Gravitação para vestibulares de ponta

Singular- Chico Boca S. B. do Campo

Histórico

Foram séculos de observações e estudos sobre as leis que explicam os movimentos dos planetas. Esse estudo começou com os filósofos da Grécia antiga e teve seqüência com o último astrônomo grego da antiguidade, Cláudio Ptolomeu, que propôs um sistema planetário geocêntrico, que colocava a Terra como o centro do Universo ( final do século II d.C ), sistema aceito durante muitos séculos. No século XV, o astrônomo polonês Nicolau Copérnico propôs o sistema heliocêntrico em que o Sol ocupava o centro do Universo e as órbitas dos planetas ao seu redor eram circulares. Galileu Galilei (1564-1642) defendeu e aprimorou o Sistema de Copérnico através da utilização de novos instrumentos ópticos e observações astronômicas. Porém foi o astrônomo alemão Johannes Kepler(1571-1630) que, baseado nas inúmeras e minuciosas observações astronômicas de Tycho Brahe (1546-1601) esclareceu de forma definitiva e correta o movimento dos planetas ao redor do Sol através de três leis conhecidas como leis de Kepler.

Primeira lei de Kepler (lei das órbitas)

As órbitas que os planetas descrevem ao redor do Sol são elípticas, com o Sol ocupando um dos focos da elipse

Numa elipse (figura acima), para qualquer posição do ponto P a soma das distâncias FP com PF é sempre a mesma O que você deve saber: Na realidade, os planetas giram ao redor do Sol em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Sol-planeta, mas como a massa de qualquer planeta é muito pequena em relação à massa do Sol, esse ponto está localizado no centro do Sol. Assim, os planetas giram em torno do centro do Sol que está num dos focos da elipse. Já para o sistema Terra-Lua, como a massa da Lua não é insignificante em relação à massa da Terra (aproximadamente 81 vezes menor), este ponto comum está localizado no interior da Terra, a uma distância aproximada de 74% do raio terrestre, a partir do centro da Terra. De uma maneira geral, as três leis de Kepler são válidas sempre que um corpo gravite em torno de outro com massa bastante superior, como por exemplo os satélites artificiais em torno da Terra e tornam-se mais simples escolhendo o Sol como sistema de referência.

Segunda lei de Kepler ou lei das áreas

O segmento de reta imaginário que une o centro do Sol ao centro do planeta descreve áreas proporcionais aos tempos gastos para percorre-las

Sejam: A1--- área entre 1,2 e o Sol A2--- área entre 3, 4 e o Sol

t1--- tempo que o planeta demora para ir de 1 a 2 t2--- tempo que o planeta demora para ir de 3 a 4

Então: A1/ t1 A2/ t2=constante=K

Essa constante K depende do planeta e recebe o nome de velocidade areolar

Observe na expressão acima que quando A1=A2 t1= t2, ou seja, para o arco maior 34, ser percorrido no mesmo intervalo de tempo que o arco menor12, a velocidade em 3,4 (mais perto do Sol - periélio) deve ser maior que a velocidade em 1,2 (mais afastado do Sol

afélio). Portanto os planetas aceleram do afélio para o periélio e retardam do periélio para o afélio. Ainda, de acordo com essa lei, se as órbitas forem circulares a velocidade de translação será constante e se a órbita do planeta tiver raio R e seu período de translação for T, sua velocidade areolar (constante K) será dada por: K=A/ t= R2/T.

Terceira lei de Kepler ou lei dos períodos

Os quadrados dos períodos T de revolução dos planetas (tempo que demora para efetuar uma volta completa em torno do Sol) são proporcionais aos cubos das suas distâncias médias R ao Sol

T2/R3=constante=K

O raio médio R da órbita de um planeta corresponde à média aritmética entre a distância do Sol ao afélio e a distância do Sol ao periélio. Observe que esse valor é o mesmo que a medida do semi-eixo maior da elipse, que na figura acima seria a. O que você deve saber

A constante K depende apenas da massa do Sol e não do planeta que gira ao seu redor

Na expressão T2/R3=K , observamos que a medida que R aumenta, T também aumenta, o que significa que quanto mais afastado o planeta estiver do Sol maior será seu ano (tempo que demora para dar um volta completa ao redor do Sol)

Para dois planetas quaisquer como, por exemplo, Terra e Marte, vale a relação TT2/RT

3=TM2/RM

3

Ao efetuar um volta completa ao redor do Sol num período (ano) T um planeta percorre S=2 R e sua velocidade orbital vale V= S/T T=2 R/V, que substituída em T2/R3=K nos fornece 4 2R2/VR3=K

V=4 2/K R V=constante/R V é inversamente proporcional a R ou seja, quanto mais afastado o Satélite ou planeta estiver, menor será sua velocidade orbital.

* O verão não ocorre quando a Terra está no periélio e nem o inverno quando ela está no afélio. As estações ocorrem devido ao fato de áreas da Terra, devido à inclinação da mesma, receberem mais ou menos luz do Sol durante seu movimen- to de translação.

Exercícios

01-(UNIFESP-2008) A Massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a massa da Lua e a distância entre os centros de massa desses astros é aproximadamente 60 vezes o raio da Terra. A respeito do sistema Terra-Lua pode-se afirmar que a) a Lua gira em torno da Terra com órbita elíptica e em um dos focos dessa órbita está o centro de massa da Terra b) a Lua gira em torno da Terra com órbita circular e o centro de massa da Terra está no centro dessa órbita c) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Terra. d) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra=Lua,, localizado no meio da distância entre os centros de massa da Terra e da Lua. e) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Lua.

