hidráulica geral a prof. dr. victor deantoni puc campinas...1. introdução ..... 4 2. condutos...
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Hidráulica Geral A
Prof. Dr. Victor Deantoni
PUC Campinas
Campinas, 2019
1. Introdução .............................................................................................................. 4
2. Condutos Forçados, Energia no escoamento. ....................................................... 5
Energia no Escoamento .................................................................................. 5
Perda de Carga ................................................................................................ 7
Exercícios: ..................................................................................................... 17
3. Tubulações Equivalentes e Traçado da Tubulação. ............................................. 23
Tubulações ligadas em série ......................................................................... 23
Tubulações ligadas em paralelo ................................................................... 24
Traçado das Tubulações ............................................................................... 25
Malhas ........................................................................................................... 26
Exercícios: ..................................................................................................... 28
4. Estações Elevatórias ............................................................................................. 36
Bombas Centrífugas ...................................................................................... 36
Associação de Bombas ................................................................................. 41
Cavitação em Bombas .................................................................................. 44
Exercícios: ..................................................................................................... 45
5. Transientes Hidráulicos ........................................................................................ 61
Exercícios ...................................................................................................... 63
6. Canais ................................................................................................................... 64
Cálculo da altura da lâmina em uma seção transversal ............................... 64
Eficiência Hidráulica em canais .................................................................... 66
Exercícios: ..................................................................................................... 71
7. Energia em Canais ................................................................................................ 74
Estudo de uma seção retangular .................................................................. 75
Transições em Canais ................................................................................... 78
Canais de forma qualquer ............................................................................ 81
Exercício: ....................................................................................................... 81
8. Ressalto Hidráulico ............................................................................................... 85
Canal Retangular ........................................................................................... 85
Ressalto em canais com seções quaisquer: ................................................. 86
Exercícios: ..................................................................................................... 86
9. Remanso Hidráulico ............................................................................................. 88
3
Equacionamento ........................................................................................... 88
10. Orifícios, bocais e vertedores ........................................................................... 91
Orifícios ....................................................................................................... 91
Bocais .......................................................................................................... 92
Vertedores .................................................................................................. 94
11. Referências Bibliográficas: ................................................................................ 95
12. Anexos ............................................................................................................... 96
Métodos Numéricos adaptados para Hidráulica: ...................................... 96
Cálculo de do valor pi por um método numérico: ..................................... 96
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1. Introdução
A disciplina Hidráulica Geral A contempla todo o conteúdo teórico necessário para o desenvolvimento de futuras disciplinas práticas da Engenharia Civil como: Instalações Hidráulicas e Sanitária, Saneamento e Drenagem Urbana. Esse conteúdo será complementado pela disciplina Hidráulica Geral B que contemplará a parte prática dos assuntos.
Seu conteúdo pode ser dividido em dois blocos principais, que até o ano de 2018 consistiam em duas distintas disciplinas.
O primeiro bloco apresenta o estudo do escoamento em tubulações à seção plena, ou também chamado de escoamento em condutos forçados, onde o escoamento se dá dentro de paredes que impõem pressões ao escoamento: cobrindo os tópicos de perda de cargas (tubulações e acessórios), situações de malhas e associações e também o tópico de elevatórias, a utilização de dispositivos mecânicos para o transporte de fluidos.
O segundo bloco, que é iniciado no capítulo 6 apresenta o escoamento a superfícies livre, quando o escoamento apresenta parte ou todo o seu contorno em contato com a pressão atmosférica.
O presente material foi desenvolvido com a intenção de complementar as aulas teóricas e presenciais da disciplina, não substituindo a frequência às aulas e a leituras de demais bibliografias recomendadas.
Os conteúdos desenvolvidos nesta disciplina em muito serão continuidade dos conteúdos já vistos na mecânica dos fluidos, na disciplina de Fenômenos de Transporte.
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2. Condutos Forçados, Energia no escoamento.
Energia no Escoamento
O escoamento em tubulações pode ser modelado através da equação de energia ou Equação de Bernoulli, que contempla as três parcelas necessárias para a análise do escoamento.
Na Figura 2.1 abaixo é apresentado um esquema hipotético para apresentação da equação:
L. Piezométrica
L. Carga Total (Energia)
Parcela Cinética 2
Parcela de Pressão (2)
Parcela Geométrica (2)
Parcela Cinética (1)
Parcela de Pressão (1)
Parcela Geométrica (1)
Perda de Carga
Perda de Carga Unitária
Eixo da TubulaçãoTubulação
D
Piezômetro
Plano Horizontal de Referênicia
FIGURA 2.1 - PARCELAS DE ENERGIA EM TUBULAÇÕES
Na Figura temos três parcelas que correspondem a Energia Total;
• Parcela Cinética (taquicarga): 𝑣𝑣2
2.𝑔𝑔
• Parcela de Pressão: 𝑝𝑝𝛾𝛾
• Parcela Geométrica: 𝑧𝑧
Desta forma temos:
𝐸𝐸1 = 𝑧𝑧1 +𝑝𝑝1𝛾𝛾
+𝑣𝑣12
2.𝑔𝑔
𝐸𝐸2 = 𝑧𝑧2 +𝑝𝑝2𝛾𝛾
+𝑣𝑣22
2.𝑔𝑔
A Cota Piezométrica é dada pela soma das Parcelas Geométrica e de pressão, apenas.
6
𝐶𝐶𝐶𝐶1 = 𝑧𝑧1 +𝑝𝑝1𝛾𝛾
𝐶𝐶𝐶𝐶2 = 𝑧𝑧2 +𝑝𝑝2𝛾𝛾
Exercício: Uma tubulação de 4” de diâmetro (externo) e com espessura de 2 mm está sendo utilizada para transportar água a 1,20 m/s, o eixo da tubulação está na cota 30 m e há um piezômetro inserido neste ponto que apresenta leitura de 1,40m. Qual a energia neste ponto e qual a cota piezométrica?
Em sistemas reais o escoamento apresenta diminuição da energia no sentido do escoamento, é a chamada perda de carga, que é a diferença entre o valor da energia entre dois pontos (no sentido do escoamento), a perda de carga é denotada por (Δ𝐻𝐻).
Logo
𝐸𝐸1 = 𝐸𝐸2 + Δ𝐻𝐻
A perda de Carga também pode ser apresentada de forma unitária:
𝐽𝐽 =Δ𝐻𝐻𝐿𝐿
A obtenção do valor da perda de carga pode ocorrer empiricamente (conhecidas as energias), porém para projetos e estudos hidráulicos há a necessidade de determinação de seus valores previamente de forma teórica.
O estudo da perda de carga em tubulações perpassa pelo nome de diversos pesquisadores que ao longo do tempo apresentaram (cientificamente) equações e experimentos para estabelecer o valor da perda de carga.
Um dos principais trabalhos para iniciar este tópico e o Experimento de Reynolds (Osborne Reynolds, 1888). Em síntese esse experimento permitiu estabelecer três zonas distintas de escoamento, que podem ser definidas utilizando o adimensional 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅.
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑣𝑣 ∗𝐷𝐷𝜈𝜈
Onde:
𝑣𝑣: velocidade do escoamento (m/s);
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𝐷𝐷: Diâmetro interno da tubulação (m)
𝜈𝜈: viscosidade cinemática do fluido (água 20 °C: 1.10−6 𝑚𝑚2/𝑠𝑠)
Os três modos de escoamento são:
• Escoamento Laminar: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 < 2000 • Escoamento Transitório: 2000< 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 < 2200 • Escoamento Turbulento: 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 > 2200
Vale ressaltar que na grande maioria dos estudos aplicados a situações hidráulicas envolvendo engenharia civil o escoamento será turbulento.
Perda de Carga
2.2.1. Equação Universal
Para determinação da perda de carga uma das expressões mais utilizadas é a expressão universal, desenvolvida por Darcy-Weisbach.
Δ𝐻𝐻 = 𝑓𝑓 ∗𝐿𝐿 ∗ 𝑣𝑣2
𝐷𝐷 ∗ 2 ∗ 𝑔𝑔
Onde:
𝐿𝐿: Comprimento da tubulação (m)
Δ𝐻𝐻: Perda de Carga distribuída (m.c.a.)
𝑔𝑔: aceleração gravitacional (𝑚𝑚/𝑠𝑠2)
𝑓𝑓: fator de atrito
Como:
𝑣𝑣 =𝑄𝑄𝐴𝐴
e
𝐴𝐴 = 𝜋𝜋 ∗𝐷𝐷2
4
A equação também pode ser convenientemente apresentada por:
Δ𝐻𝐻 = 8 ∗ 𝑓𝑓 ∗𝐿𝐿 ∗ 𝑄𝑄2
𝐷𝐷5 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑔𝑔
8
Em ambos os casos é crucial o conhecimento do valor do fator de atrito para determinação da perda de carga. Com isso apresentamos o segundo experimento que permitiu a continuidade no desenvolvimento.
A experiência de Nikuradse (também se destacam Von Karmann e Pandtl) permitiu estabelecer uma relação entre o fator de atrito, o número de Reynolds e as propriedades físicas do material da tubulação, a chamada rugosidade relativa (𝑅𝑅/𝐷𝐷).
A rugosidade relativa é calculada como uma relação entre a rugosidade média de uma tubulação e o diâmetro.
Esse experimento teve como resultado um gráfico que ficou conhecido com Harpa de Nikuradse (1933), entretanto seus resultados são limitados a condutos com rugosidades artificiais, que diferem dos materiais disponíveis no mercado.
Para atender as necessidades de projeto utilizaremos o diagrama de Moody (Moody, 1944), que foi desenvolvido a partir dos estudos de Colebrook e White (1939).
Equação de Colebrook e White:
1�𝑓𝑓
= −2 ∗ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔��𝑅𝑅
𝐷𝐷 ∗ 3,715�+ �
2,512𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ∗ �𝑓𝑓
��
Onde:
𝑓𝑓: fator de atrito
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅: Adimensional de Reynolds
Sendo que "𝑅𝑅" é a rugosidade média e é tabelado por material.
TABELA 2.1 - RUGOSIDADE DE MATERIAIS
Material Rugosidade (mm)Concreto 0.25Plástico 0.0025
Aço 0.15Ferro 1
Manilhas 2
O Diagrama fica então conforme a Figura 2.2:
FIGURA 2.2 - DIAGRAMA DE MOODY
Para permitir a utilização em situações computacionais favoráveis (implementação de softwares e rotinas automatizadas) recomenda-se a utilização da equação de Colebrook-White feita por Koide (1993):
𝑓𝑓 = �−2 ∗ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔 �𝑅𝑅
3,7 ∗ 𝐷𝐷−
5,02𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
∗ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑔𝑔 �𝑅𝑅
3,7 ∗ 𝐷𝐷+
14,5𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅���
−2
Em Caso de condutos não circulares, utiliza-se o conceito de Raio Hidráulico:
𝑅𝑅𝐻𝐻 =𝐴𝐴𝐶𝐶𝑚𝑚
𝐴𝐴: área molhada
𝐶𝐶𝑚𝑚: Perímetro Molhado
O procedimento consiste em encontrar o valor do Raio Hidráulico da seção e converte-la em uma seção circular virtual, sendo que para o conduto circular:
𝑅𝑅𝐻𝐻 =𝐷𝐷4
Para uma figura de forma qualquer, denotada por X, é possível encontrar o diâmetro equivalente fazendo:
𝐷𝐷 = 4 ∗ 𝑅𝑅𝐻𝐻𝐻𝐻
Exercício: Para a instalação da Figura 2.3, determine a pressão no ponto mais alto da rede. Em seguida altere o diâmetro de forma a obter uma pressão de 0,8 m.c.a. neste ponto, calculando a vazão transportada. Considere a rugosidade do material 0,1 mm.
100,0m
75,00m
R1R2
1,5km
99,00m
0,5km
75mm
75mm
FIGURA 2.3 - EXERCÍCIO DE ENERGIA
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2.2.2. Equações Empíricas
Além dos trabalhos apresentados, alguns engenheiros hidráulicos focaram no desenvolvimento de equações práticas, baseadas totalmente em estudos de laboratório e na prática das construções. Desta forma essas equações podem não ser dimensionalmente corretas e em alguns casos limitadas a situações específicas.
A. Hazen-Williams: Possivelmente a equação mais conhecida entre as fórmulas práticas:
Δ𝐻𝐻 = 10,65 ∗ 𝑄𝑄1,85 ∗𝐿𝐿
𝐶𝐶1,85 ∗ 𝐷𝐷4,87
Onde:
𝑄𝑄: é a vazão (𝑚𝑚3/𝑠𝑠)
𝐶𝐶: Coeficiente de Hazen-Williams (tabela)
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TABELA 2.2 - COEFICIENTE DE HAZEN WILLIAMS
Material da Tubulação CAço corrugado (chapa ondulada) 60Aço com juntas lock-bar, novos 130Aço galvanizado (novos e em uso) 125Aço rebitado, novos 110Aço rebitado, em uso 85Aço soldado, novos 120Aço soldado, em uso 90Aço soldado com revestimento especial, novo e em uso 130Chumbo 130Cimento amianto 140Cobre 130Concreto com bom acabamento 130Concreto com acabamento comum 120Ferro fundido, novos 130Ferro fundido, em uso 90Ferro fundido, revestido de cimento 130Crés cerâmico vidrado (manilha) 110Latão 130Madeira em aduelas 120Tijolos em condutos bem executados 100Vidro 140Plástico 140
Coeficientes para expressão de Hazen Williams
Esta equação pode ser utilizada para diâmetros entre 50mm e 3500 mm, com velocidades máximas de 3,0 m/s.
