1
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +=σ σ
ε
Onde: K = (“reference stress valve”); E = (“Young´s modulus”); n = (“strain-hardening
exponent”).
4.2.3. Tensão Verdadeira e Deformação Verdadeira.
A curva tensão–deformação de engenharia ou convencional, não apresenta uma informação
real das características de deformação do material. Isto porque baseia-se inteiramente nas
dimensões originais do corpo de prova, as quais são continuamente alteradas durante o ensaio. Nos
processos de conformação as peças apresentam de modo análogo variações sensíveis na área da
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78
seção transversal. Assim sendo, são necessárias medidas de tensão e deformação que baseiem-se
nas dimensões a cada instante. Na deformação elástica as variações dimensionais são pequenas, o
que torna desnecessário dentro desse campo essas considerações.
A equação que descreve o conceito convencional de deformação linear unitária que significa
a variação de comprimento em relação ao comprimento unitário original, é dada como:
∫ =∆
=L
LdL
L L
Le
000
1 (156)
Esta definição de deformação é satisfeita para deformações elásticas onde ∆l é muito
pequeno. Contudo, as deformações associadas à deformação plástica podem ser muito grandes,
ocasionando variações consideráveis no comprimento do corpo de prova durante o ensaio. Ludwick,
foi o primeiro a propor a definição de deformação verdadeira, ou deformação natural ε, na qual
evita-se esse fato.A variação do comprimento é relacionada ao comprimento instantâneo do corpo de prova
em vez do comprimento original, e é dada como:
K+−
+−
+−
∈= ∑2
23
1
12
0
01
L
L L
L
L L
L
L Lou,
∫ ∈=∴∈=L
L L
L
L
dL
00
ln (157)
4.2.3.1. Relação entre deformação verdadeira e deformação convencional.
De (156), sabe-se que:
)1(1000
0
0
e L
L
L
L
L
L L
L
Le +=∴−=
−=
∆= (158)
Considerando (158) em (157), tem-se: )1ln( e+∈=
A titulo de comparação são fornecidos valores de deformação verdadeira e deformaçãoconvencional:
Def. Verdadeira 0,01 0,05 0,10 0,20 0,50 1,00 4,00
Def. convencional 0,01 0,05 0,105 022 0,65 1,72 53,60
Observa-se que as duas medidas de deformação fornece valores idênticos até uma
deformação de 0,1.
4.2.3.2. Características da deformação verdadeira.
A vantagem da utilização da deformação verdadeira torna-se patente a partir de duas
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considerações:
a) Considerando um cilindro uniforme, o qual seja tracionado o dobro do seu comprimento
original, tem-se:
%100120
0
0
00
0
=∴==−=∆= e L L
L L L
L Le
Para atingir-se a mesma quantidade de deformação em compressão o cilindro teria de ser
comprimido até a espessura zero. No entanto intuitivamente espera-se que a deformação produzida
ao comprimir-se o cilindro a metade do seu comprimento original seja a mesma, com sinal
contrário, necessária para tracioná-lo ao dobro do seu valor. Obtém-se essa equivalência, através do
uso da deformação verdadeira, onde no caso da tração tem-se:
2ln2ln0
0 =∈= L
L
Para compressão a metade do comprimento inicial, tem-se:
2ln2
1ln
2ln
0
0 −==∈= L
L
b) As deformações verdadeiras são aditivas, as convencionais não são:
b1) deformação convencional
75,075,1
62,017,020,025,0
17,050,1
50,175,120,0
25,1
25,1025,125,0
25,1
0
00321
0
003
0
002
0
001
=−
==++=++
=−
==−
==−
=
L
L Lee
L
L Le
L
L Le
L
L Le
t ε ε
⇒++≠ 321 eeeet As deformações de engenharia não são aditivas.
1,25
Lo
1,50
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80
b2) deformação verdadeira
56,075,1ln75,1ln
56,075,1ln50,175,1ln
25,150,1ln25,1ln
50,1
75,1ln
50,1
75,1ln
25,1
50,1ln
25,1
50,1ln25,1ln
25,1ln
0
0
321321
0
03
0
02
0
01
≅==∈
≅=∈+∈+⇒∈++=∈+∈+∈
==∈==∈==∈
L
L
L
L
L
L
L
L
t
Então: ⇒∈+∈+=∈∈ 321t As deformações verdadeiras são aditivas.
4.2.3.3. Volume constante.
Uma das características básicas da deformação plástica é o fato de um metal ser
essencialmente incompressível Supõe-se que dentro da região plástica o volume mantenha-se
constante.
