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Fundamentos Teóricosdo Pensamento Matemático

Ana Márcia Fernandes Tucci de CarvalhoMagna Natália Marin PiresMarilda Trecenti Gomes

2009Esse material é parte integrante do Curso de Atualização do IESDE BRASIL S/A,

mais informações www.iesde.com.br

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C667 Carvalho, Ana Márcia Fernandes Tucci de.; Gomes, Marilda Trecenti.; Pires, Magna Natália Marin. / Fundamentos

Teóricos do Pensamento Matemático. / Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho. Magna Natália Marin Pires. Marilda Trecenti Gomes. — Curitiba : IESDE Brasil S.A. , 2009. 304 p.

ISBN: 978-85-387-0159-0

1. Matemática (História). 2. Matemática - Fundamentos. 3. Filosofia da Ciência. I. Título. II. Pires, Magna Natália Marin. III. Gomes, Marilda Trecenti.

CDD 501

Capa: IESDE Brasil S.A.

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Esse material é parte integrante do Curso de Atualização do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.iesde.com.br

Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). Licenciada em Matemática pela UEL.

Magna Natália Marin Pires

Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). Graduada em Matemática pelo Centro de Estudos Supe-riores de Londrina, em Química pela Fundação Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de Cornélio Procópio e em Ciências pela Univer-sidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho.

Marilda Trecenti Gomes

Doutora em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Mestre em Matemática pela Universidade Esta-dual de Campinas (Unicamp). Bacharel em Matemática pela Unicamp.

Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho


Sumário

Resolução de problemas ....................................................... 15

O que é um problema? ............................................................................................................ 17

Etapas para resolução de problemas ................................................................................. 22

A construção do conceito de número .............................. 31

Classificação ................................................................................................................................ 31

Seriação......................................................................................................................................... 33

Correspondência – equivalência numérica ..................................................................... 34

Materiais que podem ser utilizados para as operações de classificação e seriação ........................................................................................................... 36

Conhecimento lógico-matemático .................................... 45

Conhecimento físico ................................................................................................................ 45

Conhecimento social ............................................................................................................... 45

Conhecimento lógico-matemático ..................................................................................... 46

Abstração empírica e abstração reflexiva ......................................................................... 47

O jogo ............................................................................................................................................ 49

O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal ................................................................. 55

A invenção da base ................................................................................................................... 57

Base 10 .......................................................................................................................................... 57

O aparecimento do zero ......................................................................................................... 60


Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais ....................................................... 69

Ideias das quatro operações fundamentais .................... 81

Ideias da adição ......................................................................................................................... 81

Ideias da subtração ................................................................................................................... 82

Método da compensação na subtração ........................................................................... 84

Processo curto da divisão ....................................................................................................... 84

Ideias da multiplicação ............................................................................................................ 86

Ideias da divisão ......................................................................................................................... 86

Compreensão dos números racionais: frações .............. 95

Operações com frações ........................................................................................................... 97

O conceito de frações aplicado a todos contínuos .....................................................100

O conceito de frações aplicado a todos discretos .......................................................101

Alguns obstáculos ...................................................................................................................102

Os decimais ..............................................................................109

Comparação entre decimais ...............................................................................................111

Operações com decimais .....................................................................................................112

A construção do pensamento geométrico ...................123

Alguns fatos históricos ..........................................................................................................123

Sentido das medidas .............................................................137

Grandezas mensuráveis e não-mensuráveis ................................................................140

As medidas nas primeiras séries do Ensino Fundamental........................................140

Área e perímetro ....................................................................149


O pensamento algébrico .....................................................159

Histórico ......................................................................................................................................159

Concepções da Álgebra ........................................................................................................160

A Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental ................................................162

Atividades que colaboram no desenvolvimento do pensamento algébrico ....163

Conceitos fundamentais da proporcionalidade .........175

Grandezas diretamente proporcionais ............................................................................177

Grandezas inversamente proporcionais .........................................................................178

A proporcionalidade nas séries iniciais ...........................................................................179

Introdução à Estatística ........................................................189

Avaliação em Matemática ...................................................201

Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende .........217

O domínio afetivo ...................................................................................................................217

O significado do afeto............................................................................................................221

Desenvolver a dimensão afetiva ........................................................................................222

A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana ................................................229

O problema da agência de viagens – linguagem natural versus linguagem matemática .........................................................................................................230

Os desencontros da linguagem matemática ................................................................232

Questões para refletir sobre a linguagem matemática .............................................234

Os problemas da solução:dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas” ......243

Os desafios da metodologia da resolução de problemas ........................................243

Problemas com a metodologiada resolução de problemas ....................................244


Outras questões .......................................................................................................................248

Sugestões de problemas ......................................................................................................249

A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos ...........................................257

Os povos antigos já sabiam .................................................................................................257

Os problemas que encontramos hoje: dificuldades dos alunos e dos professores.....................................................................258

Possibilidades metodológicas e pedagógicas ..............................................................262

Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros ...............................269

Números relativos ...................................................................................................................269

Por que (–1) x (–1) = 1? ..........................................................................................................272

Gabarito .....................................................................................283

Referências ................................................................................297


Apresentação

Caro EstudanteEssa obra aborda diversos conteúdos matemáticos que são trabalhados

nas séries iniciais do Ensino Fundamental. A intenção das autoras é fazer uma reflexão, junto aos futuros professores destas séries, de forma a possibilitar a com-preensão de conceitos e significados presentes nos referidos conteúdos.

O livro é composto por vinte capítulos.

O primeiro capítulo intitulado Resolução de Problemas, discute uma estra-tégia de ensino que é recomendado por currículos do mundo inteiro.

O segundo capítulo, A Construção do Conceito de Número, apresenta as operações de classificação e seriação como fundamentais no processo de cons-trução do conceito de número.

O terceiro capítulo, Conhecimento Lógico-Matemático, define conheci-mento físico, conhecimento social e finalmente o conhecimento lógico-mate-mático; aborda também a questão da abstração empírica e a abstração reflexiva, fatores importantes na construção de relações.

O quarto capítulo, intitulado como O Desenvolvimento Histórico do Siste-ma de Numeração Decimal, aborda o sistema de numeração que usamos fazendo um breve relato do seu desenvolvimento histórico.

O quinto capítulo, Discussão de Processos e Desenvolvimento Histórico de Algoritmos de Algumas Operações Fundamentais, mostra algumas formas de somar e multiplicar utilizadas por povos da antiguidade.

O sexto capítulo, Ideias das Quatro Operações Fundamentais, chama a atenção do professor para as diferentes ideias que cada operação pode assumir, fator importante na construção do conhecimento matemático.

No sétimo capítulo, Compreensão dos Números Racionais: Frações, discu-te o conceito de frações e procura justificar os procedimentos algorítmicos das operações realizadas com frações.

O oitavo capítulo, Os Decimais, apresenta o número com vírgula e aborda as operações fundamentais neste campo numérico.

No nono capítulo A Construção do Pensamento Geométrico, são apresen-tados alguns elementos históricos da Geometria, apresenta esse campo da Mate-mática valorizando a exploração de objetos e ambientes naturais.


O décimo capítulo, Sentido das Medidas, faz uma abordagem privilegiando o sig-nificado de medir, apresenta algumas unidades básicas, associando-as com a utilização no dia-a-dia.

O décimo primeiro capítulo, intitulado Área e Perímetro, apresenta a diferença entre esses dois conceitos e explora a área de algumas figuras geométricas.

O décimo segundo capítulo, O Pensamento Algébrico, apresenta as várias fases do desenvolvimento da álgebra e sugere caminhos para a abordagem desse conteúdo desde as séries iniciais do Ensino Fundamental.

O décimo terceiro capítulo, Conceitos Fundamentais da Proporcionalidade, discu-te várias estratégias de resolução que podem ser utilizadas para resolução de questões que envolvem esse conteúdo.

O décimo quarto capítulo, intitulado Introdução à Estatística, apresenta as fases do método estatístico assim como tabelas e gráficos, elementos essenciais na aborda-gem desse assunto.

O décimo quinto capítulo, Avaliação em Matemática, procura fazer uma aborda-gem construtiva da avaliação e discute vários instrumentos de avaliação.

Os cinco últimos capítulos discutem questões que, de algum modo, podem difi-cultar o ensino-aprendizagem da Matemática.

O décimo sexto capítulo Aprender sem Medo, discute o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende. O décimo sétimo capítulo, intitulado A Linguagem Matemática e os (Des)Encontros com a Linguagem Cotidiana, mostra como essas duas formas de comunicação podem ser interpretadas pelos alunos.

O décimo oitavo capítulo, Os problemas da Solução, apresenta algumas dificulda-des com a metodologia de “resolução de problemas”.

O décimo nono capítulo, A Geometria Plana e a Geometria Espacial, apresenta pro-blemas mais comuns encontrados por estudantes quando estudam esses conteúdos.

O vigésimo e último capítulo, Por que (-1) x (-1) =1? aborda operações com núme-ros inteiros e discute algumas dificuldades encontradas para demonstrar alguns resulta-dos nesse campo da matemática.

Ao tratar das questões descritas anteriormente, o objetivo é que você, futuro pro-fessor, possa se embasar teoricamente para poder desenvolver a educação matemática na sala de aula.

As Autoras


Magna Natália Marin Pires Marilda Trecenti Gomes

[...] o verdadeiro prazer em estudar Matemática é o sentimento de alegria que vem da

resolução de um problema – quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.

Thomas Butts

Se pretendemos tornar a Matemática útil e prazerosa, acreditamos que a resolução de problemas, uma das tendências da educação matemática, é um excelente caminho para alcançarmos esse objetivo.

A resolução de problemas deve ser o ponto central de atenção do pro-fessor de Matemática e os problemas devem ser o ponto-chave para o desenvolvimento dos conteúdos curriculares. Por meio dos problemas, os estudantes podem:

investigar e compreender os conteúdos matemáticos; �

desenvolver e aplicar estratégias para a resolução dos mesmos; �

relacionar a Matemática com situações cotidianas; �

ver a Matemática de forma atraente e desafiadora. �

Polya (1994) afirma que “a resolução de problemas foi a coluna verte-bral da instrução matemática desde o Papiro de Rhind”.

Educadores matemáticos acreditam ser necessário que os alunos se tornem capazes de propor e resolver problemas, conhecer técnicas diver-sas, compreender as implicações matemáticas de um problema, trabalhar em grupo para resolvê-lo, aplicar ideias matemáticas a problemas abertos, acreditar na importância da resolução de problemas para a real aprendiza-gem da Matemática e na importância desta para a vida cotidiana.

Resolução de problemas


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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático

Pretende-se que os alunos aprendam a valorizar a Matemática, sentindo-se seguros em fazer Matemática e em resolver problemas de todas as categorias. Que esses alunos possam comunicar-se por meio dessa ciência, aprender a ra-ciocinar matematicamente, formular hipóteses e argumentar a validez de uma hipótese.

Resolver problemas é a razão principal de se aprender e ensinar Matemática. É por meio dessa prática que se inicia o aluno no exercício de pensar matemati-camente e nas aplicações da Matemática na Educação Básica. Resolver proble-mas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma nova situação, atendendo a um objetivo. Ao resolver problemas, o aluno desen-volve determinadas estratégias que, em geral, se aplicam a um grande número de situações. Dante (1995, p. 84) salienta que:

aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das situações-problema.

Ensinar a resolver problemas requer que o professor coloque os alunos frente a diferentes situações. Ele deve encorajá-los a pensar por si mesmos, a levanta-rem suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutirem com seus colegas como e por que determinada estratégia resolve ou não o problema.

É importante, também, que o professor considere dois fatores que desempe-nham papel fundamental na resolução de problemas: os conceitos e as habilida-des da criança para encontrar a solução. Esses fatores são construídos de acordo com o repertório de problemas previamente resolvidos, daí a importância dos alunos resolverem uma variedade de problemas.

Ao propor essas questões, o professor deve estar atento aos problemas mate-máticos que não têm como objetivo encontrar uma resposta numérica e, mesmo que se encontre essa resposta, é apenas um ponto intermediário nesse processo. Assim, é essencial uma interpretação ou uma análise da questão a ser resolvida.

Às vezes, um problema requer simplesmente que o aluno desenvolva um sis-tema de organização dos dados de uma forma adequada ou que se traduza uma situação matemática em uma linguagem mecânica eficiente. Ou então o pro-blema exige que se crie uma unidade de medida ou um instrumento de maior precisão do que os dados pelos modelos usuais de medida.



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O que é um problema?Saviani (1999) coloca que uma questão por si só não caracteriza um proble-

ma, mesmo que sua resposta seja desconhecida. O que caracteriza um problema é aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, deseja-se conhecer.

Em outras palavras, para que uma situação seja um problema, é necessário que o sujeito:

esteja ciente dessa situação; �

esteja interessado em resolver essa situação; �

não tenha elementos necessários para proceder diretamente. �

Para o professor realizar um trabalho coerente com a proposta da resolução de problemas, é necessário que conheça a classificação de questões matemáticas a seguir, segundo Butts (1980).

Exercícios de reconhecimentoEsse tipo de exercício verifica apenas se o estudante reconhece ou relembra

um fato, uma definição ou um teorema.

Exemplos:

a) Assinale os desenhos que representam figuras planas.

1 23 4

Resposta: 1, 4.

b) Circule os números pares:

95 – 160 – 12 – 355 – 1 002 – 501 – 2

Resposta: 160, 12, 1 002, 2.


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Exercícios algorítmicosPodem ser resolvidos com um algoritmo específico ou executando-se um

procedimento passo a passo.

Exemplos:

a) Arme e efetue:

32,7 + 1,34 =

Resposta:

32,7

34,04

+ 1,34

b) Resolva a seguinte equação do 1.º grau:

y + 4 – 8y = 23

Resposta:

–7 y = 23 – 4

–7 y = 19

y = 7

19

y = – 7

19

Problemas de aplicaçãoNessa categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas soluções

requerem que o estudante:

faça a formulação simbólica do problema; �

manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já �conhecidos, para então obter a resposta.



19

Exemplos:

a) Mamãe foi à feira e gastou R$4,00 com verduras e R$5,00 com frutas. Com quanto voltou para casa se saiu com R$10,00?

Resposta:

Estratégia 1

R$4,00 + R$5,00 = R$9,00

R$10,00 – R$9,00 = R$1,00

Estratégia 2

Chamaremos de X a quantidade de dinheiro que sobrou

x + 5 + 4 = 10

x + 9 = 10

x = 10 – 9

x = 1

Ela voltou para casa com R$1,00.

b) O dobro de um número somado a 7 é igual a 13. Qual é esse número?

Resposta:

Chamaremos o tal número de x.

2 x + 7 = 13

2 x = 13 – 7

2 x = 6

x = 26

x = 3

O número é 3.


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Problemas em abertoUm problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia para sua

resolução. Porém, apresenta muitas vantagens, como a abordagem de diversos conteúdos matemáticos num único problema.

Exemplos:

a) Numa sala, com bancos de dois lugares, a diretora da escola reuniu um grupo de estudantes. Pediu que se sentassem de dois em dois nos ban-cos. Feito isso, sobraram 15 estudantes em pé. Para que ninguém ficas-se em pé, a diretora pediu que os estudantes se sentassem de três em três nos bancos. Dessa forma, nenhum estudante ficou em pé, mas cinco bancos ficaram vazios. Finalmente, ela pediu que os meninos se sentas-sem de dois em dois, ocupando a metade dos bancos, e que as meninas ocupassem a outra metade dos bancos, sentando-se de três em três. As-sim, nenhum estudante ficou em pé e nenhum banco ficou vazio.

Quantos são os estudantes? Quantas são as meninas? Quantos são os meninos? Quantos são os bancos?

Resposta:

Chamaremos de x o número de bancos e de y o número de estudantes.

2 x + 15 = y2 . 30 + 15 = y60 + 15 = yy = 75 estudantes

2 x + 15 = y3 x – 15 = y

2 x + 15 = 3 x – 1515 = 3x – 2x – 1515 + 15 = xx = 30 bancos

Tomemos H como meninos e M como meninas.

H = 2

2 x

H = 2

2 . 30

H = 2

60

H = 30

M = 2

3 x

M = 2

3 . 30

M = 2

90

M = 45

30 meninos e 45 meninas, total de 75 alunos e 30 bancos.



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b) O gavião chega a um pombal e diz:

– Adeus, minhas cem pombas!

– As pombas respondem em coro:

– Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você, meu caro gavião, cem pássaros seremos então!

Quantas pombas estão no pombal?

Resposta:

Estratégia 1

100 – 1 = 99 (subtraímos o gavião).

99 : 3 = 33 (dividimos por 3 porque são a quantidade de pombas mais 2 tantos, ou seja, 3).

Estratégia 2

Chamaremos de x a quantidade de pombas que estamos procurando:

x + 2 x + 1 = 100

3 x = 100 – 1

3 x = 99

x = 3

99

x = 33

Estão no pombal 33 pombas.

É importante ressaltar que a classificação dos problemas depende também do conhecimento do resolvedor. O problema das pombas, que foi apresentado anteriormente, pode ser classificado como problema de aplicação se o resolve-dor encontrar a solução utizando uma equação do primeiro grau, por exemplo; porém, se o resolvedor utilizar outra estratégia, ele pode ser considerado como um problema em aberto.


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Situações-problemaNessa categoria não estão os problemas em si, mas situações nas quais um

dos passos principais é identificar o problema inerente para, num passo se-guinte, resolvê-lo. Outro passo importante é testar se a solução encontrada é satisfatória. Caso não seja, o problema deve ser retomado e revisto, ou um novo problema deve ser identificado, e o processo deve ter continuação até que a solução ideal se apresente.

Exemplos:

a) Esboce um estacionamento.

b) Apresente a distribuição de alimentos para a merenda escolar de uma semana.

Nota-se que as questões das duas primeiras categorias (exercícios de reconhecimento e exercícios algorítmicos) exigem muito pouco dos alunos, não permitindo a exploração dos conhecimentos que eles trazem, nem o desenvol-vimento de sua criatividade. Dessa maneira, devem ser exploradas com menor intensidade, podendo ser utilizadas nos casos em que o professor deseja saber se o aluno conhece fatos específicos do conteúdo.

Os problemas das três últimas categorias (problemas de aplicação, problemas em aberto e situações-problema) permitem uma desenvoltura maior dos alunos, possibilitando ao professor uma visão mais abrangente do conhecimen-to deles.

As categorias problemas em aberto e situações-problema são as que mais pos-sibilitam reflexões, discussões e, consequentemente, aprendizado significativo.

O conjunto de problemas encontrado nos livros de Matemática não é suficien-temente extenso, nem variado o bastante para dar ao aluno um conjunto adequa-do de questões. O professor pode complementar esses problemas com outros inventados por ele mesmo ou retirados de livros paradidáticos ou periódicos da área. Assim, pode organizar seu próprio repertório, extenso e variado, com o objetivo de se preparar para o trabalho com problemas criativos e reais.

Etapas para resolução de problemasSegundo Polya (1994), para se obter sucesso na resolução de problemas

é necessário observar as seguintes etapas:



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1. compreender o problema;

2. elaborar um plano;

3. executar o plano;

4. fazer a verificação ou o retrospecto.

Em cada etapa, o professor pode fazer questionamentos ou considerações que ajudem os alunos na resolução dos problemas, conforme os exemplos a seguir.

Compreender o problema:a) O que se pede no problema?

b) Quais são os dados e as condições do problema?

c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?

d) É possível estimar a resposta?

Elaborar um plano:a) Qual é o seu plano para resolver o problema?

b) Que estratégia você tentará?

c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resol-ver este?

d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.

e) Tente resolver o problema por partes.

Executar o plano:a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.

b) Efetue todos os cálculos indicados no plano.

c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resol-ver o mesmo problema.


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Fazer retrospecto ou verificação:a) Examine se a solução obtida está correta.

b) Existe outra maneira de resolver o problema proposto?

c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhan-tes?

Desse modo, em uma aula de resolução de problemas, o professor deve fazer o papel de incentivador e moderador das ideias geradas pelos alunos. Agindo assim, os alunos participam ativamente, “fazendo Matemática”, e não passiva-mente, “observando” a Matemática “ser feita” pelo professor.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto, mas se desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter. (POLYA, 1994, p. 48)

O professor deve apresentar aos alunos problemas desafiadores, reais e interessantes, que não sejam resolvidos diretamente por um ou mais algoritmos. É necessário, também, que seja dado um tempo razoável para que leiam e compre-endam o problema, certificando-se de que foi entendido por todos. Infelizmente, uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um problema é o momento de leitura e compreensão do texto.

Deve-se criar, entre os alunos, um clima de busca, exploração e descoberta, deixando claro que o mais importante para obter a resposta correta é pensar e trabalhar no problema durante o tempo necessário para resolvê-lo.

O professor precisa trabalhar no sentido de focalizar, enfatizar e valorizar a análise do problema, os procedimentos que podem levar à solução e à revisão da solução obtida, e não, simplesmente, enfatizar a resposta correta.

Acertar a resposta não é, necessariamente, o mais importante na resolução de problemas. É bom para o aluno saber o que fez e como fez, e por que sua ação foi apropriada ou não. Isso deve ser parte integrante da etapa de retrospecto e verificação da resolução.

Primordialmente, deve-se incentivar os alunos a pensar. Assim, a função de orientador e facilitador da aprendizagem realizar-se-á mais facilmente, poden-do-se perceber como pensam e encaminham a solução do problema, que es-



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tratégias tentam usar, que dificuldades precisam superar etc. O professor, dis-cretamente, pode propiciar aos alunos “ideias brilhantes”, fazendo com que se lembrem de fatos e os utilizem adequadamente. É importante proporcionar ao aluno a satisfação de tê-las obtido. Alunos resolvedores de problemas se sentem seguros e, em geral, demonstram grande interesse pela Matemática.

Texto complementar

Sobre a resolução de problemas(BURIASCO, 1995, p. 1)

Uma das atuais grandes tendências da Educação Matemática é a resolu-ção de problemas, assim chamada porque considera que o estudo da Ma-temática é resolver problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática deve ser desenvolvido sempre partindo de problemas. Examinemos o quadro abaixo:

Esquema de aula

na tendência tradicional

Esquema de aula

na tendência de resolução de problemasO professor explica a matéria (teoria).

O professor apresenta um problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).

O professor mostra exemplos. Os alunos tentam resolver o problema com o conhe-cimento que possuem.

O professor propõe “exercícios” semelhantes aos exemplos dados para que os alunos resolvam.

Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta de algum conteúdo necessário para a resolução do problema), o professor apresenta, de alguma forma, esse conteúdo.

O professor (ou um aluno) resolve no quadro-de-giz os exercícios.

Resolvido o problema, os alunos discutem sua so-lução; se necessário, com a ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os do conteúdo necessário.

O professor propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão se-melhantes aos exemplos que ele resolveu.

O professor apresenta outro problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).


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Esquema de aula

na tendência tradicional

Esquema de aula

na tendência de resolução de problemas

O professor (ou um aluno) resolve os exercícios no quadro-de-giz.

O professor propõe “problemas”, se for o caso, ou mais “exercícios”.

Correção dos “problemas” e dos “exercícios”.

O professor começa outro assunto.

De acordo com essa tendência, o prazer em estudar Matemática é a ale-gria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade na resolução, maior a satisfação.

Na proposta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas, uma das questões mais importantes é como apresentar um problema, de modo que os alunos:

queiram resolvê-lo; �

compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução. �

Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência do professor, nas aulas de Matemática, ensinar a arte de resolvê-los.

Dicas de estudoLer o livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática

Autor: Luiz Roberto Dante.

Editora: Ática.

A obra explora um pouco sobre a teoria de Resolução de Problemas e depois apresenta uma coletânea de problemas interessantes que podem ser trabalha-dos desde a pré-escola.



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Atividades1. Classifique os seguintes problemas segundo as categorias de Thomas Butts.

a) Quantas lajotas quadradas, de 30cm de lado, preciso para ladrilhar uma varanda de 10m de comprimento por 6m de largura?

b) Construa, em um material à parte, a maquete de um campo de futebol.

c) Utilizando medidas inteiras, encontre dez retângulos que tenham perí-metro igual a 80cm.

d) O triângulo que possui um ângulo de 90º é chamado:

e) Quais são os valores de n para 7n + 4 > 8?

2. Dez moedas estão dispostas formando um triângulo, como na figura I. Movi-mentando apenas três moedas, obtenha a formação triangular da figura II.

Figura I Figura II


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3. O número 30 pode ser expresso por 5 x 5 + 5. Agora, expresse:

a) o número 100, usando quatro vezes o algarismo 9;

b) o número 34, usando quatro vezes o algarismo 3;

c) o número 31, usando somente o algarismo 3, quantas vezes queira.



Os números são frequentemente utilizados no nosso dia-a-dia. Mas, afinal, o que é número?

As concepções de número variam de acordo com as diferentes escolas matemáticas. Consideremos o conceito de número como resultado da sín-tese da operação de classificação e da operação de seriação, um número é a classe formada por todos os conjuntos que têm a mesma proprieda-de numérica e que ocupam um lugar numa série considerada também a partir da propriedade numérica. Assim, a classificação e a seriação se fundem no conceito de número.

Essa análise nos permite compreender o processo por meio do qual as crianças constroem este conceito tão importante – o de número. A com-preensão desse processo pode garantir aos professores as decisões didá-ticas a serem tomadas ao ensinarem seus alunos de acordo com as suas necessidades e características psicológicas.

Mas o que é a operação de classificação e a de seriação?

ClassificaçãoA classificação é uma operação lógica, fundamental no desenvolvimen-

to do pensamento, de forma que sua importância não se refere apenas à sua relação com o conceito de número, pois intervém na construção de todos os conceitos que constituem a estrutura intelectual humana.

Classificar é “juntar” por semelhanças e “separar” por diferenças.

Podemos exemplificar uma operação de classificação quando dizemos “gosto de cães”, pois estamos juntando animais que apresentam certas

A construção do conceito de número


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qualidades, separando-os de outros que não as têm – como os gatos. Um outro exemplo pode ser “cidades paranaenses”. Nesse caso, estou “juntando” cidades que estão localizadas no estado do Paraná, e “separando” daquelas localizadas em outros estados.

Nos dois exemplos acima, estamos classificando a partir de um universo, e esse universo já implica um ato classificatório, porque difere de outros universos que não são, no caso, nem de cães, nem de cidades paranaenses. Nessa exem-plificação, o termo “separar” ou “juntar” não é de forma efetiva ou visível, mas de forma interiorizada, pois não juntamos realmente, tampouco separamos.

Não realizamos o ato classificatório apenas de forma interiorizada, mas de forma efetiva, concreta, como quando separamos em uma estante livros e revis-tas, ou alimentos nas prateleiras da geladeira, roupas nas gavetas.

A pertinência e a inclusão são dois outros tipos de relação que aparecem na classificação, além das semelhanças e diferenças. A pertinência é a relação estabelecida entre cada elemento e a classe da qual ele faz parte. A pertinên-cia está fundamentada na semelhança. Dizemos que um elemento pertence a uma classe quando se parece com os demais elementos dessa mesma classe em função do critério de classificação adotado.

A inclusão é a relação que se estabelece entre cada subclasse e a classe da qual esta é uma parte, de tal forma que se pode verificar que a classe tem mais elementos que a subclasse. Na inclusão hierárquica, compreende-se que inclui “um” em “dois”, “dois” em “três” e assim por diante. Outro exemplo de inclusão é que rosas e jasmins incluem-se na classe de flores.

E qual a relação das operações de classificação e seriação e o conceito de número?

A classificação se fundamenta na qualidade dos objetos, ou seja, nas suas propriedades qualitativas. Adultos quando pensam no número sete, por exem-plo, podem estar pensando em sete casas, sete pessoas, sete balas, ou seja, sete “qualquer coisa”, incluindo sete coisas que podem ser diferentes entre si, como um homem, uma mulher, um lápis, uma flor, uma mesa, uma régua e um gato.

Ao pensar em um número, estamos fazendo classificação, ou seja, estabelecen-do semelhanças e diferenças e, nesse caso, separando todos os conjuntos que têm sete elementos dos conjuntos que não têm sete elementos. No caso do número, buscamos semelhança entre os conjuntos e não entre os elementos. Juntamos os conjuntos que são equivalentes em sua propriedade numérica. Assim, não im-



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porta se há ou não semelhança qualitativa entre os elementos que constituem o conjunto, importando apenas a equivalência numérica entre os conjuntos que constituem a classe que estamos pensando – a dos infinitos conjuntos de sete ele-mentos. A classe de todos os conjuntos de sete elementos constitui o número 7.

SeriaçãoSeriar é ordenar diferenças, estabelecer relações entre elementos que dife-

rem em certos aspectos.

A seriação, assim como a classificação, constitui aspecto importante do pensamento lógico.

Normalmente, seriam os sons de acordo com o timbre, ordenando-os do mais agudo ao mais grave; cédulas de valores diferentes, de menor valor para a que vale mais; veículos com diferentes datas de produção, do mais antigo ao mais moderno etc. Podemos fazer isso na ordem crescente ou decrescente.

A seriação tem como propriedades fundamentais a transitividade e a recipro-cidade. Quando se estabelece uma relação entre um elemento de uma série e o seguinte e deste com o posterior, pode-se deduzir a relação entre o primeiro e o último elemento dessa série. Dizemos que essa é uma relação de transitividade. Exemplo: se um veículo A é mais antigo que B, e B é mais antigo que C, então A é mais antigo que C. A conclusão pode ser feita a partir das relações que estabe-lecemos anteriormente.

Na propriedade de reciprocidade, cada elemento de uma série tem uma re-lação tal com o elemento imediato que, ao inverter a ordem da comparação, tal relação também se inverte. Se A é um automóvel mais antigo do que o automó-vel B, então B é um automóvel mais moderno que o A. As seriações, assim como as classificações, também podem ser realizadas de forma interiorizada.

Ao seriarmos um número, o que estamos seriando? Estamos seriando classes de conjuntos, e não elementos ou conjuntos particulares, estabelecendo uma relação entre as classes de tal forma que, se ordenadas na ordem crescente, a classe do quatro estará antes da classe do cinco e esta antes da classe do seis, que por sua vez estará antes da classe do sete e assim por diante. Se ordenadas na ordem decrescente, a classe do sete estaria antes da classe do seis e esta, antes da classe do cinco etc.


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O conceito de número se deriva das operações lógicas de classificação e seriação, não se reduzindo apenas a uma delas. O importante é que a fusão da classificação e da seriação se apresenta no caso do conceito de número. No en-tanto, no terreno qualitativo, não se seria e se classifica ao mesmo tempo.

Segundo Piaget, (apud KAMII,1986) o número é uma construção mental. Ele é construído pela repetida adição de “1”, e com isso a adição já está incluída na construção numérica pela criança. A teoria do número, segundo o autor citado, é entendida no contexto epistemológico no qual ele trabalhou.

Piaget percebeu elementos verdadeiros e não-verdadeiros tanto na corren-te dos racionalistas, como na corrente dos empiristas. Para a primeira corrente, a razão é mais poderosa do que a experiência sensorial; para os empiristas, o conhecimento tem sua fonte fora do indivíduo e é interiorizado por meio dos sentidos.

Em seus estudos, Piaget dava importância tanto à informação sensorial como à razão, mas recaiu sobre o racionalismo. Nas suas pesquisas com crianças, sentiu-se motivado a provar a inadequabilidade do empiricismo, apresentando provas de conservação nas crianças, (por exemplo, prova de conservação numérica). Piaget é contrário à teoria que diz que o conceito de número possa ser ensinado por transmissão social (para mais detalhes, ver KAMII, 1986).

Correspondência – equivalência numéricaA correspondência biunívoca ou termo a termo é a operação por meio da

qual se estabelece uma relação um a um entre elementos de dois ou mais con-juntos com a intenção de compará-los quantitativamente.

Segundo Duhalde e Cuberes (1998), é por meio da resolução de problemas do cotidiano que se constrói o aprendizado significativo da Matemática. É dessa forma que se constrói o conceito de número. A utilidade do número está ligada aos seus aspectos de cardinalidade e de ordinalidade:

a quantidade de elementos de uma coleção se refere à cardinalidade, na �qual a ação de correspondência, sem a necessidade de contagem, coloca esse conjunto em correspondência a outro conjunto;

o lugar que o número ocupa dentro de uma série ordenada se refere à �ordinalidade, sendo necessária uma ordem que permite a contagem.



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O desenvolvimento do conceito de número pode se dar por meio da ação de contar, que tem grande importância na educação matemática das crianças, sendo que, para concretizar o processo de contar, é indispensável recorrer à série numérica oral e à série numérica escrita. Muitas são as crianças que, em idade pré-escolar, contam até cem. No entanto, não descobriram que cem significa duas vezes cinquenta, um décimo de mil, dez vezes dez etc. As crianças, nessa fase, segundo as autoras citadas anteriormente, passam por três etapas:

na primeira, a criança se expressa de forma oral; �

a segunda etapa se refere aos aspectos algorítmicos da escrita – a criança �descobre as regras da sucessão oral e escrita;

na terceira, as crianças começam a construir agrupamentos de dez, perce- �bem as regras do sistema posicional de numeração e valor posicional.

As crianças, desde muito pequenas, por volta dos dois anos de idade, são capazes de contar até dois, três, ou pouco mais. No entanto, às vezes, quando prosseguem na contagem, é comum omitirem alguns números. As crianças variam nessa contagem de acordo com o meio socioeconômico e cultural no qual vivem. Certas crianças, ao contar até vinte e nove, dizem, para o próximo número, vinte e dez, e assim por diante. Se forem corrigidas, poderão continuar dizendo trinta e um, trinta e dois e sucessivamente, assim como usam dez e um, dez e dois, para os números onze e doze, respectivamente.

A criança que diz que quatro é maior que três pode estar fazendo uso da série oral, percebendo que o que vem depois é sempre maior que o anterior, podendo ser capaz de comparar conjuntos próximos. A série oral também permite separar uma quantidade da outra.

Quando é solicitado que separem quatro dos oito objetos de um conjunto, as crianças, normalmente, contam todos e nem sempre conseguem cumprir a tarefa, uma vez que para isso precisariam deter-se à quantidade solicitada, assinar um nome da série a cada um dos objetos e reter o processo no momento em que alcança a quantidade solicitada.

Às vezes, ao solicitar a uma criança que conte um conjunto de elementos, é possível que ela conte um, dois, três, e assim por diante até o último. Porém, quando é perguntado quantos são os objetos, ela inicia a contagem novamente sem dizer que são seis, por exemplo, quantificando o conjunto solicitado. Nesse caso, designa cada objeto com o nome de um número, não se dando conta do princípio de cardinalidade.


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Pode-se dizer que uma criança conta corretamente quando estabelece a cor-respondência um a um, mantém a ordem das palavras numéricas, conta cada objeto uma só vez sem omitir nenhum e considera que o último número men-cionado representa a quantidade total de elementos do conjunto, independen-do da ordem em que os elementos foram enumerados.

Materiais que podem ser utilizados para as operações de classificação e seriação

Usualmente crianças costumam colecionar pedrinhas, conchinhas, tam-pinhas, etc. Muitas vezes elas, naturalmente, classificam e/ou seriam algumas dessas coleções.

Um dos materiais adequados para a operação de classificação são os chama-dos Blocos Lógicos.

Div

ulga

ção:

Tro

lolo

.

Disponível em: <http://paje.fe.usp.br/~labmat/edm321/1999/montesso/BLOCOLOGICO.jpg>

Blocos lógicosAs peças que constituem o material conhecido como blocos lógicos são peças

com 4 características:

cor, �

tamanho, �

espessura e �

forma geométrica. �



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Os blocos lógicos têm peças nas cores: vermelha, amarela e azul. Elas ainda são de dois diferentes tamanhos: a grande e a pequena. Possuem duas espes-suras, a grossa e a fina. Relativo às formas geométricas, o conjunto dos blocos lógicos possui peças nas formas: retangular, circular, triangular e retangular.

Os blocos lógicos são constituídos de peças com esses 4 atributos: 3 cores, 2 espessuras, 2 tamanhos e 4 formas; têm num total 48 peças, pois combinados esses atributos podemos representar o número de peças por:

3 x 2 x 2 x 4 = 48

As crianças aprendem melhor por meio de suas próprias ações e, assim, podem classificar as peças dos blocos lógicos quanto a sua cor, quanto a sua espessura, forma e tamanho. É comum observar crianças classificando, ou seja, juntando as peças que têm “cantos” e separando-as das peças circulares porque estas não têm “cantos”, isto é, daquelas que não têm vértices.

As crianças devem ser estimuladas por professores ou adultos a classificar outros objetos, uma vez que a operação de classificação, assim como a opera-ção de seriação, proporciona papel fundamental na construção do pensamento lógico, portanto, na construção do conceito de número.

Outros objetos já citados também podem ser utilizados para proporcionar às crianças a condição de realizarem a operação de classificação, como: botões, pedrinhas, tampinhas etc. É importante solicitar às crianças que classifiquem objetos e depois que expliquem qual foi o critério que utilizaram para essa clas-sificação. As crianças podem classificar um mesmo conjunto de objetos usando diferentes variáveis (atributos).

As conchas, botões, pedrinhas etc. podem ser utilizadas para realizar seria-ção. Esses materiais podem ser ordenados na forma crescente ou decrescente de tamanho, aspereza, ou outra propriedade. Quando as crianças estão desen-volvendo tais atividades, têm a possibilidade de construir conhecimento social, ao aprender o nome do tipo de rochas; físico, ao sentir a aspereza, peso etc; e conhecimento lógico-matemático, ao reconhecer sua cor, por exemplo.

O que professores não devem esquecer é que as crianças, ao ingressarem na escola, já construíram muitos conhecimentos, que devem ser levados em conta. A criança traz consigo conhecimentos informais e cabe à escola estabelecer re-lação cognitiva com esses conhecimentos previamente construídos. É papel da


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escola contribuir para que a criança construa significados, faça generalizações, comparações, enfim, a escola deve ser um lugar onde a criança sinta prazer, pois lá ela tem a possibilidade de reinventar e descobrir.

Crianças iniciam a construção do conceito de número ainda quando bem pequenas, e na escola esse processo tem continuidade. As oportunidades de realizarem as operações de classificação e seriação ofertadas pelos professores proporcionam às crianças uma das grandes realizações que é a de contar quan-tidades. Sempre se observa como é enorme a alegria das crianças quando estas aprendem a ler e escrever, e não é diferente quando aprendem a contar.

Acreditamos que os conhecimentos relativos à Matemática são para todos e que eles auxiliam nas relações feitas por aqueles que os construíram com os demais conhecimentos das demais áreas do conhecimento.

Texto complementar

Prova de conservação do númeroConservação do número é a habilidade de deduzir (por meio da razão)

que a quantidade da coleção permaneça a mesma quando a aparência em-pírica dos objetos muda1 (INHELDER; SINCLAIR; BOVET apud KAMII, 1986).

MétodoMateriais1.

20 fichas vermelhas

20 fichas azuis

Procedimento2.

a) Igualdade

1 Pela descrição dada, as entrevistas podem parecer padroni zadas. Cada entrevista deve ser adaptada ao assunto em particular, especial-mente com referência à compreensão dos termos usados em quantificação.



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O pesquisador coloca uma fila de 8 fichas azuis (no mínimo 7)2 e pede à criança que ponha o mesmo número de fichas vermelhas, dizendo “ponha tantas fichas vermelhas quanto as azuis que coloquei (exata-mente o mesmo número, nem mais nem menos)”.

A resposta da criança é registrada em seu relatório. Se necessário, co-locam-se as fichas azuis e vermelhas na correspondência uma a uma e pergunta-se à criança se há igual número de fichas azuis e vermelhas.

b) Conservação

O pesquisador modifica a disposição diante dos olhos atentos da criança, espaçando as fichas de uma das filas ou pondo-as juntas, como mostra a figura:

Azul

Vermelho

As próximas perguntas são: “Há o mesmo número de fichas azuis e vermelhas, ou há mais aqui (azuis) do que aqui (vermelhas)? Como você sabe?”

c) Contra-argumentação

Se a criança deu a resposta certa então a pessoa diz: “Olhe como essa �linha é comprida”. Outra criança disse “há mais fichas aqui porque essa fila é mais comprida”. Quem está certa, você ou a outra criança?

Se, por outro lado, a criança deu a resposta errada, a pessoa lembra �da igualdade inicial: “Mas você não se lembra que pusemos antes as fichas azuis em frente de cada vermelha?” Outra criança disse que há o mesmo número de vermelhas e azuis agora. Quem você acha que está certa, você ou a outra criança?

2 Piaget se referiu a pequenos núme ros até 4 ou 5 como “números perceptuais”, porque números pequenos como “oo” e “ooo” podem facil-mente ser diferenciados numa olhada. Contudo, quando são apresentados 7 objetos é impossível distinguir “ooooooo” só por percepção.


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DescobertasNo estágio I, a criança não consegue fazer um conjunto com o mesmo 1. número. É desnecessário dizer que ela também não consegue conser-var a igualdade dos dois conjuntos. Algumas crianças puseram todas as fichas vermelhas linearmente como mostra a figura (a). Elas só pa-raram de colocá-las porque as fichas acabaram. A figura (b) mostra a resposta melhor elaborada dentro do estágio I. As crianças que fazem isso não colocam o mesmo número, mas cuidadosamente usam as ex-tremidades da fichas como um critério para decidir a igualdade das duas quantidades. Quando as crianças ainda não construíram as pri-meiras estruturas mentais do número, usam o melhor critério no qual puderam pensar; no caso, as extremidades das duas filas.

a) azul

vermelho

b) azul

vermelho

extremidade extremidade

No estágio II, 4-5 anos de idade, a criança pode fazer um conjunto que 2. tem o mesmo número, mas não consegue conservar a igualdade.3 Quan-do a pesquisadora lhe faz a pergunta sobre essa conservação ela diz, por exemplo: “Há mais vermelhas porque as azuis estão todas espremidas”.

No estágio III as crianças são “conservadoras”. Elas dão respostas corre-3. tas para todas as questões, não são influenciadas por contrassugestão e dão um ou mais dos seguintes argumentos para explicar por que acham que as duas filas têm a mesma quantidade:

3 As idades mencionadas são aproximadas. Variam com a estrutura cultural e educacional das crianças.



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Há o mesmo número de fichas azuis e vermelhas que antes porque �não tirou nenhuma ficha, elas estão apenas amontoadas (argumento--identidade).

Pudemos pôr todas as fichas vermelhas como estavam antes, assim �não há nem mais azuis nem vermelhas (argumento-reversibilidade).

Aqui as vermelhas formam uma fila mais comprida, mas há espaço en- �tre elas; assim, dá no mesmo (argumento-compensação).