02-(MACKENZIE-SP) De acordo com uma das leis de Kepler, cada planeta completa (varre) áreas iguais em tempos iguais em torno do Sol.

Como as órbitas são elípticas e o Sol ocupa um dos focos, conclui-se que: I) Quando o planeta está mais próximo do Sol, sua velocidade aumenta II- Quando o planeta está mais distante do Sol, sua velocidade aumenta III-A velocidade do planeta em sua órbita elíptica independe de sua posição relativa ao Sol. Responda de acordo com o código a seguir: a) somente I é correta b) somente II é correta c) somente II e III são corretas d) todas são corretas e) nenhuma é correta

03-(UFSC) Sobre as leis de Kepler, assinale as proposições verdadeiras para o sistema solar. 01- O valor da velocidade de revolução da Terra, em torno do Sol, quando sua trajetória está mais próxima do Sol, é maior do que quando está mais afastado do mesmo 02- Os planetas mais afastados do Sol tem um período de revolução, em torno do mesmo, maior que os mais próximos 04- Os planetas de maior massa levam mais tempo para dar uma volta em torno do Sol, devido à sua inércia. V08- O Sol está situado num dos focos da órbita elíptica de um dado planeta 16- Quanto maior for o período de rotação de um dado planeta, maior será seu período de revolução em torno do Sol 32- No caso especial da Terra, a órbita é exatamente uma circunferência Dê como resposta a soma dos números que precedem as proposições corretas 04-(UNISINOS-RS) Durante o primeiro semestre deste ano, foi possível observar o planeta Vênus bem brilhante, ao anoitecer. Sabe-se que Vênus está bem mais perto do Sol que a Terra. Comparados com a Terra, o período de revolução de Vênus em torno do Sol é.......................e sua velocidade orbital é............................ . As lacunas são corretamente preenchidas, respectivamente, por: a) menor; menor b) menor; igual c) maior; menor d) maior; maior e) menor; maior 05-(ENEM) As leis de Kepler definem o movimento da Terra em torno do Sol. Qual é, aproximadamente, o tempo gasto, em meses, pela Terra para percorrer uma área igual a um quarto da área total da elipse? a) 9 b) 6 c) 4 d) 3 e) 1 06-(UNESP-SP) A Terra descreve uma elipse em torno do Sol cuja área é A=6,98.1022 m2 . a) Qual é a área varrida pelo raio que liga a Terra ao Sol desde zero hora do dia 1o de Abril até as 24horas do dia 30 de Maio do mesmo ano?

b) Qual foi o princípio ou lei que você usou para efetuar o cálculo acima?

07-(UNESP-2008) A órbita de um planeta é elíptica e o Sol ocupa um de seus focos, como ilustrado na figura (fora de escala). As regiões limitadas pelos contornos OPS e MNS têm áreas iguais a A.

Se tOP e tMN são os intervalos de tempo gastos para o planeta percorrer os trechos OP e MN, respectivamente, com velocidades médias VOP e VMN, pode-se afirmar que

08-(UFG-2008) Considere que a Estação Espacial Internacional, de massa M, descreve uma órbita elíptica estável em torno da Terra, com um período de revolução T e raio médio R da órbita. Nesse movimento, (A) o período depende de sua massa. (B) a razão entre o cubo do seu período e o quadrado do raio médio da órbita é uma constante de movimento. (C) o módulo de sua velocidade é constante em sua órbita. (D) a energia cinética é máxima no afélio. (E) a energia cinética é máxima no perigeu

09-(UNICAMP-SP) A terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período de revolução de um planeta (tempo gasto para dar uma volta em torno do Sol), dividido pelo cubo da distância média do planeta ao Sol é uma constante. A distância média da Terra ao Sol é equivalente a 1ua (unidade astronômica). a) Entre Marte e Júpiter existe um cinturão de asteróides (vide figura). Os asteróides são corpos sólidos que teriam sido originados do resíduo de matérias existentes por ocasião da formação do sistema solar. Se no lugar do cinturão de asteróides essa matéria tivesse se aglutinado formando um planeta, quanto duraria o ano desse planeta em anos terrestres, se sua distância ao Sol for de 2,5 ua? b) De acordo com a terceira lei de Kepler, o ano de Mercúrio é mais longo ou mais curto que o ano terrestre? Justifique.

10-(VUNESP) Grande parte dos satélites de comunicação estão localizados em órbitas circulares que estão no mesmo plano do equador terrestre. Geralmente estes satélites são geoestacionários, isto é, possuem período orbital igual ao período de rotação da Terra, 24 horas. Considerando-se que a órbita de um satélite geoestacionário possui raio orbital de 42000km, um satélite em órbita circular no plano do equador, com raio orbital de 10500km, tem período orbital de: a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 6 horas e) 8 horas

11-(MACKENZIE-SP) Dois satélites de um planeta tem períodos de revolução de 32 dias e 256 dias, respectivamente. Se o raio de órbita do primeiro satélite vale 1 unidade, então o raio de órbita do segundo terá quantas unidades?

