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GEOGEBRA COMO FERRAMENTA NO ENSINO DE FUNÇÕES AFIM E

FUNÇÃO QUADRÁTICA: UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA 1º ANO DO

ENSINO MÉDIO

Claudio Carlos Carvalho1

Dr. Luciano Ferreira2

RESUMO

A matemática apresenta uma alternativa que contribui para um desenvolvimento crítico, aprimorando interações das tecnologias, como é o caso da utilização de software GeoGebra, exercendo, portanto, uma contribuição significativa no ensino de funções. O presente trabalho utilizou-se da Engenharia Didática (MICHELE ARTIGUE, 1996), como metodologia e para o desenvolvimento de uma Sequência Didática. Sendo assim, foi possível aplicá-la no primeiro semestre de 2017, na Escola Estadual do Campo de Ourilândia, no Município de Barbosa Ferraz Paraná, Núcleo Regional de Campo Mourão, com alunos do período noturno matriculados no primeiro ano do Ensino Médio. No início aplicou-se um questionário para se obter informações sobre seus conhecimentos em tecnologia, para que houvesse a possiblidade do uso do software Geogebra no ensino da matemática e conhecimento de funções afim e quadrática, a ser trabalhado. Seguindo de uma análise a priori e a posteriori. Na sequência foram apresentadas atividades que possibilitaram o uso da tecnologia, bem como o entendimento do ensino e aprendizagem de acordo com uma sequência didática, o que possibilitou avanços educativos e comparativos no pós-teste, a fim de uma análise a priori e a posteriori. Desse modo, depreende-se que é possível empregar tecnologias para o ensino da matemática no campo das funções e que a metodologia aplicada em uma Sequência Didática atende amplamente a realidade de uma Escola do Campo tornando uma possibilidade eficaz. Quanto ao aproveitamento, infere-se que este está relacionado a fatores diversos, porém com uma boa aceitação significativa, até mesmo quando não há um aproveitamento total dos questionamentos levantados.

Palavras-chave: GeoGebra; Tecnológico; Ensino; Funções.

APRESENTAÇÃO

Neste artigo pretende-se apresentar as atividades matemáticas para o

ensino de funções afim e função quadrática, utilizando-se do software

1 Professor da Rede Estadual de Educação – SEED/PR – Professor PDE 2016/2017. e-mail: [email protected] 2 Professor Orientador IES – Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de Campo Mourão-PR. e-mail: [email protected]

GeoGebra1, alicerçado no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE,

para contribuições nas escolas estaduais do Estado do Paraná.

Apresentaremos aqui um caso particular de uma Escola do Campo,

localizada em Barbosa Ferraz Paraná, no Colégio Estadual do Campo de

Ourilândia EFM.

A pesquisa feita nesta escola apresenta o uso de tecnologia, isto é, como

os softwares podem ser úteis ao ensino e à aprendizagem.

Sendo assim, já é sabido que o ensino de funções há uma complexidade

e dificuldades específicas que acerca o conteúdo, mas a pesquisa apoiada na

Engenharia Didática de Michele Artigue (1996) e amparada com o software

GeoGebra, elaboramos atividades que satisfaçam os conceitos de funções afim

e quadráticas, resultando na superação das dificuldades de aprendizagem.

As atividades foram aplicadas no primeiro semestre de 2017, em dois

ambientes escolares (na sala de aula e no laboratório de informática), pois

entendemos que:

Os professores precisam saber como usar os novos equipamentos e software e também qual é o seu potencial, quais são seus pontos fortes e seus pontos fracos. Essas tecnologias, mudando o ambiente em que os professores trabalham e o modo como se relacionam com outros professores, tem um impacto importante na natureza do trabalho do professor e, desse m odo, na sua identidade profissional (VALENTE, 2008.p. 78).

Em relação a isto, entende-se que a tecnologia poderia ser utilizada no

ensino de funções, onde o aluno poderia analisar instantaneamente a álgebra e

a parte gráfica através software. Por isso, ao utilizar um software e uma

metodologia diferenciada como Engenharia didática a dificuldades na

aprendizagem são facilmente superadas.

Engenharia didática

A Engenharia Didática surgiu no início dos anos de 1980, na escola

francesa, como uma forma didática para o ensino da matemática no ambiente

3 GeoGebra é um software matemático que reúne geometria, álgebra e cálculo. Ele foi desenvolvido por Markus

Hohenwarter da Universidade de Salzburg, na Áustria, para educação matemática nas escolas, um sistema de geometria dinâmica.

escolar. Dentro deste propósito (Guy Brousseau, 1986) com a Teoria das

Situações Didáticas, desenvolveu um trabalho de cunho científico direcionado a

criar situações problemas na matemática, em que o aprendizado dar-se-á por

meio de uma adaptação do ambiente que produz eventos (que nem sempre está

de acordo com o previsto), já que o aluno, o professor e o saber formam a tríade

de agentes da constituição do conhecimento.

