apostila geogebra e a geometria plana - campus...

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do

Rio Grande do Sul – Campus Canoas

Apostila

GeoGebra e a Geometria Plana

Samuel S. Andrade

Orientação: Jaqueline Molon

Canoas – Maio de 2016

GeoGebra e a Geometria Plana 2

Sumário

1. Introdução a interface ............................................................................................................... 4

a. Visão geral ............................................................................................................................. 4

b. Ferramentas .......................................................................................................................... 6

c. Janela de Visualização ........................................................................................................... 8

d. Menus .................................................................................................................................... 9

2. Ferramentas ............................................................................................................................ 11

a. Mover .................................................................................................................................. 11

b. Ponto ................................................................................................................................... 11

c. Intersecção de Dois Objetos ................................................................................................ 12

d. Ponto médio ou centro ....................................................................................................... 12

e. Reta ..................................................................................................................................... 13

f. Segmento ............................................................................................................................. 13

g. Segmento com comprimento fixo ....................................................................................... 14

h. Semirreta ............................................................................................................................. 14

i. Reta Perpendicular ............................................................................................................... 15

j. Reta Paralela ......................................................................................................................... 16

k. Mediatriz ............................................................................................................................. 16

l. Bissetriz ................................................................................................................................ 17

m. Reta Tangente .................................................................................................................... 17

n. Polígono............................................................................................................................... 18

o. Polígono Regular ................................................................................................................. 19

p. Círculo dados Centro e Um de seus Pontos ........................................................................ 19

q. Círculo dados Centro e Raio ................................................................................................ 20

r. Compasso ............................................................................................................................. 20

s. Círculo definido por Três Pontos ......................................................................................... 21

t. Ângulo .................................................................................................................................. 21

u. Ângulo com Amplitude Fixa ................................................................................................ 23

v. Distância, comprimento ou perímetro ................................................................................ 23

w. Área .................................................................................................................................... 24

x. Texto .................................................................................................................................... 24

y. Controle Deslizante ............................................................................................................. 25

z. Caixa para exibir/esconder objetos ..................................................................................... 27

ɑ. Arcos e setores .................................................................................................................... 28


3. Exemplos de construções ........................................................................................................ 29

a. Triângulos ........................................................................................................................ 29

Triângulo Equilátero. ........................................................................................................... 29

Triângulo Isósceles .............................................................................................................. 36

Triângulo Escaleno .............................................................................................................. 37

b. Quadriláteros .................................................................................................................. 42

Retângulo ............................................................................................................................ 42

Paralelogramo ..................................................................................................................... 43

Trapézio ............................................................................................................................... 44

Losango ............................................................................................................................... 45

Quadrado ............................................................................................................................ 46

c. Polígonos ......................................................................................................................... 48

Ângulos internos de um polígono regular ........................................................................... 48

Circunferência circunscrita a um polígono regular ............................................................. 49

d. Figuras geométricas dinâmicas ....................................................................................... 50

Circunferência como lugar geométrico ............................................................................... 51

Triângulo retângulo utilizando uma circunferência ............................................................ 53

4. Desafios com resolução ........................................................................................................... 54

a. Exercícios gerais .................................................................................................................. 54

Exercício 1 ........................................................................................................................... 54

Exercício 2 ........................................................................................................................... 56

Exercício 3 ........................................................................................................................... 57

Exercício 4 ........................................................................................................................... 59

b. Bandeira do Nepal ............................................................................................................... 62

5. Considerações Finais ............................................................................................................... 70


1. Introdução a interface Iremos trabalhar com a versão 5 do Geogebra. Alguns detalhes podem estar diferentes de

acordo com a versão.

a. Visão geral Ao abrir o Geogebra você se deparará com a seguinte tela:

No topo, você pode perceber que temos os Menus e a Barra de Ferramentas:

Nos menus temos as opções de Abrir/Salvar arquivos, modificar configurações

relacionadas ao Geogebra, dentre outras opções.

Na barra de ferramentas iremos encontrar as ferramentas necessárias para fazer as

construções.

Repare que ao lado direito da barra de Menus temos “Entrar...”. Essa é a opção que

você deve acessar caso queira interagir de uma forma mais dinâmica com a plataforma

Geogebra Tube. Porém, não é obrigatório que você entre no Geogebra Tube.

Ao lado direito da barra de ferramentas temos os botões: (Desfazer, que desfaz a

última coisa que você fez), (Refazer, que refaz algo que você desfez, com o botão


Desfazer), (Ajuda, que fornece uma ajuda sobre alguma ferramenta) e que mostra

um menu com algumas configurações sobre a interface do Geogebra.

Ao lado esquerdo temos a Janela de Álgebra, que nos mostra informações sobre os objetos

presentes em nossa construção. Não iremos focar muito essa Janela pois usaremos mais a

Disposição Geometria, na qual ela não aparece.

Repare que a Janela de Álgebra separa os itens por

categorias de acordo com o seu tipo. Podemos perceber

que temos 3 pontos (A, B e C), 3 segmentos (a, b e c) e 1

triângulo (pol1). A informação passada ao lado dos

pontos diz respeito às suas coordenadas no plano

cartesiano. A informação passada com os segmentos diz

respeito ao comprimento do segmento. E a informação

passada com o triângulo, assim como outros polígonos,

diz respeito a área do Triângulo.

Repare também que o segmento a está com a bolinha

branca. Isso significa que ele não está sendo exibido na Janela de Visualização. Para

mostrar/ocultar um item você pode clicar na bolinha que ele alternará entre visível/não-

visível.

Ao lado direito temos uma pequena setinha que, quando

clicada, mostra diversas opções para escolher com o que

você trabalhará no Geogebra.

Após clicar perceba que surgiram 6 opções para você

escolher: Álgebra (padrão quando o Geogebra é aberto),

Geometria (utilizado para Geometria Plana), Planilha de

Cálculos (permite que construamos uma planilha e

criemos a representação gráfica dos dados), Janela CAS

(permite que sejam feitas operações através de

comandos), Janela 3D (Geometria Espacial e funções de

duas ou mais variáveis) e Probabilidade (Probabilidade e

estatística).

Quando estudar essa apostila ou for resolver os exercícios propostos ao final dessa apostila,

selecione a disposição Geometria, pois iremos tratar apenas da Geometria Plana nessa

apostila.

Na parte inferior do programa você encontrará o Campo de Entrada, onde você pode dar

comandos para criar/modificar objetos.

Você pode usar a seta que fica ao lado direito do campo Entrada para ajuda acerca dos

comandos do Geogebra.


Agora vamos falar da Janela de Visualização, que fica no centro do Geogebra.

Aqui é onde vai aparecer

suas construções e você irá

interagir com elas a partir

daqui também. Você pode

modificar algumas coisas

como escala, zoom,

exibição de eixos e malha

clicando com o botão

direito sobre a janela de

visualização enquanto

nenhum objeto estiver

selecionado. Utilize o

ponteiro do mouse para

interagir com objetos e

movimentar a visualização.

Iremos explorar melhor

essa janela na seção 1.c.

Agora que você tem uma visão geral sobre o aplicativo, seleciona a Disposição Geometria, para

darmos início aos estudos. O seu Geogebra vai ter a seguinte aparência:

b. Ferramentas

Segue abaixo todas as ferramentas do Geogebra, da forma como elas estão dispostas na barra

de ferramentas. Você pode usar para ajudar a encontrar alguma ferramenta que você não

esteja achando.


Repare nos ícones de cada Ferramenta. Os pontos azuis são os passados por você, os

pontos/objetos vermelhos são os que são gerados automaticamente. Por exemplo, a

ferramenta pode ser identificada como Círculo que passa por três pontos, pois temos 3

pontos azuis (passados pelo usuário) e um círculo. Já o pode ser identificado como o

ponto médio pois daremos 2 pontos (os azuis) e surgirá um entre eles (o vermelho).


Barra de Estilos

Barra de Estilos com ponto selecionado

Menu de contexto sem objetos selecionados

Menu de contexto com um Ponto selecionado

c. Janela de Visualização Vamos falar agora sobre a área onde nossas construções serão feitas e onde iremos interagir

com os objetos.

Barra de Estilos

Na Disposição Geometria, a Janela de Visualização vai deixar de exibir os Eixos e vai surgir essa

barra acima dela. Nessa barra você terá opções gerais como

para exibir/esconder os eixos ou a malha, para restaurar a

visualização original ou pra ajustar o modo como os pontos são

colocados na sua construção. Essa barra é conhecida como Barra de Estilos e, além dessas

configurações ditas anteriormente, serve para ajustar o

estilo do objeto selecionado. Por exemplo, selecionando-se

um ponto surgem as opções Cor (modifica a cor do ponto),

Estilo (permite modificar a representação do ponto ou o

tamanho), Rótulo (escolhe se mostra o nome do objeto,

valor (no caso do ponto, coordenadas), legenda ou

nenhum) e Fixar (permite fixar o ponto de modo que ele

não possa ter seu estilo, nome ou valor modificados. Cada tipo de objeto que você selecionar,

você terá uma Barra de Estilos diferentes. Iremos abordar melhor isso quando formos tratar

das ferramentas individualmente.

Menu de contexto

Ao clicar com o botão direito do mouse podemos ter várias ações de acordo com o item

selecionado (se está selecionado algum). Por

exemplo, quando não temos nenhum item

selecionado temos esse menu de contexto (figura ao

lado). Repare que temos as seguintes opções: Eixos

(permite exibir/ocultar os eixos), Malha

(exibe/oculta a malha), Barra de Navegação

(exibe/oculta a Barra de Navegação, que é

responsável por demonstrar os passos de

construção), Zoom (permite afastar ou aproximar a

construção), EixoX:EixoY (ajusta a escala dos eixos),

Exibir Todos os Objetos (ajusta o foco de modo que

todos os objetos

apareçam),

Visualização Padrão (ajusta o Zoom e foco para os padrões),

Janela de Visualização (exibe uma janela de configurações que

permite ajustar diversas configurações da Janela de Visualização,

como cor do fundo, estilo dos rótulos, malha, etc...)

Quando estamos com um objeto selecionado, é-nos permitido

ver o nome do objeto e algumas opções, como Exibir Objeto,


Exibir Rótulo, Habilitar Rastro (deixa um rastro por onde o objeto for movido), Renomear,

Apagar e Propriedades (cor, estilo, etc.).

Alguns objetos têm a opção de definir uma posição absoluta na tela, o que faz com que,

mesmo que você movimente o foco de visão, o objeto permanecerá estático na tela.

d. Menus Agora vamos falar sobre a parte superior do programa, a Barra de Menus.

Menu Arquivo

- Nova Janela: Abre outra janela do Geogebra,

equivale a abrir um novo Geogebra.

- Novo: Inicia um novo documento na mesma

Disposição já utilizada.

- Abrir...: Abre um arquivo do Geogebra no seu

computador

- Abrir do GeoGebraTube... Permite que você

carregue um arquivo que foi enviado ao

GeoGebraTube por outros usuários.

- Abrir Arquivo Recente: Exibe uma lista de

arquivos abertos recentemente

- Gravar: Salva a construção, se a construção já foi

salva anteriormente então ele substitui o arquivo

da construção.

- Gravar Como...: Salva a construção como um novo arquivo.

- Compartilhar: Envia a construção ao GeoGebraTube.

- Exportar: Permite exportar a construção para diversos formatos como GIF, PNG, HTML, ou

ainda copiar para a Área de Transferência.

