história e aplicações das funções exponencial e logaritmica
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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL
ÁREA DE TECNOLOGIA E COMPUTAÇÃO
HISTÓRIA E APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES: EXPONENCIAL E
LOGARITMICA
Douglas Milan Tedesco
Professora: Carmen Teresa Kaiber
Disciplina: Calculo III (Turma 4N)
Canoas, 25 de Junho de 2014
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1. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1.1. História da Função Logarítmica
O surgimento dos logaritmos se deu durante o final do século XVI devido a
necessidade do homem em desenvolver técnicas para efetuar cálculos na resolução
de problemas na astronomia e na navegação, pois os problemas exigiam cálculos
aritméticos muito complexos para a época (SILVA, 2013).
Diversos matemáticos contribuíram na construção dos logaritmos, porém,
quem impulsionou fortemente seu desenvolvimento foi John Napier (1550-1617), um
nobre teólogo escocês, que não era matemático profissional, mas tinha a
matemática como lazer. Seu interesse era por alguns aspectos da computação e
trigonometria, especialmente estudos relacionados a simplificação de cálculos
(SILVA, 2013).
Napier elaborou uma tábua de logaritmos com o objetivo de simplificar as
operações, principalmente a de produtos e quocientes. Além de Napier, o suíço
Joost Biirgi (1552-1632), também contribuiu para o surgimento dos logaritmos
produzindo trabalhos a respeito desse tema. Napier e Biirgi lançaram suas tábuas de
logaritmos em 1614 e 1620, respectivamente (SILVA, 2013).
Conforme Anton (2009), quando os logaritmos foram introduzidos como uma
ferramenta computacional no século XVII, eles forneceram aos cientistas daquela
época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as
calculadoras tenham substituído as tabelas logarítmicas em cálculos numéricos, as
funções logarítmicas têm aplicações de longo alcance na Matemática e nas ciências.
Os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados
de logaritmos comuns. Para estes é usual suprimir referência explicita para a base e
escrever log x e não log10x. Os logaritmos de base dois, mais recentemente,
desempenharam importante papel na ciência computacional, uma vez que surgem
naturalmente em sistema numérico binário (ANTON, 2009).
Entretanto, os logaritmos mais usados nas aplicações são os logaritmos
naturais, os quais têm uma base irracional denotada pela letra e em homenagem ao
matemático suíço Leonard Euler que, em artigo não-publicado, escrito em 1728,
sugeriu sua aplicação aos logaritmos.
Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais é aproximadamente
2,718282, surge como a assíntota horizontal ao gráfico da equação y=(1+1/x)x.
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1.2. Aplicações da Função Logarítmica
Segundo Anton (2009) os logarítmicos são usados na ciência e na
Engenharia para tratar como quantidades cujas unidades variam sobre um conjunto
excessivamente amplo de valores. Por exemplo, a altura de um som pode ser
medida pela sua intensidade I (em watts por metro quadrado), a qual está
relacionada com a energia transmitida pela onda sonora – quanto maior a
intensidade, maior a energia transmitida e mais alto o som é captado pelo ouvido
humano. Contudo, unidade de intensidade são difíceis de controlar por que variam
sobre um enorme conjunto de valores. Por exemplo, o som no limiar da audição
humana tem uma intensidade em torno de 10-12 W*m-2, um cochicho abafado tem
uma intensidade cerca de 100 vezes o limiar da audição, e a turbina de um avião a
jato a 50 metros tem uma intensidade de cerca de 1 x 1012 vezes o limiar da
audição. Para ver como os logaritmos podem ser usados para reduzir essa
amplitude, observe que se
Equação 1 – Logaritmo Base 10.
então, aumentado x por um fator de 10, adiciona-se 1 a unidade y, uma vez
que
Equação 2 – Logaritmo Base 10.
Os logaritmos possuem inúmeras aplicações no cotidiano, a Física e a
Química utilizam as funções logarítmicas nos fenômenos em que os números
adquirem valores muito grandes, tornando-os menores, facilitando os cálculos e a
construção de gráficos (GARPELLI, 2014).