Conservação não é uma coisa que se consegue da noite para o dia e en- �tre os estágios II e III há um estágio intermediário. Crianças nesse está-gio dão a resposta correta a apenas uma das perguntas – quando se faz uma fila mais comprida e subsequentemente a outra mais comprida, ou eles hesitam e/ou continuam mudando de ideia (“há mais azuis..., não, mais vermelhas, ...há a mesma coisa...”). Mesmo quando estas crianças dão respostas certas, não conseguem justificá-las adequadamente.

Por que é difícil para a criança a “conservação” no estágio II e por que ela consegue isso mais tarde? Para responder a essa pergunta precisamos dis-cutir a concepção de número de Piaget no contexto da distinção que ele fez entre três tipos de conhecimentos: físico, lógico-matemático e social (con-vencional). Ele os classificou de acordo com suas fontes básicas e modos de estruturação. Número é um exemplo de conhecimento lógico-matemático. Discutiremos o aspecto lógico-matemático do número, primeiro comparan-do com o conhecimento físico e depois com o social (convencional).

Conhecimento físico e lógico-matemático são os dois tipos principais de conhecimentos tidos por Piaget. Conhecimento físico é o conhecimento dos objetos na realidade externa. A cor e o peso de uma ficha são exemplos de propriedades físicas que fazem parte dos objetos e podem ser notadas pela observação. Saber que uma ficha cairá quando a jogamos no ar é também um exemplo de conhecimento físico.

Conhecimento lógico-matemático, por outro lado, consiste em relaciona-mentos feitos pelo indivíduo. Por exemplo, quando nos mostram uma ficha vermelha e uma azul e notamos que são diferentes; essa diferença é um exemplo do fundamento do conhecimento lógico-matemático. Na verdade, podemos observar as fichas, mas a diferença entre elas não. A diferença é


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uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que faz o relacionamento entre os dois objetos. A diferença não está na ficha vermelha ou na azul e se uma pessoa não puser os dois objetos dentro dessa relação, a diferença não existirá para ela.

Outros exemplos de relações que o indivíduo pode fazer entre as fichas: “semelhança”, “igualdade em peso” e “dois”. Tanto é certo dizer que as fichas são semelhantes como diferentes. A relação que um indivíduo faz depende dele. Sob um certo ponto de vista, as fichas são diferentes e, sob outro, são semelhantes. Se o indivíduo quiser comparar peso, pode dizer que as fichas são iguais (em peso). Se ele quiser ver os objetos numericamente dirá que são “dois”. Pode-se observar as duas fichas, mas não o “2”. Número é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo4.

A criança segue adiante para construir o conhecimento lógico-matemáti-co coordenando as simples relações que ela criou antes entre os objetos. Por exemplo, coordenando as relações “igual”, “diferente” e “mais”, a criança se torna capaz de deduzir que há mais fichas no mundo do que somente fichas verme-lhas, da mesma forma que há mais animais do que vacas. Da mesma forma, coordenando a relação entre “2” e “2” ela deduz que 2 + 2 = 4 e 2 x 2 = 4.

Piaget, assim, reconheceu fontes externas e internas de conhecimento. A fonte do conhecimento físico (assim como social) e “em parte”,5 externa ao indivíduo. A fonte de conhecimento lógico-matemático, ao contrário, é in-terna. Essa afirmação será esclarecida pela discussão sobre dois tipos de abs-tração através dos quais a criança constrói o conhecimento físico e lógico- -matemático.

4 Eu digo que “2” não é um bom número para ilustrar a natureza lógico-matemática do número. Piaget fez uma distinção entre números perceptuais e números. Números perceptuais são números pequenos, até 4 ou 5, que podem ser distinguidos por percepção, sem neces-sitar da estrutura lógico-matemática. Até alguns pássaros podem ser treinados para distinguir entre “oo” e “ooo”. Con tudo, a distinção entre “ooooooo” e “oooooooo” é impossível por percepção. Números pequenos maiores do que 4 ou 5 são chamados números elementares. O tra-balho de conservação descrito acima usa 7 ou 8 objetos e envolve número elementar. Embora “2” seja um número perceptual, também pode ser um número lógico-mate mático para um adulto que já construiu o sistema inteiro de nú meros lógico-matemáticos. Escolhi o número “2” nesse exemplo apesar do problema de números perceptuais porque, com 2 fichas, posso ilustrar outros relacionamentos simples, tais como “dife rente”, “igual” e “igual em peso”.5 Meu motivo para dizer “em parte” se torna claro quando discuto os termos abstração empí rica e reflexiva.

Dicas de estudoLer o livro: A Criança e o Número.

Autora: Constance Kamii.



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Editora: Papirus.

A autora apresenta uma análise fundamentada na teoria de Piaget sobre as relações da criança com o número.

Atividades1. Discuta como a classificação e a seriação se fundem no conceito de número.

Registre as conclusões.

2. Quais são as propriedades fundamentais da seriação? Exemplifique cada uma usando o conjunto dos números naturais.

3. Qual a relação existente entre a cardinalidade e a ordinalidade dos números na construção do conceito de número?



As crianças adquirem o conhecimento lógico-matemático por um pro-cesso de construção, ação, de dentro para fora. Esse processo não se dá por internalização, de fora para dentro, e, segundo Piaget (apud KAMII,1995), não se dá por transmissão social. Piaget distingue três tipos de conhecimen-tos para que se compreenda melhor o conhecimento lógico-matemático.

Conhecimento físicoRefere-se aos objetos do mundo exterior. As propriedades físicas de

um objeto, como um botão: sua cor e seu peso são conhecimentos empí-ricos, adquiridos por meio da observação. Saber que esse botão pode cair de suas mãos ao soltá-lo, também é um exemplo de conhecimento físico.

Kamii (1995) afirma que a fonte do conhecimento físico está apenas em parte nos objetos, porque, mesmo para ler uma cor de um objeto, faz-se necessária uma estrutura lógico-matemática. Para distinguir a cor verme-lha num objeto, precisa-se de uma estrutura que faça pensar nas demais cores, e delas distinguir o vermelho.

Conhecimento socialSegundo Kamii e Declark (1986), o Natal, dia 25 de dezembro, é exem-

plo de um conhecimento social, pois é apenas uma das convenções esta-belecidas socialmente. Uma cadeira chamar-se “cadeira” também é exem-plo de conhecimento social.

A característica principal do conhecimento social, segundo o episte-mólogo Jean Piaget, “é que sua natureza é preponderantemente arbitrá-ria” (KAMII, 1995, p. 21). Arbitrário, porque alguns povos o comemoram, enquanto outros não. Portanto, não há qualquer relação de natureza física

Conhecimento lógico-matemático


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ou lógico-matemática entre o objeto e a sua denominação. Conhecimentos como estes são passados pela transmissão de uma pessoa para outra ou entre pessoas de diferentes gerações.

Para construir conhecimentos sobre o mundo físico, uma criança precisa de es-trutura lógico-matemática, necessitando também dessa estrutura para adquirir co-nhecimentos sociais. Não poderíamos pensar em Natal sem classificá-lo em relação aos demais dias do ano. Outro exemplo de construção social, citado por Kamii, é a distinção que as crianças fazem ao usar certas palavras, pois aprendem, pela trans-missão social, que não são socialmente aceitas e, portanto, não devem usá-las.

Conhecimento lógico-matemáticoNa concepção de Piaget, diferentemente dos outros conhecimentos, o conhe-

cimento lógico-matemático consiste em relações criadas pelo sujeito. Ele exem-plifica esse conhecimento com a diferença constatada quando nos deparamos com duas contas, uma vermelha e outra azul. Essa diferença é criada mentalmente quando o indivíduo relaciona os objetos. A diferença não está na conta vermelha nem na azul. Ele percebe a diferença porque as coloca uma em relação à outra.

Pode-se dizer que essas duas contas são “parecidas”, se for levado em consi-deração seu peso. Porém, também é possível dizer que são “diferentes”, se forem consideradas as cores das contas. Tanto é correto dizer que elas são parecidas quanto que são diferentes, dependendo das relações estabelecidas pelos sujei-tos. Se o objetivo é numérico, observa-se que são “duas”, e número é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo.

Para Piaget (apud GARDNER, 1994), todo conhecimento e, em particular, o conhecimento lógico-matemático, deriva das nossas ações sobre o mundo. A base para todas as formas lógico-matemáticas de inteligência depende inicial-mente da manipulação de objetos. No entanto, essas ações também se realizam mentalmente e são internalizadas depois de algum tempo.

O objetivo das pesquisas de Jean Piaget (1896-1980), em Psicologia do Desen-volvimento e Epistemologia Genética, segundo Brito e Garcia (2001), foi o de veri-ficar o desenvolvimento do conhecimento. Piaget descreveu o desenvol vimento cognitivo em termos lógico-matemáticos, utilizando um método clínico e críti-co. Observou, em situações experimentais e ambientes naturais, sujeitos desde a infância até a adolescência. Com seus estudos, Piaget percebeu que o conheci-mento se desenvolve mediante uma construção progressiva das estruturas lógi-



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cas, embora a lógica e a forma de pensar da criança e do adulto sejam diferentes. Todo seu estudo tem origem em pressupostos biológicos bem determinados, que se relacionam com os conceitos de adaptação, organização, formação de es-trutura e a tendência de autorregulação dos seres vivos. O estudo não foi apenas uma analogia entre o desenvolvimento biológico e o desenvolvimento cogniti-vo. Para Piaget, o desenvolvimento cognitivo se produz por meio da adaptação dos organismos ao meio. O autor utiliza o termo “invariantes” para os processos constantes encontrados durante o desenvolvimento, ou seja, para a adaptação e a organização. Devido à tendência biológica dos seres vivos à autorregulação, são desenvolvidos certos mecanismos adaptativos envolvendo novas organiza-ções, que levam a uma mudança interna, além das novas interações com o am-biente, chamadas de assimilação e acomodação.

A assimilação é o processo por meio do qual os esquemas internos são apli-cados sobre o objeto. Esse objeto passa a ser conhecido pelo indivíduo somente quando for assimilado por um ou mais esquemas. A acomodação consiste na modificação dos esquemas internos como resultado de uma experiência ativa com os objetos, levando em conta qualidades particulares destes. Não apenas Piaget mas também outros teóricos da cognição alegam que entre o meio e as respostas do indivíduo existem estruturas que determinam os comportamentos deste. Esquemas, operações e estruturas são conceitos estabelecidos por Piaget seguindo essa mesma linha. São esses três elementos que, quando mudam, despregam-se e se reorganizam durante o desenvolvimento, dando origem às nossas possibilidades intelectuais.

Piaget descreveu a sequência das etapas pelas quais os seres humanos passam durante seu desenvolvimento cognitivo. Essas etapas seguem as mesmas sequên-cias em todos os seres, embora não se deem necessariamente na mesma faixa etária. Uma nova forma de organização cognitiva, ou seja, nova estrutura, implica numa mudança de etapa e também maior equilíbrio – forma superior de adaptação.

Abstração empírica e abstração reflexiva

Abstração empíricaPara Piaget, a abstração de número é muito diferente da abstração de cor dos

objetos, chamada por ele de abstração empírica ou simples. Para a abstração de número, usou o termo abstração reflexiva.


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Na abstração empírica, a criança se concentra numa certa propriedade do objeto e ignora as demais. Ao centrar-se na cor, acaba deixando de lado peso, material do qual é feito etc.

Abstração reflexiva ou construtivaA abstração reflexiva, diferentemente da abstração empírica, envolve a cons-

trução de uma relação entre objetos. Relações não têm uma existência na re-alidade externa. A abstração reflexiva é uma construção verdadeira feita pela mente, e não uma concentração sobre um determinado objeto. No entanto, na realidade psicológica da criança, uma não existe sem a outra. A relação de “dife-rente” não existe se a criança não observar diferentes propriedades nos objetos. O mesmo acontece com a relação “cinco”, que não poderia ser construída se a criança pensasse que objetos separados se comportam como gotas de água que juntas formam um todo novamente.

Como dito anteriormente, a construção do conhecimento físico só é possível porque a criança possui uma estrutura lógico-matemática que possibilita novas observações em relação ao conhecimento que ela já tem. Para uma criança re-conhecer que um peixe é vermelho, ela precisa reconhecer e diferenciar o ver-melho de outras cores e o peixe de outros objetos. Portanto, para que ela seja capaz de “ler” fatos da realidade externa, precisa de estrutura lógico-matemática construída pela abstração reflexiva ou construtiva.

A abstração reflexiva não se manifesta independente da abstração empírica no período sensório-motor e pré-operacional. Mais tarde, isso se torna possível se ela construir o número por abstração reflexiva, podendo operar com números e fazer 3 + 3 e 3 x 2 também por abstração reflexiva.

Os dois tipos de abstrações até agora apresentados podem parecer sem grande importância enquanto uma criança está aprendendo números pequenos e até dez. No entanto, quando ela aprende números como 999 e 1 000 quando já não dispõe desses números de objetos ou fotografias, a situação fica mais difícil. Assim, por meio de abstração reflexiva, a criança constrói relações, números são aprendidos, e então pode entender números bem maiores, apesar de não tê-los visto antes.

O ensino da Matemática, ao longo dos anos, vem priorizando os conheci-mentos físicos e sociais, deixando um pouco de lado o conhecimento lógico- -matemático, cuja fonte é interna. Considera-se que para aprender numeração,



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basta observar quantidades e escrever os numerais correspondentes, repetidas vezes. O conhecimento lógico-matemático evolui quanto mais relações o indi-víduo consegue coordenar. No caso do número, é necessária a coordenação das relações de ordenação mentalmente.

Por outro lado, as pesquisas mostram quanto conhecimento matemático que a criança traz para a escola acaba não sendo aproveitado, pelo professor, para fazê-la avançar. Muitas vezes, professores têm em sala alunos que trabalham vendendo balas ou frutas, acostumados a calcular, que esquecem sua experiên-cia no momento de fazer exercícios mecânicos.

Por inexperiência, os adultos se esquecem de que a Matemática, como a lin-guagem, são construções humanas de muitos anos. E é com um ambiente propí-cio à reflexão que o aluno será capaz de tirar melhor proveito das aulas.

Para o conhecimento lógico-matemático, são grandes as vantagens do jogo em grupo, na sala de aula, tanto do industrializado como do produzido artesanal-mente, e uma atividade lúdica e agradável normalmente sempre será bem-vinda para as crianças. Muitos professores concordam em utilizar o jogo, mas apenas para lazer, depois de terminados os chamados “trabalhos de aula”, esquecendo--se de seu lado educativo.

O jogoPropicia diversificação na abordagem dos diferentes assuntos. Há vários �jogos envolvendo números e as quatro operações matemáticas, possibili-tando diversas maneiras de interagir com esses objetos do conhecimento.

Estimula o pensamento, uma vez que para participar não basta estar pre- �sente, mas estar atento às situações que se renovam a cada momento. Embora a criança apresente um comportamento mais individualista, não deixa de ajudar os amigos, mesmo querendo chegar sempre em primeiro lugar, enquanto que as maiores procuram estratégias cada vez mais ela-boradas para vencer.

Promove a socialização a partir das regras, mesmo as mais simples, desti- �nadas a crianças com menos experiência. Durante o jogo acontecem dis-cussões, debates, troca de ideias, confronto de opiniões, numa verdadeira situação de interação, e tomam-se decisões que colaboram para a cons-trução do conhecimento.


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Permite avanços na construção do número, sempre que envolve quanti- �dades variadas, contando-as, comparando-as, ordenando-as, estabele-cendo correspondência, identificando suas formas de representação e fazendo operações.

Em alguns casos, obriga ao registro de pontos, permitindo que os alunos �encontrem a melhor forma de elaborá-lo, demonstrando todo o conheci-mento que possuem.

Texto complementar

Os Blocos LógicosOs Blocos Lógicos, material pedagógico geralmente feito de madeira, é

composto por 48 peças com as seguintes especificações:

forma quadrada grande grossa vermelhaforma quadrada grande grossa amarelaforma quadrada grande grossa azul

forma quadrada grande fina vermelhaforma quadrada grande fina amarelaforma quadrada grande fina azul

forma quadrada pequena grossa vermelhaforma quadrada pequena grossa amarelaforma quadrada pequena grossa azul

forma quadrada pequena fina vermelhaforma quadrada pequena fina amarelaforma quadrada pequena fina azul

forma triangular grande grossa vermelhaforma triangular grande grossa amarelaforma triangular grande grossa azul

forma triangular grande fina vermelhaforma triangular grande fina amarelaforma triangular grande fina azul

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Dicas de estudoLer o livro: Blocos Lógicos.

Autora: Ursula Marianne Simons.

Editora: Vozes.D

ivul

gaçã

o Vo

zes.

A autora apresenta muitos exercícios com os Blocos Lógicos que estimulam a verbalização e a argumentação lógica da criança.

Atividades1. Diferencie os três tipos de conhecimentos apresentados no texto, exemplifi-

cando cada um deles.


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2. Em relação às peças lógicas, quantas são as formas? Quantas são as cores? Quantas são as espessuras? Quantos são os tamanhos? Isso auxilia na deter-minação do número de peças?



Houve um tempo em que o homem não sabia contar e, ainda hoje, al-gumas tribos indígenas contam com apenas dois nomes de números. Eles utilizam dois-um para expressar o três e dois-dois para expressar o quatro. Quando querem expressar muitos, apontam para sua cabeça como sinal de inúmeros, tal qual é o número de fios de cabelo da cabeça. A ideia de número não é concebida como abstração, e é, portanto, para eles bastante confusa. Tribos como essas não percebem que conjuntos de, por exemplo, cinco cavalos, cinco flechas, cinco peixes apresentam uma característica comum, que é “ser cinco”.

O homem de épocas remotas apenas percebia o espaço ocupado pelos seres e objetos vizinhos e, por isso, estabelecia diferença entre a unidade, o par e muitos. O um e o dois foram os primeiros conceitos numéricos concebidos pelo homem. Segundo Ifrah (1989), o um se referia ao homem ativo e sua obra de criação; o dois, ao feminino, ao masculino e também à simetria aparente do corpo humano. Outros significados eram atribuídos a esses dois números usados nas sociedades primitivas.

Inúmeras civilizações retratam, por meio de sua língua e escrita, as limi-tações primitivas da contagem. O significado dos números um, dois e três quase sempre se referiam ao singular, a um par e a muitos, respectivamen-te, como já mencionado anteriormente.

Estudos do comportamento humano demonstram que, no desenvol-vimento da criança, encontram-se essas etapas do desenvolvimento da inteligência da humanidade; portanto, a criança, inicialmente, também percebe apenas o um, o dois e a pluralidade.

Embora contar seja um atributo exclusivo do ser humano, pesquisas mostram que é possível notar o senso numérico de certos pássaros, como é o caso do corvo, o qual demonstra a percepção de até quatro objetos.

O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal


56


Não é difícil constatar que, quando o homem se depara com uma quantidade de objetos, esta é rapidamente percebida se não ultrapassar três ou quatro itens. Quando ultrapassa, o homem precisa fazer a contagem, porque nossa visão global não distingue, num golpe de vista, quantidades maiores. Dependendo da posição que os objetos são colocados, podem-se perceber outras quantidades, mas nunca muito maiores do que quatro objetos.

Várias civilizações, ao representarem quantidades, faziam traços verticais, cír-culos, pontos e outros sinais. Algumas delas juntavam para formar grupos de três unidades. No entanto, quando houve a influência dos cinco dedos da mão, os agrupamentos passaram a ser de cinco em cinco. Esses agrupamen-tos eram de um traço vertical para o um, dois para o dois, três para o três, quatro para o quatro; e quatro traços verticais e um horizontal cortando-os, para indicar cinco unidades.

Para o dez, usavam dois grupos da representação utilizada para o cinco. Ifrah (1989) afirma que mais uma vez fica clara a ideia de que a percepção do homem não vai além do número quatro.

A correspondência termo a termo auxiliou na contagem. O princípio da cor-respondência das pedrinhas para cada ovelha utilizadas pelos pastores, o rosário de contas para auxiliar as pessoas a fazerem as orações, os entalhes na madeira para os carneiros e nós na corda já eram demonstrações do emprego da corres-pondência biunívoca.

Eram utilizadas, também, partes do corpo para expressar quantidades duran-te a contagem, como dedo, pulso, cotovelo, ombro etc. Essas civilizações podem desconhecer um determinado número; no entanto, são capazes de representar a quantidade correspondente quando se deparam com situações que exigem essa prática.

Alguns indígenas conseguiram chegar a números relativamente elevados, mesmo sem o conhecimento deles, porque utilizavam a associação de partes do corpo e objetos concretos. Exemplo: peles de animais e partes do corpo que, numa combinação, expressavam números maiores.



57

Nesses últimos exemplos, já não se estava mais utilizando correspondência termo a termo, prosseguindo assim um desenvolvimento na forma de contar e representar a contagem por meio de agrupamentos.

A invenção da baseFoi a partir da distinção entre o número cardinal e o número ordinal que o

homem fez a abstração dos números. Contas, conchas, pedrinhas etc. deixaram de ser simples instrumentos materiais para serem símbolos numéricos. A seguir, o homem passou a conceber conjuntos mais extensos e, dessa forma, deparou-se com outras e novas dificuldades, pois para representar números maiores não era possível multiplicar indefinidamente pedras, nós nas cordas etc. Dedos e outras partes do corpo não eram suficientes para representar quantidades extensivas. Surge, então, a ideia de bases, uma forma fácil de representar os números.

Base 10Muito diferentes dos pastores primitivos, os pastores da África Ocidental, não

muito tempo atrás, contavam o rebanho colocando uma concha num fio de lã branca até o décimo animal do rebanho. Quando chegavam ao décimo, desman-chavam esse colar de conchas e colocavam uma concha num fio de lã azul. Isso se relaciona com a ideia de dezena. Recomeçavam, a partir daí, a colocar uma concha para cada animal na lã branca novamente, até atingir o vigésimo animal. Quando isso acontecia, desfaziam esse colar e colocavam a segunda concha no fio de lã azul. Procediam assim até obter dez conchas no fio de lã azul. Então, des-faziam esse colar e colocavam uma concha num fio de lã vermelha (centena).

Dessa maneira, podemos perceber que a forma de raciocinar desses pastores era muito diferente da forma dos pastores primitivos. A ideia básica está na uti-lização de agrupamentos por dezenas e centenas. Assim, cada concha colocada no fio de lã branca representava uma unidade, cada concha colocada no fio de lã azul representava dez unidades (dezena) e cada concha colocada no fio de lã vermelha representava cem unidades, o que equivale a dez dezenas, ou uma centena, técnica essa, hoje, chamada de emprego da base dez.


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São várias as línguas que, para designar os números superiores a dez, utilizam--se da composição correspondente a dez-um, dez-dois, dez-três e assim suces-sivamente, até o número dezenove. Para o vinte, utilizam dois-dez; para o trinta, três-dez, até chegar ao noventa. Para o número duzentos usam dois-cem etc.

Atualmente, utilizamos o sistema de numeração indo-arábico, de base dez. Os símbolos empregados por esse sistema são 1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 8, 9 e 0. Os nove primeiros símbolos representam as unidades e o último a ideia de ausência. É por isso que dez é representado por 10, o que representa uma dezena e zero unidades.

Vejamos outros exemplos:

Quinze é representado por 15, um grupo de 10 (ou uma dezena) e mais �cinco unidades.

Trinta e oito é representado por 38, três grupos de 10 (ou três dezenas) e �mais oito unidades.

3 dezenas = 10 + 10 + 10 = 30

30 + 8 = 38

Noventa e nove é representado por 99, nove grupos de 10 (ou nove deze- �nas) e mais nove unidades.

9 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 90

90 + 9 = 99

Se acrescentarmos 1 à quantidade 99, temos que utilizar mais uma ordem: 100.

Cem é representado por 100, um grupo de grupo de 10 (ou uma cente- �na).

Cento e quarenta e seis é representado por 146, um grupo de grupo de �10 (ou uma centena), mais quatro grupos de 10 (ou quatro dezenas) e seis unidades.

1 centena = 100

4 dezenas = 10 + 10 + 10 + 10 = 40

100 + 40 + 6 = 146



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Essa mesma ideia está presente quando utilizamos outras ordens.

Segundo Ifrah (1989, p. 59), “foram mesmo os dez dedos que impuseram ao homem a ideia de grupos por feixes de dez”. O autor afirma que, se a natureza tivesse feito o homem com seis dedos em cada mão, por certo a base utilizada hoje seria a base doze; ou se tivéssemos quatro dedos em cada mão, como é o caso das rãs, nosso sistema de numeração seria fundado na base oito.

Algumas civilizações tiveram sistemas de numeração fundados em outras bases, como é o caso do sistema sexagesimal dos babilônios; da base vintesimal dos ioruba, da Nigéria, de alguns povos da África Central e outros; da contagem duodecimal (12) dos sumérios etc.

Desses povos, ainda restam nos nossos dias vestígios de seus sistemas de nu-meração, como é o caso da medida de tempo – em horas, minutos, segundos – e das medidas de arcos e ângulos – em graus, minutos e segundos. Sumérios e depois babilônios utilizaram a base sessenta. Não se conhece a real origem desse sistema de numeração; no entanto, segundo alguns historiadores, essa base foi usada em função do número de dias do ano ser, aproximadamente, 360, dando origem à divisão do círculo em 360º, que poderia ser dividido em seis partes iguais, fazendo coincidir a mesma medida para o arco correspondente ao sexto do círculo e à medida do seu raio.

Outra possibilidade da origem da base sessenta vem da possível combinação das doze falanges dos dedos da mão direita e os cinco dedos da mão esquerda, mas não se tem confirmação dessa hipótese.

Em uma ou outra base, a descoberta fundamental do princípio de base repre-sentou grande importância na história das civilizações, favorecendo inúmeras criações, invenções e revoluções em diversos campos, como na economia, em trocas comerciais etc.

A invenção dos algarismos denominados arábicos foi um dos grandes aconte-cimentos na história da humanidade, comparado ao domínio do fogo. Segundo Ifrah (1989), a escrita e a invenção desses algarismos contribuíram para modifica-ções na existência humana. A invenção dos algarismos, segundo o mesmo autor,

surgiu para permitir uma notação perfeitamente coerente de todos os números e para oferecer a qualquer um (mesmo aos espíritos mais fechados à aritmética) a possibilidade de efetuar qualquer tipo de cálculo sem ter de recorrer a acessórios como a mão, contador mecânico ou a tábua de contar. (1989, p. 131)


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Vale lembrar que a invenção do zero, muito mais tarde, tornou realizável cál-culos que até então não eram possíveis de ser feitos.

A humanidade já tinha passado por diferentes experiências para tentar repre-sentar e manipular os números, antes de chegar aos algarismos que vieram a ser tão eficazes – os algarismos arábicos.

Antes do emprego de tais algarismos, o homem utilizou marcas em placas de argila mole, em que diferentes sinais representavam diferentes ordens de seus sistemas de numeração. Placas com esses registros, chamadas calculi, foram en-contradas em muitos sítios arqueológicos do Oriente Próximo.

No entanto, essa forma de representação ainda era precária e precisava ser aprimorada. Muitas formas, usando sistema de base, foram empregadas pelas ci-vilizações ao longo da história. Algumas civilizações utilizaram-se do sistema de numeração não-posicional, o que levava a não importar a posição dos símbolos para representar um número, como é o caso da civilização egípcia.

Mais tarde (séculos IX-VIII a.C.), gregos e romanos desenvolveram seus siste-mas de numeração bem mais evoluídos, mas ainda complicados quando se pre-tendia operar com tais representações. O sistema romano era regido pelo princí-pio da adição, pois sua justaposição de símbolos implicava na soma dos valores correspondentes a esses símbolos. Posteriormente, os romanos acabaram com-plicando o seu sistema de numeração, quando introduziram a regra segundo a qual todo signo numérico colocado à esquerda de um algarismo de valor supe-rior era dele retirado. Por exemplo, o quatro era expresso por IV, ou seja, cinco menos um (princípio da subtração). A pouca praticidade do sistema romano o fez ficar em plano inferior ao sistema que surgiu muito tempo depois, na Índia.

O aparecimento do zeroDos três povos que descobriram o princípio de posição – babilônios, chineses

e maias, utilizando uma quantidade bem menor de símbolos – apenas os babi-lônios e os maias inventaram o zero. Mas esse novo símbolo ainda não vinha representar a ausência de unidades. Fez-se, então, com que esses três sistemas posicionais permanecessem impróprios à prática das operações aritméticas.

Foi na Índia, por volta do século V d.C., que nasceu o ancestral do sistema de numeração praticado hoje. Foi proclamado pelos árabes, mas surgiu no norte da Índia.



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Essa civilização já utilizava os nove primeiros algarismos, que correspondem hoje a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, desde o século III a.C., que, erradamente, denomina-mos arábicos. Até que se chegasse ao sistema tal como é hoje, houve muito de-senvolvimento. Existiu época em que, para expressarem números grandes, eles os exprimiam por extenso, o que os ajudou a descobrir o princípio posicional e o zero. Diferentemente do que fazemos hoje, para três mil, setecentos e nove, escreviam: nava sapata sata ca trisahasra (nove, setecentos e três mil). Para as potências de dez, escrevia-se o seguinte:

10 – dasa, 100 – sata, 1 000 – sahasra, 10 000 – ayuta

Assim, para escrever 51 636, escreviam 6, 3 dasa, 6 sata, 1 sahasra, 5 ayuta. Porém, não era suficiente, e novos avanços eram necessários. Foi então que as-trônomos e matemáticos, para escrever 7 629, passaram a expressar-se por meio de um enunciado do gênero “nove, dois, seis, sete”, e essa numeração oral os fez perceber uma escrita posicional, que representa 9 + 2 x 10 + 6 x 100 + 7 x 1 000. Assim “um, um” representava uma unidade e uma dezena – o 11 de hoje. Ao ex-pressar o número 205, perceberam que não bastava dizer cinco, dois. Dessa ma-neira, começaram a utilizar a palavra sunya, que quer dizer vazio. Dessa forma, 205 era enunciado da seguinte forma: cinco, vazio, dois, pois como maias e ba-bilônios, haviam acabado de inventar o zero. Isso se deu por volta do século V desta era.

Para as unidades de 1 a 9, dispunham de algarismos distintos e independen-tes e já conheciam o princípio de posição e também o zero. Como os números eram expressos em sânscrito, língua hindu, precisavam agora ser representados apenas por símbolos.

Esse sistema de numeração foi expandido além das fronteiras da Índia e, devido ao comércio de seda, especiarias e marfim com a China, atingiu outros povos.

Sábios, que também eram poetas, buscaram na natureza e na mitologia ins-piração para os símbolos, que podem enumerar grandes listas de significados para cada um deles. Assim, as tábuas numéricas ou astronômicas eram guarda-das na memória com maior segurança. A forma gráfica dos algarismos hindus ficou ainda, durante muitos séculos, pouco precisa, e copistas cometiam erros ao transcrever certos símbolos. Foi então que o ritmo das palavras-símbolo em forma de verso ajudou a eliminar os erros da transcrição. Por outro lado, esses símbolos foram ganhando maior definição e, aos poucos, chegaram ao que hoje toda a humanidade utiliza.


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Texto complementar

A lenda de Sessa(IFRAH, 1989, p. 288-292)

Para provar a seus contemporâneos que um monarca, por mais poderoso que seja, não é nada sem seus súditos, um brâmane hindu, chamado Sessa, inventou um dia o jogo de xadrez.

Quando esse jogo foi apresentado ao rei das Índias, este ficou tão maravi-lhado com a sua engenhosidade e a grande variedade de suas combinações que mandou chamar o brâmane para recompensá-lo pessoalmente:

– Quero recompensar-te por tua extraordinária invenção – disse o rei.

– Escolhe tu mesmo a recompensa e a receberás imediatamente. Sou su-ficientemente rico para realizar teu desejo mais absurdo.

O sacerdote pediu que o rei lhe desse um pouco de tempo para pensar em sua resposta. E, no dia seguinte, espantou a todos com a incrível modés-tia de seu pedido.

– Meu bom soberano – exclamou ele –, queria que me désseis a quan-tidade de trigo necessária para encher as 64 casas de meu tabuleiro. Um grão para a primeira, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta, dezesseis para a quinta, e assim por diante. Em resumo, queria que fosse colocado em cada casa o dobro de grãos que na casa precedente.

– Não acredito que sejas tão tolo a ponto de me fazer um pedido tão mo-desto! – exclamou o rei, surpreso. – Poderias ofender-me com um pedido tão indigno de minha benevolência e tão desprezível diante do que eu poderia oferecer-te. Mas que seja! Se é este o teu desejo, meus servidores trarão teu saco de trigo antes do cair da noite.

O brâmane sorriu e deixou o palácio.

À tarde, o soberano se lembrou da promessa e se informou com seu ministro para saber se o louco Sessa tinha tomado posse de sua magra recompensa.



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– Soberano – disse o alto dignitário –, vossas ordens estão sendo executa-das. Os matemáticos de vossa augusta corte estão determinando o número de grãos que devem ser dados ao sacerdote.

O semblante do rei se obscureceu. Ele não estava habituado a uma execu-ção tão morosa de suas ordens.

À noite, antes de se deitar, o rei insistiu uma vez mais para saber se o brâ-mane já recebera seu saco.

– Ó rei – disse o ministro, hesitante –, os matemáticos ainda não chega-ram ao fim de suas operações. Estão trabalhando sem descanso e esperam terminar sua tarefa antes do amanhecer.

É preciso notar que os cálculos se revelaram muito mais longos do que se pensava. Mas o rei não quis saber de nada, e ordenou que o problema fosse resolvido antes de seu despertar.

Mas, no dia seguinte, esta ordem ainda ficou sem efeito, o que incitou o monarca enfurecido a despedir os calculadores.

Nesse momento, um dos conselheiros do monarca interveio:

– Ó soberano, tendes razão de despedir estes calculadores incompeten-tes. Eles utilizaram métodos muito antigos. Ainda estavam usando as possi-bilidades numéricas de seus dedos e as colunas sucessivas de uma tábua de contar. Disseram-me que os calculadores da província do noroeste do reino empregam já há algum tempo um método bem superior e mais rápido que o deles. Parece que é mais rápido e mais fácil de guardar. Operações que exigiriam de teus matemáticos vários dias de trabalho difícil representariam, para estes de quem vos falo, um trabalho de algumas horas!

Seguindo esses conselhos, foi chamado um desses engenhosos matemá-ticos, que, após ter resolvido o problema em tempo recorde, se apresentou ao rei para comunicar o resultado.

– A quantidade de trigo pedida – disse num tom grave – é imensa.

Mas o rei retorquiu que, por maior que ela fosse, seus celeiros não seriam esvaziados.

Estupefato, ouviu então do sábio as seguintes palavras:


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– Ó soberano, apesar de toda a vossa potência e riqueza, não está em vosso poder oferecer uma tal quantidade de trigo. Ela está muito além do conhecimento e do uso de que dispomos dos números. Saibais que, mesmo se esvaziásseis todos os celeiros de vosso reino, o resultado obtido seria des-prezível em comparação com esta enorme quantidade. Aliás, ela não pode ser encontrada nem no conjunto de todos os celeiros da Terra. Se desejais de fato oferecer esta recompensa, será preciso começar secando os rios, os lagos, os mares e os oceanos, depois derreter a neve e as geleiras que reco-brem as montanhas e certas regiões do mundo e transformar, enfim, tudo em campo de trigo. E só depois de ter semeado setenta e três vezes seguidas o total desta superfície podereis saldar esta pesada dívida. Mas, para uma quantidade desta ordem, seria preciso armazenar um volume de trigo de quase doze bilhões e três milhões de metros cúbicos e construir um celeiro de cinco metros de largura, dez de comprimento e... trezentos milhões de quilômetros de profundidade (ou seja, uma altura igual a duas vezes a dis-tância da Terra ao Sol)!

– Na verdade – acrescentou o sábio –, os grãos de trigo que este brâmane nos pediu são exatamente em número de 18 446 744 073 709 551 615.

Depois, o calculador explicou ao soberano as características da numera-ção revolucionária dos sábios de sua região natal, ensinando-lhe em seguida os métodos de cálculo correspondentes, além de lhe fornecer nos seguintes termos a justificação de seus próprios cálculos:

– De acordo com o pedido do brâmane, seria preciso colocar:

1 grão de trigo na primeira casa;

2 grãos na segunda;

4 grãos (ou seja, 2 x 2) na terceira;

8 grãos (ou seja, 2 x 2 x 2) na quarta;

16 grãos (ou seja, 2 x 2 x 2 x 2) na quinta;

e assim por diante, multiplicando sempre por 2 de uma casa para a outra. Assim, na 64.ª casa seria preciso colocar tantos grãos quantas unidades há no resultado de 63 multiplicações sucessivas por 2 (isto é, 263 grãos). A quantida-de pedida é, consequentemente, igual à soma desses 64 números (ou seja: 1 + 2 + 22 + ... + 263).



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– Se acrescentássemos um grão a este número – prosseguiu o calculador –, haveria grãos na primeira e 2 vezes 2 grãos nas duas primeiras. Na terceira, haveria então (2 x 2 + 2 x 2) grãos de trigo, isto é, 2 vezes 2 vezes ao todo. Na quarta, o total seria (2 x 2 x 2 + 2 x 2 x 2 ), isto é, 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 grãos. Procedendo deste modo, de um em um chegareis a um total igual ao resultado de 64 multiplicações sucessivas por 2 (ou seja, 264). Ora, este número é igual ao produto de 6 vezes o produto de 10 multiplicações suces-sivas por 2, sendo ele mesmo multiplicado pelo número 16.

(264 = 210 x 210 x 210 x 210 x 210 x 210 x 24

= 1 024 x 1 024 x 1 024 x 1 024 x 1 024 x 1 024 x 16

= 18 446 744 073 709 551 615).

– E – concluiu ele –, como este número foi obtido acrescentando uma unidade à quantidade procurada, o total de grãos é então igual a ele pró-prio menos um grão. Se efetuarmos as operações precedentes segundo o método que vos ensinei, podereis ficar certo, ó soberano, de que a quanti-dade de grãos pedida é exatamente de dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil, seiscentos e quinze!

– Decididamente – respondeu o rei, muito impressionado –, o jogo deste brâmane é tão engenhoso quanto é sutil o seu pedido! Quanto a teus méto-dos de cálculo, sua simplicidade iguala à sua eficácia. Diga-me, agora, sábio homem, o que é preciso fazer para pagar uma dívida tão incômoda?

O outro refletiu um instante e disse:

– Fazer este brâmane esperto cair na própria armadilha. Proponha-lhe vir contar pessoalmente, grão por grão, toda a quantidade de trigo que ele teve a audácia de pedir. Mesmo se ele trabalhasse sem descanso dia e noite, à razão de um grão por segundo, só recolheria um metro cúbico em seis meses, uns vinte metros cúbicos em dez anos e... uma parte inteiramente insignificante pelo resto de sua vida!...


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Dicas de estudoLer o livro: Os Números – a história de uma grande invenção.

Autor: Georges Ifrah.

Editora: Globo.

Div

ulga

ção

Glo

bo.

Apresenta a evolução do raciocínio de nossos ancestrais desde a Pré-História, passando por civilizações como a dos egípcios, babilônios, fenícios, gregos, ro-manos, hebreus, maias, chineses, hindus e árabes.

Atividades1. Como o homem primitivo contava?



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2. Qual é a origem provável da base 10 no nosso sistema de numeração?

3. Quais são as contribuições dos hindus e dos árabes para o sistema de nume-ração que utilizamos?



Neste texto queremos apresentar parte da história das técnicas com-putacionais ao longo da história.

Segundo Piaget (apud KAMII,1995), o estudo da natureza do conheci-mento humano deveria ser feito com a investigação científica, e não como muitos filósofos faziam, ou seja, por meio de especu lação e debate.

No entanto, fatos sobre a sociogênese pré-histórica e o desenvolvimen-to do conhecimento humano ou são incompletos ou inacessíveis. Piaget então decidiu completar informações disponíveis, que não são muitas, com fatos sobre como as crianças de hoje constroem conhecimentos.

O conhecimento do qual hoje dispomos é resultado de um processo de construção humana ao longo de vários séculos. O autor citado afirma ser possível que haja paralelos entre a maneira como a criança constrói seu conhecimento e a maneira como a humanidade o fez no passado.

Conhecer os paralelos entre a construção da humanidade e a constru-ção da criança é importante, porque nos auxilia a compreender melhor a natureza do conhecimento lógico-matemático e os conceitos de número. Para que a criança aprenda as técnicas computacionais, passa por etapas similares àquelas pela qual passou a humanidade.

Segundo Groza (apud KAMII, 1995), os algoritmos, tais como hoje uti-lizados, são recentes na história da humanidade. Antes deles, as pesso-as utilizavam ábacos, pedrinhas, contas e outros. Só por volta de 1600 o nosso sistema de numeração decimal, indo-arábico, passou a ser aceito como sistema oficial de computação, tomando o lugar do sistema de nu-meração romana.

Discussão de processos e desenvolvimen-to histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais


70


Os romanos utilizavam uma tábua de cálculos que consistia em quatro colu-nas, sendo a primeira a das unidades, a segunda das dezenas, a terceira das cen-tenas e assim por diante, colocando pedras ou contas em cada coluna, conforme o dese nho a seguir:

Representação de 2 365.

Um sistema similar era também utilizado, no entanto, na forma horizontal:


Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais

71

As contas que se encontram na linha onde estão indicados I, X, C,M represen-tam respectivamente unidades, dezenas, centenas, e unidades de milhar. As que se encontram entre estes espaços são sempre cinco vezes a quantidade da ordem abaixo dela. Por isso o número nesta figura representa 2 365. Dois mil representa-do na linha superior da figura (M), o trezentos está representado na linha C, pelas três contas existentes nela. O sessenta está representado por 50 (5 X 10) que se encontra acima da linha X (das dezenas, por isso equivale a 50), mais 1, que se encontra na linha X (das dezenas, por isso equivale a 10) e mais 5, que é represen-tado pela conta que está acima da ordem I (unidade), que equivale a 5 x 1.

Sempre que uma conta ou mais estiver na linha das unidades, dezenas, cen-tenas etc., elas são multiplicadas por 1, 10, 100, ou seja, por uma potência de base 10 e as que estão acima desta linha representam 5 vezes a potência de dez a que ela está posicionada.

A figura anterior também representa 2 365, porém esse sistema utiliza o espaço acima da linha para representar cincos; acima da linha das unidades a pedra, ou conta, representa cinco unidades, acima da linha das dezenas a pedra, ou conta, representa cinco dezenas e assim por diante.

O fato de o homem agrupar objetos de dez em dez e colocar dez contas em fios de lã ou em fio de arame acabou levando-o a construir um ábaco, que ainda é utilizado em muitos países da Ásia.