- Visualizar Impressão: Prepara para imprimir a construção

- Fechar: Fecha o GeoGebra.

Menu Editar

- Desfazer e Refazer equivalem às opções

Desfazer e Refazer.

- Copiar, Colar e Copiar para Área de

Transferência permitem copiar/colar a

construção ou os objetos selecionados.

- Inserir imagem de: Permite inserir uma

imagem na construção

- Propriedades: Propriedades do objeto

selecionado.


- Selecionar Tudo: Seleciona todos os objetos da construção.

Menu Exibir

- Janela de Álgebra, Planilha, Janela CAS,

Janela de Visualização, Janela de

Visualização 2 (auxiliar), Janela de

Visualização 3D, Protocolo de Construção,

Calculadora de Probabilidades, Teclado e

Campo de Entrada: Exibe/Oculta as

respectivas janelas ou partes do GeoGebra.

- Layout...: Exibe configurações referentes a

aparência da interface do GeoGebra

- Atualizar Janelas: Atualiza a aparência das

janelas. Utilizado quando alguma apresenta

algum bug visual ou para remover o rastro

deixado por um objeto.

- Recalcular Todos os Objetos: Utilizado para

recalcular os números aleatórios.

Menu Opções

- Arredondamento: Permite escolher quantas casas

decimais serão exibidas nos arredondamentos.

- Rotular: Permite escolher se serão exibidos rótulos

para os novos objetos, se serão exibidos apenas para

os novos objetos, ou se deixamos no Modo

Automático.

- Tamanho da Fonte: Tamanho dos textos

- Idioma: Permite mudar o idioma da interface.

- Avançado: Configurações avançadas do GeoGebra, como o estilo das coordenadas, dos

ângulos, das dicas de ferramentas, etc.

- Gravar Configurações: Salva as configurações para quando o GeoGebra abrir novamente.

- Restaurar Configuração Padrão: Restaura a configuração original do GeoGebra.

Menu Ferramentas

- Configurar Barra de Ferramentas: Permite reorganizar a

Barra de Ferramentas

- Criar uma Nova Ferramenta, Gerenciar Ferramentas:

Permite criar/carregar/salvar uma ferramenta do usuário.

(Não iremos abordar nessa apostila)


2. Ferramentas

As ferramentas são as funções que utilizaremos para criar as nossas construções.

a. Mover A ferramenta mover permite que você Mova

objetos, a Janela de Visualização, etc. Sempre

que você for mover um objeto certifique-se de

que ela esteja selecionada.

b. Ponto A ferramenta Ponto permite que coloquemos um

ponto em nossa construção. Podemos utilizá-la

para colocar um ponto vinculado a um objeto ou

um ponto independente. Para colocar um ponto

de forma que ele fique vinculado a um objeto,

seleciona a ferramenta Ponto e clique no objeto ao qual deseja vincular. Assim, ele apenas

poderá ser movido através do objeto. Isso pode ser útil quando quiser, por exemplo, fazer com

que um ponto fique preso a uma circunferência, como a figura a seguir mostra:

O ponto C está

vinculado a

circunferência, pois

foi criado como

mostrado na figura.

Dessa maneira, o

ponto C apenas

poderá ser movido

sobre a

circunferência.

Você pode vincular

pontos a

segmentos, retas,

semirretas e

curvas.

CUIDADO: Ao excluir a figura na qual o ponto está vinculado, o ponto é excluído juntamente

com o “objeto pai “.

Outra coisa interessante é que pontos vinculados geralmente ficam com uma cor um pouco

mais clara e que eles vêm sem rótulo, você pode colocar na Barra de Estilos.


c. Intersecção de Dois Objetos Cria o(s) ponto(s) de intersecção entre

dois objetos. Para usar, selecione a

ferramenta Intersecção de Dois

Objetos, então clique sobre o

primeiro objeto e, em seguida, sobre

o segundo objeto.

Você pode criar intersecção entre

curvas, retas, semirretas, segmentos

ou polígonos (nesse caso ele cria os

pontos que definem o polígono de

intersecção).

Veja abaixo o exemplo de intersecção

entre uma reta e uma circunferência.

Os pontos cinzas são o resultado da ferramenta Intersecção

de Dois Objetos. Para criá-los, basta você selecionar a

ferramenta Intersecção de Dois Objetos, clicar sobre a reta e,

logo em seguida, clicar sobre a circunferência. Vale lembrar

que a ordem dos objetos não vai modificar o resultado final.

Se tivéssemos começado com a circunferência e então com a

reta, os dois pontos haveriam aparecido e seriam os mesmos.

Pontos de intersecção sempre aparecem em cinza, mas

podem ser modificados na Barra de Estilos (vide 1.c)

d. Ponto médio ou centro A ferramenta Ponto Médio ou

Centro serve para encontrarmos o

ponto médio de segmentos, entre

dois pontos ou ainda o centro de

circunferências.

A forma de utilizar varia de acordo

com o ponto médio ou centro que

desejamos encontrar.

Para encontrar ponto médio entre

dois pontos, selecione a

ferramenta, clique no primeiro

ponto, clique no segundo.

Para encontrar o ponto médio de

um segmento: Selecione a ferramenta Ponto Médio ou Centro e clique no segmento.

Para encontrar o centro de uma circunferência, basta selecionar a ferramenta Ponto Médio ou

Centro e clicar na circunferência.

O ponto médio, assim como a intersecção, sempre irá aparecer inicialmente na cor cinza.


e. Reta A ferramenta Reta, cria uma reta que

passe por dois pontos definidos. Esses

pontos podem já existir anteriormente ou

ser criados na hora em que você for criar a

reta.

Para criar uma reta você deve selecionar a

ferramenta Reta, clicar onde você quer

que seja um ponto pelo qual sua reta

passe, se você criar em algo que não seja um ponto, um ponto será criado, após o primeiro

ponto estar definido, você já visualizará sua reta. Agora, basta definir o segundo ponto e sua

reta será criada.

Caso queira cancelar a reta, mas já tenha posto um ponto, basta selecionar a ferramenta

Mover que esse ponto vai ser removido, a menos que ele já existisse antes.

Você pode criar retas envolvendo pontos vinculados a objetos, como ponto médio ou

intersecção.

Você pode modificar

o estilo da reta na

barra de estilos.

Como mostra a

figura ao lado na Cor

(modifica a cor da

reta) e no Estilo e

largura (ajusta o

estilo da reta, como

se ela é sólida,

pontilhada, etc. e

ajusta a largura da reta).

f. Segmento O segmento é um pedaço de uma reta

que vai de um ponto ao outro. Então,

para criar a reta, você deve especificar

dois pontos, como na reta. A diferença é

que o segmento irá ter como ponto final

e inicial os pontos que você definir, já a

reta é infinita nos dois sentidos dela.

O ajuste do estilo do segmento é igual ao

da reta.


g. Segmento com comprimento fixo Para criar um segmento de comprimento fixo,

você deve escolher um ponto, que será o início

do segmento e então aparecerá uma janela para

que você escolha o tamanho desse segmento.

Após ele estar criado você poderá girar o

segmento em torno do ponto definido como

ponto inicial, ele manterá sempre a mesma

medida.

Você pode utilizar essa ferramenta para

resolução de exercícios que exijam uma medida específica.

O ponto que será móvel ficará de uma cor um pouco mais

clara, como mostra a figura ao lado. A diferença é bem

sutil, mas existe.

O ponto fixo pode ser movido, porém, a direção do

segmento será mantida. Veja o exemplo a seguir.

⇒

h. Semirreta Para fazermos uma semirreta,

devemos selecionar a ferramenta

Semirreta, clicar no ponto de onde ela

partirá e depois um outro ponto pelo

qual ela passará.

O processo de construção é bem

parecido com o da reta e do segmento,

porém você deve tomar cuidado com a

ordem na qual você escolhe os pontos

pois a ordem definirá o sentido da sua

semirreta.

Veja a seguir um exemplo de

construção de uma semirreta.


Com a ferramenta Semirreta

selecionada, clicamos sobre o

ponto A e então sobre o ponto

B. Assim, construímos a

semirreta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (semirreta com

início em A e na direção de B).

Se começássemos com o

ponto B até o ponto A,

faríamos a semirreta 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗.

O ajuste de estilo da semirreta

é igual ao da reta.

i. Reta Perpendicular Para fazer uma reta perpendicular você

deve escolher um segmento, reta,

semirreta ou curva ao qual a sua Reta

será perpendicular. Logo em seguida,

escolha um ponto pelo qual sua reta

passará, esse ponto pode ser um ponto

vinculado ou um ponto livre.

Exemplo: Reta perpendicular à um seguimento.

Para traçar a reta r, perpendicular ao

segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e que passa pelo ponto C.

Selecionamos a ferramenta Reta

Perpendicular, clicamos sobre o segmento

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , então clicamos sobre o ponto C.

Porém, poderíamos ter feito na ordem

inversa. Com a ferramenta Reta

Perpendicular selecionada, poderíamos

clicar sobre o Ponto C e então sobre o

segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . A reta r seria criada da

mesma forma.


j. Reta Paralela A forma como trabalhamos com a Reta Paralela é

bem semelhante à forma como trabalhamos com

a Reta Perpendicular. Com a ferramenta

selecionada, selecionamos o objeto ao qual nossa

reta será paralela e então um ponto pelo qual

nossa reta passará.

Por exemplo, vamos criar uma reta paralela a um segmento, passando pelo extremo de outro

segmento, como mostra a figura abaixo.

Essa figura foi criada da

seguinte maneira. Com os dois

segmentos já criados.

Selecionamos a ferramenta

Reta Paralela, então clicamos

sobre o segmento a e logo em

seguida sobre o Ponto C. Mas,

assim como na reta

perpendicular, a ordem dos

objetos não importa. Se

houvéssemos clicado sobre o

Ponto C primeiro e depois

sobre o segmento a, o

resultado seria exatamente o

mesmo.

k. Mediatriz A mediatriz pode ser construída a partir de dois

pontos, ou ainda de um segmento. Para

construir a partir de dois pontos, você deve

selecionar a ferramenta Mediatriz, então clicar

sobre os dois pontos. Para construir a partir de

um segmento você deve selecionar a

ferramenta Mediatriz e clicar sobre o segmento.

A mediatriz também pode ser obtida traçando

uma reta perpendicular ao segmento e que

passe pelo seu ponto médio.


Selecionando na ordem: A, B e C Selecionando na ordem: C, A e B

l. Bissetriz Para usar a ferramenta Bissetriz, você poderá

construir a partir de: 3 pontos, 2 retas, 1 reta e 1

segmento, 2 segmentos, 2 semirretas, etc.

Como segmentos, retas e semirretas têm

basicamente o mesmo comportamento, vou

abordar apenas pontos e retas.

Se você optar por definir o ângulo a ser “cortado ao

meio” pela bissetriz utilizando 3 pontos, você

deverá tomar o cuidado de sempre selecionar o

ponto de onde “sairá” a bissetriz em segundo.

Devemos selecionar na mesma ordem que falamos,

por exemplo, o ângulo ∠ABC pressupõe que 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 são os lados adjacentes ao ângulo.

Então você deverá selecionar os pontos na ordem A, B e C. Assim a bissetriz “sairá” do B. Veja

abaixo dois exemplos para facilitar seu entendimento sobre a importância da ordem na

seleção dos pontos.

m. Reta Tangente A ferramenta Reta Tangente serve para encontrar as retas tangentes que passam por um

ponto e que tangenciam uma

circunferência ou curva.