Exercício: Uma tubulação com 100 m de comprimento e com diâmetro de 0,2 m, de PEAD transporta uma vazão de 31 L/s. Determine a perda de carga ao longo do tubo.
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B. Fair-Whipple-Hsiao:
Δ𝐻𝐻 = 𝐾𝐾 ∗ 𝐿𝐿 ∗𝑄𝑄𝑊𝑊
𝐷𝐷𝑍𝑍
Com os valores obtidos na TABELA 2.3:
TABELA 2.3 - COEFICIENTES PARA UTILIZAR FÓRMULA DE FAIR - WIPPLE - HSIAO
Material K W Z Aço Galvanizado 0,00202 1,88 4,88
Cobre/Latão – Água Fria
0,00086 1,75 4,82
Cobre/Latão – Água Quente
0,000693 1,75 4,82
PVC Rígido 0,000824 1,75 4,75 FoFo – Água Fria 0,0014 1,75 4,75
FoFo – Água Quente 0,00113 1,75 4,75 Unidades no Sistema internacional.
C. Flammant:
Δ𝐻𝐻 = 4 ∗ 𝐹𝐹 ∗ 𝐿𝐿 ∗𝑣𝑣1,75
𝐷𝐷1,25
• F = 0,00023 para tubos de ferro fundido ou aço; • F = 0,000185 para tubos novos; • F = 0,000185 para tubos de cobre; • F = 0,000140 para tubos de chumbo; • F= 0,000135 para tubos de PVC
2.2.3. Perdas de Carga Localizadas
Adicionalmente ao cálculo da perda de carga ao longo de tubulações é necessário o conhecimento da perda que ocorre em válvulas, registros, acessórios, contrações, expansões, curvas, conexões e demais componentes hidráulicos existem perdas de carga pontuais.
Essas perdas ocorrem da turbulência causada pela geometria da peça no escoamento, que pode ocasionar alteração da velocidade, formação de fluxos espirais dentre outros.
Para a determinação destas perdas de carga existem dois métodos:
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Registro
Perda Localizada
sentido do escoamento
FIGURA 2.4 – PERDA LOCALIZADA
A. Método da componente Cinemática:
Neste método a perda de carga é calculada em função da parcela cinemática do escoamento:
Δ𝐻𝐻 = 𝐾𝐾 ∗𝑣𝑣2
2 ∗ 𝑔𝑔
Os valores de K variam peça a peça e podem ser encontrados em tabelas.
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TABELA 2.4 - COEFICIENTE DE PERDA DE CARGA (CINEMÁTICO)
Perda de Carga Método CinemáticoPeça KAmpliação Gradual 0.3Bocais 2.25Comporta aberta 1Controlador de Vazão 2.5Cotovelo 45º 0.4Cotovelo 90º 0.9Crivo 0.75
Curva de 22,5 0.1Curva de 45 0.2Curva de 90 0.4Entrada de Borda 1Entrada normal 0.5Junção 0.4Redução gradual 0.15Registro Borboleta Aberto 0.3Registro de Pressão aberto 5Registro Gaveta Aberto 0.2Saída de canalização 1Tê passagem direta 0.6Tê saída bilateral 1.8Tê saída de lado 1.3Válvula de Globo Aberta 10Válvula de pé 1.75Válvula de retenção 2.5Venturi 2.6
Exercício: Uma tubulação de FoFo descarrega uma determinada vazão na atmosfera, essa tubulação apresenta dois diâmetros distintos (25 cm e 15 cm) interligados por uma redução gradual, adicionalmente no trecho de jusante (15 cm) há uma válvula globo. Qual a vazão?
B. Método do Comprimento Equivalente:
Neste método a perda é calculada convertendo a conexão em um trecho equivalente de tubulação, e assim sendo este comprimento é adicionado ao comprimento real da tubulação. Esse é o método recomendado pela NBR5626 para instalações prediais de água fria e quente.
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Esses comprimentos são apresentados em tabelas.
𝐿𝐿𝑉𝑉 = 𝐿𝐿𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐿𝐿𝑅𝑅𝐸𝐸𝑅𝑅𝑅𝑅
𝐿𝐿𝑉𝑉: Comprimento virtual da tubulação
TABELA 2.5 - COMPRIMENTO EQUIVALENTE
Diâmetro Comercial
(mm)
Norma (mm)
Referência (pol)
Diâmetro Interno
(mm)Joelho 90 Joelho 45 Curva 90 Curva 45 Tê - direto tê lateral Tê -
bilateralEntrada Normal
Entrada de borda
Válvula crivo
Registro Gaveta
20 15 1/2 17 1.1 0.4 0.4 0.2 0.7 2.3 2.3 0.3 0.9 8.1 0.125 20 3/4 21.6 1.2 0.5 0.5 0.3 0.8 2.4 2.4 0.4 1 9.5 0.232 25 1 27.8 1.5 0.7 0.6 0.4 0.9 3.1 3.1 0.5 1.2 13.3 0.340 32 1 1/4 35.2 2 1 0.7 0.5 1.5 4.6 4.6 0.6 1.8 15.5 0.450 40 1 1/2 44 3.2 1.3 1.2 0.6 2.2 7.3 7.3 1 2.3 18.3 0.760 50 2 53.4 3.4 1.5 1.3 0.7 2.3 7.6 7.6 1.5 2.8 23.7 0.875 60 2 1/2 66.6 3.7 1.7 1.4 0.8 2.4 7.8 7.8 1.6 3.3 25 0.985 75 3 75.6 3.9 1.8 1.5 0.9 2.5 8 8 2 3.7 26.8 0.9
110 100 4 97.8 4.3 1.9 1.6 1 2.6 8.3 8.3 2.2 4 28.6 1
Pesos - Comprimento Equivalente
Exemplo: Qual a pressão no chuveiro da Figura 2.5, sabendo que a vazão de uma ducha é de 0,4 L/s. (PVC)
CH
1,50m
0,50m
2,0m
2,0m0,5m
RG
RP
Diâmetro ¾” PVC
1,0m
Plano Horizontal de Referênicia0,50m
FIGURA 2.5 - EXERCÍCIO DE INSTALAÇÃO PREDIAL
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Exercícios:
Exercício 2.1. Dois reservatórios R1 e R2 são interligados por uma tubulação de Ferro Fundido (FoFo), em uso. O comprimento total é de 1437,5 m. O desnível entre os reservatórios é desconhecido. Identifique qual é o desnível, sabendo que para uma instalação com diâmetro interno de 3" a vazão é de 5,15 L/s. Considere também que no trecho existe um dispositivo Venturi (que permite a medição de vazão e uma válvula de retenção). Utilize a equação de Hazen Williams.
R1
R2H
R: 60,44 m
Exercício 2.2. Buscando descobrir qual era o material de uma antiga instalação um estudante de engenharia decidiu utilizar um medidor de pressão de mercúrio e um rotâmetro. Ele montou sua bancada da seguinte forma.
R2
700cm
P1P2R1
Em seguida, mediu uma seção da tubulação e identificou que o diâmetro externo do tubo era de 45 mm e sua espessura de 5 mm.
As leituras realizadas foram:
Q=200L/min, P1=365mm, P2=65mm;
Q=150L/min, P1=235mm, P2=52mm;
Q=100L/min, P1=152mm, P2=68mm;
A) Qual o sentido do escoamento
C) Qual a rugosidade do material
D) Qual o material da tubulação
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R: R1>R2; 0.185/0.2/0.2285 aprox 0.21; Concreto
Exercício 2.3.
A) Determine a vazão na tubulação e indique o sentido do escoamento.
B) Calcule a pressão nos pontos X e Y
C) De modo a garantir que a pressão em qualquer ponto seja superior a 5 m.c.a altere o diâmetro dos trechos, conforme seja necessário. (Considere nesta etapa o valor de f já encontrado no item ‘a’)
Dados: rugosidade 0,5 mm
Aceleração da gravidade: 10 m/s²
100,0m
80,00m
R1R2
X97,00m
Y 78,00m
Exercício 2.4.
A) Considerando que toda instalação é de 1" apresente: comprimento real, virtual, equivalente e a vazão no ponto X
B) Considerando que toda instalação é de 1" apresente: comprimento real, virtual, equivalente e a vazão no ponto Y
C) Supondo que os aparelhos X e Y estão sendo utilizados simultaneamente com vazão de 0,2 L/s qual a pressão no ponto A e B
19
Reserva
X
1,50m
0,50m
3,0 m
1,2m0,7m
RG
0,50m 0,50m
1,3m
0,50m 0,50m
2,2m 2,2m
3,0 m
3,0 m
1,50m
Y
BA
Exercício 2.5. Para a instalação a seguir, determine a pressão no ponto mais alto da rede. Em seguida altere o diâmetro de forma a obter uma pressão de 0,8mca neste ponto. Após isso adote o diâmetro comercial mais coerente (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120mm...) e calcule também qual será a nova vazão. Rugosidade do material 0,5mm.
100,0m
75,00m
R1R2
1,5km
99,00m
0,5km
75mm
75mm
Exercício 2.6. Em um experimento realizado em laboratório, para obtenção do coeficiente do material, utilizando Hazen William um pesquisador obteve, 5 pares de pressão em dois piezômetros, instalados conforme a figura.
Qual o coeficiente de atrito (“C”) no trecho entre os piezômetros? Apresente as equações utilizadas:
20
2,0m
0,0m
R1
R2
ΦExt=60mm Φint=51mm
300cm
P1P2
P1 (mca) P2(mca) Q (l/min)1.87 1.85 501.86 1.81 751.85 1.75 1001.83 1.69 1251.8 1.64 150
Exercício 2.7. Descubra o coeficiente de Atrito (Hazen Willian e Flammant) e a rugosidade (Universal) do Material para o seguinte experimento realizado. Desconsidere as perdas localizadas
13,0m
0,0m
R1
R2
Φint=50mm
400cm
P1P2
Experimento P1 P2 Vazão (L/min)1 13 13 02 12 10.5 1003 11 9 2004 10 7 3005 9 5 400
Exercício 2.8. Utilizando a equação Universal para perda de carga, dimensione a tubulação do sistema apresentado para que a vazão de saída de R1 seja de 300l/min, suficiente para abastecer o reservatório R2. O material utilizado apresenta rugosidade (e) de 0,01mm e a viscosidade cinemática da água pode ser considerada 1,01.10-6 m²/s. Apresente todas etapas de cálculo
100,0m
45,0m
R1R2
2,5km
21
Exercício 2.9. Dimensione a tubulação (ou as tubulações), utilizando a equação de Hazen William, de modo que em qualquer ponto a pressão seja superior a 1mca. Fator de atrito do material C=120. Vazão de projeto =100l/s. A parcela cinética pode ser desprezada.
100,0m
75,00m
R1R2
1,5km
98,50m
0,5km
Exercício 2.10. Qual a pressão no chuveiro?, Sabendo que a vazão deve ser de 0,2L/s.
Material PVC – C=130
CH
1,50m
0,50m
2,0m
2,0m0,5m
RG
RP
Diâmetro ¾” PVC
1,0m
Exercício 2.11. Para o sistema hidráulico abaixo calcule a vazão de saída no ponto B, o material utilizado é o Aço Galvanizado, desconsidere a parcela cinética:
22
23
3. Tubulações Equivalentes e Traçado da Tubulação.
Determinadas situações de projeto ou de ampliações de redes podem envolver a utilização de distintas tubulações (ou diâmetros) para condução do fluido, estudaremos separadamente duas situações:
Tubulações ligadas em série
Situação na qual distintos trechos de um mesmo traçado apresentam diâmetros diferentes, é possível observar esta situação na Figura 3.1.