A figura seguinte mostra o mais moderno ábaco utilizado atualmente no Japão.

Temos representado na figura anterior 2 165. Cada conta acima da linha hori-zontal vale cinco e, abaixo dela, um. Assim, 2 165 é representado por duas contas


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na coluna dos milhares, uma na das centenas, abaixando um cinco e subindo um um na das dezenas e, por último, descendo um cinco na das unidades.

Ainda hoje, no Japão, a adição e a subtração são realizadas no ábaco. Come-çam das ordens maiores e seguem para a direita, até as unidades. Por exemplo: para fazer 1 364 + 999, soma-se primeiramente 900, depois 90, e por último 9, conforme mostra a figura que segue:

Exemplo (1 364 + 999)

1 364

Para adicionar 900, primeiro subtrai-se 100, abaixando uma conta da coluna das centenas e, a seguir, soma-se 1 000, subindo uma conta da coluna do milhar.

1 364 + 900 = 2 264

Para adicionar 90, primeiro subtrai-se 10, abaixando uma conta da coluna das dezenas e, a seguir, soma-se 100, subindo uma conta da coluna das centenas.

2 264 + 90 = 2 354



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Para adicionar 9, primeiro subtrai-se 1, abaixando uma conta da coluna das unidades e, a seguir, soma-se 10, subindo uma conta da coluna das dezenas.

2 354 + 9 = 2 363

Para utilizar o ábaco, é necessário compreender o valor posicional dos algarismos.

Muitos contadores e ábacos foram usados antes que procedimentos compu-tacionais com uso da escrita fossem aperfeiçoados.

Para chegar aos algoritmos que utilizamos hoje, uma variedade de procedi-mentos foram desenvolvidos, sendo que muitos destes se perderam na história e outros estão registrados. Com base em Kamii (1995) e Eves (2002), descreve-mos alguns deles:

Adição

Bháskara, no século XII, utilizava pontos para representar os zeros. Veja o �exemplo a seguir:

155 + 298

8 + 5 = 13 (13), soma das unidades

5 + 9 = 13 (14), soma das dezenas

1 + 2 = 3... (3), soma das centenas

453 (453), soma total

O método de “crivo”, utilizado na Índia, iniciava da esquerda para a direita, �sendo que os resultados obtidos eram escritos acima. Vejamos o exemplo:

155 + 298

4 4 5

3 3 4 3 4 3

1 5 5 1 5 5 1 5 5 453

2 9 8 2 9 8 2 9 8


74


Se esse procedimento fosse feito na areia, os dígitos seriam apagados con-forme eram usados, em vez de serem riscados. Com isso, a escrita ficava mais restrita, conforme mostramos abaixo:

155 355 445 453

298 98 8

Os indianos às vezes escreviam a adição abaixo da conta, da esquerda �para a direita:

+155298

343

45

Pearson ( � apud KAMII, 1995) apresenta dois métodos:

1 5 52 9 8+

3 14 13

4 5 3

155298+

3 (para 100 + 200)

14 (para 90 + 50)

+ 13 (para 5 + 8)

453

Esse método se aproxima do algoritmo da adição que utilizamos nos dias de hoje.

Multiplicação Os egípcios, por volta de 1650 d.C., usavam o método de dobrar: �

Para 17 x 13, então fazemos 208 + 13 = 221.

17 x 13

1 x 13 = 13

2 x 13 = 26

4 x 13 = 52

8 x 13 = 104

16 x 13 = 208

Mas é 17 x 13, então fazemos 208 + 13 = 221.



75

Outro método que envolve duplicação e ainda hoje é utilizado por cam- �poneses russos é exemplificado a seguir:

32 x 48

32 16 8 4 2 1

48 96 192 384 768 1 536

A multiplicação dos números de cada coluna sempre será o resultado es- �perado; então, quando chegamos a 1, na primeira linha, temos o resultado na segunda linha:

x x x x

32

48

1 536

16

96

1 536

8

192

1 536

4

384

1 536x x

2

768

1 536

1

1536

1 536

Um dos primeiros trabalhos sobre métodos de multiplicações é apresen- �tado por Bháskara no século XII. Vejam o exemplo para a multiplicação de 24 por 35:

24 x 35 = (6 + 6 + 6 + 6) x 35 = 210 + 210 + 210 + 210 = 840 �

Esse método utiliza a decomposição do multiplicador em fatores, no caso an-terior 6 x 4.

Vejam outros métodos diferentes de partição:

1.

24

x 35

700 (para 35 x 20 = 700)

140 (para 35 x 4 = 140)

840

2.

24

x 35

720 (para 30 x 24 = 720)

120 (para 5 x 24 = 120)

840


76


3.

24

35x20

100

120

600

840

(para 5 x 4 = 20)

(para 5 x 20 = 100)

(para 30 x 4 = 120)

(para 30 x 20 = 600)

4.

24

35x120

720

840

(para 5 x 24 = 120)

(para 30 x 24 = 720)

5.

24 x 35 = (20 + 4) x (30 + 5) = 600 + 100 + 120 + 20 = 840

O trabalho com os algoritmos nos anos iniciais deve ser conduzido de forma a oportunizar que as crianças elaborem seu próprio raciocínio. Não podemos esquecer que os algoritmos que usamos hoje são resultado de séculos de cons-trução. Não se deve exigir que a criança se aproprie de um processo sem deixar que explore outros caminhos, os quais, provavelmente, facilitarão a compreen-são dos algoritmos que queremos que ela domine.

É muito provável, se permitirmos à criança explorar caminhos próprios para a realização das operações fundamentais, que elas recriem muitos procedimen-tos já inventados por pessoas de outras épocas. O conhecimento da história da evolução dos algoritmos das operações fundamentais pode, também, ajudar o professor na compreensão do Sistema de Numeração Decimal.



77

Texto complementar

Cálculos numéricos (EVES, 2002, p. 255)

Outro método de multiplicação, conhecido dos árabes, que provavel-mente o obtiveram dos hindus e se assemelha muito ao nosso atual proces-so, está indicado na ilustração abaixo, onde outra vez se efetua o produto de 135 x 12. Trata-se de um diagrama em rede em que as adições se efetuam diagonalmente. Como se nota, o fato de cada cela estar dividida em dois triângulos por uma diagonal faz com que não seja necessário nenhum trans-porte na multiplicação.

Os árabes, que posteriormente se apropriaram de alguns processos hindus, foram incapazes de aperfeiçoá-los, adaptando-os para trabalhos em “papel” que não interessavam e, sobre eles ou abaixo deles, escreviam os que convinham.

O desenvolvimento de algoritmos para nossas operações aritméticas ele-mentares teve início na Índia, por volta do século X ou XI; esses algoritmos foram adotados pelos árabes e, mais tarde, transportados para a Europa Oci-dental, onde se modificaram até chegar à sua forma atual. Esse trabalho re-cebeu atenção considerável dos autores e aritméticos do século XV.

Dicas de estudoLer o livro: História Universal dos Algarismos volume 2.

Autor: Georges Ifrah.


78


Editora: Nova Fronteira (Grupo Ediouro).

Div

ulga

ção

Nov

a Fr

onte

ira.

O livro apresenta os números como a essência de boa parte da aventura que levou o homem ao domínio da natureza. Apresenta, com detalhes, a história uni-versal dos algarismos.

Atividades1. Realize as seguintes adições utilizando, pelo menos, dois dos algoritmos dis-

cutidos no texto:

a) 153 + 87 =

b) 25 + 145 =



79

2. Realize as seguintes multiplicações utilizando, pelo menos, dois dos algorit-mos discutidos no texto:

a) 125 x 34 =

b) 248 x 15 =



Problemas que envolvem as experiências das crianças devem ser o ca-minho para iniciar o trabalho com as operações. Situações como contar pontos em um jogo, colecionar materiais, brincadeiras e outras atividades podem estar envolvidas no dia-a-dia das crianças em sala de aula ou em casa, sendo exemplos de contextos que venham a favorecer o envolvi-mento e a compreensão das crianças com as operações trabalhadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

O trabalho com as quatro operações fundamentais, nos anos iniciais, deve privilegiar os diferentes significados de cada uma delas e as relações entre as mesmas. Há, ainda, um importante ponto sobre o qual os pro-fessores hão de refletir: as várias ideias envolvidas nas quatro operações fundamentais. A relevância do conhecimento dessas ideias pelo profes-sor dos anos iniciais está na possibilidade da escolha de problemas que possam envolver as várias ideias presentes, propiciando ao aluno o en-frentamento de situações diversas que o prepararão para resolver tipos diferentes de problemas.

Ideias da adiçãoAs ideias presentes na operação de adição são as de “juntar” e “acres-

centar”. Alguns autores não diferenciam as duas ideias. Já outros, como Cardoso (1998), diferenciam as ideias mencionadas.

Vejamos dois problemas que podem justificar essa diferenciação:

Marcos tem 13 figurinhas e seu irmão José tem 7. Quantas figuri-1. nhas possuem os dois juntos?

Marcos tem 13 figurinhas e vai jogar com seu irmão. Se ele ganhar 7 2. nesse jogo, com quantas figurinhas ficará?

Ideias das quatro operações fundamentais


82


Os dois problemas podem ser resolvidos com a operação 13 + 7. No primeiro caso, a ideia presente é juntar as quantidades; no segundo, é acrescentar uma quantidade a outra já colocada.

Concordamos com Cardoso (1998) quando diz que a diferença entre as duas ideias é muito sutil e dificilmente leva o aluno ao erro. Acreditamos que essa diferença dificilmente é observada e não representa preocupações por parte do professor quanto à escolha de problemas. No entanto, há de se ressaltar que essas ideias se diferem muito quando observamos os procedimentos que as crianças pequenas realizam para efetuarem adições. Para adicionar duas quan-tidades como 3 e 4, por exemplo, é comum observarmos crianças agindo de maneiras diferentes. Vejamos:

Algumas crianças representam a primeira quantidade com os dedos de �uma das mãos e, a segunda, com os dedos da outra mão. Então, contam sequencialmente as duas quantidades.

Outras crianças representam apenas uma das quantidades em uma das �mãos e realizam a contagem partindo da outra quantidade, prosseguin-do com a indicação dos dedos que, inicialmente, representaram uma das quantidades.

Nessas duas situações é possível identificar mais claramente a diferença entre a ideia de juntar e a ideia de acrescentar. No primeiro exemplo, o aluno “junta” duas quantidades e, no segundo, acrescenta uma quantidade a outra já considerada.

Ideias da subtraçãoSabe-se que a operação de subtração é, para a criança, uma operação mais

complexa do que a operação de adição. Segundo pesquisas realizadas por Piaget, o raciocínio das crianças direciona-se primeiro para os aspectos positivos da ação, da percepção e da cognição. Posteriormente, elas se voltam para os aspectos negativos.

Outra questão importante a se considerar é que a operação de subtração en-volve ideias bastante diferentes:

ideia de tirar; �

ideia de comparar; �

ideia de completar. �



83

Vejamos os três problemas que seguem:

Em uma festa estavam 45 pessoas e 23 destas foram embora. Quantas 1. pessoas ainda restam nessa festa?

Meu irmão tem 32 reais e eu tenho 15. Quantos reais meu irmão tem a 2. mais do que eu?

Para preencher seu álbum, Tales precisa de 50 figurinhas. Ele já tem 17. 3. Quantas figurinhas faltam para que seu álbum fique preenchido?

O primeiro problema envolve a ideia de “tirar”, conhecida também como ideia subtrativa. Retira-se uma quantidade de objetos de mesma espécie de outra quantidade. Essa é a ideia mais trabalhada nos anos iniciais. A maioria das pessoas recorre a ela quando se refere à operação de subtração. Um esquema que poderia representá-la é:

6 – 2 = 4

Temos seis objetos; retiramos dois deles, restam quatro.

O segundo problema compara duas quantidades de objetos de mesma espécie, ou seja, quantos reais uma pessoa tem a mais que outra. A ideia pre-sente nesse problema é a de “comparar”. Não se deve deixar de trabalhar pro-blemas que envolvam essa ideia. É importante que o aluno seja colocado em situações envolvendo ideias diferentes e, nesse caso, usa-se muito a ex-pressão “mais que”, podendo confundir o raciocínio do aluno e encaminhá-lo para uma operação de adição. Um esquema que se poderia apresentar com essa ideia é:

6 – 2 = 4

Temos um grupo de seis objetos e outro grupo de dois.


84


Qual é a quantidade de objetos que um grupo possui a mais que o outro?

Pode-se concluir de duas maneiras diferentes:

seis tem quatro a mais que dois; �

dois tem quatro a menos que seis. �

O terceiro problema apresenta a ideia de “completar”. Tales tem 17 figurinhas e quer chegar a 50. Quantas faltam? Essa ideia aparece em duas situações de algoritmos, um na própria subtração e outro no algoritmo do processo curto da divisão. Vejamos:

Método da compensação na subtraçãoNesse método, a subtração desenvolve-se da seguinte forma:

50 – 17 =

5 0

1 7

31

Iniciando pela ordem das unidades: 7 para chegar a 10 faltam 3; como consi-derou 10 o zero da ordem das unidades no minuendo, compensa-se acrescen-tando uma dezena no subtraendo.

5 0

1 7

3 31

Tínhamos uma dezena no subtraendo, e, somada com outra da compensa-ção, temos 2; 2 para chegar a 5 faltam 3.

Processo curto da divisãoNesse método encaminhamos a divisão da seguinte forma:



85

74 : 2 =

74 23

Sete dezenas divididas por dois é igual a três dezenas.

74 21 3

Três dezenas vezes dois é igual a seis dezenas. Seis dezenas para chegar a sete dezenas, falta uma dezena.

74 214 3

Juntam-se quatro unidades a uma dezena que sobrou da divisão anterior, tendo, assim, 14 unidades.

74 214 37

Quatorze unidades divididas por dois é igual a sete unidades.

74 214 370

Sete unidades vezes dois é igual a 14 unidades. 14 para chegar a 14 falta zero.

Para representar a ideia de “completar” na subtração, podemos apresentar o seguinte esquema:

Temos dois; para completar seis, faltam quatro.

6 – 2 = 4


86


É importante que o professor contemple em suas atividades problemas que envolvam todas as ideias.

Ideias da multiplicaçãoA operação de multiplicação envolve duas ideias básicas: a soma de parcelas

iguais e a ideia de combinatória. Vejamos os seguintes problemas:

Um carro possui quatro rodas. Quantas rodas possuem três carros seme-1. lhantes ao primeiro?

Tânia possui três saias e quatro blusas. De quantas maneiras diferentes ela 2. pode se vestir?

O primeiro problema envolve a ideia de soma de parcelas iguais. Vejamos um esquema para sua solução:

4 + 4 + 4 = 12, o que equivale a 3 . 4 = 12 �

O segundo problema envolve a ideia de “combinatória”. Cada saia combinará com uma blusa. Assim, as possíveis maneiras de Tânia se vestir serão:

Considerando três saias, S1 S2 e S3, e quatro blusas, B1, B2, B3 e B4, Tânia poderá se vestir com:

S1 e B1 ou S1 e B2 ou S1 e B3 ou S1 e B4



ou simplesmente:

3 . 4 = 12 maneiras diferentes.

É de fundamental importância que o professor não se esqueça que a multi-plicação oferece à criança um contato com a proporcionalidade, uma das ideias mais importantes da Matemática.

Ideias da divisãoA operação de divisão envolve duas ideias distintas: a de repartir e a de medir.



87

Vejamos os problemas seguintes.

Maria tem 20 reais e quer repartir essa quantia entre seus cinco sobrinhos. 1. Quantos reais receberá cada sobrinho?

A professora Nair quer formar grupos de cinco alunos com os seus 20 alu-2. nos. Quantos grupos ela conseguirá formar?

O primeiro problema envolve a ideia de repartir igualmente e o segundo de medir: quantas vezes a quantidade 5 cabe em 20?

O procedimento para desenvolver a ideia presente em cada um dos proble-mas é bem diferente. Analisemos cada caso.

Problema 1:Para resolver essa questão, a criança pode distribuir aos sobrinhos de Maria,

um a um, cada real da quantidade total. A resposta da questão será a quantidade que cada um dos sobrinhos receber.

Problema 2:Nesse caso, a resolução pode ser encaminhada formando grupos de cinco

alunos. Quando todos os alunos forem reagrupados, conta-se o número de grupos formados.

Essas duas ideias estão presentes em dois dos métodos de divisão. O método menos usado em nossas escolas é o método conhecido como “método america-no”, que consiste em fazermos sucessivas estimativas. Vejamos como a ideia de medida se apresenta nesse método:

20 20 o 5 cabe duas vezes em 2010 2 e ainda sobram 1010 o 5 cabe uma vez em 10

5 1 e ainda sobram 55 o 5 cabe uma vez em 5 1

45 e não resta nada.0

–

–


88


O processo mais usado para efetuar divisões envolve a ideia de divisão em partes iguais. Vejamos:

20 5 2 dezenas divididas em 520 4 partes iguais resultam em 4 0 unidades em cada parte.

–

A compreensão dessas ideias pela criança é de fundamental importância para que ela possa resolver problemas das mais variadas categorias e, além disso, possibilita a compreensão das diversas técnicas utilizadas nas quatro operações fundamentais.

Texto complementar

Processo de recurso à ordem superior(TOLEDO; TOLEDO, 1997, p. 116-117, 119)

A concretização da ideia de subtrair por meio de uma situação fazen-do uso do dinheiro é a que tem conduzido aos melhores resultados. Con-siderando uma moeda criada pelos alunos (o tut), pode-se colocar a se-guinte situação: você tem 5 notas de T$10 e 4 notas de T$1 e precisa pagar T$38 a uma pessoa que não tem troco nenhum. Como fazer?

Os alunos logo percebem que devem trocar uma nota de T$10 por 10 notas de T$1, ficando com 14 notas de T$1. Assim, entregam 8 notas de T$1 e ainda ficam com 6 notas de T$1. Como 1 nota de T$10 já foi troca-da, o aluno tem ainda 4 notas; entrega 3 e fica com 1. O resultado é, então, T$16.

Fazendo a representação no algoritmo, temos:

1=

D U

4 1014

5 4 –

3 8

1 6



89

O mesmo pode ser realizado com o material dourado.

Emprestar: controvérsias O termo “emprestar” é considerado bastante inadequado, pois pede-se

emprestado, mas não se paga o empréstimo feito. Além disso, o aluno que não compreende bem o processo de agrupamentos e trocas e só faz contas com lápis e papel, sem agir sobre materiais de contagem, não entende por que pede 1 emprestado e recebe 10.

Quando se usa o termo “trocar”, no entanto, fica claro que sempre se troca uma nota de dinheiro por outras que, somadas, representam o mesmo valor da primeira. Assim, no problema que acabamos de ver, trocou-se uma nota de T$10 por dez notas de T$1, ou seja, trocou-se 1 dezena por 10 unidades.

D U

54 14 –

3 8

1 6

1=

A subtração no século IX Por volta do ano 820, foi fundada, em Bagdá, a Casa da Sabedoria, onde

se reunia um grande número de sábios vindos do mundo todo. Entre eles encontrava-se o grande matemático e astrônomo Mohammed ibu Musa al-Khowarizmi, um dos responsáveis pela divulgação, na Europa, do sistema de numeração indo-arábico (de seu nome derivam os termos algarismos e algoritmo).

Eis o algoritmo que al-Khowarizmi utilizava para fazer subtrações:

inicia-se o processo da esquerda para a direita; �

os algarismos utilizados em cada subtração parcial são riscados, colo- �cando-se o resultado acima deles;

são usados, no minuendo, os algarismos necessários para formar um �número maior que o do subtraendo.

Veja os exemplos a seguir:

a) 7 582 – 1 936 = 5 646


90


5 4

6 6 5 6

7 5 8 2

1 9 3 6

subtrações parciais:

7 – 1 = 6; 65 – 9 = 56;

8 – 3 = 5; 52 – 6 = 46.

b) 28 347 – 9 186 = 19 161

1

1 9 2 6 1

2 8 3 4 7

9 1 8 6

subtrações parciais:

28 – 9 = 19; 3 – 1 = 2;

24 – 8 =16; 7 – 6 = 1

Dicas de estudoLer o livro: Materiais Didáticos para as Quatro Operações.

Autora: Virginia C. Cardoso.

Editora: USP.

Div

ulga

ção

USP

.



91

A obra explora o trabalho com vários materiais manipuláveis e aborda as ideias das quatro operações fundamentais.

Atividades1. Qual a ideia de subtração presente em cada um dos seguintes problemas?

a) Carlos tem um livro de 135 páginas para ler, já leu 64 páginas. Quantas páginas faltam para ele terminar de ler o livro?

b) Uma biblioteca pública de uma cidade possuía 1 405 títulos, cedeu 250 para a biblioteca de outra instituição. Com quantos títulos a biblioteca pública dessa cidade ficou?

c) Num mesmo campeonato o time de Rubens ganhou 18 jogos e o time de Amarildo ganhou 15. Quantos jogos o time de Rubens ganhou a mais que o time de Amarildo?


92


2. Quais são as duas ideias que a operação de divisão pode envolver?



O importante é que o aluno perceba que os números naturais, aqueles com os quais ele tem trabalhado até então, não são suficientes para resol-ver determinados problemas. A história refere-se a esse fato quando men-ciona a medição de terra que margeava os rios. O Estado cobrava impos-tos com base na propriedade da terra. A necessidade de medição de terras levou à criação de padrões de medida ou unidades. O problema estava no fato de que raramente a unidade (ou padrão) cabe em um número inteiro de vezes na grandeza a medir. Podemos exemplificar isso tentando ver quantas vezes um metro cabe no comprimento (ou na largura) da sala de aula, ou então quantas vezes o comprimento de uma régua cabe em uma das dimensões da carteira. É bem provável que essas medidas não sejam inteiras, comparadas com as unidades que foram usadas para realizá-la.

As frações e os decimais representam uma ampliação significativa dos conhecimentos da criança sobre os números. Esse conhecimento permite que ela descreva o mundo real e aplique-o em problemas que envolvem medidas, probabilidade e estatística.

Segundo as NCTM1 (1991), nos primeiros anos de escolaridade é im-portante que os alunos:

compreendam as frações e os decimais; �

explorem as relações entre frações e decimais; �

construam conceitos de ordem e equivalência. �

Pesquisas mostram que essas ideias são construídas gradativamente. É interessante que sejam usados materiais manipuláveis, diagramas e si-tuações do mundo real nas atividades desenvolvidas com o propósito de construção desse conceito.

1 National Council of Teachers of Mathematics (Conselho nacional de Professores de Matemática – USA)

Compreensão dos números racionais: frações


96


Por volta do 2.º ciclo do Ensino Fundamental, 3.ª e 4.ª séries, é conveniente que os professores proponham problemas cujas soluções não se encontram no campo dos números naturais, aproximando os alunos da noção de número ra-cional, pela compreensão de alguns de seus significados e de suas representa-ções fracioná rias e decimais.

Quanto ao termo fração podemos associá-lo a ideia de fracionar algo. Aqui já está presente, então, um novo olhar para o “todo”. Antes, no campo dos naturais, o todo não podia ser dividido; já no campo dos racionais, ele é visto agora como algo fracionável – e isso é fundamental para que possamos compreender e am-pliar o conjunto dos números.

Para ilustrar essa ideia, podemos, por exemplo, nos referir a uma maçã: quando ela é vista apenas como um todo indivisível, basta-nos o conjunto dos números naturais. Mas encará-la como uma unidade formada por vários peda-ços é uma visão mais ampla. Para representar essa ideia temos que nos reportar ao campo dos racionais.

Os significados que as frações devem assumir nesse 2.º ciclo do Ensino Fun-damental são: quociente, parte-todo e razão.

Parte-todo � : esse significado está presente quando um todo é dividido em partes, como nos casos de divisão de pizzas, chocolates e também em di-visões de quantidades.

Quociente � : esse significado apresenta-se na divisão de um número na-tural (nessa fase, as crianças ainda não tiveram contato com os números inteiros) por outro diferente de zero.

Razão � : nessa situação, a fração é usada como índice comparativo en-tre duas quantidades de uma grandeza. Por exemplo, 1 vaga para cada

2 candidatos 12

.

Nos ciclos posteriores, um quarto significado ainda será trabalhado: a ideia da fração como operador.

É importante que o professor organize atividades que coloquem os alunos de 3.ª e 4.ª séries em contato com essas três ideias principais de fração: parte-todo, quociente e razão.



97

Operações com fraçõesAntes de dominarem os algoritmos das quatro operações fundamentais com

frações, é essencial que os alunos compreendam o significado dos procedimen-tos realizados.

SomaEx.: 1

223

+ =

Um dos procedimentos para realizarmos essa operação é acharmos o mínimo múltiplo comum (mmc) entre 2 e 3 (denominadores), dividirmos o número en-contrado pelo denominador de cada fração e multiplicarmos o resultado pelo numerador. O resultado desse processo nos leva a encontrarmos frações equiva-lentes às dadas, porém com denominadores iguais.

Qual o significado de cada passo desse procedimento?

Quando achamos o mmc, estamos dividindo novamente esses “pedaços” para que possamos expressar as duas quantidades com pedaços do mesmo tamanho:

2,3 2

1,3 3

1,1 6 mmc entre 2 e 3 = 6

Isso quer dizer que 12

e 23

podem ser inscritos com denominador 6:

6 6+ =

Quantos sextos cabem em metades? Para achar essa resposta, dividimos 6 por 2, que é igual a 3; já que tínhamos uma metade, multiplicamos 3 por 1 que é igual a 3.

36 6

+ =


98


Agora precisamos saber quantas vezes sextos cabem em terços. Para isso, di-vidimos 6 por 3 que dá 2; como tínhamos dois terços, 2 vezes 2 é igual a 4:

36

46

+ =

Agora temos todos os “pedaços” do mesmo tamanho, então:

36

46

76

+ =

A subtração pode ser justificada da mesma forma.

MultiplicaçãoEx.:

12

25

=.

Podemos justificar essa operação utilizando representação geométrica:

Primeiro, vamos representar a segunda fração: 25

Como queremos realizar 12

25

=. , podemos traduzir essa operação por

12

de 25

, que geometricamente fica:

Em relação ao inteiro, temos:

12

25

210

15

. = =



99

DivisãoVamos justificar a divisão de 2

5 por 2

3 , que pode ser escrito como:

25

23

2523

: =

Se multiplicarmos 23

pelo seu inverso 32

, temos a divisão de uma fração por 1:

25

23

25

23

32

: =.

=

Para que o resultado dessa divisão não se altere, temos que multiplicar o nu-merador por 3

2 também:

25

32

23

32

⋅

⋅=

Como o resultado de 23

32

1⋅ = , ficamos com:

25

32

1

⋅=

Que é igual a: 25

32

⋅ =

Os procedimentos desenvolvidos justificam a regra:

Para dividirmos frações, repetimos a primeira fração, trocamos divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração.

Então:

25

23

25

32

35

: = ⋅ =


100


O conceito de frações aplicado a todos contínuos

A primeira ampliação do conceito de números é feita introduzindo o conceito de fração. Sugerimos para esse trabalho inicial a experiência de partilha equitati-va, o conceito de unidade e a sua divisão em partes iguais, o que é fundamental para compreender frações e decimais.

Para a construção do conceito de unidade e das partes de uma unidade, reco-menda-se que se trabalhe com tiras de papel.

1

12

12

13

13

13

14

14

14

14

O aluno deve descrever as partes (meios, quartos, terços...) comparando, dessa forma, a parte com o inteiro. Pode-se também propor ao aluno que cons-trua inteiros a partir de partes. Vejamos:

Construir o inteiro sabendo que a parte abaixo representa um quarto do in-

teiro.

Algumas soluções possíveis:



101

É importante que as crianças percebam que os inteiros podem ser represen-tados de várias maneiras.

O conceito de frações aplicado a todos discretosDiscorremos até agora considerações sobre o conceito de frações aplica-

das a todos contínuos. É de fundamental importância que o professor propo-nha também atividades que permitam o reconhecimento de partes de todos discretos.

Uma quantidade é dita discreta quando possui unidades se-paradas umas das outras, como os alunos de uma classe, os selos de uma coleção etc.

O conceito de fração, aplicado a todos discretos, associa as possibilidades de se dividir os elementos de um conjunto em subconjuntos, com igual quantidade de elementos, sem que haja quebra dos elementos do conjunto.

Vejamos um exemplo:

Retirei 13

de um grupo de 12 lápis. Quantos lápis eu retirei desse grupo?

IESD

E Br

asil

S.A

.

Essa ideia utiliza os números fracionários e os números naturais, que expres-sam as quantidades dos objetos. É necessário que o professor realize um traba-lho bem orientado para que os alunos não estabeleçam relações errôneas. O material manipulável, acompanhado das devidas representações matemáticas, pode ser um bom caminho para que um trabalho razoável seja feito.


102


Alguns obstáculosÉ necessário considerarmos alguns fatos importantes que podem dificultar a

aprendizagem de números racionais.

Num primeiro momento, os alunos podem querer utilizar as mesmas regras válidas para fazer comparações entre números naturais. O segundo obstáculo seria os alunos não construírem, realmente, o conceito de números racionais, pois em muitos casos realizam alguns cálculos corretos, porém utilizam regras decoradas.

Para detalhar melhor essa questão, vejamos algumas regras que funcionam com os naturais e que não podem ser transferidas para os racionais – frações ou decimais:

Para compararmos os números naturais, é possível seguir a seguinte regra:1.

É maior o número que possuir o maior número de algarismos.

Vejamos: 125 > 52

A mesma regra não funciona para números decimais: 1,25 < 5,2.

Para escrevermos um número compreendido entre dois naturais é sufi-2. ciente que se considere, por exemplo, a ordem dos naturais.

Então: entre 1 e 3 está o 2, e não existe outro.

Um aluno pode responder que 23

é um número compreendido entre 12

e 34

não pelo fato de compreender que, conforme mostra a figura a seguir, isso realmente se verifica, mas porque 2 (numerador) está entre 1 e 3, e 3 (denominador) está entre 2 e 4.

0 12

23

34

1

Se perguntássemos para o mesmo aluno se está correto afirmar que 49

está

entre 35

e 710

, e ele raciocinasse na lógica dos naturais, provavelmente respon-

deria que sim. Porém, como se observa na figura a seguir, 49

não é um número

compreendido entre 35

e 710

.



103

0 35

710

49

1

Parte das regras utilizadas nas operações com naturais pode ser usada nas operações com decimais. Um exemplo clássico seria a montagem das operações de adição e subtração. Vejamos:

Para adicionar ou subtrair naturais, colocamos unidade embaixo de unidade, dezena embaixo de dezena, e assim por diante. Para as mesmas operações com decimais, colocamos inteiro embaixo de inteiro, décimos embaixo de décimos, e assim sucessivamente.

Já nas operações de multiplicação e divisão, as regras válidas para os naturais não são suficientes para operar com os decimais. Com estes, há uma extensão das regras utilizadas com os naturais.

Os fatos deixam clara a importância de os alunos compreenderem os “signifi-cados” e não apenas se basearem em “regras”, decorando-as.

Textos complementares

Texto 1

Iceberg(IMENES; JAKUBOVIC; LELLIS, 1993, p. 5-6)

Você sabe o que é um iceberg?Os icebergs são blocos de gelo enormes que se desprendem das gelei-

ras nas regiões polares, flutuando pelos mares. São levados pelas correntes marítimas em longas viagens de milhares de quilômetros, constituindo um perigo para a navegação.


104


O perigo é bem maior do que parece à primeira vista, porque apenas uma pequena parte do iceberg fica fora da água. A parte visível pode ter, por exemplo, apenas 1/8 de seu volume total.

Para mostrar essas relações de maneira mais clara, vamos usar um recurso visual.

O volume do iceberg...

o da parte submersa...

e o da parte visível.

Este gráfico mostra a relação entre os volumes. No caso, a parte visível tem 1/8 do volume do iceberg.

Uma história tristemente famosa é a do naufrágio do navio Titanic. Con-cebido para ser o transatlântico mais sofisticado da sua época, e tido então como inexpugnável, o Titanic não chegou a completar a sua primeira viagem: colidiu com um iceberg, teve seu casco perfurado e afundou.

Isso aconteceu em 1912. Entre passageiros e tripulantes, o navio transpor-tava 2 200 pessoas, 1 500 morreram nesse acidente. Depois desse incidente, criou-se a Patrulha do Gelo, que, utilizando os mais modernos instrumentos – navios especiais, observatórios meteorológicos, satélites etc. –, anuncia a posição dos icebergs e, se necessário, os destrói.

Texto 2

(TOLEDO; TOLEDO, 1997, p.186-187)

Forneça aos alunos dois tangrans de mesmo tamanho. Peça que pintem cada parte com uma cor diferente e depois recortem um tangram somente, deixando o outro inteiro. A tarefa seguinte consiste em indicar a que fração do quadrado inteiro corresponde cada uma das partes.



105

Os alunos reconhecem facilmente que as peças A e B têm a mesma medida, porque cada uma representa 1/4 da figura. Quanto às demais partes, há vários modos de raciocinar. Um deles é procurar uma peça que sirva como unidade de referência para medir as outras. Quando os alunos descobrem que as peças C e E têm a mesma medida e podem compor todas as outras partes, a questão está resolvida.

As peças C e E representam, cada uma, 1/16 do quadrado; as peças D, F e G têm a mesma medida, representando, cada uma, 2/16 (ou 1/8) do quadrado.

Dicas de estudoLer o livro: A Matemática das Sete Peças do Tangram.

Autoras: Eliane R. de Souza, Maria Ignez de S.V. Diniz, Rosa M. Paulo e Fusako H. Ochi.

Editora: USP.

Div

ulga

ção

USP

.

A obra é composta por várias atividades com tangram e algumas delas explo-ram o conteúdo de frações.


106


Atividades1. Escreva os decimais das seguintes frações: 1

215

45

, e .

2. No 2.º ciclo do Ensino Fundamental, o professor deve propor questões com frações abordando vários significados. Quais são eles?



107

3. Qual significado (de fração) está envolvido nas seguintes questões?

a) A fração 13

pode ser expressa por um número decimal. Qual é esse nú-mero?

b) Para ocuparem as 20 vagas de um curso, inscreveram-se 35 candidatos. Qual a relação entre vagas e candidatos desse curso?



As frações com denominadores 10, 100, 1 000 e as frações seguintes são especiais, conhecidas como “decimais”. Podem ser escritas também na forma de números decimais.

Em nosso cotidiano, utilizamos muito os números decimais. Estes apa-recem quando expres samos, principalmente, medidas de comprimento, capacidade, massa, sistema monetário e outros.

É interessante que os professores dos anos iniciais do Ensino Funda-mental façam um trabalho no qual os alunos percebam que as frações ordinárias, o número decimal e a porcentagem são formas distintas de re-presentar os números racionais. Veja o exemplo:

15

100 = 0,15 = 15%

A representação decimal decorre dos princípios do Sistema de Nume-ração Decimal e da representação fracionária.

A introdução dos decimais deve ser feita de modo que os alunos esta-beleçam relações entre inteiro, décimo, centésimo e milésimo. Para que o professor obtenha sucesso com essa atividade, sugere-se a utilização do Material Montessori, conhecido como Material Dourado. Esse material pode ser utilizado tanto para o trabalho com números naturais quanto para o tra-balho com os decimais. A mudança de campo numérico depende do inteiro tomado como referência. No caso do trabalho com os decimais, o cubo maior será considerado como inteiro e as demais peças, partes desse inteiro:

Os decimais


110


1 unidade1 décimo =

110

= 0,1

1 centésimo = 1

100 = 0,1

1 milésimo = 11 000

= 0,1

Por meio da representação posicional, é possível mostrar que essas “frações” podem ser expressas como os inteiros, com agrupamentos e trocas na base.

Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a notação de decimais pode ser introduzida partindo da observação das regularidades apresentadas na divisão de valores múltiplos de 10, como mostra a seguinte tabela:

:

:

:

:

:

: 10

: 10

: 10

: 10

: 10

Quando o aluno percebe que o 1 passa, sucessivamente, a ocupar a casa da direita, e chega na divisão de 1 por 10, o professor deve introduzir a casa dos décimos, centésimos e milésimos, informando também que a vírgula é uma convenção adotada para separar a parte inteira da parte decimal.

A calculadora pode ser um instrumento interessante para introduzir esse conteúdo nas aulas. Partindo das frações, os alunos podem realizar a divisão do numerador pelo denominador e analisar a escrita que aparece no visor da cal-culadora. Dessa maneira, é possível iniciar o trabalho com os decimais fazendo conexões entre as duas formas de escrita.


Os decimais

111

Com a utilização do Material Dourado, o aluno fará diversas relações e cons-truirá conceitos importantes.

Comparação entre decimaisPara comparar 2,7 com 2,56, é possível que, se as relações entre inteiros, dé-

cimos, centésimos, milésimos não estiverem claras, muitos alunos digam que 2,56 é maior que 2,7, considerando 7 e 56 como inteiros. Essa questão deve ser discutida levando em conta que se trata de sete décimos, comparados com 56 centésimos.

Veja algumas relações:

um décimo é igual a dez centésimos: 0,1 = 0,10; �

um centésimo é igual a dez milésimos: 0,01 = 0,010. �

Esses e outros exemplos mostram como o material manipulável favorece o entendimento de que 0,3 = 0,30 = 0,300, ou seja, o zero colocado à direita não altera a quantidade.

A compreensão desse fato é fundamental para que se reconheça, entre diver-sos decimais, o maior ou o menor.


112


Pode-se, dessa forma, fazer o aluno compreender que 2,7 é maior que 2,56, pois 7 décimos é maior que 56 centésimos; e mais, pode-se representar a com-paração da seguinte forma: 2,70 > 2,56.

Podemos observar o seguinte:

Inteiros Décimos Centésimos2, 7

2, 5 6

Operações com decimais

Soma e subtraçãoPara somar e subtrair com decimais, basta estender as regras usadas para as

mesmas operações com números naturais, ou seja, colocar inteiros embaixo de inteiros, décimos embaixo de décimos, centésimos embaixo de centésimos e assim por diante. Veja os exemplos:

a) 2,4 + 0,75 =

2,4 – dois inteiros e quatro décimos;

0,75 – zero inteiro, sete décimos e cinco centésimos.

Então: 2,400,75

+

Ou, como sabemos, 2,4 equivale a 2,40. Para facilitar o processo, pode-se

usar a seguinte notação: 2,400,75

+ .

Realizando a operação temos:

zero centésimo mais cinco centésimos é igual a cinco centésimos: �

5

2,400,75

+


Os decimais

113

quatro décimos mais sete décimos é igual a 11 décimos, que podem ser �trocados por um inteiro e sobra um décimo:

15

2,401

0,75+

um inteiro, obtido da troca anterior, mais dois inteiros, mais zero inteiro é �igual a três inteiros:

3,15

2,400,75

+

b) 1,3 – 0,271 =

1,3 – um inteiro e três décimos;

0,271 – zero inteiro, dois décimos, sete centésimos e um milésimo.

Então: −1 3

0 271

,

,.

Ou, como sabemos, 1,3 equivale a 1,30 e também a 1,300:

−1 300

0 271

,

,

Realizando a operação temos:

como não é possível retirar um milésimo de zero milésimo e nem sete cen- �tésimos de zero centésimo, trocamos um décimo por dez centésimos:

−1 3 0 0

0 2 7 12 1,

,

podemos, agora, trocar um centésimo por dez milésimos: �

-1, 3 0 0

0, 2 7 12 1

9

1


114


Agora pode-se fazer a operação ordem por ordem:

dez milésimos menos um milésimo é igual a nove milésimos: �

-1, 3 0 0

0, 2 7 1

9

2 1

9

1

nove centésimos menos sete centésimos é igual a dois centésimos: �

-1, 3 0 0

0, 2 7 1

2 9

2 1

9

1

dois décimos menos dois décimos é igual a zero: �

−1 3 0 0

0 2 7 1

0 2 9

2 1

9

1,

,

um inteiro menos zero inteiro é igual a um inteiro: �

−1 3 0 0

0 2 7 1

1 0 2 9

2 1

9

1,

,

,

MultiplicaçãoA regra prática para a multiplicação de números decimais é multiplicar os dois

fatores, sem a vírgula, e depois separar com a vírgula, no resultado, o número total de casas decimais correspondente aos dois fatores. Veja o exemplo:

x1 52

1064

,

0 7,

,


Os decimais

115

Duas casas decimais no primeiro fator, mais uma casa decimal no segundo fator, resultam em três casas decimais no resultado.

O professor deve preparar uma sequência didática que leve o aluno a utilizar essa regra. A sequência deve partir de situações que facilitem a compreensão dos significados envolvidos na multiplicação e caminhar por outros exemplos que propiciem a observação de regularidades para que, dessa forma, o aluno possa elaborar a regra prática. Os exemplos que seguem ajudam na compreen-são de alguns significados:

0,2 x 0,11.

Nessa situação, podemos dizer que queremos dois décimos de um déci-mo. Com o auxílio do Material Dourado, pode-se representar:

0,2 de

Temos, então: , ou seja,

De acordo com as representações anteriores: 0,2 x 0,1 = 0,02.

0,2 x 10 2

x 0,1 x 10 x 1

2

Como multiplicamos os fatores por 100 (cada um por 10, 10 x 10 =100), para compensar dividimos o resultado por 100, então 2 : 100 = 0,02.


116


0,3 x 0,012.

Nesse exemplo, queremos três décimos de um centésimo, que pode ser representado da seguinte forma:

0,3 de

Temos, então: , ou seja,

De acordo com as representações anteriores: 0,3 x 0,01 = 0,003.

Depois de uma sequência de exercícios como esses, o professor pode or-ganizar as operações e os resultados de forma que os alunos observem o que acontece quando multiplica-se, por exemplo:

a) décimos por décimos;

b) décimos por centésimos;

c) décimos por milésimos;

d) décimos por inteiro;

e) centésimos por décimos;

f) centésimos por inteiro.

DivisãoA divisão com decimais pode ser encaminhada multiplicando o dividendo e

o divisor por uma potência de 10, de forma a obtermos somente números natu-rais. Isso só é possível porque quando multiplicamos dividendo e divisor por um mesmo número, qualquer que seja ele, o quociente não se modifica. Vejamos:


Os decimais

117

15 3 = 5

x3

9 = 5

:

:

x 3

45

↓ ↓

↓ ↓

Dessa forma, para realizarmos a divisão de 1,95 por 1,3, podemos proceder da seguinte maneira: 1 95, 1,3

Para termos um número natural partindo de 1,95, podemos multiplicá-lo por 100, e para que o quociente da divisão não se altere, temos que multiplicar 1,3 também por 100, assim teremos: 195 130

Temos duas divisões equivalentes: 1 95, 1,3 e 195 130: : .