Para usar a ferramenta Reta Tangente,

basta você selecionar a ferramenta Reta

Tangente e clicar na circunferência e no

ponto (independente da ordem) e irá surgir

as duas retas que tangenciam a

circunferência e passam pelo ponto.

Você também pode usar a ferramenta para

fazer as duas retas que tangenciam duas

circunferências. Para tal, basta você

selecionar a ferramenta Reta Tangente e

clicar em duas circunferências.


Retas tangentes à duas circunferências

Retas tangentes à circunferência e um ponto

Observe esses exemplos

n. Polígono Para fazer um polígono, basta você selecionar a

ferramenta Polígono e clicar onde você deseja

que sejam os vértices do polígono. Você pode

selecionar pontos que já existam ou criar novos

pontos simplesmente clicando na posição onde

você deseja criar os pontos, com a ferramenta

Polígono selecionada.

Ao criar um polígono, serão criados os pontos que correspondem aos vértices, os segmentos

que correspondem aos lados do polígono e o próprio polígono, que corresponde a área interna

ao polígono.

Na barra de estilo teremos Cor e Transparência, que corresponde a cor interna e dos

segmentos e a transparência da área interna do polígono. Teremos também o estilo da linha

dos segmentos do polígono. Se você quiser mudar o estilo dos pontos do polígono, que são os

vértices, terá de fazê-lo em cada ponto. Para você mudar o estilo de preenchimento do

polígono, vá nas propriedades do polígono (botão direito no polígono e clique em

propriedades), então selecione a aba Estilo, nessa aba existirá a opção Preenchimento, onde

você pode ajustar o estilo de preenchimento, por exemplo, para fazer com que um polígono

fique com um preenchimento tracejado você deve selecionar a opção tracejado.


o. Polígono Regular O polígono regular, como bem sabemos da

Geometria, é o polígono cujos lados e

ângulos são todos congruentes. Para

construir um polígono regular, basta

selecionar a ferramenta Polígono Regular,

então clicar sobre dois pontos quaisquer que

serão a base do nosso polígono regular, logo

em seguida aparecerá uma janela para

inserirmos o número de lados que nosso

polígono terá.

Você deve tomar um cuidado para a ordem que seleciona os pontos, a ordem que você

seleciona os pontos vai servir para escolher para qual dos lados será o polígono. Observe os

exemplos a seguir.

As questões de estilos são análogas às do polígono comum.

p. Círculo dados Centro e Um

de seus Pontos Para construir um círculo ou

circunferência a partir do centro e

um dos seus pontos você irá usar a

ferramenta Círculo dados Centro e

Um de seus Pontos.

Essa ferramenta não requer muitos

cuidados. Apenas vale ressaltar que os pontos já podem existir ou ainda podem ser criados na

hora de criar a circunferência. Para construir você selecionará primeiro o centro e depois o

ponto pertencente ao círculo.

Selecionando primeiro o ponto A e depois o ponto B. Selecionando primeiro o ponto B e depois o ponto A


Os estilos são ajustados da mesma forma que nas outras figuras, uma vez que você apenas

modificará o preenchimento, cor, transparência e estilo da linha.

Muitas pessoas utilizam essa ferramenta para substituir um Compasso.

q. Círculo dados Centro e Raio Se você quiser, em uma

construção, fazer uma

circunferência definindo o

centro e raio basta usar essa

ferramenta. Ela é muito útil

quando você quer fazer que

um ponto tenha certa distância

de outro. A ferramenta

Segmento de Comprimento

Fixo utiliza essa ferramenta

para montar o segmento.

Para utilizar essa ferramenta você irá selecioná-la, então escolher um ponto qualquer (não

precisa já estar criado), então surgirá uma caixa perguntando a medida do raio. Após inserir a

medida do raio, a circunferência/o círculo será criado.

r. Compasso Essa ferramenta serve para

copiar uma distância, como um

verdadeiro compasso. Você

pode utilizar ela em conjunto

da ferramenta Segmento de

Comprimento Fixo para criar

uma construção dinâmica, pois,

ao modificar o tamanho do

segmento de comprimento

fixo, modificará o tamanho das

construções feitas a partir dessa

medida.

Para utilizar essa ferramenta, você deve, com a ferramenta selecionada, clicar em dois pontos

que definirão a medida da abertura do compasso, então clicar sobre um outro ponto que será

o centro da circunferência gerada. Esse terceiro ponto equivale ao ponto onde repousa a

ponta seca do compasso logo antes de se desenhar a circunferência.

A desvantagem dessa ferramenta é que ela não permite a criação de novos pontos, todos os 3

pontos envolvidos já devem existir previamente. Por essa razão algumas pessoas optam por

usar as duas últimas ferramentas abordadas ao invés da ferramenta Compasso.


s. Círculo definido por Três Pontos Esse tipo de construção é

muito usado quando se

quer construir a

circunferência circunscrita

à uma figura. Basta você

selecionar a ferramenta e

selecionar 3 vértices. Caso

a figura seja circunscritível

você irá ver que todos os

vértices da figura

pertençam à

circunferência.

Diferentemente do

compasso, os pontos

podem ser criados na hora da construção do círculo.

t. Ângulo Essa ferramenta serve para

mostrar o ângulo entre dois

segmentos/retas/etc ou ainda

para mostrar os ângulos de um

polígono.

Para mostrar um ângulo entre

três pontos, você deve clicar

primeiramente sobre um dos pontos que será o adjacente ao ângulo, então clique sobre o

ponto de onde “sairá” o ângulo e, logo em seguida, clique sobre o terceiro ponto, que também

é adjacente ao ângulo. Os pontos não precisam já estar criados, eles podem ser criados na

utilização da ferramenta Ângulo.

Você também pode exibir um ângulo entre dois segmentos, basta, com a ferramenta Ângulo

selecionada, clica sobre os dois segmentos.

Para mostrar os ângulos de um polígono, basta, com a ferramenta selecionada, clicar sobre o

polígono. Vale ressaltar que de acordo com a ordem de criação do polígono então ele mostrará

os ângulos internos ou externos.

Importante: Ao escolher os pontos você deve selecioná-los de forma que o ângulo surja no

sentido anti-horário. Veja a diferença abaixo:


Outra forma de forçar o ângulo a ficar interno é ajustar na barra de estilos para que o ângulo

fique entre 0° e 180°. Assim, mesmo se selecionássemos os pontos na ordem C, B e então A, na

construção das duas figuras acima. Ele ficaria como a figura a esquerda.

Caso você não esteja na disposição Geometria, você pode encontrar essa configuração nas

propriedades do ângulo na aba Básico.

Ainda nas propriedades do ângulo,

na aba Estilo, você irá encontrar

opções para ajustar o tamanho do

ângulo, estilo da linha e a

decoração. Confira ao lado.

Você pode ajustar o tamanho

quando desejar colocar a soma de

dois ângulos e os próprios ângulos.

Assim, a soma dos dois ângulos

geralmente é posta como maior

para que os ângulos fiquem

“dentro” do ângulo maior. Confira

nesse exemplo:

A decoração é utilizada quando

queremos denotar que dois ângulos

são congruentes, assim como

Os pontos foram selecionados na ordem: A, B e então C. Os pontos foram selecionados na ordem: C, B e então A.


fazemos com os segmentos.

Você pode usar os ângulos na criação de outros objetos, referenciando-os com o seu nome,

que geralmente é uma letra grega, mas você pode renomear.

u. Ângulo com Amplitude

Fixa A ferramenta Ângulo com

Amplitude Fixa é muito útil quando

precisamos fazer uma construção

onde nos é dado o ângulo, ou

ainda quando precisamos transpor

um ângulo.

Para construir um ângulo você

pode tomar como base dois pontos

ou um segmento.

Para construir um ângulo a partir de dois pontos, você deve, com a ferramenta selecionada,

selecionar primeiramente o ponto adjacente ao ângulo e então o ponto de onde “sairá” o

ângulo. Então será pedido o ângulo (se for em radianos apenas digite o valor, se for em graus

não esqueça de colocar o símbolo de grau (°) no final do ângulo, por exemplo 180°) e o sentido

(horário ou anti-horário). Você pode criar pontos com a própria ferramenta.

Para construir a partir de um segmento você deve, com a ferramenta selecionada, clicar sobre

o segmento então irá surgir um espaço para que você informe a angulação e o sentido, igual

foi com os dois pontos.

Vale observar que essa ferramenta irá criar um ponto que definirá o ângulo pedido.

v. Distância, comprimento ou perímetro Quando você estiver fazendo uma

construção e precise descobrir, ou

apenas mostrar, a distância entre dois

objetos, você irá usar a ferramenta

Distância, Comprimento ou Perímetro.

Para usar essa ferramenta basta

você, com a ferramenta selecionada,

clicar sobre os objetos e então

surgirá uma legenda de acordo com

os objetos selecionados.

Você pode ajustar as configurações

do texto, como cor, tamanho, fundo,

etc. na barra de estilos ou nas propriedades da legenda da distância.

Observe que a legenda da distância usará o seguinte padrão: Nome1+Nome2=Distância, por

exemplo, se selecionarmos dois pontos, A e B, cuja distância é 1, a legenda ficará com o texto


AB=1. Se você selecionar o ponto P e a reta r, cuja distância é 2, a legenda ficará com o texto

Pr=1.

Você pode mudar as configurações desse texto na janela Propriedades na aba Texto. Você irá

ver melhor como modificar esse texto na seção Texto desta apostila.

Vale ressaltar que quando você usar essa ferramenta em algum objeto, ela fará com que o

nome do objeto passe a aparecer em rótulo.

w. Área Quando você precisar mostrar a área de um

polígono, círculo ou elipse você irá usar a

ferramenta Área.

Para usar basta, com a ferramenta

selecionada, clicar sobre o objeto então

aparecerá uma legenda, semelhante à da

distância, contendo a área do objeto

juntamente com o nome do objeto.

As configurações de estilo são semelhantes

às da legenda da distância.

x. Texto A ferramenta Texto é muito utilizada para criar

legendas detalhadas para objetos, explicar uma

demonstração ou apenas exibir fórmulas. Existe a

possibilidade de se usar o LaTeX para melhor

exibição de fórmulas e expressões.

Para inserir o texto você deve, com a ferramenta

texto selecionada, clicar sobre a região onde você

deseja inserir o texto. Então surgirá a seguinte

janela para inserção de informações.

No campo Editar você digitará o texto que

deseja que seja inserido em sua construção.

Se você desejar usar LaTeX, basta marcar a

caixa de texto Fórmula LaTeX. Você poderá

inserir símbolos com a opção designada

Símbolos. E, para inserir informações acerca

dos objetos presentes na construção, você

deverá escolher o objeto na opção Objetos.

Você também pode digitar uma função ou

fórmula inserindo uma área vazia, como

mostra o exemplo abaixo.


Veja agora um exemplo de fórmula.

Repare que, foi feita a mesma coisa que a ferramenta Distância faria, apenas fizemos

manualmente.

Para ajuda com os comandos vide Campo de Entrada em Visão Geral (1.a)

Você deve definir se ela será fixo na tela ou se ele se moverá com os objetos utilizando a opção

Posição Absoluta na Tela.

y. Controle Deslizante Quando você precisar inserir uma

variável para tornar dinâmica sua

construção, por exemplo: variar o

número de lados de um polígono,

variar o tamanho de um segmento ou

variar o ângulo entre dois segmentos.