Na computação, é utilizado o logaritmo na base 2 para representar dígitos de
informação (bits). Na física, a escala logarítmica é utilizada em diversas aplicações.
Uma delas é a escala de decibéis, que mede a intensidade de sons. Ela é uma
escala logarítmica também na base 10.
Na química, por sua vez, os logaritmos são aplicados para calcular o pH
(potencial hidrogeniônico) de uma solução.
Na geologia, os logaritmos permitem medir a amplitude (ou a “força”) de
algum abalo sísmico. A intensidade sísmica é uma classificação dos efeitos que as
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ondas sísmicas provocam em determinado lugar. Não é uma medida direta com
instrumentos, mas simplesmente uma maneira de descrever os efeitos empessoas
(como as pessoas sentiram) em objetos e construções (barulho e queda de objetos,
trincas, ou rachaduras em casas, etc.) e na natureza (movimento de água,
escorregamentos, liquefação de solos arenosos, mudanças na topografia, etc.).
Como a intensidade é uma classificação e não uma medida, ela está sujeita a muitas
incertezas. A maior utilidade da escala de intensidade é no estudo de sismos
históricos, sismos ocorridos antes da existência de estações sismográficas
(HENRIQUE, 2006).
A escala de Mercalli se baseia nesse conceito de classificar a intensidade dos
terremotos a partir dos efeitos em pessoas e estruturas na superfície da terra. Foi
elaborada pelo italiano Giuseppe Mercalli em 1902, porém não utiliza conceitos de
logaritmos e é um pouco menos precisa. A forma mais atualmente utilizada nos
Estados Unidos é a Escala de Mercalli Modificada (MM), que foi desenvolvida em
1931 pelos sismólogos Harry Wood e Frank Neumann. Esta escala apresenta
limitações uma vez que depende de observação humana, para isso foi criada uma
escala que mede a magnitude do terremoto em função da quantidade de energia
liberada durante um sismo (HENRIQUE, 2006).
Estas eram utilizadas antes da invenção da escala de Richter por Charles
Francis Richter e Beno Gutenberg em 1935, que a base utilizada, neste caso, é a
10, de modo que um abalo sísmico com 6 pontos nesta escala é 10 vezes mais forte
do que um abalo com 5 pontos (GARPELLI, 2014).
A escala Richter foi desenvolvida no intuito de medir a magnitude de um
terremoto provocado pelo movimento das placas tectônicas. As ondas produzidas
pela liberação de energia do movimento das placas podem causar desastres de
grandes proporções.
Os estudos de Charles e Beno resultaram em uma escala logarítmica
denominada Richter, que possui pontuação de 0 a 9 graus. A magnitude (graus) é o
logaritmo da medida das amplitudes (medida por aparelhos denominados
sismógrafos) das ondas produzidas pela liberação de energia do terremoto. A
equação utilizada é a seguinte (GARPELLI, 2014):
Equação 3 – Magnitude (graus).
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onde,
M: magnitude;
A: amplitude máxima;
A0: amplitude de referência.
Assim se compararmos um terremoto de 6 graus com outro de 8 graus, de
magnitude, pela equação chegaremos ao resultado que as ondas do terremoto A2
possuem amplitudes 100 vezes mais intensas do que a do terremoto A1:
M1 – M2 = (log A1 – log A0) – (log A2 – log A0)
M1 – M2 = (log A1 – log A0) – (log A2 – log A0)
A2 = 100A1
Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte
fórmula:
Equação 4 – Energia Liberada por um Terremoto.
onde,
I: varia de 0 a 9
E: energia liberada em kW/h
E0: 7 x 10-3 kW/h.
Assim, de acordo com a fórmula, a energia liberada por um terremoto de 6
graus na escala Richter é de 7 x 106 kW/h (GARPELLI, 2014).