Dessa maneira, é importante destacar as quatro fases da metodologia

da Engenharia Didática, sendo elas:

a) Análises prévias: identifica os problemas de ensino aprendizagem, e busca

alguma intervenção positiva ao ensino;

b) Concepção e análise a priori: fase que é composta por uma parte descritiva e

uma parte preditiva, a fim de uma visão ampla (relativas à organização global da

engenharia) e outra restrita (relacionadas com a questão comportamental do

aluno);

c) Experimentação: o professor faz observações, registros diários das atividades

desenvolvidas com os alunos;

d) Análise a posteriori e validação da experiência: observações do pesquisador

apoiado nos dados coletados durante a experimentação realizada.

Ademais, segundo (POMMER, 2013), as quatro fases não ocorrem,

geralmente, de forma linear e estanque, visto que necessita, às vezes, da

articulação, da antecipação e até mesmo da superposição dos seus respectivos

elementos caracterizadores. Por isso, em algum momento deve haver

intervenções para que haja correção do direcionamento dado à pesquisa, pois

há variantes no processo de obtenção de dados.

Com relação a isto, a figura 1, retrata as fases da Engenharia Didática,

mostrando seus respectivos elementos caracterizadores:

Figura 1: Esquema resumido das fases da Engenharia Didática

Fonte: O autor.

Isto posto, a primeira fase (fase de análises preliminares), se dedica à

um quadro bastante teórico, como também ao objeto de estudo, este que deve

ser feitas ponderações com questionamentos, o que corrobora com a descrição

de Artigue (1996):

“[...] reside na fina análise prévia das concepções dos alunos, das dificuldades e dos erros tenazes, e a engenharia é concebida para provocar, de forma controlada, a evolução das concepções” (ARTIGUE, 1996, p. 202).

Com esta análise prévia, de forma controlada, permite que a superação

de alguns problemas de aprendizagem encontrados, permitindo o avanço para

a segunda fase, a da análise a priori ou concepções didáticas.

Nesta etapa, da análise a priori, há uma demarcação de variáveis, em

microdidática2 ou macrodidáticas3 que pertencem a tríade do sistema didático

envolvidos, que são: professor, aluno e o saber.

Já na terceira fase, dirige-se à experimentação do trabalho dentro da

Engenharia Didática no campo de pesquisa diretamente com um grupo

determinado de alunos, trazendo da analise a priori, os fundamentos delimitados

ao desenvolvimento.

De acordo com Machado (2002), temos:

[...] a explicitação dos objetivos e condições de realização da

2 Pommer, 2012, p. 23, variáveis microdidáticas e macrodidáticas. 3 Variáveis microdidática e macrodidática: A macrodidática precede a microdidática, visto que ela se refere ao todo (global) da organização da engenharia, e a microdidática, diz respeito a uma sessão ou uma fase – ou seja, incentivam os estudantes à busca de soluções. Assim sendo, faz com que as variáveis sejam interdependentes.

pesquisa a população de alunos que participará da experimentação; - o estabelecimento do contrato didático; - a aplicação do instrumento de pesquisa; - o registro das observações feitas durante a experimentação. (MACHADO, 2002, p. 206).

Por isso, na terceira fase o trabalho deve ter a total atenção para os fatos

que foram levantados anteriormente, considerando as ações positivas e

negativas.

Por conseguinte, a quarta fase, é a análise a posteriori e validação, no

qual Artigue (1996) concretiza como um conjunto de informações minuciosas

levantadas no campo experimental pelo professor pesquisador, que resultará em

uma confrontação de informações com a análise a priori, bem como com as

informações do objeto de estudo, dessa forma, qualifica-se as indagações

anteriores, ou seja, se obtiveram uma resposta ou quais foram os feedbacks.

ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

A pesquisa foi realizada com 07 alunos que nomearemos de A2, A5, A6,

A10, A13, A18, A19, do primeiro ano do ensino médio, sendo apresentados a eles

os conceitos básicos sobre função afim e função quadrática. A finalidade desta

pesquisa foi produzir material diferenciado com auxílio do computador;

elaboramos intervenções, numerando as ações de 01 a 174, divididas em duas

partes: de 01 a 10 estão relacionadas à função afim, e 11 a 17 a funções

quadráticas.

A duração da aplicação foi de 32 horas, divididos, 20 horas á função afim

e 12 horas á função quadrática, destinado aos trabalhos às observações,

aplicações das atividades e socialização com alunos.

Verificadas as dificuldades dos alunos, nas observações retomamos os

processos de ensino básico, apoiamos em livros didáticos fornecidos pela

escola, referentes aos sétimos e oitavos anos para contextualização e

atualização de conteúdos.

4 As atividades não são apresentadas neste artigo devido ao espaço físico para arquivo não suportar todas as imagens estando disponíveis na unidade didática da pesquisa.