Quando surgir essa necessidade você irá usar o Controle Deslizante.

Para criar um controle deslizante você irá, com a ferramenta selecionada, clicar sobre a região

onde você deseja inserir o controle deslizante. Então surgirá a seguinte janela.


Na parte superior esquerda

da janela você irá definir se a

variável será um número

qualquer, um ângulo ou

ainda um número inteiro.

Na parte superior você irá

definir um nome, esse nome

será o mesmo que você

usará para referenciar sua

variável.

Abaixo do nome você tem

uma caixa de seleção que permite que você faça com que sua variável receba um valor

aleatório cada vez que a construção é atualizada (pode ser forçada uma atualização

pressionando a tecla F9).

Na parte inferior você possui 3 abas. A primeira aba trata do intervalo a qual sua variável será

limitada e do incremento que ela receberá. Se você não definir um incremento o valor padrão

será aplicado.

A segunda aba trata

acerca do controle

deslizante que

aparecerá na tela.

Você definirá se ele

será fixo, se será horizontal ou vertical e definirá a largura/altura em pixels.

A terceira aba diz

respeito a animação

que pode ser

imposta sobre o

controle deslizante,

assim como podia ser imposta sobre um ponto que estava sobre uma reta ou um objeto

cíclico. Você tem primeiramente a velocidade na qual o controle deslizante funcionará e o

estilo de repetição. Sobre esse segundo você tem quatro opções: ⇔ Oscilando, inicia no

mínimo, é incrementado até o máximo e então passa a ser decrementado até o mínimo e

então repete; ⇒ Crescente, inicia no mínimo e então é incrementado até o máximo e repete

do início novamente; ⇐ Decrescente, inicia no máximo e então é decrementado até o

mínimo e então repete iniciando no

máximo; ⇒ Crescente (Uma Vez), inicia

no mínimo então é incrementado até o

máximo e então para.

Para animar, basta você clicar com o

botão direito no controle deslizante e

então clicar em Animar. Para parar a

animação basta desmarcar o “Animar”.

Os controles costumam vir com a opção

Posição Absoluta na Tela marcadas.


Para referenciar um controle deslizante basta, ao invés de inserir um número, você inserir

o nome do controle deslizante.

Por exemplo, para fazer um

polígono regular com a lados

basta você seguir os passos de

construção de um polígono

regular e quando chegar na

parte na qual você digitaria o

número de lados você apenas digitará a, como mostra a figura ao lado. Assim, o resultado

seria o seguinte:

Repare que não podemos ter um polígono de 2 lados apenas. Assim, surgiu apenas um

segmento. Isso demonstra a necessidade de limitarmos a nossa variável de acordo com a

necessidade da nossa construção.

z. Caixa para exibir/esconder objetos Quando você precisa organizar sua

construção de forma que alguns objetos

apareçam apenas em determinados

momentos, você pode utilizar caixas de

seleção para esconder ou mostrar eles de

acordo com a necessidade.

Para isso, com os objetos já criados e a

ferramenta Caixa para Exibir/Esconder

Objetos selecionada, clique sobre uma

região onde você deseje inserir a caixa de seleção, então surgirá a seguinte janela para que

você configure sua caixa de seleção.


No campo Legenda você irá

inserir o texto que

acompanhará a caixa para

descrevê-la. Então, na caixa

de combinação selecione os

objetos que você deseja

exibir/ocultar. Você

também pode clicar nos

objetos direto na

construção. Se você precisar

remover algum objeto da

lista, bastante clicar sobre o

nome dele e clicar no botão

X.

Logo em seguida, clique em

Aplicar para salvar as

configurações.

Perceba que surgiu uma caixa de seleção que definirá se os objetos selecionados

anteriormente aparecerão ou não.

ɑ. Arcos e setores Deixei para falar das ferramentas Semicírculo Definido

por Dois Pontos, Arco Circular, Arco Circuncircular, Setor

Circular e Setor Circuncircular juntas no final, porque

elas possuem características muito semelhantes e não

são muito frequentemente utilizadas.

Semicírculo Definido por Dois Pontos gera uma

semicircunferência a partir de dois pontos. Observação

importante para a ordem dos pontos, selecione da

esquerda para a direita para a semicircunferência surgir

“para cima”.

Arco circular é usado para gerar arcos e lembra a

ferramenta ângulo. A diferença da construção do Arco e

do Ângulo é que na construção do Arco você irá

selecionar primeiro o ponto central, logo depois o ponto

inicial (sempre irá ser construído no sentido anti-horário) e o ponto final (não necessariamente

precisará estar sobre o arco, apenas na semirreta correspondente).

Arco Circuncircular cria um arco qualquer a partir de 3 pontos, o primeiro é um dos extremos,

o segundo é um ponto qualquer do arco e o terceiro é o outro extremo.

Setor Circular equivale ao Arco Circular, porém ele possui o mesmo comportamento de um

polígono, no sentido de possuir área.

Setor Circuncircular equivale ao Arco Circuncircular, porém ele possui o mesmo

comportamento de um polígono, no sentido de possuir área, e será possível visualizar com

clareza o centro.


Você pode encontrar o centro de todas essas ferramentas a partir da ferramenta Ponto Médio

e Centro.

3. Exemplos de construções

a. Triângulos

Triângulo Equilátero.

A primeira forma que iremos abordar de como fazer um triângulo equilátero será com a

ferramenta Polígono Regular.

Para isso, selecione a ferramenta na barra de ferramenta.

Clique sobre dois lugares quaisquer na janela de visualização para construir dois pontos, que

definirão um dos segmentos do nosso triângulo equilátero.

Os pontos não precisam existir já, você pode criá-los

anteriormente ou eles serão criados na hora da construção.

Então surgirá uma caixa de diálogo perguntando quantos lados

o polígono terá. Nessa caixa você passará que o polígono terá 3

lados,

pois se

trata de um triângulo. Logo após definir

isso, você clicará em Ok. E assim você

terá criado um Triângulo Equilátero.


Outra forma de criar um triângulo equilátero é através da ferramenta compasso, como se você

estivesse criando a mão.

Primeiramente devemos definir a medida de cada lado, então iremos criar um segmento de

comprimento fixo para ser nosso primeiro lado. Para isso, selecione a ferramenta Segmento de

Comprimento Fixo.

Agora clique sobre qualquer ponto da Janela de Visualização para inserir um ponto. Você

poderia usar um ponto previamente criado.

Eu vou fazer com que minha figura seja dinâmica escolhendo uma variável como medida do

segmento. Para isso, vamos simplesmente colocar um n no lugar da medida do segmento. E

clicar em Ok.

Observe que surgiu uma Janela

de Confirmação perguntando se

eu desejo criar Controle

Deslizante para a variável n. Isso

ocorreu porque eu não havia

criado ainda.

Clique em Criar Controles

Deslizantes e experimente

variar o controle que surgiu em

sua tela. Você também é capaz

de mover os pontos que

surgiram para reposicionar e

girar o segmento que surgiu.


Agora vamos selecionar a ferramenta Compasso.

Após a ferramenta Compasso estar selecionada, vamos definir a nossa “abertura” como sendo

o tamanho do segmento, clicando sobre os dois pontos que definem o segmento.

Após clicar, perceba que você está prestes a inserir uma circunferência. Clique sobre um dos

pontos que definem o segmento para fixar a circunferência com centro nele. Após isso, nossa

construção tem a seguinte “cara”.


Agora, vamos repetir o processo só que vamos colocar a circunferência com centro no outro

ponto até chega num resultado como o seguinte.

Vamos utilizar a ferramenta intersecção com as duas circunferências. Selecione a ferramenta

intersecção na barra de ferramentas.


Agora clique sobre as duas circunferências e então você verá os pontos de intersecção.

Você já pode visualizar dois triângulos equiláteros, o “de cima” e o “de baixo”. Vamos escolher

um. Para nossa construção de exemplo, vamos escolher o “de cima” então vamos clicar sobre

as circunferências, o segmento e o outro ponto de intersecção e desmarcar o Exibir Objeto,

pois não serão mais úteis.


Então sua construção ficará da seguinte forma.

Agora vamos selecionar a ferramenta Polígono para criar o nosso triângulo.

Basta clicar nos pontos e teremos o nosso triângulo.

Temos 3 tipos de pontos. O azul escuro serve para mudar a

posição do nosso triângulo, o azul claro a rotação e o cinza

não pode ser movido sozinho.


Para ajustar o tamanho você usará o controle deslizando criado anteriormente.

Você também pode criar a partir de dois pontos quaisquer. Para isso vamos criar os pontos

selecionando a ferramenta Ponto e clicando sobre a área de construçao em duas regiões

diferentes.

Agora vamos fazer o mesmo processo feito anteriormente com a ferramenta Compasso e

utilizar a distância entre os dois pontos para criar circunferências.

Com sua construção assim, você irá fazer o

mesmo procedimento feito anteriormente.

Irá encontrar as intersecções e então

escolherá uma delas para definir seu

triângulo e então ocultará todo o resto além

dos 3 pontos e então, com a ferramenta

Polígono irá criar o seu triângulo, que tera

uma aparência como a do seguinte

triângulo.

Esse triângulo

vai ter o mesmo comportamento do triângulo criado através da

ferramenta Polígono Regular, vai depender apenas da base que

definirá o seu tamanho, posição e rotação.


Triângulo Isósceles

Um triângulo isósceles possui dois lados em comum, então você já deve imaginar que possa

usar as ferramentas compasso e segmento de comprimento fixo. Mas você também pode usar

reta perpendicular.

Para construir usando Compasso você deve primeiro criar dois

pontos que definirão a distância do lado do triângulo.

Após construir os pontos,

você irá definir a abertura

do compasso como sendo a

distância entre os pontos.

Então colocará uma

circunferência sobre um dos

pontos, até chegar em uma

construção semelhante a construção ao lado (direito).

Então, com a

ferramenta

Ponto, insira um

ponto sobre a linha da circunferência, para que o

mesmo fique fixado sobre ela. Você chegará a um

resultado semelhante a figura do lado (esquerdo).

Agora oculte a circunferência e construa um polígono

com os três pontos. Você irá ficar com uma

construção

como a do lado

(direito).

Acredito que

tenha ficado bem claro quais são os lados congruentes

e qual é a base.

Essa construção não é muito boa porque não temos um

padrão muito claro em relação ao movimento.

Para construir um triângulo isósceles a partir de dois segmentos de comprimento fixo,

devemos primeiramente coloca um ponto na nossa construção. Então iremos selecionar a

ferramenta Segmento de Comprimento Fixo, clicar sobre esse ponto e então digitar um valor

ou uma variável. No caso, irei digitar a variável m.

Então repetirei o processo. Assim, ficarei com algo

como a figura ao lado. Agora, basta eu ocultar os

segmentos recém criados e criar o meu polígono.

Você poderá variar o controle deslizante para ajustar

o tamanho dos segmentos.


Você poderá mover o triângulo pelo ponto

azul escuro e poderá ajustar a angulação pelos

pontos azuis claros. Veja como fica a

construção final.

Para construir um triângulo isósceles a partir de uma mediatriz você deverá criar dois pontos

que serão vértices da base do triângulo isósceles. Então selecione a ferramenta Mediatriz

Então clique sobre os dois pontos para gerar a mediatriz deles.

Após estar com a mediatriz construída, você deve colocar um

ponto sobre essa reta mediatriz de modo que ele fique vinculado

a ela. Então você pode ocultar a reta e

construir o polígono com os três

pontos.