D1 D2 D3
FIGURA 3.1 - TUBULAÇÃO EM SÉRIE
Analisando a figura podemos estabelecer:
• A Perda de Carga é diferente em cada trecho • A Perda de Carga total é a soma da perda de carga em cada trecho • A vazão é a mesma em cada trecho • A vazão total é a mesma de cada trecho
Ou seja:
𝑄𝑄1 = 𝑄𝑄2 = 𝑄𝑄3 = 𝑄𝑄
Δ𝐻𝐻1 + Δ𝐻𝐻2 + Δ𝐻𝐻3 = Δ𝐻𝐻𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑅𝑅𝑅𝑅
Logo, simplificando a equação universal:
Δ𝐻𝐻 = 8 ∗ 𝑓𝑓 ∗ 𝑄𝑄2 ∗𝐿𝐿
𝜋𝜋2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷5 = 𝜓𝜓 ∗𝐿𝐿𝐷𝐷
Podemos escrever:
𝜓𝜓 ∗𝐿𝐿𝑅𝑅𝐿𝐿𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒5
= 𝜓𝜓 ∗𝐿𝐿1𝐷𝐷15
+ 𝜓𝜓 ∗𝐿𝐿2𝐷𝐷25
+ 𝜓𝜓 ∗𝐿𝐿3𝐷𝐷35
Então:
24
𝐿𝐿𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒5
= �𝐿𝐿𝑖𝑖𝐷𝐷𝑖𝑖5
𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖=1
Caso utilizássemos a equação de Hazen-Williams:
𝐿𝐿𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒4,87 = �
𝐿𝐿𝑖𝑖𝐷𝐷𝑖𝑖4,87
𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖=1
Tubulações ligadas em paralelo
Situação na qual um sistema de tubulações com distintos trechos apresenta uma mesma origem e mesmo término. Em termos hidráulicos os trechos apresentam mesmo ponto de montante e jusante. Na Figura 3.2 é possível visualizar essa situação.
D1 – L1
D3 – L3
D2 – L2
FIGURA 3.2 - TUBULAÇÃO EM PARALELO
Essa situação pode ocorrer por exemplo, para ampliar a vazão de um sistema aumentando o número de tubulações que alimentam um ponto de consumo.
Analisando a figura podemos estabelecer:
• A Perda de Carga é igual em cada trecho • A Perda de Carga total igual a perda de carga em cada trecho • A vazão é diferente em cada trecho • A vazão total é a soma da vazão em cada trecho
25
𝑄𝑄1 + 𝑄𝑄2 + 𝑄𝑄3 = 𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑅𝑅𝑅𝑅
Δ𝐻𝐻1 = Δ𝐻𝐻2 = Δ𝐻𝐻3 = Δ𝐻𝐻
Podemos escrever:
�𝜉𝜉 ∗𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒5
𝐿𝐿𝑅𝑅𝐿𝐿�
12
= �𝜉𝜉 ∗𝐷𝐷15
𝐿𝐿1�
12
+ �𝜉𝜉 ∗𝐷𝐷25
𝐿𝐿2�
12
+ �𝜉𝜉 ∗𝐷𝐷35
𝐿𝐿3�
12
Então:
�𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒5
𝐿𝐿𝑒𝑒𝑒𝑒�
12
= � �𝐷𝐷𝑖𝑖5
𝐿𝐿𝑖𝑖�
12𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖=1
Caso utilizássemos a equação de Hazen-Williams:
𝐷𝐷𝑒𝑒𝑒𝑒2,63
𝐿𝐿𝑒𝑒𝑒𝑒0,54 = �
𝐷𝐷𝑖𝑖2,63
𝐿𝐿𝑖𝑖0,54
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜
𝑖𝑖=1
Traçado das Tubulações
O traçado de uma tubulação pode impactar na forma como o escoamento ocorre, a situação ideal ocorre sempre quando toda a tubulação está abaixo do nível de água de montante e da linha de energia e também não apresenta variações em sua declividade ao longo do trecho, porém esta é uma situação muito específica.
Desta forma é necessário estudar as diferentes possibilidades de traçado (Figura 3.3).
26
Plano de Carga Efetivo
Plano de Carga Absoluto
L. Carga (Energia) Absoluto
L. Carga (Energia) Efetivo
Conduto Forçado: A Tubulação está totalmente abaixo da linha de carga efeitva.
Conduto Livre: A Tubulação apresenta superfície livre aberta a atmosfera – Geralmente coincidente com o terreno (natural)Conduto Forçado, porém a tubulação corta a L. Carga efetiva, haverá pressão negativa no ponto alto e o escoamento será irregular, não se deve instalar ventosas neste ponto, deve ser evitado.
O Escoamento so ocorrerá se houver escorva da tubulação, caso entre ar no escoamento ele cessará;Haverá escoamento, pois todo o nível da tubulação está abaixo do nível do reservatório, porém a vazão será inferior a calculada.
Sifão funcionando nas piores condições, com escorva haverá escoamento irregular.
Qualquer situação acima da linha verde o escoamento é impossível
patm/γ
FIGURA 3.3 - POSIÇÕES DA LINHA DE ENERGIA
Malhas
Este tópico será futuramente revisto na disciplina de Saneamento, porém é todo baseado nos conceitos deste capítulo.
3.4.1. Método de Hardy-Cross
Método numérico de aproximações sucessivas, que utiliza conceitos de equação da continuidade (conservação de massa) e de energia para determinar vazão em redes malhadas.
27
a b c
d e f
I II
Qa Qb Qc
Qe Qf
FIGURA 3.4 - MALHA HIDRÁULICA
Da Figura 3.4 podemos observar:
• O Somatório de vazões em cada nó deve ser nulo (Continuidade) • O somatório de perda de carga em cada anel deve ser nulo (Conservação) • A perda de carga no anel I no trecho e-b deve ser igual (em módulo) a perda de carga
no anel II no trecho b-e
Sequência de cálculo (facilmente adaptada a uma planilha eletrônica).
1. Atribuir valores e sentidos arbitrários para vazão em cada trecho 2. Calcula-se a perda de carga em cada trecho 3. Calcula-se a soma algébrica das perdas em cada anel 4. Corrige-se a vazão pela equação, que é obtida:
Δ𝑄𝑄 = −∑Δ𝐻𝐻𝑖𝑖
𝑛𝑛 ∗ ∑Δ𝐻𝐻𝑖𝑖𝑄𝑄𝑖𝑖
Onde:
𝑛𝑛: expoente da vazão na fórmula de perda de carga
𝑄𝑄𝑖𝑖+1 = 𝑄𝑄𝑖𝑖 + Δ𝑄𝑄
5. Repete-se esse procedimento até a soma ser nula.
28
Exercícios:
Exercício 3.1. Dois reservatórios R1 e R2 são interligados por um tubulações de Ferro. O desnível entre os reservatórios é conhecido. Calcule qual a vazão que chega no reservatório 2. Considere que existe um tê, 1 registro globo e um dispositivo Venturi na tubulação. Considere a Equação Universal de Perda de Carga
100,0m
Φ150mm
Φ100mm
640m
800m
74,0mR2
Φ200mm
690m
R. Globo (100 mm)Venturi (100 mm)
TÊ (200 mm)
R1
Exercício 3.2. Determine a vazão em cada um dos trechos do sistema apresentado. A tubulação apresenta C=130. Será admitido um desvio (erro) da ordem de 5 L/s. Caso seu erro seja superior a este continue até que ele seja inferior. Apresente ao fim a energia na junção e a vazão em cada trecho. Tolerância é de 0,4 L/s
23,0 m
20,0 m
R1R2
Φ55 mm
Φ50 mm
Φ80 mm
100m 60m
58,1m
5,0 mR3
Exercício 3.3.
A) Determine a vazão total na tubulação e indique o sentido do escoamento.
B) Calcule a pressão no ponto X
29
C=110
R1
R2
Φ100mm , 100m
Φ200mm
Φ200mm, 90m
210 mΦ250mm, 107m
Φ160mm, 80m
Φ230mm, 350m
X
0,0m
2,0m
20,0m
Exercício 3.4. A Figura mostra, esquematicamente, um anel de distribuição de água em uma cidade. O anel é alimentado através do no A, com uma vazão de 284 L/s e pressão no ponto de 45,5 m.c.a. No ponto F será instalado um hidrante para combate à incêndio, necessitando de uma vazão de 84 L/s e pressão de 28 m.c.a. Nos nós B, C, D, E e G deverão ser retirados os seguintes valores de vazão: 56L/s, 28 L/s, 28 L/s, 31 L/s e 57 L/s, respectivamente. Desprezando as perdas singulares (localizadas) e admitindo C=100 (H.W.) determine as vazões em cada um dos trechos utilizando Hardy-Cross.
a b
d
e
Qa Qb
Qe
c
Qc
f
Qf
QgQd
g
300mm300m
250mm300m
300mm150m
300mm150m
200mm150m
300mm450m
250mm300m
30
Exercício 3.5. Para o esquema abaixo encontre qual a vazão em cada um dos trechos da rede e qual a cota piezométrica no ponto X
O Material é o PVC novo.
100,0m
94,0m
X
R1R2
Φ350mm
Φ300mm
Φ200mm
91,15m
600m 1000m
800m
64,0mR2
Exercício 3.6.
a. Qual a vazão total no trecho? b. Qual a pressão no ponto X c. Se o reservatório inferior (R2) necessita ser enchido em 3h, e apresenta (10x18x15)m³, o
sistema está funcionando?
Material: C=100
R1
R2
Φ100mm , 700m
Φ200mm
Φ200mm, 250m
5000mΦ250mm, 300m
Φ160mm, 270m
Φ230mm, 350m
X
0,0m
2,0m
30,0m
Exercício 3.7. Para o esquema abaixo:
Um sistema de abastecimento apresenta dois reservatórios.
31
(a) Sabendo que a vazão que sai de R1 é de 1000l/min determine se o reservatório R2 está sendo enchido, ou esvaziado e com qual a vazão?
(b) Qual a vazão que chega ao ponto C?
(c) Qual a pressão de abastecimento em c (em mca)?
(d) Mantendo a vazão constante em R1 e R2, encontrada anteriormente, qual o diâmetro de R2 para que ele não seja abastecido, nem esvaziado.
Coeficiente da Tubulação C=100.
100,0m
94,0m
X
Cidade
R1R2
Φ250mm
Φ40mm
Φ300mm
91,15m
76,0m
600m 400m
800m
Exercício 3.8. Qual a vazão total no trecho?
a. Qual a pressão no ponto X b. Se o reservatório inferior (R2) necessita ser enchido diariamente (24h), e apresenta
(10x12x15)m³, o sistema está funcionando?
Material: C=120
32
R1
R2
Φ100mm , 700m
Φ100mm
Φ100mm, 250m
500mΦ150mm, 300m
Φ150mm, 280m
Φ130mm, 350m
X
Exercício 3.9. Desenhe a linha de energia e piezométrica para as tubulações.
33
Exercício 3.10. A ligação entre os dois reservatórios mantidos a níveis constantes é feita pelas tubulações conforme mostrado na figura. Sendo f=0.02, desconsiderando as perdas localizadas e a parcela cinética da energia, determine a vazão que chega ao segundo reservatório. Considere o diâmetro indicado como interno.
Exercício 3.11. Sabendo que o diâmetro do trecho X-Y é 250mm. Calcule o valor da energia no ponto X. Sendo que as vazões saindo de R1 e R2 são 10l/s e 20l/s respectivamente. (Rugosidade de 0,02mm). Utilize a equação universal, não é necessário considerar a parcela de energia cinética. *A pressão no ponto Y é de 15mca
Após isso calcule qual deveria ser o novo diâmetro de R1-X e R2-X para que vazão de saída de R2 seja duas vezes maior que a saída de R1 (como explicitado anteriormente). Utilize
34
a fórmula universal e considere o fator de atrito igual a 0,02 (apenas nessa etapa no exercício anterior ele deve ser calculado).
Exercício 3.12. Qual deve ser a vazão retirada no ponto C, para que a vazão afluente no reservatório 2 seja de 15 L/s. O Material utilizado na tubulação é o aço com juntas lock-bar, tubulação nova. As perdas de carga singulares podem ser desprezadas, bem como a parcela cinética.
140+(último dígito do RA*3) m R1
Φ4" - L=750m
100,0mR2
C
A
D
BΦ4" - L=850m
Φ6" - L=120mΦ6" - L=120m
35
Exercício 3.13. Para o sistema da figura abaixo calcular a vazão e a perda de carga em cada trecho. (Usar a Fórmula Hazen-Williams com C = 90 para todos os trechos, desprezando as perdas locais). Dados:
L1 = 400 m; D1 = 400mm
L2 = 150 m; D2 = 200mm
L3 = 200 m; D3 = 250mm
R: Q = 66,8 l/s; hf (L1) = 0,6 m.c.a.; hf (l3) = 2,9 m.c.a.
36
4. Estações Elevatórias
As estações Elevatórias consistem na utilização de bombas hidráulicas para fornecer energia ao escoamento, seja para aumentar a pressão disponível, a vazão ou mesmo para vencer um desnível geométrico.
Existem diversos modelos de bombas, as que serão o foco desta disciplina são as chamadas bombas centrífugas.
FIGURA 4.1 - BOMBA CENTRÍFUGA
Bombas Centrífugas
Levam esse nome pela característica de que após passar pela câmara (bomba) o líquido tende a ser acelerado e sair tangencialmente a rotação (através da força centrífuga).
Uma bomba pode ser dita: Afogada (quando está localizada abaixo do nível do reservatório de montante), ou Não Afogada (quando está acima do nível do reservatório de montante).
Bomba Afogada
Bomba Não Afogada
FIGURA 4.2 - BOMBA AFOGADA E NÃO AFOGADA
37
Toda bomba centrífuga apresenta uma curva característica que é fornecida pelo seu fabricante. Neste material é possível saber o valor da Altura manométrica para cada valor de vazão, além do rendimento da bomba.