Na sequência do módulo de ensino de funções, notou-se uma melhora

significativa, acredita-se que esta melhora, tem origem em atividades

envolvendo equações do segundo grau.

EXPLORANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU NO GEOGEBRA:

Neste momento as ações de 01 a 10, procuraram demonstrar resultados

positivos ou negativos durante as 20 horas aula programada na execução de

parte da pesquisa com o auxílio da tecnologia de maneira rápida, eficaz e prática,

para uma aprendizagem plena do conceito f(x) = ax + b.

AÇÃO 1: Atividade Professor/aluno

Análise a priori: Nesta ação com GeoGebra, pretendia-se verificar se o

aluno entende o conceito de função afim que foram aprendidos em etapas

anteriores de seu estudo até ingressar no ensino médio, então na atividade o

aluno deveria digitar no comando de entrada do software a seguinte função: f(x)

= a.x + b, que automaticamente seria criado dois controles deslizantes para o

coeficiente a e b, além da:

a) A construção do plano cartesiano.

b) Interceptação da reta nos eixos das ordenadas e das abscissas.

c) A criação de pontos para as coordenadas (x, y).

Dessa forma, o auxílio do software GeoGebra objetivava-se o

comportamento realizado na atividade quando inserida a denominação para

função afim, já que é a atribuída em diversos livros didáticos de matemática.

Análise a posteriori: Participaram (07 alunos) A2, A5, A6, A10, A13, A18,

A19, para a construção do plano cartesiano e os controles deslizantes, a fim de

satisfazer os objetivos propostos na ação 1.


Análise a priori: Nessa ação pretende-se mostrar no GeoGebra os

recursos de criar controles deslizantes, com valores “min -5, máx +5” .

Análise a posteriori: Os 7 alunos participantes, A2, A5, A6, A10, A13, A18,

A19, conseguiram atingir o objetivo desejado.


Análise a priori: Tem-se a possibilidade de criar Controles Deslizantes

manualmente de uma segunda maneira. Devem-se digitar no campo entrada os

valores desejados para “a” igual a “1” e “b” igual a “2”. Então, ao inserir os valores

da função no campo de entrada f(x)=a.x + b, o aluno deve obter a reta construída

no plano cartesiano do software. Em relação à atividade, pode-se perguntar ao

aluno:

a) Qual é o valor atribuído para a?

b) Qual é o valor atribuído para b?

c) Qual é o comportamento da variável x?

Desse modo, o objetivo é que os participantes reconheçam os

coeficientes da função afim.

Análise a Posteriori: Dos 7 alunos, 06 alunos alcançaram o objetivo,

sendo eles: A5, A6, A10, A13, A18, A19. Apenas o aluno A2 recusou-se de participar

da ação proposta.


Análise a priori: Pretendia-se, mostrar no GeoGebra, que a mudança

dos coeficientes altera a representação. Desse modo, o aluno terá as seguintes

perguntas sobre o comportamento da função:

a) Quando houve a mudança de controle do valor de “b”, de 1 para 0, sem a

alteração do valor de “a” o que aconteceu com a reta traçada?

b) Tendo o valor de “b” igual a “0”, ao movimentar o controle deslizante do valor

de “a”, a reta terá que comportamento?

c) Quando o valor de “b” é zero, a função tem que denominação?

Análise a Posteriori: Dos 7 participantes apenas 06 alunos participaram

da ação: A2, A5, A6, A10, A13, A18, A19. Todos os 06 alunos não obtiveram êxito na

descrição.


Análise a priori: Esperava-se mostrar que no GeoGebra há a

possibilidade de ter valores negativos para coeficiente angular “a”. Sendo assim,

o aluno seria questionado:

a) A função tendo a > 0 que tipo de característica tem-se para a reta, crescente

ou decrescente?

b) Ao deslocar o coeficiente “b” de “1” ao infinito.

c) Como se pode descrever esta condição: a função será decrescente ou

crescente?

Análise a posteriori: Nesta ação participaram 02 alunos, A5, A19, não

tiveram êxitos nas suas dissertações. Acredita-se que está na interpretação e

não na construção, já que na resolução manual das atividades também não

tiveram êxitos.


Análise a priori: Similarmente a ação 3, a ação 4 retrata valor de “a”

menor do que zero, apenas para exercício de fixação e demonstração de reta

decrescente.

Análise a Posteriori: Participaram 02 alunos, A5, A19, não tiveram êxitos

nas descrições em suas atividades, ou seja, na resolução manual conseguiram

construir, porém não conseguiam explicar o que haviam realizado.


Análise a priori: Assim como a ação 3 e 4, a ação 7 retrata o valor de

“a” menor do que zero.

