teoria dos grafos - fluxo maximo

8/18/2019 Teoria Dos Grafos - Fluxo Maximo

1/17

Fluxo Máximo em Redes


2/17

2 Algoritmos em Grafos

Sumário

• Aplicações• Conceitos • Fluxo em redes

• Fluxo máximo• Método de Ford-Fulkerson

– Redes residuais – Caminhos de aumento

– Cortes


3/17


Aplicações

• Considere a seguintesituação modelada por umgrafo – Cada arco representa uma rua

de mão única – A capacidade de cada arcoindica o maior fluxo possívelao longo da rua (veículos/hora)

• Qual o maior númeropossível de veículos quepode viajar de v para w emuma hora?


4/17


Aplicações

• Outros exemplos –

Envio de produtos da fábrica para odistribuidor

– Transporte de peças em linhas de

montagem –

Líquidos em redes hidráulicas – Dados em redes de comunicação – Correntes em redes elétricas


5/17


Fluxo em Redes

• Uma rede G =(V, E) é um grafo orientado emque cada aresta (u, v) ! E tem umacapacidade não-negativa c (u, v) " 0

•

Existe sempre um vértice origem s e umvértice destino t• Um fluxo representa o envio de entidades da

origem para o destino, percorrendo alguns dosarcos da rede


6/17


Fluxo em Redes

capacidade

c( s,v1)

fluxo

f ( s,v1)

No caso acima, verifica-se que existe uma capacidade de 16 unidades defluxo do nó s para o nó v

1, das quais apenas 11 estão sendo usadas no

momento.

Perceba a conservação

de fluxo nos vértices v 1,v 2 , v 3 e v 4.

s t

1 6

12

2 0

7 9 4

1 3

14

4

Edmonton

Calgary

Saskatoon

Regina

Vancouver Winnipeg

s t 1 1 / 1

6

12/121 5 / 2 0

7 / 7

4 / 9

1 / 4

8 / 1 3

11/14

4 / 4

v1 v1

v2 v2

v3 v3

v4v4

j j


7/17


Fluxo em Redes

• Deve satisfazer três propriedades – Restrição de capacidade: o fluxo que circulará

em um arco deve ser igual ou menor que a suacapacidade

f (u,v) c (u,v)

– Anti-simetria: o fluxo em um direção deve serigual ao seu fluxo na direção oposta

f (u,v) = -f (v,u)

– Conservação de fluxo: o fluxo que entra deveser igual ao que sai (exceto para s e t )


8/17


Fluxo Máximo

•

É o número máximo de unidades de fluxopossível através da rede desde o nóorigem até o nó destino

•

Considera-se que há conservação defluxo: o que parte da origem chegatotalmente ao destino, sem perdas nocaminho.


9/17


Método de Ford-Fulkerson

•

Depende das ideias de:

– Rede residual: formada pelas arestas da

rede que podem admitir mais fluxo (ou seja,onde existe capacidade residual ) – Caminho aumentante: um caminho

simples desde a origem até o destino narede residual


10/17


Rede Residual

Dado uma rede G = (V , E ) e um fluxo f(u,v) em G , acapacidade residual c f é a quantidade de fluxoadicional que pode passar por (u, v) sem exceder acapacidade c (u, v) :

c f (u, v) = c (u, v) – f (u, v)

Assim, se por exemplo c(u,v) = 5 e f(u,v) = 4, aindapode-se aumentar o fluxo de u para v em c f = 1unidades antes que a restrição de capacidade sejaexcedida.


11/17


Rede Residual

5-4=1

Rede residual

•

Exemplo


12/17


Caminho Aumentante

Dado um caminho aumentante P em uma rede residualG f , a quantidade máxima pela qual o fluxo pode seraumentado no caminho é chamada de capacidaderesidual c f (P) , e é expressa por

c f (P) = min {c f (u,v) : (u,v) está em P }

A capacidade residual de um caminho aumentante P corresponde à menor dentre as capacidades residuaisdas arestas de P.

• Em outras palavras, é a quantidade que ainda pode serenviada ao longo de P .


13/17


14/17


Algoritmo de Ford-Fulkerson

FOR D-FULKERSON.G;s;t/

1 for each edge .u; / 2 G: E

2 .u; /: f D 0

3 while there exists a path p from s to t in the residual network Gf 4 cf .p/ D min fcf .u; / W .u; / is in pg

5 for each edge .u; / in p

6 if .u; / 2 E

7 .u; /: f D .u; /: f C cf .p/

8 else .;u/: f D .;u/: f cf .p/


15/17


Exercício

•

Forneça os fluxos e a rede residualobtida a cada iteração do algoritmo deFord-Fulkerson para a rede abaixo:

A

B

C

D

E

F

16

1314

12

20

4

794


16/17


Resolução

1 2

4 4

4 / 4

4

v1

4

1 6

4

10

s t

1 612

2 0

7 9

4

1 3

14

4

v1

s t

4 / 1 6

4/122 0

7

4 / 9

1 3

4/14

4 / 4

s t 7 5

4

4

v18

4

1 3

2 0

v1

s t

4 / 1 6

8/124 / 2 0

7

4 / 9

4 / 1 3

4/14

4 / 4

4

10

s t 7 5

8

4

v14

9

v1

s t

8 / 1 6

8/128 / 2 0

7 9

4 / 1 3

4/14

4 / 4

v2 v2

v2v2

v2 v2

v3 v3

v3v3

v3 v3

v4 v4

v4v4

v4v4

(b)

(a)

(c)

1 2

4

4

4

4

4


17/17


Resolução

4

1 2

1 1

2

1 1

2

8

8

9

4

4

9

8

4

4

9

8 s t

1 2

7

4

4

v1

s t

8 / 1 6

8/121 5 / 2 0

7 / 7

9

1 1 / 1 3

11/14

4 / 4

v1

10

1 9 s t

121

7

11

43

v2

v3 v3

v3

v4v4

v4

(d)

(f)

4

9

8

4

4

1 5 s t

5

7

11

4

v1

s t

1 2 / 1

6

12/121 9 / 2 0

7 / 7

9

1 1 / 1 3

11/14

4 / 4

v1

3v2

v3 v3

v4v4

(e) 4

v2

v2

v1

v2

8

8

teoria dos grafos - fluxo maximo

Documents