Universidade Federal de Gois

Instituto de Matemtica e Estatstica

Programa de Mestrado Prossional em

Matemtica em Rede Nacional

Utilizao do software Geogebra no estudo de

pontos de mximo e pontos de mnimo de

funes de uma varivel

por

Hugo Leonardo de Moraes

Goinia

2013

Hugo Leonardo de Moraes

Utilizao do software Geogebra no estudo de

pontos de mximo e pontos de mnimo de

funes de uma varivel

Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao Instituto de Matemtica e Estatstica

da Universidade Federal de Gois, como parte dos requisitos para obteno do grau de

Mestre em Matemtica.

rea de Concentrao: Matemtica do Ensino Bsico

Orientador: Prof. Dr. Mrio Jos de Souza.

Goinia

2013

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

GPT/BC/UFG

M827u

Moraes, Hugo Leonardo de.

Utilizao do software Geogebra no estudo de pontos de

mximo e pontos de mnimo de funes de uma varivel

[manuscrito] / Hugo Leonardo de Moraes. - 2013.

45 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Mrio Jos de Souza.

Trabalho de Concluso de Curso (Mestrado) Universidade Federal de Gois, Instituto de Matemtica e Estatstica, 2013.

Bibliografia.

Inclui lista de tabelas e figuras.

1. 1. Geogebra (Programa de computador). 2. Funo. 3. Mximo. 4. Mnimo. 5. Limite. I. Ttulo.

CDU:512:004.4

Todos os direitos reservados. proibida a reproduo total ou parcial deste trabalho sem

a autorizao da universidade, do autor e do orientador.

Hugo Leonardo de Moraes graduou-se em Matemtica pela Universidade Estadual

de Gois em 2002 e especializou-se em Matemtica Aplicada pela Faculdade de Filosoa

e Cincias Humanas de Goiatuba em 2004, atualmente Professor do Ensino Bsico da

Secretaria de Educao do Distrito Federal.

minha me Aparecida e minha tia Divina que, com apoio e

incentivo, me zeram acreditar que era possvel chegar at aqui.

Agradecimentos

A Deus, acima de tudo, por ter me proporcionado sade, perseverana e lucidez

para enfrentar todos as provas e obstculos que surgiram ao longo do curso.

minha famlia pelo apoio, pelo sacrifcio e pelo incentivo que foi fundamental para

a vitria ao nal deste grande desao.

minha me que, desde a alfabetizao, me incentivou a estudar, e sempre esteve

ao meu lado acreditando em meu potencial e investindo, mesmo com todas as diculdades,

na minha boa formao educacional.

minha tia Divina que ajudou em todas as minhas realizaes e sempre esteve ao

meu lado nos bons e maus momentos de minha vida.

minha av Ildia, que hoje infelizmente no est entre ns, mas que cuidou de

mim durante muitos anos e contribuiu de forma decisiva para a formao da pessoa que

sou hoje.

Aos meus amigos de curso pela ajuda e pela generosidade em compartilhar seu

conhecimento.

A Karina, a Vanessa e ao Glauber, que estiveram comigo em todas as viagens e em

praticamente todos os encontros do curso, conversando, discutindo e estudando conceitos

importantes da matemtica.

A todos os idealizadores do PROFMAT e a CAPES, que proporcionaram uma opor-

tunidade nica, aos milhares de professores de matemtica espalhados por todo este pas,

de estudarem e se aperfeioarem para o melhor desempenho de sua funo. Eu, em

particular, jamais faria um mestrado, se no fosse nos moldes do PROFMAT.

A todos os professores que dedicaram o seu tempo precioso e transmitiram conheci-

mentos importantssimos para a nossa formao.

Ao professor Jesus que se empenhou ao mximo para viabilizar o programa do curso

no Plo de Anpolis.

Ao professor Mrio pela dedicao, seriedade, amizade e pacincia ao longo de toda

esta jornada de dois anos.

Resumo

Este trabalho tem como objetivo principal apresentar as vantagens de se utilizar o pro-

grama geogebra no estudo de situaes-problema que envolvem pontos de mximo e pontos

de mnimo de funes de uma varivel. A pesquisa contemplou um breve estudo sobre:

o software geogebra e algumas de suas nalidades, funo de uma varivel, representa-

o grca de uma funo, limite, derivada, derivada segunda, pontos crticos, pontos de

mximo, pontos de mnimo e aplicaes do estudo de pontos de mximo e de mnimo em

situaes-problema do cotidiano sempre com a utilizao do software geogebra.

PALAVRAS-CHAVE: Geogebra, Funo, Mximo, Mnimo, Limite, Derivada.

Abstract

This paper aims to present the main advantages of using the software geogebra in the

study of problem situations involving points of maximum and minimum points of functi-

ons of one variable. The survey included a brief study on: geogebra software and some

of their purposes, function of one variable, graphical representation of a function, limit,

derivative, second derivative, critical points, maximum points, minimum points and appli-

cations of the study of points of maximum and minimum in problem situations everyday

when using the software geogebra.

KEYWORDS: Geogebra, Function, Maximum, Minimum, Limit, Derivative.

Sumrio

Resumo 6

Abstract 7

Introduo 11

1 O software Geogebra 13

2 Preliminares 15

2.1 Um breve histrico do conceito de funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Domnio, contradomnio e imagem de uma funo . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Representao grca de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Limite de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Taxa de variao mdia de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7 Derivada de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8 Derivada segunda de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.9 Relao entre derivada e crescimento ou decrescimento de uma funo . . . 25

2.10 Ponto de mximo e ponto de mnimo de uma funo . . . . . . . . . . . . 27

2.11 Teste da segunda derivada para pontos de mximo e de mnimo . . . . . . 28

3 Resoluo de problemas de maximizao e minimizao aplicados s

diversas reas do cotidiano, com a utilizao do software Geogebra 33

3.1 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Problema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 Problema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8

Consideraes nais 46

Lista de Figuras

1 Interface do software Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Funo f(x) = a.sen(x), a [5, 5] com incremento de 0.1 . . . . . . . . . 143 Diagrama da relao y = 2x+ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Grco da funo f(x) = x+ 1 com domnio A . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Grco da funo f(x) = x+ 1 com domnio R . . . . . . . . . . . . . . . 18