Esse processo justifica o procedimento de igualar as casas decimais do divi-dendo e do divisor na divisão de decimais. A partir daí deve-se proceder como no algoritmo da divisão com inteiros.

Texto complementar

Transformando frações em números decimais(SMOOTHEY, 1997, p. 48-50)

Qualquer fração pode ser transformada em decimal.

A fração 12

significa 1 dividido por 2. A linha de fração tem o mesmo

significado do sinal de divisão – se você colocar um ponto em cima e um

embaixo, significa o mesmo.

12

significa 1 2÷

Para converter a fração em decimal, efetuamos a divisão:

1 0, 2


118


Podemos escrever 1,0 no lugar do 1 porque significa a mesma coisa – uma unidade e nada mais.

“Uma unidade não é divisível por 2, então coloque zero para unidades e divida 10 décimos por 2. Dez dividido por dois dá cinco.”

1 0, 2

0,5

Você pode verificar sua resposta com uma calculadora. Coloque 1 no visor, pressione ÷ e então 2 e = .

Quando não há uma parte inteira, coloque um zero antes da vírgula.

Escreva 0,5, e não somente 5.

Tente converter estas frações em decimais, primeiramente sem usar �calculadora. Depois use-a para verificar a resposta.

1

5

1

10

2

10

2

5

3

5, e , ,

Às vezes, é necessário mais de um 0 após a vírgula. Para converter 1

4 em

decimal, efetue a divisão:

1 0, 4

que dá

1 0

2

, 4

0,2

com resto 2. Para continuar, colocamos mais um 0 no resto e transporta-mos o 2.

Fazendo isso, temos:

1 00

20

, 4

0,25

0


Os decimais

119

Coloque quantos zeros forem necessários para transformar estas fra- �ções em decimais:

3

4

1

8

5

8

1

100

3

100, , , e

Verifique suas respostas com uma calculadora.

O que acontece quando você tenta transformar 1

3 em decimal?

1 0000 3

0 3333

,

, ...

Você descobre que não importa quantos zeros use, continua tendo 1 como resto.

0,3333... é uma dízima periódica, que representamos com uma linha sobre o 3 para indicar que se repete infinitamente:

1

3 = 0, 3

Escrever 1

3 = 0, 3 parece não ser uma resposta muito precisa.

Mas lembre-se de que a linha significa ÷ e há tantos 3 quantos você quiser

escrever. O segundo 3, após a vírgula, representa 3

100. É uma pequeníssima

parte de um centímetro, por exemplo.

Na maioria das vezes, duas casas após a vírgula nos dão precisão suficien-te. Podemos ir tão longe quanto quisermos, se for necessário.

Como seriam essas frações em decimais?

2

3

1

6, (Coloque a linha sobre o dígito que se repete).

19

(Agora você pode ver por que a posição da linha é importante).

5

6

5

9,

1

7 (Você vai precisar ir longe com este aqui! Coloque uma linha sobre

todos os dígitos que se repetem).


120


Dicas de estudoPesquise sobre números decimais no site: <http://pessoal.sercomtel.com.br/

matematica/fundam/fracoes/fracdec.htm>.

O site, construído pelo professor Ulysses Sodré, explora várias propriedades e relações das frações e decimais.

Atividades1. Qual a função da vírgula nos números decimais?

2. Quando utilizo a calculadora para fazer cálculos com decimais, não encontro uma tecla com a vírgula. Qual é o sinal, no teclado da calculadora, que tem a função da vírgula?


Os decimais

121

3. Efetue as seguintes operações e depois confira os resultados que você en-controu com uma calculadora:

a) 1,25 + 0,9 =

b) 3 – 1,125 =

c) 2,05 . 0,12 =

d) 2,625 : 2,5 =



Alguns fatos históricosA Geometria, enquanto área da Matemática, deve ser reconhecida

como um corpo de conhecimentos social e politicamente construídos ao longo da história, a partir da ação humana transformadora da natureza e da sociedade. A natureza ofereceu materiais para os primeiros passos em direção aos conceitos geométricos. Sendo assim, o homem encon-trou nela objetos das mais variadas características: cor, tamanho, forma. Quando iniciou o cultivo da terra, foi necessário ao homem avaliar com mais precisão o espaço. Historiadores contam que desse fato surgiram as primeiras ideias de medida, o passo inicial da Geometria.

A história diz que a Geometria teve início no Egito Antigo, com as medi-ções das terras às margens do rio Nilo, após suas enchentes. No entanto, na Grécia, já antes de Cristo, muitas descobertas matemáticas envolviam a Geometria. A palavra geometria vem do grego, geo = terra e metria = medida.

Na Mesopotâmia, região entre os rios Tigre e Eufrates, no atual Iraque, povos cultivaram as margens desses rios, criaram vastos impérios, cons-truíram templos e monumentos. As culturas que por ali passaram deixa-ram suas marcas e, por influência das investigações da Astrologia e da As-tronomia, trouxeram contribuições à Geometria atual.

Analisando outras culturas, podemos perceber o desenvolvimento da Geometria por meio de várias atividades, como as navegações, as cons-truções, a agricultura etc. Nomes como os de Heródoto, Tales, Pitágoras, Hippasus, Platão, Plutarco, Euclides, Hipócrates, Demócrito, Apolônio e outros tantos destacam-se em toda essa história da Geometria na Anti-guidade Clássica.

A construção do pensamento geométrico


124


Natureza e GeometriaAs ideias geométricas partem do homem ao colocar a natureza exterior a ser-

viço de seus interesses por meio das transformações dessa mesma natureza. Se-gundo Paulus Gerdes (1992), o conceito de número foi muito mais investigado do que o desenvolvimento da Geometria, pelo primeiro estar mais vinculado ao aparato linguístico e constituir, mais facilmente, um objeto de reflexão.

Observando a natureza – como a superfície de um lago, o contorno do Sol e da Lua, um raio de luz –, o homem pôde refletir e gradualmente elaborar con-ceitos, como os de círculo, retas e outros. Com isso, pôde-se perceber na cela de uma colmeia ou numa teia de aranha formas geomé tricas que lhe inspiraram. Para satisfazer suas necessidades diárias, o homem produziu objetos com formas cada vez mais regulares. “A relação dialética entre a vida ativa e o pensamento abstrato é o ‘motor’ do desenvolvimento da Geometria” (GERDES, 1992, p. 18).

Como a humanidade construiu os conceitos de paralelas, ângulos retos, espi-rais e outros? Em que contextos, possivelmente, eles surgiram? Para os historia-dores, provavelmente surgiram das atividades de entrelaçamento de cestarias praticadas no Paleolítico. Assim como estas, outras ideias geométricas surgiram das atividades do homem, de acordo com suas necessidades.

A multiplicidade de formas na natureza é tão grande que propiciou ao homem a possibilidade de observar e perceber nela determinadas formas. Nas suas ativida-des é que se formou a capacidade de reconhecer, na natureza e nos seus produtos, formas geométricas. “A regularidade é o resultado do trabalho criativo do homem e não o seu pressuposto” (GERDES, 1992, p. 100). A atividade social desempenha um papel importante na formação e na elaboração das formas geométricas.

A Geometria na escolaO tangram tem sido utilizado nas aulas de Matemática para o desenvolvimen-

to do raciocínio geométrico, percebendo formas, representando figuras geomé-tricas, construindo e criando. Jogos como esse permitem promover a compre-ensão de um conceito, seu processo de construção e de habilidades envolvidas nessa construção. Há várias versões sobre a invenção do tangram, jogo chinês milenar. Uma delas é que essa palavra vem de Tchi Tchiao Pan, que significa “sete peças da sabedoria”, o que faz acreditar que seu criador tivesse algum propósito religioso ou místico ao empregar as suas sete peças para descrever o mundo.



125

A Geometria permite desenvolver o senso espacial, dando a capacidade de comparar, classificar, identificar e descrever figuras geométricas. Por ser um tópico natural, pode encorajar a resolução de problemas e ter muitas aplicações no mundo real, sendo por si só forte para justificar seu trabalho na escola. Além disso, auxilia a construção do conhecimento matemático. É rica em oportunida-des para que se alcancem metas como a de fazer explorar, representar, construir, discutir, investigar, descobrir, descrever e perceber propriedades. E mais, a Geo-metria faz com que o sujeito adquira habilidades importantes para perceber de forma mais acurada o mundo que o cerca. Tais habilidades o levam à percepção e à visualização espacial, ao reconhecimento de formas, à abstração de formas e à capacidade de representá-las por meio de desenho ou construção do que foi idealizado. Também é possível, por meio dessas habilidades, sintetizar proprie-dades numa definição ou critérios de classificação, sendo necessárias as ações de intuir, conjeturar, abstrair, generalizar e comprovar o raciocínio dedutivo.

Segundo Ochi et al. (1997), a Geometria proporciona o pensamento ligado às relações espaciais e à capacidade de síntese. Assim, por meio dela, podem-se construir e desenvolver capacidades geométricas, caminhando em direção ao pensamento que vai do que pode ser percebido ao que pode ser concebido.

O ensino de Geometria é importante para melhorar a formação intelectual e matemática do indivíduo e para desenvolver o aprendizado da Aritmética e da Álgebra; por isso não deve ficar relegado ao segundo plano. Nesses termos, desde cedo a criança deve ter acesso às atividades de construção, concepção, comparação, descrição e transformação de figuras.

A presença de uma estruturação do espaço nos currículos dos anos iniciais é indispensável para que as crianças compreendam, interpretem e apreciem o mundo que as rodeia.

A estruturação do espaço está intimamente ligada à Geometria; o desenvol-vimento de atividades que propiciem o contato com questões que envolvem a estruturação do espaço deve começar o mais cedo possível, inclusive nos jar-dins-de-infância, sendo importante para a formação do espírito de observação, da experimentação e da intuição espacial. E mais, é indispensável proporcionar ao aluno uma participação ativa nessa aprendizagem, valorizar suas descobertas e trabalhar com elas.


126


A Geometria favorece, também, a ligação entre a linguagem habitual e a lin-guagem formalizada da Matemática. O pensamento geométrico faz parte do desenvolvimento normal das atividades do homem.

Para o aprendizado da Geometria, a criança precisa pesquisar e explorar ob-jetos comuns e outros materiais. Os primeiros contatos desta com o mundo que a rodeia são de origem sensorial, particularmente centrados na visão e no tato. Exercícios em que possa visualizar, desenhar e comparar formas em várias posi-ções ajudarão o seu desenvolvimento. Discutindo ideias e testando hipóteses, o jovem desenvolve seu talento, raciocínio, memória, concentração e criatividade.

O objetivo do ensino da Geometria é ajudar a criança a adquirir habilidades que serão, mais tarde, usadas na descrição, na comparação, na representação e no desenvolvimento de problemas. O desenvolvimento dessas habilidades de-pende do tipo de experiências que a criança tem e a maneira como ela responde a essas experiências.

Segundo Imenes (1993), há indícios de que crianças, mesmo as bem peque-nas, que trabalham com formas geométricas tornam-se mais organizadas, de-senvolvem a coordenação motora e visual, melhoram a leitura e compreendem mais rapida mente gráficos e mapas.

A criança vive num mundo de objetos tridimensionais que ela visualiza e manipula. O desenvolvimento de conceitos geométricos pode ser obtido como uma consequência de suas experiências mais precoces, desenvolvendo capaci-dades como observação, análise, raciocínio, comparação e interpretação. Pode-se justificar, dessa forma, a importância do aprendizado da Geometria a partir dos primeiros anos de escolaridade.

Segundo o casal van Hiele (apud DINIZ; SMOLE, 1998), há progresso na apren-dizagem de Geometria por meio de diferentes níveis de entendimento sobre as fi-guras geométricas. No início, percebe-se uma figura como um todo e, aos poucos, passa-se a perceber suas relações e propriedades. Mais tarde, o desenvol vimento leva a operar com tais relações em diversas situações, e os alunos parecem pro-gredir no raciocínio geométrico por meio de uma sequência de cinco níveis:

visual; �

descritivo/analítico; �

dedução informal; �

dedução formal; �



127

rigor. �

De acordo com os autores citados anteriormente, a aprendizagem de con-ceitos geométricos parte de um pensamento mais global para um pensamento analítico.

Segundo esses mesmo autores, os níveis de pensamento são sequenciais e hierárquicos; os conceitos intrínsecos em um nível aparecem extrínsecos nos níveis seguintes, e cada nível possui sua própria linguagem. O avanço, isto é, passagem de um nível para outro, não depende da faixa etária, mas do conteúdo em relação aos métodos de instrução. Para que um aluno atinja o nível três, ele deve passar, primeiramente, pelo nível um (visual), depois pelo nível dois (des-critivo/analítico), para só então atingir o terceiro nível (dedução informal).

Um aluno do nível um precisa das propriedades para dar nome a uma figura; no entanto, ele não possui essa noção, que passará a ser vista no nível dois. Sendo a linguagem própria de cada nível, a relação entre um quadrado e um retângulo pode fazer com que pessoas de diferentes níveis não se entendam, pois no nível um o aluno não consegue compreender que o quadrado é um retângulo espe-cial, sendo isso compreensível para alguém do nível dois.

As características dos cinco níveis acima citados são:

no primeiro nível, o conceito geométrico é percebido no plano da aparên- �cia. As figuras, embora observadas, não são conceituadas como quadra-do, triângulo etc. A criança reconhece as figuras pelas suas semelhanças e diferenças físicas, não identificando as partes que as compõem e suas propriedades. Ao responder quais são as diferenças entre losango e retân-gulo, a criança normalmente diz que o retângulo é mais largo e o losango é mais bicudo. Não dão respostas baseadas em paralelismo, ângulos retos ou outras características;

no nível dois, a criança começa a diferenciar as propriedades das figuras �para analisá-las. Nesse nível, ela analisa o quadrado identificando os seus lados e ângulos com mesmas medidas. Reconhece que os lados opostos são paralelos etc. Apresenta as propriedades elementares; porém, ainda não estabelece relações entre elas. Por meio de experimentação, reco-nhece certos elementos da figura e faz generalizações. Reconhece que as diagonais de um losango são perpendiculares e, com isso, conclui que as diagonais dos outros losangos também são. A criança, nesse nível, não faz classificações adequadas de muitos polígonos;


128


no nível três, a criança estabelece relações e implicações entre as figuras, �tem argumentação lógica informal e ordenação de classes e figuras ge-ométricas. Classifica-as a partir de suas propriedades ou das relações já compreendidas; todavia, ainda não pode estabelecer relações relativas aos passos formais de uma demonstração. Exemplo: reconhece o retân-gulo como um paralelogramo por ter lados opostos paralelos;

no quarto nível, o indivíduo já possui um domínio do processo dedutivo e �de demonstrações. Realiza demonstrações formais das propriedades que já compreendeu e descobre novas propriedades. Por exemplo: compreen-de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º e que a de um quadrilátero é 360º;

no nível cinco, o indivíduo compreende a abstração geométrica não-eu- �clidiana, compara sistemas, desenvolve sistemas axiomáticos e relações topológicas mais complexas. Exemplo: o indivíduo é capaz de estabelecer e demonstrar teoremas em uma Geometria finita.

Embora esses sejam os níveis de desenvolvimento do pensamento geométri-co apresentados pelo casal van Hiele (PURIFICAÇÃO, 1999), existem autores que apresentam outras variações.

Para van Hiele (LOPES, 1999), as fases de aprendizagem, para que um aluno passe de um nível para o outro imediatamente superior, são:

interrogação; �

orientação dirigida; �

explicação; �

orientação livre; �

integração. �

Na fase da interrogação, também conhecida como fase da problematização oral, os alunos e o professor discutem, fazem observações, introduzem vocabu-lário específico do nível e fazem as atividades. Por meio disso, o professor pode avaliar os conhecimentos do aluno, que toma conhecimento da direção de seus estudos.

Na fase da orientação dirigida, com auxílio de material didático, o aluno ex-plora o conteúdo do nível selecionado e ordenado pelo professor.



129

Na terceira fase da explicação, o aluno expressa e modifica seus pontos de vista sobre o que observou.

Na fase da orientação livre, os alunos realizam sozinhos atividades mais com-plexas, ganhando autoconfiança.

Na fase da integração, o aluno sintetiza o que aprendeu formando nova rede de conhecimentos e suas relações.

De acordo com Lorenzato (1995), para resolver problemas de Geometria é necessário ter percepção geométrica, linguagem geométrica, raciocínio geomé-trico, que são bastante diferentes dos da Aritmética e da Álgebra. Daí a impor-tância do ensino de Geometria nas escolas: o pensar geométrico e o raciocínio visual auxiliam o aluno a resolver muitas situações cotidianas, ampliando a leitu-ra do mundo e a comunicação das ideias.

A Geometria é também um apoio às outras disciplinas. Como exemplo, pode-se citar a interpretação de um mapa, de gráficos estatísticos etc.

Ainda segundo Lorenzato (1995), é na pré-escola que o pensamento geo-métrico deve ser estimulado, desenvolvendo uma geometria intuitiva e natural, de forma a conduzir a criança a observar e explorar as formas presentes no seu meio. Atividades com seu próprio corpo, com objetos e com imagens favore-cem o desenvolvimento do senso espacial das crianças. Outras atividades como dobra duras, recortes, montagens, fazer sombras, decomposição etc. podem contribuir para o desenvolvimento do pensamento geométrico. As crianças pre-cisam de noções espaciais posicionais de direção, sentido, atrás, em cima, perto etc. Essas noções, junto com algumas noções lógicas, são fundamentais para a identificação, distinção e representação de formas geométricas elementares.

Contribuições de PiagetPiaget realizou muitas pesquisas sobre a criança e o mundo em que ela vive.

Essas pesquisas separam, em fases, as etapas pelas quais as crianças passam.

1.ª fase �

As primeiras propriedades que as crianças observam são as de natureza topológica: aberto, fechado, dentro, fora, próximo, longe etc.


130


2.ª fase �

A seguir, por volta dos 5 ou 6 anos, a criança passa a observar as proprie-dades de ordem projetiva: antes de, depois de, o último etc.

3.ª fase �

Por volta dos 7 anos, a criança percebe o que está na direita ou na esquer-da. Nessa fase, as formas dos objetos são mais bem definidas para ela.

4.ª fase �

As dimensões dos objetos, como medidas de lados e aberturas de ângu-los, começam a interessar as crianças a partir dos 9 ou 10 anos.

As diferentes geometriasA Geometria, no Egito, nasceu de forma intuitiva. Os gregos, particular mente

Euclides, deram a ela uma estrutura de ciência e um método próprio – o axiomá-tico. Essa geometria se chamou Geometria Euclidiana. Duhalde e Cuberes (1998) explicam as geometrias como: a Geometria Euclidiana, a Projetiva e a Topológica.

A Geometria Euclidiana se refere às transformações que somente mudam a posição do objeto; assim, seu tamanho, distâncias e direções se conservam.

A Geometria Projetiva, conhecida como Geometria das Sombras, trabalha com as propriedades espaciais que se conservam ao projetar um objeto, ou quando observado em diferentes posições. Nessa geometria se conserva a re-titude e não a medida: um trapézio e um retângulo são equivalentes, porque o retângulo pode ser visto como um trapézio dependendo da posição de que for observado; num quadro, linhas paralelas são vistas como linhas convergentes, porque é assim que os espectadores as veem.

Na Geometria Topológica, também chamada Geometria da Lâmina, as figuras são submetidas a transformações violentas, que as levam a perder suas proprie-dades métricas e projetivas, com a condição de que não se produzam cortes, conservando a proximidade ou aproximação, separação, ordem ou sucessão es-pacial, continuidade de linhas e superfícies e clausura (uma figura fechada con-tinuará sendo fechada). Pode ser exemplificada com um quadro pintado num balão que depois é inflado.



131

Texto complementar

As propriedades geométricas nos corpos (DUHALDE; CUBERES, 1998, p. 66-67)

A professora pode planejar atividades que propiciem o estabelecimento de relações espaciais. Para isto proporá:

com os objetos cotidianos � – realizar atividades de armar e desarmar, o que lhe permitirá estabelecer relações inversas. Por outro lado, pode-rão agrupar objetos por semelhança, estabelecendo ao mesmo tempo relações de diferença. As crianças chegarão então a comparar objetos de seu entorno em função de suas qualidades físicas, descobrindo as propriedades dos mesmos, tais como a cor, a textura, o sabor, o que serve para comer, vestir, entre tantas outras. Logo que as atividades se centralizem em atributos como a forma e o tamanho, haverão ingres-sado no âmbito da Geometria. Até então, a exercitação não implica conteúdos dos corpos. É importante que as crianças manipulem cor-pos da mesma forma, mas de diferentes tamanhos, e logo verbalizem o que fizeram. A experiência nos diz, muito frequentemente, que as crianças costumam identificar a embalagem de chiclé como um cilin-dro. Raras vezes, em compensação, reconhecerão um cilindro em uma moeda ou em um bloco lógico, por causa de sua pequena altura.

com os corpos geométricos � – o cilindro, o cone, a pirâmide, o prisma, o cubo e a esfera. Com isto poderão realizar atividades exploratórias e de deslocamentos como com o resto dos objetos acima mencionados. Inclusive pode-se [sic] planejar atividades de modo que o grupo tra-balhe ao mesmo tempo com corpos geométricos e objetos cotidianos que tenham a forma dos primeiros. A apresentação dos corpos geo-métricos favorece a centralização na forma como atributo.

A exploração as leva a observar, por exemplo, que alguns corpos têm pontas e outros não, que alguns são achatados e outros não. Os deslocamen-tos se provocam ao deslizar os objetos sobre a superfície de uma mesa, chu-tando uma bola e de muitas outras maneiras. Advirtamos que não se trata


132


aqui de as crianças transportarem os objetos de um lado para o outro, mas de efetuarem ações para que os objetos se desloquem.

A partir destas experiências distinguirão os que rolam dos que não o fazem e, posteriormente, que alguns rolam às vezes, e outros, sempre. Como você estará pensando, muitas destas situações vinculam-se com o campo das explorações em ciências e tecnologia, e também darão lugar a verbali-zações onde se analisem e debatam causas e consequências. Na busca das explicações acerca destes fatos poderão chegar ao conceito de faces planas e curvas. É provável que, inicialmente, as crianças chamem de redondas as faces curvas: será a docente quem lhes fará observar a base de um cilindro ou de um cone para que estabeleçam a diferença entre redondo e curvo. A base de um cilindro é plana e redonda, ou, propriamente falando, plana e circular. É fundamental a intervenção apropriada das professoras como uma forma de evitar a fixação de ideias prévias que obstaculizem novos aprendizados.

As propriedades geométricas nas figuras planasChamamos de figura bidimensional ou plana a forma plana das faces dos

corpos. Devemos saber que, se não houvesse um corpo, tais faces não exis-tiriam na realidade. As atividades de carimbar, contornar e as projeções de sombras permitem a passagem do espaço ao plano; deste modo propicia-se seu reconhecimento. Consequentemente, as crianças poderão realizar a diferenciação entre corpo e figura. Os jogos com os corpos, blocos lógicos, tijolinhos ou blocos de construção devem levar à diferenciação entre a forma dos corpos e a forma de suas faces. Isto é, a folha de papel na linguagem co-tidiana é chamada de “retângulo” e os blocos são chamados de “círculos” ou “quadrados”. No entanto, tal como vínhamos explicando, para a linguagem matemática trata-se de corpos.

Seguindo este caminho, o reconhecimento das arestas – “beiras” – permi-te diferenciar linhas retas ou curvas, que representam as fronteiras das su-perfícies. Os vértices – “quinas” ou “pontas” – dos corpos aproximam a ideia de ponto como fronteira das linhas. Você pensará que estamos empenhados em utilizar a linguagem apropriada e, na verdade, não se enganou. Nova-mente as atividades de demarcação – neste caso das arestas e dos vértices dos corpos – constituem um meio eficaz para o tratamento destes temas.



133

Em relação a este tema é importante observar que o ensino de Geometria teve forte destaque sobre as figuras planas ou bidimensionais, esquecendo que nosso entorno é tridimensional. A respeito disso, Piaget afirmava que as crianças que trabalham com o desenvolvimento dos corpos superavam, até em três anos, as que não haviam feito. Na mesma linha, Lappan e Winter ressaltam:

Apesar de vivermos em um mundo tridimensional, a maior parte das experiências matemáticas que proporcionamos às nossas crianças são bidimensionais. Valemo-nos de livros bidimensionais para apresentar a Matemática às crianças, livros que contêm figuras bidimensionais de objetos tridimensionais. Sem dúvida, tal uso de “desenhos” de objetos lhes supõe uma dificuldade adicional no processo de compreensão. É, porém, necessário que as crianças aprendam a lidar com as representações bidimensionais de seu mundo...Uma boa relação entre estas duas dimensões pode-se obter a partir do desenvolvimento de um corpo em uma figura plana e sua posterior armação.

Dentro do terreno das propriedades geométricas, as figuras classificam--se em côncavas e convexas. Estas ideias poderão ser trabalhadas mediante jogos de regiões marcadas no chão, por exemplo, uma região circular – con-vexa – e outra com a forma de um rim.

Dicas de estudoLer o livro: Os Poliedros de Platão e os Dedos da Mão.

Coleção: Vivendo a Matemática.

Autor: Nilson José Machado.

Editora: Scipione.

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ção

Scip

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.

A obra faz uma exploração sobre as formas geométricas e justifica a existên-cia de apenas cinco poliedros regulares.


134


Atividades1. Por que é importante ensinar e aprender Geometria?

2. Discuta a Geometria como um saber historicamente construído.



135

3. Esquematize os níveis de entendimento sobre as figuras geométricas segun-do van Hiele.

4. Relate as características que diferem as geometrias: Euclidiana, Projetiva e Topológica.



Desde muito pequenas, as crianças já se encontram envolvidas com as medidas, mesmo que informalmente. Isso se verifica quando comparam suas alturas ou investigam quem entre elas tem o lápis maior, por exem-plo. É importante que o professor faça um trabalho a partir do qual a crian-ça perceba que as noções de pequeno, médio e grande são relativas. Para isso, é necessário que os objetos, animais e outros sejam “comparados”. A partir de pequenas experiências, o professor deve propor atividades nas quais há necessidade de medidas mais precisas.

Medir é comparar grandezas de mesma espécie.

O ato de medir envolve dois componentes.

Inferência transitiva � : ao usarmos uma régua na comparação de dois comprimentos, por exemplo, é necessário compreender que esses comprimentos podem ser comparados por meio de uma me-dida comum. Para isso, é preciso ser capaz de fazer inferências; se x é igual a y e y é igual a z, então x é igual a z.

Compreensão de unidades � : ao medirmos, estamos preocupados com quantidades reais. As unidades de medida devem ser constan-tes, um centímetro é sempre o mesmo; não seria útil medirmos dois comprimentos em palmos se a mesma mão não fosse aplicada a ambas as quantidades.

Antes de iniciarmos o trabalho de medição, é necessário escolher a uni-dade mais adequada à situação. Pode-se medir a largura de uma carteira, por exemplo, usando o comprimento de um palito de sorvete; porém, não seria viável usar a mesma referência, o comprimento do palito de sorvete, para medirmos a largura de um terreno.

Sentido das medidas


138


O processo de medir algo se dá em três etapas:

escolhe-se um objeto para funcionar como unidade de medida;1.

verificam-se quantas vezes a unidade de medida escolhida cabe no objeto 2. a ser medido;

tenta-se encontrar um número que possa expressar o resultado da medição. 3.

A necessidade de medir é muito antiga, e talvez seja tão antiga quanto a ne-cessidade de contar.

A história nos revela que o homem teve grandes problemas com as unidades de medidas. Antiga mente, utilizava partes do corpo como referência para medir distâncias, objetos e outros. A polegada, o palmo, a braça e o pé são exemplos de algumas dessas referências.

Os egípcios, há cerca de 4 mil anos, utilizavam como padrão de medida o cúbito, que é a medida do cotovelo à ponta do dedo médio. Porém, as pessoas têm tamanhos diferentes, então o cúbito variava de pessoa para pessoa, ocasio-nando diferenças nos resultados das medidas. Isso acontecia também em outras civilizações com as medidas como palmos, passos, polegadas, pés etc. Esses pro-blemas levaram o homem a criar unidades de medida padronizadas.

Para fazer medições mais precisas, é necessário um modelo de referência fixa, ou seja, um instrumento de medida que será utilizado como medida-padrão. O modelo-padrão deve ser invariável em função de tempo e de lugar.

Durante a Revolução Francesa, no século XVIII, tomou-se a iniciativa de unifi-car mundialmente os padrões de medidas. Devido aos problemas das variâncias, era preciso escolher um sistema simples de unidade, baseado em padrões fixos, imutáveis. A Academia de Ciências, em 1799, criou o metro. O metro é definido como a quarta parte do meridiano terrestre dividida em 10 milhões de partes iguais, ou seja:

1 metro = 1

10 000 000 do arco que corresponde a 90º.

Como os meridianos não são rigorosamente iguais, foi escolhido, como re-ferência para o metro, o meridiano que passa em Paris. Essa medida foi então gravada em uma barra de platina. A platina foi escolhida por ser um metal que não se dilata muito com o calor nem se contrai muito com o frio.


Sentido das medidas

139

Hoje, segundo Toledo e Toledo (1997), utiliza-se o criptônio – gás nobre pre-sente na atmosfera –, em proporção muito pequena, para determinação do metro. O metro passou então a se caracterizar como um múltiplo do compri-mento de onda do criptônio.

A partir do metro, definem-se outras medidas, umas mais utilizadas que outras. Vejam:

mil metros (1 000 metros) = 1 quilômetro (km); �

cem metros (100 metros) = 1 hectômetro (hm); �

dez metros (10 metros) = 1 decâmetro (dam); �

a décima parte do metro (0,1 metro) = 1 decímetro (dm); �

a centésima parte do metro (0,01metro) = 1 centímetro (cm); �

a milésima parte do metro (0,001metro) = 1 milímetro (mm). �

Dessas medidas padronizadas, além do metro, as mais usadas são o quilô-metro, utilizado para medir extensões de estradas, por exemplo; o centímetro e o milímetro, usados para medir extensões relativamente pequenas, como o compri mento e a largura de uma folha de papel.

A partir do metro são definidos padrões para a medida de área e de volume.

Vejam:

A superfície quadrada definida pelas dimensões 1 metro por 1 metro ocupa um espaço que chamamos de 1 metro quadrado (1m2).

1m2 1m

1m

O volume ocupado por um cubo de arestas 1m ocupa um espaço tridimen-sional de 1 metro cúbico (1m3).


140


1m3

1m1m

1m

Grandezas mensuráveis e não-mensuráveis As grandezas podem ser mensuráveis ou não-mensuráveis. Quando é possí-

vel definir a soma de dois valores de uma mesma grandeza, essa grandeza é dita mensurável. Como exemplos de grandezas mensuráveis há:

o comprimento; �

a superfície; �

o volume; �

a massa. �

As grandezas não-mensuráveis são apenas marcáveis. Como exemplo, pode--se citar a temperatura e o tempo. Essas grandezas são marcadas e ordenadas segundo uma escala numérica que é tomada como referência. Ao contrário das grandezas mensuráveis, não faz sentido somarmos valores. Se misturarmos, por exemplo, água a 100ºC com água a 50ºC, não teremos água a 150ºC.

As unidades-padrão para medir comprimento, área, volume, massa, capaci-dade e temperatura baseiam-se no Sistema de Numeração Decimal. Já as uni-dades-padrão para medir tempo e ângulo utilizam o Sistema de Numeração Se-xagesimal, de origem babilônica. Por exemplo: uma hora tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos.

As medidas nas primeiras séries do Ensino Fundamental

As crianças estão incluídas num mundo onde utilizam muito outras unidades de medidas.


Sentido das medidas

141

Usualmente pedem por um copo de água, uma lata de refrigerante, questio-nam sobre sua massa, ou seja, “peso”. Perguntam sobre quão grande são deter-minados objetos, ambientes (dessa forma estão se referindo a volume), pergun-tam por preços, já se preocupam se falta muito tempo etc.

Quando pedem por um copo de água, podem se dar conta que este tem a mesma capacidade da lata de refrigerante ou de uma caixinha de suco, isto é, de 250ml de líquido.

Ao trabalhar as unidades de medida com as crianças, os professores devem propiciar condições para que elas percebam que vários desses sistemas de medida são decimais.

Exemplos:

o agrupamento de 10 moedas de 1 centavo equivale a 1 moeda de 10 �centavos;

10 moedas de 10 centavos equivalem a um real; �

10 moedas de um real equivalem a uma cédula de 10 reais; �

10 cédulas de 10 reais equivalem a uma cédula ou nota de 100 reais. �

Já no sistema de medida de tempo, a base é sexagesimal, ou seja, a base é 60:

60 segundos equivalem a 1 minuto; �

60 minutos equivalem a 1 hora. �

Atividades como a de verificar quantos copos cheios de líquido são necessá-

rios para completar um litro proporcionam aos alunos a compreensão de que

250ml corresponde a 1

4 de um litro, pois um litro tem 1 000ml e 250 ml corres-

ponde exatamente a quarta parte de 1 000ml. Podem ainda fazer uma relação semelhante a essa ao perceberem que uma moeda de 25 centavos corresponde também a quarta parte de 1 real, por essa razão se dão conta de que precisam de 4 moedas dessas para obter um real que, no nosso sistema monetário, equivale a uma moeda ou uma cédula de um real.

Dom

ínio

púb

lico.

= =


142


É importante que os alunos percebam que:1

4 � de um real é 25 centavos, pois 100 : 4 = 25;

1

4 � de um litro é 250ml, pois 1litro = 1 000ml e 1 000 : 4 = 250.

No entanto:

1

4 � de uma hora é 15 minutos, porque 60 : 4 = 15.

Devem-se, ainda, apresentar diferentes situações cotidianas aos alunos para que percebam as unidades de medidas de temperatura, de giro (dada em graus – que nesse caso também é sexagesimal), de superfície, de volume, e de outras mais. Atividades de giro utilizando ângulos de determinadas medidas são opor-tunas às crianças desde muito cedo. Elas podem ser solicitadas para que girem para a direita, para a esquerda, e assim fazem giros de 90º para direita ou esquer-da conforme solicitado. Nesse caso pode-se chamar atenção para perceberem que fizeram um giro de uma volta completa. Outras medidas de ângulos podem ser solicitadas conforme seu nível de compreensão. Ex.: ângulo de meia-volta (180º), giro de uma volta completa (360º).

Texto complementar

Situações que envolvem medições(FONSECA et al., 2001, p. 99-107)

O propósito desta atividade é despertar os professores em formação para a importância de se promover o desenvolvimento da capacidade de medir desde o primeiro segmento do Ensino Fundamental, considerando-se a fre-quência com que situações, envolvendo as medições, surgem na vida diária, ou seja, levando-se em conta a relevância social dos conhecimentos a elas referentes. Assim, propomos aos professores questões que pretendem cha-mar-lhes a atenção não somente para a necessidade de resolver esse tipo


Sentido das medidas

143

de situação, mas também para a diversidade de estratégias que podem ser usadas para sua resolução, como a simples comparação, o raciocínio espa-cial, o emprego de padrões de medição ou a realização de cálculos.

As situações selecionadas são propositadamente abertas, de modo a enriquecer a discussão proposta pela necessidade de nela se considerarem outros aspectos – práticos, econômicos, estéticos – que, embora não ligados diretamente às medições, apresentam-se muito frequentemente nos con-textos que as envolvem.

Descrição O formador propõe a cada grupo de três ou quatro professores uma das

questões que se seguem. Caso seja necessário, o formador esclarece os pro-fessores a respeito da abertura proposital dessas questões. Os grupos discu-tem as possíveis soluções para a situação que lhes couber e escolhem um relator que registre, junto com essas soluções, as considerações feitas para obtê-las.

Em seguida, cada grupo apresenta à plenária sua questão e as manei-ras que propuseram para solucioná-las. É fundamental que os professores, nessa reunião, procurem contribuir com comentários relativos às questões que não tiveram oportunidade de abordar na primeira parte da atividade, realizada nos grupos pequenos.

Finalmente, será proveitoso que o formador proponha a cada grupo pe-queno a produção de um texto que sistematize o conteúdo das considera-ções tecidas em relação à sua questão original, durante toda a atividade.

1. Numa sala retangular há apenas uma tomada na parede oposta àquela em que você quer encostar seu televisor. Como determinar quanto de fio será necessário para ligá-lo?

2. Como se pode desenhar um quadrado de 4cm de lado exatamente no centro de uma folha de papel A4?

3. Como se pode determinar quanto de plástico será preciso para enca-par os cadernos e livros de um aluno?


144


ComentáriosComo se pode perceber imediatamente, as situações presentes na ativi-

dade referem-se a medições de comprimento, superfície e capacidade que, entre as várias grandezas a serem focalizadas no primeiro segmento do Ensino Fundamental, são as diretamente ligadas a ideias geométricas.

A primeira questão apresenta uma situação bastante comum no dia-a-dia, que é, em geral, resolvida mediante o uso de uma extensão conectada ao fio do aparelho que deve ser ligado. Evidentemente, há extensões de compri-mentos variados que possibilitam a conexão do televisor à tomada e, por-tanto, o problema não tem solução única. Ao examinar a situação, os profes-sores podem responder que basta medir a distância entre a tomada e o lugar onde o televisor deve ficar e usar um fio cujo comprimento seja essa medida. No entanto, essa situação tão simples dá margem a diversas considerações. Por exemplo, os professores poderão discutir duas possibilidades: na primei-ra, o fio fica solto no chão; na segunda, fica preso ao rodapé e deverá então percorrer uma parte do contorno da sala. Em ambos os casos, mais comu-mente o televisor não será colocado no chão e, sim, sobre um móvel a certa distância do solo; também a tomada está a uma certa altura do chão e assim essas distâncias devem ser levadas em conta.

Um outro aspecto a ser discutido é o que diz respeito ao instrumento a ser utilizado para medir o comprimento que o fio deve ter. Os professores pode-rão propor que se use uma trena, uma fita métrica ou mesmo uma régua, isto é, que se trabalhe com uma unidade padrão de medida. Porém, é interessan-te também discutir como se pode resolver o problema no caso de nenhum desses instrumentos estar disponível. Assim, é possível utilizar comparação com comprimentos não-padronizados, ou seja, vale medir com barbante ou um cinto, por exemplo. Essa discussão chama a atenção para os três aspectos fundamentais da medição: a comparação entre grandezas de mesma natu-reza, a realização dessa comparação com uma unidade-padrão, e a medida, que é o número que expressa o resultado dessa última comparação.

A resposta à segunda questão são os valores das distâncias que devem existir entre cada lado do quadrado e o lado da folha de papel que será para-lelo a ele. Pode-se chegar a tais valores por meio de um cálculo simples para o qual é necessário conhecer as dimensões da folha de papel A4, que não são dadas na questão para chamar a atenção dos professores para dimen-


Sentido das medidas

145

sões padronizadas, em geral, apresentadas nas embalagens dos produtos ou para que eles mesmos as meçam.

Contudo, outra solução interessante é aquela que se obtém usando do-braduras muito simples para localizar o centro de uma folha de papel A4 e de um quadrado recortado em papel. Fazendo coincidir os dois centros, o quadrado estará exatamente no centro da folha de papel e poderá ser dese-nhado conforme se pede. Nesse caso, as distâncias desejadas são encontra-das por uma medição direta.

Uma situação, como a abordada nessa segunda questão, ocorre frequen-temente na prática: por exemplo, muitas vezes é necessário apresentar um texto estando fixadas as dimensões da “mancha” que o mesmo deve ocupar numa página de determinado tipo de papel. Nesse caso, é por meio de um cálculo das margens (que essencialmente é o mesmo feito para resolver a segunda questão) que se pode fazer uso das instruções de um processador de textos como o Word.

Situações como a da terceira questão ocorrem na prática para o professor quando elabora a lista de material escolar dos alunos ou quando alguém encapa os próprios livros e cadernos ou os de seus filhos. Como a questão não contém dados numéricos, os professores podem propor sua solução com valores hipotéticos para a largura do plástico e o número e as dimen-sões dos livros e cadernos, e efetuar ou descrever os cálculos corresponden-tes, naturalmente considerando as dobras que serão feitas ao encapar o ma-terial. Podem, ainda, propor uma solução empírica envolvendo uma simples comparação – dispõem-se todos os livros e cadernos sobre o rolo de plástico aberto e toma-se a medida do comprimento necessário, mais uma vez levan-do as dobras em consideração. É interessante que os professores comparem essas duas soluções entre si ou com outras que podem ser eventualmente propostas, discutindo a sua praticidade e conveniência.

Para finalizar estes comentários, reforçamos nossa posição de desacordo com certas abordagens do tema, ainda presentes na prática escolar do pri-meiro segmento da Escola Fundamental, as quais destacam, desnecessaria-mente, o estudo das unidades e subunidades de medidas e as conversões das mesmas e/ou insistem na apresentação ou dedução de fórmulas para o cálculo da área e do volume de algumas figuras e sólidos geométricos. Reconhecemos o valor social do conhecimento de unidades de medidas


146


usuais e de suas relações com seus múltiplos e submúltiplos “mais famosos”, bem como das fórmulas e procedimentos para o cálculo de áreas e volumes. No entanto, é fundamental que a abordagem da questão da medida não se reduza a um treinamento de técnicas, em detrimento dos aspectos históri-cos e epistemológicos que lhe são essenciais.

Dicas de estudoLer o livro: Medindo Comprimentos.

Coleção: Vivendo a Matemática.

Autor: Nilson José Machado.

Editora: Scipione.D

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o Sc

ipio

ne.

A obra aborda várias questões de medidas, explora o surgimento do metro e trás atividades interessantes incluindo várias formas de medir.

Atividades1. Qual foi o motivo que levou à criação do metro?


Sentido das medidas

147

2. Qual é o sentido de medir?

3. Quais são os componentes que envolvem o ato de medir? Explique-os.



São muito antigas as primeiras considerações que o homem fez a res-peito da Geometria. Eves (2002) ressalta que, provavelmente, a Geometria originou-se de observações simples que possibilitaram reconhecer confi-gurações físicas, comparar formas e tamanhos. O mesmo autor destaca, ainda, que a noção de distância deve ter sido um dos primeiros conceitos geométricos a serem desenvolvidos pelos homens primitivos.

Boyer (1996) relata que Heródoto subestimou a idade da Geometria e acreditava que ela teria surgido da necessidade prática de fazer novas me-didas de terra após as inundações no vale do rio Nilo, e essa necessidade fez com que aparecessem os “mensuradores”.