Análise a posteriori: Participaram 07 alunos A2, A5, A6, A10, A13, A18, A19,

dentre eles - após repetitivas atividades acerca de coeficientes negativos -

apenas 5 alunos completaram corretamente a ação, sendo eles: A2, A5, A6, A10,

A13. Contudo, A18 e A19, acertaram 50% das ações em suas atividades.


Análise a priori: Nesta ação, procura-se mostrar no GeoGebra, que

mesmo sem o valor de “b” a reta não vertical pode ser entendida como uma

função linear.

Análise a posteriori: Participaram 07 alunos, A2, A5, A6, A10, A13, A18,

A19, sendo que, todos os alunos não obtiveram êxito na realização da ação.

Foram realizadas ações de explanações no quadro, trabalhado com livro didático

e canais do YouTube acerca do conteúdo, visando a retomada do mesmo

conteúdo.


Análise a priori: Aqui busca-se mostrar, no GeoGebra, uma nova

condição para o tratamento da informação de que uma reta não vertical.

Análise a posteriori: Participaram 05 alunos (A2, A5, A6, A10, A18) sendo

que, 03 deles - A2, A6, A10 - marcaram as alternativas corretamente. Entretanto,

os outros dois participantes (A5 e A18) não assinalaram corretas as respostas.

1.1: ATIVIDADES ENVOLVENDO ALUNO

AÇÃO 10: Atividade aluno

Análise a priori: Nessa ação, acredita-se que o aluno já apresenta

possibilidade de interagir com o software GeoGebra, e já consegue manipular as

ferramentas necessárias para desenvolver as atividades propostas a ele. Então,

neste caso, o professor deve ser apenas o observador das ações por ele

executada.

Para isto, criamos uma pasta de arquivo com o nome do aluno em

computadores individuais, arquivando as atividades por eles realizadas,

enumeradas de acordo com as ações.

Primeira atividade individual

Desenvolva as atividades a seguir utilizando-se o software GeoGebra,

gerando o gráfico para cada questão de função do primeiro grau. Em seguida,

descreva de forma breve o porquê do comportamento da função.

a) f(x) = ax + 1

Descrição:____

b) f(x) = - ax +1

Descrição:____

c) f(x) = - ax +1

Descrição:____

d) f(x) = ax + 5

Descrição:____

e) f(x) = 2x + 3

Descrição:____

f) f(x) = - 5x - 4

Descrição:____

g) f(x) = - 3x + 2

Descrição:____

h) f(x) = 2x - 5

Descrição:____

i) f(x) = 0x + 1

Descrição:____

j) f(x) = 0x - 2

Descrição:____

Análise a Posteriori: Participaram 06 alunos (A5, A6, A10, A13, A18, A19), sendo

que o aluno A2 se recusou a trabalhar as ações colocadas à disposição.

Analisando os resultados dos alunos como satisfatória, encontraram dificuldades

e insatisfatória, chegou-se a seguinte condição para cada alternativa:

Alternativa a: A5, A6, A10 descreveram satisfatoriamente, A13 A18, A19,

encontraram dificuldades;

Alternativa b: A6, A10, A13, A18 descreveram satisfatoriamente, A5, A19,


Alternativa c: A6, A10, A13, A18 descreveram satisfatoriamente, A5, A19,


Alternativa d: A6, A10 descreveram satisfatoriamente, A5, A13, A18, A19;

encontraram dificuldades.

Alternativa e: A6, A10, descreveram satisfatoriamente, A5, A13, A18, A19,


Alternativa f: A6, A10, A13, A18, descreveram satisfatoriamente. A5. A19


Alternativa g: A6, A10, A13, descreveram satisfatoriamente. A5, A18, A19,


Alternativa h: A5, A6 descreveram satisfatoriamente, A10, A13, A18, A19,


Alternativa i: A6, A10 descreveram satisfatoriamente, A5, A13, A18, A19,


Alternativa j: A5, A6 descreveram satisfatoriamente, A10, A13, A18, A19,


As dificuldades encontradas na ação, acredita-se que está relacionada

a interpretação, leitura, e na interpretação digital da tela do computador, bem

como na resolução manual das atividades.


Análise a priori: De forma similar a ação anterior, o professor deve ser

o orientador das atividades, visto que neste caso haverá mais de uma inserção

a ser introduzida no campo de entrada, gerando o cruzamento de retas.

O aluno deve novamente criar uma pasta de arquivo com o seu nome no

seu respectivo computador (individual), para que arquive as atividades assim

que concluídas. Com o arquivo dos alunos, o professor poderá obter os

resultados para a análise a posteriori. Acerca disto, na atividade o aluno inserirá

as funções diretamente no campo de entrada conforme o exercício pede:

Segunda atividade individual

No GeoGebra, insira no campo de entrada f(x) e outra g(x), para que

gere duas funções de primeiro grau, sendo uma função crescente e outra

decrescente, assim deve-se analisar se há cruzamento de retas. Caso haja, em

que ponto houve esta interceptação?

