geogebra algumas atividades

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Curso de Especializao para Professores do Ensino Mdio de Matemtica

Matem@tica na Pr@ticaTpicos sobre Funes Trigonomtricas

Paulo Antonio Silvani Caetano

Seja bem-vindo a esta ltima etapa da disciplina de Funes Elementares do Matem@tica na Pr@tica, em que vamos utilizar um software de geometria dinmica para trabalhar com grficos de funes. Para comear, pense nas seguintes questes: Voc se preocupa com a visualizao de grficos ou objetos geomtricos em suas aulas? Usa giz colorido, rgua, compasso, barbantes ou qualquer outro recurso no dia a dia de sua sala de aula? Voc j usou o computador para construir grficos ou objetos geomtricos? Conhece algum software de geometria dinmica? Voc conseguiria elaborar uma atividade com esse software que auxiliasse o aluno na compreenso de um determinado conceito?

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1. Quero usar novas tecnologias na minha aula. Mas como?Pensar em uma aula de Matemtica no Ensino Mdio geralmente nos leva a imaginar uma sala com carteiras enfileiradas, de frente a uma grande mesa do professor, que se encontra em p escrevendo frmulas no quadro negro. Enquanto isso, os alunos o observam atentos, tentando copiar tudo em seus cadernos, numa velocidade que lhes permita acompanhar o raciocnio do professor. Essa cena tradicional aos poucos tem dado lugar a uma nova imagem nas salas de aula de Matemtica, principalmente por conta do uso de materiais concretos e de novas ferramentas tecnolgicas. Mas que ferramentas so essas? Como e quando utiliz-las? Estas so perguntas frequentes de muitos professores. Talvez por isso muitos ainda no lancem mo desses recursos em suas aulas. Nesta etapa da disciplina de Funes

Elementares, vamos apresentar a construo de uma dessas ferramentas, com todos os detalhes necessrios para que voc se sinta um arteso dessa nova tecnologia, com segurana para usla em suas aulas.Fonte: www.flickr.com/photos/buson/3990571036 - Foto: Izaias Buson (Lousa) Fonte: http://www.sxc.hu/photo/990536 - Foto: Sigurd Decroos (ilustrao da sala de aula) Fonte: www.flickr.com/photos/ewout/2821470868 - Foto: Ewout (Sala de aula digital) Fonte: www.sxc.hu/photo/286892 - Foto: Rajesh Sundaram (preocupado) http://www.sxc.hu/photo/1238452 - Foto: Chris Baker

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Vamos agora entrar no mundo do ensino informatizado da Matemtica. E, ento, est animado?

2. GeoGebra, um programa de matemtica dinmicaO GeoGebra (o nome uma mistura de GEOmetria e lGEBRA) um programa de computador que rene ferramentas de aritmtica, geometria, lgebra e clculo num mesmo programa, para uso em todos os nveis educacionais. Ele apresenta a Matemtica de forma dinmica atravs da manipulao simultnea de objetos geomtricos e de suas respectivas equaes algbricas. Do ponto de vista da geometria, permite trabalhar com os objetos a partir de pontos, segmentos, retas, circunferncias, curvas e grficos de funes. Do ponto de vista da lgebra, permite trabalhar com os objetos a partir de suas equaes e coordenadas. No GeoGebra, cada expresso em sua janela algbrica corresponde a um objeto em sua janela geomtrica e vice-versa. Essa cumplicidade entre geometria e lgebra faz do GeoGebra um timo recurso para realizar variadas atividades de Matemtica na escola. Voc j teve contato com este programa? Isso est parecendo muito confuso? Calma! Vamos aos poucos conhecer melhor o GeoGebraFonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GeoGebra_icon_geogebra.gif

Saiba Mais O programa GeoGebra foi Idealizado em 2001, pelo jovem austraco Markus Hohenwarter, baseado no princpio de software livre, que permite a sua instalao e uso sem fins lucrativos. Este princpio tambm garante o seu desenvolvimento e atualizao permanente, sem custos, atravs de uma comunidade virtual mundial, que est sempre enriquecendo e melhorando o GeoGebra. Fim do Saiba Mais E, ento, que tal experimentar o GeoGebra? Mos obra? Vamos comear instalando este programa em seu computador...

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Atividade 1 Instalando o GeoGebra Instale a verso mais recente do GeoGebra em seu computador a partir do stio oficial www.geogebra.org,

seguindo os passos a seguir. Se voc nunca instalou um programa em seu computador ou sentir dificuldades durante a instalao, pea ajuda a algum com mais experincia neste tipo de tarefa.Fonte: http://www.sxc.hu/photo/763632 - Foto: Josep Altarriba

1. Aps acessar o endereo www.geogebra.org, escolha a opo para exibio da pgina na Lngua Portuguesa.

2. Escolha a opo Download no topo da pgina.

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3. Escolha a opo Instalaes na parte superior direita da pgina, para ter acesso aos programas instaladores do GeoGebra.