7 Grco da funo f(x) = x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Grco da funo f(x) = 3 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Grcos das funes f(x) = x e g(x) = sen(x) . . . . . . . . . . . . . . 21

10 Taxa de variao mdia de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

11 Taxa de variao instantnea de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

12 Reta tangente ao grco da funo no ponto x0 . . . . . . . . . . . . . . . 23

13 Reta tangente ao grco de f(x) = x2 2x em x = 4 . . . . . . . . . . . . 2414 Grco da funo f(x) = sen(x) no intervalo [0, pi] . . . . . . . . . . . . . . 25

15 Pontos de mximo e de mnimo de f(x) = x3 2x2 + 0.5 . . . . . . . . . . 2716 Ponto crtico da funo f(x) = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

17 Pontos de mximo e mnimo da funo f(x) = x3 x2 . . . . . . . . . . . 2918 Ponto de mnimo da funo f(x) = |x 1| . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3019 Pontos de mnimo e mximo da funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

20 Grco da funo P (x) = x2 + 70x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3421 Folha retangular para a construo da caixa de papelo . . . . . . . . . . . 34

22 Caixa de papelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

23 Grco da funo V (x) = 4x3 200x2 + 2400x . . . . . . . . . . . . . . . . 3624 Galinheiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

25 Grco da funo A(x) = 2x2 + 16x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9

26 Reservatrio de gua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

27 Grco da funo custo: C(r) = 250pir1 + 3pir2 . . . . . . . . . . . . . . . 39

28 Canteiro semicircular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

29 Grco da funo Custo total de produo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

30 Canteiro com o menor custo de produo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

31 Lote para a construo do prdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

32 Grco da funo A(x) = 10x+ 16000x1 + 2080 que determina a rea do

lote. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10

Introduo

A tecnologia faz parte de quase todos os setores da atividade humana. Quase tudo

remete ao cidado ao uso de recursos tecnolgicos; de forma direta ou indireta, ela est

presente em muitas situaes do nosso cotidiano.

O impacto deste fenmeno na sociedade enorme, at hoje nenhuma revoluo

mudou tanto a forma de vida das pessoas do que a entrada dos computadores e da internet

na sociedade. Ns vivemos cercados de tecnologias das mais variadas o tempo todo, e

isso pode e deve ser aproveitado para o melhor ensino-aprendizagem da matemtica.

Desta maneira, podemos utilizar softwares para o auxlio do ensino de diversos contedos

matemticos que os alunos tm diculdade de assimilar. Por exemplo funes.

Para o estudo das funes, temos um software livre fantstico, de interface muito

simples e qualquer estudante capaz de aprender a utiliz-lo rapidamente. Este software

o Geogebra. O intuito dar mais dinmica s aulas sobre funes, fazer com que o aluno

interaja com a funo e com sua representao grca e assim despertar a curiosidade do

aluno a respeito do contedo estudado.

O software Geogebra possui uma grande potencialidade em relao ao ensino espe-

cco de pontos de mximo e pontos de mnimo de funes de uma varivel, ele oferece

vrios recursos como capacidade de computao algbrica, numrica e grca, capacidade

de manipulao de frmulas e nmeros e uma linguagem de programao de alto nvel e

ao mesmo tempo muito simples de se utilizar.

Portanto, utilizando o software Geogebra, os conceitos vistos em sala de aula so

apresentados de maneira computacional, tornando o processo ensino-aprendizagem mais

prazeroso do que apenas no ambiente de sala de aula que geralmente o professor utiliza.

Para o estudo especco de pontos de mximo e mnimo de funes de uma varivel

com o Geogebra temos os comandos: Extremo, Mximo e Mnimo. Eles determinam os

pontos de mximo, de mnimo locais e globais de funo num determinado intervalo, e

isto feito de uma forma muito simples.

Logo, utilizar o Geogebra aliado ao conhecimento matemtico previamente sistema-

tizado, s tem a contribuir com o processo educacional. A possibilidade de construir,

alterar, reconstruir e modicar as funes feitas na tela do computador permitem testar

propriedades, resultados e fazer conjecturas sobre as mesmas. Essa interao gera discus-

so e por consequncia o aprofundamento no contedo estudado. A dinmica oportuni-

zada pelo software, permitem muitas possibilidades de testes e anlises, que no processo de

construo mo, seria demorado, impreciso e as diculdades seriam enormes, causando

11

um fator desmotivador da aprendizagem e da investigao do que est sendo estudado.

Portanto, a utilizao do Geogebra de maneira adequada, s tem a contribuir com o

processo ensino-aprendizagem das funes e especicamente dos pontos de mximo e de

mnimo das funes de uma varivel.

12

1 O software Geogebra

O GeoGebra, conforme [3], um software de matemtica dinmica que junta Geo-

metria, lgebra e Aritmtica. desenvolvido por uma equipe internacional de progra-

madores para ensinar matemtica nas escolas e nas universidades.

Foi criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado em ambiente de sala de aula.

O projeto foi iniciado em 2001, na Universitt Salzburg, e tem prosseguido em desenvol-

vimento na Florida Atlantic University.

O programa permite inserir funes e alterar todos esses objetos dinamicamente,

aps a construo estar nalizada, o GeoGebra pode derivar e integrar funes, e ainda

oferecer comandos para se encontrar razes e pontos extremos de uma funo e etc. Com

isto, o programa rene as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequa-

das lgebra e ao clculo. Isto tem a vantagem didtica de representar, ao mesmo tempo

e em um nico ambiente visual, as caractersticas geomtricas e algbricas de uma mesma

funo.

O GeoGebra fornece trs diferentes vistas dos objetos matemticos: a Zona Gr-

ca, a Zona Algbrica, e a Folha de Clculo. Todas as representaes do mesmo objeto

esto ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente s mudanas realizadas em

qualquer uma delas, independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente

criados.

Vejamos o layout do software:

Figura 1: Interface do software Geogebra

Uma grande vantagem do Geogebra o dinamismo existente entre a zona algbrica,

a zona grca e a folha de clculo, por exemplo, na guia seletor, em que possvel a

criao de parmetros para uma varivel denida no campo de entrada, informando o

intervalo de variao e incremento. Assim, o aluno pode movimentar o seletor e observar

13

as variaes nas janelas grca e algbrica e fazer suas prprias conjecturas.