Análise a Posteriori: Participaram 06 alunos (A5, A6, A10, A13, A18, A19).

O aluno A2, se recusou a trabalhar as ações colocadas à disposição. Então,

todos os 06 participantes colocaram a resposta “não” nas descrições, isto

significa que a palavra “não” tornava a ação errada, pois há interceptação das

retas produzidas.


Análise a priori: Nesta atividade os alunos continuam sendo

observados pelo professor que orienta as atividades a serem feitas. Os

participantes devem responder a seguinte questão:

Atividade individual 3:

Um agricultor, que comercializa leite natura e entrega ao laticínio da

região, tem um custo fixo atribuído de: R$ 0,40 em mão de obra, R$ 0,25 com

ração, R$ 0,30 nos medicamentos, R$ 0,20 de suplementos alimentares, R$ 0,20

em medicamentos e R$ 0,15 no transporte (até o ponto de coleta pelo veículo da

empresa).

Além disso, no presente momento, o preço pago pelo laticínio ao

produtor é de R$ 1,90 por litro entregue - desde que haja somente

aproveitamento na empresa, isto é, não tenha descarte.

A respeito disso, pode-se utilizar uma função de primeiro grau em

relação ao exercício 3. Por isso, responda as questões abaixo:

a) Se o produtor produziu e entregou durante o mês 1.300 litros, qual foi seu

faturamento?

b) Qual foi sua despesa para produzir esta quantidade de leite entregue pela

empresa?

c) Qual a lucratividade obtida pelo agricultor nestes 30 dias?

d) Determine como podemos escrever esta função?

Analise a posteriori: Participaram da ação 06 alunos (A5, A6, A10, A13,

A18, A19) havendo recusa do aluno A2 em participar da atividade. Então, ao

analisar a proposta de trabalho por alternativas como: satisfatória ou

insatisfatória.

Todas respostas descritas e apresentadas nas alternativas descritas, a,

b, c e d, validaram-se como satisfatórias.

Explorando gráficos de funções quadrática no GeoGebra

Nesta seção, são apresentadas as funções quadráticas a serem

trabalhadas de 11 a 17, proposta para o computador, sendo ações

“professor/aluno”, onde o professor e o aluno interagiram juntos com as

atividades na tela do computador, a qual teve como objetivo principal a análise

prévia, concepção e análise a priori, experimentação e a análise a posteriori, nas

12 horas aula programada na execução deste trabalho na execução e

compreensão da fórmula: f(x) = ax2 + bx + c.


Análise a priori: Acerca da função do segundo grau, quando se obtém

uma função f(x) = ax², sem os reais b e c, o software representa a mesma tendo

seu vértice na origem, isto é, “x” igual a “0” e “y” igual a “0”.

Desse modo, o objetivo que se espera do aluno é que ele perceba que

a função f(x) = ax², tem concavidade voltada para cima (imagem que aparece na

tela do computador). Assim sendo, o aluno deverá responder as seguintes

questões:

a) Observe a imagem no monitor do seu computador, e descreva os valores dos

coeficientes “a”, “b” e “c”.

b) Escreva as coordenadas do vértice da função.

c) Utilizando do seu gráfico relacione o coeficiente “a” e o ponto de mínimo.

Análise a posteriori: Participaram da ação 07 alunos (A5, A6, A7, A10,

A13, A18, A19), sendo observado o retorno à escola do aluno A7.

Alternativa a: Todos responderam satisfatoriamente.

Alternativa b: 03 Alunos (A6, A10, A13) executaram a ação correta, 04 alunos (A5,

A7, A18, A19) não desenvolveram a ação corretamente.

Alternativa c: 02 alunos (A6, A10) responderam a ação corretamente, e 05 alunos

(A5, A7, A13, A18, A19) não atingiram o objetivo.

Foi possível notar maior familiarização com o computador, o que já demonstrava

resultados positivos.


Análise a priori: Diferentemente do caso anterior, a função do segundo

grau também pode conter os valores de a, b, excluindo o valor de c.

Então, tomando como aprendido a utilização da entrada no software, na

atividade das funções afim, ao se digitar nela uma função do segundo grau da

seguinte maneira “f(x) = a𝑥2 + 𝑏𝑥”, automaticamente o controle deslizante

fornece os valores de “a” e “b” iguais a “1”. Desejamos que os alunos ao

construírem e observarem a tela do computador identifique suas raízes, “x1 = 0”

e “x2 = -1” para a seguinte função f(x) = 𝑥2 + 𝑥 e responder as seguintes

questões olhando a tela do computador:





Análise a posteriori: Participaram da ação 07 alunos (A5, A6, A7, A10,

A13, A18, A19).

A alternativa a: Todos realizaram satisfatoriamente a ação.

A alternativa b: 05 Alunos (A5, A6, A10, A13, A18) executaram a ação correta, sendo

que 02 alunos (A7, A19) não conseguiram atingir o objetivo da ação.