A Figura 4.3 apresenta uma curva característica de uma bomba.
FIGURA 4.3 - CURVA DE UMA BOMBA
4.1.1. Instalação de Recalque
O esquema a seguir é utilizado para apresentação dos conceitos hidráulicos envolvidos no dimensionamento de uma bomba.
38
FIGURA 4.4 - INSTALAÇÃO DE RECALQUE
A partir da Figura 4.4 é possível estabelecer:
𝐻𝐻𝑚𝑚: Altura manométrica
𝐻𝐻𝑔𝑔:Altura geométrica
𝐻𝐻𝑠𝑠: Altura de Sucção (pode ser positiva ou negativa)
𝐻𝐻𝐻𝐻: Altura do recalque (geralmente positiva)
𝐻𝐻𝑔𝑔 = 𝐻𝐻𝑠𝑠 + 𝐻𝐻𝐻𝐻
𝐻𝐻𝑚𝑚 = 𝐻𝐻𝑔𝑔 ∗ Δ𝐻𝐻𝑠𝑠 + Δ𝐻𝐻𝐻𝐻
Como para qualquer ponto 𝐻𝐻𝑚𝑚 a bomba apresenta uma única vazão, existe apenas uma única solução para um encanamento de recalque e uma bomba.
39
Porém o cálculo da perda de carga é função da vazão do escoamento que por sua vez é função do ponto de funcionamento, desta forma deve-se utilizar ou um método numérico ou o tradicional método da solução gráfica.
Faz-se o equacionamento de montante para jusante, considerando todas as perdas e a energia adicionada pela bomba, de forma genérica, tem-se:
𝐸𝐸1 + 𝐻𝐻𝑚𝑚 − ∑Δ𝐻𝐻 = 𝐸𝐸2
Então:
𝐻𝐻𝑚𝑚 = 𝐸𝐸2 − 𝐸𝐸1 + ∑Δ𝐻𝐻
Em posse do gráfico da bomba traça-se o gráfico da tubulação e encontra-se o ponto de funcionamento do sistema (Figura 4.5).
FIGURA 4.5 - PONTO DE FUNCIONAMENTO DE UMA BOMBA
Alguns fabricantes podem oferecer as curvas em forma de tabelas ou equações, neste caso é possível transformar a solução em gráfico ou então trabalhar com interpolação linear entre os valores fornecidos.
4.1.2. Potência de uma bomba
40
Como todo dispositivo mecânico a bomba apresenta perdas na conversão de energia elétrica para energia de pressão.
Portanto existem uma Potência Hidráulica da Bomba e uma Potência do Motor Elétrico responsável pelo funcionamento.
A potência requerida pelo fluido é dada por:
𝐶𝐶 = 𝑄𝑄 ∗ 𝐻𝐻𝑚𝑚 ∗ 𝛾𝛾
A potência necessária para o funcionamento é:
𝐶𝐶 = 𝑄𝑄 ∗ 𝐻𝐻𝑚𝑚 ∗𝛾𝛾𝜂𝜂
4.1.3. Gasto energético de uma instalação de recalque.
Utilizando conceitos de eletricidade podemos estabelecer:
𝐸𝐸 = �𝐶𝐶𝐿𝐿𝑃𝑃 .𝑑𝑑𝑃𝑃
Logo:
𝐸𝐸 = 𝐶𝐶𝐿𝐿𝑃𝑃𝐵𝐵𝑇𝑇𝐵𝐵𝐵𝐵𝑅𝑅 ∗ 𝑇𝑇𝑅𝑅𝑚𝑚𝑝𝑝𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑅𝑅 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑛𝑛𝐹𝐹𝐹𝐹𝐿𝐿𝑛𝑛𝐹𝐹𝑚𝑚𝑅𝑅𝑛𝑛𝑃𝑃𝐿𝐿
Que pode ser convertido em montantes financeiros caso se disponha o valor da tarifa (kWh)
𝑉𝑉𝐹𝐹𝑉𝑉𝐿𝐿𝐻𝐻 𝐺𝐺𝐹𝐹𝑠𝑠𝑃𝑃𝐿𝐿 = 𝐸𝐸 ∗ 𝑃𝑃𝐹𝐹𝐻𝐻𝐹𝐹𝑓𝑓𝐹𝐹
4.1.4. Estimativa do diâmetro para uma linha de recalque
Fórmula de Bresse: Utilizada para estimativa econômica do diâmetro de recalque
𝜙𝜙𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡 = 1,3 ∗ �𝑄𝑄𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡
O diâmetro de sucção é adotado em um valor acima (comercialmente).
41
Associação de Bombas
Para atender situações específicas pode ser necessário a utilização de duas ou mais bombas associadas, temos as seguintes possibilidades:
4.2.1. Bombas associadas em série
Situação onde comumente se quer aumentar a altura manométrica da instalação, atendendo assim a um desnível geométrico superior, conforme Figura 4.6.
Esquema:
Bomba 1
Bomba 2
Figura 4.6- BOMBAS em Série
Procedimento para obtenção da curva característica do conjunto:
Para cada ponto (x, y), manter a ordenada x e multiplicar da ordenada y pelo número de bombas associadas, o gráfico apresentará o padrão encontrado na Figura 4.7.
42
Figura 4.7- Curva de Bomba em Série
Não é recomendada a instalação de diferentes modelos de bombas em associações.
4.2.2. Bombas associadas em paralelo
Situação onde comumente se quer aumentar a vazão da instalação, atendendo assim a uma demanda superior, conforme Figura 4.8.
Esquema:
0102030405060708090
100110
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Altu
ra M
anom
étric
a
Vazão
Bomba associada em série
Bomba única
Associação em série
43
Bomba 1
Bomba 2
Figura 4.8 - Bomba em Paralelo
Procedimento para obtenção da curva característica do conjunto:
Para cada ponto (x, y), manter a ordenada y e multiplicar o valor da coordenada x pelo número de bombas associadas, ver Figura 4.9
Figura 4.9 - Curva de Bomba em paralelo
05
10152025303540455055
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Altu
ra M
anom
étric
a
Vazão
Bomba associada em paralelo
Bomba única
Associação em paralelo
44
Não é recomendada a instalação de diferentes modelos de bombas em associações.
Cavitação em Bombas
A cavitação é um fenômeno que ocorre em diversas situações hidráulicas, especificamente neste tópico avaliaremos a cavitação que ocorre em instalações elevatórias.
De forma bem simplificada pode-se entender a cavitação como o desgaste de material que ocorre após a implosão de bombas em contato com o material (implosão causa vibrações e tensões superficiais no material).
Essas bolhas são formadas quando o escoamento passa por um ponto de pressão negativa (conforme cálculos posteriores), ao retornar ao estado líquido em um ponto de jusante com pressão superior ocorre a implosão.
O local onde isso ocorre nas instalações elevatórias é na entrada da bomba, isso quando o escoamento no trecho de sucção tem baixos valores de pressão (seja pelo valor da perda de carga, ou então pela grande altura de sucção).
Avaliação da ocorrência do fenômeno:
Toda bomba apresenta, para cada ponto de vazão, um valor de NPSH (Net Positive Succion Head), chamado de 𝑁𝑁𝐶𝐶𝑁𝑁𝐻𝐻𝑡𝑡 (requerido).
O Procedimento de cálculo consiste em calcular o 𝑁𝑁𝐶𝐶𝑁𝑁𝐻𝐻𝑑𝑑 (disponível) no sistema, caso ele seja superior a cavitação não ocorrerá, o valor é a energia à montante da bomba acima da pressão de vapor. Utilizando a Figura 4.10 é possível estabelecer esse valor.
FIGURA 4.10 - ENERGIA PARA CAVITAÇÃO
Cálculo no 𝑁𝑁𝐶𝐶𝑁𝑁𝐻𝐻𝐷𝐷 :
45
𝐸𝐸1 = 𝑧𝑧 + 𝑝𝑝𝑅𝑅𝑇𝑇𝐵𝐵/𝛾𝛾
𝐸𝐸2 = 𝑧𝑧 +𝑝𝑝𝑅𝑅𝑇𝑇𝐵𝐵𝛾𝛾
− Δ𝐻𝐻12 = 𝑧𝑧 + 𝐻𝐻𝑆𝑆 +𝑝𝑝2𝛾𝛾
+𝑣𝑣22
2𝑔𝑔
𝑁𝑁𝐶𝐶𝑁𝑁𝐻𝐻𝐷𝐷 = 𝐸𝐸2 −𝑝𝑝𝑉𝑉𝛾𝛾
𝑁𝑁𝐶𝐶𝑁𝑁𝐻𝐻𝐷𝐷 =𝑝𝑝𝑅𝑅𝑇𝑇𝐵𝐵 − 𝑝𝑝𝑉𝑉
𝛾𝛾− 𝐻𝐻𝑆𝑆 − Δ𝐻𝐻𝑆𝑆
No caso de Bomba afogada o valor de 𝐻𝐻𝑆𝑆 é negativo.
Caso:
𝑁𝑁𝐶𝐶𝑁𝑁𝐻𝐻𝐷𝐷 > 𝑁𝑁𝐶𝐶𝑁𝑁𝐻𝐻𝑅𝑅𝐸𝐸𝐸𝐸
Não ocorrerá cavitação.
Exercícios:
Exercício 4.1: Uma instalação elevatória deve recalcar água para um reservatório elevado na cota 100m, sendo que a água se encontra na cota de 80m. Sabe-se também que o reservatório elevado (200m³) deve ser enchido em no máximo 6h. Despreze as perdas de carga localizadas.
a. Determine o diâmetro de Sucção e Recalque b. Encontre o ponto de funcionamento para uma bomba c. Verifique se a associação em série ou em paralelo permite um gasto menor de energia.
BC=130 (ambos os trechos)Aço Galvanizado revestido
L=450m
L=20m80,00m
85,00m
100,00m
46
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100.0
110.0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Altu
ra M
anom
étri
ca (m
)
Vazão (m³/h)
70%
50%
30%
Exercício 4.2: Encontre o Ponto de Funcionamento e verifique se ocorre cavitação para a instalação abaixo. Rugosidade do material 1mm.
Be=0,001mPVC – Eq. Universal
L=550m
L=30m
80,00m
87,00m
100,00m
47
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
100.0
110.0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Altu
ra M
anom
étri
ca (m
)
Vazão (m³/h)
70%
50%
30%
00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Exercício 4.3: Uma instalação elevatória deve recalcar água para um reservatório elevado na cota 100m, sendo que a água se encontra a uma cota de 90m. Sabe-se também que o reservatório deve ser enchido em no máximo 10h (a cada dia). Despreze as perdas de carga localizadas.
A) Determine o diâmetro de Sucção e Recalque B) Encontre o ponto de funcionamento para uma bomba (escolha o rotor mais apropriado) C) Verifique se a associação em série ou em paralelo permite um gasto menor de energia. (Apresente todas as etapas) Custo da energia R$0,50/MWh
48
B C=100 (ambos os trechos)
L=1000m
L=10m
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Altu
ra M
anom
étrica
(m)
Vazão (m³/h)
Exercício 4.4: Uma instalação elevatória deve recalcar água para um reservatório elevado na cota 100m, sendo que a água se encontra a uma cota de 90m. Sabe-se também que o reservatório elevado (300m³) deve ser enchido em no máximo 10h (a cada dia). Despreze as perdas de carga localizadas. A) Determine o diâmetro de Sucção e Recalque B) Encontre o ponto de funcionamento para uma bomba (escolha o rotor mais apropriado)
49
C) Verifique se a associação em série ou em paralelo permite um gasto menor de energia. (Apresente todas as etapas) Custo da energia R$0,50/MWh
B C=130 (ambos os trechos)Aço Galvanizado revestido
L=70m
L=10m
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Altu
ra M
anom
étrica
(m)
Vazão (m³/h)
80%
70%
60%
A
B
50
Exercício 4.5: Para o sistema abaixo encontre o ponto de trabalho do sistema utilizando duas bombas em paralelo, após isso identifique com quanto cada uma delas contribui. No caso da parada de uma das bombas qual é o novo ponto de funcionamento, no que isso implicará? Apresentação do gráfico também será avaliada! Considerar o comprimento equivalente das peças igual a 12m (sucção) e 18m (recalque).
Curva característica de uma bomba: Hb=35-12000Q2 (Q em m³/s)
2m
4m
2m 2m
20m
142m
2B
C=120 (Hazen Williams)Diâmetro (todos) = 150mm
2m
8m
Q(L/s)
Hm(m)
Exercício 4.6: No Gráfico da bomba abaixo descubra o ponto de funcionamento do sistema (e o
rendimento), sendo altura geométrica 30m e perda de carga no recalque e sucção dado por Q²/31. A vazão na expressão deve estar em m³/h.
51
Exercício 4.7: Para o sistema abaixo encontre o ponto de trabalho do sistema utilizando duas bombas em série, após isso identifique com quanto cada uma delas contribui. No caso da parada de uma das bombas qual é o novo ponto de funcionamento, no que isso implicará? Considere X igual ao último dígito do seu RA.