Figura 2: Funo f(x) = a.sen(x), a [5, 5] com incremento de 0.1

A velocidade de construo grca com o Geogebra permite ao aluno utilizar mais

o tempo conjecturando do que realizando construes trabalhosas e imperfeitas dessas

representaes, ou seja, o software, alm de poupar o tempo do aluno, facilita sua visuali-

zao acerca do assunto abordado de maneira fcil, rpida e interativa. Portanto o aluno

se torna mais independente na construo do seu aprendizado.

14

2 Preliminares

Neste captulo, sero apresentados os conceitos bsicos necessrios para o desenvolvi-

mento deste trabalho, tais como: funes, limites, derivadas, pontos de mximo e pontos

de mnimo.

A ideia de funo muito importante para a humanidade e encontra cada vez mais

aplicaes em nosso dia-a-dia. Estudar o comportamento de funes estratgico para o

bom desempenho de uma empresa no mercado de hoje. As bolsas de valores estudam e

analisam funes o tempo todo.

O lsofo e matemtico Plato escreveu no sculo IV a.C. que, "os nmeros gover-

nam o mundo". Pode-se dizer que no mundo moderno do sculo XXI d.C., "As funes

governam e controlam o mundo o tempo todo".

2.1 Um breve histrico do conceito de funo

A noo de dependncia teve incio a aproximadamente 6000 anos, mas foi somente

no sculo XVII que houve o desenvolvimento do conceito formal de funo. Este desen-

volvimento se deu por conta da relao entre funo e problemas relacionados ao Clculo

que foi estudado e fundamentado por Newton e Leibniz.

O uso de funo como um termo matemtico foi iniciado por Leibniz, em uma carta

de 1673, para designar uma quantidade relacionada a uma curva, tal como a sua inclinao

em um ponto especco. As funes que Leibniz considerou so atualmente chamadas de

funes diferenciveis.

A palavra funo foi, posteriormente, usada por Euler em meados do sculo XVIII

para descrever uma expresso envolvendo vrios argumentos. Com o tempo foi-se ampli-

ando o conceito e a denio de funo.

Durante o Sculo XIX, vrios matemticos comearam a formalizar toda a Mate-

mtica utilizando a Teoria dos conjuntos.

Com base nesta teoria o matemtico alemo Dirichlet criou a denio "formal"

de funo moderna. Na denio de Dirichlet, uma funo um caso especial de uma

relao.

Utilizaremos nesta dissertao, um conceito de funo um pouco diferente do con-

ceito de Dirichlet, mas que tambm baseado na utilizao de conjuntos.

15

2.2 Funo

Em [9], verica-se que funo um dos conceitos mais importantes da matemtica. Exis-

tem vrias denies, dependendo da forma como so escolhidos os axiomas.

Denio 1. Dados dois conjuntos no-vazios A e B, uma funo de A em B, denotada

por f : A B, uma lei ou uma regra que associa cada elemento x de A a um nicoelemento y de B. Utilizamos a notao y = f(x).

Exemplo 1: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, consideremos alei que associa os elementos dos conjuntos A e B denida por y = 2x + 1, onde x A ey B. Determine se a lei uma funo ou no:

Soluo. Temos:

para x = 1 y = 2 1 + 1 = 3.para x = 2 y = 2 2 + 1 = 5.para x = 3 y = 2 3 + 1 = 7.

Figura 3: Diagrama da relao y = 2x+ 1

Portanto, a lei descrita no exemplo uma funo e denotada por: f : A B;f(x) = 2x+ 1

2.3 Domnio, contradomnio e imagem de uma funo

Denio 1. Seja f : A B uma funo tal que f(x) = y, ou seja, f umafuno que associa o elemento x A ao elemento y B. O conjunto A o dom-

16

nio de f . O contradomnio de f denido como sendo o conjunto B. As notaes

para estes conjuntos so: D(f) = A, CD(f) = B. A imagem de f o conjunto:

Im(f) = {y B; x A, f(x) = y}.

Para o exemplo 1, tem-se:

D(f) = {1, 2, 3}, CD(f) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e Im(f) = {3, 5, 7}.

2.4 Representao grca de uma funo

Ren Descartes foi um lsofo, fsico e matemtico que revolucionou a matemtica quando

sugeriu a fuso da lgebra com a geometria atravs do sistema de coordenadas que hoje

conhecido como sistema de coordenadas cartesianas. Para maiores detalhes indicamos

[9].

Para representar funes gracamente, vamos utilizar o sistema de coordenadas cartesia-

nas ortogonais, tambm chamado de plano cartesiano.

Figura 4: Plano cartesiano

O grco de uma funo f , o conjunto de todos os pontos (x, y), do plano cartesiano,

com x D(f) e y Im(f). A representao grca de uma funo de fundamentalimportncia para a anlise de seu comportamento, do seu domnio, de sua imagem, etc..

Hoje temos o software Geogebra que de forma fcil e rpida apresenta grcos de inmeras

funes para uma anlise mais precisa e interativa do comportamento de tais funes.

17

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Construa o grco da funo f : A R, dada por f(x) = x + 1, ondeA = {0, 1, 2, 3}.

Figura 5: Grco da funo f(x) = x+ 1 com domnio A

Exemplo 2: Construa o grco da funo f : R R, dada por f(x) = x+ 1.

Figura 6: Grco da funo f(x) = x+ 1 com domnio R

Percebemos que apesar de serem formadas pela mesma lei f(x) = x + 1, so funes to-

talmente diferentes, pois a imagem da funo do exemplo 1 o conjunto Im = {1, 2, 3, 4},j a imagem da funo do exemplo 2 o conjunto Im = R.

18

Exemplo 3: Construa o grco da funo f : R R, dada por y = x2.

Figura 7: Grco da funo f(x) = x2

O conjunto imagem da funo R.

Exemplo 4: Construa o grco da funo f : [2, 5] R, dada por f(x) = 3 2x.

Figura 8: Grco da funo f(x) = 3 2x

Neste caso vemos que Im(f) = [7, 7].