12-(UEPB) O astrônomo alemão J. Kepler(1571-1630), adepto do sistema heliocêntrico, desenvolveu um trabalho de grande vulto, aperfeiçoando as idéias de Copérnico. Em conseqüência, ele conseguiu estabelecer três leis sobre o movimento dos planetas, que permitiram um grande avanço no estudo da astronomia. Um estudante ao ter tomado conhecimento das leis de Kepler concluiu, segundo as proposições a seguir, que: I. Para a primeira lei de Kepler (lei das órbitas), o verão ocorre quando a Terra está mais próxima do Sol, e o inverno, quando ela está mais afastada. II. Para a segunda lei de Kepler (lei das áreas), a velocidade de um planeta X, em sua órbita, diminui à medida que ele se

afasta do Sol.

III. Para a terceira lei de Kepler (lei dos períodos), o período de rotação de um planeta em torno de seu eixo, é tanto maior quanto maior for seu período de revolução. Com base na análise feita, assinale a alternativa correta: a) apenas as proposições II e III são verdadeiras b) apenas as proposições I e II são verdadeiras c) apenas a proposição II é verdadeira d) apenas a proposição I é verdadeira e) todas as proposições são verdadeiras

Gabarito

01-C O2- A 03- 11 04- E 05- D 06- a) 1,1.1022m2 b) Segunda lei de Kepler (lei das áreas) 07- B 08- E 09- a) 4 anos terrestres b) curto 10- A 11- 4 12- C

Lei da Gravitação Universal

Após minucioso estudo das Leis de Kepler, Newton concluiu que toda dinâmica do sistema solar era devido à forças de interação entre todos os elementos que o compunham ( Sol, planetas, satélites dos planetas, etc) e que eram essas forças que mantinham os planetas em órbitas. Denominou-as de forças gravitacionais e enunciou a lei de gravitação universal.

matéria atrai matéria com forças cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto de suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que os separa

Onde: F intensidade da força gravitacional (N) M e m massa dos corpos que se atraem (kg) r distância entre o centro dos dois corpos (m) G constante de gravitação universal (Nm2/kg2)

O que você deve saber * O valor da constante G não depende dos dois corpos, do meio onde eles se encontram nem da distância entre eles e seu valor no SI é G=6,7.10-11Nm2/kg2

* Essas forças de atração entre dois corpos (planetas) obedecem ao princípio da ação e reação ou seja, tem sempre a mesma intensidade, mesma direção mas sentidos opostos e são forças de campo pois sua ação é a distância e não em contato.

* Essa força de atração tem sempre a mesma intensidade independente da massa do planeta, assim, apesar da massa da Terra ser muito superior à massa da Lua a intensidade da força com que a Terra atrai a Lua é a mesma com que a Lua atrai a Terra.

* O gráfico da força em funcão da distância para a equação F=GMm/r2 está representado abaixo, cuja curva é denominada hipérbole eqüilátera para pontos externos e uma reta para pontos internos considerando a densidade do planeta uniforme

*As marés (movimentos de fluxos e refluxos da água dos mares) ocorrem devido à força de atração que a Lua e

secundariamente o Sol exercem sobre os oceanos. A amplitude das marés será máxima quando Sol e Lua estiverem alinhados em relação à Terra (Lua Cheia e Lua Nova) e durante um intervalo de tempo de 24 horas ocorrem duas marés altas e duas marés baixas.

Exercícios 01--(UFMG-2008) Três satélites

I, II e III movem-se em órbitas circulares ao redor da Terra. O satélite I tem massa m e os satélites II e III têm, cada um, massa 2m . Os satélites I e II estão em uma mesma órbita de raio r e o raio da órbita do satélite III é r/2. :Sejam FI , FII e FIII módulos das forças gravitacionais da Terra sobre, respectivamente, os satélites I, II e III . Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que

A) FI = FII < FIII. B) FI = FII > FIII . C) FI < FII < FIII . D) FI < FII = FIII

E) FI =FII=FIII

02-(PUC-SP) A intensidade da força gravitacional com que a Terra atrai a Lua é F. Se fossem duplicadas a massa da Terra e da Lua e se a distância que as separa fosse reduzida à metade, a nova força seria: a) 16F b) 8F c) 4F d) 2F e) F

03-(FUVEST-SP) No sistema solar, o planeta Saturno tem massa cerca de 100 vezes maior do que a da Terra e descreve uma órbita, em torno do Sol, a uma distância média 10 vezes maior do que a distância média da Terra ao Sol (valores aproximados). A razão FSat/FT entre a força gravitacional com que o Sol atrai saturno e a força gravitacional com que o Sol atrai a Terra é de aproximadamente: a) 1000 b) 10 c) 1 d) 0,1 e) 0,001

04-(FUVEST-SP) A razão entre as massas de um planeta e de um satélite é 81. Um foguete está a uma distância R do planeta e a uma distância r do satélite. Qual deve ser o valor da razão R/r para que as duas forças de atração sobre o foguete se equilibrem? a) 1 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 05-(UF-PB) A lei da Gravitação Universal de Newton expressa como a força de atração entre dois corpos, de massas m e M, varia com a distância d entre eles. Considere um planeta de massa 8,1.1024kg em órbita elíptica em torno de seu sol. Considere que a distância entre o Sol e o ponto de máxima aproximação (periélio) seja dp=0,9.1011m e que a distância entre o Sol e o ponto de máximo afastamento (afélio) seja da=1,0.1011m. No periélio, a força de atração entre o Sol e o planeta é de 1,4.1023N. a) Desenhe, no seu caderno, a figura que mostra a trajetória do planeta em torno do Sol, e indique a(s) força(s) que atua(m) sobre o planeta quando ele se encontra no afélio. b) Determine a massa do Sol em torno do qual gira o planeta. c)Determine a força de atração entre o Sol e o planeta, quando este se encontra no afélio. Considere G=7,0.10-11Nm2/kg2