A construção já será um triângulo

isósceles e terá a seguinte aparência.

Você pode ajustar os pontos da base de acordo com sua vontade e o

ponto azul claro servirá para ajustar a altura do triângulo.

Triângulo Escaleno Para construir um triângulo escaleno você precisa se certificar de que os lados do triângulo

realmente sejam diferentes. Para isso vamos iniciar construindo uma reta suporte.


Com a ferramenta reta selecionada, clique sobre dois lugares para gerar os pontos que

definirão a nossa reta.

Com a reta criada, iremos ocultar os pontos que definiram ela para evitar confusão. Faremos

isso clicando com o botão direito do mouse sobre eles e desmarcando a opção Exibir Objeto.

Agora iremos criar um ponto qualquer sobre a reta,

então iremos construir uma circunferência com um

certo raio (no exemplo usaremos 3), então iremos fazer

uma outra circunferência tendo como centro o mesmo

ponto da primeira mas com raio diferente (no exemplo

usaremos quatro) que será respectivo ao outro

segmento do triângulo. Agora, com o ponto de

intersecção de uma das circunferências com a reta

como sendo o centro, criaremos uma terceira

circunferência de raio diferente das duas primeiras (no

exemplo será 5). Então marcaremos a intersecção

dessa terceira circunferência com a outra

circunferência (não pode ser a que usamos para fazer a

intersecção com a reta).

Vamos iniciar então? Comece marcando um ponto qualquer na reta utilizando a ferramenta

Ponto e clicando sobre a reta.


Agora, selecione a ferramenta Circunferência dados Centro e Raio, então clique sobre o ponto

e escolha um raio. Depois repita o processo escolhendo outra medida para o raio. Aqui

definiremos como 3 e 4.

Agora, iremos marcar uma das intersecções de uma das circunferências (no exemplo

escolheremos a menor, de medida 3).


Agora iremos gerar uma terceira circunferência com centro nesse ponto de intersecção que

surgiu e com raio diferente do raio das demais circunferências (no exemplo faremos com 5).

Agora iremos marcar a intersecção dessa circunferência recém criada e da circunferência que

não usamos para fazer a intersecção com a reta, no nosso caso a circunferência com raio 4.


Agora, com esses três pontos, iremos construir, usando a ferramenta Polígono, o nosso

triângulo escaleno.


b. Quadriláteros Iremos introduzir algumas formas de construir certos quadriláteros. Porém, diferentemente de

como foi no capítulo 3.a (Triângulos), não iremos detalhar tanto os passos pois acreditamos

que o detalhamento dos passos de construção dos triângulos lhe deu possibilidade de

entender alguns conceitos.

Retângulo Um retângulo consiste em um quadrilátero no qual cada lado é perpendicular (forma um

ângulo de 90°) aos adjacentes. Partindo dessa propriedades iremos utilizar a ferramenta retas

perpendiculares. Iniciaremos construindo uma reta paralela ao Eixo X. Para isso, iremos exibir

o eixo e utilizar a ferramenta Reta Paralela para gerar uma reta a partir do Eixo X e um ponto

qualquer no plano cartesiano. (Para exibir os eixos você deve, com NENHUM objeto

selecionado, clicar no botão Exibir ou esconder os Eixos)

Após isso estar feito, podemos ocultar novamente os eixos. Perceba que você pode

movimentar o ponto criado e a reta irá “caminhar” junto onde ele. Renomeie esse ponto para

A. (Para renomear, clique com o botão direito sobre o ponto, clique em Renomear e digite o

novo nome, então clique em Ok). Observe que, ao renomear o nome, o rótulo do ponto

passou a exibir o nome.

Agora, crie um outro ponto livre e renomeie ele para C.

Agora crie uma reta paralela à reta que construímos, mas que passe pelo ponto C.


Agora, utilizando a ferramenta Reta Perpendicular, crie retas perpendiculares às retas que

temos passando pelos pontos A e C.

Marque os pontos de intersecções das retas e mude os seus nomes para B e D.

Agora oculte as retas e construa, utilizando a ferramenta Polígono, o quadrilátero ABCD.

Experimente movimentar os pontos A e

C e perceba que os pontos D e B se

ajustam dinamicamente de acordo com

a posição de A e C para que ABCD

continue sendo um retângulo.

Paralelogramo Um paralelogramos é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Iremos construir

um que você possa ajustá-lo a partir de 3 pontos.

Primeiramente, crie os 3 pontos e renomeie eles

para A, B e C.

Logo após, trace a retas que passa por A e B.

(Você pode fazer isso selecionando a ferramenta

Reta e clicando sobre A e B, como dito quando foi

feita a descrição dessa ferramenta).


Repita o processo para B e C.

Agora você irá construir uma reta

paralela à reta que passa por 𝐴𝐵 ,

passando pelo ponto C. (selecione a

ferramenta Reta Paralela, clique sobre a

reta que passa por A e B e então clique

sobre o ponto C).

Repita o processo para a reta que passa

por 𝐵𝐶, utilizando o ponto A.

Marque o ponto de intersecção entre as

retas e renomeie esse ponto para D.

Então você deverá ocultar as retas e,

usando a ferramenta Polígono construir o

quadrilátero ABCD, que será um

paralelogramo pois foi construído a partir

de retas paralelas.

Perceba que você pode movimentar os pontos A, B

e C para deformar o paralelogramo e o ponto D se

ajusta automaticamente para que ABCD continue

sendo um paralelogramo.

Perceba a importância de saber a definição das

figuras geométricas, se não soubéssemos que o

paralelogramo é a figura que possui os lados

opostos paralelos não teríamos condições de

construir um paralelogramo dinâmico como este.

Trapézio Um trapézio é um quadrilátero que possui pelo menos um par de lados opostos paralelos.

Utilizando essa definição,

iniciaremos construindo três pontos,

como fizemos no Paralelogramo. A

diferença é que construiremos

apenas a reta que passa por 𝐵𝐶.

Com essa reta construída.

Construiremos uma paralela a ela

que passe por A e então

colocaremos um ponto sobre essa


nova reta que surgiu (paralela à 𝐵𝐶 e que contém o ponto A). Chame este ponto de D.

Agora oculte as retas e construa o

polígono ABCD que será um trapézio

pois 𝐴𝐷 será sempre paralelo à 𝐵𝐶.

Observe que o trapézio pode vir a ser

um paralelogramo, caso 𝐴𝐵 seja

paralelo à 𝐶𝐷 , mas não

necessariamente será um

paralelogramo.

Você poderá mover os pontos A, B, C e

D. D será limitado a ser movido apenas

sobre a reta paralela à 𝐵𝐶que passa pelo ponto A, para

que ABCD continue sendo um trapézio.

Observe a construção terminada.

Losango O losango possui os quatro lados congruentes. Para construí-lo, utilizaremos a ferramenta

Círculo dados Centro e um Ponto.

Lembrando: A circunferência possui a propriedade de ter todos os seus pontos equidistantes ao

centro. Essa distância é o raio da circunferência.

Inicialmente, construa uma circunferência dando um ponto

qualquer para ser o centro da figura e um outro ponto

qualquer para ser o ponto pertencente à circunferência.

Mude o nome do ponto do centro para A e o do outro

ponto para B.

Após estar construída a circunferência. Construa uma outra

circunferência utilizando B como centro da circunferência e

o ponto A como o ponto pertencente à circunferência,

então marque as

intersecções entre as circunferências e mude o nome do

ponto de intersecção para

D.

Agora, construa uma

terceira circunferência

que contenha o ponto B e

cujo centro seja o ponto


D.

Marque a intersecção da nova circunferência e da circunferência cujo centro é B e mude o

nome deste ponto para C.

Feito isto, oculte as circunferências e construa o polígono

ABCD, este polígono será um quadrilátero losango.

Há diversas formas de criar um losango, porém essa é

uma na qual podemos explorar a feramenta Círculo dado

Centro e um Ponto.

Quadrado O quadrado é um retângulo losango, isso é, possui todos os lados congruentes e todos os lados

são perpendiculares com os seus adjacentes. Para construí-lo, poderíamos utilizar a

ferramenta Polígono Regular, criar dois pontos quaisquer e então gerar um Polígono Regular

de 4 lados sobre esses dois pontos. Porém, iremos explorar as ferramentas Reta Perpendicular,

Circunferência dados Centro e um Ponto e Compasso.

Primeiramente, crie dois pontos e nomeie eles como A e B. Então construa a reta que passa

por eles.

Crie duas retas perpendiculares à reta que passa por 𝐴𝐵. A primeira reta irá passar pelo ponto

A e a segunda pelo ponto B.

Agora, utilizando a ferramenta Compasso crie uma circunferência com a mesma medida de A

até B, com centro em B. (Selecione a ferramenta Compasso, clique sobre os pontos A e B, para

definir a “abertura” do compasso, então clique sobre o ponto B, para definir o centro).

Repita o processo com o ponto A.


Agora, marque os pontos de intersecção das circunferências com as retas perpendiculares à

reta 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗. Nomeie estes pontos como D e C.

Agora oculte as retas e circunferências.

Perceba que ABCD irá definir um quadrado

pois, pela ferramenta Reta Perpendicular

𝐴𝐵 ≡ 𝐴𝐷e 𝐴𝐵 ≡ 𝐵𝐶, perceba ainda que, por

estarem sobre retas paralelas, temos que

𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷, assim 𝐴𝐵 ≡ 𝐵𝐶 ≡ 𝐶𝐷 ≡ 𝐴𝐷.

Construa, usando a ferramenta Polígono, o

quadrilátero ABCD. Você poderá movimentar

os pontos A e B para deformar o quadrado.

Repare

que o

resultado

final ficou igual ao resultado se tivéssemos usado a

ferramenta Polígono Regular.


c. Polígonos Iremos abordar pouco dos polígonos. Iremos dar iniciação à algumas demonstrações básicas e

entrar no conceito de ângulo.

Ângulos internos de um polígono regular Vamos criar uma “mostração” para o valor de cada ângulo de um polígono regular. Na

“mostração” teremos dois controles deslizantes. Um irá modificar o número de lados de um

polígono e o outro irá ajustar o tamanho do segmento. Para isso, adicione um controle

deslizante que varie entre 3 e 10, possua apenas números inteiros e cujo nome seja Lados.

Agora iremos criar outro cujo nome será Tamanho, irá ser do tipo Número, pois o tamanho

pode ser um número qualquer, e variará entre 0 e 5, com incremento de 0.1.

Agora construa um Segmento de Comprimento Fixo cuja medida seja a variável Tamanho.

Mude os nomes dos pontos para A e B.

Após construir o

segmento, construa um

Polígono Regular sobre o

segmento 𝐴𝐵 , recém

criado cujo número de

vértices será a variável

Lados.

Isso tornará nosso

polígono dinâmico para

que possamos generalizar

um pouco.

Agora, selecione a

ferramenta Ângulo e clique

sobre o polígono (na parte interna do polígono). Isso fará com que o Geogebra mostre todos

os ângulos internos do Polígono, como visto anteriormente na apresentação da ferramenta

Ângulo.


Agora você poderá variar

o número de lados e

observar a medida de

cada ângulo.

Se você desejar adicionar

um texto que diga qual a

medida de cada ângulo,

utilize a ferramenta

Texto para adicionar.

Após selecionar a

ferramenta texto e

clicar sobre a região

onde deseja mostrar o

texto contendo a informação do ângulo, aparecerá uma janela para que você digite o texto.