Os conceitos de área e perímetro surgiram, provavelmente, por causa de problemas relacionados a medições de terra. Segundo Eves (2002), a ne-cessidade de delimitá-la levou a noções de algumas figuras geométricas, tais como retângulos, quadrados e triângulos, mas a Geometria, no senti-do mais amplo, surgiu em tempos mais antigos que a arte de escrever.

A história da Matemática nos indica que as civilizações antigas desco-briram algumas fórmulas para o cálculo de área de várias figuras, sendo algumas com precisão e outras aproximadas.

Segundo Baldini (2003), os problemas de medida de terra e cálculo aproximado de área de terrenos estão presentes ainda hoje no cotidiano, e são de muita relevância tanto nas práticas rurais quanto nas urbanas. Como exemplo temos a situação do agricultor que, ao fazer o plantio, muitas vezes precisa estimar a área do terreno, o qual, em muitos casos, é de forma irregular. Pode-se citar também como exemplo o Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU) que, entre outros fatores, é cobrado em função da área do terreno e da área construída. Outros profissionais, como os da construção civil, também lidam com muita frequência com os cálculos de área, perímetro e tantos outros.

Área e perímetro


150


As grandezas geométricas são abordadas em todos os ciclos do Ensino Fun-damental. Noções de comprimento e capacidade são introduzidas no primeiro ciclo; as de área e perímetro, no segundo ciclo; e as de volume, no terceiro.

O conceito de área e o processo de medir área, do ponto de vista da estrutura matemática, segundo Bellemain e Lima, “tem como ponto de partida a definição de uma função (f ), dita função área, num conjunto de superfícies, assumindo valores no conjunto dos números reais não-negativos” (2001, p. 2). Esses autores relatam, ainda, que existem três propriedades julgadas essenciais para caracteri-zar a grandeza área, que são:

Positividade1. – uma figura que possua interior não-vazio tem área positiva.

Aditividade2. – se duas figuras A e B têm em comum pontos de suas fron-teiras, então a área da figura AuB (A união com B) é a soma da área A com a área B.

A

B

Invariância por isometrias3. – se uma figura plana A é transformada em outra, B, de modo que a distância entre dois pontos quaisquer de A fica inalterado em B, então A e B têm a mesma área.

A

E

D

D’

E’

C

C

B


Área e perímetro

151

Diante dessas propriedades, é preciso verificar quais superfícies são mensu-ráveis pela função área, uma vez que não é possível medir todo o plano utilizan-do somente a Matemática escolar (no Ensino Fundamental), sendo necessário limitar uma região contida nesse plano. Para abordar o conceito de área, faz -se necessário pressupor conhecimentos referentes ao conceito de comprimento e também assumir uma outra superfície, que será tomada como unidade de área para comparar com a superfície da qual se deseja saber a área. Essa é uma ques-tão muito importante e precisa estar clara para os alunos:

Medir é comparar.

Medir a área de uma superfície é compará-la à área de outra superfície.

As experiências de trabalho realizadas com os conteúdos de área e períme-tro, e também as avaliações de rendimento escolar feitas por órgãos públicos, indicam que as crianças fazem grande confusão entre área e perímetro. Nas re-soluções de problemas que envolvem esses conteúdos, as crianças, e mesmo os adolescentes, utilizam relações incorretas como, por exemplo, equivalência entre área e perímetro. As unidades também são empregadas de forma errada. Muitas vezes expressam área com unidades lineares (cm, m, km etc.) ou unida-des cúbicas (cm3 , m3 , km3 , mm3). As unidades de área devem se expressar por cm2 , m2 , km2 e outras.

Baltar (1993) classificou as diferenças entre área e perímetro sob quatro pontos de vista diferentes.

Topológico � : os conceitos de área e de perímetro correspondem a objetos geométricos distintos, a área sendo associada à superfície e o perímetro, ao contorno.

Figura 1 Figura 2

Vejam: foi destacada, na figura 1, a sua superfície, que corresponde à área da figura. Na figura 2, o destaque foi dado ao seu contorno, o perímetro da figura.

Dimensional � : uma superfície e seu contorno são objetos matemáticos de naturezas distintas no que diz respeito às dimensões, o que traz conse-


152


quências imediatas sobre o uso das unidades adaptadas à expressão das medidas de área e perímetro.

Figura 3 Figura 4

A figura 3 é bidimensional, ou seja, tem duas dimensões adequadas ao cál-culo de áreas. A figura 4 é unidimensional, ou seja, possui uma única dimensão, adequada ao cálculo de perímetro.

Computacional � : corresponde à aquisição das fórmulas de área e períme-tro de figuras usuais.

h

b

Área = b . h

Perímetro = b + b + h + h = 2b + 2h

Variacional � : consiste na aceitação de que área e perímetro não variam necessariamente no mesmo sentido, e de que superfícies de mesma área podem ter perímetros distintos e vice-versa.

u

uu

uÁrea = 12u2 Perímetro = 16u Área = 12u2

Perímetro = 14u

As figuras apresentadas possuem mesma área e perímetros diferentes.

As questões de área devem ser tratadas tanto do ponto de vista geométrico quanto do numérico. A articulação entre essas abordagens tornará o estudo de área mais significativo para o aluno, favorecendo dessa forma a ausência das


Área e perímetro

153

dificuldades conceituais, muito observadas nas pesquisas relacionadas com área e perímetro.

Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, não é aconselhável a introdução das fórmulas no início do trabalho com área e perímetro. É bom evitá-las e é in-teressante que se faça um trabalho conceitual que permita aos alunos construir o significado de área e perímetro. No entanto, pode-se introduzi-las no final do 2.º ciclo, desde que seja trabalhada, cuidadosamente, a sua justificativa.

Vejamos a seguir a justificativa para a fórmula da área de alguns dos princi-pais polígonos.

Área do quadrado: – é dada pela multiplicação da medida de um lado por ele mesmo. Vejam:

u

u

No exemplo, temos 4 unidades quadradas (u2) em uma das dimensões e outras 4 na outra.

u

u

Para preenchermos toda a sua superfície, teremos 4 + 4 + 4 + 4 ou, simples-mente, 4 x 4. Para generalizar essa ideia, para todo quadrado teremos A = I x I ou, ainda, se já tiver sido introduzido o conceito de potência, A = I2, em que I indica a medida do lado do quadrado.


154


Área do retângulo – para justificarmos a fórmula, podemos utilizar a mesma ideia usada para o quadrado. A área do retângulo é dada pela multiplicação da medida de uma das suas dimensões pela outra, ou seja, a medida da base multi-plicada pela medida da altura. Vejam:

u

u

No exemplo, temos 5 unidades quadradas (u2) na medida de sua base e 3 unidades quadradas na medida de sua altura.

u

u

Para preenchermos toda a superfície, teremos 5 + 5 + 5 ou, simplesmente, 5 x 3. Generalizando essa ideia para todo retângulo, teremos A = b x h, em que b indica a medida da base e h indica a medida da altura.

Área do triângulo – pode ser facilmente justificada utilizando-se da área do retângulo. É dada pela multiplicação da medida da base pela medida da altura, dividindo-se o resultado obtido por 2. Vejam:

Se fizermos b x h, teremos a área do retângulo todo. O retângulo está dividi-do em duas partes iguais, uma destacada e outra não. Como as duas áreas são


Área e perímetro

155

iguais, para saber a área do triângulo não-destacado basta calcular a área do retângulo e dividi-la por 2. Logo, a área do triângulo pode ser dada por:

Ab h

= .

2

Acreditamos que a compreensão das fórmulas dessas três figuras geométri-cas é um grande passo rumo à compreensão de outras fórmulas em Geometria.

Texto complementar

Da convenção do metro ao criptônio(TOLEDO; TOLEDO, 1997, p. 279)

Em 1799, a França tomou a iniciativa de estabelecer um sistema de me-didas com padrões invariáveis. Para unidade de comprimento foi definido o metro, palavra derivada do grego metron que significa “medida”. Para que o metro fosse válido em qualquer local do mundo, não podia depender de um padrão substituível (como as medidas do rei). Assim, a Academia de Ciências francesa usou, para estabelecer o metro, a quarta parte do comprimento do meridiano terrestre, dividida por 10 milhões.

Fez-se uma barra de platina com esse tamanho, que foi guardada para servir de modelo. Como a platina é um metal que apresenta elevado ponto de fusão, não sofre variações de comprimento em temperatura ambiente.

Aos poucos, várias nações foram adotando esse padrão. Em 1875, deze-nove países, entre eles o Brasil, assinaram a Convenção do Metro, no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em Paris. Cada um levou uma cópia da barra original, passando a adotar esse padrão em todas as medições de com-primento utilizadas nas transações dentro de seu território e com os países signatários da convenção.

Daí em diante, mais e mais países também foram aderindo à Convenção do Metro, nas reuniões periódicas feitas no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em Paris.


156


A partir de 1960, a definição do metro deixou de se apoiar na medida do meridiano (que não pode ser feita diretamente), passando a se caracte-rizar como um múltiplo do comprimento da onda do criptônio – gás nobre presente na atmosfera em proporção muito pequena. Esse comprimento de onda pode ser obtido em qualquer país e é perfeitamente fixo.

Dicas de estudoLer o livro: O Ensino de Geometria na Escola Fundamental: três questões para a

formação do professor dos ciclos iniciais.

Autoras: Maria da Conceição F. R. Fonseca, Maria da Penha Lopes, Maria das Graças Gomes Barbosa, Maria Laura Magalhães Gomes, Mônica Maria Machado S. S. Dayrell.

Editora: Autêntica.D

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o Au

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ica.

Destinado a educadores em formação inicial ou continuada e a formadores de professores do primeiro segmento do Ensino Fundamental, esse livro foi ela-borado para discutir questões que emergem no e do trabalho com o ensino de Geometria, mas que em geral extrapolam o contexto específico de seus conteú-dos e permeiam toda a Educação Matemática nesse nível de ensino.

Atividades1. Coloque A para situações que envolvem área e P para situações que envol-

vem perímetro,

a) ( ) Pavimentar o chão de uma cozinha.

b ( ) Comprar arame para a construção de uma cerca.


Área e perímetro

157

c) ( ) Espaço para construção de uma garagem.

d) ( ) O preço da venda de um sítio.

e) ( ) Trocar o rodapé de uma sala.

2. Calcule a área de um quadrado cujo lado mede 12cm.

3. Baltar classificou a diferença entre área e perímetro sob quatro pontos de vista diferentes. Quais são eles? Explique cada um com suas palavras.



Segundo Davis e Hersh (1985), a criança, desde muito cedo, aprende os algarismos de 1 a 9 e as formas de relacioná-los, de trabalhar com núme-ros decimais, elevá-los a uma potência etc. Símbolos especiais constituem parte do registro escrito da Matemática e do grande número de símbolos das linguagens naturais. Ela também aprende símbolos que representam as operações com +, –, x, :, , e outros tantos. Ainda aprende símbolos de agrupamentos como ( ), { } etc.; símbolos de interpretações especiais, como 45º; símbolos de relações, como =, > etc. Esses símbolos acabam “emprestando” à Aritmética uma qualidade mística e secreta, conduzindo à Álgebra, na qual as letras ordinárias reaparecem num contexto como incógnitas ou variáveis.

Muitos símbolos criados não são mais utilizados, criando-se outros. As principais funções de um símbolo, em Matemática, são de designar com precisão, clareza e também abreviar. Isso poupa trabalho numa notação. Quando nos deparamos com símbolos, calculamos e os interpretamos. Todo cálculo operacional deriva para o desenvolvimento da Álgebra.

HistóricoA Álgebra se caracteriza por seus métodos, que convergem ao uso de

letras e expresões literais sobre as quais se realizam operações.

A história da Matemática nos mostra que a Álgebra passou por várias fases de desenvolvimento.

A primeira foi a fase retórica ou verbal. Nela, o pensamento algébrico era expresso com palavras, sem uso de abreviações ou símbolos. Egípcios, babilônios e gregos (antes de Diofanto) utilizaram essa forma de expressar pensamentos algébricos.

O pensamento algébrico


160


A segunda fase, a sincopada, surgiu no século III com o grego Diofanto (325-409), de Alexandria, que utilizou a letra grega “sigma” para representar a incóg-nita numa equação. Os hindus também utilizaram abreviações para representa-ções algébricas.

A terceira e última fase, conhecida como simbólica, utiliza somente símbolos. Um dos matemáticos que se destacou nessa fase foi Viète (1540-1603), que utilizou vogais e consoantes para representar constantes e incógnitas, respectivamente.

No processo de ensino-aprendizagem de Álgebra, o professor deve propor atividades que permitem ao aluno registrar seu pensamento algébrico utilizan-do-se das características das três fases, e não diretamente numa fase de puro simbolismo.

Normalmente, o trabalho da Álgebra tem sido apresentado de forma frag-mentada, abordando a Álgebra ora num aspecto, ora em outro, sem se preocu-par em fazer uma ligação entre eles ou com sua contextualização.

Quando se afirma que, numa festa, a quantidade de meninas era de dois terços da quantidade de meninos, não importa a quantidade de meninos; a razão entre a quantidade de meninas e meninos será sempre de dois terços. Da mesma forma, se afirmamos que 20% dos alunos de uma escola foram re-provados em Matemática, a ideia de função é evidente e, por trás disso, está um pensamento algébrico. Não importa a quantidade de meninos na festa ou a quantidade de alunos da escola, sempre serão dois terços ou 20% para os dois casos, respectivamente.

Um dos caminhos para introduzir o estudo da Álgebra na escola é por meio da observação de regularidades a partir de sequências e padrões.

Concepções da ÁlgebraAlgumas concepções da Álgebra, segundo Coxford e Shulte (1995), são:

como Aritmética generalizada; �

como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de proble- �mas;

como estudo de relações entre grandezas; �

como estudo das estruturas. �



161

Na Álgebra como Aritmética generalizada, as variáveis são generalizadoras de modelos como:

5 + 2 = 2 + 5 como a + b = b + a

Dessa forma, pode-se generalizar essa ideia de modo a tirar propriedades. Num nível mais avançado, a noção de variável como generalizadora de mode-los é fundamental em modelagem matemática. Nessa concepção de Álgebra, as instruções-chave são traduzir e generalizar. Não são técnicas importantes apenas para a Álgebra, mas também para a Aritmética. A notação algébrica é invenção atribuída a François Viète (1564). A descrição algébrica assemelha-se à descrição numérica por causa da similaridade de suas sintaxes.

Na concepção da Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas, quando escrevemos, por exemplo, 5x + 3 = 40 para um problema que diz “adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é de 40”, estamos apenas começando.

Ao somar (– 3) a ambos os membros temos:

5x + 3 + (–3) = 40 + (–3), que simplificado fica:

5x = 37, e então dividindo todos os termos por 5 temos:

5

5

37

5

x =

x = 7,4

Nessa concepção de Álgebra, as variáveis são incógnitas ou constantes. Nesse caso, as instruções-chave são simplificar ou resolver, o que, às vezes, é uma única ideia.

Numa terceira concepção, temos a Álgebra como estudo de relações entre grandezas. Por exemplo, quando escrevemos A = b . h para a área de um retân-gulo, expressamos relações entre grandezas. Nesse caso, não se tem a impressão de trabalhar com uma incógnita, embora se possa pensar em uma fórmula como uma forma especial de generalização. A diferença entre essa concepção e a ante-rior é que, nesse caso, temos variáveis e não incógnitas.

A característica da quarta concepção – a Álgebra como estudo das estrutu-ras – é a manipulação de variáveis como símbolos arbitrários, sem relação com


162


o problema ou função ou ainda padrão a ser generalizado. Nessa concepção, a variável é tratada como símbolos manipuláveis seguindo regras e propriedades da Aritmética. Como exemplo, podemos citar a fatoração de um polinômio. Se-gundo Usiskin (1995), a ênfase exagerada no ensino da Álgebra na concepção de estudo das estruturas trouxe problemas. O “simbolismo extremado” leva o aluno a uma manipulação automática, não permitindo que ele compreenda as ideias essenciais da Álgebra.

A Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental

A Álgebra é uma forma específica de pensamento para estabelecer padrões e expressar relações. Devemos compreendê-la como uma linguagem, cuja princi-pal função é comunicar ideias gerais.

A fala precede a escrita assim como o pensamento algébrico precede a lin-guagem algébrica. Qual o momento de iniciar o pensamento algébrico no aluno? Os currículos indicam que o desenvolvimento de noções algébricas deve ocorrer nas séries iniciais; essas atividades são chamadas de pré-álgebra.

O professor das séries iniciais deve propor ao aluno atividades que permitam:

observar e comparar padrões geométricos e numéricos; �

observar e expressar regularidades; �

desenvolver uma linguagem que permita se expressar matematicamente. �

Escrever matematicamente, fazendo uso da simbologia adequada, é ponto importante na construção do raciocínio algébrico.

A linguagem simbólica tem papel muito importante no raciocínio algébrico, mas deve ser trabalhada de forma que o aluno consiga construir significados.

As atividades de classificação e seriação, trabalhadas na pré-escola, podem ser aproveitadas para explorar o pensamento algébrico, buscando regularida-des e desenvolvendo a estrutura de generalização. Para isso, é necessário que o professor conheça a importância das regularidades, invariância e generalização. Nesse tipo de atividade, o aluno pode, segundo Consalter (1994), estabelecer



163

relações entre os objetos. Essa é a condição básica para a construção do pensa-mento algébrico, que é elaborado a partir da criação e coordenação dessas re-lações, construídas não apenas por meio do mero manuseio da linguagem, mas também por meio de situações e experiências com materiais manipuláveis.

O professor deve permitir que o aluno registre suas conclusões da forma como preferir e ajudá-lo, posteriormente, na construção/apropriação de uma linguagem significativa. Isso evitará que o aluno mecanize os conteúdos e passe pelo ensino da Álgebra sem que este tenha sentido, desmistificando-o.

Atividades que colaboram no desenvolvimento do pensamento algébrico

Sequência de desenhos

Essa atividade pode ser explorada no Ensino Fundamental em várias séries. Na pré-escola ou na primeira série, por exemplo, podem-se perguntar:

Qual é a próxima figura?

Resposta: coração.

Como você pensou para dar a resposta?

Resposta: o aluno pode dizer que observou que sempre dois corações estão juntos.

Essa é uma questão que exige que as crianças observem a regularidade e en-contrem uma “regra” geral para poderem explicar como acharam a resposta.

Atividades dessa natureza colaboram muito quando o foco do trabalho está voltado para o desenvolvimento do raciocínio algébrico.

Nas séries posteriores, podem-se perguntar:


164


Qual é a próxima figura?


Qual figura ocupará a décima quinta posição?

Resposta: carinha.

E a trigésima posição?


Explique como você fez para chegar às suas respostas.

Resposta: o aluno pode dizer que foi desenhando a sequência, até encontrar a décima quinta e a trigésima.

Sequência de númerosObserve a seguinte sequência e responda as questões a seguir:

4 8 12 16 4 8 12 16 4 8 12 16 4 8 12 16 ...

Essa sequência numérica tem uma regra? Qual?

Resposta: sim, começa pelo número quatro e depois aumenta de quatro em quatro, até chegar ao quarto número. Esses quatro termos encontrados vão se repetindo.

Quais são os próximos dois números dessa sequência?

Resposta: são 4 e 8.

Você consegue encontrar o 40.° termo sem continuar escrevendo a sequência?

Resposta: o 40.° termo é o 16.

Explique como você fez para achar a resposta da questão anterior.

Resposta: para chegar ao 40º termo eu preciso ter 10 sequências de 4 termos, como a sequência é 4 8 12 16, o 40.° termo também será 16.



165

Sequência geométrica

Quantos quadrados possuem cada figura da sequência apresentada?

Resposta: 1.ª – 1, 2.ª – 4, 3.ª – 9, 4.ª – 16.

Quantos quadrados brancos possuem cada figura da sequência?

Resposta: 1.ª – 0, 2.ª – 2, 3.ª – 6, 4.ª – 12.

Quantos quadrados pretos possuem cada figura da sequência?

Resposta: 1.ª – 1, 2.ª – 2, 3.ª – 3, 4.ª – 4.

Sem desenhar a figura, você pode dizer quantos quadrados, quantos qua-drados brancos e quantos quadrados pretos possui a próxima figura dessa sequência?

Resposta: a próxima figura tem 25 quadrados, sendo que 5 são pretos e 20 são brancos.

O professor pode ainda perguntar aos alunos como eles chegaram nessa res-posta, explorar números quadrados perfeitos, fazê-los perceber que a soma do número de quadrados brancos mais o número de quadrados pretos é sempre igual ao total de quadrados que a figura possui.

Um próximo passo seria desenvolver com os alunos tarefas em que eles tenham que criar símbolos para representar fatos. Um bom exemplo seria criar uma sequência de sons; os alunos mesmo podem inventar e, depois de definida a lógica da sequência, eles podem registrar essa sequência. A princípio é possí-vel que os alunos queiram escrever usando palavras, e o professor deve condu-zir a tarefa de forma que os mesmos façam abreviações e posteriormente utili-zem símbolos para representar os sons. Essa seria uma mostra de que a história das fases do desenvolvimento da Álgebra se reconstrói na sala de aula. Fazer os alunos vivenciarem essas fases pode ajudá-los a dar sentido para os símbolos que utilizamos em Matemática.


166


Texto complementar

“Vida danada...”(PARATELLI, 2001)1

Sou coordenadora de Matemática de um Programa2 Piloto em Campinas – SP, que tem como objetivo a Formação de Professores da Rede Pública de 1.ª a 4.ª séries do Ensino Fundamental, visando à melhoria da qualidade no ensino. Esse programa tem duração prevista de quatro anos, em cinco es-colas de periferia, com pretensão de ampliação à medida que se mantêm e conseguem recursos com empresas privadas da região.

Ao mesmo tempo, participo aos sábados, desde 1999, do Grupo de Pes-quisa Ação em Álgebra Elementar – GPAAE, da Faculdade de Educação da Universidade Estadual de Campinas, onde busco ampliar minha formação te-órico-metodológica ligada à Matemática, em especial à Álgebra elementar.

Em um de nossos encontros realizado em abril de 2000, decidimos aplicar uma atividade em diversos níveis, para compreender as dificuldades apre-sentadas pelos alunos diante da conservação de uma sequência até a gene-ralização algébrica.

Essa atividade foi elaborada pelo grupo, a partir de uma reflexão sobre uma publicação do CAEM3. Exploraria a Conservação de Sequência, confor-me quadro abaixo, aplicando para uma 4.a série do Ensino Fundamental, com a colaboração de uma das professoras de uma das escolas onde trabalho.

Observe a sequência de figuras abaixo:1.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

1 Conceição Aparecida Paratelli, coordenadora de Matemática do programa Qualidade na Escola.2 Programa Qualidade na Escola.3 Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP. SOUZA, E.R.; DINIZ, M.I.S.V. Álgebra: das variáveis às equações e funções. São Paulo: CAEM – IME – USP, 1994.



167

Qual a próxima figura da sequência? Desenhe.a.

E a seguinte? Desenhe.b.

Explique como seria a sétima figura desta sequência.c.

Com isso estaria explorando a habilidade dos alunos para Conservação de Sequência, para analisar as dificuldades encontradas nas séries seguintes.

A atividade foi realizada com a colaboração da professora da 4.ª série de uma escola estadual da periferia da cidade.

A professora Alessandra costuma trabalhar em grupos, utilizando como eixo para o ensino da Matemática a Resolução de Problemas.

A turma é constituída de alunos na faixa etária entre 9 e 12 anos e são, na maioria, de famílias que vivem em assentamentos.

No dia da aplicação da atividade, fui até a sala de aula, conversei com as crianças sobre o objetivo daquela atividade e perguntei se elas sabiam o que era uma sequência.

Em coro responderam: – “É colocar em ordem’’.

Fiquei satisfeita com a resposta e achei que entenderiam a proposta da atividade. Após a distribuição, solicitei que lessem, com muita atenção, que discutissem em grupo e, depois, entregassem à professora.

O entusiasmo das crianças era tanto que lamentei voltar para o meu tra-balho e não poder acompanhar a atividade até o fim. Orientei a professora que deixasse os alunos à vontade.

Quando a professora trouxe o pacote com atividades, fui logo verifican-do como tinham realizado. A maioria entendeu a proposta e desenhou as figuras corretamente, mas na hora da explicação, seguiu o padrão numérico, ou seja, respondeu que a sétima figura teria 20 quadradinhos brancos e 7 quadradinhos pintados, ou que os quadradinhos brancos aumentavam de dois em dois, os quadradinhos pintados aumentavam de dois em dois e os quadrinhos pintados aumentavam de 1 (um) em 1 (um).

Além disso, tive uma surpresa com algumas respostas ou representações e levei para o GPAAE no sábado seguinte.


168


Analisando as respostas/representações dos alunos dessa classe, encon-tramos algo relevante que nos surpreendeu: 30% dos alunos não mantêm o padrão geométrico, mas o padrão numérico e as explicações são semelhan-tes aos que seguiram o padrão geométrico.

Fig. 6

Representação de Daniely

Fig. 5

Fig. 5

Fig. 6

Representação de Laynara

Fig. 5

Fig. 6

Representação de Márcia

Essas representações causaram surpresa, pois esperávamos que conser-vassem o padrão geométrico, embora houvesse uma lógica no pensamento numérico.

Fiquei inquieta, pois a princípio me pareciam erradas, mas como só nessa escola obtive esse tipo de resposta, refleti melhor e verifiquei que tinham coerência. Isso nos levou a levantar as seguintes hipóteses:



169

Ausência de um trabalho com Geometria nas séries iniciais. �

O trabalho de formação que desenvolvo com professores de 1.ª a 4.ª séries tem mostrado que esse conteúdo é praticamente esquecido nas séries iniciais, justamente pela lacuna existente na formação inicial do professor.

Eles não têm segurança para trabalhar Geometria com as crianças, como acontece no trabalho com números, portanto, enfatizam esse conteúdo.

Também, ao buscarem apoio nos livros didáticos, até pouco tempo atrás, esse conteúdo era tão cheio de definições e técnicas, além de se encontrarem nas páginas finais, que não davam o embasamento teórico e prático que o professor necessitava.

O mundo sociocultural e histórico interfere no mundo escolar. �

As crianças são de assentamento, onde a ocupação dos espaços foge do padrão urbanístico usual, o que nos leva a acreditar que transferem essa realidade para as representações geométricas.

Por outro lado, acreditamos que diante dessas dificuldades tornam-se mais criativas para sobreviverem, levando-as a múltiplas interpreta-ções e resoluções.

Diante dessa última hipótese, peguei as atividades dessas crianças e fui falar com a coordenadora pedagógica da escola (a professora tinha entrado de licença gestante), para me certificar se a hipótese levanta-da tinha algum fundamento.

De fato, as estórias de vida dessas crianças são basicamente as seguin-tes, segundo a coordenadora:

“Vida danada” – a família veio do Nordeste e não tiveram parada em �lugar algum, a cada tempo em um lugar.

Moram em assentamento – barracos – e têm que lutar para sobreviver �(moradia, alimentação, saúde etc.). A merenda na escola é fundamen-tal para essas crianças4.

4 Histórias de aulas de Matemática Grupo de Pesquisa – Ação em Álgebra Elementar Campinas, SP: Garf. FE CEMPEM, 2001, p. 31-37.


170


Dos 13 alunos que resolveram a atividade conservando sequência de quan-tidade de quadradinhos pintados e não-pintados, sem seguir o padrão geo-métrico, somente quatro alunos têm vida considerada “regular”; mas como o trabalho foi feito em grupo, acreditamos que tenha havido influência.

Essa hipótese foi levantada porque essa mesma atividade havia sido apli-cada em outra escola, num bairro mais próximo do centro de Campinas, com crianças de vida regular, onde o padrão geométrico de respostas permane-ceu de acordo com o que eu esperava.

Muitas vezes, nós professores não levamos em consideração as hipóteses levantadas pelos alunos e adotamos como certas apenas as respostas por nós esperadas. Senti a falta de oportunidade de voltar à sala de aula, fazer a socialização das respostas e concluir o trabalho.

Esse trabalho levou-me a refletir sobre a importância de ter outros olha-res, que a princípio nos parecem errados, ou seja, diagnosticar as dificulda-des para fazer inferências e o aluno chegar a hipóteses mais coerentes.

Tudo isso foi possível a partir das discussões no GPAAE. Foi no grupo que levantamos essas hipóteses, ao perceber que as respostas dos alunos tinham algum sentido e era importante uma análise; que a atividade levava a outras hipóteses como essas e o quanto é importante esse tipo de trabalho nas séries iniciais, a articulação numérica/geometria/medidas como início de um trabalho progressivo para o ensino da Álgebra nas séries mais avançadas do Ensino Fundamental.

Dicas de estudoPesquise sobre Educação Algébrica no site: <http://www.tvebrasil.com.br/

SALTO>.

O site explora questões importantes da alfabetização algébrica que são refe-rentes às séries iniciais do Ensino Fundamental



171

Atividades1. Qual é a diferença entre incógnita e variável?

2. Cite as três fases de desenvolvimento pelas quais a Álgebra passou e relate as características principais de cada uma.


172


3. O texto cita quatro concepções da Álgebra, segundo Coxford e Shulte. Esco-lha uma dessas concepções e relacione com uma atividade que poderia ser trabalhada nos anos iniciais do Ensino Fundamental.



Mas afinal o que é razão? E o que é proporção?

Quando dizemos que para cada vaga do curso de Matemática temos 10 candidatos temos a relação entre duas grandezas que, para esse exem-plo, são o número de candidatos e o número de vagas. Para essa situação podemos escrever 1:10 ou 1

10 , e lê-se 1 para 10. Essa é uma razão.

Quando temos a igualdade entre duas razões, temos uma proporção.

Exemplo 110

220

= . Isso também pode ser escrito 1:10 = 2:20, e lê-se 1 está

para 10, assim como 2 está para 20.

Podemos reduzir ou ampliar fotos, e elas continuam proporcionais. Uma fotografia 3 por 4, ou seja, de 3cm de comprimento por 4cm de lar-gura, pode ser ampliada para 6cm por 8cm, respectivamente.

Como as razões entre comprimento e largura são 34

na primeira foto

e 68

na segundo foto, e estas são equivalente, podemos escrever mate-

maticamente isso por meio de uma igualdade entre elas, ou seja, 3

4

6

8= ,

formando assim uma proporção.

Nesse caso, como as duas fotos tiveram comprimento e largura duplica-das, elas se tornam proporcionais, mantendo a semelhança entre elas. O que acontece nesses casos é que as fotografias apenas mudaram de tamanho.

Exemplo:

Conceitos fundamentais da proporcionalidade


176


Isto

ck P

hoto

.

Isto

ck P

hoto

.

A representação de números proporcionais pode ser feita de forma algébrica e então temos os números substituídos por letras.

Numa proporção a

b

c

d= , dizemos que: a, b, c, e d são termos da proporção.

b e c são chamados de meios.

a

b

c

d=

a e d são chamados de extremos, e então podemos perceber porque são assim denominados:

meios

a : b = c : d

extremos

Numa proporção, o produto (resultado da multiplicação) dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja: a

b

c

d= . Isso implica que a x d = b x c (essa proprie-

dade é tida como a propriedade fundamental da proporção).

Vejamos o problema seguinte:

Com 1 litro de concentrado de certa fruta, preparam-se 5 litros de refresco.

Qual é a razão entre a quantidade de concentrado e a quantidade de suco obtido?

Nesse caso, a razão é de 15

ou 1: 5.

Para obter 15 litros de refresco, quanto de concentrado será necessário?

Podemos pensar que:

1 litro de concentrado faz 5 litros de refresco;



177

2 litros de concentrado fazem 10 litros de refresco;

3 litros de concentrado fazem 15 litros de refresco.

Podemos também utilizar a propriedade fundamental de proporcionalidade:

1

5 15=

x

multiplicando os meios, ou seja, 5 vezes x, e igualando ao produto dos extre-mos, ou seja, 1 vezes 15, teremos:

5x = 15

x = 15 : 5

x = 3

Resposta: para fazer 15 litros de refresco, nessa concentração, necessita-se de 3 litros de concentrado da fruta.

Grandezas diretamente proporcionaisTempo e distância são duas grandezas diretamente proporcionais. Exemplo:

um carro a uma velocidade de 80km/h percorre uma distância de 80 quilômetros em uma hora. Para percorrer 160 quilômetros, ou seja, para o dobro da distância, também vai precisar do dobro do tempo, portanto levará 2 horas para percorrer essa distância; se triplicar a distância, também triplicará o tempo gasto.

Grandezas como essas (nesse caso, tempo e distância) são chamadas de gran-dezas diretamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma razão; e se uma diminui, a outra também diminui na mesma razão.

Distância (km)

40

80

160

240

120

x3x2

Tempo (h)

0,5

1

2

3

x

x2x3


178


Observa-se que quando a distância foi reduzida para a metade (80 : 2= 40), o tempo também foi reduzido para a metade (1 : 2 = 0,5).

Grandezas inversamente proporcionaisVelocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Exemplo:

Problema 1

Um carro a uma velocidade de 80km/h percorre uma distância de 80 quilô-metros em uma hora. Se sua velocidade for duplicada e passar a ser 160km/h, o tempo para mesmo percurso será a metade, ou seja, 0,5h (meia hora). Se sua velocidade for reduzida para a metade, o tempo gasto para o mesmo percurso será o dobro, ou seja, 2 horas.

Velocidade (km)

40

80

160

Tempo (h)

1

2

0,5

Grandezas como essas (nesse caso, velocidade e tempo) são chamadas de grandezas inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra é reduzida na mesma razão; e se uma diminui, a outra aumenta na mesma razão.

Problema 2

Observe o movimento das engrenagens representadas no desenho abaixo. Note que elas giram em sentido contrário. Imagine que a menor tenha 8 dentes e a maior tenha 16 dentes.

IESD

E Br

asil

S.A

.



179

Responda:

a) Enquanto a engrenagem pequena dá 4 voltas, quantas voltas dá a engre-nagem grande?

Resposta: 2 voltas, pois o seu número de dentes é o dobro, então o número de voltas será a metade do número de voltas dadas pela engrenagem pequena.

b) Preencha a tabela abaixo.

Engrenagem Número de dentes Número de voltasGrande 10

Pequena

Resposta: para a engrenagem grande, 16 dentes – 10 voltas. Para a engrena-gem pequena, 8 dentes – 20 voltas.

Várias são as situações do dia-a-dia que utilizam proporcionalidade (direta ou inversa). A proporcionalidade pode ser utilizada em situações de cálculo de porcentagem, de utilização de escala, de juros e tantas outras.

Exemplos:

Escala = Comprimento no desenho

Comprimento do real

Nos mapas, os comprimentos devem ser diretamente proporcionais aos com-primentos reais. Se a escala de um mapa for de 1cm : 540km, isso quer dizer que cada 1 centímetro do mapa equivale a 540km na realidade.

Porcentagem – ao se trabalhar com razões, é muito comum aquelas cujo de-nominador é 100. Daí se denomina essas razões como porcentagem.

A proporcionalidade nas séries iniciaisAtividades em que as noções de grandezas proporcionais ou grandezas in-

versamente proporcionais são exploradas apresentam-se sempre bastante inte-ressantes, uma vez que encontramos situações de tal “natureza” facilmente em nosso dia-a-dia. No entanto, muitas vezes, ao se ensinar tal conteúdo, o professor


180


acaba não levando em conta o conhecimento prévio do aluno. Na maioria das vezes, são subestimados os conceitos desenvolvidos pela criança no decorrer das suas atividades práticas, de suas interações sociais, partindo para um trata-mento escolar de forma esquemática, privando-a da riqueza de conteúdo advin-do da sua experiência pessoal.

As noções de razão, proporção, número racional, medida, regra de três, por-centagem, probabilidades, semelhança de figuras, escalas e outras são constitu-ídas a partir da ideia de proporcionalidade.

A partir dos primeiros anos de vida, a criança já utiliza, de forma prática, as rela-ções de proporcionalidade. Nessa fase, ela avalia a realidade visualizada de forma qualitativa. Por exemplo, uma criança pode imaginar o tamanho de um objeto que está distante, interpretar desenhos, estimar o espaço por onde quer passar etc.

Mais tarde, a criança faz suas tentativas de natureza quantitativa, podendo comparar a altura de um edifício e de um adulto utilizando seus dedos. Nesse caso, pode fazer uma equivalência da altura do adulto à largura de seu dedo indicador e enumerar o número de vezes que o edifício corresponde à largura do seu dedo.

Segundo Toledo e Toledo (1997), Freudenthal concluiu em suas pesquisas que desde muito cedo as crianças adquirem capacidade de identificar:

objetos ou signos que se diferenciam por suas dimensões; �

um mesmo objeto, a distâncias diferentes; �

um objeto e sua imagem; �

duas imagens de um mesmo objeto em diferentes escalas. �

Situações simples podem contribuir para que as crianças estabeleçam rela-ções e descubram propriedades que as levem ao conceito de proporcionalidade. Proporção é um conceito muito rico que aparece nos mais diversos contextos da vida. Aparecem na compra e venda, nas diversas situações da construção civil, em atividades da ciência e tecnologia etc. No entanto, na escola, na maioria das vezes, esse conceito é trabalhado de forma limitada.

Schliemann e Carraher (1997) têm mostrado, por meio de seus estudos, valio-sos recursos para trabalhar esses conceitos em sala de aula. Para compreender melhor a aprendizagem, elas têm comparado estratégias de resolução de pro-blemas de crianças de rua envolvendo esse conceito, ou seja, comparar estraté-



181

gias de crianças que aprendem tal conceito fora de sala de aula com estratégias de crianças que aprendem proporcionalidade na escola.

As autoras esclarecem que, em grande parte, muitos conceitos matemáticos – entre eles razão e proporção – são adquiridos com base na reflexão sobre si-tuações vividas pelos alunos, e para que estes aprendam proporcionalidade é necessário que tenham oportunidade de discutir as relações proporcionais em diversos contextos.

Elas têm percebido que a compreensão de proporcionalidade tem se torna-do mais fácil quando trabalhada em situações de transação comercial, porque desde cedo os alunos vivenciam situações de compra e venda de mercadorias, quando têm variáveis as quantidades de itens comprados e o preço pago. Por meio dessa razão, podem-se construir tabelas de relação multiplicativa e encon-trar valores proporcionais a serem pagos para outras quantidades de itens.

Veja o exemplo:

Quantidade de cadernos Preço a pagar1 3 reais

2 6 reais

3 9 reais

Segundo Vergnaud (apud SCHLIEMANN; CARRAHER, 1997), um problema que envolve relações proporcionais pode ser resolvido por meio de três estratégias principais:

Estratégia escalar1. – a solução é encontrada a partir da análise das rela-ções numéricas no interior de uma mesma variável. Nesse caso, as variá-veis permanecem independentes umas das outras. Então, são realizadas transformações paralelas em cada uma dessas variáveis, mantendo-se a relação proporcional.

Veja o problema:

“Se 4 peras custam 6 reais, qual o preço de 20 peras?”

Para resolvê-lo, utilizando a estratégia escalar, temos: como 20 peras corres-pondem a 5 vezes mais que 4 peras, então também seria multiplicado o valor 6 reais por 5, obtendo-se um valor de 30 reais a serem pagos pela nova quantida-de 5 vezes maior de peras.


182


Peras Preço a pagar

4

20

6 reais

30 reais

5x

Estratégia funcional2. – enfoca as relações entre as duas variáveis e con-siste em encontrar a razão que liga as duas variáveis e em utilizá-la na re-solução do problema. Para o mesmo problema anteriormente citado, a solução funcional seria: como cada pera corresponde a 1,50 real, então 20 peras corresponderiam a 30 reais, o que equivale a 20 vezes ou, como 6 é 1,5 vezes 4, então multiplica-se 20 por 1,5 e obtém-se 30.

Peras Preço a pagar

4

20

6 reais

30 reais

x 1,5

x 1,5

Estratégia da regra de três3. – essa é uma estratégia usada na escola e uti-liza as propriedades de razões equivalentes. Novamente, para o problema acima, há duas razões equivalentes:

x = (20 . 6) : 4, ou seja,

20

4=

6 , entãox

204

=6 , entãox

4 . x = 20 . 6

4x = 120

x = 4

120

x = 30



183

Por meio desses estudos, as autoras observaram que a estratégia mais utili-zada por crianças e também por adultos com pouca ou nenhuma escolaridade tem sido a estratégia escalar, aplicada por meio do uso de adições sucessivas, ou seja, aquela na qual segue o raciocínio abaixo:

1 turma 50 alunos

2 turmas 100 alunos

4 turmas 200 alunos

6 turmas 300 alunos

Nos seus estudos, as autoras citadas perceberam que quando as crianças utilizam as estratégias escalares, partindo de uma unidade para encontrar um número maior de unidades, não apresentam dificuldade. No entanto, quando se deparam com um problema, com uma situação inversa, apresentam muita dificuldade, isto é, quando têm o preço de uma quantidade de itens e precisam calcular o valor a pagar por um número de itens menores como: o preço de 12 laranjas é 2 reais, qual é o preço de 4 laranjas? Há dificuldade, também, quando o número de itens a serem comprados não é múltiplo do número inicial do qual se conhece o preço.

Perceberam, também, como os problemas que envolvem os mesmos núme-ros são considerados mais difíceis se o número de itens é maior que o número correspondente ao seu preço. Por exemplo, o problema “se 30 laranjas custam 6 reais, qual é o valor a ser pago por 2 laranjas?” é considerado mais difícil que o problema “se 6 laranjas custam 30 reais, qual o valor a ser pago por 2 laranjas?”.

Com esse estudo, as pesquisadoras constataram que as crianças que resol-vem problemas de proporcionalidade no contexto de compra e venda podem não conseguir resolver problemas semelhantes se estes envolverem conteúdos de medida de tempo, porque elas não têm experiência suficiente para perceber se a relação entre as variáveis é de mesma natureza que a relação entre o preço de um item e o preço de vários itens.

Por meio desse trabalho, Schliemann e Carraher apresentam ainda outras ob-servações. Entre elas citamos que:

mesmo as crianças escolarizadas, que tenham trabalhado com regra de �três, acabam não utilizando essa estratégia ao resolver os problemas de proporcionalidade;


184


O que é pensamento proporcional?(SCHLIEMANN, 1997)

O pensamento proporcional refere-se basicamente à habilidade de es-tabelecer relações. Dois tipos de relações estão envolvidas na resolução de tarefas e problemas de proporção: relação de primeira ordem e relação de segunda ordem. Alguns exemplos podem ser apresentados, nos quais é pos-sível identificar estas relações.

Sr. Altão e sr. Baixinho1.

