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GEOGEBRA COMO FERRAMENTA NO ENSINO DA MATEMÁTICA: FUNÇÕES LOGARÍTMICAS.

Rubens Scarparo1

Valdeni Soliani Franco2

Resumo Este artigo descreve os resultados obtidos, durante a implementação de um projeto que foi realizado com alunos da 2ª série do Ensino Médio em uma cidade do Paraná, por meio de aulas teóricas e práticas, desenvolvidas diretamente no laboratório de informática, abordando assuntos referentes às funções logarítmicas, com atividades orientadas utilizando o software GeoGebra como ferramenta de interação entre os vários conceitos dessa função. Como a definição usual dessa função dada no Ensino Médio é feita de uma maneira um tanto “forçada”, onde requer que se estudem preliminarmente as propriedades da função exponencial e também não permite apresentar espontaneamente o número e como uma base especial que se distinga naturalmente das demais. Com a implementação, tivemos a oportunidade de mostrar que existe uma maneira geométrica de definição bem mais natural, a qual depende apenas do conceito de área de uma figura plana. Nas atividades com professores, após a leitura das ações de implementação, alguns perceberam que poderia ser extremamente interessante ao longo do período letivo permitir ao estudante ter uma nova visão sobre logaritmos com o uso do GeoGebra, e que seria muito importante unir a idéia de funções logarítmicas com um software, pois isso permitiria ao estudante e ao professor agilizarem o processo de ensino- aprendizagem sobre essa função. Na realização das atividades, o principal ponto positivo está no fato de que as tecnologias de certa forma tornaram as aulas mais interessantes, atrativas e dinâmicas, despertando a curiosidade, realizando descobertas, confirmando resultados, fazendo simulações e levantando questões relacionadas às propriedades e aplicações práticas de cada uma das respectivas áreas referentes aos logaritmos, tornando cada uma delas mais agradável, pois, a prática estava produzindo uma melhor aprendizagem do que no sistema tradicional de ensino.

Palavras-chave: Educação Matemática; GeoGebra; Logaritmos; Área.

1 - INTRODUÇÃO

1 Professor da Rede da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná, e-mail: rsscarparo@SEED.pr.gov.br. 2 Professor do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá (UEM) e do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da UEM, e-mail: vsfranco@uem.br.

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Este artigo relata a implementação de um projeto que tem como objetivo

contribuir para o ensino e a aprendizagem da matemática, utilizando alguns dos

recursos oferecidos pelo software GeoGebra, para que de maneira atraente e

criativa o interesse dos alunos em sala de aula fosse despertado. Justifica-se a

escolha do software GeoGebra como elemento básico deste trabalho, pois o mesmo

está instalado na Plataforma do Paraná Digital e é considerada uma ótima

ferramenta para construção do conhecimento geométrico e suas interações.

É necessário, no Ensino Médio, apresentar ao aluno conhecimentos relativos

às funções e seus respectivos gráficos, pois os mesmos estão presentes no

cotidiano em que vive. É fundamental que conheçam o espaço geométrico, explorem

e o dominem para que possam tornar-se mais um aliado importante na construção

do conhecimento. O conhecimento geométrico, uma vez apropriado, contribui para

que o aluno possa representar e dar significado ao mundo. Da mesma forma, o

domínio de tais conceitos favorece análises, interpretações, a resolução de

problemas e a compreensão de representações abstratas.

Utilizar o software GeoGebra como ferramenta de interação entre os

conceitos de função logarítmica definida geometricamente, como veremos,

proporciona aulas descontraídas e interessantes do ponto de vista didático.

2 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Hoje, o professor, considerado o centro do processo com suas aulas

expositivas, não consegue atender às demandas da dinâmica da sala de aula, pois

esse tipo de postura não se enquadra mais neste momento histórico. Por isso, o

professor deve deixar de lado a zona de conforto e procurar novas formas de

dinamizar o ensino e a aprendizagem, para tentar mudar a situação em que se

encontra o ensino atualmente.

Na LDB 9394/96, que é a lei máxima que rege e regulamenta o ensino, (artigo

2º), determina que devem ser criadas condições para que a aprendizagem possa

tornar os cidadãos críticos, atuantes, reflexivos e livres. Por isso, a busca de novas

alternativas metodológicas de ensino torna-se necessário para que haja uma melhor

interação dos alunos com a realidade atual.