4. Escolha e salve o arquivo de instalao correspondente ao sistema operacional de seu computador.

5. Execute o arquivo de instalao salvo em seu computador. Fim da Atividade 1

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Aps finalizar a instalao, o cone

de acesso rpido ao GeoGebra fica

disponvel na rea de trabalho de seu computador. Ao clicar neste cone, o programa iniciado com a seguinte janela padro:

Figura 1: Janela padro do GeoGebra Observe, na parte superior da janela padro, a barra de menu geral (Arquivo, Editar, Exibir, Opes, ...) seguida da barra de menu de construes geomtricas. Na parte inferior, vemos um campo para digitao de frmulas seguido de itens de seleo para escolha de operaes matemticas, letras gregas e comandos especficos do GeoGebra. Na parte central da janela padro do GeoGebra, vemos ainda, direita, uma grande janela de geometria com um sistema de coordenadas; esquerda vemos uma janela de lgebra para armazenamento de objetos construdos.

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Janela de lgebra

Janela de geometria

Barra de menu geral e barra de menu de construes geomtricas

Entrada para expresses algbricas

Figura 2: Janela padro do GeoGebra e seus componentes

Incio do Saiba Mais Alm do GeoGebra, existem muitos outros softwares de geometria dinmica que podem ser usados como o em aulas de

Matemtica,

Cabri-Gomtre Calques e Rgua 3D e

(www.cabri.com.br), (www.uff.br/calques3d)

Compasso (www.professores.uff.br/hjbortol/car). Alguns so mais conhecidos e utilizados, outros nem tanto. Na verdade, no existe um software padro que seja considerado o mais adequado para uso em sala de aula. Escolhemos o GeoGebra por ele ter sido idealizado tanto para uso no Ensino Mdio, quanto para uso no Ensino Superior. Mas fique vontade para conhecer melhor outros softwares!Fonte: http://www.sxc.hu/photo/987822 - Foto: Jay Lopez

Fim do Saiba Mais Agora que voc j foi apresentado ao GeoGebra, podemos iniciar os trabalhos...

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Voc ir construir vrios grficos e utilizar o dinamismo do GeoGebra para visualizar o efeito da mudana de parmetros nesses grficos. Caso voc seja uma pessoa com dificuldades programas na manipulao de fique

computacionais,

tranquilo. As construes no GeoGebra sero explicadas passo a passo, nos

mnimos detalhes, com imagens de tudo o que est acontecendo, para facilitar seu estudo ao mximo.Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1260785 - Foto: Jakub Krechowicz

muito importante que voc faa as construes. Por isso, este material deve ser estudado ao lado do seu computador, com o GeoGebra na tela, para que voc possa ler, fazer e verificar cada passo das construes solicitadas. Vamos comear?

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2. A dana dos grficosVoc gosta de danar? Que tal convidarmos os grficos das funes elementares para uma dana no GeoGebra. Voc sabia que os

grficos podem danar? Pelo menos no GeoGebra eles podem... Como assim?Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1100360 - Foto: Samir Admane

Vamos construir grficos de funes elementares introduzindo os parmetrosa , b , c e visualizar a dana desses grficos provocada pela mudana de

valores nos parmetros. Vamos perceber como os parmetros conduzem o grfico nesta dana, cada um com seus passos caractersticos. Fizemos algo parecido na sequncia didtica que apresentamos para estudo das funes quadrticas na Etapa 2 desta disciplina, lembra? Porm, desta vez, vamos perceber no computador as mudanas provocadas pelos parmetros sobre grficos de funes elementares. No computador, perceberemos estas mudanas muito mais rapidamente, como em uma dana... Mas, para isso, precisamos inicialmente aprender como construir um parmetro no Geogebra, no mesmo?

Verbete Parmetro todo elemento de um problema cuja alterao de valor modifica a soluo sem modificar a natureza do problema. Por exemplo, uma funo quadrtica tem a forma geral f ( x) ax 2 bx c , onde os parmetros so a , b e c com a 0 . Os grficos das funes quadrticas so parbolas, e a alterao de valores dos parmetros muda o aspecto grfico dessas parbolas. Fim do Verbete

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Os parmetros sero construdos parte, porque o nosso interesse que eles possam ser alterados depois. Utilizaremos o comando Seletor do GeoGebra, que permite a introduo e seleo de valores para um parmetro, como em uma barra de rolagem. Para habilitar o comando Seletor, basta clicar sobre o cone na barra de menu

do GeoGebra, que fica na parte superior da tela, como mostramos anteriormente.

Figura 3: cone Seletor na barra de menu do Geogebra Ao clicar neste cone, a barra de menu ir mudar e aparecer a seguinte Figura:

Figura 4: Barra de menu do GeoGebra com a funo Seletor habilitada Observe que o entorno do cone selecionado fica evidenciado em azul e exibida uma mensagem sobre a utilizao do comando habilitado. No caso do comando Seletor, a mensagem exibida : Clique na rea de trabalho para especificar a posio do seletor. Isso permitir que voc finalmente crie um parmetro com a possibilidade de modificar seus valores na rea de trabalho! E a? J conseguiu chegar at aqui? Depois que voc j tiver habilitado a funo Seletor na barra de

menu do GeoGebra, clique na rea de trabalho (janela com o sistema de coordenadas) prxima do canto superior esquerdo, para