Karplus e Peterson (1970) criaram essa tarefa para explorar diferentes pro-cessos de resolução por parte de crianças, sendo também utilizada em diver-sas outras pesquisas (e.g., CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 1986). Dois bonecos eram apresentados, sr. Altão e sr. Baixinho, cujas alturas podiam ser

crianças e adultos resolvem problemas com relativa facilidade se o con- �texto for de compra e venda;

a escola costuma dizer que, às vezes, as crianças erram o problema não �por não compreenderem a ideia de proporcionalidade, mas porque não sabem o algoritmo da divisão. As autoras chamam, então, a atenção para o que defende Vergnaud, que a divisão também tem em si a ideia de pro-porcionalidade;

as crianças desenvolvem uma compreensão de razão e proporção fora da �escola, mas é na escola que podem aprender a analisar situações, como a de expressar relações e a de derivar valores, e que o educador deve rela-cionar o conhecimento adquirido fora da escola com aquele que ele deve constituir ao ensinar.

Embora Piaget e seus colaboradores apresentem a ideia de que a aquisição da compreensão de proporção seja tardia, ou seja, por volta de 10-11 anos, os es-tudos acima e outros, como o de Spinillo (1997), apontam que muito mais cedo, a partir dos seis anos, crianças podem aprender sobre esse conceito.

Texto complementar



185

medidas em botões e em clipes. A altura do sr. Baixinho era de quatro botões ou de seis clipes. A altura do sr. Altão era de seis botões. A tarefa da criança consistia em determinar qual seria a altura do sr. Altão em clipes.

As relações de primeira ordem são aquelas entre o número de clipes e botões em cada um dos bonecos, o que permite inferir a altura do sr. Altão em clipes. A relação de segunda ordem consiste em comparar estas duas relações para verificar se são equivalentes ou não.

Esse tipo de tarefa é chamado de Tarefa de Incógnita, em que três valores são dados, sendo necessário determinar o valor da incógnita, mantendo-se no segundo par de valores a mesma relação proporcional verificada no pri-meiro par (relação de primeira ordem).

Comparando recipientes com água2.

Essa tarefa foi criada por Bruner e Kenney (1966) para investigar o de-senvolvimento do conceito de proporção em crianças, sendo apresentada também em outros estudos (e.g., CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN; RUIZ, 1986). Nessa tarefa, a criança tinha que determinar qual, dentre dois recipientes com água, era o mais cheio.

As relações de primeira ordem seriam aquelas entre o espaço ocupado por água e o espaço vazio em cada recipiente. A relação de segunda ordem consistia em comparar as relações água/espaço vazio entre eles.

Esse tipo de tarefa é chamado de Tarefa de Comparação, em que os quatro valores são dados e o sujeito precisa determinar se existe ou não uma equi-valência (relação de segunda ordem) entre o primeiro e o segundo par de valores (relações de primeira ordem).

Segundo alguns autores (e.g., KARPLUS; PULOS; STAGE, 1983), tarefas de incógnita são mais difíceis que as de comparação, por envolver cálculos nu-méricos complexos e provocar o surgimento das conhecidas estratégias adi-tivas de resolução.

Apesar das diferenças entre os dois tipos de tarefas apresentadas acima, ambas têm um aspecto em comum: para resolvê-las é preciso estabelecer re-lações de segunda ordem, ou seja, relações entre relações de primeira ordem. A importância das relações de segunda ordem para o pensamento propor-cional é amplamente reconhecida e apontada como a causa das dificuldades


186


Dicas de EstudoAssista a um vídeo no site: <http://revistaescola.abril.com.br/multimidia/

pag_video/gal_video_276188.shtml>.

O vídeo mostra uma atividade sobre proporcionalidade, desenvolvida com crianças do 1.º Ciclo do Ensino Fundamental

Atividades1. O seguinte problema envolve relações proporcionais:

Quatro caixas de leite custam R$8,00. Quanto custa uma caixa do mesmo leite?

Resolva esse problema utilizando as três estratégias de resolução citadas no texto.

das crianças. Entretanto, raramente tem-se atentado para a importância do ponto de partida desta relação – as relações de primeira ordem, que alguns estudiosos consideram como uma das possíveis causas destas dificuldades.



187

2. Escreva duas grandezas que não se relacionam proporcionalmente.



A Estatística é um ramo da Matemática Aplicada, e durante algum tempo só era ensinada no Ensino Superior. Esse termo é antigo. E a in-trodução do ensino desta é de grande relevância para todos os níveis de ensino.

A Estatística provavelmente tenha tido seu início como um estado aritmético. Na Antiguidade já se registrava número de habitantes, de nas-cimentos, de mortes, fazia-se estimativa de posses sociais e individuais. Impostos eram cobrados; exemplo: César Augusto (27 a.C. – 14 d.C.), im-perador romano, decretou que todas as pessoas deveriam ser cadastradas na época e que as mesmas deveriam pagar impostos. Desde muito tempo, realizavam-se inquéritos quantitativos, que hoje são chamados de esta-tística. Foi num desses cadastramentos que se descobriu que Jesus tinha nascido em Belém e não em Nazaré.

Com o objetivo de cobrar impostos e serviços militares que o conquis-tador inglês Willian ordenou vistoria a toda Inglaterra, originando assim o Domesday, livro de registro de direito de posse, valores etc. das terras da Inglaterra.

Foi no século XVI que apareceram as primeiras tábuas, tabelas e nú-meros relacionados a batizados, casamentos e outros acontecimentos sociais.

Na metade do século XVII surgiram os jogos de Chances de Chevalier de Méré, que deram origem à Teoria da Probabilidade.

Em 1733, Moivre anunciou a equação da curva normal de erros, de grande importância para desenvolvimento da Estatística, consistindo em estudos que, depois em 1924, foram ampliados por Karl Pearson. Esses mesmos resultados foram também obtidos pelos astrônomos e matemá-ticos Laplace (1749-1827) e Gauss (1777-1855).

Introdução à Estatística


190


No século XVIII, Godofredo Achenwall dá o nome Estatística à essa ciência ou método, pois esses estudos já haviam adquirido feição científica.

A partir daí a Estatística ganhou ímpeto com participação de trabalhos desen-volvidos por biólogos como Charles Darwin, pelo matemático Gosset, e outros tantos.

Na atualidade, uma grande quantidade de informações apresentada por re-vistas, jornais e outros meios de comunicação tem sido demonstrada por meio de tabelas ou de gráficos estatísticos. Por essa razão, currículos básicos, parâme-tros curriculares e outros documentos têm sugerido fortemente a introdução da Estatística no ensino de Matemática desde os anos iniciais.

Os “Standards” da NCTM1 (apud GOMES, 1995) apresentam pontos impor-tantes, aos quais os currículos escolares deveriam dar ênfase. São a análise de dados, a probabilidade e a exploração estatística em situações do mundo real do aluno, com o objetivo de torná-lo capaz de:

reconhecer, organizar e descrever dados; �

construir, ler e interpretar dados representados de maneira organizada; �

formular e resolver problemas que impliquem coleta e análise de dados; �

explorar o conceito de casualidade; �

reconhecer, organizar e analisar dados de forma sistematizada; �

elaborar, ler e interpretar tabelas e outras representações gráficas; �

formular inferências e argumentos convincentes que se baseiem nas aná- �lises desses dados;

avaliar argumentos baseados em análise de dados; �

apreciar os métodos estatísticos como meios eficientes para a tomada de �decisões.

Assim, para o processo ensino-aprendizagem de Estatística, é importante que se faça o levantamento das mais diversas questões, conjecturas, buscando re-lações durante a formulação e resolução de problemas do mundo real; ou seja, o ensino de Estatística deve estar impregnado de um espírito de investigação e exploração.

1 National Council of Teachers of Mathematics.



191

Deve também ter como objetivo, além de ensinar o aluno a ler e interpretar representações gráficas, descrever e interpretar o mundo em que vive – e, por meio dele, construir ferramentas para resolver problemas, perceber as ligações entre áreas como Ciências Sociais e Naturais – auxiliá-lo a tornar-se autônomo para tomar decisões acertadas.

No ensino de Estatística dos anos iniciais do Ensino Fundamental, é impor-tante que os alunos explorem as ideias básicas, reconheçam dados, organize-os em tabelas e gráficos e leiam informações por meio de representações gráficas. Nas séries mais avançadas, espera-se que façam desde a coleta de dados até a comunicação dos resultados. Alunos dessa faixa etária sentem-se fortemente motivados por temas como música, moda, cinema, esportes, problemas sociais, questões de saúde e curiosidades a respeito deles próprios.

Mas, afinal, o que é Estatística? Quais são as fases do método estatístico? De acordo com Crespo (1984, p. 13), “a Estatística é uma parte da Matemática Apli-cada que fornece métodos para a coleta, a organização, a descrição, análise e interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões”.

As fases do método estatístico são quatro:

coleta de dados; �

crítica desses dados; �

exposição ou apresentação dos dados; �

análise de resultados. �

1.ª fase – coleta de dados estatísticosNessa fase é necessário que se conheça a natureza desses dados e as razões

para estudá-los. A coleta pode ser direta ou indireta; os seus dados podem ser de uma população (conjunto de entes portadores de pelo menos uma caracte-rística comum) ou de uma amostra (subconjunto de uma população). No caso de analisar dados de uma amostra, esta deve ser significativa, ou seja, possuir características básicas da população no que se refere ao fenômeno que se pre-tende pesquisar.


192


Coleta direta é aquela que é feita sobre elementos informativos como regis-tros de nascimento, casamento, óbitos etc., ou quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador. A coleta indireta é inferida de elementos conhecidos, como de coleta direta ou do conhecimento de fenômenos2 ligados a esse co-nhecimento que se pretende estudar.

2.ª fase – crítica dos dadosOs dados coletados devem sofrer críticas para evitar falhas e imperfeições,

pois estas serão responsáveis por significativas mudanças nos resultados.

3.ª fase – exposição ou apresentação dos dadosA apresentação dos dados deve ser na forma de tabelas e gráficos adequa-

dos, para que facilite o exame do que se está pesquisando.

Os gráficos podem ser do tipo diagramas, isto é, gráfico de curva ou de linha, gráfico de coluna, de barras, de setores etc.; do tipo cartogramas e de pictogra-mas, que serão exemplificados posteriormente.

4.ª fase – análise de resultadosEssa é a fase mais importante, porque é a fase na qual são feitas as inferências

que permitem tirar conclusões que transcendem os dados iniciais.

A exposição ou apresentação de dados pode se dar por meio de tabelas e gráficos, os quais proporcionam grande poder de comunicação visual. Os dados devem ser apresentados de maneira que se tornem mais facilmente compre-endidos. Por isso, existem tabelas e gráficos mais apropriados que outros, de acordo com o assunto em estudo.

Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. É composta das seguintes partes: corpo, cabeçalho, coluna indicadora, linhas, casas ou cé-lulas, título. Há também a fonte, as notas e as chamadas, que geralmente apare-cem no rodapé.

2 Entende-se por fenômeno o estudo estatístico.



193

Exemplo:

26,022,823,121,921,320,720,019,718,918,8

Dados geraisNúmero de analfabetos e taxa de analfabetismo

na faixa etária de 15 anos ou mais

BRASIL: 1980-89

títuloColuna

indicadora

Rodapé e notas

Célula

Linha

Fonte: IBGE – Censo Demográfico, 1980 Pesquisa Nacional por Amostra de Domicí-lios, 1980-89.

Obs: Essa tabela foi retirada de: MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO.

A Educação no Brasil na Década de 80. Brasília, 1990.

Corp

o

População 15anos ou mais

N.º de analfabetosde 15 anos ou mais

Taxa deanalfabetismo

1980198119821983198419851986198719881989

74 436 48274 679 44976 534 78278 504 41081 140 95983 541 72486 454 03688 816 17091 320 20593 642 547

19 330 25416 992 50017 685 98517 204 04117 273 30917 284 05617 320 72517 456 34817 269 04217 587 580

Ano

Cabe

çalh

o

Toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos, em função da época, do local, ou da espécie, é chamada de Série Estatística.

Se for organizada em função da época, é chamada de Série Histórica; se em função do espaço, Série Geográfica; e de Série Específica, se em função de espécie.

Gráfico estatístico é uma das formas de apresentação dos dados estatísticos, com objetivo de produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo.

Para se obter a representação gráfica, faz-se uma correspondência entre os termos da série (tabela) de determinada figura geométrica, de forma que cada elemento da série seja representado por uma figura proporcional. O gráfico deve apresentar simplicidade, clareza e veracidade.


194


Os principais tipos de gráfico são diagrama, cartograma e pictograma.

a) Diagrama: gráfico geométrico de, no máximo, duas dimensões. Para sua construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano. Os diagramas podem ser apresentados de diversas formas. Seguem as mais comuns:

Gráfico de linha ou curva � – para construção desse gráfico, determi-nam-se os pontos referentes aos pares ordenados da característica em estudo e, então, ligam-se os pontos por uma linha. O que garante a impressão visual desse gráfico são as subidas e as descidas da linha.

Gráfico de colunas � – é formado por retângulos dispostos verticalmen-te, sendo suas bases todas de mesma medida e suas alturas proporcio-nais aos respectivos dados.

Gráfico de barras � – representação feita por retângulos dispostos na horizontal. Nesse gráfico, as alturas de todos os retângulos são iguais e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados.

Gráfico em (ou de) setores � – nesse gráfico, um círculo é dividido em setores com medidas de ângulos proporcionais à frequência dos res-pectivos dados.

b) Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica.

c) Pictograma: é constituído de figuras. É um dos processos gráficos que me-lhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva.

Medidas de posição são elementos típicos da distribuição quanto à posição desta em relação ao eixo horizontal. Entre as medidas de posição, as mais impor-tantes são de tendência central, que tendem a agrupar-se nos valores centrais. São elas a média aritmética simples, a moda e a mediana.

Média aritmética simples é o quociente da divisão da soma dos valores da va-riável pelo número desses valores. Exemplo: a média das idades de três pessoas, com 45, 52 e 50 anos, é:

45 523

+ + 50 = 49 anos

Moda é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.

Por exemplo, se em 45 famílias temos:



195

2 famílias que não têm filhos;

9 famílias que têm um filho;

24 famílias que têm 2 filhos;

7 famílias que têm 3 filhos; e

3 famílias que têm 4 filhos.

O valor modal ou moda do número de filhos desse grupo de família é 2 filhos, pois é o número que ocorre com maior frequência; das 45 famílias, 24 delas têm 2 filhos. Podemos ter uma série amodal (não apresenta moda), isto é, quando não existe na série um número que apareça mais vezes que os demais. Podemos também ter uma série bimodal (dois valores modais).

Mediana é o número que se encontra no centro de uma série de valores, sendo que estes devem estar dispostos em ordem crescente ou decrescente. No exem-plo da série 2, 5, 7, 9, 14, o número 7 é a mediana dessa série de valores. Caso o número de elementos de uma série seja par, a mediana será a média dos dois

números centrais. Exemplo: em 2, 5, 7, 9, 14, 16, a mediana é 8, pois 7 92

8+ = .

O ensino de Estatística nas escolas depende de quanto os professores estão conscientes da importância desse tema na vida dos alunos nos dias atuais, assim como do preparo desses professores para ensinar tal conteúdo.

É conveniente que os professores conheçam Estatística Aplicada e softwares pedagógicos que auxiliem os alunos na compreensão de certos conceitos rela-cionados à Estatística.

Até na Educação Infantil já se pode introduzir o ensino de Estatística. Nesse caso, o professor pode utilizar caixinhas (de palito de fósforo, de pasta de dente etc.) para representar as colunas. Exemplo: no caso de verificar o número de filhos de uma família, o aluno pode por sua caixa na coluna previamente elaborada pela professora, de acordo com o número de filhos que seus pais têm. Assim os alunos poderão verificar que o número mais comum de filhos entre os pais desses alunos é representado pela maior coluna, ou seja, aquela que tem mais caixinhas.

É importante que o professor trabalhe conceitos de probabilidades relacio-nando-os à própria Estatística. Os professores devem trabalhar tais conceitos e fazer, com seus alunos, as devidas inferências, discutindo questões filosóficas, éticas, políticas etc., relativas ao objeto de estudo estatístico.


196


No trabalho com Estatística se percebe que essa parte da Matemática está muito ligada a outras áreas de conhecimento como Geografia, Biologia, Quími-ca, Linguística, Economia, Psicologia etc. Esse fato indica uma boa possibilidade para o trabalho interdisciplinar.

Texto complementar

Do uso do álbum(GOMES, 1995, p. 74-76)

Após os alunos terem feito o levantamento estatístico de suas alturas, eles passaram a fazer seus próprios trabalhos utilizando o Álbum do Mun-dial de Futebol de 1994, da Editora Abril Panini S/A, que trazia informações sobre os times que participaram da Copa do Mundo, cidades que sediaram o campeonato, capacidade dos estádios.

Cada aluno, de posse do álbum, escolheu grupos de dados de acordo com seu interesse para fazer o cálculo da média aritmética e construir tabe-las e gráficos.

Os grupos de dados mais escolhidos foram: peso, idade, altura dos joga-dores dos times que participariam do Mundial e capacidade dos estádios que sediariam a Copa.

Acredito que a escolha tenha recaído sobre os dados dos times que os alunos acreditavam ser os favoritos, prováveis adversários do Brasil ou times de um jogador de renome mundial.

Esta atividade foi desenvolvida em sala de aula, onde cada aluno fazia o seu trabalho, pois tinham escolhido grupos de dados diferentes, de acordo com seu interesse particular.

Alguns alunos concluíram partes do trabalho em suas casas, principal-mente as ilustrações que fizeram, o que deu ao trabalho um bonito visual.

O fato de ilustrarem seus trabalhos também fez com que eles se sen-tissem muito envolvidos e, enquanto isso, descontraídos, trabalhavam a Matemática.



197

Comentei com eles suas ilustrações, e discutimos alguns pontos como o desenho da Bandeira Brasileira.

Muitos dos alunos haviam desenhado a Bandeira Brasileira com o losan-go tocando o retângulo, o que não é correto.

Eles ficaram à vontade para ilustrar seus trabalhos e para terminar ou não em casa.

Durante o trabalho, houve necessidade de fazer algumas etapas nova-mente, pois alguns alunos apresentaram dificuldade.

Nesse momento, tomei outros dados, e refizemos juntos a etapa na qual apresentavam dificuldade.

Os novos exemplos vieram esclarecer as dúvidas, e foi importante tê-los feito, pois pude observar casos que tínhamos citado quando fizemos pela primeira vez, como o caso de intervalos intermediários com frequência zero, o que fez com que, no gráfico de colunas, houvesse espaço em branco entre as colunas, como no gráfico que segue:

Altura dos alunos da 6.ª série M1


198


Pude então perceber que isso não tinha ficado tão claro como pare-cia, quando alguns alunos tinham feito a sugestão de deixar o espaço em branco.

Os alunos concluíram, então, que o número de colunas do gráfico deveria ser o mesmo que o número de setores do gráfico de setores.

Foi estipulada uma data de entrega e, nesse dia, todos os trabalhos foram recolhidos.

Depois que analisei os trabalhos, devolvi-os aos alunos com comentários e, então, mais uma vez, tivemos discussões sobre os pontos que ainda pode-riam ter dúvidas.

Dicas de estudoLer o artigo: ”Uma proposta de formação de professores para o ensino dos

gráficos e tabelas”.

Autoras: Elizangela Gonçalves de Araújo e Cláudia Regina Flores.

Disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO02436001944T.doc>.

O artigo aborda o assunto de Estatística nas séries iniciais do Ensino Funda-mental, dando ênfase aos gráficos e tabelas.

Atividades1. Qual a importância da Estatística?



199

2. Procure em jornais ou revistas tipos diferentes de gráficos e classifique-os.

3. Para situações específicas, alguns gráficos são mais apropriados. Por que um gráfico de setores não deve ter um número grande de setores?



A avaliação guia; a avaliação não pune.

Vianna

A avaliação escolar tem assumido novas dimensões, objetivando orientar a ação do professor e do aluno durante todo processo de ensino e aprendizagem. Para Martins (1996), a avaliação também deve ser enca-rada como um processo de recolhimento de informação, que se utiliza de observações, entrevistas, situações problemáticas, relatórios e ensaios es-critos, portfolios, assim como testes escritos de diversos tipos. Nesse caso, assume a função reguladora e orientadora durante o processo de ensino e aprendizagem.

Nessa perspectiva, a avaliação surge como meio educativo, como ins-trumento que visa orientar a atividade pedagógica para promover o suces-so dos alunos (objetivo formativo), de modo que estes também tenham o direito de intervir, participando na orientação e regulação da aprendi-zagem e no próprio processo de formação. Assim, a avaliação deverá ser constante no cotidiano da sala de aula de forma a orientar e ajustar o pro-cesso de ensino e aprendizagem, proporcionando ao professor a possibi-lidade de melhorar a sua prática pedagógica e, ao aluno, de envolver-se no próprio processo.

A avaliação também deve ser considerada como parte integrante do processo de aprendizagem, cujo objetivo é a aprendizagem e não a ava-liação em si mesma. Não é nem o objetivo, nem o fim de um processo, e a relevância das situações de aprendizagem não depende das possibili-dades de avaliação imediata. Ela tem como tarefa gerar novas oportuni-dades de aprendizagem e fornecer dados essenciais para o professor e para o aluno. Objetivando que a avaliação seja fonte de aprendizagem, é necessário que as atividades sejam significativas, que proporcionem aos alunos novas oportunidades para aprender, para melhorar seu desempe-

Avaliação em Matemática


202


nho e para refletir sobre o seu próprio trabalho. Sob o aspecto de informação, a avaliação deve fornecer elementos que auxiliem os alunos na reflexão e regula-ção relativa ao seu processo de aprendizagem.

Hadji (2001) considera que a avaliação deveria ser prognóstica, formativa e cumulativa. Segundo esse autor, a avaliação prognóstica é aquela que precede a ação de formação. Também chamada de diagnóstica, tem a função de permi-tir um ajuste recíproco aprendiz/programa de estudos. A avaliação cumulativa ocorre depois da ação, e tem a função de verificar se as aquisições visadas pela formação foram efetivadas. A avaliação formativa situa-se no centro da forma-ção. É chamada de formativa porque sua função principal é contribuir para uma boa regulação da atividade de ensino. Desse modo, é contínua e levanta infor-mações indispensáveis à regulação do processo de ensino e aprendizagem.

Ainda segundo Hadji (1994), avaliar pode significar: verificar o que foi apren-dido, julgar o nível de um aluno em relação ao restante da turma, estimar o nível de competência de um aluno, situá-lo em relação ao nível geral, representar o aluno por um número, representar o grau de sucesso de uma produção escolar em relação a critérios que variam de acordo com o nível da turma e segundo os exercícios, determinar o nível de uma produção, dar uma opinião sobre os sabe-res ou saber-fazer de um indivíduo, entre outras possibilidades.

O autor mostra ainda que todos os verbos utilizados para definir avaliação se reportam a uma situação pedagógica. Há, portanto, três palavras-chave: verificar a presença de qualquer coisa que espera, competência, conhecimento; situar um indivíduo, uma produção, em relação a um alvo; julgar o valor de algo. “Ava-liar é mesmo tomar posição sobre o valor de qualquer coisa que existe”. (HADJI, 1994, p. 35, grifo do autor).

As instituições exigem um professor que avalie os trabalhos de seus alunos e divulgue os resultados. O professor deve ter clara a filosofia subjacente ao ato de avaliar e não pode esquecer para que serve essa atividade, uma vez que ela, a avaliação, pode ter a função de:

inventário dos conhecimentos e das aquisições, “medir as aprendizagens �realizadas”, por meio, entre outros, de testes de rendimento;

diagnóstico, que situa o aluno no seu processo de aprendizagem, das la- �cunas e das suas dificuldades em relação aos saberes e ao saber-fazer que deveriam ser adquiridos;



203

prognóstico, permitindo guiar o aluno e orientá-lo nas escolhas escolares �e profissionais.

Em outras palavras, esses três objetos consistem, em primeiro lugar, em situar o aluno no momento de um determinado balanço, depois em compreender a sua situação e, posteriormente, em orientá-lo.

Quando a avaliação assume o objetivo de guiar e orientar, é possível distin-guir três objetivos:

certificar – fornecer documento em que se atesta o nível de conhecimen- �to, outorgar um diploma;

regular – guiar frequentemente o processo de aprendizagem; �

orientar – escolher as vias e modalidades de estudo mais apropriadas, ten- �do como objetivo ater-se às aptidões, interesses, capacidades e compe-tências para futuras aquisições.

Para que a avaliação oriente, regule e certifique, é necessário falar de avalia-ção diagnóstica (ou preditiva), de avaliação formativa e de avaliação somativa.

A avaliação diagnóstica explora, ou identifica, características de um aluno re-lativas ao que ele já adquiriu e ao que deve adquirir.

A avaliação formativa tem, antes de tudo, uma finalidade pedagógica. Deve ser integrada ao ato de formação. Tem o objetivo de contribuir para a melho-ria da aprendizagem, informando ao professor as condições de aprendizagem, assim como instruindo o aluno sobre o seu percurso no conhecimento.

A avaliação somativa é aquela que faz um balanço depois de um período de formação. É, portanto, muitas vezes pontual. Quase sempre os alunos são comparados uns com os outros (avaliação normativa) e os resultados são anun-ciados à administração e aos encarregados de educação.

Não há como conceber a função da avaliação como qualquer coisa de unidi-mensional na qual se encerra todo o sentido de uma prática. Por isso, entendo que os diversos tipos de avaliação têm várias funções. A avaliação formativa é importante para:

esclarecer o professor das lacunas e dificuldades do aluno por meio de um �inventário;


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permitir um ajuste didático, por intermédio de uma harmonização méto- �do/aluno;

guiar o aluno dando-lhe segurança; �

facilitar a aprendizagem, promovendo reforço e correção. �

Facilitar a aprendizagem é a essência da atividade do professor; daí a função da avaliação regular a aprendizagem. O professor também deve pôr a avaliação a serviço da melhor gestão da ação, do funcionamento de unidades escolares e do fluxo de alunos no conjunto do campo escolar.

Assim, como um jogo com finalidade pedagógica otimiza a ação pedagógica, ajudando na aprendizagem, a avaliação ajuda na regulação da vida escolar e é um elemento de comunicação social entre indivíduos desse ambiente (alunos, pais, professores, administradores). A avaliação serve para regulação do jogo que acontece no espaço da apreciação social, porque a escola é um espaço de posicionamento social (BERTHELOT, apud HADJI, 1994).

Nas escolas, embora a ideia de avaliação esteja próxima da ideia de medida, não é fácil situar cada uma separadamente. Ainda que próximas, parece que a ava-liação implica a medida. “Medir é atribuir um número a um objeto ou a um acon-tecimento segundo uma regra logicamente aceitável” (GUILFORD apud HADJI, 1994, p. 273). Ao medir, colocam-se em correspondência objetos e sistemas de unidades definíveis com objetivos determinados. Na avaliação, algo similar não é possível. As matemáticas qualitativas tornam possíveis operações sobre relações entre elementos descontínuos. Surge do quantitativo o qualitativo, constituindo-se o ato de avaliar em quebrar a continuidade da cadeia quantitativa.

Para que haja avaliação, é necessária a interpretação de informações, isto é, a avaliação é uma nova forma de afirmar que indicadores só podem indicar ou signi-ficar alguma coisa de acordo com critérios. Embora as duas operações ponham em correspondência um referente ou um sistema de grandezas e um objeto, a palavra final sobre avaliação e medida não foi dada. Assim, avaliação e medida são polos opostos das operações de leitura da realidade, e se essas operações são da mesma estrutura, os instrumentos de leitura não são da mesma natureza.

A avaliação, como prática de investigação, difere da avaliação na perspec-tiva da classificação; configura-se pelo reconhecimento dos saberes múltiplos, lógicas e valores que permeiam o conhecimento. Dessa forma, a avaliação vai sendo constituída como um processo que questiona os resultados apresenta-dos, os percursos feitos, os previstos, as relações estabelecidas entre pessoas,



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saberes, informações, fatos e contextos. Não para quando há erro ou acerto, não faz relações superficiais entre o que se observa e os processos que o atravessam. Busca discutir o visível e procura pistas do que é conduzido à invisibilidade. O que ainda não sabe é indício da necessidade e da possibilidade de ampliação do conhecimento já consolidado (ESTEBAN, 2001).

A avaliação é pertinente quando, numa situação de tomada de decisão, deixa claros os eixos de questionamento do produto e se organiza oferecendo elementos fundamentados de respostas a questões propostas com clareza. Se o avaliado sabe sobre o que é questionado, pode tirar proveito disso e, assim, compreender que a avaliação é diálogo. O mais importante, numa avaliação, é o fato de ela ser verdadeiramente informadora. É pertinente quando proporciona boa comunicação. A avaliação deve oferecer ao aluno informação compreensí-vel e útil. Muitas vezes, a informação é implícita.

Lacueva (1997) propõe que a avaliação esteja centrada em uma ajuda para que os alunos continuem aprendendo mais; que a escola seja um mundo cul-tural rico, oferecendo múltiplas experiências formativas e avaliando-os em con-textos naturais como apoio para a aventura de aprender. A avaliação deve dar conta dos logros dos alunos, contribuindo para que estes tomem consciência de seus êxitos, do que sabem, do que dominam; base fundamental para seus futuros esforços. Também deve conscientizá-los de suas lacunas, erros e insufici-ências, porém considerando esse fato normal, esperado e natural de alunos em aprendizagem. Os erros, lacunas e outras ocorrências devem ser considerados superáveis e trabalhados para que realmente o sejam. A avaliação deve ser des-vinculada da ideia de prêmios, castigos, seleção de bons e ruins, da ideia de uma hierarquização cristalizada. Deve centrar-se sobre os trabalhos e ações concretas dos alunos, e não sobre sua pessoa como tal.

A excessiva preocupação com o produto da avaliação leva ao mito da nota verdadeira. Esse problema só é resolvido se deixarmos de dar tanta atenção ao produto e centrarmos nosso interesse no processo de produção para conhecê--lo, melhorando-o e ajudando o produtor. A avaliação ainda tem desviado sua função diagnóstica e se voltado, quase exclusivamente, para a função classifi-catória, pela competição incentivada pelo modo de vida da sociedade. Assim, a avaliação tem frequentemente definido a trajetória escolar do aluno, às vezes pela sua retenção, pela sua eliminação da escola, e até pela escolha do tipo de profissão que exercerá no futuro (BURIASCO, 2000).

Se a avaliação for libertada da tentação objetivista da medição, poderá nutrir um diálogo permanente que permitirá ao aluno-aprendente cogerir as suas


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aprendizagens e, com a ajuda do professor, perceber o estado em que se en-contra. O avaliador deve evitar as armadilhas do objetivismo, do autoritarismo, do tecnicismo, do excesso interpretativo. Ele, na qualidade de formador, aprecia, não decreta, e perceber isso é uma virtude.

Nessas condições, o avaliador determina objetivos, constrói sistemas de referência e de interpretação, reúne e utiliza instrumentos adequados como situações-problema, instrumento de observação, de comunicação e auxilia no desenvolvimento de um processo. Portanto, o avaliador precisa de sobriedade para evitar abuso de poder, de humildade e respeito pelos outros, de modéstia para não achar que sabe e compreende tudo e não criar modelo à sua imagem (HADJI, 1994). O avaliador não deve acrescentar elementos em excesso, deve usar da simplicidade e da economia de meios: “enxergar” apenas o que existe.

A avaliação tem ainda como papel ajudar a melhorar o ensino, ou seja, tra-balhar em função de melhorar a aprendizagem. A conversa do professor com o aluno sobre os seus erros e acertos contribui para a conscientização dos pontos fortes e fracos, contribuindo também para a aprendizagem e superação de falhas. Esse diálogo propicia ao aluno a familiaridade com as formas de avaliar com critérios, contribuindo, por sua vez, para que ele se torne mais independen-te do professor e responsável pela sua própria aprendizagem. Assim, orientado pelo professor, cada vez mais o aluno passa a ser o proponente das medidas de intervenção (LACUEVA, 1997).

Porém, ainda hoje,

[...] o erro é considerado, pela maioria das pessoas, uma espécie de disfunção, uma anomalia, portanto, o ideal é a ausência de erro. [Os erros] são tomados como um tipo de índice de que o aluno não sabe fazer, não estuda, e não como um índice no qual o aluno sabe alguma coisa parcialmente, talvez de forma incorreta, e que, portanto, é preciso trabalhar com ele para, a partir daí, construir um conhecimento correto. (BURIASCO, 2000, p. 10)

Ainda segundo Buriasco (2000), é necessário distinguir as categorias dos erros, em qualquer perspectiva, e utilizar condutas pedagógicas apropriadas já existentes, na busca da superação dos mesmos.

Para preparação de uma avaliação criteriosa, diagnóstica e reguladora, Hadji (1994) apresenta os seguintes ensinamentos:

pôr a avaliação a serviço da regulação da ação pedagógica; �

não apenas situar, mas dar ao aluno elementos de análise e compreensão �da sua situação, a fim de progredir em direção ao objetivo pretendido;



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para avaliar corretamente, não é necessário esperar que se torne especia- �lista no domínio da aprendizagem; o avaliador se esforça para determinar e propor alvos claros;

a avaliação está a serviço da regulação, mas não se confunde com ela. O �avaliador está como intermediário ou mediador entre aquele que sabe como se aprende e o que imagina como se poderia levar a aprender;

apesar das dificuldades, devem-se fazer tentativas de realizações das prá- �ticas, porque não é preciso estar convicto do sucesso para iniciar uma atividade e porque a reflexão sobre o risco permite compreender trajeto pertinente à avaliação formativa.

A avaliação não se reduz a uma produção de informações: não se trata so-mente de ordenar procedimentos e elaborar instrumentos para coletar dados; é necessário tratá-los e prever modalidades de tratamento de informação, quan-titativa ou qualitativamente. É uma leitura da realidade a partir de uma matriz de referência para estabelecer uma relação, de onde vem o juízo que a define. É somente após os níveis e tipos de comparação referente/referido que se podem decidir as modalidades de recolha de informação, ainda que estas se provem inúteis. Portanto, para que haja um dispositivo, é necessário um plano prévio, e para o levantamento de informações é preciso saber quais informações coletar.

Como o ato de ensinar é um ato de formação, qualquer avaliação dos alunos é também avaliação das ações de formação realizadas pelo professor. Desse modo, não tem sentido uma avaliação de um aluno da qual o professor não tire para si nenhum ensinamento, exceto se este não estiver em situação de formação. Um instrumento é um utensílio que facilita uma práxis. Para se avaliar o aluno, normalmente utilizam-se exercícios ou problemas com os quais ele será con-frontado. A observação-análise-interpretação desse comportamento do aluno é o que temos chamado de avaliação. São postos em jogo outros instrumentos de análise ou de interpretação.

Uma tabela desempenha o papel de instrumento de análise, de modelo de competência cognitiva, de instrumento de interpretação. A avaliação das ações de formação conduz à utilização de instrumentos em diferentes níveis. O ques-tionário é um instrumento de observação indireta a quente quando é utiliza-do no final de uma sequência de formação e, a frio, depois de algum tempo. O questionário suscita um discurso que deverá ser analisado e interpretado. É necessário passar de uma linguagem de observação para a da teoria, ou seja, um modelo ou paradigma que orienta a ação do observador. Para comunicar a avaliação, utilizam-se pauta, caderneta, relatórios etc.


208


Os instrumentos apropriados às avaliações preditiva, formativa e somativa se organizam essencialmente em torno de instrumentos destinados à orientação dos alunos ou dos formandos, instrumentos destinados a facilitar a regulação das aprendizagens e instrumentos de certificação. Não há nenhum instrumento que não pertença à avaliação formativa. Todo instrumento que permitir com-preender e gerir os erros dos alunos será adequado a esse tipo de avaliação. “O que é formativo é a decisão de pôr a avaliação a serviço de uma progressão do aluno e de procurar todos os meios susceptíveis de agir nesse sentido” (HADJI, 1994, p. 165). Todos os instrumentos que servem para provocar atividades são, ao mesmo tempo, instrumentos de aprendizagem e avaliação. O ideal seria dia-logar com o aluno enquanto efetua sua aprendizagem.

Hadji (1994) classifica os instrumentos segundo o seu papel no processo de ensino ou formação/avaliação em:

instrumentos ou meios de retenção e informações; �

instrumentos de trabalho ou de ajuda ao trabalho do aluno; �

instrumentos de comunicação social dos resultados da avaliação. �

Os professores poderão conduzir os alunos a se beneficiarem de instrumen-tos de autoanálise e autoavaliação, fazendo um esforço para formalizar as suas próprias regras e critérios de produção e de juízo. Para o instrumento de trabalho ou de ajuda ao aluno, poderão ser utilizadas fichas de trabalho, um documento escrito que mencionará o objetivo pedagógico, a tarefa concreta a efetuar, as condições de realização e os critérios de avaliação.

Há uma boa hipótese de que o aluno aprende melhor quanto maior for a sua autonomia, hipótese na qual se fundamenta a ideia de avaliação formadora. Hadji (1994, p. 172) lembra que “a mais radical insuficiência de uma nota bruta é, sem dúvida, a de nada dizer de concreto ao aluno, para além de uma indicação de ordem em relação aos outros alunos”.

Observar, prescrever e avaliar implica em responder respectivamente o que é ou o que há, o que deveria haver ou fazer, e o que isso vale (não o quanto vale). Assim, o encontro do ser e do dever se manifesta sobre o valor do ser, isto é, distin-gue-se do medir, pois medir é apreender um objeto físico, adotando uma escala numérica. Uma medição é traduzida por números; uma avaliação, por palavras.

Os instrumentos de informação têm três funções principais, conforme des-taca Hadji (1994). São elas: desencadear, observar e comunicar. Desencadear o



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comportamento significativo que será observado, de permitir recolher informa-ções e permitir transcrever e comunicar a avaliação efetuada. Sendo que “[...] o critério último do valor de um estudo da avaliação é o seu efeito sobre a prática cotidiana” (STUFLEBEAM, apud HADJI, 1994, p. 177). É papel do avaliador ser o mediador que estabelece ligação entre um observador e um prescritor.

O avaliador precisa entregar uma mensagem que faça sentido para aqueles que a recebem e, ao responder à pergunta “por que avaliamos”, caracterizam-se filosofias da avaliação definidas com intenções de um especialista que sonha aferir a realidade; de um juiz que deseja apreciar a realidade; e de um filósofo ou intérprete que gostaria de compreender melhor o que se passa ou se passou, construindo um referente [sistema de interpretação] (HADJI, 1994).

Ainda de acordo com Hadji (1994), avaliamos porque o nosso conhecimento é imperfeito. Julgamos porque não nos contentamos com o próprio ser e porque temos uma ideia de uma perfeição possível da qual precisamos nos aproximar. Interpretamos porque não nos satisfazemos com um saber positivo e porque queremos, além de conhecer, compreender.

O avaliador precisa se interrogar sobre o uso social real da sua atividade de avaliação, precisa refletir sobre os perigos da avaliação e das suas competências, pois medir não é a essência da avaliação, mas criar distanciamento em relação à ação cotidiana para fazer “o ponto da situação” em relação às intenções ou aos projetos (HADJI, 1994).

Para avaliar a aprendizagem de forma mais significativa, o avaliador deve considerar o erro como um vigoroso objeto de estudo. A educação matemática tem discutido a importância de se tratar adequadamente o erro para que este passe a ser uma possibilidade e uma realidade permanente na construção do conhecimento.

Se a pretensão é a de trabalhar o erro cometido nas resoluções de problemas nas aulas de Matemática como um elemento importante para se ensinar a maté-ria, o professor deve estar atento aos diferentes tipos de erros cometidos pelos alunos e proporcionar-lhes condição de percebê-los e de superá-los. Só assim estará tratando do erro na perspectiva de um “acontecimento” que é natural no processo de aprendizagem.

O erro quase sempre foi tratado como um fracasso, conduzindo a punições. A cultura do erro enquanto fracasso tem aos poucos perdido espaço para uma cultura que o admite como elemento; e, ao contrário do que muito tempo se pensou, ajuda na construção do conhecimento.


210


Para Bodin (apud BURIASCO, 2000, p. 11), é possível lidar com o erro em quatro patamares.

(1) Erros de saber: o aluno não sabe uma definição, uma regra, um algoritmo etc.

(2) Erros de saber-fazer: o aluno não sabe utilizar corretamente uma técnica, um algoritmo etc.

(3) Erros ligados à utilização adequada ou não dos saberes ou do saber-fazer. Por exemplo, o aluno não reconhece que a utilização da relação de Pitágo-ras seria adequada para a resolução de um certo problema.

(4) Erros de lógica ou de raciocínio: o aluno confunde hipótese e conclusão, encadeia mal os cálculos, tem dificuldade em lidar com os diferentes da-dos do problema proposto.

Buriasco (2000) lembra que as duas últimas perspectivas podem ser utilizadas em análise/interpretação de uma avaliação do rendimento daquelas de grande porte, e que não subsidiam uma análise/interpretação das causas do erro no nível de cada aluno e de sua concepção do saber em relação aos fatores que in-terferem ou influenciam essa mesma concepção. Portanto, não são as mais ade-quadas para a análise/interpretação dos erros da avaliação da aprendizagem.

Ainda de acordo com essa autora, estudos atuais em educação matemática indicam uma perspectiva com base na situação didática explicada por meio de relações existentes no triângulo que segue:

Professor

SaberAluno

Então, segundo essa ideia, a análise dos erros pode ser conduzida em relação ao desenvolvimento psicogenético, em relação às dificuldades internas próprias, às expectativas recíprocas professor-aluno, ou em relação a escolhas didáticas, podendo-se ter interpretações diferentes de um mesmo erro.



211

Segundo Piaget (apud PINTO, 2000, p. 39), não interessa o erro, mas a ação mental; erro e acerto são detalhes dessa ação mental. Para ele, as respostas dos alunos são apresentadas, ordenadas e classificadas em três níveis:

1. no primeiro nível, o aluno é indiferente ao erro;

2. no segundo, o da tentativa, o erro aparece como um problema a ser re-solvido;

3. no terceiro nível, o erro passa a fazer um sentido ao aluno, e este adquire uma certa autonomia na construção do conhecimento.

Assim, ao avaliar os erros matemáticos, não se pode, pelo fato de os alunos cometê-los, considerar estes incapazes. Ao contrário, deve-se tomar esses erros para orientar e direcionar o processo de ensino e aprendizagem.

Para melhor compreender os erros cometidos nas aulas de Matemática, é im-portante que o professor ofereça aos seus alunos tipos diferentes de atividades e que também, ao avaliá-los, utilize-se dos mais diversos tipos de instrumentos ou recursos.