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2. FUNÇÃO EXPONENCIAL
2.1. História da Função Exponencial
Ao longo da história da matemática o homem procurou meios que facilitassem
os cálculos. Matemáticos procuravam construir tabelas para simplificar a aritmética,
mas específico, para cálculos com potencias. Utilizando essas tabelas obtinham
resultados cada vez mais precisos, sendo que os primeiros registros sobre potência
datam de 1000 a.C., porém somente no século XVII entra-se a notação de potencias
que é utilizada atualmente (GAIA, 2014).
Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leibniz em 1694,
para descrever quantidades relacionadas a uma curva; tais como a inclinação da
curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são
atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais
encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites
e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à
variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal (FAMA,
2011).
A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século
XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x).
Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar
"estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em
qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente
imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século
XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de
fenômenos tais como o movimento Browniano.
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os
diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construísse o cálculo
infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a
definição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para
o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática
usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os
objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a
definição "formal" de função moderna (FAMA, 2011).
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito
rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas
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ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia,
Economia, Biologia, Psicologia e outras (COLA, 2014).
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função
logarítmica natural, isto é:
Equação 5 – Função Exponencial inverso de Função
Logarítmica.
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por:
Equação 6 – Função Exponencial.
A Tabela 1 apresenta características da função exponencial.
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Tabela 1 – Características da Função Exponencial
Função exponencial
0 < a < 1
Função exponencial
a > 1
f: lR lR
x ax
● Domínio = lR
● Contradomínio = lR+
● f é invectiva
● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR
● f é continua e diferençável em lR
● A função é estritamente decrescente.
● limx→ -∞ ax = + ∞
● limx→ +∞ ax = 0
● y = 0 é assíntota horizontal
f: lR lR
x ax
● Domínio = lR
● Contradomínio = lR+
● f é invectiva
● f(x) > 0 , ⍱ x Є lR
● f é continua e diferençável em lR
● A função é estritamente crescente.
● limx→ +∞ ax = + ∞
● limx→ -∞ ax = 0
● y = 0 é assíntota horizontal
Fonte: COLA, 2014
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então
(COLA, 2014):
ax ay= ax + y
ax / ay= ax - y
(ax) y= ax.y
(a b)x = ax bx
(a / b)x = ax / bx
a-x = 1 / ax
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Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e =
constante de Euller = 2,718...) (COLA, 2014).
y = ex se, e somente se, x = ln(y)
ln(ex) =x
ex+y= ex.ey
ex-y = ex/ey
ex.k = (ex)k
2.2. Aplicações da função exponencial
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações onde a
taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros
capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substancias
químicas, desenvolvimento de bactérias e microrganismos, crescimento
populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas
utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.
Os cientistas, para datar um material orgânico como, por exemplo, um osso
de dinossauro, se baseiam em um efeito chamado desintegração radioativa para
fazer essa estimativa. Substâncias químicas com o passar do tempo emitem
partículas e se transformam em outras substâncias, o que faz a sua massa original
diminuir. O ritmo de desintegração de cada substância radioativa é diferente e não
depende da massa original, da temperatura ou de qualquer outra condição.
O tempo para que uma substância tenha sua massa original reduzida pela
metade é chamado de meia-vida. Assim, estimando a massa original de uma
substância no organismo vivo e sabendo a massa no material coletado é possível
avaliar a quanto tempo o organismo está morto.
A Tabela 2 apresenta algumas substâncias radioativas e o valor de sua meia-
vida (SILVIA, 2008).
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Tabela 2 – Substâncias Radioativas e o Valor de sua Meia-Vida
Fonte: Silva, 2008.
A meia-vida de uma substância é uma função exponencial da massa em
função do tempo, como mostra a Figura 1.
Figura 1 – Meia-Vida de uma Substância é uma Função Exponencial da Massa em Função do Tempo
Fonte: Silva, 2008.
O processo de identificação da idade de um material orgânico ilustra o uso da
função exponencial, assim como outros exemplos práticos comentados a seguir.
Quando jogamos uma moeda comum, o número de resultados que podemos
obter é igual a dois. Se, ao invés de uma, jogarmos duas moedas, o número de
resultados possíveis é igual a quatro, se forem 3 moedas, oito resultados possíveis
(SILVIA, 2008).