06-(UNICAMP-2008) Observações astronômicas indicam que as velocidades de rotação das estrelas em torno de galáxias são incompatíveis com a distribuição de massa visível das galáxias, sugerindo que grande parte da matéria do Universo é escura, isto é, matéria que não interage com a luz. O movimento de rotação das estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galáxias exercem sobre elas. A curva no gráfico abaixo mostra como a força gravitacional F=GMm/r2 que uma galáxia de massa M exerce sobre uma estrela externa à galáxia, deve variar em função da distância r da estrela em relação ao centro da galáxia, considerando-se m=1,0.10-30 kg para a massa da estrela. A constante de gravitação G vale 6,7.10-11 m2.F/kg-2.

Determine a massa M da galáxia. 07-(ITA-SP) Sabe-se que a atração gravitacional da Lua sobre a camada de água é a principal responsável pelo aparecimento das marés oceânicas na Terra. Considere as seguintes afirmativas:

I.As massa de água próximas das regiões A e B experimentam marés altas simultaneamente.

II. As massas de água próximas das regiões A e B experimentam marés opostas, isto é, quando A tem maré alta, B tem maré baixa e vice-versa. III. Durante o intervalo de tempo de um dia ocorrem duas marés altas e duas marés baixas. Então, está(rão) correta(s), apenas: a) a afirmativa I b) a afirmativa II c) a afirmativa III d) as afirmativas I e II e) as afirmativas I e III

Respostas 01- C 02- A 03- C 04- C 05- b) 2,0.1030kg c) 1,1.1023N 06-M=1,5.1040kg

07- E

Satélites em órbitas circulares

Satélite Qualquer objeto que gira em torno de um planeta em órbita circular ou elíptica. Se considerarmos a órbita como circular (figura abaixo), sendo M a massa da Terra, m a massa da Lua, V a velocidade de translação da Lua e r a distância entre o centro da Terra e o centro da Lua,, a intensidade da força de atração gravitacional entre a Terra e a Lua, que atua na Lua, é a força resultante centrípeta necessária para manter a Lua em órbita, ou seja:

FTerra-Lua=Fcp GMm/r2=mV2/r V2=GM/r

V= GM/r V velocidade orbital do satélite

V= GM/r V velocidade orbital do satélite

O que você deve saber

* Observe pela expressão acima que, quanto mais afastado o satélite estiver do planeta ou o planeta estiver do Sol, menor será sua velocidade orbital e que essa velocidade não depende da massa m do satélite.

* Para uma volta completa do satélite

S=2 r e t=T (período) V= S/ t V=2 r/T V2=4 2/T2 I Como V= GM/r V2=( GM/r)2 V=GM/r II Substituindo I em II 4 2/T2=GM/r T2/r3=4 2/GM

T2/r3=4 2/GM

* Esta constante 4 2/GM é a constante K da terceira lei de Kepler, sendo M a massa do corpo central e T o período de seu satélite.

* O período e a velocidade de translação do satélite não dependem de sua massa m, dependendo apenas da massa M do corpo central e de sua distância r ao centro do mesmo.

* Quanto mais afastado o satélite estiver do planeta, maior será o seu períiodo.

* Como temos a velocidade V do satélite a uma dada altura r, podemos determinar a expressão de sua energia cinética (Ec) da seguinte maneira: Ec=mV2/2 Ec=m( GM/r)2/2

Ec=GMm/2r

Ec=GMm/2r

* Por meio de cálculos que fogem ao nível do ensino médio podemos demonstrar que a energia potencial gravitacional do satélite, adotando-se o referencial no infinito é dada por:

Ep=-GMm/r O sinal negativo significa que em todos os pontos de sua órbita a Ep do satélite é menor do que no infinito

* Pela expressão Ec=GMm/r concluímos que quanto maior for r, menor será Ec. Assim a energia cinética do satélite é mínima no afélio e máxima no periélio. Pelo teorema da conservação da energia mecânica (Ec+ Ep=constante) o contrário ocorre com a energia potencial gravitacional que é máxima no afélio e mínima no periélio.

* Satélites geoestacionários ou geosincrônicos(sincronizados com o movimento de rotação da Terra) A maioria dos satélites de telecomunicações são satélites geoestacionários pois se encontram parados em relação a um ponto fixo sobre a Terra.

Seu período é o mesmo que o da Terra (24h), o raio de sua órbita é de, aproximadamente 36000km, tem a mesma velocidade angular (W) que a Terra e se encontram em órbitas sobre a linha do equador. Acima da altura aproximada de 36000km o período do satélite aumenta e abaixo desse valor, diminui.

Exercícios

01-(UNICAMP-2008) Observações astronômicas indicam que as velocidades de rotação das estrelas em torno de galáxias são incompatíveis com a distribuição de massa visível das galáxias, sugerindo que grande parte da matéria do Universo é escura, isto é, matéria que não interage com a luz. O movimento de rotação das estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galáxias exercem sobre elas. A curva no gráfico abaixo mostra como a força gravitacional F=GMm/r2 que uma galáxia de massa M exerce sobre uma estrela externa à galáxia, deve variar em função da distância r da estrela em relação ao centro da galáxia, considerando-se m=1,0.10-30 kg para a massa da estrela. A constante de gravitação G vale 6,7.10-11 m2.F/kg-2.