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De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do Paraná

(DCE) (PARANÁ, 2009, p 65), as mídias tecnológicas são consideradas um grande

avanço para o ensino, pois amplia as possibilidades de investigação, observação e

favorecem as experimentações dando uma alternativa a ser articulada com as

demais, na perspectiva de contribuir na melhor compreensão da matemática.

As DCEs ainda estimulam a articulação das diversas tendências da Educação

Matemática com vistas a promover a excelência no processo de ensino e

aprendizagem.

O uso das tecnologias na aprendizagem matemática é necessário, pois em

nossas vidas é constante a utilização de computadores, de softwares, da internet, de

celulares entre outros elementos tecnológicos. O educando têm tido contato com

estes recursos cada vez mais, por isso, não podemos deixá-los de lado.

2.1 - LOGARÍTMOS

No início do século XVII, o desenvolvimento da Astronomia e da Navegação

exigia longos cálculos aritméticos. Mesmo com a simplificação das operações

através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionavam produtos com

somas ou subtrações, a recente invenção das frações decimais, embora ainda não

suficientemente difundida, eram um problema fundamental efetuar com presteza

operações como multiplicações, divisões, potenciações e extrações de raízes.

Procurava-se, então um processo que permitisse reduzir cada operação em uma

operação inferior mais simples, facilitando os cálculos aritméticos.

Napier (1550-1617), um nobre escocês, teólogo, matemático e inventor foi um

dos que impulsionaram fortemente o desenvolvimento dos logaritmos, pois, em 1614

publicou uma tábua de logaritmos que consistia essencialmente de duas colunas de

números, onde cada número da coluna da esquerda correspondia a um número à

sua direita, chamado o seu logaritmo, onde para multiplicar dois números, bastava

somar seus logaritmos e o resultado era o logaritmo do produto. Para obter o

produto, bastava ler a tábua, da direita para esquerda, qual o número que tinha

aquele logaritmo.

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Semelhantemente, para dividir dois números bastava subtrair os logaritmos.

Para elevar um número a uma potência bastava multiplicar o logaritmo do número

pelo expoente e finalmente para extrair a raiz n-ésima de um número, bastava dividir

o logaritmo do número pelo índice da raiz.

Jost Burgi (1552-1632), suíço, matemático, fabricante de instrumentos

astronômicos e inventor, muito embora desconhecendo totalmente Napier publicou

em 1620 uma tábua semelhante. A influência de Napier no desenvolvimento dos

logaritmos foi muito maior do que a de Burgi, devido as suas publicações e seu

relacionamento com professores universitários.

“Na terminologia matemática de hoje, uma correspondência como essa

estabelecida por meio de uma tábua de logaritmos é o que se chama de função. A

invenção dos logaritmos foi anterior à introdução do conceito de função na

matemática. A utilidade original dos logaritmos resulta portando da seguinte

observação: o trabalho de elaborar uma tábua de logaritmos, por mais longo e

cansativo que seja, é um só. Depois dele executado, ninguém precisa mais,

digamos, efetuar multiplicações, adições bastam”. (Lima – 1991 p. 2).

Henri Briggs (1561-1631), professor da Universidade de Londres, elaborou,

juntamente com Napier, uma nova tábua, contendo os chamados logaritmos

decimais, devido ao nosso sistema de numeração ser decimal.

Depois da descoberta dos logaritmos, sua utilização foi muito importante para

a ciência e para a tecnologia durante os quatro séculos que se sucederam, pois,

aumentou vastamente o poder computacional do astrônomo. Napier reconhecendo o

valor de sua descoberta, deu as suas tábuas o titulo de Mirifici logarithmorum

canonis descriptio, que significa uma descrição da maravilhosa regra dos logaritmos.

Segundo LIMA (1991) “recentemente, com a invenção das calculadoras, cada

vez mais baratas e rápidas, ninguém mais usa uma tábua de logaritmos ou uma

régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um

instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, o mesmo está

acontecendo com outras tabelas matemáticas. Embora, os logaritmos tenham sido

inventados como acessório para facilitar operações aritméticas, o desenvolvimento

da matemática e das ciências em geral veio mostrar que diversas leis matemáticas e

vários fenômenos físicos, químicos, biológicos e econômicos são estreitamente

relacionados com os logaritmos”.