Sobre o campo editar insira um texto para identificar e então clique sobre o item Objetos e

escolha alpha (ɑ).

Circunferência circunscrita a um polígono regular Como sabemos, qualquer polígono regular é inscritível. Vamos mostrar isso fazendo uma

construção que nos dê essa circunferência

circunscrita.

Para isso, vamos criar o controle deslizante cujo nome é Lados,

que varia de 3 a 50 e que aceite apenas números Inteiros.

Após criar esse controle deslizante, construa um Polígono Regular

cujo número de vértices seja igual à variável Lados.

Iremos utilizar o fato matemático de que a circunferência


circunscrita de um polígono regular é a circunferência que possui como centro o ortocentro,

ponto de encontro das mediatrizes, e que contém todos os vértices.

Com o controle deslizante ajustado em seu mínimo (3), no

polígono regular, que agora é um triângulo, utilizando a

ferramenta Mediatriz, construa a mediatriz de dois lados do

triângulo. (Selecione a ferramenta Mediatriz e clique sobre dois

lados do triângulo)

Agora marque a intersecção das mediatrizes e, utilizando a

ferramenta Círculo dados Centro e um Ponto,

construa o círculo que possui como centro o ponto

de intersecção marcado e um dos vértices do

triângulo. Você pode ocultar as mediatrizes e o

ponto de intersecção, eles não serão mais

manipulados.

Após isto nossa

construção

está pronta,

você pode

variar o

controle

deslizante para mudar o número de lados e observar que a

circunferência circunscrita continua existindo para

qualquer número de lados.

Repare que essa circunferência circunscrita nem sempre

poderá existir, quando as mediatrizes de todos os lados

não se encontrarem no mesmo ponto.

d. Figuras geométricas dinâmicas Já trabalhamos com alguns conceitos de dinamismo, como o controle deslizante para variar o

número de lados e tamanho de segmentos. Porém, iremos nos aprofundar um pouco mais no

dinamismo que o Geogebra nos proporciona, como a animação e rastro.

Animação e rastro são ferramentas muito importantes para ilustrar alguns casos onde há

alguma variação. O rastro é utilizado para um ponto ou segmento deixar um certo rastro por

onde ele passar, é como se o objeto deixasse uma pegada. Animação serve para movimentar

certo objeto quando ele é fixado por algo, seja uma reta, uma circunferência ou apenas uma

distância, no caso do Segmento de Comprimento Fixo.

Vamos começar com alguns casos onde utilizamos esses conceitos.


Circunferência como lugar geométrico O título pode assustar mas calma, não iremos entrar na Geometria Analítica. Apenas iremos

mostrar que podemos traçar uma circunferência a partir desta definição, que todos os pontos

de circunferência são equidistantes do centro da circunferência.

Para provar isso, crie um ponto qualquer e

nomeie ele como A. Então crie um controle

deslizante e defina o seu intervalo entre 0 e 10.

Além disso, ponha seu nome como Tamanho. Ele

pode ser qualquer número.

Após isto, crie um segmento de comprimento fixo

a partir do ponto A, com medida da variável

Tamanho. Mude o nome do ponto gerado pela

ferramenta Segmento de Comprimento Fixo para

P.

Agora, com o segmento AP criado. Ative o rastro

do ponto P. (clique com o botão direito sobre ele

e marque a opção Habilitar Rastro).

Agora, com o rastro ativo clique novamente com o botão direito no ponto P e clique em

Animar.

Após fazer isso perceba que irá surgir uma circunferência.

Essa circunferência, equivale a circunferência obtida

quando utilizamos a ferramenta Círculo dados Centro e

Raio e definimos o centro como o ponto A e o raio como a

variável Tamanho.


Uma coisa que você deve perceber: quando você movimenta a Janela de Visualização, cria ou

exclui um objeto ou qualquer outra coisa que atualize a construção, o rastro desaparece.

Por outro lado, quando você modifica o tamanho, a

circunferência “antiga” continua e fica um desenho

estranho, como o desenho ao lado.

Para consertar isso, vamos fazer com que, cada vez que

atualizarmos o Controle Deslizante ele atualizará a

construção também.

Para isso, acesse as propriedades do controle deslizante e

vá até a aba Programação. Dentro da aba Programação,

você encontrará a aba Ao Atualizar, selecione-a. Na região

de escrita dessa aba, escreva o comando Ampliar[1]

O comando Ampliar[1] vai simplesmente atualizar a construção de modo que o rastro será

apagado. Após escrever esse comando, clique em OK e feche a janela de Propriedades e

experimente modificar o Tamanho.

Assim, toda a vez que você atualizar o valor da variável Tamanho, movendo o controle

deslizante, o rastro será apagado.

Perceba também que o ponto P se move em uma velocidade muito lenta. Vamos ajustar isso?

Para isso, você precisa ir nas propriedades do ponto P. Se você tiver dificuldades em clicar no

ponto P com ele em movimento clique no botão pausar, na parte inferior a direita da Janela de

Visualização.

Nas propriedades do ponto P,

acesse a aba Álgebra.


Teremos Incremento, Velocidade e Repetir.

Incremento diz respeito ao intervalo mínimo que variará. Velocidade diz respeito ao

multiplicador de velocidade, se você colocar um ponto e ele dá uma volta a cada 2 segundos,

se você alterar a velocidade para 2 ele passará a dar uma volta a cada 1 segundo. E repetir diz

respeito ao comportamento de animação, as opções são as mesmas do Controle Deslizante.

Vamos ajustar a velocidade para 3. Então clicar em

Ok para salvar e fechar a janela Propriedades.

Despause a animação (no mesmo botão que você

pausou) e confira o resultado.

Repare que se você aumentar muito o tamanho vai

ficar uns espaços entre os rastros, ou pegadas, do

ponto P. Isso acontece porque o software tem uma

limitação para evitar travamentos. Se você diminuir

a velocidade, essa limitação é contornada.

Se quiser, construa a circunferência com centro em

A e raio igual a variável Tamanho. Você verificará

que essa circunferência coincidirá com a figura

formada pelo rastro.

Triângulo retângulo utilizando uma circunferência Para formar um triângulo retângulo, podemos utilizar o diâmetro de uma circunferência como

hipotenusa e um ponto qualquer da circunferência como vértice oposto à hipotenusa. Iremos

utilizar a animação para mostrar que isso vale realmente para qualquer ponto da

circunferência.

Para isso, crie uma circunferência qualquer e vamos construir o diâmetro dela. Para construir o

diâmetro, podemos traçar uma reta que passe pelo

centro e através de um ponto qualquer da

circunferência. Para isso, iremos construir a

circunferência, iremos marcar o centro e um ponto

da circunferência e então traçaremos uma reta que

passe pelo centro e pelo ponto da circunferência

que marcamos. Vamos chamar o centro de O e o

ponto que marcamos de A. Marque a intersecção

da reta com a circunferência e nomeie este ponto

como B. Após isso, você pode esconder a reta.

Agora,

crie um ponto sobre a circunferência e nomeie ele

como P. Depois de o ponto P estar criado, utilize a

ferramenta Polígono para formar o triângulo ΔABP. E

utilize a ferramenta Ângulo para mostrar o ângulo

∠APB. (Selecione a ferramenta ângulo, clique sobre

os pontos na seguinte ordem A, P e B)


Para evitar que aconteça de o GeoGebra mostrar o ângulo 270° ao invés de 90°, selecione o

ângulo e, na barra de estilos, ajuste a opção “Ângulo Entre” para “de 0° a 180°”.

Agora, experimente animar o ponto P e observe que independente de sua posição na

circunferência o ângulo ∠APB continua sendo 90°, o que torna o triângulo ΔABP um triângulo

retângulo.

4. Desafios com resolução

Aqui, segue uma série de desafios com a resolução detalhada.

a. Exercícios gerais Aqui você encontrará alguns exercícios onde você deve calcular a área.

Exercício 1 Calcule a área em verde.

Para resolver esse exercício com o auxílio do GeoGebra, você

precisará reconstruir essa figura.

Obs.: O Enunciado diz que a curva na parte superior da figura

é um semicírculo.

Primeiramente, insira um ponto e nomeie ele como A. Logo

em seguida, utilize a ferramenta Segmento de Comprimento

Fixo para gerar um segmento a partir do ponto A medindo 5.

Nomeie o ponto gerado pela ferramenta com a letra B.

Com o segmento 𝐴𝐵 construído, utilize a ferramenta Ângulo

de Amplitude Fixa para gerar o ângulo de 60°, para isso, selecione a ferramenta Ângulo de

Amplitude Fixa, clique sobre o ponto A e então sobre o ponto

B (é como se você girasse o ponto A em torno do ponto B em

60°). Observe que surgiu um terceiro ponto, vamos chama-lo

de P. Trace a semirreta AP.

Utilize a ferramenta Círculo dados Centro e Raio para fazer

uma circunferência medindo 4 com centro em B. Marque o

ponto de intersecção da circunferência gerada e a semirreta

e nomeie este ponto como C.

Após nomear o ponto C, você

pode ocultar a circunferência, a semirreta e o ponto P, eles

não serão mais manipulados.


Se quiséssemos apenas fazer a curva AC, a ferramenta Semicírculo Definido por Dois Pontos

nos seria útil. Porém, queremos saber da área dessa figura, então vamos precisar usar a

ferramenta Setor Circular. Mas, como visto anteriormente, a ferramenta Setor Circular requer

o centro da circunferência e então os vértices. Então vamos primeiramente colocar a curva do

semicírculo, encontrar o centro e então construir o setor circular.

Selecione a ferramenta Semicírculo Definido por Dois Pontos e clique sobre os pontos A e C

(nessa ordem). Agora, utilizando a ferramenta Ponto Médio ou Centro, clique sobre o arco AC.

Observe que irá aparecer um ponto, esse é o nosso centro.

Vamos nomeá-lo como O.

Agora, com o ponto marcado, vamos construir um setor

utilizando O como centro e A e C como vértices. Para tal,

com a ferramenta Setor Circular selecionada, clique sobre o

ponto O, então sobre o ponto C e depois A (lembre-se

qualquer coisa circular no Geogebra segue no sentido anti-

horário).

Agora, para calcular a área da figura precisaremos

também construir um polígono ABC. Para então

somarmos as áreas. Isso é bem símples, selecione a

ferramenta Polígono e clique sobre os pontos A, B e C.

Pronto, agora basta descobrir a área. Para isso, basta

selecionar a ferramenta Área e clicar sobre os dois

polígonos.

Observe que você possui duas áreas, mas você quer

descobrir a área da figura toda. Se você simplesmente

somar os valores que são retornados para você,

provavelmente haverá algum erro de arredondamento.

Então vamos criar um texto que mostre a área dos dois.

Para isso vamos pegar o nome de cada polígono, dê um

duplo clique na legenda da área do triângulo, por

exemplo.

Repare que comparando o código de cima:

Área de [A][B][C] = [pol1]

Com a visualização

Área de ABC = 8.66

Fica bem claro que [pol1] refere-se à área do

triângulo.

Na verdade, refere-se ao polígono, mas polígonos

sempre retornam a sua área.

Repetindo o mesmo processo com a legenda da

área do setor, descobri que o nome do setor é j

aqui.


Então vamos inserir um texto que possa nos trazer a informação da soma das áreas. Para tal,

selecione a ferramenta Texto e clique sobre uma região onde você deseje inserir o seu texto.