2.5 Limite de uma funo

O conceito bsico sobre o qual o clculo se apoia o de limite de funo. um dos

conceitos mais belos da matemtica, ele consiste em analisar o comportamento de uma

19

funo quando a sua varivel independente se aproxima de um determinado valor. Por

exemplo, consideremos a funo f : R {0} R; f(x) = sen(x)x. Sabemos que f

no est denida em x = 0, mas o que ocorre com f quando x se aproxima de 0?

Observemos primeiro o que ocorre quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, por

valores maiores que 0.

x f(x)=sen(x)

x1 0,84147

0,5 0,95885

0,1 0,99833

0,01 0,99998

Observemos agora o que ocorre quando x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, por

valores menores que 0.

x f(x)=sen(x)

x-1 0,84147

-0,5 0,95885

-0,1 0,99833

-0,01 0,99998

Vemos que em ambos os casos a funo se aproxima de 1. Neste caso, dizemos que o

limite da funo quando x tende a 0 igual a 1.

Notao: limx0

f(x) = 1 ou limx0

sen(x)

x= 1.

20

Vejamos gracamente:

Figura 9: Grcos das funes f(x) = x e g(x) = sen(x)

Observe que as funes f(x) = x e g(x) = sen(x) se aproximam uma da outra quando x

se aproxima de 0, portanto o quociente entre as duas tende a 1. Ou seja, limx0

sen(x)

x= 1.

2.6 Taxa de variao mdia de uma funo

Denio 1. Seja f : (a, b) R; y = f(x) uma funo contnua denida no intervalo(a, b). Sejam P (x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos do grco de f . Seja r a reta que passa

pelos pontos P e Q, ento r secante ao grco da funo.

Figura 10: Taxa de variao mdia de uma funo

21

Denomina-se taxa de variao mdia da funo y = f(x), no intervalo [x1, x2], o quociente:

m =x

y=f(x2) f(x1)

x2 x1 , com x2 > x1

Observe que a taxa de variao mdia de uma funo em um intervalo o coeciente

angular da reta que passa pelos pontos dados.

A taxa de variao mdia nos mostra com que rapidez a funo varia num dado intervalo.

2.7 Derivada de uma funo

Agora, e se quisermos saber a rapidez com que uma funo contnua y = f(x) varia, no

num intervalo, mas num ponto x0? Para isto utilizaremos o conceito de taxa de variao

instantnea de uma funo num ponto ou derivada de uma funo num ponto.

A ideia de tal noo a de que uma curva pode ser bem aproximada por uma reta nas

proximidades de um ponto.

De todas as retas que passam pelo ponto P (x0, y0), a que melhor se aproxima do grco

de y = f(x) para valores de x prximos de x0, a reta tangente curva nesse ponto.

Figura 11: Taxa de variao instantnea de uma funo

22

Para determinarmos a reta tangente ao grco da funo y = f(x), consideremos a gura

abaixo:

Figura 12: Reta tangente ao grco da funo no ponto x0

Note que, se zermos x tender a zero (x 0), o ponto P1 tender a P , ou seja, areta secante tender reta tangente.

Denio 1. Seja f : I R uma funo contnua denida num intervalo aberto Ie x0 I, a derivada de f , denotada por f (x), em x0, o limite, se existir, da razof(x0 + x) f(x0)

xquando x tende a 0, ou seja,

f (x0) = limx0

f(x0 + x) f(x0)x

.

Este limite representa geometricamente o coeciente angular da reta tangente ao grco

da funo y = f(x) no ponto de abscissa x0.

Assim, a equao da reta tangente ao grco de y = f(x) no ponto (x0, f(x0)) dada

por: y f(x0) = f (x0).(x x0), caso exista f (x0).

O conceito de derivada considerado o cerne do Clculo Diferencial e Integral e tem

aplicaes em muitas reas do conhecimento cientco.

Se uma funo y = f(x) derivvel em todos os pontos de um intervalo aberto I, ento

podemos denir a funo derivada f : I IR, denotada por f (x), tal que seu valor,em qualquer ponto x de seu domnio, dado por:

f (x) = limx0

f(x+ x) f(x)x

.

Exemplo 1: Determinar a equao da reta tangente parbola de equao f(x) = x22x

23

no ponto de abscissa x0 = 4.

Soluo. Calculando f (4):

f (4) = limx0

f(4 + x) f(4)x

= limx0

(4 + x)2 2.(4 + x) (42 2.4)x

= 6

Calculando f(4): f(4) = 42 2.4 = 8Logo a equao da reta tangente parbola f(x) = x2 2x no ponto (4, 8) :y f(4) = f (4).(x 4) = y 8 = 6.(x 4) = y = 6x 16.

Vejamos gracamente:

Figura 13: Reta tangente ao grco de f(x) = x2 2x em x = 4

2.8 Derivada segunda de uma funo

Seja f : R R, y = f(x) uma funo derivvel num intervalo (a, b). A sua derivadaf : (a, b) R, tambm uma funo denida neste intervalo. Se f tambm forderivvel num ponto x0 deste intervalo podemos pensar na derivada segunda de f em x0.

Denio 1. Seja f uma funo derivvel. Se f tambm for derivvel, ento a sua

derivada chamada derivada segunda de f e representada por f (x). (l-se derivada

segunda de f em relao a x).

24

Exemplo: Seja f : R R; f(x) = tg(x), calcule f (x).

Soluo.

f(x) = tg(x) = f (x) = sec2(x) = f (x) = 2sec(x).[sec(x).tg(x)] =

f (x) = 2sec2(x).tg(x)

2.9 Relao entre derivada e crescimento ou decrescimento de

uma funo

Figura 14: Grco da funo f(x) = sen(x) no intervalo [0, pi]

A gura acima mostra a funo f(x) = sen(x) em [0, pi]. Observe que a funo crescente

no intervalo

[0,pi

2

]e decrescente no intervalo

[pi2, pi]. Percebemos intuitivamente que no

intervalo em que a funo crescente, a derivada positiva, pois as retas tangentes em

quaisquer pontos do intervalo so crescentes e no intervalo em que a funo decrescente,

a derivada negativa, pois as retas tangentes em quaisquer pontos do intervalo so de-

crescentes.