Calcule a velocidade de uma estrela em órbita circular a uma distância r=1,6×1020 m do centro da galáxia.

02-(UFRS) O cometa de Halley atingiu, em 1986, sua posição mais próxima do Sol (periélio) e, no ano de 2023, atingirá sua posição mais afastada do Sol (afélio).

Assinale a opção correta: a) Entre 1986 e 2023 a força gravitacional que o Sol aplica no cometa será centrípeta b) Entre 1986 e 2023 o cometa terá movimento uniforme c) No ano de 2041 a energia potencial do sistema Sol-cometa será máxima d) Ao atingir o afélio, no ano de 2023, a energia potencial gravitacional do sistema Sol-cometa será máxima

03-(INATEL-MG) Um satélite permanece em órbita circular terrestre de raio R com velocidade tangencial V. Qual deverá ser a velocidade tangencial desse satélite para permanecer em órbita circular lunar de mesmo raio R? Considere a massa da Lua 81 vezes menor que a massa da Terra.

04-(UNICAMP-SP) Um míssil é lançado horizontalmente em órbita circular rasante à superfície da Terra. Adote o raio da Terra R=6400km, massa da Terra M=6,0.1024 kg, a constante de gravitação G=6,7.10-11 Nm2/kg2 e, para simplificar, tome 3 como valor aproximado de . a) Qual é a velocidade de lançamento? b) Qual é o período da órbita?

05-(FUVEST-SP) Se fosse possível colocar um satélite em órbita rasante em torno da Terra, o seu período seria T. Sendo G a constante de gravitação universal, expresse a massa específica (densidade média) da Terra em função de T e G.

06-(UF-ES) Dois satélites descrevem órbitas circulares em torno da Terra. O raio da órbita do satélite mais afastado da Terra é o dobro do raio da órbita do satélite mais próximo. Considere que Va e Vf são, respectivamente, os módulos das velocidades do satélite afastado e do satélite próximo. A relação entre esses módulos é: a) Va=Vf/2 b) Va=Vf/ 2 c) Va=Vf d) Va= 2Vf e) Va=2Vf

07-(UF-MG) Dois satélites artificiais, R e S, estão em órbitas circulares de mesmo raio, em torno da Terra. A massa do satélite R é maior que a do satélite S. Com relação ao módulo das velocidades, VR e VS, e dos períodos de translação, TR e TS, pode-se afirmar que: a) VR VS e TR = TS b) VR VS e TR

TS c) VR = VS e TR =TS d) VR = VS e TR

TS e) VR

VS e TR

TS

08-(CESGRANRIO-RJ) Dois satélites, A e B, giram ao redor da Terra em órbitas circulares. O raio da Terra é R e as alturas das órbitas dos satélites, em relação à superfície terrestre, são, respectivamente, HA=R e HB=3R. Sendo aA e aB os módulos das acelerações vetoriais dos satélites em órbita, então é correto afirmar que: a) aA = aB b) aA = 2 aB c) aA = 3 aB d) aA = 4aB e) aA = 9aB

09-(FUVEST-SP) Um satélite artificial se move em órbita circular ao redor da Terra, ficando permanentemente sobre a cidade de Macapá. Qual é o seu período? 24h

10-(FUVEST-SP) Satélites utilizados para telecomunicações são colocados em órbitas geo-estacionárias ao redor da Terra, ou seja, de tal forma que permaneçam sempre acima de um mesmo ponto da superfície da Terra. Considere algumas condições que deveriam corresponder a esses satélites: I. Ter o mesmo período, de cerca de 24 horas. II. Ter aproximadamente a mesma massa. III. Estar aproximadamente à mesma altitude. IV. Manter-se num plano que contenha o círculo do equador terrestre. O conjunto de todas as condições que satélites em órbitas geo-estacionárias devem necessariamente obedecer corresponde a: a) I e III b) I, II e III c) I, III e IV d) II e III e) II e IV

11-(UFG-2008) Considere que a Estação Espacial Internacional, de massa M, descreve uma órbita elíptica estável em torno da Terra, com um período de revolução T e raio médio R da órbita. Nesse movimento, (A) o período depende de sua massa. (B) a razão entre o cubo do seu período e o quadrado do raio médio da órbita é uma constante de movimento. (C) o módulo de sua velocidade é constante em sua órbita. (D) a energia cinética é máxima no afélio. (E) a energia cinética é máxima no perigeu.

Respostas 01 8,0.104m/s 02- D 03- V/9 07- C 08- D 09- 24h 10- C 11- E 04- a) 8km/s b) 80min 05- 3 /GT2

06- B

Velocidade de escape

Para colocar um objeto em órbita ao redor da Terra, como fazemos com os satélites artificiais, a partir de sua superfície da Terra, devemos lançá-lo com uma velocidade mínima, que denominamos velocidade de escape Ve).