Texto complementar

Avaliar: ato tecido pelas imprecisões do cotidiano(ESTEBAN, 2004)

Relato uma das cenas que presenciei numa sala de aula:

A professora vai dar um ditado. Distribui as folhas e pede às crianças que a acompanhem dobrando a folha para fazer os vincos que demarcam o espaço destinado a cada palavra. Divide a folha em 8 partes, reproduz a folha dividi-da no quadro-negro enumera cada uma das partes, pedindo sempre que as crianças façam com suas folhas o mesmo que ela está mostrando.

Começa o ditado e vai observando como cada criança escreve a palavra e, depois de verificar todos os exercícios, escreve a palavra no quadro-ne-gro. Após a segunda palavra, vai à mesa de Gabriel e pergunta: – Você está colando?


212


Gabriel havia escrito corretamente as duas palavras. A professora manda que ele mude de lugar. Dita a terceira palavra. Aproxima-se de Gabriel, olha sua folha, esta palavra estava escrita errada. A professora desta vez afirma: – Você estava colando.

A partir da quarta palavra, pergunta quem gostaria de ir ao quadro para escrevê-la. Na sexta palavra Gabriel pede para ir ao quadro, a professora per-mite e em vez de dizer a palavra que deveria ser escrita, pergunta a Gabriel que palavra ele gostaria de escrever. Ele diz: sapo. A professora dita sapo para toda a turma e ele, com ajuda da professora, escreve sapo corretamente no quadro.

A professora dá um grande sorriso e pede aplausos.

Vejo neste fato duas situações contraditórias que mostram como os recor-tes e colagens feitos no processo de avaliação produzem resultados parciais e conclusões provisórias. No primeiro momento, poderíamos afirmar que a atitude da professora dá indícios de sua descrença na capacidade de Gabriel, a quem desqualifica, deixando evidente que ele não sabe fazer o exercício cor-retamente. A avaliação pode ser vista como um impedimento à aprendizagem de Gabriel, pois se limitando à classificação da resposta da criança, segundo o padrão previsto, a professora destaca que a criança não sabe. Saber e não saber são interpretados como opostos e excludentes, sendo ao não-saber atri-buído um valor negativo; sequer se estabelece a relação entre acerto e saber, erro e não-saber. Gabriel tantas vezes mostrou seus erros, sua dificuldade, e agora, mesmo acertando, sua resposta confirma sua incapacidade, seu desco-nhecimento, evidenciado na conclusão da professora: “você está colando”.

Olhando para este fragmento, e sempre o que vemos são fragmentos, con-firmamos que a avaliação é um instrumento de classificação e exclusão, não contribuindo para a dinâmica ensino/aprendizagem. Mesmo fornecendo in-formações para a professora sobre o movimento de aprendizagem/desenvol-vimento infantil, o tipo de informação que disponibiliza e o modo como ela é interpretada, consolidam o olhar da falta, mostrando apenas o que Gabriel não sabe e sua impossibilidade de aprender. Só acerta porque está colando.

No entanto, esta história não começa, nem termina, aí. Aliás, nenhuma história começa e termina nos pontos que presenciamos ou elegemos como princípio e fim. A dinâmica da sala de aula traz um momento seguinte e



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coloca em discussão todas as conclusões que acabei de apresentar. A profes-sora, que parecia convencida da avaliação negativa feita de Gabriel, aceita quando o menino se apresenta para ir ao quadro-negro. Mais do que isso, permite que ele escolha a palavra do ditado e o ajuda a escrevê-la.

Neste momento, a avaliação adquire novo sentido, se insere de outro modo no processo ensino/aprendizagem e a relação entre professora e aluno se reveste com novos matizes. Tomando como referência a primeira cena, a autorização da professora para que a criança fosse ao quadro-negro sugere que este momento seria usado para ela expor e confirmar ao menino, e para todo o grupo, seu não-saber. Porém, sua ação rompe com o que seria previsível e ela se coloca em parceria com Gabriel para ajudá-lo a concluir satisfatoriamente a atividade.

Compartilhando a escrita com Gabriel, a professora abandona, pelo menos naquele momento, a dicotomia acerto/erro, saber/não-saber, tecida a partir de um padrão fixo e predefinido de conhecimento, desenvolvimento e aprendizagem, que caracteriza a avaliação classificatória, realiza uma ava-liação que informa sobre os conhecimentos e desconhecimentos de Gabriel, informação para ajudá-lo. Quando Gabriel erra pela primeira vez na escri-ta da palavra, a professora não ressalta seu erro e paralisa a atividade. Jo-gando com os conhecimentos revelados, aos quais potencializa, e com os desconhecimentos, que mostram as informações que se fazem necessárias, a professora ensina o que o menino demonstra precisar/querer aprender. Possivelmente vai aprendendo como melhor ensinar a Gabriel e se tornar melhor professora.

No diálogo, a avaliação que a professora faz de cada movimento do menino lhe dá pistas sobre qual deve ser sua intervenção para favorecer o processo ensino/aprendizagem. A avaliação, como prática de classificação, revelada no primeiro momento desta história, foi substituída, no segundo momento, pela avaliação como um processo de investigação, como meio para a reflexão docente sobre sua ação e sobre a atividade infantil e como parte significativa do processo de construção de conhecimentos da criança e da professora. Cada resposta do menino ia sendo apreendida pela profes-sora imersa na tensão conhecimento/desconhecimento, cada resposta indi-cava simultaneamente seu saber e seu ainda não-saber.


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Dicas de estudoLer o livro: Avaliação - uma prática em busca de novos sentidos.

Autora: Maria Teresa Esteban.

Coleção: O Sentido da Escola.

Editora: DP&A.

A obra discute a reconstrução do sentido da avaliação. Explora a questão da importância de a avaliação deixar de ser instrumento de classificação, seleção e exclusão social e se tornar uma ferramenta para professores comprometidos com a construção coletiva de uma escola de qualidade para todos.

Atividades1. Quando a avaliação assume o objetivo de guiar e orientar, é possível distin-

guir três objetivos. Quais são eles?



215

2. Segundo Hadji, o que é uma avaliação formativa?

3. Cite três exemplos de instrumentos de avaliação.


Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende

Ana Márcia Fernandes Tucci de CarvalhoO movimento de Educação Matemática trouxe ao ensino dessa disci-

plina muitas descobertas, novos desafios e novas perspectivas sobre o que é o aprender Matemática, como esse aprender acontece e como as diversas pessoas envolvidas – professores, alunos, pais, diretores escolares – relacionam-se e encaram novas possibilidades.

O fato de que os resultados afetivos, procedentes da metacognição e da dimensão afetiva dos alunos e professores, interferem e podem deter-minar a qualidade da aprendizagem, foi, por muito tempo, ignorado.

No final da década de 1980 e durante os anos 1990, esse quadro sofreu profundas alterações, principalmente influenciado pelos trabalhos do educador matemático McLeod (1988; 1989; 1992), que mostraram a influ-ência dos aspectos afetivos no processo educacional, determinando que as questões afetivas têm um papel crucial no ensino e na aprendizagem de Matemática.

Algumas questões passaram a ser consideradas mais atentamente:

O que é a dimensão afetiva em Matemática? �

Qual o significado dos afetos em Matemática? �

Há algum tipo de ensino melhor do ponto de vista da dimensão �afetiva?

Qual o papel do professor nessa dimensão? �

O domínio afetivoNão há uma definição clara sobre o que é afeto ou domínio afetivo. De

fato, definir claramente o afeto seria inserir uma racionalidade no emo-


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cional. Para Chacón (2003), a definição mais utilizada é a de equipe de educado-res de taxonomia dos objetivos da Educação que aceita como domínio afetivo tudo o que se refere ao âmbito da afetividade. Nessa definição, estão inclusas as crenças, atitudes, considerações, gostos e preferências, emoções, sentimentos e valores.

McLeod (1989) toma o termo “afeto” de maneira geral e usa a expressão “do-mínio afetivo” para se referir a um conjunto extenso e não bem delimitado de sentimentos e de humor (estados de ânimo) que diferem da pura cognição.

Os descritores do domínio afetivo são as crenças, as atitudes e as emoções.

As crençasAs crenças matemáticas fazem parte do domínio subjetivo e estão ao redor de

todos os que são relacionados com a Matemática, seu aprendizado e seu ensino: professores, alunos e pais.

Considera-se que há fatores conscientes e inconscientes atuando no estabe-lecimento das crenças que os sujeitos trazem, sendo que os fatores inconscien-tes parecem mais relevantes no domínio afetivo por serem mais complexos e marcantes ao sujeito.

As crenças do estudante são classificadas em crenças sobre a Matemática (sobre o objeto), sobre si mesmo, sobre o ensino da Matemática e sobre o meio no qual a educação matemática acontece (contexto social e cultural) (MCLEOD, 1992). São consideradas crenças sobre a Matemática como disciplina (os alunos desenvolvem) e crenças dos estudantes (e do professor) sobre si mesmos e sua relação com a Mate-mática. Esse último eixo possui um forte componente afetivo, incluindo crenças re-lativas à autoconfiança, ao autoconceito e às causas do sucesso ou fracasso escolar. São crenças relacionadas à noção de metacognição e autoconsciência.

As atitudesA atitude é considerada como uma pré-avaliação (positiva ou negativa) que

determina as intenções pessoais e influi no comportamento (HART, 1989). A ati-tude constitui-se de três componentes: um cognitivo, que se manifesta nas cren-ças implícitas; um afetivo, que se manifesta na aceitação ou repúdio das tarefas propostas ou da matéria; e um intencional, que representa a tendência a um certo tipo de comportamento.



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Se o objeto em questão é a Matemática, duas grandes categorias são distin-guidas (CHACÓN, 2003):

atitudes em relação à Matemática; �

atitudes matemáticas. �

As atitudes em relação à Matemática referem-se ao destaque dado à disci-plina, bem como ao interesse por essa matéria e ao seu aprendizado. O aspecto afetivo é central nessas questões e, usualmente, mais intenso do que o cogni-tivo. O afetivo manifesta-se em termos de interesse, curiosidade, respeito pelo professor, satisfação, angústia, medo, tédio, pressa e ansiedade.

As atitudes matemáticas, ao contrário, restringem-se aos aspectos cognitivos e referem-se ao modo de se utilizarem capacidades gerais como flexibilidade e agilidade de pensamento, espírito crítico, objetividade, generalização etc.

As atitudes não se restringem ao campo consciente; muitas delas, ao contrá-rio, pertencem à ordem do inconsciente e podem ser encaradas sob a perspec-tiva psicanalítica.

O papel do professor e suas atitudes: aspectos in-conscientes

Ao mostrar que os fenômenos da sala de aula envolvem aspectos subjetivos, ou seja, referem-se aos fatores humanos muito mais do que aos técnicos, o para-digma da Psicanálise abre um caminho novo e frutífero aos professores: o da busca pela compreensão dos desejos, de boas relações do indivíduo consigo mesmo e com o outro. A preocupação com as pessoas apresenta-se como uma forma mais humanitária, considerando os fatores culturais e sociais.

Blanchard-Laville (1992) explora ideias da Psicanálise, que aborda fatores da ordem do inconsciente, visando às aplicações para o treinamento de professores de Matemática. A autora está preocupada com a pesquisa de metodologias para ajudar professores a melhorar a prática efetiva e a buscar uma compreensão de suas atitudes em sala de aula. Baseada nas próprias experiências, percebeu as-pectos de dimensão psíquica e de relações humanas presentes em classe, consi-derando que professores e alunos são, antes de mais nada, seres humanos.

A autora caracteriza o professor como líder em sala, aquele que é responsável pela atmosfera, pelo ambiente criado, no qual a reação dos alunos diante de


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determi nadas circunstâncias é mais consequência das atitudes do professor do que propria mente pertencente aos alunos.

Explorando os processos subjetivos inerentes à sala de aula, tomados por meio da centralidade na figura do professor que, por intermédio da linguagem e de atitudes, faz suas colocações, defende que esse profissional sofre diversos tipos de pressões ou tensões internas. Para Blanchard-Laville, o professor impõe a si mesmo ou, ainda, seu inconsciente impõe diversos tipos de pressões inter-nas, mesmo que ele não tenha pleno conhecimento (consciente) disso, o que em Psicanálise é chamado de repetições compulsivas.

O professor sofre, dessa maneira, grande influência sobre as decisões e esco-lhas que toma diante das diversas situações vivenciadas em sala. A elaboração de uma análise interna do sujeito, visando modificar as condições psíquicas que causam esses desconfortos, seria necessária e foi objeto de pesquisa da autora durante vários anos.

O trabalho envolve a identificação não somente das atitudes do mestre em sala, mas também dos motivos, principalmente de ordem emocional, como ansiedade, medo ou satisfação que determinam tais atitudes. Para a autora, o professor cria uma imagem a si e aos alunos, por exemplo, de competência, se-gurança etc., que, gerando um certo equilíbrio psíquico, torna-se difícil de ser modificada, diminuindo as tensões internas desse profissional. Lidar com esses objetos, que podem ser tomados como pertencentes à ordem do inconsciente, leva a uma modificação interna do sujeito e à descoberta de si e de sua relação com a fantasia.

As emoçõesAs emoções são respostas organizadas, além da fronteira dos sistemas psi-

cológicos, incluindo o fisiológico, o cognitivo, o motivacional e o sistema expe-rimental. Surgem como resposta a um acontecimento interno ou externo, que possui uma carga de significados positivo ou negativo para o indivíduo.

As crenças dos alunos e professores sobre o papel que cada um desem penha na estruturação da realidade social da sala de aula – dentro da qual se ensina e se aprende – dão consistência ao significado dos atos emocionais (CHACÓN, 2003).



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O significado do afetoOs aspectos mais destacados que se referem às consequências dos afetos

são:

o impacto que existe em como os alunos aprendem e utilizam a Mate- �mática; os afetos determinam os aspectos pessoais em que funcionam os recursos, as estratégias e o controle ao trabalhar as tarefas matemáticas;

a influência na estrutura do autoconceito como aprendiz de Matemática; �

as interações produzidas com o sistema cognitivo; �

a influência na estruturação da realidade social da sala de aula; �

o obstáculo que representa para um aprendiz eficaz – os alunos que pos- �suem crenças rígidas e negativas sobre a Matemática e sua aprendizagem são, em geral, aprendizes passivos e trabalham mais a memória do que a compreensão.

Para Chacón (2003), a relação que se estabelece entre afetos – crenças, atitu-des e emoções – e aprendizagem é cíclica: por um lado, a experiência do estu-dante ao aprender Matemática provoca diferentes reações e influi na formação de suas crenças. Por outro, as crenças defendidas pelo sujeito têm consequência direta em seu comportamento, em situações de aprendizagem e em sua capa-cidade de aprender.

Atitudes positivas e/ou negativas

para a Matemática

O ensino de Matemática não está alheio às concepções sobre o que é o co-nhecimento matemático; muitas ideias sobre essa disciplina baseiam-se nas di-


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ferentes visões da filosofia da Matemática. Por isso, cabe aos professores con-frontarem-se com as próprias visões que têm da Matemática e que, sem dúvida, influenciam as práticas de ensino.

Desenvolver a dimensão afetivaA maioria das pesquisas que explora a dimensão afetiva em educação mate-

mática restringe-se a mostrar quais as crenças, as atitudes e as emoções que os sujeitos envolvidos na sala de aula de Matemática experimentam. Pouco ainda se conhece sobre estratégias metodológicas que incorporem a dimensão emo-cional do sujeito e ofereçam possibilidades de uma intervenção mais produtiva.

Chacón considera que a prática escolar, no que se refere às competências emocionais, melhoraria significativamente se o currículo abordasse os seguintes aspectos:

fatores afetivos e crenças sobre a natureza da Matemática; �

Matemática e cultura – a Matemática como conhecimento cultural; �

a influência na história pessoal, nas atitudes e considerações; �

interação entre cognição e afeto; �

o autoconceito do aluno como aprendiz de Matemática. �

O desenvolvimento de dimensão afetiva na sala de aula de Matemática requer que situações sejam exploradas para permitir descobrir e liberar crenças limita-tivas dos alunos, incorporar a emoção e o afeto como instrumentos facilitadores e limita dores do conhecimento matemático.

Mapa de humor de problemasO mapa do humor é um instrumento que, copiando os mapas do tempo, es-

tabelece uma correspondência entre um conjunto de códigos para expressar di-ferentes reações emocionais experimentadas pelos estudantes e um problema previamente estabelecido.

Escolhe-se um conjunto de emoções que aparecem com frequência durante a aula de Matemática, especialmente diante da tarefa de resolver um problema.



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Por exemplo:

Tipo da emoção Símbolo

Curioso NAnimado Desesperado NTranquilo bApressado Aborrecido L“Quebrando a cabeça” MDesorientado õðPrazer YIndiferente KDivertido JConfiante ABloqueado Ï

Texto complementar

Génese e natureza do saber matemático(PONTE, 1997, p. 10-11)

Natureza dos objectos matemáticosQual a natureza dos entes matemáticos, ou seja, a Matemática estuda o

quê? Esta questão é abordada através de dois prismas de análise. Um, rela-cionado com a imaterialidade dos objectos matemáticos. Outro, que procura olhar estes objectos na sua relação com o sujeito que os conhece ou procura conhecer.


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Imaterialidade dos objectos matemáticosOs textos antigos, provenientes das primeiras civilizações orientais do

Egipto e Babilónia, são demasiado fragmentários para permitir seguir, ao pormenor, o processo de constituição de uma aritmética e de uma geo-metria. No entanto, mostram claramente que os conceitos que aí intervêm “dizem respeito apenas a objectos concretos: enumeração de objectos de um amontoado, medida de grandezas susceptíveis de adição e subtracção, como comprimento, área, volume, peso, ângulo, para cada uma das quais se toma uma unidade e muitas vezes os seus múltiplos ou submúltiplos”.

Mais tarde, a partir do século V, surgem, com os pensadores gregos, as primeiras demonstrações e com elas a necessidade de precisar noções como figura, posição, grandeza, quantidade e medida. Platão mostra claramente que estas palavras não designam noções da experiência sensível, referindo que os matemáticos se servem de figuras visíveis para estabelecerem raciocínios, pensando, contudo, não nelas mas naquilo com que se parecem. Aristóteles não deixa de apoiar a ideia da imaterialidade dos objectos matemáticos, re-ferindo, em particular, que as investigações dos matemáticos incidem sobre coisas atingidas por abstracção, de que são eliminadas todas as qualidades sensíveis como o peso, leveza ou dureza. Também Euclides, em quem vemos pela primeira vez desenvolvidas, segundo o método dedutivo, as proprieda-des dos objectos matemáticos concebidos por Platão e Aristóteles, não deixa qualquer dúvida quando ao facto de ter atribuído a ponto, recta, ângulo, cír-culo e polígono, o carácter de objectos de pensamento.

Constata-se assim que, pelo menos desde Platão, os matemáticos têm consciência de que os objectos sobre os quais raciocinam, embora tendo nomes idênticos aos que intervêm em cálculos práticos (números, figuras geométricas, grandezas) são seres completamente diferentes, seres imate-riais obtidos por abstracção, a partir de objectos acessíveis aos sentidos, mas de que deles são apenas “imagens”. Esta foi, aliás, uma das grandes ideias originais dos gregos: a atribuição às noções matemáticas do carácter de ob-jectos de pensamento.

Até ao século XVIII, os matemáticos, apesar de reconhecerem a imateriali-dade e o carácter ideal dos seres com que trabalhavam, tinham deles imagens acessíveis aos sentidos. No entanto, a partir dessa altura, para conseguirem



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novos progressos, necessitaram introduzir novos objectos matemáticos que deixaram de apoiar-se em “imagens” sensíveis. Aos poucos vai-se delineando uma ideia que será aprofundada no século XX: a ideia de estrutura na base de uma teoria matemática. Esta ideia relaciona-se com a constatação de que numa teoria matemática mais importante do que a natureza dos objectos que aí figuram, são as relações entre esses objectos, podendo acontecer que em teorias diferentes haja relações que se exprimam da mesma maneira.

Dicas de estudoLer o artigo:

PAROLIN, I. C. H.; SALVADOR, L. H. S. Odeio Matemática – um olhar psicopedagó-gico para o ensino da Matemática e suas articulações sociais. In: Revista Psicope-dagogia da Associação Brasileira de Pedagogia, v. 19, n. 59, 2002. p. 31-42.

Atividades1. Quando o autor McLeod utiliza a expressão “domínio afetivo” , a que está se

referindo?


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2. De acordo com Chacón, as competências emocionais melhorariam se o cur-rículo abordasse quais aspectos?



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Ana Márcia Fernandes Tucci de CarvalhoOs professores e os alunos têm encontrado mais uma dificuldade a ser

acres centada às já conhecidas, quando o assunto são as aulas de Matemá-tica: a comunicação1.

A linguagem das aulas de Matemática é bastante específica, com regras bem definidas e, por isso, muitos alunos encontram dificuldades não so-mente com os conceitos matemáticos envolvidos, mas também com os desencontros entre os conceitos matemáticos e os termos usados no co-tidiano dos alunos, com os significados que trazem para a sala de aula de Matemática – significados, muitas vezes, oriundos de experiências prévias.

Walkerdine (1990) já alertava para as dificuldades inerentes às opera-ções aritméticas elementares envolvendo a ideia de “mais” e “menos”. Para essa autora, os significados dos sinais utilizados em Matemática (+ e –) são produzidos por meio de práticas específicas e estas são sempre discursi-vas, isto é, instalam-se por meio de processos comunicativos, principal-mente via linguagem.

A autora comenta, ainda, um estudo em que analisou o significado das palavras “mais” e “menos” em situações domésticas cotidianas, en-volvendo 30 meninas de quatro anos de idade e suas mães. Tomou-se como pressuposto que a Educação elementar considera a operação de subtração mais complexa do que a de adição, isto é, que “menos” é mais complexo que “mais” e que, juntas, essas operações constituem um par, um contraste opositivo para descrever a comparação de quantidades. A análise das situações, envolvendo mães e filhas, revelaram que, embora exemplos de comparações aconteçam em grande número, essas com-parações não são feitas usando o par “menos/mais”. De fato, a palavra “menos” é raramente utilizada, enquanto que “mais” é frequentemente aceita em um contexto restritivo, em que a mãe procura regular o consu-

1 O verbete comunicação recebe o seguinte significado: “1. Ato ou efeito de comunicar(-se). 2. Ato ou efeito de emitir, transmitir e rece-ber mensagens por meio de métodos e/ou processos convencionados, quer por meio da linguagem falada ou escrita, quer de outros sinais, signos ou símbolos, quer de aparelhamento técnico especializado, sonoro e/ou visual” (FERREIRA, 1986, p. 443).

A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana


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mo de suas filhas. Por exemplo, a mãe tem o hábito de dizer que a filha não pode ter “mais” de um produto particular de preço elevado, ou que não pode colocar “mais” comida no prato sem ter consumido a já existente (WALKERDINE, 1990, p. 53). Para essa autora, o par operatório que é geralmente desenvolvido é “mais” e “não-mais” e não, como poderia parecer desejável a um professor de Matemá-tica, “mais” em contraste com “menos”. Lima (1991, p. 151) comenta:

Os nomes das coisas em Matemática não são geralmente escolhidos de modo a transmitirem uma ideia sobre o que devem ser essas coisas. Os exemplos abundam: um número “imaginário” não é mais nem menos existente que um número “real”; “grupo” é uma palavra que não indica nada sobre seu significado matemático.

Além de termos matemáticos que não têm o mesmo significado que os empre-gados na linguagem cotidiana, o inverso também ocorre, ou seja, algumas palavras de uso diário têm outro sentido no contexto matemático. Bacquet analisa alguns desencontros que experimentou com alunos. Um deles se refere a um aluno que demonstra espanto ao se deparar com um problema de Aritmética que se inicia por “Paul exige ser pago à vista, em dinheiro vivo”. O aluno mostra-se atônico porque não entende o que a expressão “à vista” pode significar, associa “à vista” com “vista”, “visão”, caso em que o dinheiro passa a ter uma propriedade humana: a visão, ca-pacidade de enxergar. Outro aluno argumenta, diante de um problema de divisão: “Quando eu tenho uma divisão com centésimos eu os risco sempre: o que você quer que as pessoas façam com alguns centésimos?” (BACQUET, 2001, p. 38).

Esses exemplos iniciais sugerem que o professor deve atentar para o linguajar da sala de aula, que se tornando demasiadamente técnico (como quando do uso de expressões utilizadas em Matemática, como “número imaginário”, “número real” etc.) não permite a compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos ou, por outro lado, sendo demasiado simples, empregando palavras cotidianas, perdem o sentido “matemático” que o aluno procura.

O problema da agência de viagens – linguagem natural versus linguagem matemática

Falcão (2003, p. 48) argumenta que os processos psicoló gicos envolvidos na conceitualização não podem ser descritos como um processo de extração de indícios, o qual permitiria uma reprodução mental do mundo empírico. Nesse sentido, a formação de conceitos e as respectivas representações simbólicas de-pendem das características dos meios de simbolização, com especial destaque para a linguagem. Inversamente, a simbologia está imersa em um mundo de



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conceitualização: “[...] o mundo não é construído pela linguagem, e sim com a linguagem, que é precedida pela ação, pelo gesto e pela imagem mental.”

Esse autor apresenta uma pesquisa realizada com alunos franceses, com 14 anos, cursando o equivalente ao último ano do Ensino Fundamental, o 9.º ano (antiga 8.ª série) do sistema brasileiro de ensino. Aos alunos foi proposta a tarefa de proposição de fórmulas gerais para modelar a sistemática de pagamento de salários em agências de viagens fictícias. O salário era calculado em função do número de horas trabalhadas (que, variando, constituíam uma parte variável do salário) a que se somava o ganho em função do número de passagens aéreas vendidas, mais uma parte fixa.

Falcão estabeleceu parâmetros específicos para cada agência considerada, ou seja, o ganho referente ao número de horas dependeria da agência em ques-tão, bem como do ganho em função do número de passagens aéreas vendidas, que deveria ser tomado considerando-se o percentual médio a ser pago por de-terminada agência de viagem.

Dessa forma, a fórmula geral, modelo matemático para o problema da agên-cia de viagens, é dada por S = (Hh) + (Bb) + f, em que S representa o salário total a ser recebido; H, o parâmetro salário/hora pago por determinada agên-cia; h, a variável: número de horas trabalhadas; B, o parâmetro percentual pago por bilhete vendido; b, a variável: número de bilhetes vendidos; e, finalmente, f, a parte fixa do salário (FALCÃO, 2003, p. 49).

O resultado da pesquisa mostrou que os alunos eram capazes de lidar com o problema considerando apenas o salário a ser pago ao funcionário de deter-minada agência. Porém, quando solicitados a produzir uma fórmula geral, como acima, muitos alunos apresentaram enormes dificuldades.

O quadro abaixo apresenta aspectos das dificuldades encontradas pelo autor ao analisar os trabalhos dos alunos na elaboração da fórmula geral descrita acima (FALCÃO, 2003, p. 52).

Tipo de dificuldade Descrição

1. Suporte simbólico misto. Utilização de elementos de representação simbólica oriundos da linguagem natural e formal.

2. Distinção entre variáveis e parâme-tros.

Dificuldades de diferenciação entre variáveis e parâ-metros na proposição de fórmulas genéricas ou equa-ções correspondentes a dados empíricos modelizados ou problemas a pôr em equação.

3. Generalidade da expressão. Dificuldades para trabalhar com entidades literais, pro-pondo-se frequentemente valores numéricos específi-cos para os parâmetros da expressão.


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Tipo de dificuldade Descrição

4. Caráter sintético da expressão. Dificuldade em propor expressão única, capaz de su-marizar todas as relações pertinentes ao problema ou modelo.

5. Gestão da ordem de prioridade das operações indicadas pela expres-são.

Ausência de marcadores formais que auxiliem a expli-citação da ordem de prioridade de operações, como parênteses, colchetes, barras em expressões fracioná-rias.

Tais dificuldades, como bem observa o autor, não podem ser consideradas res-tritas aos conteúdos algébricos, como o exemplo em questão, nem a problemas operatórios envolvidos em Aritmética ou relacionados a operadores lógicos.

Há, nesses fatores, dificuldades imbricadas referentes à modelização matemáti-co-algébrica e que se relacionam tanto com representação simbólica das relações detectadas como também com os aspectos conceituais relacionados à Álgebra (noções de variável e parâmetro, ordem de operações, sumarização etc.).

A língua corrente apoia-se numa quantidade considerável de meios auxiliares, tanto prosódicos quanto pragmáticos-contextuais, como a flexão, a pontuação, melodia, ritmo; a notação matemática, por sua vez, busca expressar estruturas por meios exclusivamente formais. Do ponto de vista conceitual matemático, a passagem de um código a outro implica uma atividade mediadora que abrange a identificação de variáveis (conhecidas e a calcular), parâmetros e relações, mobilização de conceitos matemáticos os mais diversos (proporcio-nalidade, números negativos, por exemplo), mobilização de algoritmos e, somente então, consideração de regras sintáticas específicas para, por exemplo, codificação de ordem de operações no âmbito de expressões complexas (FALCÃO, 2003, p. 53).

Existem estudos (LINS; GIMENEZ, 1997; LIMA, 1996) comprovando que a pas-sagem da linguagem natural à linguagem algébrica, simultaneamente, exige conceitos preestabelecidos na criança e auxilia a construção dos mesmos. Os procedimentos didáticos para efetuar tal passagem podem ser abordados con-siderando-se de forma conjunta a Álgebra e a Aritmética desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Na verdade, tal atitude encontra suporte no âmbito da educação matemática.

Os desencontros da linguagem matemáticaUma alternativa ao professor que percebe as dificuldades de comunicação

inerentes à sala de aula de Matemática é possibilitar aos estudantes que inte-rajam, que discutam significados, que resolvam problemas de maneira grupal e compartilhem impressões. É bem conhecido (MAHER; MARTINO; PANTOZZI, 1995) que os estudantes ouvem os colegas, prestam atenção ao que dizem, refle-



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tem sobre esses dizeres e sobre os próprios e, finalmente, compartilham os pró-prios pensamentos. Nesses momentos de interação social, o professor assume o papel de guia, daquele que orienta o desenvolvimento de seus alunos.

Dessa forma, o aprendizado dirigido permite a criação de um ambiente escolar que prima pelo aprendizado sob uma perspectiva qualitativa, no qual os estudantes são encorajados a desenvolver o conhecimento matemático por meio de questiona mentos, de dúvidas, de percepções.

Não se trata de, procurando desenvolver um ensino mais significativo, con-siderar como válidas, na sala de aula de Matemática, atividades do cotidiano do aluno com seus significados próprios. Nem, ao contrário, apenas restringir-se aos formalismos matemáticos de todos os problemas advindos da comunicação. A via é de mão-dupla; tanto um lado, como o outro, precisam ser considerados.

Para Meira (1993, p. 27), a linguagem utilizada na sala de aula de Matemática pode ser considerada sob uma perspectiva de prática matemática, como ativi-dade cotidiana.

A atividade matemática escolar constitui uma prática cultural que pode encontrar em si mesma os conteúdos e mecanismos para a construção de significados. Para tanto, é necessária uma “engenharia didática” que pesquise situações verda deiramente problemáticas para a investigação em sala de aula e realize etnografias do contexto escolar, no sentido de descrevê-lo e explicá--lo exaustivamente. Essa engenharia pode incluir, por exemplo, a elaboração de discussão em que os alunos experienciem a construção e comunicação de argumentos matemáticos sólidos, na defesa de ideias matemáticas familiares ou em exploração. Esse processo de comunicação e argumentação em sala de aula torna explícita a ideia da prática matemática escolar como uma ativida-de real e cotidiana, na medida em que sua linguagem e seus procedimentos tornam-se familiares aos outros.

A Matemática não pode ser concebida como um saber pronto e acabado, mas como um saber vivo, dinâmico que está sendo construído a cada aula, única em si mesma. A língua e a linguagem também são dinâmicas, sofrem modificações cotidianas. A sala de aula é o espaço em que interações acontecem, significados são produzidos e, por isso, podem e devem ser explorados.


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Questões para refletir sobre a linguagem matemática

O problema dos selos (BACQUET, 2001, p. 39. Adaptado.).

“Jacqueline tem uma coleção de 145 selos do correio. Paulo lhe diz: – Se eu lhe desse 20 dos meus selos, eu teria, então, três vezes mais do que você. Quan-tos selos Paulo tem?”

Discuta, entre as soluções abaixo, qual expressa o problema matematicamente.

1.a solução: 3 x (145 + 20) = 495 selos.

2.a solução: 3 x 145 + 20 = 445 selos.

3.a solução: 3 x (145 + 20) + 20 = 515 selos.

Jacqueline = 145

Paulo = x – 20

x – 20 = 3 (145 + 20)

x – 20 = 435 + 60

x – 20 = 495

x = 495 + 20

x = 515

Portanto, a resposta correta é:

3.ª solução: 3 (145 + 20 ) + 20 = 515 selos

A professora propõe aos alunos: “Quantos quadrados podem ser feitos com 10 palitos de fósforos?”

E um aluno responde: “Posso fazer três quadrados”.

Qual foi um possível significado atribuído pelo aluno à tarefa que originou a resposta por ele oferecida? Existem outras interpretações possíveis?



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O aluno pode ter respondido que poderia fazer três quadrados, pensando das seguintes maneiras:

No entanto, existem outras formas de resolver o problema se admitirmos que se pode sobrepor os palitos. Assim como mostra a figura abaixo, então ele pode-ria dizer que se podem construir 30 quadrados, contando os quadrados peque-nos, médios e o quadrado grande.

16 (1 x 1)

9 ( 2 x 2)

4 (3 x 3)

1 (4 x 4)

totalizando 30.

Observando a figura podemos ver os quadradinhos de dimensão 1 X 1, que são 16. Os quadrados de dimensão 2 x 2 são 9:


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Os quadrados de dimensão 3 x 3 são 4:



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E finalmente 1 quadrado de 4 x 4:

Somando todos temos: 16 + 9 + 4 + 1 = 30

Texto complementar

A ansiedade na aprendizagem da Matemática e a passagem da Aritmética para a Álgebra

(LOOS; FALCÃO; ACIOLY-RÉGNIER, 2001)

Reconciliando cognição e afetoO fenômeno da aprendizagem humana não se limita ao funcionamento

das estruturas cognitivas, pois envolve também a dimensão social e afetiva. Tal princípio decorre da concepção da existência de profundas inter-relações e in-terdependência entre todos dos fenômenos (físicos, biológicos, psicológicos, sociais e culturais), visão esta que tem buscado transcender as atuais fronteiras disciplinares e conceituais, contrapondo-se à forte compartimentalização que


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ainda reina em nossas teorias científicas, resquícios da era Cartesiana (CAPRA, 1982). Assim sendo, torna-se necessário aceitar como área legítima de investi-gação não somente aqueles aspectos da experiência que possam parecer es-sencialmente racionais, mas também os fenômenos considerados subjetivos, pois a emoção e a cognição coexistem em um mesmo indivíduo e interferem amplamente em sua vida mental e em seu comportamento.

A leitura das contribuições de alguns dos grandes teóricos da Psicologia, como Piaget, Freud, Vygotsky e Wallon, por exemplo, permitiu constatar que todos chegam a supor uma relação indissociável e complementar entre a cognição e afetividade. No entanto, a maioria deles desenvolve seu trabalho centrando-se em apenas um destes dois aspectos, e as noções de indisso-ciabilidade e complementaridade acabam por se perder ao longo de suas teorias. Wallon (1968) foi um dos autores que vigorosamente salientou a im-portância da dimensão afetiva na construção do conhecimento, bem como na formação do próprio indivíduo.

Novas perspectivas de estudo que enfocam, primordialmente, a relação entre estas duas instâncias vêm se desenvolvendo nos últimos anos. Temos, por exemplo, as contribuições de Zajonc (1984) Mandler (1985), Weiner (1982), Leventhale Scherer (1987), Le Doux (1989) e Steine Levine (1989). Entre os autores citados, diferentes posições são adotadas acerca de algumas relações funcionais e temporais entre a cognição e a afetividade. Entretanto, não é possível ainda dispor de teorizações que ofereçam um desenho com-pleto e detalhado sobre o tema. Na prática, porém, tem se tornado cada vez mais notório que vários dos componentes do domínio afetivo, tais como as atitudes e os valores, as emoções e os sentimentos, a motivação, a confiança em si, e ainda, a atmosfera relacional, desempenham papéis fundamentais na atividade mental dos indivíduos.

A Matemática como objeto de aprendizagemA Matemática é comumente considerada a mais abstrata, racional, formal,

universal e descontextualizada das disciplinas. Enquanto corpo de conheci-mentos que responde a problemas práticos e teóricos propostos pela hu-manidade no curso da história (com diversas ferramentas conceituais e ope-racionais criadas para tal fim), a matemática pode ser concebida como uma forma particular de organizarmos os eventos e objetos do mundo. É, nesse



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sentido, entendida enquanto atividade humana. Assim sendo, deve-se não só procurar compreender o que é essa Matemática realizada pelos indivídu-os, mas também como estes se relacionam com ela. A representação social que a envolve, bem como sua natureza e linguagem, predispõem-na a diver-sos tipos de investimento emocional.

Três aspectos merecem ser tomados em consideração nesse momento: a linguagem, a representação social e as especificidades do conteúdo.

A linguagem é enfocada sob o ponto de vista de Walkerdine (1988), que analisou os eixos metafóricos e metonímico do discurso matemático, sugerin-do que a descontextualização e a impessoalização são obtidas pela predomi-nância do eixo metonímico e supressão do eixo metafórico. Poder-se-ia vis-lumbrar tal processo relacionado à transformação da linguagem matemática em objeto de pensamento, tal como concebe Douady (1986). Para esta autora, a dialética instrumento/objeto aplica-se aos papéis alternadamente desem-penhados pela matemática: enquanto instrumento – para colocar questões e resolver problemas; ou enquanto objeto – que toma um lugar na construção de um saber organizado, no savoir-savant de um dado momento histórico.

[...]

Dicas de estudoLer o livro:

DIAS, Maria da Graça; SPINILLO, Alina G (Orgs.). Tópicos em Psicologia Cognitiva. Recife: Editora Universitária da UFPE, 2005, p. 337.

O livro é composto de 4 partes. A primeira parte apresenta estudos sobre raciocínio dedutivo e da argumentação. A segunda parte apresenta pesquisas sobre habilidades linguísticas, analisando os conhecimentos que as crianças têm sobre a estrutura narrativa de histórias. A terceira trata de conceitos matemáti-cos em uma perspectiva psicológica, enfatizando a construção de significados gerados pelo indivíduo em situações específicas. A quarta parte faz uma reflexão acerca da importância dos aspectos sociológicos e da interação na investigação e análise de habilidades cognitivas em adultos e crianças.


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Atividades1. Além dos conceitos matemáticos, a linguagem específica e as regras mate-

máticas, quais são outros fatores que podem também colaborar para que os alunos encontrem dificuldades na aula de matemática?

2. O que o linguajar, demasiadamente técnico, usado para expressar conceitos matemáticos pode causar?


Ana Márcia Fernandes Tucci de CarvalhoA história da Matemática nos mostra grandes feitos e grandes desco-

bertas. Em qualquer época, os povos estiveram, e estão, preocupados com as necessidades primárias e urgentes ligadas à alimentação, ao vestuário, à habitação, ao transporte e ao desenvolvimento de instrumentos bélicos.

Por trás dessas questões, encontram-se os problemas matemáticos e os pensadores que se depararam com eles. Infelizmente, a maioria dos livros di-dáticos utilizados em todos os níveis de ensino, desde os mais elementares até os superiores, apresentam uma Matemática pronta, com uma teoria defi-nitiva e bem delineada, com todos os conceitos estruturados de forma linear e contínua, um após o outro, hierarquicamente embasados e distribuídos.

Apresentada dessa forma, a Matemática se mostra como ciência da exatidão por excelência, de problemas com solução única que pode ser determinada por uma única forma correta.

Todavia, essa apresentação deixa uma das principais características da Matemática imersa em obscurantismo: o desafio intelectual e o prazer da descoberta.

Esse desafio e esse prazer de descobrir podem ser resgatados com a me-todologia da resolução de problemas. Esse é um dos motivos pelo qual essa maneira de ensinar atrai, cada vez mais, inúmeros professores e alunos.

Mas... toda solução apresenta problemas!

Os desafios da metodologia da resolução de problemas

Pires e Gomes (2004) definem que um indivíduo encontra-se diante de um problema quando encara uma situação de forma compreensiva, não

Os problemas da solução: dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas”


244


encontra uma solução óbvia para essa situação, percebe a necessidade de uma ação e se propõe a agir.

Na sala de aula, professores e alunos devem estar envolvidos na resolução de problemas. Ao professor não cabe apenas a tarefa de propor o problema, mas também a de direcionar o aluno para que este perceba a necessidade da ação para solucioná-lo e se proponha a agir diante desse problema.

A metodologia da resolução de problemas requer do professor um conhe-cimento matemático abrangente. Do aluno, curiosidade e vivacidade e que o ambiente escolar seja propício a uma certa maleabilidade curricular.

Esses fatores restritivos podem afetar a aplicabilidade dessa metodologia ou mesmo dar margem a um engano: não se trata da simples resolução de problemas sequenciais. O fato de muitos problemas ou exercícios serem resolvidos não signi-fica que a metodologia da resolução de problemas esteja sendo empregada.

É preciso que um certo tópico matemático esteja por trás dos problemas abor-dados, seja adequadamente tratado pelo professor e explorado pelos alunos.

A metodologia da resolução de problemas prevê que conteúdos matemáti-cos sejam estudados por esse método. Este constitui, certamente, um de seus grandes desafios e também uma de suas conquistas, porque dá ao aluno, desde os anos iniciais, a possibilidade de aprender descobrindo, de formular questões sobre os problemas e de procurar caminhos alternativos para resolvê-los.

Problemas com a metodologia da resolução de problemas

Cain (2003) apresenta questões e preocupações acerca da resolução de pro-blemas que se apresentam de forma natural aos professores, pais, alunos e à própria comunidade escolar como um todo.

As crianças estão realmente aptas a explorar problemas e chegar a soluções sensíveis?

A metodologia da resolução de problemas prevê que lecionar por meio de seus métodos implica em começar a aula com a proposta da utilização de um problema.



245

Os problemas utilizados geralmente são mais “abertos” e permitem uma certa variedade de respostas corretas e de maneiras para resolvê-los. São, ao mesmo tempo, um ponto de estímulo e de fonte organizacional, mas também se constituem em uma maneira de o estudante explorar conceitos matemáticos. Na verdade, o fato de os estudantes “explorarem” o problema é um componente essencial nessa metodologia. O professor age como guia e incentivador.

No entanto, uma questão crucial permanece: os estudantes são realmen-te capazes de explorar os problemas e encontrar ou inventar estratégias para resolvê-los?