Após clicar surgirá uma janela bem

semelhante à do letreiro da área. Agora

você irá escrever no campo Editar “Área

da figura = “(sem aspas). E então clicará

em Objetos e em Área Vazia, para

adicionar um quadrado para que você

adicione alguma informação que deseje.

Dentro dessa área vazia que surgiu, digite

j+pol1 (ou o nome das figuras que você

descobriu no passo anterior) e então

clique em Ok. Como você pode verificar, a

resposta aqui deu 16,91.

Exercício 2 Esse exercício consiste apenas em encontrar o

valor do x.

Para construir no Geogebra essa figura vamos

iniciar construindo um Segmento de

Comprimento Fixo e definindo seu

comprimento como sendo 7, para fazer um dos

lados do quadrado e então utilizar a ferramenta

Polígono Regular. Vamos nomear os segmentos

para facilitar o entendimento.

O

segmento 𝐴𝐵 mede 7. Agora, vamos utilizar a

ferramenta Polígono Regular para construir o

quadrado ABCD. Selecionamos a ferramenta e

clicamos sobre A e B e então escolhemos 4, pois

queremos um quadrado.

Agora, vamos traçar a semirreta 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. Com a semirreta traçada,

vamos fazer uma circunferência de raio 10, para descobrirmos o

ponto de intersecção da circunferência e da semirreta. Assim,

poderemos saber onde fica o outro ponto do triângulo

retângulo. Após encontrar você pode ocultar a semirreta e a

circunferência.

Agora, basta você, utilizando a ferramenta Polígono Regular

para gerar o quadrado a partir dos pontos E e C. Então traçar a

diagonal.


Pronto. Agora você irá marcar o ponto de intersecção do

segmento 𝐴𝐺 com o segmento 𝐷𝐺 . Nomeie este ponto

como H. O x equivale a distância de D e H, que você pode

obter com a ferramenta Distância, Comprimento ou

Perímetro.

Selecione a ferramenta Distância, Comprimento ou

Perímetro, clique sobre D e sobre H. Uma legenda com seu

resultado aparecerá.

Resposta: x = 2.92.

Exercício 3 Calcule a área da parte rosa em função de

x sabendo que os setores AO e OB são

semicírculos.

Primeiramente vamos criar o nosso

círculo de raio 2. Para isso, com a

ferramenta Círculo dados Centro e Raio,

escolheremos um ponto O e definiremos

o raio como 2.

Após isso, vamos nomear o nosso círculo.

Você pode nomeá-lo clicando com o

botão direito sobre ele e clicando em

Renomear e então escolhendo um novo

nome, nós usaremos CTotal (isso irá servir

para depois calcularmos a área).

Agora vamos selecionar um ponto qualquer da circunferência desse círculo e nomeá-lo como

A. Para fazer isso, você precisará selecionar a ferramenta Ponto e clicando sobre a

circunferência (contorno do círculo), então mude o

nome desse ponto para A.

Agora, usando a ferramenta Ângulo com Amplitude

Fixa, vamos “girar” o ponto A 90° no sentido horário.

Para isso, selecione a ferramenta, clique sobre o ponto

A e então sobre o ponto O. Surgirá uma caixa de

diálogo perguntando qual o ângulo que você deseja

criar e o sentido. Escolha sentido horário e defina o

ângulo como 90°. Surgira um terceiro ponto, mude o

nome desse ponto para B e construa os

segmentos 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵.


Agora, vamos fazer a região do setor AOB (de 90°) se tornar branca. Para isso, vamos usar a

ferramenta Setor Circular e clicar sobre os pontos O, B e A (nessa ordem, porque primeiro

selecionamos o centro, O, depois o ponto inicial no sentido anti-horário, B, e então o ponto

final, A). Então selecionamos o setor que surgiu, mudamos sua cor para branca (na Barra de

Estilos), nomeamos esse setor como COAB. Para fins de estética, mudamos a opacidade para

100% também, para isso, no mesmo setor onde temos as cores, na Barra de Estilos, temos um

controle deslizante, arraste totalmente para a direita.

Agora, vamos criar os semicírculos OA e OB. Para isso, precisaremos dos pontos médios

de 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 Nomeie eles como M e N,

respectivamente. Agora, para construir o setor AO

(“buraco” branco na parte rosa), selecione a

ferramenta Setor Circular, clique sobre o ponto M,

então sobre os pontos A e O (nessa ordem). Após

isso, mude sua cor para branco, sua opacidade para

100% e seu nome para CAO. Faça o mesmo com os

pontos N, B e O, porém mude o nome desse setor

para CBO e sua cor para rosa. Observe que o setor AO

ficou interno à parte rosa e o setor BO ficou externo

(ou ainda, interno à parte branca).

Observe a figura ao lado e compare com a sua

construção.

Nossa construção já está pronta, podemos esconder os pontos M e N. Se você quiser reforçar a

borda do círculo, você pode criar uma circunferência com centro em O e contendo o ponto A

ou B.

Para calcular a área vamos inserir um texto. Então na caixa de texto iremos digitar o seguinte:

Área da parte rosa = Área[CTotal]-COAB-CAO+CBO

Para montar esse texto você deve selecionar a ferramenta Texto, clicar sobre a região onde

deseja inserir o texto contendo a área. Então surgirá uma janela para inserção do texto. Nessa

janela, você irá digitar “Área da parte rosa = “(sem

aspas) e então clicará sobre a opção Objetos e

selecionará a opção Área Vazia (em geral, primeira

opção). Surgirá um retângulo branco após o sinal de

igualdade digitado. Nesse retângulo você irá digitar

“Área[CTotal]-COAB-CAO+CBO”(sem aspas). O que é

isso? CTotal é o círculo de raio 2, como ele não tem o

comportamento de um polígono é-nos necessário

informar ao GeoGebra que estamos falando da área

dele, por isso o Área[] é importante (para mais

informações consulte o manual do GeoGebra). COAB é

a área do setor de 90° criado e pintado de branco.

CAO é referente ao setor AO, também pintado de

branco. Por fim, CBO é referente ao setor BO, pintado

de rosa. Observe que a área da parte rosa é exatamente igual a área de todo o círculo,


subtraindo a área do setor de 90° e a área do setor AO, somando o setor BO. Por isso essa

fórmula.

Porém, observe que o exercício pede a área sobre π. Ou seja, precisamos dividir essa área por

π e então colocar o símbolo “π” após o valor. Para isso, vamos alterar o texto (clique com o

botão direito sobre o texto e então em Editar). Vamos DENTRO DA CAIXA ONDE ESTÃO OS

CÓDIGOS, colocar parênteses “em volta” de todo o código e então colocar /pi no final,

informando que iremos dividir por pi. O código era “Área[CTotal] - COAB - CAO + CBO”, e

passará a ser “(Área[CTotal] - COAB - CAO + CBO)/pi”(sem aspas). E então, logo depois do

código, FORA DA CAIXA DE CÓDIGO, clicaremos sobre a opção Símbolos e então, no submenu

básico, selecionamos o símbolo “π” para inserirmos no nosso texto. E então clicamos em Ok

para finalizar. Caso possua alguma dúvida, observe abaixo como encontrar o símbolo “π” e

como deve ficar o campo Editar.

Por fim, observe que o resultado ficou bem mais amigável que aquele arredondamento, agora

ficou 3π. Caso esse não tenha sido o valor obtido verifique se o código acima está correto ou

ainda se sua construção “encaixa” com a proposta pelo exercício e tente refazer.

Exercício 4


O exercício acima é considerado difícil, sem o auxílio do GeoGebra. Porém, com o GeoGebra,

se torna muito fácil de se verificar qual das relações é verdadeira. Para isso, vamos construir a

figura.

Construamos um triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 usando a ferramenta Polígono. Então, com o auxílio da

ferramenta Ponto Médio e Centro encontre o ponto D, que sabemos que é ponto médio do

lado 𝐵𝐶. E trace a mediana 𝐴𝐷.

Agora precisamos construir o ponto arbitrário M no segmento 𝐵𝐷. Para isso, construa o

segmento 𝐵𝐷 e, usando a ferramenta Ponto, construa um ponto sobre esse segmento e

nomeie esse ponto como M. Se você tiver dificuldades de fixar no segmento 𝐵𝐷 pois existe o

segmento 𝐵𝐶, você pode ocultar temporariamente o segmento 𝐵𝐶 para então criar sobre o

segmento 𝐵𝐷.

Agora precisamos marcar o

ponto P, que é a intersecção

da reta paralela a 𝐴𝐷 que

passa por M com o

prolongamento do

segmento 𝐴𝐶 . Para isso,

vamos usar a ferramenta

Reta Paralela e a ferramenta

semirreta. Primeiro,

selecione a ferramenta Reta

Paralela, então clique sobre o segmento 𝐴𝐷 e sobre o ponto M. Então surgirá a reta paralela à

𝐴𝐷 que passa por M. Agora, selecione a ferramenta Semirreta e clique sobre os pontos C e A

(nessa ordem) para prolongar o segmento 𝐴𝐶 no sentido da reta recém criada. Então, usando

a ferramenta Intersecção Entre Dois Objetos, marque o ponto P (Não esqueça de mudar o

nome dele para P).

Aproveitando a reta 𝑀𝑃⃡⃗⃗⃗⃗⃗ marque o ponto N, que é a intersecção dessa reta com o segmento

𝐴𝐵.

O exercício pede para verificar qua expressão é verdadeira. Vamos criar um texto para cada

alternativa. Para isso, clique na ferramenta Texto e clique sobre a região que você deseja

inserir o texto e então digite o seguinte:

Observe que o que está em uma caixa foi inserido usando a opção Objeto->Área Vazia.

Observe também que o sinal de igualdade está fora dessa caixa. Assim, se você fez tudo

correto, você irá chegar em um resultado semelhante à este:


Observe que a única alternativa que realmente a igualdade se verifica é na alternativa E, e isso

se mantem se você mover o ponto M sobre o segmento 𝐵𝐷. Na verdade, se você mover o

ponto M de maneira que ele coincida com o ponto D, você irá perceber essa relação de uma

forma mais fácil ainda.


b. Bandeira do Nepal O primeiro desafio consiste em desenhar a bandeira do Nepal no

GeoGebra.

A bandeira do Nepal é construída de forma totalmente

geométrica. Na constituição temos o detalhamento. Segue abaixo

os passos de construção:

(A) Modo de Fazer a forma dentro da borda

(1) na parte inferior de um tecido desenhar uma linha AB do

comprimento necessário da esquerda para a direita.

No Geogebra, faremos controle deslizante com intervalo entre 0 e 20 chamado de Tamanho e

um segmento paralelo ao eixo X (como feito no capítulo 3.b.). Nomearemos os pontos como A

e B, da esquerda para a direita.

(2) A partir do ponto A, desenhe uma linha perpendicular

à AB, chamada AC. Faça de tal maneira que AC tenha

medida igual a de AB mais um terço de AB. Então, na linha

AC, marque um ponto D tal que AD seja igual a AB.

Aqui, iremos usar uma estratégia semelhante a que

usamos em todo o capítulo 3. Iremos fazer uma reta

perpendicular a AB e utilizar uma circunferência usando A

como centro e (Tamanho + Tamanho/3), A intersecção da

reta com a circunferência será o

nosso ponto C. Para descobrir o

ponto D utilizaremos o compasso

para achar o ponto em AC que tenha a mesma distância do ponto A e

B. Após isso, crie os segmentos AC e AD e então você pode ocultar as

circunferências e a reta.