Esta conjectura nos remete ao teorema abaixo:

25

Teorema 1. Seja f : [a, b] R, derivvel em (a, b). Ento:

f no decrescente em [a, b] se, e somente se, f (x) 0,x (a, b). E sef (x) > 0,x (a, b) ento f crescente em [a, b].

f no crescente em [a, b] se, e somente se, f (x) 0,x (a, b). E sef (x) < 0,x (a, b) ento f decrescente em [a, b].

Demonstrao. Suponhamos que f seja no decrescente em [a, b]. Determinemos o sinal

de f (x):

Sejam x (a, b) e h > 0 tal que x+ h (a, b), ento x+ h > x, logof(x+ h) f(x), pois f no decrescente. Segue quef(x+ h) f(x) 0 = f(x+ h) f(x)

h 0.Seja h < 0, ento temos x+ h < x, logo

f(x+ h) f(x), pois f no decrescente. Segue quef(x+ h) f(x) 0 = f(x+ h) f(x)

h 0.

Logo, em ambos os casos temos

f(x+ h) f(x)h

0.

Portanto, f (x) = limh0

f(x+ h) f(x)h

0.Suponhamos agora que f (x) 0,x (a, b). Sejam x1, x2 [a, b] com x1 < x2. Temosque f contnua, ento, pelo Teorema do valor mdio, c (x1, x2) tal que

f (c) =f(x2) f(x1)

x2 x1 .

Como x2 x1 > 0 e f (c) 0, temos que f(x2) f(x1) 0 = f(x2) f(x1).Logo, f no decrescente.

Suponhamos agora que f (x) > 0,x (a, b).Sejam x1, x2 [a, b] com x1 < x2. Temos que f contnua, ento, pelo Teorema do valormdio, c (x1, x2) tal que

f (c) =f(x2) f(x1)

x2 x1 .

26

Como x2 x1 > 0 e f (c) > 0, temos que f(x2) f(x1) > 0 = f(x2) > f(x1).Logo, f crescente.

O caso em que f no crescente anlogo.

2.10 Ponto de mximo e ponto de mnimo de uma funo

Denio 1. Seja f : D R, derivvel em (a, b). Se c (a, b) tal que f (c) = 0 ouf (c) no exista ento c dito ponto crtico de f .

Veremos a seguir que se c um ponto crtico de f ento f(c) pode ser mnimo local,

mximo local de uma funo ou nenhum dos dois casos.

Vejamos o grco da funo f(x) = x3 2x2 + 0.5:

Figura 15: Pontos de mximo e de mnimo de f(x) = x3 2x2 + 0.5

Vejamos agora o grco da funo f(x) = x3

Figura 16: Ponto crtico da funo f(x) = x3

27

2.11 Teste da segunda derivada para pontos de mximo e de m-

nimo

Teorema 1. Sejam f uma funo derivvel em um intervalo aberto I e c I tal quef (c) = 0. Se f (c) existe, ento:

Se f (c) < 0 ento f possui um ponto de mximo local em c.

Se f (c) > 0 ento f possui um ponto de mnimo local em c.

Se f (c) = 0 o teste inconclusivo.

Demonstrao. Suponhamos que f (c) = 0 e f (c) < 0. Ento:

f (x) = limxc

f (x) f (c)x c = limxc

f (x)x c < 0.

Logo, existe um intervalo (a, b) com c (a, b) tal que f(x)x c < 0, x (a, b).Ento,

a < x < c = x c < 0 = f (x) > 0.c < x < b = x c > 0 = f (x) < 0.

Portanto, a funo f passa de crescente para decrescente em x = c. Conclumos ento

que f tem ponto de mximo local em x = c.

O caso em que f (c) > 0 anlogo.

O caso em que f (c) = 0 podemos obter:

Ponto de mximo, no caso por exemplo da funo f(x) = x4 em x = 0. Ponto de mnimo, no caso da funo f(x) = x4 em x = 0. Nem ponto de mximo, nem ponto de mnimo no caso da funo f(x) = x3 emx = 0.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Encontre os pontos de mximo e de mnimo locais da funo f(x) = x3 x2.Determinando os pontos crticos:

28

f(x) = x3x2 = f (x) = 3x2 2x. Fazendo f (x) = 0, teremos x = 0 ou x = 23.

Logo, os pontos crticos da funo so x = 0 e x =2

3.

Encontrando a segunda derivada:

f (x) = 3x2 2x = f (x) = 6x 2.Aplicando o teste da segunda derivada em x = 0:

f (x) = 6x 2 = f (0) = 2 < 0.Calculando f(0):

f(0) = 03 02 = 0Logo, o ponto (0, 0) ponto de mximo local de f .

Aplicando o teste da segunda derivada em x =2

3:

f (x) = 6x 2 = f (

2

3

)= 2 > 0.

Calculando f

(2

3

):

f

(2

3

)=

(2

3

)3(

2

3

)2= 4

270, 15.

Logo, o ponto

(2

3, 4

27

)ou (0.67,0.15) ponto de mnimo local de f .Vejamos gracamente:

Figura 17: Pontos de mximo e mnimo da funo f(x) = x3 x2

Vejamos agora um caso em que o ponto de mnimo ocorre num ponto onde a derivada

no existe.

29

Exemplo 2: Seja f : R R; f(x) = |x 1|, determine seu ponto mnimo:

f pode ser escrita da seguinte forma: f(x) =

x 1, se x 1(x 1), se x < 1 . Da, temos quef (x) =

1, se x > 11, se x < 1 .Mas em, x = 1, f no est denida, pois:

limx1

f(x) f(1)x 1 = limx1

x+ 1 0x 1 = 1 e limx1+

f(x) f(1)x 1 = limx1+

x 1 0x 1 = 1.

Logo, limx1

f(x) f(1)x 1 , no existe e portanto f no derivvel em x = 1.

Temos que f(1) = 0 e sabemos que f(x) = |x 1| 0,x IR, logo (1, 0) o pontomnimo de f .

Vejamos no grco:

Figura 18: Ponto de mnimo da funo f(x) = |x 1|

Caso a funo esteja denida num intervalo fechado, importante analisar tambm os

extremos desse intervalo. Vejamos o exemplo:

30

Exemplo 3: Determine o pontos de mximo e mnimo da funo:

f : [6, 4] R; f(x) =

|x| , se 6 x 15 (x 3)2, se 1 < x 4 .