Sabe-se do item 1.2.11 (deformação volumétrica) que, quando V0=Vf ,vem:
∴+++= )1)(1)(1( z y x eeedxdydzdxdydz
1)1)(1)(1( =+++ z y x eee (160)
Sabe-se que:
)1ln()1(
ln
00
0
0
x x x x
x x
ee x
x
x
x xe
x
x
x
dxd
+=∴∈+=∴−
=
=∴∈=∈
(161-a)
De modo análogo para εy e εz tem-se respectivamente:)1ln( y y e+=∈ e )1ln( z z e+=∈ (161-b)
Logaritmizando (160) e considerando (161), vem:
0321 =∈+∈+=∈∈+∈+∈ z y x (162)
A equação (162), representa o primeiro invariante do tensor deformação quando a
deformação é expressa em termos de deformação verdadeira. Deve-se observar particularmente
que a equação (162) não é válida para as deformações elásticas uma vez que existe uma apreciável
variação de volume relativo à grandeza das deformações elásticas.
Sabe-se que:
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81
)(E
21 z y x z y x σ σ σ
ν ++
−=∈+∈+=∈∆
Onde para: ∆=0; ν tem que ser igual a 1/2.
Segundo esse resultado, para um material plástico para o qual ∆=0 o coeficiente de Poisson
é igual a 1/2. As expressões do volume constante apresentam erros da ordem de 30% paradeformação de 2% e de 0,1% para deformação da ordem de 100%.
Em virtude do volume constante L A L A .. 00 = , a equação (157), pode ser escrita como:
t
t
A
A
L
L 00
0
lnlnln ==∈= (163)
A tensão verdadeira é a carga a cada instante dividida pela área da seção transversal sobre a
qual ela é aplicada. A tensão de engenharia ou convencional é a carga dividida pela área inicial.
Logo, a tensão verdadeira é dada como:
A
P=σ (164)
e a tensão de engenharia é dada como:
0 A
PS = (165)
A tensão verdadeira pode ser determinada a partir da tensão de engenharia como:
A
A
A
p
A
A
A
p 0
00
0 .. ==σ (166)
Mas pela relação do volume constante
)1(0
0
e A
A
L
L+== (167)
Substituindo (167) em (166), vem:
)1()1(0
eSe AP +=+=σ (168)
4.2.4. Critérios de Escoamento.
Teorias de escoamento: Compara-se um dado de tração com um valor obtido por uma
expressão envolvendo as tensões de um dado complexo.
Em termos de tensões calcula-se σ e este valor é comparado com 0σ , para definir oescoamento.
Informações que as teorias de escoamento fornecem:
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- ),,( 321 σ σ σ σ f = ;
- σ , é independente do estado de tensão que age sobre o material. É uma propriedade
invariante do material;
- σ , é denominado tensão efetiva ou “flow stress”, tensão verdadeira, etc;
- Uma deformação plástica ocasiona no material o encruamento (“strain-hardening”).
Os critérios de escoamento são relações essencialmente empíricas; contudo, um critério deve
ser consistente com certas observações experimentais. Dentre estas, a mais importante é o fato de
não haver escoamento num sólido continuo quando submetido simplesmente à pressão hidrostática
(por volta de 258 Kg/mm2 ou 2500 atm).
Além disso, para um material isotrópico, o critério de escoamento deve independer da
escolha dos eixos, isto é, deve ser função invariante. Estas considerações levam a conclusão de que
o critério de escoamento deve ser uma função dos invariantes da tensão desvio. Dois são oscritérios importantes para a previsão do inicio do escoamento sob tensões combinadas em metais:
critério de Von Mises e critério de Tresca.
a) Critério de Von Mises (critério da energia da distorção máxima).