52
Curva característica da bomba: Hb=(20+X)-4500Q2 (Q em m³/s)
5m
6m
2m 2m
20m
86m
2B
Montante da Bomba 1 Registro Gaveta
Jusante da Bomba 1 válvula de retenção
C=120 (Hazen Williams)H=850m (Bomba)
Diâmetro (todos) = 100mmConsiderar apenas os
cotovelos de 90º
2m
Q(L/s)
Hm(m)
Exercício 4.8: Sabendo que a bomba do exercício anterior (quando funcionando sozinha), tem um NPSHr de 1m, a altitude da bomba é 1000m, e a temperatura ambiente de 20ºC. Determine se ocorrerá a cavitação. Escreva se ela é afogada ou não.
Exercício 4.9: Um sistema de recalque, fornece vazão para uma comunidade, conforme desenho abaixo, utilizando f=0,022. Calcule:
O ponto de funcionamento do sistema, para a bomba apresentada
53
A Potência da Bomba
Ocorrerá cavitação (pressão de vapor 0,24 m.c.a.)? Justifique
Caso a válvula de retenção R seja fechada em 1s, qual a sobrepressão
10
20
20
30
20 40
60
80
10
3
4
5
Hm
NPSHr Q(m³/h)
Q(m³/h)
40
50
30 40 50 60 70 80
B Diâmetro 100mm – Lreal 200 m - Lvirt 15 m
Diâmetro 100mm Lreal 10 m Lvirt 5 m
Nível Constante 57m
Nível Constante 83m
Cota da Bomba: 62m
R
Diâmetro Interno: 100mmDiâmetro Externo: 120mm
Plástico: K=18
54
Exercício 4.10: Um sistema de recalque deve fornecer vazão contínua para um ponto de consumo, a cota geométrica é 500 m, a pressão mínima é 10 m.c.a. O recurso hídrico está disponível em uma cota de 470 m. Utilizando uma tubulação de 100 mm de diâmetro interno e sabendo que o comprimento do recalque é 400 m e da sucção é desprezível e f=0,02, calcule:
O ponto de funcionamento do sistema
A Potência da Bomba
Ocorrerá cavitação (pressão de vapor 0,24 m.c.a.)? Justifique
Sabendo que o diâmetro externo é de 115 mm, e o material é PVC (k=18), supondo uma parada repentina da bomba (que tem uma válvula de retenção de fechamento em 2s) calcule o valor do golpe de aríete na válvula. Cota da Bomba é 470 m.
20
20
40
60
20 40
60
80
10
2
3
4
Hm
NPSHr Q(m³/h)
Q(m³/h)
80
100
30 40 50 60 70 80
Exercício 4.11: Um engenheiro necessita projetar uma adutora, porém a única tubulação disponível é
de 4" (considere este o diâmetro interno). E a única bomba disponível é a apresentada abaixo.
55
Q (m³/h) 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0H (m) 40.0 36.9 30.2 19.9 6.0n (%) 0.0 60.0 80.0 60.0 0.0
Bomba Disponível
As informações levantadas em campo são:
Cota da sucção: 200 m; Cota da Bomba: 206 m; Cota do Reservatório Elevado: 258 m
Material da Tubulação Aço: C=100; Comprimento total da Sucção e Recalque (mesmo diâmetro): 140 m. As perdas localizadas levantadas somam 24 m (pelo método do comprimento equivalente).
Qual o procedimento para o sistema funcionar?
Encontre o ponto de funcionamento
Qual o gasto anual com o equipamento, sabe-se que o volume do reservatório elevado é de 76m³ (considere que é utilizado todos os dias)?
56
Hm
Q
Exercício 4.12: Um engenheiro precisa projetar um sistema de recalque utilizado em um edifício. Após consultar o catálogo avaliou que o modelo mais adequado era o apresentado abaixo. Dados: O reservatório fica na cota 22,00 m a bomba na cota 25,00 m e a descarga acontece em um reservatório de cota máxima 54,50 m. A distância real da sucção é 6,2 m e do recalque é 46,00 m. Na sucção utilize uma válvula de pé com crivo, uma curva de 90º. No recalque há 2 registros gaveta, uma válvula de redução, 3 curvas de 90º, um tê de passagem direta. O material da tubulação é o aço galvanizado – utilize a rugosidade de 0,3 mm. O volume do reservatório superior é de 30 m³. Deve ser enchido diariamente em menos de 6 horas. O NPSHr é calculado por NPSHr = 3 + 0,1 x Q(m³/h) 1 – Calcule o diâmetro da sucção e do recalque (Utilize a fórmula de Bresse) 2 – Encontre o ponto de Funcionamento.
57
3 – Avalie a utilização da bomba em série e em paralelo. 4 – Especifique os materiais utilizados (tabela por diâmetro) 5 – Verifique se ocorre cavitação (Utilize o NPSH) 6 – Calcule o custo mensal (simples, série e paralelo) 7 – Sabendo que o valor de mercado desta peça (sem considerar a instalação) é R$ 1080,00. Avalie a relação custo benefício de cada instalação
0
10
20
30
40
50
60
70
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Ren
dim
ento
Hm
(m)
Vazão (m³/h)
Exercício 4.13: Considere um sistema com dois reservatórios, um na cota 300 m e outro na cota 312 m, ligados por uma tubulação de 6" de diâmetro, 1100 m de comprimento e f=0,023. Para aumentar a capacidade de vazão natural do sistema foi inserida uma bomba na saída do reservatório mais alto. Despreze as perdas de carga. Calcule a vazão a cota piezométrica na saída da bomba e a potência requerida.
Dica: A altura geométrica nesta situação é negativa! Qual a vazão quando a bomba está desligada?
Q (m³/h) 0.0 21.6 43.2 64.8 86.4 108.0 129.6H (m) 25.6 24.9 23.3 20.7 17.2 12.7 6.9η (%) 0.0 32.0 74.0 86.0 85.0 66.0 28.0
58
Hm
Q
Exercício 4.14: Uma Bomba tem funcionamento descrito pela equação: H = 40 - 0,065Q -0,0045Q², (Q em ‘m³/h’ e H em ‘m’). Com rendimento descrito por: n = 4Q - 0,05Q²
Um engenheiro precisa levar água para um reservatório, vencendo um desnível geométrico de 22 m, com uma vazão mínima de 125 m³/h.
A tubulação de recalque é de 6" (interno), o material apresenta C=110, e o comprimento real do trecho é de 156 m. Despreze as perdas localizadas.
A) Qual o tipo de associação mais interessante para este engenheiro?
B) Encontre a solução para o problema e calcule o ponto de funcionamento, potência e gasto mensal, considerando R$0,47/kWh
59
Hm
Q
Exercício 4.15: No sistema abaixo sabe-se que: na sucção o comprimento é 60m, o diâmetro é 400mm e o coeficiente de atrito médio é fs médio = 0,0347; no recalque o comprimento é 3.600m, o diâmetro é 350mm e o coeficiente de atrito médio é fr médio = 0,01857. Nessas condições pede-se: a) o ponto de trabalho; b) verificar a bomba quanto à cavitação, para a vazão do ponto de trabalho. Utilizar as curvas da bomba apresentadas na página 3. Desprezar as perdas de carga localizadas. Utilizar a fórmula Universal da perda de carga. Obs.: As cotas estão em metros sobre o nível do mar (m.s.n.m.) e a água está à 20ºC.
60
61
5. Transientes Hidráulicos
A operação de sistemas de transporte de água, em determinadas situações, pode se afastar do Movimento Permanente Uniforme. O Início e Parada de funcionamento de uma bomba, Flutuações de Demanda e/ou Alimentação dos Sistemas, mau funcionamento dos equipamentos, dentre outros tendem ao Regime variável.
O Golpe de Aríete é a variação de pressão que ocorre em uma tubulação como consequência da mudança na velocidade média devido a uma manobra relativamente brusca dos registros (Melo Porto, 1999). Qualquer mudança da vazão exige que o fluido seja acelerado ou desacelerado a partir de sua velocidade inicial. Forças são exigidas para tais variações e ocorrem na forma de pressões hidráulicas transientes.
Escoamento permanente
inicial
Escoamento permanente
final
t
Manobra
Figura 5.1 - Transiente Hidráulico
A manobra, por exemplo de fechamento de uma válvula, cria a sobrepressão, essa onda de sobrepressão se propagará por toda a tubulação, o amortecimento ocorre pela perda de carga na tubulação.
Dimensionamento:
Feito em 4 etapas:
1- Calculo da Celeridade (depende da tubulação);
𝐶𝐶 =9900
�48,3 + �𝑘𝑘 ∗ 𝐷𝐷𝑅𝑅��
12
62
TABELA 5.1 - COEFICIENTE DE ELASTICIDADE DO MATERIAL
2- Cálculo da Fase da canalização (tempo para a onda de sobrepressão (ou subpressão)
ir e voltar até um dado ponto;
𝐹𝐹 = 2 ∗ 𝑃𝑃 = 2 ∗𝐿𝐿𝐶𝐶
3- Cálculo do tipo de fechamento da válvula (rápido ou lento); Caso o tempo de manobra seja inferior à fase da canalização o fechamento é
dito “rápido” (deve ser evitado), caso a manobra leve mais tempo que a Fase é uma manobra “lenta”.
4- Estimativa da sobrepressão.
Lenta:
𝐻𝐻 = 𝐶𝐶 ∗𝑉𝑉𝑔𝑔
Rápida:
𝐻𝐻 = 2 ∗ 𝐿𝐿 ∗𝑉𝑉
𝑔𝑔 ∗ 𝑃𝑃
𝐻𝐻 = 2 ∗ 𝐿𝐿 ∗𝑉𝑉
𝑔𝑔 ∗ 𝑃𝑃∗
1
2 ∗ �1 − 𝐿𝐿 ∗ 𝑉𝑉2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑃𝑃 ∗ 𝐻𝐻𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
�
63
Exercícios
Exercício 5.1. Uma tubulação que comunica dois reservatórios, um em cota 750 m e outro em cota 723 m tem diâmetro interno de 48 mm e diâmetro externo de 62 mm. O material desta tubulação é aço. A distância entre os reservatórios é de 400 m.
Um registro, instalado à 50 m do reservatório inferior (mesma cota do reservatório inferior) foi bruscamente fechado (0,5 s), calcule a sobrepressão. Em seguida calcule a sobrepressão para uma manobra lenta de 15 s.
Utilize f= 0,022
R227 m
RG
50 m350 m
62 mm48 mm
Exercício 5.2. Uma tubulação transporta água a uma velocidade de 4m/s, em um dado instante de tempo um operador fechou o registro impedindo o fluxo de água, ele levou exatos 2 segundos para fechar por completo o registro. Sabendo que a tubulação apresenta um comprimento de 250m, diâmetro de 200mm. Sabendo que a pressão no trecho antes do fechamento era de 120mca, e que a tubulação suporta no máximo 200mca. Espessura do tubo 2mm, k =0,5. (Avalie por 2 fórmulas diferentes, a sua escolha) Exercício 5.3. Qual a sobrepressão, em uma tubulação de 3 polegadas, que transporta uma vazão de 450L/s. O comprimento da tubulação é de 800m. A pressão máxima na rede é de 50mca. Calcule para um fechamento de 1s e também de 10s, compare os resultados.
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6. Canais
O escoamento em canais apresenta duas características que o distingue do escoamento em condutos forçados, primeiro não possui uma seção definida pela tubulação (possui superfície livre), o escoamento ocorre apenas devido ao campo gravitacional.
Desta forma em qualquer ponto de análise na superfície não existirá a parcela de pressão e, portanto, a cota piezométrica é igual a cota geométrica.
Antes de estudarmos a Energia em Canais focaremos nos estudos de Chezy e Manning que permitem o cálculo da altura do escoamento ou da vazão transporta para diferentes seções utilizando aspectos geométricos da seção transversal.
Cálculo da altura da lâmina em uma seção transversal
Conforme dito no parágrafo anterior uma das características do escoamento em canais é a superfície livre, desta forma não possuímos de antemão a área do escoamento, sendo esta uma componente que precisará ser calculada.
Chezy apresentou a equação que permite o cálculo altura x vazão através da equação:
𝑣𝑣 = 𝐶𝐶 ∗ �𝑅𝑅𝐻𝐻 ∗ 𝐴𝐴
Onde:
𝑣𝑣: é a velocidade do escoamento
𝐶𝐶: constante de resistência de Chezy
𝑅𝑅𝐻𝐻: é o Raio Hidráulico (já apresentado anteriormente)
𝐴𝐴: área do escoamento
O engenheiro irlandês Robert Manning (1891-1895) utilizando dados próprios e de outros pesquisadores alterou a fórmula para o padrão utilizada com frequência até os dias atuais.