Podemos escrever essa situação:
1 moeda 2 resultados possíveis = 21
11
2 moedas 4 resultados possíveis = 22
3 moedas 8 resultados possíveis = 23
O número de resultados que podemos obter depende do número de moedas
jogadas, ou seja, o número de resultados é obtido em função do número de moedas.
Pensando agora em outro exemplo, uma pesquisadora notou, durante um
experimento com determinada bactéria, que o número de bactérias triplicava a cada
hora. Durante o experimento que tinha uma população inicial de 5 indivíduos,
ocorreu o seguinte:
1ª hora n° de bactérias = 3x5 = 5x31
2ª hora n° de bactérias = 3x(3x5) = 5x32
3ª hora n° de bactérias = 3x(32x5) = 5x33
Então, o número de bactérias depende do número de horas passadas desde
o início do experimento, isto é, a população é dada em função do tempo (SILVIA,
2008).
A função exponencial intervém em numerosas aplicações matemáticas, na
Ciência e na Indústria, e é indispensável no estudo de muitos problemas de
Economia e Finanças, nomeadamente no cálculo dos "juros compostos".
Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao
fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e
passando, portanto, a ganhar juro. O investigador, no fim do segundo ano, receberá,
portanto, "juro do juro" além do juro do capital. Por exemplo, uma pessoa coloca
3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não levanta dinheiro algum durante 10
anos. No final deste período o valor a receber (capital acumulado) é:
Ao fim de 1 ano 3 + 3x0,2 = 3 (1 + 0,2) = 3x1,2
Ao fim de 2 anos 3x1,2 + 3x1,2x0,2 = 3x1,2 (1 + 0,2) = 3x1,22
Ao fim de 3 anos 3x1,22 + 3x1,22x0,2 = 3x1,23
Ao fim de 10 anos 3x1,210 ≈ 18,575
Ao fim de x anos 3x1,2x
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3. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
ANTON, Howard. Calculo, um novo horizonte. Vol.1, 6º Edição, Ed. Bookman, Porto Alegre, 2009. COLA, da web. Disponível em: http://coladaweb.com/matematica/funcao Acessado em: 24/06/2014. CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA E APLICAÇÕES DE LOGARITMOS E EXPONENCIAIS, Disponível em: http://sbemrn.com.br/site/III%20erem/comunica/doc/CC_Pinheiro_e_Santana.pdf Acessado em: 24/06/2014. FAMA. 7 de novembro de 2011. Disponível em: http://trabalhoflama.blogspot.com.br/2011/11/historia-da-funcao-exponencial.html. Acessado em: 24/06/2014. GAIA, Altobele. Função exponencial. Disponível em: http://ebah.com.br/content/ABAAAfC3cAD/funcao-exponencial# Acessado em: 24/06/2014. GARPELLI, Lia. Logaritmos. Disponível em: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfGSsAD/logaritmos Acessado em: 24/06/2014. HENRIQUE, Cynthia Adeline Pinheiro UNIMESP – Centro Universitário Metropolitano de São Paulo. Novembro/2006. Disponível em: http://cdb.br/prof/arquivos/76295_20080603084510.pdf Acessado em: 24/06/2014. SILVIA, Função Exponencial. 2008. Disponível em: http://google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=2&ved=0CCIQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.uber.com.br%2Fsilvia%2Ftextos_basicos%2FFuncao_Exponencial.doc&ei=i5mpU_m5IojisATg2ICAAg&usg=AFQjCNF3N0wpcgXda-kvy09hl8_f6shTlg&bvm=bv.69620078,d.b2k&cad=rja Acessado em: 24/06/2014. VASCONCELOS, Logaritmo e suas aplicações. Disponível em: http://dspace.bc.uepb.edu.br:8080/jspui/bitstream/123456789/479/1/PDF%20-%20Kleber%20Washington%20Cabral%20de%20Vasconcelos.pdf Acessado em: 24/06/2014.