A funo pode ser escrita da seguinte forma: f(x) =

x, se 6 x < 0x, se 0 x 1

5 (x 3)2, se 1 < x 4.

Logo, f (x) =

1, se 6 < x < 0

1, se 0 < x < 1

2x+ 6, se 1 < x < 4.

Vemos que f (x) no existe quando x = 0 e x = 1. f (x) = 0 quando x = 3.

Portanto, os pontos crticos de f so: x = 0, x = 1, x = 3.

Calculando f nestes pontos, temos:

f(0) = 0, f(1) = 1, f(3) = 5.

Calculando f nos extremos, temos:

f(6) = 6, f(4) = 4.

Portanto, o ponto mnimo de f (0, 0). E o ponto mximo de f (6, 6).

31

Vejamos gracamente:

Figura 19: Pontos de mnimo e mximo da funo

Portanto, o uso do software geogebra pode ser anterior sistematizao de um contedo,

trabalhando a ideia para o melhor entendimento, posterior para aprimorar, renar e ex-

plorar o seu conhecimento ou, ainda, durante o processo facilitando a visualizao e a

compreenso do que est sendo estudado.

32

3 Resoluo de problemas de maximizao e minimiza-

o aplicados s diversas reas do cotidiano, com a

utilizao do software Geogebra

Neste captulo apresentaremos vrios problemas que envolvem mximos e mnimos de

funes de uma varivel aplicados aos diversos ramos da atividade humana.

O primeiro passo para resolver este tipo de problema determinar, de forma precisa, a

funo a ser otimizada. Em seguida, devemos encontrar os pontos extremos da funo

utilizando os critrios estudados.

3.1 Problema 1

Determine dois nmeros reais positivos cuja soma 70 e tal que seu produto seja o maior

possvel.

Soluo. Sejam x, y > 0 tais que x+ y = 70. Ento, x, y (a, b).

Seja P R; P = x.y. Como x + y = 70, temos que y = 70 x. Logo P = x.(70 x) P = x2 + 70x, x (0, 70).

Portanto a funo : P : (0, 70) R; P (x) = x2 + 70x.

Calculando seus pontos crticos:

P (x) = x2 + 70x = P (x) = 2x+ 70.P (x) = 0 2x+ 70 = 0 x = 35.Logo, seu nico ponto crtico em x = 35, pois P (x) existe em todo domnio (0, 70) da

funo P .

Calculando P (x):

P (x) = 2x+ 70 = P (x) = 2.Ento, P (35) = 2. Portanto, o ponto de abscissa 35, ponto de mximo da funo.Calculando P (35):

P (x) = x2 + 70x = P (35) = 352 + 70.35 P (35) = 1225.Logo, o ponto (35, 1225) o ponto mximo da funo P .

Como x+ y = 70 e x = 35, temos que y = 35.

Portanto, os nmeros reais positivos cuja soma 70 e tal que o produto o maior possvel

so:

x=35 e y=35. E o maior produto : P=1225.

33

Vejamos gracamente:

Figura 20: Grco da funo P (x) = x2 + 70x

A vantagem da representao grca que vemos o comportamento da funo produto

P (x) = x2 + 70x no s no ponto de mximo mas em todo o seu domnio, no deixandodvidas sobre o resultado encontrado. E com o Geogebra isto feito de forma muito

simples e rpida.

3.2 Problema 2

Com uma folha retangular de papelo se quer construir uma caixa de mximo volume

possvel, cortando um quadrado em cada canto, conforme indica a gura abaixo. As

dimenses da folha so 60 cm e 40 cm.

Figura 21: Folha retangular para a construo da caixa de papelo

34

a) Calcule o valor de x;

b) Determine o volume mximo da caixa.

Soluo. A caixa ter a forma de um paraleleppedo retngulo de dimenses: 60 2x,40 2x e x.

Figura 22: Caixa de papelo

Para que a construo da caixa seja possvel, x (0, 20).Seja V , o volume da caixa. Ento:

V = x.(60 2x).(40 2x) V = 4x3 200x2 + 2400x.Logo, a funo que determina o volume da caixa em relao a x, :

V : (0, 20) R; V (x) = 4x3 200x2 + 2400x.Determinando os pontos crticos de V :

V (x) = 4x3 200x2 + 2400x = V (x) = 12x2 400x+ 2400.V (x) = 0 12x2 400x+ 2400 = 0 x1 =

50 + 10

7

3ou x1 25, 48. No serve! Pois 25,48 no pertence ao domnioda funo.

x2 =50 107

3ou x2 7, 85. Serve! Pois 7,85 pertence ao domnio da funo.Logo, o nico ponto crtico da funo V o de abscissa 7, 85, pois como j foi visto

25, 48 / (0, 20) e V derivvel em todo o seu domnio.Calculando V (x):

V (x) = 12x2 400x+ 2400 = V (x) = 24x 400.Determinando V (7, 85):

V (x) = 24x 400 = V (7, 85) = 24.7, 85 400 V (7, 85) = 211, 6 < 0.Logo, o ponto de abscissa x = 7, 85 ponto de mximo.

Calculando V (7, 85):

V (x) = 4x3 200x2 + 2400x = V (7, 85) = 4.7, 853 200.7, 852 + 2400.7, 85 V (7, 85) 8450, 45.Logo, o ponto de mximo da funo V (7, 85; 8450, 45).

Portanto, o volume da caixa ser mximo quando x 7,85 cm.

35

O volume mximo da caixa 8450,45 cm3.

Vejamos no grco:

Figura 23: Grco da funo V (x) = 4x3 200x2 + 2400x

No grco observamos a curva da funo volume V (x) = 4x3 200x2 + 2400x em todo oseu domnio, raticando o resultado encontrado para o ponto de mximo da funo.

3.3 Problema 3

Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma

tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como

fundo do galinheiro, determine as dimenses do mesmo para que sua rea seja mxima.

Figura 24: Galinheiro

Soluo. Sejam x, y R, com x, y > 0, as dimenses do retngulo, conforme a gura.Ento: 2x+ y = 16.

36

Logo, para que a construo do galinheiro seja possvel, 0 < x < 8 e 0 < y < 16.

Como 2x+ y = 16, temos que y = 16 2x.Seja A, a rea do galinheiro. Ento: A = x.y.