Essa velocidade mínima (Ve)) deve ser a velocidade necessária para que um objeto, sem propulsão própria, saia da superfície da Terra e chegue no infinito com velocidade zero. Assim, considerando: G constante gravitacional M massa da Terra M massa do objeto a ser lançado com velocidade Ve e que vai escapar do campo gravitacional r=R Distância entre o centro do planeta (Terra) e o ponto no qual a velocidade de escape está sendo calculada (superfície da Terra) Energia mecânica na superfície da Terra de raio R Energia potencial gravitacional Ep=-GMm/r Ep=-GMm/R Energia cinética Ec=mVe

2/2 EMT=Ec+Ep EMT=mVe

2/2 GMm/R Energia mecânica no infinito Energia potencial gravitacional Ep=-GMm/

Ep=0 Energia cinética Ec=m02/2 Ec=0 Energia mecânica EM =0 Pelo princípio da conservação da energia mecânica EMT=EM

mVe2/2 GMm/R=0 Ve= 2GM/R

Ve= 2GM/R Substituindo os valores de G, M, e R que conhecemos, obtemos: Ve 11,3km/s que é a velocidade com que um corpo, sem propulsão própria deve sair da superfície da Terra para libertar-se de seu campo gravitacional.

O que você deve saber * O valor da velocidade de escape não depende da massa do corpo que está sendo lançado mas apenas da massa do corpo central, no caso, a Terra e também não depende do ângulo de lançamento.

* Quanto mais afastado o corpo estiver da superfície da Terra (maior r), menor será o valor da velocidade de escape.

* Como a velocidade de um corpo em órbita é dada por V= GM/r a velocidade de escape numa dada altura é 2 vezes maior que a velocidade em órbita circular na mesma altura.

* Em função da aceleração da gravidade g, a velocidade de escape será dada por: g=GM/r2 e Ve= 2GM/r Ve= 2gr2/r

Ve= 2gr

*A expressão Ve= 2GM/r sugere que se existirem corpos celestes com massas tão grandes e raios tão pequenos de maneira que a velocidade de escape neles seja maior que a velocidade da luz c, a luz não escaparia à atração gravitacional deles. São chamados buracos negros .

Exercícios

01-(OBA) Sabemos que a velocidade de escape da Terra é aproximadamente 11km/s. Entretanto, quando observamos o lançamento de um foguete, é fácil perceber que sua velocidade nos instantes iniciais é muito inferior a este valor. Por quê?

02-(UFB) O diâmetro médio da Terra é, aproximadamente, 2,6 vezes maior que o de Mercúrio. A massa de Mercúrio é 0,55 da massa da Terra. Calcule a razão entre a velocidade de escape na Terra (VeT) e a velocidade de escape em Mercúrio (VeM).

03-(UFB) Suponha que exista um planeta cuja massa seja cuja massa seja 4 vezes maior que a massa da Terra e cujo raio seja 4 vezes menor que o raio da Terra. Calcule a relação entre a velocidade de escape no Planeta e a velocidade de escape na Terra.

04-(UFB) Considere um satélite em trajetória elíptica ao redor de um planeta. Qual é a relação entre suas energias cinética, potencial e mecânica quando o satélite estiver: a) no afélio (apogeu)? b) no periélio ( perigeu)?

05-(UFB) Com relação ao exercício anterior, o que aconteceria com essas energias se aa órbita do satélite fosse circular?

06- Uesb-A aceleração da gravidade na superfície de um asteróide é igual a 3,0m/s2. Se o raio do asteróide é igual a 500,0km, então, para que um foguete escape da atração gravitacional desse asteróide, ele deve ser lançado da sua superfície com uma velocidade, em km/s, de 01) 5 02- 1 03) 4 04) 7 05- 3

Respostas

01- Porque o foguete tem propulsão permanente 02- 2,6 03- 0,25

04- a) a energia cinética é maior que a potencial e a soma das duas é a mecânica que é constante b) a energia potencial é maior que a cinética e a soma das duas é a mecânica que é constante 05- a energia cinética seria constante. A potencial também, e a soma das duas que é a mecânica, também. 06- 5

Aceleração da Gravidade

A Terra (ou qualquer outro planeta) origina ao seu redor um campo gravitacional de maneira que qualquer corpo de massa m, quando colocado no interior desse campo fica sujeito à uma força de atração gravitacional FG=GMm/r2, sendo, G a constante de gravitação universal, M a massa da Terra ou do planeta e r a distância do centro da Terra ou do planeta ao

centro do corpo. Mas, esta força que age sobre o corpo ou satélite corresponde ao seu próprio peso, tal que, P=mg. Portanto FG=P GMn/r2=mg

g=GM/r2

g=GM/r2

onde: g valor da aceleração da gravidade à uma distância r do centro do planeta (m/s2 ou N/kg) G constante de gravitação universal (6,67.10-11 Nm2/kg2) M massa do planeta (kg) r distância do centro do planeta ao centro do corpo (m)

O que você deve saber

* O valor de g não depende da massa m do corpo, mas apenas de sua posição r em relação ao centro planeta e da massa M do planeta.

* Se o corpo estiver a uma altura h acima da superfície da Terra de raio R, teremos:

g=GM/(R+h)2

*Para pontos na superfície da Terra de massa M=6,0.1024m e raio R=6,4.106m, o valor de g será: g=6,67.10-11.6,0.1024/(6,4.106)2

g=9,8m/s2, valor que podemos considerar como constante.

*A intensidade do campo gravitacional g da Terra varia, em função da distância a partir de seu centro, conforme o gráfico abaixo.