(3) Trace o segmento BD e marque o ponto E de forma que

BE=AB.

Marcamos o segmento que tem extremidades B e D. Então, com a

ferramenta Compasso selecionada, clicamos sobre os pontos A e B e então sobre o ponto B.

Logo, marcamos a intersecção da circunferência com o segmento BD e nomeamos como E,

como pede o enunciado.

(4) Marque a linha FG, paralela à AB, de modo que FG passe por

E, F esteja sobre AC.

Aqui nós fizemos uma reta paralela a AB passando pelo ponto E, e

então marcamos o ponto de intersecção com o segmento AC e

nomeamos ele como F. Para encontrar o G, usamos o compasso.


(5) Ligue CG.

Aqui é simplesmente para construir o segmento CG.

Até agora, nossa construção está assim:

(B) Modo de Fazer a Lua

(6) A partir marca A de AB marque o ponto H, de forma que AH

seja igual a um quarto de AB e a partir de H desenhar uma linha

paralela à linha AC tocar linha de CG no ponto I.

Vamos usar a circunferência dado centro e raio para formar uma

circunferência que meça um quarto de AB, para marcar o ponto H.

Logo após isso, vamos criar uma reta paralela a AC que passe pelo

ponto H e marcar a intersecção com CG e nomear como I.

(7) Marcar o ponto médio de CF no ponto J e desenhar uma linha

paralela à AB, chamada JK, tocando CG no ponto K.

O ponto médio de CF é facilmente encontrado com a ferramenta

Ponto Médio, então nomeamos ela como J. Usamos a ferramenta

Reta Paralela para fazer uma reta paralela a AB, que passe por J então

marcamos a intersecção desta reta com o segmento CG e nomeamos

como o ponto K.

(8) Seja L o ponto onde as linhas JK e HI se cortam.

Aqui basta marcar a intersecção de JK e HI e nomear como L.

(9) Trace JG.


Aqui basta traçar o segmento JG.

(10) Seja M o ponto onde a linha JG e HI cortar um do outro.

Criar a intersecção entre JG e HI e nomear como M.

(11) Com o centro M e com uma distância menor do

que a de M até o segmento BD, marque N na parte

inferior da linha de HI.

Como aqui não nos é definida uma distância específica,

vamos definir como 1/8 do AB. Para isso, vamos repetir

o mesmo processo de quando fizemos o H, com uma

circunferência com centro em M e raio 1/8 * Tamanho

(variável), vamos marcar a intersecção que está na parte mais abaixo e nomear como N.

(12) Passando por M e a partir de O, um ponto na AC, desenhe uma linha paralela

à AB.

Traçamos uma reta paralela à AB e passando pelo ponto M, então marcamos o ponto de

intersecção dessa reta com AC e nomeamos como O.

(13) Com o centro L e LN sendo o raio

desenhar um semicírculo na parte

inferior e defina P e Q como os pontos

onde o semicírculo toca a linha OM

respectivamente.

Aqui haverá a necessidade de

marcarmos os pontos de intersecção

da circunferência com centro em L e

que passe pelo ponto N. Então, vamos

utilizar a ferramenta Círculo dados

Centro e um Ponto. Utilizando L como centro e clicando no ponto N. Vamos marcar os pontos

de intersecção dessa circunferência com o segmento JK e nomeá-los como P e Q (da esquerda

para a direita). Porém, ele pede um semicírculo. Vamos utilizar a ferramenta Semicírculo

Definido por Dois Pontos e marcar os pontos Q e P (nessa ordem).

(14) Com o centro M e raio MQ desenhar

um semicírculo na parte inferior tocando P e

Q.

Agora, vamos explorar a ferramenta Arco

Circuncircular. Porém, antes, trace a

circunferência de centro M e que passe por P

ou Q. Após, marque o ponto que é a

intersecção de HI com a circunferência.

Vamos considerar apenas a intersecção “de

baixo”.

Feito isso, selecione a ferramenta Arco Circuncircular (essa ferramenta traça um semicírculo a

partir de 3 pontos, o primeiro é uma das extremidades, o segundo é um ponto qualquer do


semicírculo e o terceiro é a outra extremidade). Com a ferramenta selecionada, clique sobre os

pontos Q, o ponto de intersecção recém marcado e P.

(15) Com o centro N e raio NM desenhar um arco que toque o arco PNQ em R e S.

Junte RS. Seja T o ponto em que RS e HI se encontram.

Traçaremos a circunferência com centro em N, com raio igual a NM. Marcaremos os pontos R

e S, que é onde a circunferência se encontra com o arco PNQ (recém criado). E então

desenharemos um arco utilizando a ferramenta Arco Circuncircular e clicando sobre os pontos

R, M e S, nessa ordem.

Então criaremos o segmento RS e definiremos T como o ponto de intersecção de RS com HI.

(16) com centro T e raio TS

desenhar um semicírculo sobre a

porção superior do PNQ de maneira

que irá tocá-lo em dois pontos.

Vamos usar a ferramenta Semicírculo

definido por dois pontos e usar os

pontos R e S para desenhar a

semicircunferência, como sabemos

que T é ponto médio de R e S.

(17) Você deve fazer 8 triângulos aproximadamente semelhantes abaixo do arco

construído no anexo (16) e acima do arco RMS.

Aqui apenas trace segmentos entre os dois arcos a fim de formar 8 triângulos parecidos que

ocupem toda essa região. No caso, vou deixar para o final.


(C) Método para a produção do Sol

(18) Marque U como o ponto médio de AF

e trace uma linha UV paralela à linha AB

tocando BE em V.

Acredito que nesse momento, todos que

estão acompanhando já sabem encontrar o

ponto médio e traçar retas paralelas, então

esse tópico não requer muita explicação.

(19) Com o centro W, o ponto onde HI e UV

se cortam e raio MN desenhar um círculo.

Marque a intersecção de HI e UV e então utilize a ferramenta compasso para fazer o círculo

pedido.

(20) Com o centro W e raio LN desenhar um círculo

Mesmo procedimento do anterior.

(21) Doze triângulos iguais e similares de sol devem ser feitas no espaço fechado

pelos círculos de No. (20) e do n º (21) com os dois vértices de dois triângulos tocar

linha de HI.

Vamos fazer depois de terminar, junto com o da lua.

(D) Modo de Fazer a borda

(22) A largura da borda irá ser igual à largura TN. Ela será de cor azul profundo e

será fornecido em todos os lados da bandeira.

Para construir a borda, faremos uma reta perpendicular a cada lado em um ponto qualquer e

então utilizaremos o compasso para “transferir” a largura TN para essa reta. Então faremos

uma reta paralela ao lado passando pela intersecção da circunferência gerada pelo compasso e

a reta perpendicular ao lado. Veja abaixo uma explicação gráfica disto.


Após fazer com todos os lados você irá criar um polígono com a borda e ficará com a seguinte

construção.

Mude a cor deste polígono para azul escuro e ajuste sua opacidade para a máxima.

(23) Toda a região interna da bandeira será de vermelho exceto a lua e o sol, que

serão brancos.

Crie um polígono outro polígono com os pontos ABEGC, mude a cor deste para vermelho.

Ajuste a opacidade dos dois polígono para a máxima.


Vamos criar os triângulos da lua e do sol. Vamos iniciar

pelo sol:

Iremos marcar um ponto de intersecção chamado Z,

como mostra a figura ao lado.

Agora, sabemos que sobre essa circunferência irá ficar

os 12 triângulos semelhantes. Então teremos 12

vértices ao todo sobre essa circunferência. Sabemos

também a a volta completa é 360°. Então iremos, usando a ferramenta Ângulo de Amplitude

Fixa marcar o ângulo 360°

12 , 12 vezes. Por fim, ficaremos com algo

como a figura à esquerda nos mostra.

Agora iremos encontrar o vértice dos

triângulos traçando as mediatrizes

entre os pontos adjacentes. O

resultado será como a figura à

direita.

Agora, oculte os ângulos e as mediatrizes e desenhe triângulos

utilizando esses vértices. Mude a cor deles para branco e ajuste

sua opacidade para máxima.

Após ocultar todas as mediatrizes e ângulos, oculte os pontos e a

circunferência externa. Então pinte a circunferência interna de

branco e aumente totalmente a sua opacidade. O resultado ficará

este da figura ao lado esquerdo.

Agora vamos fazer a lua.

Primeiramente oculte os itens de modo que você

fique apenas com o que está na imagem ao lado.

Iremos repetir o processo feito no sol, mas desta

vez são apenas 8 triângulos e trata-se de um

semicírculo cuja angulação é igual ao ângulo ∠RNS. Vamos marcar ele com a ferramenta

Ângulo e nomeá-lo como AngLua. Como queremos 8 triângulos, devemos usar AngLua/8 desta

vez.

Vamos, utilizando a ferramenta Ângulo de

Amplitude Fixa, Marcar 8 vezes o ângulo

AngLua/8 a partir e R e N.

O resultado deverá ser como o do lado. Então,

utilize a Mediatriz para descobrir o vértice.


Antes de desenhar o triângulo. Encontre o ponto médio de P e Q, vamos chamar de Z.

Selecione a ferramenta Setor Circular e clique sobre M, P e Q (nessa ordem). Então mude a cor

desse setor circular que surgiu para branco e aumente sua opacidade. Agora faça a mesma

coisa com os pontos Z, P e Q. Mas, ao invés de pintar de branco, você irá pintar de vermelho.

Agora, você irá montar os triângulos, como polígonos. Mudar a cor deles de branco e

aumentar sua opacidade.

Explicação: As linhas HI, RS, FE, ED, JG, OQ, JK e UV são imaginárias. Da mesma

forma, os círculos externos e internos do sol e os outros arcos, exceto a lua crescente

também são imaginárias. Estes não são mostrados na bandeira.

Oculte os segmentos supracitados. Oculte também todos os pontos.

Resultado final:

Observação: A tradução foi feita pelo autor e não está livre de erros. Foi adaptada para o

nosso idioma pois muitos termos não têm o mesmo sentido do que o seu equivalente no

português. Qualquer dúvida consulte a documentação original em:

http://www.inseconline.org/linkedfile/Bill%20Of%20Constitution%202015%20Sept.pdf

Acessado em 1º de Maio de 2016 às 2:17


5. Considerações Finais

Gostaríamos de sugerir que vocês busquem materiais no GeoGebra Tube. Lá você encontrará

diversas construções já prontas que você pode baixar e analisar como foi construído. O

GeoGebra Tube pode ser encontrado através do endereço http://tube.geogebra.org/

No YouTube também existem diversos cursos de GeoGebra. Um dos mais recomendados é do

Prof. L. C. M. Aquino. O curso pode ser encontrado através do endereço eletrônico

https://goo.gl/mwfcTY (diferencia maiúsculas e minúsculas).

Periodicamente é lançado um curso a distância através do site “O GeoGebra”. Fique atento

através do site http://ogeogebra.com.br/site/

Para estudo de Geometria Plana, recomendamos o livro “Fundamentos de Matemática

Elementar – Vol. 9” (IEZZI, Gelson). Ele possui os conteúdos mais importantes de Geometria

Plana, além de diversos exercícios e demonstrações relacionadas à geometria.

“Aquilo que pode ser afirmado sem provas também pode ser negado sem provas.”

Euclides de Alexandria (330 a.C.)

apostila geogebra e a geometria plana - campus...

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