A alternativa c: 05 alunos (A5, A6, A10, A13, A18) executaram a ação correta, sendo

que 02 alunos (A7, A19) não chegaram ao esperado.


Análise a priori: Distintamente dos casos anteriores, a função do

segundo grau poderá conter os valores de a, b, e c. Assim, ao se digitar a função

“f(x) = a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐”, automaticamente o controle deslizante fornece os valores

de “a”, “b” e “c” iguais a “1”. Dessa maneira, a imagem da tela do computador,

fornece a representação para “f(x) = a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐”, em que o aluno deve

reconhecer que o valor de “c” desloca a parábola no eixo das ordenadas e

positivamente, para este caso.

Não diferente das outras ações anteriores, o aluno deverá responder as

questões referente à ação:

a) Observe no monitor do seu computador, e descreva os valores dos




Análise a Posteriori: Participaram da ação 07 alunos (A5, A6, A7, A10,

A13, A18, A19).

A alternativa a: Foi realizada satisfatoriamente por 06 alunos (A5, A6, A10, A13,

A18, A19), apenas o aluno A7, não obteve êxito na sua resposta.

A alternativa b: 05 Alunos (A5, A6, A10, A13, A18) executaram a ação correta, sendo

que 02 alunos (A7, A19) não desenvolveram a ação corretamente.

A alternativa c: Todos os participantes não desenvolveram a ação corretamente.


Análise a priori: Agora serão efetuadas as mesmas atividades, porém

com números reais negativos, dentro do software GeoGebra. Assim sendo, ao

ser inserido no campo de entrada do GeoGebra a função “f(x) = - ax² “, sem os

reais b e c., verifica-se graficamente que é uma função de segundo grau, pois

temos uma parábola. O objetivo que se espera do aluno é que ele reconheça

que a parábola possui o vértice na origem do plano (x,y), além da sua

concavidade ser voltada para baixo. A representação da imagem,

automaticamente fornece ao controle deslizante o valor de “-a” igual a “-1” ao

digitar a função na entrada. Dessa maneira, pode-se perguntar ao aluno:






A13, A18, A19).

A alternativa a: realizada satisfatoriamente por todos os alunos.

A alternativa b: Os alunos (A5, A6, A10, A13, A18, A19) executaram a ação correta,

sendo que apenas o aluno A7 não efetuou ação corretamente.

A alternativa c: Todos os alunos executaram a ação correta, exceto o aluno A7

que não obteve êxito.


Análise a priori: A ação 15 caracteriza-se por inserir no campo de

entrada f(x) = - ax² - bx. Assim, o GeoGebra fornecerá a identificação automática

para “-a” e “-b” dando-os iguais a “-1”. A parábola fornecida pelo software

mostrará as raízes “x1 = -1” e “x2 = 0”, que nada mais é que o objetivo da

atividade, e o que o aluno deve reconhecer quando mostrado imagem no

computador. Desse modo, o aluno deverá responder:

a) Observe a no monitor do seu computador, e descreva os valores dos





A13, A18, A19).

A alternativa a: Foi realizado satisfatoriamente por 06 alunos (A5, A6, A10, A13,

A18, A19) e apenas o aluno A7 não obteve êxito na sua resposta.

A alternativa b: 03 alunos (A6, A10, A13) executaram a ação corretamente, e os

outros 04 alunos (A5, A7, A18, A19) não atingiram o objetivo da ação.

A alternativa c: 03 alunos (A6, A10, A13) executaram a ação corretamente, os

outros 04 participantes (A5, A7, A18, A19) não conseguiram chegar na resposta

almejada.


Análise a priori: Nesta ação, o aluno precisa digitar a função “f(x) =

− a𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐” no software GeoGebra, que dará automaticamente o controle

deslizante com os de “- a”, “- b” e “- c” iguais a “-1”. Desse modo, a imagem

fornece a seguinte representação para f(x) = − a𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐, em que o aluno

deve reconhecer que o valor de “- c” desloca a parábola no eixo das ordenadas

e que a parábola possui a concavidade voltada para baixo. Dessa forma, o aluno

deverá ser interpelado:





Análise a Posteriori: Participaram os (A5, A6, A19, A20. A20, recebido por

transferência).

A alternativa a: Foi realizada satisfatoriamente por 02 alunos (A5, A6), e os outros

02 alunos (A19, A20) não obtiveram êxito nas respostas.

A alternativa b: Apenas o aluno, A6, executou a ação corretamente, os outros 03

alunos (A5, A19, A20) não conseguiram atingir o objetivo da ação.

A alternativa c: Apenas o aluno, A6, executou a ação corretamente, os outros 03

alunos (A5, A19, A20) não atingiram o esperado da ação.