Para pontos no interior da Terra (r R) o valor de g aumenta linearmente com a distância, medida a partir de seu centro onde g=0, para pontos na superfície (e regiões próximas dela) o valor de g é 9,8m/s2 e para pontos externos à superfície e para pontos externos à superfície diminui com o quadrado da distância (o gráfico chama-se hipérbole eqüilátera).

*Devido ao movimento de rotação da Terra e ao fato da Terra ser achatada nos pólos e dilatada no equador, o valor de g é máximo nos pólos (9,823m/s2) onde não há influência da rotação da Terra e mínimo no equador (g=9,789m/s2) onde essa

influência é máxima. Como a massa de um corpo é invariável, o mesmo ocorre com o peso. Anote que o peso é o mesmo no Pólo Norte e no Pólo Sul.

* Imponderabilidade sensação de ausência de peso. Um astronauta dentro da nave espacial e a própria nave tem a mesma velocidade orbital V e a mesma aceleração de queda g (queda livre), pois as órbitas são de mesmo raio. Assim, astronauta, nave, e tudo mais no veículo ficam em repouso uns em relação aos outros e o astronauta tem a sensação de ausência de peso.

É apenas sensação, pois ali existem P e g, caso contrário eles não estariam em órbita circular, mas sim em MRU, fora do campo gravitacional terrestre. *Observe pela figura abaixo que eles (astronauta e nave) estão sempre caindo sobre a Terra mas não a atingem por causa da

velocidade tangencial V.

Exercícios

01-06-(ITA-2008) Numa dada balança, a leitura é baseada na deformação de uma mola quando um objeto é colocado sobre sua plataforma. Considerando a Terra como uma esfera homogênea, assinale a opção que indica uma posição da balança sobre a superfície terrestre onde o objeto terá a maior leitura. a) latitude de 45o

b) latitude de 60o

c) latitude de 90o

d) em qualquer ponto do equador e) a leitura independe da localização da balança já que a massa do objeto é invariável

02-(UNESP-2008) Em abril deste ano, foi anunciada a descoberta de G581c, um novo planeta fora do nosso sistema solar e que tem algumas semelhanças com a Terra. Entre as várias características anunciadas está o seu raio, 1,5 vezes maior que o da Terra. Considerando que a massa específica desse planeta seja uniforme e igual à da Terra, utilize a lei de gravitação universal de Newton para calcular a aceleração da gravidade na superfície de G581c, em termos da aceleração da gravidade g, na superfície da Terra.

03-(UFRS-2008) 17) A segunda lei de Newton é aplicada à Força Peso, que é a força através da qual os objetos são atraídos pela Terra. A lei da gravitação universal é uma força pela qual os dois objetos sofrem atração de campo e obedece à lei do inverso do quadrado da distância. Considerando que a Força Peso de um objeto pode ser igualada à força gravitacional, podemos determinar a aceleração da gravidade conhecendo a massa do planeta Terra e a distância do seu centro ao ponto de interesse. De um modo geral, utilizamos o raio médio terrestre para obter g (médio). Entretanto, nosso planeta é achatado nos pólos em relação ao Equador. Assim sendo, podemos afirmar, quanto ao valor de g, que: A) g (médio) > g (pólos) > g (Equador). B) g (pólos) > g (médio) > g (Equador). C) g (Equador) > g (médio) > g (pólos). D) g (pólos) > g (Equador) > g (médio). E) g (Equador) > g (pólos) > g (médio).

(PUC-MG-2008) O texto abaixo refere-se às questões de números 15 e 16 Um dos atrativos da vida na Lua em geral era, sem dúvida alguma, a baixa gravidade, produzindo uma sensação de bem-

estar generalizada. Contudo, isso, apresentava os seus perigos e era preciso que decorressem algumas semanas até que o emigrante procedente da Terra conseguisse adaptar-se. Um homem que pesasse na Terra noventa quilogramas-força (90

kgf) poderia descobrir, para grande satisfação sua, que na Lua seu peso seria de apenas 15 kgf. Se deslocasse em linha reta e velocidade constante, sentiria uma sensação maravilhosa, como se flutuasse. Mas, assim que resolvesse alterar o seu curso, virar esquinas ou deter-se subitamente, então perceberia que sua massa continuava presente. (Adaptado de 2001: Uma odisséia no espaço, de Arthur C.Clark apud Beatriz Alvarenga e Antonio Maximo Ribeiro da Luz. Curso de Física.) QUESTÃO 04-(PUC-MG-2008) Considerando-se a gravidade na Terra como 10m/s2 e 1kgf =10 N, é CORRETO afirmar que a gravidade na Lua será: a) nula, a pessoa estaria sujeita apenas aos efeitos de sua própria massa. b) aproximadamente de 1,6 m/s2. c) aproximadamente 10m/s2, o que mudaria para o emigrante terrestre na Lua é sua massa, que diminuiria. d) aproximadamente 10m/s2 e estaria na vertical para cima, facilitando a flutuação e o deslocamento dos objetos. e) aproximadamente 0,8m/s2

05-(PUC-MG-2008) Considerando-se a gravidade na Terra como 10m/s2 e 1kgf =10 N, é CORRETO afirmar que a gravidade na Lua será: a) nula, a pessoa estaria sujeita apenas aos efeitos de sua própria massa. b) aproximadamente de 1,6 m/s2. c) aproximadamente 10m/s2, o que mudaria para o emigrante terrestre na Lua é sua massa, que diminuiria. d) aproximadamente 10m/s2

e estaria na vertical para cima, facilitando a flutuação e o deslocamento dos objetos.

