Geometria espacial de posição

Francisco Ferreira Paulo

Hálisson Barreto Vieira

Luiz Vicente Ferreira Neto

Carlos Henrique de Sousa

São os primeiros conceitos. Não possuem antecedentes, portanto

não podem ser definidos. São esses: o ponto, a reta e o plano.

▪ Ponto:

▪ Reta:

▪ Plano:

1. Conceitos primitivos

Indicado por letras maiúsculas: A, B, C, …

Indicado por letras minúsculas: a, b, c, …

Indicado por letras gregas minúsculas: α, β, γ, …

2. Postulados sobre pontos e retas▪ Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.

▪ Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

▪ Um ponto qualquer divide uma reta em duas semirretas.

▪ Por um ponto passam infinitas retas.

3. Postulados sobre o plano e o espaço▪ Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.

▪ Se dois pontos pertencem a uma reta e a um plano, então esta reta está contida no plano.

▪ O plano é infinito, isto é, ilimitado.

▪ Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões denominadas semiplanos.

▪ Por três pontos não-colineares passa um plano.

▪ Por uma reta passam infinitos planos.

▪ Qualquer plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi-espaços.

4. Classificação

No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

5. Posições relativas de duas retas

Temos que considerar, então, dois casos particulares:

Lembretes!

▪ Falando em retas ortogonais, essas são assim denominadas por serem reversas que formam entre si um ângulo de 90º;

▪ Retas perpendiculares são concorrentes que formam entre si um ângulo de 90º;

▪ O Postulado de Euclides (ou das retas paralelas) diz que dados uma reta r e um ponto P não pertencente a essa reta, existe uma única reta s traçada por P, tal que r e s são paralelas.

Lembrando que, pelo postulado cinco, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:

6. Determinação de um plano

7. Posições relativas entre reta e plano

Postulado:

Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma reta que passa por esse ponto.

Uma reta e é perpendicular a um plano se, e somente se, essa reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto de intersecção de r e o plano.

8. Perpendicularismo entre reta e plano

Note que:

9. Posições relativas de dois planosConsidere, para tanto, as seguintes situações:

Se tomarmos a ideia do perpendicularismo entre planos, sabe-se:

10. Projeção ortogonal, distâncias e ângulos

▪ Projeção ortogonal

▪ Distâncias

▪ Ângulos

Ainda sobre ângulos, vale lembrar que