Logo, a A = x(16 2x) A = 2x2 + 16x.Portanto, a funo que determina a rea do galinheiro :

A : (0, 8) R; A(x) = 2x2 + 16x.Determinando os pontos crticos da funo A.

A(x) = 2x2 + 16x = A(x) = 4x+ 16.A(x) = 0 4x+ 16 = 0 x = 4. Serve! Pois 4 (0, 8), que o domnioda funo A. Calculando A(x):

A(x) = 4x+ 16 = A(x) = 4. Aplicando A em x = 4, temos: A(4) = 4 < 0.Logo, o ponto de abscissa x = 4 o nico ponto de mximo da funo A, pois A derivvel

em todo o seu domnio. Calculando A(4):

A(x) = 2x2 + 16x = A(4) = 2.42 + 16.4 A(4) = 32. Logo, o ponto (4, 32) o ponto mximo da funo A.

Como 2x+ y = 16 e x = 4, temos que y = 8.

Portanto, para que a rea do galinheiro seja mxima, x = 4 m e y = 8 m.

A rea mxima do galinheiro 32 m

2.

Vejamos gracamente:

Figura 25: Grco da funo A(x) = 2x2 + 16x

Com a funo rea A(x) = 2x2 +16x representada gracamente em todo o seu domnio,

37

compreendemos de uma maneira muito abrangente, as propriedades e as caractersticas

da referida funo.

3.4 Problema 4

Deseja-se construir um reservatrio de gua destampado de forma circular, com volume

igual a 125pim3. Sabendo que o custo do material para fazer o fundo do reservatrio

o triplo do custo do material para fazer a lateral, determine os valores do raio r e da

profundidade h, de modo que o reservatrio possa ser construdo com o menor custo.

Figura 26: Reservatrio de gua

Soluo. Como o reservatrio circular, ento o seu formato o de um cilindro.

Sejam r, h respectivamente, o raio e a altura do cilindro. Ento r, h > 0.

Seja V o volume do cilindro. Ento V = pir2h. Como V = 125pi m3, temos que:

125pi = pir2h h = 125r2.

Seja C o custo de produo do reservatrio. Logo, C = 3.pir2 + 2pirh =C = 2pir.

125

r2+ 3pir2 C = 250pir1 + 3pir2.Logo, a funo que determina o custo de produo do reservatrio :

C : (0,+) R; C(r) = 250pir1 + 3pir2, onde r o raio do cilindro.

Determinando os pontos crticos de C:

C(r) = 250pir1 + 3pir2 = C (r) = 250pir2 + 6pir.C (r) = 0 250pi

r2+ 6pir = 0

250pir2

= 6pir

38

r3 =125

3 r = 5

3

3 r 3, 47. Serve! Pois 3, 47 (0,+).Calculando C (r):

C (r) = 250pir2 + 6pir C (r) = 500pir3 + 6pi.Aplicando S em r = 3, 47:

C (r) = 500pir3+6pi C (3, 47) = 500.pi.(3, 47)3+6.pi C (3, 47) 37, 6+18, 85 C (3, 47) 56, 45 > 0.Logo, o ponto de abscissa r = 3, 47 o nico ponto de mnimo da funo C, pois C existe

em todo domnio da funo C.

Calculando C(3, 47):

C(r) = 250pir1 + 3pir2 = C(3, 47) = 250.pi.3, 471 + 3.pi.3, 472 C(3, 47) 339, 82.

Logo, o ponto (3, 47; 339, 82) o ponto mnimo da funo custo.

Como h =125

r2e r = 3, 47, temos que h =

125

3, 472 h 10, 38.Portanto, para que o custo de construo do reservatrio seja mnimo, o raio do reservat-

rio dever ser aproximadamente 3, 47 m e a profundidade aproximadamente 10, 38 m.

Vejamos gracamente:

Figura 27: Grco da funo custo: C(r) = 250pir1 + 3pir2

Com a funo representada atravs de seu grco, percebemos claramente que o custo de

39

fato ser mnimo se o raio do reservatrio for aproximadamente 3, 47 m.

3.5 Problema 5

Num canteiro semicircular, cujo raio tem 4 metros de comprimento, so reservados, de

acordo com a gura, dois canteiros, tambm semicirculares, destinados ao cultivo de ores,

sendo para grama esmeralda a parte restante. Sabendo que o m2 da grama esmeralda

custa 5, 00 reais, o m2 da or que ser plantada no canteiro 1 custa 20, 00 reais e o m2 da

or que ser plantada no canteiro 2 custa 50, 00 reais:

Figura 28: Canteiro semicircular

a) Determine a funo que calcula o custo total do empreendimento;

b) Determine quais as medidas dos raios dos dois canteiros das ores para que o custo do

empreendimento seja mnimo.

Soluo. Sejam A a rea do semicrculo maior, A1 a rea do semicrculo que representa o

canteiro 1 e A2 a rea do semicrculo que representa o canteiro 2.

Ento, A =pi.42

2 A = 16pi

2 A = 8pi m2.

A rea do canteiro 1 ser: A1 =piR2

2m2.

Como o dimetro do semicrculo que representa o canteiro 2 8 2R, temos que seu raiomede (4R) m.

Logo, a rea do canteiro 2 ser: A2 =pi(4R)2

2m2.

40

Seja A3 a rea da grama. Ento: A3 = AA1A2 A3 = 8pi piR2

2 pi(4R)

2

2

A3 = pi(4RR2) m2.

Seja C o custo total de produo. Como o m2 da grama esmeralda custa 5, 00 reais, o m2

da or que ser plantada no canteiro 1 custa 20, 00 reais e o m2 da or que ser plantada

no canteiro 2 custa 50, 00 reais, temos que:

C = 5.pi(4RR2) + 20.(piR2

2

)+ 50.

pi(4R)22

C = 20piR 5piR2 + 10piR2 + 400pi 200piR + 25piR2

C = 30piR2 180piR + 400pi.

Vemos que a gura acima que o canteiro s pode ser construdo se 0 < R < 4.

Ento:

C : (0, 4) R; C(R) = 30piR2 180piR + 400pi.

a funo que calcula o custo total de produo do empreendimento.