𝑄𝑄 ∗ 𝑛𝑛√𝐹𝐹
= 𝑅𝑅𝐻𝐻23 ∗ 𝐴𝐴
Sendo:
𝑛𝑛: rugosidade de Manning (Ganguillet e Kutter, 1969)
𝐹𝐹: declividade do canal
65
Sendo que os valores de 𝑛𝑛 são tabelados:
TABELA 6.1 - COEFICIENTE DE MANNING PARA DIFERENTES MATERIAIS
Descrição do Material Coeficiente de Manning "n"
Canais de chapas com rebites embutidos, juntas perfeitas e águas limpas. Tubos de cimento e de fundição em perfeitas condições.
0.011
Canais de cimento muito liso de dimensões limitadas, curvas com raios longos e água limpa
0.012
Canais de cimento liso de dimensões limitadas, curvas com raios médios e água não limpa
0.013
Canais de cimento liso de dimensões limitadas, curvas com raios pequenos e água não limpa
0.014
Canais de cimento rugoso, deposto no fundo, musgo nas paredes 0.018
Canais de Alvenaria de pedregulhos bem construídos, sem vegetação e curvas de reio longo.
0.02
Canais de terra, com vegetação rasteira no fundo e nos taludes 0.025
Canais de terra, com vegetação normal, fundo com cascalhos ou com erosões.
0.03
Alvéolos Naturais, cobertos de cascalho e vegetação 0.035 Alvenaria de tijolos com argamassa de cimento 0.015
Superfície de cimento alisado 0.012
Superfície de argamassa de cimento 0.015
Tubos em Ferro Fundido sem revestimento 0.014
Tubos de Ferro Fundido com revestimento 0.013
Tubos de Ferro Galvanizado 0.015
Tubos de PVC 0.012
Tubos de PEAD 0.012
Tubos de Concreto 0.015
Para realização destes cálculos é necessário o conhecimento das propriedades geométricas das seções transversais que em caso de figuras curvas pode se tornar complexa (matematicamente).
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Exercício: Calcular a altura de água em um canal, cuja seção transversal tem a forma da figura. A vazão é 0,2 m³/s. A declividade longitudinal é 0,0004 m/m. O canal é de cimento as curvas apresentam raio intermediário e a água não está limpa.
11
1,0 m
Figura 6.1 – Exemplo
Eficiência Hidráulica em canais
Ao analisarmos a equação de Manning nota-se que para um valor constante de (𝐹𝐹,𝐴𝐴 𝑅𝑅 𝑛𝑛) quanto maior for o valor de 𝑅𝑅𝐻𝐻, mais eficiente será a seção (terá maior capacidade de transporte), conforme Figura 6.2.
Seção 1 Seção 2
A1=A A2=ARh1>>>Rh2 Rh2<<<Rh1
eficientepouco eficiente
FIGURA 6.2 - EFICIÊNCIA HIDRÁULICA
67
Sabe-se que o círculo possui o menor perímetro para uma determinada área, porém devido a dificuldades construtivas essas soluções só são utilizadas quando se dispõem de tubulações que possam ser utilizadas (diâmetros reduzidos).
Para canais longos a seção mais utilizada é a trapezoidal ou retangular, cabendo ao projetista encontrar a solução mais eficiente e viável para cada situação.
Para se determinar para um canal retangular a seção mais eficiente podemos fazer a seguinte abordagem:
𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 ∗ 𝑅𝑅
𝐶𝐶𝑚𝑚 = 𝑏𝑏 + 2 ∗ 𝑅𝑅
Portanto:
𝐶𝐶𝑚𝑚 =𝐴𝐴𝑅𝑅
+ 2 ∗ 𝑅𝑅
Considerando A uma constante podemos derivar 𝐶𝐶𝑚𝑚 em relação à y encontrar o ponto de mínimo.
𝑑𝑑𝐶𝐶𝑚𝑚𝑑𝑑𝑅𝑅
= −𝐴𝐴𝑅𝑅2
+ 2 = 0
𝐴𝐴𝑅𝑅2
= 2
Substituindo:
𝑏𝑏𝑅𝑅
= 2
Logo para o retângulo a seção de máxima eficiência é ocorre quando a base tem o dobro da altura da lâmina. Podemos obter essa solução também graficamente.
68
Figura 6.3 - Eficiência em Canal retangular
0.600.650.700.750.800.850.900.951.001.051.10
0 5 10 15 20
Vazã
o (m
³/s)
Relação b/y
Vazão em função da relação (b/y) para uma área unitária, n= 0,015 e i=0,001
TABELA 6.2 - ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE SEÇÕES TÍPICAS DE CANAIS
Seções Área (A) Perímetro Molhado (Pm) Largura
Superficial (B)
B
b
y1zz
1
(𝑏𝑏 + 𝑧𝑧 ∗ 𝑅𝑅) ∗ 𝑅𝑅 𝑏𝑏 + 2 ∗ 𝑅𝑅 ∗ �1 + 𝑧𝑧2 𝑏𝑏 + 2 ∗ 𝑧𝑧 ∗ 𝑅𝑅
B
yD
𝐷𝐷2
8∗ �8 ∗ arccos �1 − 2 ∗
𝑅𝑅𝐷𝐷� − 4 ∗ �1 − 2 ∗
𝑅𝑅𝐷𝐷�
∗ ��𝑅𝑅𝐷𝐷∗ �1 −
𝑅𝑅𝐷𝐷���
𝐷𝐷 ∗ arccos �1 − 2 ∗𝑅𝑅𝐷𝐷� 2 ∗ �𝑅𝑅 ∗ (𝐷𝐷 − 𝑅𝑅)
y1
zz1
B
𝐵𝐵 ∗ �𝑅𝑅 −𝐵𝐵
4 ∗ 𝑧𝑧� 2 ∗ 𝑅𝑅 +
𝐵𝐵𝑧𝑧∗ ��1 + 𝑧𝑧2 − 1� 𝐵𝐵
B
b
y1z2z1
1
𝑏𝑏 ∗ 𝑅𝑅 + 0.5 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ (𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2) 𝑏𝑏 + 𝑅𝑅 ∗ ��𝑧𝑧12 + 1
+ �𝑧𝑧22 + 1� 𝑏𝑏 + 𝑅𝑅 ∗ (𝑧𝑧1 + 𝑧𝑧2)
Em seções circulares há a opção de utilizar as propriedades geométricas descritas acima ou do uso da tabela que compara a vazão em comparação com a vazão em uma seção plena (cálculo trivial).
TABELA 6.3 - ELEMENTOS HIDRÁULICOS DA SEÇÃO CIRCULAR
Seção Circular - Geometria e Hidráulica y/d A/(Φ^2) Rh/Φ Q/Qp y/d A/(Φ^2) Rh/Φ Q/Qp 0.01 0.0013 0.0066 0.0002 0.51 0.4027 0.2531 0.5170 0.02 0.0037 0.0132 0.0007 0.52 0.4127 0.2562 0.5341 0.03 0.0069 0.0197 0.0016 0.53 0.4227 0.2592 0.5513 0.04 0.0105 0.0262 0.0030 0.54 0.4327 0.2621 0.5685 0.05 0.0147 0.0326 0.0048 0.55 0.4426 0.2649 0.5857 0.06 0.0192 0.0389 0.0071 0.56 0.4526 0.2676 0.6030 0.07 0.0242 0.0451 0.0098 0.57 0.4625 0.2703 0.6202 0.08 0.0294 0.0513 0.0130 0.58 0.4724 0.2728 0.6375 0.09 0.0350 0.0575 0.0167 0.59 0.4822 0.2753 0.6547 0.10 0.0409 0.0635 0.0209 0.60 0.4920 0.2776 0.6718 0.11 0.0470 0.0695 0.0255 0.61 0.5018 0.2799 0.6889 0.12 0.0534 0.0755 0.0306 0.62 0.5115 0.2821 0.7060 0.13 0.0600 0.0813 0.0361 0.63 0.5212 0.2842 0.7229 0.14 0.0668 0.0871 0.0421 0.64 0.5308 0.2862 0.7397 0.15 0.0739 0.0929 0.0486 0.65 0.5404 0.2881 0.7564 0.16 0.0811 0.0986 0.0555 0.66 0.5499 0.2900 0.7729 0.17 0.0885 0.1042 0.0629 0.67 0.5594 0.2917 0.7893 0.18 0.0961 0.1097 0.0707 0.68 0.5687 0.2933 0.8055 0.19 0.1039 0.1152 0.0789 0.69 0.5780 0.2948 0.8215 0.20 0.1118 0.1206 0.0876 0.70 0.5872 0.2962 0.8372 0.21 0.1199 0.1259 0.0966 0.71 0.5964 0.2975 0.8527 0.22 0.1281 0.1312 0.1061 0.72 0.6054 0.2987 0.8680 0.23 0.1365 0.1364 0.1160 0.73 0.6143 0.2998 0.8829 0.24 0.1449 0.1416 0.1263 0.74 0.6231 0.3008 0.8976 0.25 0.1535 0.1466 0.1370 0.75 0.6319 0.3017 0.9119 0.26 0.1623 0.1516 0.1480 0.76 0.6405 0.3024 0.9258 0.27 0.1711 0.1566 0.1595 0.77 0.6489 0.3031 0.9394 0.28 0.1800 0.1614 0.1712 0.78 0.6573 0.3036 0.9525 0.29 0.1890 0.1662 0.1834 0.79 0.6655 0.3039 0.9652 0.30 0.1982 0.1709 0.1958 0.80 0.6736 0.3042 0.9775 0.31 0.2074 0.1756 0.2086 0.81 0.6815 0.3043 0.9892 0.32 0.2167 0.1802 0.2218 0.82 0.6893 0.3043 1.0004 0.33 0.2260 0.1847 0.2352 0.83 0.6969 0.3041 1.0110 0.34 0.2355 0.1891 0.2489 0.84 0.7043 0.3038 1.0211 0.35 0.2450 0.1935 0.2629 0.85 0.7115 0.3033 1.0304 0.36 0.2546 0.1978 0.2772 0.86 0.7186 0.3026 1.0391 0.37 0.2642 0.2020 0.2918 0.87 0.7254 0.3018 1.0471
71
0.38 0.2739 0.2062 0.3066 0.88 0.7320 0.3007 1.0542 0.39 0.2836 0.2102 0.3217 0.89 0.7384 0.2995 1.0605 0.40 0.2934 0.2142 0.3370 0.90 0.7445 0.2980 1.0658 0.41 0.3032 0.2182 0.3525 0.91 0.7504 0.2963 1.0701 0.42 0.3130 0.2220 0.3682 0.92 0.7560 0.2944 1.0733 0.43 0.3229 0.2258 0.3842 0.93 0.7612 0.2921 1.0752 0.44 0.3328 0.2295 0.4003 0.94 0.7662 0.2895 1.0757 0.45 0.3428 0.2331 0.4165 0.95 0.7707 0.2865 1.0745 0.46 0.3527 0.2366 0.4330 0.96 0.7749 0.2829 1.0714 0.47 0.3627 0.2401 0.4495 0.97 0.7785 0.2787 1.0657 0.48 0.3727 0.2435 0.4662 0.98 0.7816 0.2735 1.0567 0.49 0.3827 0.2468 0.4831 0.99 0.7841 0.2666 1.0420 0.50 0.3927 0.2500 0.5000 1.00 0.7854 0.2500 1.0000
Deve-se notar que a máxima vazão transportada por um conduto circular ocorre
quando a lâmina ocupa 94% da seção ao invés da seção plena. Já a velocidade máxima ocorre quando a lâmina é de 81% da seção plena.
Para Canais siameses substituir por diversos canais com linhas verticais imaginárias, essas linhas não devem ser consideradas no perímetro do Canal.
Canais com diferentes rugosidades utilizar a equação:
𝑛𝑛𝐸𝐸𝐸𝐸 = �∑𝐶𝐶𝑖𝑖 ∗ 𝑛𝑛𝑖𝑖2
∑𝐶𝐶𝑖𝑖
Exercícios:
Exercício 6.1. Uma galeria de águas pluviais deverá escoar uma vazão de 450 L/s, funcionando à seção plena, sem carga de montante. A declividade possível no trecho é de 0,005 m/m. Avaliar qual a tubulação que deve ser utilizada no projeto.
Em seguida calcule qual o diâmetro supondo uma lâmina máxima de 75% do diâmetro.
Diâmetros disponíveis: 0,4; 0,6; 0,8; 1,0;1,2; 1,4 e 2,0 m.
Exercício 6.2. Para o canal abaixo determine a vazão, considere a rugosidade n=0,02 e a inclinação 0,015m/m
72
1,5
2
5m
1,50m
Exercício 6.3. Um canal retangular com extensão de 25 m transporta uma vazão de 20 m³/s, sabendo que a profundidade é de 0,80 m qual a velocidade média do escoamento?
Exercício 6.4. Um canal de concreto, trapezoidal com largura de fundo de 4 m e laterais inclinadas em 45º apresenta declividade de fundo de 0,1% e apresenta uma lâmina de 2,1m. Qual a vazão transportada?
Exercício 6.5. Para o canal da Figura abaixo que transporta uma vazão de 650 L/s e é feito com terra e vegetação, tendo uma declividade de 0,5%. Qual a altura do escoamento?