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Os logaritmos, que durante três séculos e meio tão bem desempenharam o

papel de maravilhoso instrumento para simplificar o cálculo aritmético, permitindo

que se efetuassem, com rapidez e precisão, a diversas operações complicadas,

apresentam em sua definição bastante difundida nos livros didáticos, três

inconvenientes.

O primeiro inconveniente é que ela requer que se estudem preliminarmente as

propriedades da função exponencial, em particular que se saiba o significado de ya

quando y é irracional, e que se provem regras como .y z y za a a para ,y z IR+

quaisquer.

O segundo inconveniente da definição de logaritmos como expoente é que

tratando todas as bases da mesma maneira, ela não permite apresentar

espontaneamente o número e como uma base especial que se distinga

naturalmente das demais, deixando de aparecer artificialmente como na definição

tradicional.

O terceiro inconveniente é a dificuldade de se estabelecerem certas

desigualdades fundamentais, como por exemplo, L (1 + x) < x (válida para logaritmos

de base e), que é óbvia na definição geométrica.

Lima (1991) apresenta a definição geométrica dos logaritmos, onde cada um

dos três inconvenientes apontados acima para a definição de logaritmos como

expoente constitui, em contraponto, uma vantagem nítida da definição geométrica

dependendo apenas do conceito de área de uma figura plana e a propriedade

fundamental L(x.y) = L(x) + L(y) que resulta meramente do fato de que a área de um

retângulo não se altera quando se multiplica sua base por um número e se divide a

altura pelo mesmo número, e ainda na definição geométrica o número e surge de

modo natural e os logaritmos que se definem dessa maneira são os de base e, e

finalmente as desigualdades fundamentais como L (1 + x) < x são evidentes quando

L (1 + x) é definido como uma área.

2.2 - ÁREA DE UMA FAIXA DE HIPÉRBOLE

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A concepção geométrica de uma função logarítmica é uma ideia muito antiga,

com mais de três séculos e meio de existência. Primeiro o padre jesuíta belga

Gregory Saint Vicent, em 1647, e depois Isaac Newton, em 1660, reconheceram

uma relação estreita entre a área de uma faixa de hipérbole e os logaritmos.

Embora, nenhum dos dois tenha identificado realmente essa área com os logaritmos

naturais.

2.3 - O PROGRAMA GEOGEBRA

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria,

álgebra e cálculo. É desenvolvido para aprender e ensinar matemática nas escolas

por Markus Hohenwarter e uma equipe internacional de programadores. O

GeoGebra fornece três diferentes vistas dos objectos matemáticos: a Zona Gráfica,

a Zona Algébrica, ou numérica, e a Folha de Cálculo. Elas permitem mostrar os

objetos matemáticos em três diferentes representações: graficamente,

algebricamente e nas células da folha de cálculo. Assim, todas as representações do

mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente às

mudanças realizadas em qualquer uma delas, independentemente da forma como

esses objetos foram inicialmente criados. Disponível em:

(http://www.geogebra.org/help).

Neste artigo, descrevemos os primeiros passos no sentido de expor a

concepção geométrica de uma função logarítmica, introduzindo a definição de área

de uma faixa de hipérbole, fixados no plano em um sistema de eixos cartesianos,

utilizando o software GeoGebra.

3 - DESENVOLVIMENTO

O projeto foi implementado na 2ª série A, turno matutino em um colégio

Estadual, com a participação de 15 alunos. O mesmo foi aplicado nos meses de

setembro a novembro de 2011.

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Para o desenvolvimento da implementação, as atividades foram apresentadas

aos alunos e ao mesmo tempo cada participante as realizavam no Programa

GeoGebra instalado no Paraná Digital. A figura 1 mostra a sala onde foram

realizadas a implementação.

Na sequência serão apresentadas algumas das atividades realizadas e os

resultados obtidos por meio delas.

Figura 1 – Laboratório de informática

Fonte: Autor, 2011

Após uma apresentação que mostrou várias ferramentas do software

GeoGebra, e algumas bem específicas para o objetivo da implementação, foi

proposto aos alunos que realizassem a decomposição do intervalo [2,3] em cinco

partes iguais, e construíssem retângulos pela aproximação retangular inferior da

área H de uma faixa da hipérbole, determinada pelo gráfico da função y = 1/x,

fixadas no primeiro quadrante do plano cartesiano e também pela aproximação

retangular superior, para a área da mesma faixa de hipérbole, que foi denominada

por 3

2H , pelo fato do intervalo trabalhado ser [2,3].