Análise a priori: Nesta ação, o professor ao mostrar que inserir a função

𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, através do campo de entrada, no Geogebra, aparecerá o

esboço do gráfico na tela do computador. Em seguida, no mesmo campo de

entrada o aluno deve digitar ( (−𝒃

𝟐∗𝒂) , − (

𝒃𝟐− 𝟒.𝒂.𝒄

𝟒.𝒂) ), prosseguido da tecla enter.

Dessa forma, aparecerá a representação do vértice da parábola, na qual o aluno

será questionado quanto ao deslocamento do vértice da parábola:

1. Habilite a função, habilitar rastro, para o ponto que representa o

vértice da função e movimente a e verifique o comportamento da concavidade,

e responda.

a) Movimente a e verifique o comportamento do vértice, e responda.

b) Movimente b e verifique o comportamento do vértice e responda.

c) Movimente c e verifique o comportamento do vértice e responda.

Análise a Posteriori: Participaram os (A2, A5, A6, A19, A20).

A alternativa a: 02 alunos (A6, A20) tiveram êxito, sendo observada uma boa

compreensão da ação; os outros 03 alunos (A2, A13, A19) não satisfez a ação.

A alternativa b: Apenas o aluno A6, obteve êxito, sendo observada uma boa

compreensão da ação; outro aluno, A13, satisfez a descrição, sendo observada

uma compreensão média da ação; outros 02 alunos (A2, A19), não obteve êxito

da ação; por fim, o aluno, A19, não realizou a atividade.

A alternativa c: Apenas o aluno, A6, satisfez a ação, sendo observada uma boa

compreensão da ação; outros 02 alunos (A2, A13) satisfizeram, mas com

dificuldade no desenvolvimento da alternativa; já o aluno, A19, não atingiu o

objetivo; e por fim, o aluno, A19, não realizou a atividade.

A alternativa d: Apenas o aluno, A6, conseguiu satisfazer a ação, tendo uma boa

compreensão da ação; já os alunos (A2, A13) satisfizeram a ação, mas com

mediana compreensão; somente o participante, A19, não atingiu o esperado; e

por fim o aluno, A19, não realizou a atividade.

Experimentação

As atividades foram desenvolvidas dentro de uma sequência didática e

consideradas como dificuldades encontradas no pré-teste. Acerca disto, foi

aplicada as ações programadas para funções afim de 01 a 10 e funções

quadráticas de 11 a 17, ambas apoiadas no software GeoGebra.

Durante a primeira experimentação, notou-se enorme dificuldade dos

alunos no entendimento das funções afins, que compreendiam a seção de 01 a

10. Apesar de uma boa explanação em sala de aula sobre a matéria, e revisões

programadas, gerando atividades desenvolvidas e resolvidas no caderno

manual, antes das ações propostas para serem executadas nos computadores.

Ao conhecimento deficitário notado, foi produzido oportunidades de solução,

através do próprio uso de livros didáticos, vídeos assistidos pelo canal YouTube,

sobre o mesmo conteúdo trabalhado, buscando falas e resoluções de outros

profissionais no assunto que almejam melhoria na qualidade do ensino.

Na continuação da experimentação, com funções quadráticas,

compreendidas na seção de 11 a 17, apesar de ainda apresentarem dificuldades

nas resoluções das atividades, notou-se uma melhoria significativa.

Às 32 horas proposta para execução das ações, não foram suficientes,

motivados pela falta de equipamentos que atendessem de imediato as

necessidades de ensino, não comparecimento dos alunos envolvidos na

pesquisa por motivo de chuva e residirem em área rural, recusa de envolver-se

nas atividades de pesquisa.

A equipe de direção, pedagogos e professores, participaram de todas as

reuniões programadas em etapas anteriores, e prestigiaram a aplicação das

ações projetadas, incentivando os alunos e apoiando todo o processo que

deveria a escola oferecer, atendendo e envolvendo-se, dentro de suas

possibilidades em atender o programa do Governo para professor PDE.

As orientações para prosseguir e avançar nas etapas, foram

fundamentais na aplicabilidade das experimentações, fase de análise e

comprovação até sua validação.

Validação

As atividades destinadas à observação do ensino e da aprendizagem

compreenderam o primeiro semestre de 2017. As ações produzidas de 01 a 17,

descritas e analisadas, a partir das explorações dos gráficos de funções afim e

quadrática produziram resultados satisfatórios e de análise mostrando à

possibilidade do retorno as atividades através da realimentação proporcionadas,

corrigindo as possíveis falhas na busca da melhoria da qualidade.

Vantagens da metodologia de pesquisa denominada “Engenharia

Didática” atribuída (ARTIGUE, 1994 e 1996 e BROUSSEAU, 1986); (POMMER,

2013)?

Há um ganho satisfatório com a Engenharia Didática, pois ela atribui

condições e organização do professor/pesquisador, de realizar atividades

geradas a partir de uma indagação e produzi-las através de uma análise

metodológica, onde o aluno e o professor percorrem os mesmos espaços e

caminhos, até a sua validação, e ainda dentro da análise concluída ter o poder

de retornar as atividades e corrigir nos momentos oportunos.