10,7
2,0 m
Exercício 6.6. Um canal semicircular de raio 3 m e coeficiente de rugosidade n=0,024 apresenta declividade de 0,1%. Qual a altura do escoamento para uma vazão de:
a. 20 L/S b. 40 L/s c. 100 L/s
Exercício 6.7. Uma tubulação de concreto de 1 m de raio é utilizada como galeria pluvial, a metade inferior da circunferência está em boas condições e a metade superior em condições ruins n = 0,018. Para uma declividade de fundo de 1% qual a vazão quando o escoamento se da a meia seção? E quando a lâmina é de 1,5 m qual a vazão transportada?
73
Exercício 6.8. Determinar a capacidade de vazaõ do canal apresentado na figura, sabendo que suma inclinação vale 0,001 m/m. A rugosidade da parte ABCD é 0,03 e da parte DEF é 0,04.
11
2,0 m
4,0 m
1
11,0 m
1,0 m
A
B c
D E
F
Exercício 6.9. Determinar a capacidade de vazão e a velocidade média em uma galeria de concreto em boas condições, circular, funcionando com uma lâmina de 0,8D. Sendo Diâmetro de 2,15m e declividade de 1,5%;
Exercício 6.10. Qual a altura do escoamento em um canal retangular com rugosidade de Mannning de 0,0222 e inclinação de fundo de 0,041 m/m. Sabe-se que a vazão escoada ao longo dos 3 m de largura do canal é 40 m³/s. (R= 1,69 m)
Exercício 6.11. Qual a altura do escoamento em um canal trapezoidal com rugosidade de Mannning de 0,0125 e inclinação de fundo de 5.10−4 m/m. Sabe-se que a vazão escoada é de 10 m³/s. A base tem 3 m e o valor da cotangente (z) é 1,5. (R=1,28m)
Exercício 6.12. Dimensionar um canal trapezoidal na condição de mínimo perímetro molhado para:
N=0,0485
Z=0,667
B=4 m
Io=0,001 m/m
Calcule a vazão
74
7. Energia em Canais
A equação de Energia utilizada em condutos forçados pode ser aplicada a qualquer tipo de escoamento, sendo assim aplicando-a no escoamento em canais (superfície) temos:
Plano Horizontal de Referênicia
z
y
Figura 7.1 - Energia em um canal
𝐸𝐸 = 𝑧𝑧 + 𝑅𝑅 +𝑝𝑝𝛾𝛾
+𝑣𝑣2
2𝑔𝑔
Bakmeteff (1912) estipulou que a equação poderia ser tomada em relação ao fundo do canal, sendo assim temos:
𝐸𝐸 = 𝑅𝑅 +𝑣𝑣2
2𝑔𝑔
75
y V2/2g
FIGURA 7.2 - ALTURAS ALTERNADAS
A partir desta equação e da Figura 7.1 é possível notar que para um dado valor de energia podem existir duas soluções de alturas em canais, são as chamadas alturas alternadas.
Estudo de uma seção retangular
Um conceito muito útil no estudo de canais em seções retangulares é o de vazão unitária, que consiste em encontrar qual a vazão que escoa em uma seção unitária do canal.
𝐿𝐿 =𝑄𝑄𝑏𝑏
Onde:
𝐿𝐿: vazão unitária
𝑄𝑄: vazão
𝑏𝑏: largura superficial
Desta forma a equação de energia pode ser escrita:
76
𝐸𝐸 = 𝑅𝑅 +𝐿𝐿2
2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅2
Visualiza-se que a energia é a soma aritmética de duas parcelas:
𝑅𝑅: reta
𝑒𝑒2
2∗𝑔𝑔∗𝑦𝑦2: hipérbole
Graficamente temos:
Figura 7.3 - Curvas de Energia
Pelo gráfico podemos observar o ponto de mínima energia, é o único ponto associado a uma única altura de lâmina, essa altura é chamada de altura crítica. Fazendo:
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑅𝑅
= 1 −𝐿𝐿2
𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅3
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑅𝑅
= 1 −𝐿𝐿2
𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅3
1 −𝐿𝐿2
𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅𝐶𝐶3= 0
𝑅𝑅3 =𝐿𝐿2
𝑔𝑔
77
𝑅𝑅𝐶𝐶 = �𝐿𝐿2
𝑔𝑔�
13
Diz-se então que para uma dada energia se a altura da lâmina é maior que a altura crítica o escoamento é fluvial (subcrítico), e caso seja inferior é torrencial (supercrítico). Portanto para uma dada energia podem existir duas formas de transporte uma com maior lâmina e mais lenta, outra com lâmina inferior, porém com velocidade superior (vazão fixa).
Trabalhando na equação:
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑅𝑅
= 1 −𝐿𝐿2
𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅3
Podemos escrever:
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑅𝑅
= 1 − 𝐹𝐹𝐻𝐻2
Sendo assim:
Se:
𝐹𝐹𝐻𝐻 > 1: Supercrítico – Torrencial - Rápido
𝐹𝐹𝐻𝐻 = 1: Crítico
𝐹𝐹𝐻𝐻 < 1: Subcrítico – Fluvial - Lento
No ponto crítico
Substituindo
𝐸𝐸𝐵𝐵𝑀𝑀𝑀𝑀 =32∗ 𝑅𝑅𝐶𝐶
Graficamente:
78
Estado Crítico
Energia Crítica
Altura crítica (yc)
Diferentes Vazões
Figura 7.4 - Curvas de Energia e altura crítica
Também é possível estabelecer a velocidade crítica:
𝑣𝑣𝐶𝐶 = �𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅𝐶𝐶3
𝑣𝑣𝐶𝐶 = 𝐿𝐿/𝑅𝑅𝐶𝐶
A importância no estabelecimento da altura crítica é que est permite que tenhamos informações do escoamento, pois existem situações características onde essa altura ocorre:
1. Altura crítica ocorre na saída de um lago para um canal de forte declividade 2. 0,715 da altura crítica é a lâmina na saída de um lago em um canal de fraca
declividade.
Transições em Canais
7.2.1. Contração ou Alargamento lateral do canal
Situação na qual o canal tem redução na sua largura, como a largura tem alteração o valor da vazão específica (unitária) irá variar.
𝑄𝑄1 = 𝑄𝑄2
79
𝐿𝐿1 ∗ 𝑏𝑏1 = 𝐿𝐿2 ∗ 𝑏𝑏2
Com isso temos a mudança nas curvas de vazão e podemos estabelecer:
Contração (planta)
b2b1
Alargamento (planta)
b2b1
Figura 7.5 - Contração e Alargamentos em canais
E então:
Alargamento: (b2>b1)Fluvial (subcrítico): y2>y1
Torrencial (supercrítico): y2<y1
Contração: (b2<b1)Fluvial (subcrítico): y2<y1
Torrencial (supercrítico): y2>y1
contração alargamento
Figura 7.6 - Energia em contrações e alargamentos
80
A máxima contração possível ocorre quando a energia na seção 1 seja a energia mínima na seção dois, uma contração superior a essa alterará as condições de montante do escoamento.
7.2.2. Alteração no fundo do Canal (degrau)
Diferentemente do que ocorria na alteração lateral do canal, a alteração no fundo irá modificar a energia no escoamento.
Degrau (corte)
y1y2
ΔZ
Figura 7.7 - Degrau de fundo
𝐸𝐸2 + Δ𝑍𝑍 = 𝐸𝐸1
Nesta situação a não alteração na largura mantém a vazão específica (unitária) no canal, com isso permanece-se com uma única curva.
ΔZmáx
ΔZ
y1y2
y2y1
yC
81
Caso ocorra a alteração lateral e de fundo ao mesmo tempo, deve-se somar o efeito das duas parcelas.
Canais de forma qualquer
Para situações onde a seção não corresponde a uma seção quadrada pode-se estabelecer:
𝐸𝐸 = 𝑅𝑅 +𝑄𝑄2
2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴(𝑅𝑅)2
Sendo a derivada:
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑅𝑅
= 1 +𝑄𝑄2
2 ∗ 𝑔𝑔∗𝑑𝑑𝐴𝐴𝑑𝑑𝑅𝑅
∗1𝐴𝐴2
(Regra da Cadeia)
𝐴𝐴 = �𝐵𝐵 ∗ 𝑑𝑑𝑅𝑅
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑅𝑅
= 1 − 𝑄𝑄2 ∗𝐵𝐵
𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴3
Onde:
B: largura Superficial de uma seção de forma qualquer
Na condição crítica:
𝑄𝑄2 ∗𝐵𝐵
𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴3= 1
Exercício:
Exercício 7.1. Para o canal retangular abaixo determine a altura do escoamento. Em seguida calcule a energia específica. Qual seria a altura caso fosse colocado um degrau de 25cm nesse canal
82
5m
Exercício 7.2. Calcule qual o valor da declividade de fundo, para um canal circular com diâmetro 2m no regime crítico, sabendo que a rugosidade é 0,01 e y/D=0,5
Exercício 7.3. A água escoa em um canal retangular com profundidade de 0,8 m e velocidade de 1,0 m/s. Em uma dada seção o canal sofre um estrangulamento de 1,80 para 1,50 m. Qual a altura na contração.
Exercício 7.4. Em um canal retangular em MPU, com 3 m de largura, declividade de fundo 0,0005 m/m, rugosidade de Manning 0,024 e vazão 3m³/s determine a energia específica, o tipo de escoamento, a energia mínima a altura crítica e a velocidade crítica. (R: 1,38 m, 0,467 m; Fluvial; 0,7 m; 2,14 m/s)
Exercício 7.5. Um escoamento uniforme de 21,2 m³/s ocorre em um canal retangular de 4,5 m de largura, com altura igual a 3,0 m. Um degrau de 0,84 m é construído na mesma seção onde a largura é reduzida para 3,6 m. Desprezando as perdas calcule a altura da lâmina após o degrau. Calcule se é possível aumentar ainda mais a altura deste degrau, justificando os cálculos e em caso positivo informar qual a altura máxima.
Exercício 7.6. Com os dados do exercício anterior determine a altura alternada no regime supercrítico (R: 0,029 m)
Exercício 7.7. Um canal retangular em área urbana será reformado, projetistas foram contratados para avaliar os impactos de possíveis obras.
Os dados atuais do canal são: Vazão: 20m³/s, Largura: 3m, lâmina: 2,80m
Qual deve ser a rugosidade atual do canal (Considere inclinação de 0,001 m/m)?
83
Para a seção normal, apresente o gráfico Energia (eixo X e Altura eixo Y). Aponte no gráfico a altura crítica as duas alturas possíveis para a energia. E determine o regime de escoamento.
Na seção 1 será inserido um pilar para sustentar uma passarela, inicialmente o pilar terá 30 cm, porém se foi solicitado o estudo de uma largura maior. Verifique as consequências da inserção do pilar com 30 cm e apresente qual a máxima largura possível. Não é possível alterar as condições de montante (Utilize o gráfico anterior)
Após o pilar (seção completa novamente) pretende-se passar um duto retangular no fundo do canal, esse duto tem 35 cm. O que ocorrerá com o nível d´água? (Utilize o gráfico anterior)
Caso o duto seja colocado simultaneamente com o pilar (desconsidere a interferência entre os elementos) o que ocorreria com o escoamento? (Utilize o gráfico anterior)
30 cm3m
Planta
PilarDuto
(Fundo)
Exercício 7.6. Uma bacia de retenção de águas pluviais é alimentada por 10 tubulações de 30cm de diâmetro sendo que o comprimento da tubulação de chegada é de 5m. Com uma carga hidráulica de 2m.
Para que essa vazão seja descarregada, foi utilizado um vertedor Creager, que após o reservatório de 200m³ ser enchido começa a descarregar.
A- Qual a vazão de entrada
B- Qual o tempo de enchimento do reservatório
C- Supondo o nível constante (1m acima da soleira) no reservatório, dimensione a largura do vertedor sabendo que o coeficiente Creager é 2,2.
Exercício 7.7. Qual deve ser a declividade de fundo de uma galeria de circular concreto com 1,0 m de diâmetro para transportar a máxima vazão possível? Caso necessário verifique a solução graficamente.
84
Exercício 7.8. Tem-se um canal triangular como indica a figura abaixo, onde escoa uma vazão Q = 2 m3/s e cuja declividade é de 0,003 m/m com n = 0,012. Determinar a altura d’água.
R: h = 0,95 m
Exercício 7.9. Calcular a velocidade média de escoamento e a declividade de um canal de seção trapezoidal, de máxima eficiência hidráulica, capaz de transportar 2m3/s com um tirante d’água de 1,5 m. As paredes são em terra (n = 0,028) e taludadas na razão de 1,5:1.
R: V = 0,42 m/s, I = 0,0002
85
8. Ressalto Hidráulico
O Ressalto hidráulico (também chamado de salto hidráulico) é um fenômeno que pode ocorrer em canais naturais, porém é mais comum em estruturas hidráulicas, como por exemplo em dissipadores de energia (aproveitam o ressalto para remover energia do escoamento).
