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Ciência da Computação

GRAFOS

Aula 10 Fluxo em Redes

Max Pereira

Fluxo em Redes

Ciência da Computação - GRAFOS

É a transferência de algum tipo de recurso quantificável e sujeito a restriçõesde equilíbrio, de um local (origem) para outro (destino) através de uma rede.

Exemplos:

Líquido fluindo por uma rede de tubos, como a rede de abastecimento de água ou a rede de esgoto;

Peças se deslocando por linhas de montagem; Voz, imagem ou dados em redes de comunicação; Sistemas elétricos de transmissão.

Fluxo em Redes


AplicaçõesConsidere a seguinte situação modelada por um grafo: Cada aresta representa uma rua; O valor de cada aresta indica o maior fluxo possível ao longo da rua

(veículos/hora).

Qual o maior número possível de veículos que pode viajar do local u até o local vem uma hora?

Fluxo em Redes


Imagine que temos uma transportadora, e queremos enviar algumasencomendas de uma cidade para outra. Você pode enviá-las usando vários vôoscom diferentes rotas. No entanto, cada vôo tem um limite de espaço quepodemos utilizar.

Uma questão importante é, qual o volume de encomendas que podemosenviar para o destino, usando os diferentes vôos disponíveis?

Para responder a essa questão vamos explorar um tópico chamado de fluxo emredes, através de modelos de grafos.

Fluxo em Redes


Um grafo de fluxo em redes G = (V, E) é um grafo orientado (direcionado) com dois vértices especiais: o vértice origem, e o vértice destino (sorvedouro). Cadavértice representa uma cidade onde podemos enviar ou receber encomendas. Uma aresta (u, v) no grafo significa que há um vôo direto entre u e v.

Cada aresta tem uma capacidade associada, sempre finita, representando a quantidade de espaço disponível naquele vôo.

Fluxo em Redes


Com esse grafo, nós queremos saber quantas encomendas podemos enviar de “s” para “t”. Como as encomendas “fluem” através do grafo, de s para t, chamamos esse problema de “o problema do fluxo máximo”. Uma solução intuitiva é encontrar caminhos entre s e t onde podemos enviar o máximo de fluxo possível, e depois atualizar o grafo para verificar o espaçoutilizado.

O primeiro número na aresta é o fluxo e o segundo a capacidade

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Nós escolhemos o caminho s u v t. As capacidades ao longo dessecaminho são 3, 3, 4 respectivamente. O que significa que temos um “gargalo” de capacidade igual a 3, ou seja, podemos enviar no máximo 3 unidades aolongo do fluxo.

Fluxo em Redes


Agora precisamos atualizar o grafo. Uma escolha óbvia seria subtrair, da capacidade de cada aresta utilizada, o valor 3 – como usamos 3 espaçosdisponíveis em cada aresta, então a capacidade de cada aresta deve serdimuída por 3. Atualizando desse forma, há um único outro caminho partindode s para t (s v t). A aresta (s,v) tem capacidade 2 e a aresta (v,t) agora tem capacidade 1 (devido ao fluxo de 3 no caminho anterior).

Fluxo em Redes


Nosso algoritmo agora termina, pois não temos outros caminhos de s para t.

Porém, podemos fazer melhor?

Se enviarmos apenas 2 unidades através de u,v e direcionar a terceira unidade para u,t então abriremos um novo espaço em ambas as arestas (u,v) e (v,t). Podemos enviar agora mais uma unidade para o caminho s v t, aumentado o nosso fluxo total para 5, o que de fato é o máximo possível.

Fluxo em Redes


Então, o que tinha de errado com nosso algoritmo? Um problema foi a ordemde escolha dos caminhos. Se tivéssemos escolhido primeiro o caminho s ut e depois o caminho s u v t, então encontraríamos a solução ótima. Mas a escolha da ordem dos caminhos pode se tornar difícil.

Testando novamente...

Qual o fluxo máximo?

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Fluxo em Redes


Método de Ford-Fulkerson

Depende de três ideias importantes:

Redes residuais: consite em arestas que podem admitir mais fluxo. Caminhos de aumento: consiste de um caminho simples desde a origem até

o destino, no grafo da rede residual. Cortes: Separam o grafo em duas partes, uma com o vértice de origem e

outra com o vértice de destino.

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Redes residuais:Considerando-se uma grafo G e um fluxo f, a rede residual consiste em arestasque podem admitir mais fluxo.

A capacidade residual Cf é a quantidade de fluxo adicional que pode passar por(u, v) sem exceder a capacidade c(u, v):

Cf(u, v) = c(u, v) – f(u, v)

O grafo residual de uma rede de fluxo é essencialmente o grafo da redeexceto que para toda aresta (u, v) que possui x unidades de fluxo, há uma aresta (v, u) com capacidade x no grafo residual.

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O grafo residual de uma rede de fluxo é essencialmente o grafo da redeexceto que para toda aresta (u, v) que possui x unidades de fluxo, há uma aresta (v, u) com capacidade x no grafo residual.

As arestas tracejadas são as arestas acrescentadas no grafo residual. A capacidade das arestas tracejadas é igual as unidades de fluxo contidas nas arestas sólidas na direção oposta.

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𝐶𝑓 𝑢 → 𝑣 = 𝑐 𝑢 → 𝑣 − 𝑓 𝑢 → 𝑣 , 𝑠𝑒 𝑢 → 𝑣 ∈ 𝐸

𝑓 𝑢 → 𝑣 𝑠𝑒 𝑣 → 𝑢 ∈ 𝐸0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

Grafo residual

Um caminho no grafo residual é chamado de caminho de aumento.

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Caminhos de aumentoSão caminhos simples da origem (s) ao destino (t) através do grafo residual Gf.A capacidade residual de um caminho de aumento p, corresponde à menordentre as capacidades residuais das arestas que fazem parte de p.

Cf = min{Cf(u, v) | (u, v) p}

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CortesUm corte é uma partição de vértices distribuída um dois conjuntos distintos S e T. Em uma rede de fluxo, a origem está localizada em S, e o destino em T.

O conjunto do corte (cut-set) é um conjunto de arestas que começam em S e terminam em T.

A capacidade de um corte é a soma dos valores das arestas que começam em Se terminam em T.

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Cortes

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Método de Ford-Fulkerson (chamado “método” porque encontrarcaminhos de aumento não é especificado).

Os passos:• 1º Escolhe-se um caminho qualquer desde a origem até o

destino cujas arestas possuam capacidade positiva (>0).• 2º Procurar nesse caminho a aresta com menor capacidade (c).• 3º Diminuir c da capacidade de fluxo em cada aresta do

caminho no sentido direto e aumentar c na capacidade das arestas no sentido inverso.

• Voltar ao 1º passo. Se já não existir nenhum caminho em quetodas as arestas tenham capacidade positiva, então o fluxomáximo já está determinado.

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Fluxo em Redes


Método de Ford-Fulkerson (algoritmo)

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Teorema do Fluxo Máximo

“Para toda a rede com uma só origem e um só destino o fluxomáximo é igual ao valor mínimo de corte entre todos os cortes

possíveis da rede.”

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Fluxo máximo = 23

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Corte mínimo

C = 29 C = 26 C = 24

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Corte mínimo

C = 34C = 35

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Corte mínimo

C = 23C = 34

Corte mínimo

Fluxo em Redes


Encontrar o fluxo máximo (método de Ford-Fulkerson)

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