Como primeira atividade, e sem muito conhecimento do programa GeoGebra,

vários alunos apresentaram dificuldades nessa construção, até mesmo na digitação

da função y = 1/x no campo de entrada, bem como na localização dos comandos

soma inferior e soma superior. Na figura 2, temos o resultado obtido pelos alunos.

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Figura 2 – soma retangular inferior e superior.

Fonte: Autor, 2011

Em uma segunda atividade, o objetivo era que os alunos fizessem uma

comparação entre as áreas apresentadas pelos gráficos. Para isso foi proposto a

eles que construíssem outros gráficos com o mesmo intervalo, fazendo comparação

também entre a soma retangular superior e inferior, onde cada um poderia escolher

um número diferente de retângulos. Uns escolheram 200, outros 500 retângulos,

entre outras escolhas. Os resultados podem ser observados na figuras 3.

Figura 3 – soma retangular inferior e superior.

Fonte: Autor, 2011

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Apesar das dificuldades relatadas anteriormente na primeira atividade, a

segunda atividade acabou sendo efetuada com êxito, pois a maioria dos alunos já

apresentava maior habilidade, tanto ao digitar no campo correspondente da entrada

bem como em localizar nos comandos a soma superior e a soma inferior.

O interessante é que após alguns já terem terminado a construção gráfica,

queriam saber qual era o valor da área apresentada pelo gráfico dos outros colegas,

com número de retângulos maior ou menor do que o seu.

Foram propostas aos participantes mais duas atividades na qual construíram

o gráfico da área da faixa de hipérbole, 4

1H decomposta em 25 retângulos e também

em 50 retângulos, utilizando também a soma retangular superior, a soma inferior e

que calculassem a diferença entres as áreas. (figura 04)

Figura 4– Mostra a diferença de área entre a soma superior e inferior decomposta em 25

retângulos e também com 50 retângulos.

Fonte: Autor, 2011

Depois de construírem cada um dos gráficos, foram orientados para

determinar a diferença entre a soma inferior e soma superior. Foi proposto para que

digitassem “b – a” no campo de entrada. Nesse momento da atividade os alunos

participantes da pesquisa observaram que o GeoGebra realiza a subtração entre a

soma superior e a soma inferior e que a diferença era mostrada na janela de

álgebra. A partir daí alguns alunos perceberam que quanto maior fosse o número de

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retângulos em cada uma das somas, menor seria a diferença entre as áreas

apresentadas por elas.

Na sequência a aplicação da Produção Didático-Pedagógica foi apresentada

aos alunos a definição de logaritmos naturais de um número real x, denotado por

ln(x), em que se lê “ele ene de x”, como sendo a área da faixa da hipérbole,

determinada pelo gráfico da função y = 1/x, fixadas no primeiro quadrante do plano

cartesiano e denotada por “Área ( x1H )”, e foi proposto que encontrassem a área

aproximada para ln(12), ln(5,5), ln(0,5) e ln(50), através da soma trapezoidal

conforme gráficos apresentados nos gráficos da figuras 8,

Figura 5 – Gráfico das áreas aproximada de ln(5,5), ln(12), ln(0,5) e ln(50)

Fonte: Autor, 2011

Os participantes observando cada um dos gráficos obtidos, constataram que

as áreas correspondentes a faixa de hipérbole, que representava cada um dos

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logaritmos naturais solicitados, eram diferentes. Mas o que mais chamou a atenção

dos alunos foi que o logaritmo de meio, ou seja, ln(0,5), apresentava uma área com

um valor negativo. Neste momento levantou-se um questionamento, porque motivo

ela se apresentava assim negativa? A partir daí foi proposto que construíssem

outros gráficos de ln(x), com x maior que 0 (zero) e menor que 1 (um). Após a

construção gráfica, compararam os resultados com os seus colegas e perceberam

que todos os resultados eram negativos. O professor PDE, nesse momento,

aproveitou a oportunidade e explicou que todos os logaritmos compreendidos entre

0 (zero) e 1 (um) é sempre um número negativo, e todos os logaritmos de um

número maior que 1 (um) é sempre positivo. Explicou ainda que a área é sempre

dada pelo módulo do número encontrado no GeoGebra, e não poderia permanecer

negativa.