06-(UTF-PR-2008) Um astronauta, na Lua, lança um objeto verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 4,0 m/s depois de 5,0 s ele retorna a sua mão. Qual foi a altura máxima atingida pelo objeto? A) 0,80 m B) 5,0 m C) 20 m D) 1,0 m E) 0,82 m

07-(UNICAMP-SP) Considere como sendo go a aceleração da gravidade na superfície da Terra de raio R. Calcule, em função de go, o valor da aceleração da gravidade numa altura h=2R da superfície da Terra.

08-(UNESP-SP) Considere um corpo na superfície da Lua. Pela Segunda lei de Newton, o seu peso é definido como o produto de sua massa m pela aceleração da gravidade g. Por outro lado, pela Lei da Gravitação Universal, o peso pode ser interpretado como a força de atração entre esse corpo e a Lua. Considerando a Lua como uma esfera de raio R=2,0.106m e massa M=7,0.1022kg, e sendo a constante de gravitação universal G=7,0.10-11Nm2/kg2, calcule: a) a aceleração da gravidade na superfície da Lua b) o peso de um astronauta, com 80kg de massa, na superfície da Lua.

09-(UFOP-MG) Quando uma nave espacial está em movimento orbital em torno da Terra, vemos que os astronautas e os objetos no interior da nave parecem flutuar . Das alternativas abaixo, a que melhor representa uma explicação física para o fenômeno é: a) As acelerações, em relação à Terra, dos astronautas e dos objetos, no interior da nave são nulas. b) As massas dos astronautas e dos objetos no interior da nave são nulas. c) A nave, os astronautas e os objetos estão em queda livre. d) Nenhuma força atua nos astronautas e objetos que estão no interior da nave. e) A nave e o seu conteúdo estão fora do campo gravitacional criado pela Terra.

10-(UESPI) A variação dos valores da aceleração da gravidade terrestre medida por um observador no equador e no pólo norte é, em grande parte, devida ao fato de a Terra ser um referencial acelerado (rotação em torno do próprio eixo). Considerando a velocidade angular da Terra como sendo 7,3.10-5rad/s e o raio da Terra igual a 6,4.103km, efetue os cálculos que conduzem a essa variação.

11-(UNESP-SP) Turistas que visitam Moscou podem experimentar a ausência de gravidade voando em aviões de treinamento de cosmonautas. Uma das maneiras de dar aos passageiros desses vôos a sensação de ausência de gravidade, durante um determinado intervalo de tempo, é fazer um desses aviões: a) voar em círculos, num plano vertical, com velocidade escalar constante. b) voar em círculos, num plano horizontal, com velocidade escalar constante.

c) voar verticalmente para cima, com aceleração igual a g. d) voar horizontalmente, em qualquer direção, com aceleração igual a g. e) cair verticalmente de grande altura, em queda livre.

12-(UFSCAR-2008) Leia a tirinha

Não é difícil imaginar que Manolito desconheça a relação entre a força de gravidade e a forma de nosso planeta. Brilhantemente traduzida pela expressão criada por Newton, conhecida como a lei de gravitação universal, esta lei é por alguns aclamada como a quarta lei de Newton. De sua apreciação é correto entender que:

a) em problemas que envolvem a atração gravitacional de corpos sobre o planeta Terra, a constante de gravitação universal, inserida na expressão newtoniana da lei de gravitação, é chamada de aceleração da gravidade.

b) é o planeta que atrai os objetos sobre sua superfície e não o contrário, uma vez que a massa da Terra supera muitas vezes a massa de qualquer corpo que se encontra sobre a sua superfície.

c) o que caracteriza o movimento orbital de um satélite terrestre é seu distanciamento do planeta Terra, longe o suficiente para que o satélite esteja fora do alcance da força gravitacional do planeta.

d) a força gravitacional entre dois corpos diminui linearmente conforme é aumentada a distância que separa esses dois corpos.

e) aqui na Terra, o peso de um corpo é o resultado da interação atrativa entre o corpo e o planeta e depende diretamente das massas do corpo e da Terra.

13-(CEFET-PR) Sobre um satélite artificial colocado em órbita em torno da Terra, considere as seguintes afirmações: I. A força resultante sobre o satélite é nula. II. A força gravitacional atua sobre o satélite como força centrípeta. III.O satélite não exerce sobre a Terra nenhuma força gravitacional. IV. O satélite acabará caindo quando sua velocidade for diminuindo gradativamente Quais estão corretas?

14-(FAFI-MG) Analise as proposições abaixo: I) Os lançamentos espaciais se baseiam rigorosamente nas leis de Newton. O êxito desses lançamentos solidifica as crenças nessas leis. II) Um astronauta remetido para o espaço sideral, longe das galáxias, das estrelas ou outros corpos, ao analisar sua massa, verificará que ela é nula. III) Em uma cápsula espacial em órbita na vizinhança da superfície da Terra os astronautas estão em queda livre, caindo para a Terra com a aceleração da gravidade. Quais estão corretas?

Respostas 01- C 14- I e III 02- 1,5g 03- B 12- E 04- B 05- B 13- I e IV 06- B 07- go/4 14- I e III 08- a) 1,2m/s2 b) 96N 09- C 10- g=3,4.102m/s2

11- E

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