Determinando os pontos crticos de C:

C(R) = 30piR2 180piR + 400pi = C (R) = 60piR 180pi

C (R) = 0 60piR 180pi = 0 R = 3.

R = 3 vlido, pois 3 (0, 4), que o domnio da funo custo C.

Calculando C (R):

C (R) = 60piR 180pi = C (R) = 60pi

Logo, C (3) = 60pi > 0.

Calculando C(3):

C(R) = 30piR2 180piR + 400pi C(3) = 30pi.32 180pi.3 + 400pi

41

C(3) = 270pi 540pi + 400pi C(3) = 130pi C(3) 408, 41 reais.

Logo, o ponto (3; 408, 41) o nico ponto mnimo da funo custo C, pois C (x) est

denida em todo domnio (0, 4).

Portanto, para que o custo de produo do empreendimento seja mnimo, o raio do canteiro

1 dever ser 3 metros, e o raio do canteiro 2 dever ser 1 metro.

E, o custo mnimo de produo ser aproximadamente 408,41 reais.

Vejamos gracamente:

Figura 29: Grco da funo Custo total de produo

Observando a funo representada gracamente temos o custo de produo variando em

todo o seu domnio e no h dvidas sobre o seu valor mnimo.

42

Portanto, o canteiro com o menor custo ter da seguinte forma:

Figura 30: Canteiro com o menor custo de produo

3.6 Problema 6

Um edifcio de 2000 m2 de piso deve ser construdo , sendo exigido recuos de 5 m na frente

e nos fundos e de 4 m nas laterais, conforme a gura abaixo. Determine as dimenses do

lote com menor rea onde esse edifcio possa ser construdo.

Figura 31: Lote para a construo do prdio

43

Soluo. Seja A, a rea do lote. Logo A = (x+8).(y+10) A = xy+10x+8y+80.

Seja S, a rea do piso do prdio. Logo, S = x.y = 2000 y = 2000x

.

Ento: A = 2000 + 10x+ 8.2000

x+ 80 A = 10x+ 16000

x+ 2080

A = 10x+ 16000x1 + 2080.

Portanto, a funo que determina a rea do lote :

A : (0,+) R; A(x) = 10x+ 16000x1 + 2080.

Determinando os pontos crticos da funo A:

A(x) = 10x+ 16000x1 + 2080 = A(x) = 16000x2 + 10

A(x) = 0 16000x2 + 10 = 0 x = 40 ou x = 40.

x = 40 vlido, pois 40 (0,+), mas x = 40 no vlido, pois 40 / (0,+).

Calculando A(x):

A(x) = 16000x2 + 10 = A(x) = 32000x3.

Ento,

A(40) = 32000.403 A(40) = 3200064000

A(40) = 0.5 > 0.

Calculando A(40):

A(x) = 10x+16000x1+2080 = A(40) = 10.40+1600040

+2080 A(40) = 2880.

Portanto, o nico ponto de mximo da funo A o ponto (40, 2880), pois A(x) est

denida em todo domnio (0,+).

Como, y =2000

xe x = 40, temos que y =

2000

40 y = 50.

Portanto, para que o lote tenha a menor rea, x = 40 m e y = 50 m. Ou seja:

O lote dever ter: 48 metros de frente por 60 metros de fundo.

44

Logo a rea do lote ser 2880 m2.

E o edifcio dever ter: 40 metros de frente por 50 metros de fundo.

Figura 32: Grco da funo A(x) = 10x+16000x1 +2080 que determina a rea do lote.

Observando a funo representada gracamente no resta dvidas quanto ao seu ponto

de mnimo.

45

Consideraes nais

Este trabalho demonstrou como o software Geogebra pode auxiliar professores e

alunos na construo de conhecimentos sobre funes de uma varivel, especialmente na

anlise de pontos de mximo e mnimo. Muitas escolas e universidades ainda tratam o

ensino de uma maneira tradicional, com memorizao de frmulas, exerccios repetitivos

e reproduo de passos direcionados pelo professor.

Diversos estudos vm sendo feitos para tentar mudar estes procedimentos e, conse-

quentemente, tornar o ensino-aprendizagem menos metdico e mais dinmico e prazeroso

tanto para o aluno quanto para o professor.

Como vimos, o computador pode ser um instrumento de muitas possibilidades para

que nos auxiliem no alcance destes objetivos. A utilizao destas ferramentas pode dar a

oportunidade aos alunos de interagir com os conceitos matemticos, de fazer conjecturas

e quem sabe olhar a matemtica de uma forma mais prazeroza.

O trabalho realizado com o software Geogebra comtemplou o estudo de construes

e anlises de grcos de funes, das derivadas das funes, das derivadas segundas e

principalmente a anlise e interpretao dos pontos crticos das funes, sendo alguns de

mnimo, outros de mximo e outros que no eram nem mnimo nem mximo.

Portanto o uso de tecnologias, aliado a vontade do professor de atingir seus objeti-

vos e suas metas podem proporcionar aos alunos, um ambiente pedaggico interativo e

instigante, onde quem ganha no nal o melhor ensino-aprendizagem.

46

Referncias

[1] FLEMMING, Diva Marlia e GONALVES, Mirian Buss; Clculo A. Santa Catarina,

Editora da Universidade Federal de Santa Catarina. 1987.

[2] GIOVANNI, Jos Ruy e BONJORNO, Jos Roberto; Matemtica Completa. So

Paulo, FTD. 2005.

[3] HOHENWARTER, Markus e HOHENWARTER, Judith; Manual Ocial do Geoge-

bra. Universidade de Salzburgo, Austria. 2001.

[4] LIMA, Elon Lages; Anlise real. Vol. 1. Rio de Janeiro, IMPA. 1989.

[5] LIMA, Elon Lages; Curso de Anlise. Vol. 1. Rio de Janeiro, IMPA. 1976.

[6] LIMA, Elon Lages; Meu Professor de Matemtica. Rio de Janeiro, IMPA. 1991.

[7] MUNEM, Mustafa A. e FOULIS, David J.; Clculo 1. University of Massachusetts,

USA. 1978.

[8] SANTOS, Reginaldo; Introduo ao L

A

T

E

X. Departamento de Matemtica, UFMG.

2008.

[9] WIKIPEDIA; A enciclopdia livre. www.wikipedia.org.

47