A Proposta teve um alcance satisfatório?

A proposta de trabalho foi realizada dentro das condições esperadas

para uma Escola Estadual do Campo, onde a maioria os alunos são

trabalhadores rurais, e o uso de tecnologia os deixam fascinados, esquecendo

muitas vezes que na escola computadores é para trabalhar conteúdos e não se

ater a mídias sociais que, seu uso indiscriminado geram interrupções, foge do

controle do professor/pesquisador.

A Engenharia Didática traz um caminho para que eu possa acreditar que

através do ensino e da aprendizagem, orientadas por uma sequência didática

faz esperar que o ensino tem seu valor e o caminho traçado no momento para

um projeto, é a satisfação de brilhantismo de muitos estudantes paranaenses.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A proposta pedagógica para o ensino de funções - presente na matriz

curricular dos estudantes - e a posterior verificação dos resultados, permitiram

elaborar e refletir sobre a realização das ações na sala de aula e no após

laboratório de informática uma interpretação acerca do conteúdo de funções.

Este conteúdo necessita de reflexão, reavaliação e retorno às atividades, já que

professor é responsável pelo aluno e é dever do educador ter persistência

pedagógica, entendendo seu aluno em seu tempo de aprendizagem, cuidado e

atenção no desenvolvimento das atividades realizadas pelo estudante.

Dessa forma, a carga horária articulada para o experimento, não foi

suficiente, pois necessita de articulações elaboradas no contexto pedagógico

somadas ao respeito do tempo, das diferentes condições de aprendizagem e do

meio social que o aluno possui, para, somente assim ter melhoria nas

exemplificações e consequentemente nos resultados. Entretanto, o professor já

pode ter uma boa análise em relação ao aprendizado dos estudantes.

À vista disto, dos resultados obtidos é verificado a necessidade de fonte

mais detalhada de pesquisa, pois os alunos em várias atividades conseguiram

resolver os problemas matemáticos, mas a interpretação do mesmo contradiz

sua evolução.

Assim sendo, a Engenharia Didática, como metodologia e

desenvolvimento com Sequência Didática, permite a reavaliação dos

procedimentos elaborados entre professor e aluno – um trabalho conjunto na

produção simétrica do conhecimento.

Por isso, o presente artigo contribuiu para a experiência, tanto quanto à

sala de aula e os obstáculos encontrados nela, quanto às atividades voltadas no

cotidiano de uma escola do campo. Ou seja, quanto à sala e seus obstáculos:

algumas vezes, a sala de aula mostra-se carente de metodologias e sem suporte

para enfrentar os obstáculos surgidos - mesmo estando ativas, isto é, fazendo

parte do currículo estudantil. Já em relação ao cotidiano de uma escola de

campo, o artigo se mostrou que muitas vezes a dificuldade que antes não era

percebido, agora é refletida na necessidade de o professor vivenciar e entender

a importância das propostas pedagógicas.

Portanto, inferimos que as dificuldades encontradas sejam uma fonte de

superação, com ações colaborativas e adoção de atividades necessárias para o

aprendizado do aluno, mesmo quando as rebeldias sejam evidenciadas, como

foi observado em um dos participantes no decorrer desta pesquisa. Dado isto, o

professor não deve desistir, mas se alegrar com o retorno de um aluno às aulas,

como foi também notado durante a realização deste artigo. Por estas e outras

razões, constata-se que metodologia adotada é de estímulo aos alunos,

relevante e útil ao professor, ao sistema de ensino e na aprendizagem como um

todo em busca da melhoria da qualidade pedagógica, do aprendizado e

consequentemente dos resultados nas análises.

Referências

ARTIGUE, M. Engenharia Didática. In: BRUN, J. Didática das Matemáticas.

Tradução de: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. Cap. 4. p. 193-217. BRASIL, Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei número 9394, 20 de dezembro de 1996. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC / SEF, 1998. Disponível em www.portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf Acesso em 28/11/2017. BROUSSEAU, G. Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: BRUN, J. Didática das Matemáticas. Tradução de: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1996a. p. 35-113.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de

Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2008. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf> Acesso em 20 nov. 2017. POMMER, Wagner Marcelo. A Engenharia Didática em sala de aula:

Elementos básicos e uma ilustração envolvendo as Equações Diofantinas

Lineares, 2013. 72 p. ils.: Tabs. ISBN 978-85-914891-1-4

VALENTE, José Armando. O Computador na Sociedade do Conhecimento. Campinas: UNICAMP/NIED, 2008. __________. Projeto Político Pedagógico do Colégio Estadual do Campo de Ourilândia-EFM, 2014. __________. Regimento Escolar do Colégio Estadual do campo de Ourilândia - EFM . 2017.

http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf

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