Von Mises (1913-) propôs que o escoamento se daria quando o segundo invariante da tensão
desvio, I2´
, excedesse um determinado valor critico ou, a energia de distorção elástica atingisse umcerto valor critico:
GU Dt .6
20σ
=
Sabe-se que:
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]212
312
322
210
202
312
322
21
21
.6.12
1
σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ σ
−+−+−=
=−+−+−=GG
U D
2'2 K I = (169)
Onde de (54), ( ) ( ) ( )[ ]231
232
221
'2 6
1σ σ σ σ σ σ −+−+−= I
Para avaliação da constante K, relaciona-se a mesma ao escoamento num ensaio de tração
simples, onde tem-se:
01 σ σ = , 032 == σ σ (170)
Substituindo (170) em (169), considerando '2 I , vem:
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K K .3.6 020
20
2 =⇒+= σ σ σ (171)
Levando (171) em (169) considerando '2 I obtém-se a forma usual do critério de Von Mises:
( ) ( ) ( )[ ]2
12
312
322
210
2
1σ σ σ σ σ σ σ −+−+−= (172)
Ou em termos de componentes de um estado geral de tensões tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2
1222222
0 .62
1 xz yz xy z x z y y x σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ +++−+−+−= (173)
Determina-se a constante K através de (169) considerando o estado de tensão em
cisalhamento puro, como produzido num ensaio de torção, onde tem-se:
τ σ σ =−= 31 , 02 =σ (174)
Logo, no escoamento substituindo (174) em (169) vem:
K K =∴++= 121
21
21
2 .4.6 σ σ σ σ (175)
Assim, K representa o limite de escoamento para cisalhamento puro (torção). Daí, o critério
de Von Mises prediz que o limite de escoamento em torção será menor que em tração axial,
porque:
00 577,03
σ σ ==K (176)
Observação: “É importante notar que o escoamento segundo o critério de Von Mises não
depende de uma tensão normal ou cisalhante particular, mas sim de uma função dos valores
quadráticos das três tensões cisalhantes principais. Uma vez que o critério de escoamento é
baseado em diferença de tensões normais, 21 σ σ − , etc, ele independe da componente de tensões
hidrostáticas. Visto que envolve somente termos quadráticos o critério de Von Mises apresenta um
resultado que independe dos sinais de cada tensão. Esta é uma das vantagens importantes visto quenão é necessário saber qual a maior ou menor tensão principal para que se possa aplica-lo.”
b) Critério de Tresca (teoria do cisalhamento máximo).
Tresca propôs que o escoamento sob tensão combinada ocorreria quando a tensão de
cisalhamento máximo atingisse o valor da tensão de cisalhamento no escoamento sobre tração
uniaxial. A tensão de cisalhamento máxima é dada pela equação (64), onde:
231 σ σ
τ −
=máx (177)
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Onde σ1 e σ3 são, respectivamente as tensões principais algebricamente maior e menor.
Observação: “Nota-se que, matematicamente, este último critério é menos complicado que o
critério de Von Mises e por essa razão é bastante usado em projetos de engenharia. Contudo, o
mesmo não leva em consideração a tensão principal intermediária; logo, sua maior dificuldade está
no fato de ter que saber, a priori, quais são as tensões principais máxima e mínima. Além disso, ofundamento matemático do critério de Tresca é muito mais complicado que o critério de Von
Mises, razão pela qual é o mais preterido na maioria dos trabalhos teóricos.”
I. Pelo critério de Tresca
231 σ σ
τ −
=máx
Para tração uniaxial 01 σ σ = , 032 == σ σ , e a tensão de cisalhamento no escoamento ι0
é igual a σ0 /2, onde:
01031
00
31
22σ σ σ σ σ
σ τ
σ σ τ
=∴=−
==−
=máx
Para um estado de cisalhamento puro, τ σ σ =−= 31 , 02 =σ , onde:
2.20031
σ τ σ τ σ σ =∴==−
Assim o critério de Tresca, pode ser escrito como:
τ σ σ σ σ .2'3
'131 =−=−
II. Pelo critério de Von Mises
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2
1222222
.62
1 xz yz xy z x z y y x σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ +++−+−+−=
ou, ( ) ( ) ( )[ ]2
12
312
322
212
1σ σ σ σ σ σ σ −+−+−=
Para tração uniaxial: 01 σ σ = , 032 == σ σ , vem:
[ ] 102
1210 .2
2
1σ σ σ σ σ =∴==
Para um estado de cisalhamento puro: τ σ σ =−= 31 , 02 =σ vem:
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85
[ ] [ ]
3.3
.62
1.4
2
1
00
2
12
1222
0
σ τ τ σ
τ τ τ τ σ
=∴=
=++=
Logo o critério de Von Mises prevê que o limite de escoamento em torção será menor que
em tração uniaxial.
c) Superpondo Tresca e Von Mises
Pelo fato do critério de Tresca ser interno é mais conservativo (o material por Tresca
pode ter escoado o que ainda não ocorreu por Von Mises).
d) Máxima diferença entre Tresca e Von Mises (ocorre em cisalhamento puro)
Tresca: ( ) 2 / 2 310 σ σ σ τ −==T
Von Mises: 3 / 0σ τ =VM
%1515,13
2
2
3
0
0 ≈≅==σ
σ
τ
τ
T
VM