Acompanhando o trabalho de cada aluno, percebeu-se uma ótima

oportunidade de realizar juntamente com eles outros exemplos, e principalmente a

questão relacionada com a busca da origem do número e que foi habilmente

contornada quando a construção e observação do gráfico, notou-se que a área

correspondente a ln(e) da faixa e

1H era igual a 1.

Notou-se, por meio dessa atividade, que foi motivador para todos, o uso do

GeoGebra no cálculo de logaritmos naturais. Os resultados obtidos, mostra que

alunos e professores podem fazer uso desse programa em aulas, tentando agilizar o

processo de Ensino e de Aprendizagem.

Na sequência à aplicação da Produção Didático-Pedagógica foi apresentada

aos alunos a definição de logaritmos de outras bases, de um número real x,

denotado por loga(x), em que se lê “log de x na base a”, como sendo a área da faixa

da hipérbole, determinada pelo gráfico da função f(x) = 1/(x.ln(a)), fixadas também

no primeiro quadrante do plano cartesiano, e denotada por “Área ( x1H )”, e que a

partir deste momento a mesma seria utilizada para construir o gráfico dos logaritmos

com bases diferentes de base e. Então foi proposto pelo professor PDE que

construíssem gráficos das áreas aproximadas para logaritmos cuja área fosse

compreendida entre 1 e x, para o logaritmo de oito na base dois (log 2(8)) e logaritmo

de nove na base três (log 3(9)) figura 6.

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Figura 6 – Gráfico log 2(8)) e (log 3(9))

Fonte: Autor, 2011

Os participantes observando cada um dos gráficos obtidos, constataram que

as áreas correspondentes à faixa de hipérbole, que representava cada um dos dois

logaritmos, apresentavam um número inteiro.

Neste momento, levantou-se um questionamento: porque motivo as áreas

desses logaritmos apresentavam assim um número inteiro? A partir daí foi proposto

que construíssem outros gráficos tais como log2(16), e log5(25), e após a construção

gráfica, comparassem novamente os dois resultados. Feita a construção,

perceberam que os outros dois resultados eram também números inteiros. O

professor PDE, nesse momento, aproveitou a oportunidade e propôs uma discussão:

por que motivo log2(16) era igual a uma área igual a 4? E log5(25), a área é igual a

2? Alguns responderam que era a base, outros porque era o número 16. Ou o

número 25. O professor sugeriu então que realizassem a decomposição do número

16. E do número 25. Após realizada a decomposição, verificaram que o número 16 é

igual a 2.2.2.2, que formava uma potência cuja base é dois e o expoente 4, tendo

então (24). E o número 25 formava uma potência cuja base é cinco e o expoente 2

formando então (52). Foi percebida então, por alguns participantes, a relação

existente entre a potenciação e os logaritmos. Neste momento oportuno, o professor

PDE relatou que a função exponencial e a função logarítmica eram inversas uma da

outra, e que através da potenciação poderia encontrar alguns logaritmos realizando

alguns cálculos.

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Em outra atividade, após exposição de slides e explicações, o professor

relatou que os logaritmos se deixavam caracterizar por duas propriedades

extremamente simples e naturais, onde a primeira delas, o logaritmo é sempre uma

função crescente e a segunda, L(xy) esta relacionada com L(x) + L(y), assim L(xy) =

L(x) + L(y) e que consequentemente os logaritmos surgiam apenas dessas duas

propriedades fundamentais.

A partir do exposto, o professor propôs a construção dos gráficos de log 3(6),

log3(2) e log 3(3) para demonstrar que log 3(6) = log 3(2) + log 3(3), e que

posteriormente comparassem os resultados das áreas de cada um dos logaritmos.

figura 7.

Figura 7 – mostra á área de log 3(6), log 3(3) e log 3(2),

Fonte: Autor, 2011

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Por meio das observações realizadas nos gráficos 14 e 15 da figura 7, os

participantes notaram que, adicionando-se a área correspondente a log 3(2) à área

correspondente a log 3(3)), obtinha como resultado uma área igual a de log 3(6) do

gráfico 13.

Um detalhe importante chamou atenção de alguns alunos, pois notaram que

log 3(3) apresentava área igual a 1. Aproveitando o momento, o professor propôs

que escolhessem outro exemplo, construíssem o seu gráfico e verificassem

novamente a área correspondente à construção. Após cada participante ter

escolhido um logaritmo diferente, realizada a construção gráfica, alguns se dirigiram

ao computador do seu colega mais próximo e perceberam que em todos os casos

ocorria o número 1 como resultado final da área. Partindo daí, o professor relatou

que em todos os logaritmos cuja logaritmando coincidisse com a base, tem-se o

número 1 como área, pois esse resultado corresponde a uma das consequências

das duas principais propriedades relatadas anteriormente e que log a(a) = 1.