O Ressalto hidráulico converte um escoamento torrencial em um escoamento fluvial, com aumento da lâmina líquida e diminuição da velocidade. No ponto onde o ressalto ocorre a superfície fica caracterizada por uma turbulência que é mais intensa quanto mais forte o ressalto.
perda
y1 y2yC
v12/2g
v22/2g
Para que seja possível ocorrer o ressalto hidráulico é necessário que o escoamento seja torrencial (lâmina abaixo da crítica)
A determinação entre a altura a montante do ressalto e a jusante não pode ser feita através de equações de energia, pois não se sabe qual o valor da energia dissipada no ressalto, para estabelecer as lâminas conjugadas utiliza-se equilíbrio de forças hidrostáticas.
Canal Retangular
Considerando um canal retangular com vazão específica 𝒒𝒒, tem-se:
𝐹𝐹1 − 𝐹𝐹2 = 𝜌𝜌 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1)
𝐹𝐹1 =𝛾𝛾2∗ 𝑅𝑅12
𝐹𝐹2 =𝛾𝛾2∗ 𝑅𝑅22
𝑣𝑣1 =𝐿𝐿𝑅𝑅1
86
𝑣𝑣2 =𝐿𝐿𝑅𝑅2
Logo:
𝑅𝑅2𝑅𝑅1
=12∗ ��1 + 8 ∗ 𝐹𝐹𝐻𝐻12 − 1�
Sendo:
𝐹𝐹𝐻𝐻 =𝑣𝑣
�𝑔𝑔 ∗ 𝑅𝑅
A perda de carga que ocorre no canal pode ser calculada, fazendo:
Δ𝐸𝐸 = 𝐸𝐸1 − 𝐸𝐸2
Substituindo:
Δ𝐸𝐸 =(𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅1)3
4 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ 𝑅𝑅1
Exercício: Em um canal de seção retangular, com 2,50 m de largura e com 9,25 m³/s de vazão, forma-se um ressalto hidráulico. Conhecendo-se a profundidade de montante (0,90 m), determinar a altura do ressalto. R: 0,47 m. (Azevedo Netto, 1973)
Ressalto em canais com seções quaisquer:
Da mesma forma que na situação anterior o equilíbrio de forças permite estabelecer:
𝑄𝑄2
𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴1+ ℎ𝐶𝐶𝐶𝐶1 ∗ 𝐴𝐴1 =
𝑄𝑄2
𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴2+ ℎ𝐶𝐶𝐶𝐶2 ∗ 𝐴𝐴2
Exercícios:
Exercício 8.1. Para o canal retangular abaixo calcular as alturas conjugadas do ressalto hidráulico:
Considere Rh=y
Declividade: 3m/km - n = 0,006 - largura da base = 3m - Vazão transportada = 9m³/s
Calcule também a perda de energia no ressalto
87
Obstáculo
88
9. Remanso Hidráulico
Também chamado de fluxo gradualmente variado, é diferente do fluxo uniforme e do fluxo rapidamente variado (ressalto hidráulico) pois a variação no nível da lâmina ocorre em grandes distâncias, podendo facilmente se estender por quilômetros.
Duas situações típicas de ocorrência do fenômeno é quando a aumento na lâmina (por exemplo chegada a um reservatório) ou queda brusca.
Remanso
Remanso
O equacionamento do regime gradualmente variado pode ser estabelecido com auxílio de equações diferenciais e que podem ser implementadas em métodos numéricos simples.
Equacionamento
Como a declividade de canais apresente valores muito baixos podemos considerar:
𝑅𝑅 ∗ cos(𝜃𝜃) = 𝑅𝑅
Por exemplo, um canal de forte declividade: 0,5% apresenta cos(𝜃𝜃) = 0,999975~1
Desta forma podemos considerar a altura da lâmina como a altura vertical a partir da base do canal.
Em relação ao PHR.
89
𝐻𝐻(𝐶𝐶𝐹𝐹𝐻𝐻𝑔𝑔𝐹𝐹) = 𝑧𝑧 + 𝐸𝐸
𝑑𝑑𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑
=𝑑𝑑𝑧𝑧𝑑𝑑𝑑𝑑
+𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑
= −𝐼𝐼𝑓𝑓:Declividade da linha de energia (transição)
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝐼𝐼0: Declividade de fundo do canal
Logo:
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝐼𝐼0 − 𝐼𝐼𝑓𝑓
Já sabemos que:
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑅𝑅
= 1 − 𝐹𝐹𝐻𝐻2
Novamente, pela regra da Cadeia:
𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑅𝑅
∗𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑
=𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑
1 − 𝐹𝐹𝐻𝐻2 ∗𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝐼𝐼0 − 𝐼𝐼𝑓𝑓
Portanto:
𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑
=𝐼𝐼0 − 𝐼𝐼𝑓𝑓
1 − 𝐹𝐹𝐻𝐻2
Sendo:
𝐼𝐼𝑓𝑓: Perda de Carga unitária no escoamento
Por Manning:
𝐼𝐼𝑓𝑓 = 𝑛𝑛2 ∗𝑄𝑄2
𝐴𝐴2 ∗ 𝑅𝑅ℎ43
Finalmente:
𝑑𝑑𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑
=(𝐼𝐼0 − 𝑛𝑛2 ∗ 𝑄𝑄2
𝐴𝐴2 ∗ 𝑅𝑅ℎ43
)
�1 − 𝑄𝑄2 ∗ 𝐵𝐵𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴3�
90
Método Numérico (STEP METHOD):
Considerando a equação diferencial por diferenças finitas (quanto menor a diferença considerada, mais preciso será o modelo):
Δ𝑑𝑑 =Δ𝐸𝐸
𝐼𝐼0 − 𝐼𝐼𝑓𝑓
Δ𝑑𝑑 =E2 − 𝐸𝐸1𝐼𝐼0 − 𝐼𝐼𝑓𝑓
Como é um método numérico convém-se utilizar o ponto médio entre (1) e (2) para o valor da lâmina:
𝑅𝑅𝑚𝑚 =𝑅𝑅1 − 𝑅𝑅2
2
Com esse valor de lâmina é possível calcular o valor da declividade de fundo e então tem-se o valor de Δ𝑑𝑑 para cada intervalo considerado.
Exercício: Em um canal retangular com 2,40 m de largura e 0,001 m/m de declividade, o escoamento normal ocorre com uma profundidade de 0,65 m com 1,04 m³/s. Neste mesmo canal, construiu-se uma pequena barragem de 0,75 m de altura. Determinar o remanso causado.
Obs.: A água verte sobre o vertedor de 2,40 m de largura. (R: 1000 m).
91
10. Orifícios, bocais e vertedores
Orifícios
Um orifício é uma abertura na parede de um recipiente ou reservatório onde o fluido confinado pode escoar. São divididos em dois grupos, os de parede fina e os bocais (que apresentam parede espessa).
Quando o fluido escoa através do orifício ocorre uma contração formando um jato com diâmetro mínimo a uma curta distância da borda do orifício, neste ponto as linhas de fluxo são paralelas e chamadas de veia contraída.
Utilizando a equação de Bernoulli é possível calcular o valor da vazão que escoa no orifício. Tomando o centro do orifício como PHR, temos:
𝐸𝐸𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝐸𝐸𝑇𝑇𝑅𝑅𝑀𝑀𝑂𝑂𝑀𝑀𝐶𝐶𝑀𝑀𝑇𝑇
𝑣𝑣𝑜𝑜𝑡𝑡𝑖𝑖𝑓𝑓í𝑡𝑡𝑖𝑖𝑜𝑜 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (ℎ)
h
Onde:
ℎ: altura da lâmina em relação ao centro do orifício
Considerando a perda de carga no orifício temos:
𝑣𝑣𝑜𝑜𝑡𝑡𝑖𝑖𝑓𝑓í𝑡𝑡𝑖𝑖𝑜𝑜 = 𝐶𝐶𝑉𝑉 ∗ �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (ℎ)
𝐶𝐶𝑉𝑉: Coeficiente de velocidade
Como a área da contração pode ser ligeiramente inferior ao valor da área do orifício a vazão pode ser calculada pela equação da continuidade e por um coeficiente.
92
𝑄𝑄 = 𝐴𝐴 ∗ 𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ 𝐶𝐶𝑉𝑉 ∗ �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (ℎ)
Podemos considerar de forma simplificada:
𝐶𝐶𝐷𝐷 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 ∗ 𝐶𝐶𝑉𝑉
Então:
𝑄𝑄 = 𝐴𝐴 ∗ 𝐶𝐶𝐷𝐷 ∗ �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (ℎ)
Esses valores são tabelados:
Em alguns casos o orifício pode estar afogado:
h
Bocais
93
Bocais, tubos curtos ou adicionais, são tubos de pequeno comprimento adaptados a um orifício de parede fina, ou a orifícios de parede de grande espessura, com a finalidade de regularizar e dirigir o jato
A vazão real nos bocais é calculada pela mesma expressão dos orifícios, mudando apenas o coeficiente de vazão
BOCAL AJUSTADO
É um bocal que se adapta à forma do jato que sai de um orifício, conforme mostra a figura 1.9. A contração é praticamente nula e os coeficientes são: Cd = CV de 0,96 a 0,98 e CC ≅ 1,0.
BOCAL CILÍNDRICO EXTERNO
Trata-se de um tubo cilíndrico que se projeta para fora da parede do reservatório, como mostra a figura 1.10 (pág. 11). No bocal padrão os coeficientes, são os seguintes: 𝐶𝐶𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑣𝑣 = 0,82 𝑅𝑅 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 1,0. Nos demais casos o coeficiente 𝐶𝐶𝑑𝑑 varia conforme a tabela, segundo FANNING.
94
Tabela apresentada por Fanning
Vertedores
O Vertedor é uma estrutura utilizada para controlar o nível de água em um lago, deslocando o fluido para fora de um barramento. Geralmente ocorre por extravasamento superficial.
Os mais comuns são:
Retangular, triangular e trapezoidal, com ou sem contração lateral, livre ou afogado.
Fórmulas para cálculo:
𝑄𝑄 = 𝐹𝐹 ∗ 𝐿𝐿 ∗ 𝐻𝐻32
Fórmula de Francis:
1,838 ∗ 𝐿𝐿 ∗ 𝐻𝐻32
95
11. Referências Bibliográficas:
AZEVEDO NETO, M. F. Fernandez, R. Araujo, A. E. Ito. Manual de Hidráulica. São Paulo, Edgard
Blucher, 1998 8ª ed. 669p.
BRUNETTI, Franco. “Curso de Mecânica dos Fluidos”, 1974.
CHOW, Ven Te. “Open–Channel Hydraulics”. McGraw-Hill International Book Company, 1985.
FOX MCDONALD: “Introdução a Mecânica dos Fluidos”, 4ª Edição, LTC Livros Técnicos e
Científicos SA, 1997.
GARCEZ, L.N. Elementos de Mecânicas de Fluidos e Hidráulica Geral. São Paulo: Edgard Blücher,
1960, 2v. 449p.
GILES, Ranald V.: “Mecânica dos Fluidos e Hidráulica”. Coleção Schaum, Editora McGraw-Hill
Ltda, 1978.
LENCASTRE, A. Manual de Hidráulica Geral. São Paulo: Edgard Blücher, 1972. 411p.
MUNSON, Young e Okiishi: “Fundamentos da Mecânica dos Fluidos”, Editora Edgard Blücher
Ltda, 1997.
PORTO, Rodrigo de Melo. “Hidráulica Básica”. EESC-USP, SP, 1998.
Site: http://docentes.esalq.usp.br/tabotrel/
96
12. Anexos
Métodos Numéricos adaptados para Hidráulica:
12.1.1. Método de Newton-Raphson
𝑅𝑅𝑖𝑖+1 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 −𝑓𝑓(𝑅𝑅𝑖𝑖)𝑓𝑓´(𝑅𝑅𝑖𝑖)
Repete-se até que o erro (ε) seja inferior ao valor desejado
12.1.2. Método substituição sucessiva
(sem diferenciação)
Isola-se uma das variáveis por exemplo (variável y):
𝐴𝐴𝑅𝑅3 = 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶.𝑅𝑅
𝑅𝑅 =(𝐵𝐵 + 𝐶𝐶.𝑅𝑅)
13
𝐴𝐴
Então realiza-se sucessivas iterações até que 𝑅𝑅 seja próximo o suficiente de 𝑓𝑓(𝑅𝑅)
Cálculo de do valor pi por um método numérico:
Para uma dada figura:
Sabe-se que o Raio da figura apresenta valor R:
Portanto a área do quadrado é 4.𝑅𝑅2
A área de circunferência 𝜋𝜋.𝑅𝑅2
97
Se atribuirmos 𝑛𝑛 pontos arbitrários dentro da região, o número de pontos será proporcional a área das figuras.
Desta forma o valor de 𝜋𝜋 pode ser calculado por:
𝜋𝜋 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑜𝑜 ∗ 4/𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜𝑜𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖
Para um teste com 𝑛𝑛 = 1000
1.51.61.71.81.9
22.12.22.32.42.52.62.72.82.9
33.13.23.33.43.53.63.73.83.9
44.14.2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000