Dando sequência às atividades foi proposto pelo professor PDE que

construíssem o gráfico para mostrar a área correspondente a log 3(1) e log 5(1) e

relatar a ocorrência do valor numérico da área. figura 7.

Figura 8 – log 3(1) e log 5(1)

Fonte: Autor, 2011

Após a construção dos dois gráficos da figura 8, alguns participantes

questionaram o porquê da área de log 3(1) e log 5(1) ser igual a 0 (zero).

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Aproveitando a oportunidade, o professor propôs que construíssem os

gráficos para encontrar a área correspondentes a log 2(1) ou log 7(1) e

posteriormente verificassem novamente os resultados. Como o resultado da área de

uma faixa de hipérbole construída referente a cada um dos logaritmos propostos

também foram iguais a 0 (zero), o professor interviu relatando que nos logaritmos de

1(um) em qualquer base, sempre apresenta uma área igual a 0 (zero), e que essa

relação é mais uma consequência das duas propriedades fundamentais estudadas

inicialmente e que matematicamente temos: log a(1) = 0.

Dando continuidade às atividades, o professor propôs que construíssem o

gráfico de log 3(3/4), log 3(3) e log 3(4), para verificar se a diferença entre log 3(3) e

log3(4) correspondesse a log3(3/4), para comprovar de que geometricamente L( yx )

= L(x) – L(y). figura 8

Figura 9 – mostra a área de log 3(3), log 3(4) e log 3(3/4).

Fonte: Autor, 2011

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O interessante é que à medida que alguns participantes iam terminando a

construção gráfica, que originou a área de log 3(3) e log 3(4), imediatamente

realizaram a diferença 1 – 1,2619 correspondentes a cada uma delas

respectivamente para verificar se realmente ocorria a igualdade entre a diferença

dessas duas áreas com relação à área do gráfico correspondente a log(3/4), que é

aproximadamente “– 0,2619” comprovando assim a igualdade L(x/y) = L(x) – L(y).

Houve aqui uma nova intervenção do professor PDE que afirmou que a igualdade

L(x/y) = L(x) – L(y) é mais uma consequência das duas primeiras propriedades

fundamentais.

Nesta última atividade, dando sequência à aplicação da Produção Didático-

Pedagógica, foi apresentada aos participantes, os logaritmos de base 10, também

denominados de logaritmos decimais, denotado por lg(x) em que se lê “lg de x”, e

que os mesmos são também a área da faixa da hipérbole, determinada pelo gráfico

da função f(x) = 1/(x.ln(a)) utilizado anteriormente. O professor PDE diante da

exposição de slides, explicações realizadas e exemplos construídos junto com os

participantes sobre o assunto, propôs que encontrassem a área correspondente ao

logaritmo lg(123). Na realização desta atividade, primeiramente transformaram 123

em potencia de base 10, que se tornou em 1,23 x 102. Como haviam utilizado

anteriormente a propriedade fundamental lg(123) = lg(1,23 x 102) = lg(1,23) + lg(102),

construíram o gráfico de lg(1,23) figura 10,

Figura 10 – mostra a área de lg(1,23)

Fonte: Autor, 2011

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Na sequência transformaram lg(102) em lg(10 x 10), e utilizando logaritmo da

base, lg(10 x 10) = lg(10) + lg(10), construíram o gráfico de lg(10). Figura 10,

Figura 11 – mostra a área de lg(10)

Fonte: Autor, 2011

E como lg(10) + lg(10), e igual a 2 x lg(10), então fizeram 2 x 1 que é igual a

2.

Finalmente realizaram a adição entre a área de lg(1,23) com o número 2,

(0,0899 + 2) e encontraram a área correspondente a lg(123) igual a 2,0899.

Aproveitando que lg(102) é igual a 2 x lg(10), o professor relatou que aí estava

ocorrendo mais uma das consequências das duas propriedades fundamentais

iniciais que é lg(an) = n.lg(a).

Com relação a essa atividade a maioria dos alunos queria construir o gráfico

de lg(123) sem usar a notação científica, chegaram a construir, mas encontraram

dificuldades de visualização, pois o número correspondente ao logaritmo, na

abscissa não aparecia, por ser de valor muito alto, houve a necessidade da

intervenção do professor para que o gráfico fosse totalmente visualizado. Com isso

foi dito aos alunos que primeiramente deve-se transformar o número em potência de

base 10, usando a notação científica, pois se torna mais prático a construção,

visualização e os resultados das áreas nos gráficos são mais aproximados, além

disso, no programa GeoGebra, a construção da área da faixa de hipérbole se torna

mais visível com logaritmos menores que 10, conforme figura 12.

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Figura 12 –mostra a área de lg(123)

Fonte: Autor, 2011

Após a última atividade, o professor propôs aos alunos que individualmente,

comentassem em poucas palavras o que tinham aprendido durante a

implementação, se foi relevante, se valeu a pena ter participado. Questionados,

relataram que: foi muito bom ter trabalhado logaritmos utilizando o programa

GeoGebra nos computadores, pois compreenderam melhor, tiveram mais interesse

e dedicação na realização das atividades propostas, e salientaram que por meio da

construção e visualização das áreas nos gráficos de cada um dos logaritmos das

atividades, tiveram a oportunidade de se envolver mais com o conteúdo. Alguns

questionaram por que todas as aulas de matemática que eles tinham no Ensino

Médio não eram assim. O professor PDE fez uma cópia dos vídeos e de todos os

arquivos salvos do Programa GeoGebra pelos alunos em um pendrive.

Em relação ao GTR, por meio do Fórum de discussão e do Diário, alguns

professores participantes, depois de terem tido acesso ao Projeto de Intervenção,

Produção Didático-Pedagógica e Ações de Implementação, relataram que o projeto

poderia permitir aos estudantes terem uma nova visão sobre função logarítmica, e

que o aprendizado sobre essa função, com a construção gráfica utilizando o

programa GeoGebra poderia ser muito útil, visto que as novas tecnologias, de certa

forma, atrai o ser humano e está comprovado que a utilização de aula prática em

geral produz um aprendizado mais significativo.

4 - CONCLUSÃO

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O objetivo deste projeto foi de utilizar o Programa GeoGebra considerado

uma ótima ferramenta de interação entre a matemática e o educando.

Particularmente nesta implementação, foram estudados os vários conceitos de

função logarítmica apresentadas num contexto novo, com atividades orientadas

usando as Tecnologias de informação e Comunicação no ensino da matemática. O

ponto positivo principal foi o fato que a tecnologia de certa forma atrai o ser humano

pela necessidade, comodidade, curiosidade e está comprovado que a prática nas

aulas em geral produzem aprendizado significativo.

Analisando as dificuldades enfrentadas para ensinar logaritmos pelo método

tradicional, observei que com o Software GeoGebra, qualquer função seja ela mais

elaborada ou não, passa pelo mesmo processo de construção. Talvez a barreira que

estamos transpondo vá muito além, pois assim ensinamos ao aluno que logaritmos é

fácil e divertido de se aprender.

No início dos trabalhos de implementação na escola, observou-se que dos 15

(quinze) alunos participantes, somente 01(um) conhecia o Programa GeoGebra, e

os demais nunca tinham sequer ouvido falar desse programa.

As dificuldades apresentadas durante a implementação foram sanadas por

meio de realização de algumas atividades que não estavam previstas nesse projeto,

tais como: localização de pontos no plano, construção de retas, construção de

planos e todo o reconhecimento da tela inicial do GeoGebra, mostrando as principais

funções e todas as suas partes para a construção de gráficos e fórmulas diversas.

Os participantes tiveram a oportunidade de constatar que os gráficos

construídos com a aproximação trapezoidal, para determinar a área que representa

cada um dos logaritmos: natural, decimal ou em outra base qualquer, apresenta uma

área mais exata, e que quanto maior for o número de divisões, mais próximo da área

total do gráfico da hipérbole estaremos.

Foi observado ainda, que utilizando o software GeoGebra no processo de

construção, na concepção geométrica de uma função logarítmica, através da

definição da área de uma faixa de hipérbole, fixados no plano em um sistema de

eixos cartesianos, não há a necessidade de se estudar preliminarmente

exponenciais para depois se ensinar logaritmos como se faz no modo tradicional.

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REFERÊNCIAS:

LIMA, ELON LAGES, Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática

Sociedade Brasileira de Matemática, 1996.

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