Para Cain (2003), as pesquisas indicam que sim. Para exemplificar, cita uma pesquisa realizada cuja tarefa era somar 38 + 26. As seguintes estratégias foram utilizadas:

“trinta mais vinte são cinquenta; e o oito torna essa soma cinquenta e oito. �Então, mais seis a torna sessenta e quatro”;

“trinta mais vinte são cinquenta. Oito mais seis são quatorze; então cin- �quenta mais quatorze são sessenta e quatro”;

“trinta e oito mais vinte e seis é como quarenta mais vinte e quatro, logo �perfaz sessenta e quatro”.

As estratégias diferentes requerem que o professor esteja preparado para dis-cutir com os alunos as diversas possibilidades de solução, demonstrando que há, na Matemática, flexibilidade na maneira de encarar e solucionar um problema.

Como os professores podem aprender a lecionar por meio da resolução de problemas?

O sucesso dos professores que lecionam por meio da metodologia da reso-lução de problemas envolve fatores como o estímulo e o encorajamento que recebem dos colegas quando começam a trabalhar com ela. O papel do profes-sor de Matemática muda de mero transmissor de informações para observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador.

Os professores descobrem que certas habilidades são necessárias para aplicar essa metodologia. Por exemplo, sob o ponto de vista matemático, o professor deve estar apto a perceber e criticar as soluções propostas pelo aluno. Individu-


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almente, sob o ponto de vista pedagógico, deve decidir quando e como intervir. Sob uma perspectiva pessoal, o professor de Matemática estará na posição inco-mum e incômoda de não saber ou trabalhar sem saber todas as respostas, o que requer experiência, confiança e autoconhecimento.

O fato é que trabalhar dentro desse espírito demanda muito, tanto do profes-sor quanto dos alunos, sendo, por outro lado, muito recompensador.

Duas tarefas exigidas do professor são essenciais: selecionar problemas ade-quados e organizar o andamento das tarefas em classe.

Qual o problema adequado?

Para Dante (1995), o bom problema é aquele que se apresenta como desafio, interessante para o aluno, com nível adequado de dificuldade e que não é mera aplicação direta de operações aritméticas. Essas características precisam ser con-sideradas pelo professor quando propõe problemas.

Permitir que os alunos se envolvam com a procura da solução, manifestem--se, apresentem respostas inesperadas e tenham tempo para resolver o proble-ma constitui parte das características organizacionais da sala de aula.

Em que os estudantes acreditam quando buscam a resolução de problemas?

Quando a metodologia da resolução de problemas é utilizada, os estudantes participam ativamente do processo de construção do conhecimento e, dessa forma, fazem um sentido próprio da Matemática. Em outras palavras, os estu-dantes tornam-se participantes ativos da criação do conhecimento mais do que simples “recebedores” de regras e procedimentos.

A maioria dos estudantes que se depara com a resolução de problemas, como a metodologia de ensino, já traz crenças prévias sobre a Matemática. Muitos, por exemplo, acreditam que há apenas uma maneira “correta” de um determinado problema ser abordado. Muitos estudantes não veem a Matemá-tica como atividade que precisa de envolvimento intelectual e criatividade, mas apenas como um grande conjunto de procedimentos e regras a serem seguidas e memorizadas.

Essas crenças devem ser modificadas à medida que as atividades acontecem.



247

Outra preocupação dos alunos relaciona-se com a expectativa que eles pensam que os professores têm sobre eles. Quando, repetidas vezes, um pro-blema é proposto pelo professor e o aluno não consegue resolvê-lo, o fato pode gerar no estudante angústia e falta de confiança.

Nesses casos, o professor poderia modificar os problemas propostos, reven-do as habilidades dos alunos e os níveis de dificuldade dos problemas. Para que se possa empregar essa metodologia, é necessário um professor atento e sensí-vel aos alunos.

Se a metodologia da resolução de problemas é adotada, os estudantes perdem habilidades básicas e essenciais?

Quando se leciona por meio da resolução de problemas e os estudantes têm oportunidade de explorar as situações-problema e resolvê-las, são encorajados a usar diferentes estratégias.

Utilizando a metodologia da resolução de problemas, a ênfase está no pensa-mento matemático, em suas ideias. Valoriza-se mais o entendimento conceitual do que o conhecimento de procedimentos e técnicas algorítmicas.

No entanto, muitos professores e mesmo pais de alunos se preocupam quando a resolução de problemas é empregada como estratégia de ensino, porque acreditam que técnicas e algoritmos matemáticos não são aprendidos pelos estudantes.

Assim, considerando-se que essas preocupações são legítimas, algumas pes-quisas têm sido realizadas na tentativa de responder se os estudantes perdem habilidades essenciais quando a resolução de problemas é considerada. Para Cain (2003), essas perguntas ainda não estão satisfatoriamente respondidas. Esse autor considera possível afirmar, em um primeiro momento, que os estu-dantes que aprendem determinado tópico matemático, por meio da resolução de problemas, saem-se tão bem quanto aqueles que o aprenderam por meio do ensino tradicional, quando se trata de cálculos aritméticos básicos e entendi-mento conceitual.

Dessa forma, parece que utilizar a metodologia da resolução de problemas como estratégia de ensino pode ser mais trabalhoso ao professor e mais recom-


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pensador para o aluno, porque torna a Matemática mais atraente, mas não sig-nifica necessariamente que o aluno aprenda “mais” Matemática ou que esta seja de melhor qualidade.

Outras questõesNo Brasil, foram criados os Parâmetros Curriculares Nacionais:

PCN – Matemática – 1.º e 2.º ciclos – 1.ª a 4.ª séries – 1997. �

PCN – Matemática – 3.º e 4.º ciclos – 5.ª a 8.ª séries – 1998. �

PCN – Matemática – Ensino Médio – 1999. �

Os objetivos gerais da área de Matemática, nos PCN, são abrangentes e en-volvem diferentes aspectos da educação matemática. Esses objetivos procuram encarar o desenvolvimento educacional do aluno como um todo, o que é dese-jável. Utilizar a metodologia de resolução de problemas para o ensino da Mate-mática, desenvolvendo no aluno a capacidade de explorar problemas, solucio-ná-los e até inventá-los, a partir de problemas prévios conhecidos, é altamente recomendado.

Paralela a essas colocações, existe a realidade brasileira na qual muitos pro-fessores da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio) trabalham com um número cada vez maior de alunos na sala de aula: 30 ou 40 estudantes.

Nesse contexto, várias questões permanecem sem resposta.

Como escolher um problema que desafie a todos os alunos, simultanea- �mente, e seja, ao mesmo tempo, capaz de ser resolvido por todos?

Como escolher problemas que permitam que os conceitos sejam desen- �volvidos de acordo com um currículo mínimo exigido?

Todas as ideias e conceitos matemáticos podem ser introduzidos por meio �de problemas?

Responder, ou ao menos encaminhar essas questões, são ainda desafios para o professor.



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O que podemos considerar, sem sombra de dúvidas, é que utilizar a resolu-ção de problemas como estratégia de ensino traz inúmeros benefícios, como também uma grande variedade de questões que ainda precisam ser debatidas e analisadas. Tanto o professor de Matemática quanto o aluno enfrentarão novas situações em âmbitos que vão desde o cognitivo até os que envolvem fatores de metacognição e da dimensão afetiva.

Sugestões de problemasDiscuta qual o nível de conhecimento é necessário para resolvê-los, indican-

do em qual(is) ciclo(s) o problema poderia ser oferecido.

Adivinhando números (DANTE, 1995, p. 84. Adaptado.).

0 1 2 3 4 5 �

Estou pensando em um número que representa a quantidade de narizes que eu tenho. 1, pois tenho apenas um nariz.

6 8 10 12 �

É maior que oito e vale menos do que uma dúzia. 10, pois 10 é maior que 8, e é menor que 12, que representa uma dúzia.

1 6 7 10 �

Não é ímpar e é maior que seis. Da lista dada, 10 é o único número par (não ímpar) maior que 6.

Uma viagem (PIRES; CURI; PIETROPAULO, 2002, p. 122. Adaptado.).

Observe o esquema que indica as estradas existentes entre as cidades A e B. Quantos e quais são as maneiras possíveis de ir da cidade A para a cidade B?

O número de maneiras possíveis de se ir da cidade A para a cidade B é 9.


250


São elas:

ACEDB

ACEB

ACEGB

AEDB

AEB

AEGB

AFEDB

AFEB

AFEGB

Gastando pouco

A e B são locadoras de automóvel. A cobra R$1,00 por quilômetro rodado mais uma taxa de R$100,00 fixa. B cobra R$0,80 mais uma taxa de R$200,00. Dis-cuta a vantagem de se alugar um carro em A ou em B se a viagem que será feita tem 360km.

Consideremos x = 360km (o número de quilômetros percorridos nas situações):

A = R$1,00 . x + R$100,00 B = R$0,80 . x + R$200,00

A = R$1,00 . 360 + R$100,00 B = R$0,80 . 360 + R$200,00

A = R$360,00 + R$100,00 B = R$288,00 + R$200,00

A = R$460,00 B = R$488,00

Então na situação A sai mais barato se o número de quilômetros rodados for 360.



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Texto complementar

Sobre resolução de problemas(BURIASCO, 1995)

Primeiro significado: resolver problemas como meio para alcançar de-terminados fins.

Na concepção que adota este significado, os problemas são utilizados como veículos a serviço de outros objetivos curriculares, servindo para di-ferentes fins.

Como justificativa � : problemas da vida real como justificativa para en-sinar Matemática – alguns problemas relacionados com a vida cotidia-na são incluídos nas aulas para mostrar para que serve a matemática.

Como motivação para certos conteúdos � : os problemas são utiliza-dos para introduzir conteúdos, na tentativa de promover o conven-cimento implícito ou explícito de que facilitarão a aprendizagem de determinado conteúdo.

Como atividade recreativa � : mostram que a matemática pode ser “di-vertida” e que existem usos “divertidos” para os conhecimentos mate-máticos.

Como meio para desenvolver novas habilidades � : se acredita que, cuidadosamente sequenciados, os problemas podem proporcionar aos estudantes novas habilidades e prover o contexto para discussões relacionadas com algum conteúdo.

Como prática � : a maioria das tarefas matemáticas na escola caem nes-ta categoria. Ensina-se uma técnica e em seguida uma lista de proble-mas para que pratiquem a técnica aprendida.

Em qualquer uma das formas, os problemas são utilizados como meio para alguma das metas aqui apresentadas. Isto é, a resolução de problemas não é vista como uma meta em si mesma, e sim, como estratégia na busca de alcançar outros objetivos, outras metas.


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Segundo significado: resolver problemas como habilidade.

A maioria das propostas curriculares sob a tendência da Resolução de Pro-blemas é deste tipo. A Resolução de Problemas é, muitas vezes, vista como uma das tantas habilidades a serem ensinadas na Matemática escolar. Isto é, resolver problemas não rotineiros é caracterizado como uma habilidade de nível superior, a ser desenvolvida logo depois de ter resolvido muitos pro-blemas rotineiros.

É de se destacar que, ainda que neste segundo significado, a resolução dos problemas é vista como habilidade em si mesma, os problemas apare-cem como um conteúdo, ao final de outro determinado conteúdo, para que as técnicas, os algoritmos, deste último possam ser dominados. Então a reso-lução de problemas acaba se tornando um instrumento para ”adquirir”:

1.° conceitos matemáticos básicos;

2.° capacidade de resolver problemas rotineiros;

3.° capacidade de resolver problemas não rotineiros (não para todos).

Terceiro significado: resolver problemas como “fazer matemática”.

Deste ponto de vista, o trabalho dos matemáticos é resolver problemas e portanto aprender Matemática é aprender a resolver problemas. O ma-temático que sustenta essa ideia da atividade matemática é George Polya (1887-1985), que no seu livro How to Solve It – 1954 (POLYA. G. A Arte de Resolver Problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Ja-neiro: Interciência,1978) introduz o termo heurística para descrever a arte da resolução de problemas, conceito que desenvolve em seus outros livros Matemática e Raciocínio Plausível (1957) e A Descoberta Matemática (1981).

Referência: Notas de aula da disciplina Resolução de problemas

e Atividades de Investigação.

Profª. Drª. Regina Luzia Corio de Buriasco/ Curso de Especialização

em Educação Matemática



253

Dicas de estudoLer o capítulo “Estudo sobre a solução de problemas aritméticos de multipli-

cação do tipo isomorfismo de medidas”, encontrado em:

TAXA, Fernanda de Oliveira Soares; FINI, Lucila Diehl Tolaine. In: BRITO, M. R. F. (Org.). Psicologia da Educação Matemática (Teoria e Pesquisa). Florianópolis: Insular, 2001. p. 280.

Com base no referencial de Piaget, o capítulo apresenta um estudo dos pro-cedimentos utilizados por crianças da escola elementar, durante a solução de problemas aritméticos de estrutura multiplicativa.

Atividades1. Enumere algumas preocupações que se apresentam acerca da metodologia

da resolução de problemas.


254


2. Quais os benefícios que a resolução de problemas pode trazer?



255



Os povos antigos já sabiamCyrino (2003, p. 56) considera tanto a arte quanto a Matemática como

formas de se representar a realidade, pois tanto uma quanto a outra “am-pliam a realidade do imaginário na busca da transcrição do concreto para o abstrato na constituição do conhecimento”.

Ampliar a realidade na busca do concreto para o abstrato e, inversa-mente, do abstrato para o concreto sempre foi uma das principais caracte-rísticas do pensamento geométrico. Parece ser comum o pensamento de que a Geometria, como muitos outros ramos da Matemática, foi utilizada primeiramente para a resolução de problemas práticos advindos das ne-cessidades humanas e muito do conhecimento geométrico de que temos notícia, como formas regulares e padrões, relaciona-se com a religião de povos antigos.

As pinturas em cavernas da França e da Espanha (com mais de 15 mil anos) deviam ter algum significado ritual; elas revelam, sem dúvida, uma notável compreensão da forma; matematicamente falando, revelam uma compreensão do espaço bidimensional dos objetos no espaço. (STRUIK, 1989, p. 29)

Os conhecimentos matemáticos revelados por obras gigantescas de povos absolutamente extraordinários – como os gregos, os egípcios, os hindus, os maias – constituem ainda hoje fonte de admiração para os pesquisadores. Nas pirâmides do Egito, nos templos gregos, nas cidades maias, nos templos sagrados da Índia, abundam formas geométricas, razões e proporções.1

Um exemplo notável é a razão áurea, que pode ser encontrada no Parthenon, na Grécia. A razão áurea foi tratada em Os Elementos, de

Euclides. Atualmente, sabemos que a razão áurea é o número irracional ∅ =+1 5

2.

A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos


258


Descobriu-se muito sobre a Geometria analisando-se obras, templos e gravu-ras antigas. As civilizações possuíam conhecimentos elevados de perspectivas, de planificação, de representação geométrica e, ainda, conhecimentos de áreas, volumes e de perspectiva.

Hoje, muitos professores encontram dificuldades para tratar dessas questões com seus alunos. Por que a área é expressa em cm2? Por que o perímetro é expresso em cm? Por que o volume é expresso em cm3? As respostas que pare-cem simples ao professor causam espanto aos alunos. Lidar com questões de dimensão não é tão simples.

Os problemas que encontramos hoje: dificuldades dos alunos e dos professores

Gálvez (1996, p. 249) aponta uma série de problemas encontrados quando a questão é o ensino de Geometria.

Como preparar a passagem da Geometria de observação, de comprova- �ção empírica de relações, para a Geometria dedutiva, na qual a validade das proposições é sustentada pela coerência do raciocínio? Por exem-plo, como verificar se ao justapor três ângulos internos de um triângulo se obtém um ângulo de 180º? A conclusão é de que isso deve acontecer necessa ria mente em qualquer triângulo?

Como compatibilizar o caráter variável, aproximado, dos resultados ob- �tidos empiricamente, com o caráter único, exato, dos resultados obtidos por meio do cálculo? Por exemplo, os valores obtidos para a área de um triângulo, contando quadradinhos, com o valor obtido aplicando a fórmu-la a partir de medidas dadas de base e altura?

Como garantir a compreensão de procedimentos algoritmizados que os �alunos devem aprender? É evidente que a repetição de sua execução, até memorizar as sequências de ações que contêm tal procedimento, não é suficiente. Porém, como substituir essa estratégia de ensino?

Como coordenar a conceitualização dinâmica dos objetos geométricos �(vinculados, por exemplo, ao traçado de figuras) com sua conceitualização estática (vinculada à sua apresentação)?



259

Como organizar a passagem da linguagem natural, para referir-se às rela- �ções espaciais, até a linguagem matemática, sem gerar rupturas violentas pos sibilitando a apropriação sintática e semântica da linguagem matemá-tica, de modo que os alunos possam utilizá-la para expressar seus conhe-cimentos?

Como relacionar as aquisições no âmbito das relações espaciais com �as aquisições no domínio das relações numéricas? Em que medida os progressos em um desses âmbitos podem facilitar ou pôr obstáculos à aprendi za gem dos outros?

Bacquet (2003) relata alguns dos problemas mais comuns encontrados no aprendizado de estudantes do Ensino Fundamental: a questão de área de super-fície e perímetro.

Trabalhando com uma aluna (Eva) de 10 anos, o que corresponde à última série do nosso Ensino Fundamental, isto é, à antiga 4.ª série do primário, Bacquet percebeu que ela conhecia as fórmulas:

P = (comprimento + largura) x 2, para perímetro.

Área = comprimento x largura, para área.

(Relativas ao retângulo)

P = lado x 4.

Área = lado x lado.

(Relativas ao quadrado)

Embora Eva tivesse, provavelmente, escutado muitas explicações sobre o porquê de essas formas assim se apresentarem, Bacquet se surpreende: “Eva aplicava essas duas fórmulas absolutamente por acaso e as áreas são dadas re-gularmente em metros, os perímetros sendo, é claro, em metros quadrados” (BACQUET, 2003, p. 80).

O professor se angustia, muitas vezes, quando vê que as explicações que for-neceu não foram assimiladas pelo aluno. Você já parou para pensar em quantas vezes o professor deixa a sala de aula pensando em que poderia modificar sua pedagogia, em como motivar seus alunos, em como fazer com que aprendam mais e se sintam mais interessados? Como lidar com alunos como Eva?


260


Bacquet descreve os procedimentos que utilizou. A primeira atitude da pro-fessora foi trabalhar a definição de metro: metros rígidos de madeira ou metal, metros dobráveis e metros de fita foram utilizados. Objetivava dar a Eva a noção de medida, considerada como “comparação”. A mesma unidade deve produzir a mesma medida.

Medir é comparar, utilizando uma certa unidade como padrão. Este é o pri-meiro passo e trata-se de um passo árduo, porque já estamos imersos em metros prontos, em réguas que vêm milimetradas, comprados nas papelarias. O aluno não percebe que, se mudássemos nosso padrão de medida, mudaríamos o valor numérico daquilo que estamos medindo. É natural encontrar estudantes que imaginam que a medida é uma qualidade invariante, o que de fato é verdade, desde que tenhamos fixado a priori uma “unidade-padrão”.

Bacquet comenta que, junto com a aluna, dividiu um metro de fita em dez partes, para obter um decímetro, e dividiu o decímetro em dez partes, para obter o centímetro. Essas operações feitas em material “concreto” fornecem ao aluno a noção de medida como comparação e possibilitam que as igualdades 1 metro = 10 decímetros = 100 centímetros deixem de ser apenas relações a serem memo-rizadas, pois o material é manipulado, é visualizado. Trabalhado dessa forma, o metro deixa a característica abstrata, pode ser percebido.

Gálvez considera que a métrica é, para Piaget, a característica fundamental do espaço euclidiano, pois possibilita a estruturação de sistema tridimensional de coordenadas, o que conduz à matematização do espaço.

A métrica envolve a utilização de duas operações que determinam a passagem da manipulação qualitativa do espaço à manipulação quantitativa: a partição do todo em suas partes, para construir uma unidade de medida, e o deslocamento, para aplicar esta unidade de medida de maneira reiterada, cobrindo a extensão do objeto. (GÁLVEZ, 1996, p. 243)

Após a noção de metro, pode-se seguir para metro quadrado e metro cúbico.

O metro quadrado pode ser obtido por meio de jornal. Cortando-se um metro quadrado de jornal, pode-se forrar a mesa do professor, o chão da sala, a porta. A noção de metro quadrado será associada à área de forma natural e os cm2 farão mais sentido aos estudantes.

Quando se trata de encontrar a área de um retângulo do qual se diz, por exemplo, que o comprimento mede 7 centímetros e a largura 4 centímetros,



261

perguntamo-nos onde estão os centímetros quadrados [...]? Como admitir que “multiplicando o comprimento pela largura” medidas em centímetros vamos, por alguma alquimia misteriosa, encontrar “quadrados”? (BACQUET, 2003, p. 81).

O professor busca alternativas para ensinar. Então, depois de várias tentativas, encontra mais uma vez o aluno aplicando fórmulas e algoritmos que parecem não fazer nenhum sentido para ele.

Diversos problemas e dificuldades do aluno não são culpa do professor, que não deveria se sentir culpado porque seu aluno não aprende. Buscar novas me-todologias, novas formas de ensinar, são sempre atitudes esperadas do professor consciente de seu papel de educador, de formador. Todavia, há a responsabilidade do aluno em todo e qualquer sistema educacional. Há outros fatores que interfe-rem no âmbito escolar e que fogem à alçada do professor (CABRAL, 1998).

Gálvez (1996, p. 241) salienta que desde cedo a criança percebe o espaço que a circunda e as ações de deslocamento e coordenação são associadas a esses espaços. “O espaço é exteriorizado, aparece como o ambiente imóvel no qual se situam tanto o sujeito como o objeto”. Somente mais tarde o sujeito passa a conceber a si próprio como outro objeto, um objeto a mais, dentro de um certo espaço homogêneo, percebendo seus próprios deslocamentos como desloca-mentos em relação a outros e às posições de outros objetos. Considerando a obra de Piaget e outros, A Representação do Espaço na Criança2, a autora argumenta que, no âmbito geométrico, a ordem genética de aquisição das noções espaciais é inversa à ordem histórica do progresso da ciência. Em síntese, embora Euclides (século III a.C.), com Os Elementos, apresente uma Geometria Plana axiomatizada e, ainda, o que é mais notável, fundamentada em demonstrações que ainda hoje encontrem suporte na formalização matemática, o conhecimento infantil con-sidera primeiro o espaço tridimensional e suas relações intrínsecas. Primeiro as noções de vizinhança, separação, ordem, contorno e continuidade, noções que tornam possível distinguir figuras abertas de fechadas; espaço interior e espaço exterior. É possível afirmar que, em primeiro lugar, vivemos a Geometria para, somente depois, a vermos.

“A criança considera primeiro as relações topológicas de uma figura, e só pos-teriormente as projetivas e as euclidianas, que são construídas quase de maneira simultânea” (GÁLVEZ, 1996, p. 242).

2 PIAGET, J; INHELDER, B. (1947). La Représentation de L´espace Chez L´enfant. Paris, P.U.F. In: GÁLVEZ (1996, p. 257).


262


Possibilidades metodológicas e pedagógicas

Kaleff (2003) tece considerações para a ação pedagógica acerca do ensino de Matemática como um todo e da Geometria em particular. Essas ações podem nortear o professor de Matemática.

Exploração de diferentes materiais concretos para o desenvolvimento do �significado das noções geométricas elementares.

Exploração da simulação de situações de investigação, como auxílio ao �desenvolvimento do significado das noções geométricas elementares e não somente o treinamento da memorização de técnicas operatórias.

Incentivo à capacitação do aluno para o estabelecimento de conjecturas, �para a formulação e resolução de problemas e não para a procura meca-nicista de respostas.

Reconhecimento, pelo aluno, das conexões entre as ideias e aplicações �matemáticas e não apenas da percepção da Matemática, particularmente da Geometria, como um corpo de conceitos e procedimentos isolados do cotidiano e de outras áreas do conhecimento.

Busca da formação integral do educando, levando-o a se estabelecer �como ser crítico, a se encontrar como ser humano e cidadão, consciente da sua condição de ser em transformação, integrado a sua natureza interior e participante ativo na construção de seu destino e de sua história.

Nessa perspectiva, o aluno de Matemática é pensado como um ser que pode participar socialmente e de forma ativa de uma comunidade específica, a sala de aula de Matemática. Assim, essa sala torna-se muito mais do que um simples espaço em que o conhecimento – em particular o conhecimento matemático – é adquirido, pois torna-se meio de formação individual e coletiva, e os indivíduos que dela participam adquirem possibilidade de desenvolvimento crítico e ob-servação de conexões entre os diversos conteúdos.

Essas ações podem e devem ser consideradas, pois o professor faz parte do pro-cesso de desenvolvimento do aluno, sendo, sem dúvida, uma das peças fundamen-tais desse intricado “jogo” de conhecimento que toma lugar nas salas de aula.



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A complexa passagem das propriedades constatadas empiricamente à sua in-tegração a um sistema dedutivo formal, como a Matemática apresenta, deve ser buscada por meio de reiteradas experiências de verificação de propriedades.

Surpresas como essas, nas quais os professores sentem por que não consi-deram que os alunos podem simplesmente não estar fazendo ideia do que se pede, a que o enunciado do problema proposto se refere, são comuns quando se ensina Geometria e Matemática.

O professor deve escutar o aluno, pois ouvindo-o pode-se ensinar mais, com melhor qualidade, do que apenas falando o que o aluno deve fazer. “É ouvindo que se ensina, é falando que se aprende!” (CABRAL, 1998, p. 212). Esse aforis-mo de Cabral retrata uma desmistificação do ensino de Matemática: o professor deixa de ser aquele que fala o tempo todo, passando a ser aquele que orienta, seguindo não o currículo ou o livro didático, mas aquilo que o aluno conhece. O foco do ensino passa a ser o aluno e o conteúdo matemático a ser explorado, desenvolvido, para, finalmente, ser conhecido.

Texto complementar

Figuras de Linguagem [...]

(FONSECA, 2001)

Sociedade Piramidal: A referência primeira de professores e alunos, quando se fala em pirâmides, é, em geral, a imagem das pirâmides do Egito, grandes construções, túmulos dos Faraós. Essa é, afinal, uma associação con-sagrada, o que faz Garcia (1974, p. 2827) atribuir à palavra “piramidal” o senti-do (figurado) de colossal, importante, muito grande, notável, extraordinário, monumental, como nas expressões “trabalho piramidal” ou “disparate pira-midal”. Como o termo “sociedade piramidal” já não é de uso tão corriqueiro como era o caso das expressões anteriores (pessoa quadrada, círculo vicioso, triângulo amoroso), não raro acontece de os professores se deterem apenas no adjetivo “piramidal” que compõe a expressão, associando-o a sentidos que remontam à grandiosidade das construções egípcias.


264


Acontece, também, que, sugeridas ainda pela associação com as “pirâmi-des do Egito”, as interpretações arrisquem uma correlação com os modos de organização das sociedades egípcias, ou com aqueles que cultuam a vida após a morte.

A expressão “sociedade piramidal”, no entanto, vale-se de outras metá-foras que se reportam antes à classe de sólidos geométricos (denominados de pirâmides) do que aos monumentos egípcios (que são construções cuja forma é a de uma pirâmide de base quadrada). Nesse sentido é que se podem estabelecer associações entre a relação alto-baixo e uma situação social ou mais ou menos privilegiada, e entre uma área maior ou menor de uma seção plana paralela à base e a quantidade de pessoas em cada situação. Assim, uma pirâmide representaria uma sociedade em que a maior parte das pesso-as estaria numa situação menos privilegiada (a base), diminuindo o número de pessoas na medida em que se avança pelas classes mais privilegiadas (correspondendo ao movimento de “subir” na pirâmide a partir da base), até encontrarmos no topo, em situação privilegiada em termos sociais, econô-micos ou políticos (em geral nos três), um número bastante reduzido, que a metáfora reduz a um ponto (o vértice).

Mas, como vimos, é comum que os professores em formação e/ou seus alunos professores tomem o termo “pirâmide” não como uma designação de sólidos geométricos, mas como se referisse somente aos monumentos egípcios. Ou, ainda, se o reconhecem como designação de um certo tipo de figuras geométricas espaciais restringem o conceito apenas àquelas de base quadrada e vértice oposto à base equidistante dos vértices da base ao invés de classificar como pirâmide toda figura geométrica espacial formada por um polígono (que é a base da pirâmide) e por triângulos que devem possuir um vértice comum, como rezam os manuais de Geometria Espacial. Por isso, é possível que, ao discutir essa expressão, tenhamos também a oportunida-de de proceder a um esforço de alargamento das possibilidades de sen-tido do termo pirâmide. Dizemos alargamento, porque partimos de um sentido mais restrito, que não será descartado, mas sobre o qual se trabalhará no sentido de relacioná-lo a outras possibilidades de interpretação em contex-tos diferenciados, em particular no contexto da linguagem matemática.



265

Dicas de estudoLer o artigo:

“O ensino de Geometria no Ensino Fundamental: reflexões sobre uma experi-ência de formação envolvendo professores e alunos”.

Autores: Saddo Ag Almouloud, Ana Lúcia Manrique, Maria José Ferreira da Silva, Tânia Maria Mendonça Campos

Disponível em: <www.anped.org.br/rbe/rbedigital/RBDE27>.

O artigo apresenta resultados de uma pesquisa que teve por objetivo investi-gar questões relacionadas à aprendizagem de Geometria no Ensino Fundamen-tal e reconhecer as representações dos professores no que se refere ao papel da Geometria no processo de formação do aluno.

Atividades1. Considere sua caneta como unidade de medida. Quanto mede a diagonal do

seu livro?

2. Considere a unidade abaixo como unidade de medida.

a) E, agora, quanto mede a diagonal do seu livro?


266


b) Essas medidas são iguais? Por que isso acontece?

3. Por que, fixado um objeto, sua medida pode variar?



Números relativos

O problema da conta bancáriaExtrato é um documento que mostra a movimentação bancária de um

cliente, durante um determinado período de tempo. Maria foi ao banco e retirou um extrato de sua conta.

A seguir, a reprodução do extrato de Maria.

SIB – Sistema de Informações Banco KKK

07/05/2004 Autoatendimento 10.20.58

Extrato de conta corrente para simples conferência

Agência: 9998-0 Conta: 0007-99

Cliente: Maria H. Irreal

Data Bal. Histórico Docum. Valor

3003 Saldo Ant. 3,06 D

0804 Pg salário 865 357,63 C

0904 CPMF 4,77 D

0904 TRF. Online 0076 170,00 D

2504 Saq. Cartão 5644 150,00 D

3004 Saq. Cartão 8543 50,00 D

3104 S A L D O 20,20 D

Qual o significado da letra D, após alguns valores?

Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros


270


Esse problema, típico dos livros didáticos de Matemática do 7.º ano (antiga 6.ª série), é utilizado para introduzir os números negativos como uma extensão dos números naturais. Problemas como esse são motivadores para que se “amplie” o conjunto dos números conhecidos passando a considerar os “números relativos”, isto é, o conjunto dos números inteiros, positivos e negativos.

Caraça (2002) parte da consideração de grandezas que podem ser tomadas em dois sentidos ou em sentidos opostos.

O interessante exemplo oferecido pelo referido autor é a escala do tempo. No nosso calendário, por exemplo, toma-se o nascimento de Cristo como “ano zero” e, a partir dessa origem preestabelecida, datam-se os acontecimentos “para lá”, isto é, antes do nascimento de Cristo, e “para cá”, isto é, depois de Cristo. Então, dizer que o matemático Arquimedes foi um matemático da Antiguidade que es-tudou questões relacionadas a áreas de figuras planas e volumes de corpos sóli-dos e que nasceu em 287 a.C. e morreu em 212 a.C. significa dizer que Arquime-des nasceu 287 anos antes de Cristo e morreu 212 anos antes de Cristo nascer.

Essas são maneiras de o professor introduzir naturalmente uma nova classe de números, estendendo o conjunto dos números naturais. Colocando o as-sunto dessa maneira, lança mão de informações cotidianas, às quais os alunos estão acostumados, o que é pedagogicamente aceito como correto. Em geral, os alunos já conhecem expressões como “saldo devedor” ou “temperatura negati-va” e não sentem dificul dades em reconhecer quantidades inferiores a zero.

Para Caraça (2002, p. 91), uma boa maneira de os números negativos serem abordados é tentar calcular a diferença de dois números, a – b, na qual b > a, por exemplo, no cálculo de 5 – 8. Para que essa conta seja possível, “temos que nos libertar da impossibilidade da subtração”.

Então, definimos assim uma operação chamada diferença:

sejam a e b dois números quaisquer. À diferença � a – b chamaremos o número relativo, que diremos positivo, nulo ou negativo, conforme for a > b, a = b ou a < b.

Considerando-se a diferença sempre possível de ser realizada, os números negativos são introduzidos, e apenas considerou-se uma operação aritmética básica, a diferença, muito utilizada pelos alunos desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Sem problemas até aqui.



271

A seguir, o professor explica a posição desses números na reta numérica. Esta serve para representar uma bijeção entre os números positivos e negativos e os pontos de uma linha imaginária, que representaria todos o números. Fixamos uma distância-padrão. O número zero funciona como marco, como ponto de referência. À direita do zero, colocamos os números positivos, e à esquerda, os números negativos.

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

As dificuldades surgem quando os alunos iniciam os cálculos aritméticos. As quatro operações fundamentais devem, então, ser consideradas: soma, subtração, multiplicação e divisão, realizadas nesse novo conjunto de números relativos.

O professor deve estar atento para que os alunos percebam o que é somar, subtrair, multiplicar e dividir com os números relativos, porque essas operações fundamentais e básicas serão utilizadas em todo o resto do aprendizado em Mate-mática. Não é necessariamente verdade que um bom começo tem um bom final, mas um mau começo será, provavelmente, muito mais difícil de ser remediado.

Operações com os números relativos: soma e subtração (regras de sinais)

Para definir a soma e a subtração de números relativos, parte-se do conceito de módulo ou valor absoluto do número. O valor absoluto de um número a, de-notado por |a|, refere-se à distância que o número possui do ponto de referência da reta real que é o zero. Logo, |+ a| = |– a| = a.

A soma e a subtração de números relativos será dada a partir disso.

Dados dois números a e b, então, a soma de a + b, será:

a soma dos módulos com a permanência do sinal, se a e b tiverem o mes- �mo sinal;

a diferença dos módulos com a permanência do sinal do número de maior �módulo, se a e b tiverem sinais diferentes.

O professor pode justificar essas regras de forma intuitiva. A soma de dois nú-meros positivos é ainda positiva, como anteriormente; nada muda. Para a soma de dois negativos, o argumento que é usado com frequência é que se “deve-


272


mos” algo, a, e depois “devemos” mais um pouco, b, então a dívida aumenta, isto é, passamos a dever a + b. Isso justifica os casos em que os sinais de a e b coincidem.

Para o caso em que a e b têm sinais diferentes também pode-se usar o argu-mento de “dívidas”: se temos a e devemos b, por exemplo, então, ao final, tere-mos a – b (esse é o caso em que a > b, a positivo e b negativo).

O problema “real” aparece quando passamos à multiplicação. Algo que os alunos não compreendem acontece e essa dificuldade passa a ser também do professor que sempre está preocupado com o aprendizado dos alunos. Por que a multiplica-ção de dois números relativos, de sinais negativos, produz um número positivo ao final? Esse ponto é difícil de se justificar de maneira intuitiva e deixa alguns profes-sores em uma posição desconfortável, não sabendo o que responder.

Por que (–1) x (–1) = 1?Regras de sinais para a multiplicação e divisão:

se dois números relativos têm o mesmo sinal, o resultado será positivo; �

se dois números relativos têm sinais contrários, o resultado será negativo. �

Então (–1) x (–1) = 1, porque os números que estamos multiplicando, –1 e –1, têm ambos sinal negativo. Mas, por que (–1) x (–1) = 1?

Lima (1991, p. 151) aborda essa questão de uma maneira interessante. Se-gundo esse autor, o professor Benedito de Morais costumava explicar a “regra de sinais” para a multiplicação e divisão de números relativos aos seus alunos da seguinte forma:

1.°) o amigo de meu amigo é meu amigo, ou seja, (+) (+) = +;

2.°) o amigo de meu inimigo é meu inimigo, ou seja, (+) (–) = – ;

3.°) o inimigo de meu amigo é meu inimigo, ou seja, (–) (+) = – ;

4.°) o inimigo de meu inimigo é meu amigo, ou seja, (–) (–) = +.

O autor comenta que a justificativa da 4.a regra é passível de crítica porque é possível imaginar três pessoas inimigas entre si.



273

Alguns professores continuam a usar esse artifício como prática pedagógica. Vários alunos compreendem a explicação, passam a decorar a regra e não come-tem mais erros, ou passam a cometê-los em menor número, na avaliação escrita.

Porém, e se alguém perguntar: “mas, professor, por que é assim?”

A explicação, nesse ponto, é formal e não intuitiva. Esse é o problema. De fato, às vezes, é preciso aceitar que em alguns pontos a Matemática utiliza-se de sua formalidade. Esse é um deles.

Desse modo, a pergunta natural é também feita por Lima: “[...] é possível de-monstrar que (–1) x (–1) = 1?”.

Bem, o que é demonstrar? O que é uma demonstração, em Matemática?

Esse objeto nomeado “demonstração”, com o qual o matemático lida tão bem, pode ser encarado como a resposta a um “por quê?”1 sobre um enunciado matemático. Por isso, não produz no aluno o efeito de naturalidade que produz no matemático experimentado. Essa resposta a um “por quê” funda-se na pers-pectiva da busca pela “verdade”; desde os primórdios da Matemática fala-se em “verdadeiro” e “falso” (DOMINGUES, 2002) e essa “verdade matemática” é enca-rada, muitas vezes, na fundamentação das proposições em um sistema axiomá-tico-dedutivo, ou seja, um conjunto de afirmações aceitas como verdadeiras, funcionando como um ponto de partida. O primeiro exemplo desse método de dedução é encontrado na obra Os Elementos, de Euclides (c. 300 a.C.)2, o que permite afirmar que a prova há muito tempo vem sendo considerada e, até hoje, é importante na Matemática e nos currículos de Matemática, desde o Ensino Fundamental até o Superior.

Entretanto, a vivacidade da prova não garante facilidade para engendrá-la; não significa que o aluno perceba sua importância como oportunidade para aprendizado; não extingue a possibilidade de que seja a representação de certas convenções socialmente adotadas e aceitas como “naturais” ou de que seja a per-petuação de uma ideologia excludente que sustenta concepções de Matemática baseadas em ideias de dominação e privilégios para poucos que demonstram habilidades em reproduzi-las.

Pode-se dar aos alunos a oportunidade de trabalhar com demonstrações. Uma outra possibilidade é, desde o Ensino Fundamental, nos primeiros contatos

1 Hanna e Jahnke enfatizam que o “significado original (da prova) é fornecer um meio para se procurar respostas à questão por quê?” (2002, p. 44).

2 Os Elementos, de Euclides (300 a.C.), apresentavam uma Geometria especulativa, de inspiração platônica, e preocupação com o rigor das demonstrações.


274


com a Matemática, colocá-los diante de uma problemática que experimenta as provas rigorosas, oferecer-lhes oportunidade de conjecturar, errar, decidir sobre a validade e a necessidade de hipóteses, de termos. Se a demonstração é uma das bases de sustentação em Matemática, então seria natural e desejável trazê- -la à tona em cada possível oportunidade.

Vamos demonstrar que (–1) x (–1) = 1, porque esse fato não é intuitivo, é uma consequência das bem-definidas propriedades e operações formais dos números relativos. Esse fato decorre da lei distributiva da multiplicação em relação à adição.

Demonstração3 de (–1) x (–1) = 1Para demonstrar que (–1) x (–1) = 1, vamos primeiro observar os seguintes

fatos:

Fato 1: – a + a = a + (– a) = 0Em palavras, a adição do elemento a com seu simétrico – a é igual ao elemen-

to neutro da adição, o zero.

No conjunto dos números relativos, cada elemento possui um inverso adi-tivo ou elemento simétrico. Quer dizer que para todo elemento a existe outro elemento, denotado por – a, então – a + a = a + (–a) = 0. Por exemplo, 5 + (– 5) = 0. Vale notar que estamos dizendo que o simétrico de 5 é – 5 e também que o simétrico de – 5 é 5. Ou seja, o simétrico de – a é – (– a) = a.

Fato 2: a x 0 = 0Em palavras, qualquer elemento do conjunto dos números relativos vezes

zero é igual a zero.

De fato,

a + a x 0 = a x 1 + a x 0 = a x (1 + 0) = a = a + 0

Na primeira igualdade, usamos o fato de que 1 é o elemento neutro da multi-plicação, isto é, qualquer elemento vezes 1 é igual a si mesmo. A segunda igual-dade é a lei distributiva da multiplicação em relação à adição. A terceira usa o fato de que o zero é o elemento neutro da adição, logo 1 + 0 = 1 e, depois, que o 3 Essa demonstração segue os passos apre sentados em Lima (1991, p. 152). Procurou-se cla rear algumas passagens, inserindo justificativas e detalhes.



275

1 é o elemento neutro da multiplicação. A quarta usa novamente o fato de que zero é o elemento neutro da adição.

Agora, comparamos somente os dois extremos das igualdades.

a + a x 0 = a + 0

Pela lei do cancelamento, se somamos a mesma quantidade a ambos os mem-bros de uma igualdade, a igualdade continua válida. Se, na igualdade acima, so-mamos o simétrico de a, que é – a, temos que a + a x 0 + (– a) = a + 0 + (– a), ou seja, a x 0 = 0.

Fato 3: (–1) x a = – aEm palavras, multiplicar um número relativo qualquer por –1 é igual a tomar

o negativo do número multiplicado.

De fato,

a + (–1) x a = 1 x a + (–1) x a = [1 + (–1)] x a = 0 x a = 0

A primeira igualdade usa o fato de que 1 é o elemento neutro da multipli-cação. A segunda igualdade se verifica por causa da lei distributiva com relação à adição. A terceira decorre do fato 1 que mencionamos, 1 + (–1) = 0. A última desigualdade vale pelo fato 2.

Logo, estamos dizendo que (–1) x a é o simétrico de a, e como o simétrico é único e já sabemos que – a é simétrico de a, decorre que (–1) x a = – a.

Agora podemos ver que (–1) x (–1) = – (–1) = 1. Tomando-se a igual a –1 no fato 3, e lembrando que o simétrico de –1 é 1, obtivemos o resultado que procurávamos.

De maneira geral, utilizamos esse resultado para provar a regra dos sinais para a multiplicação, valendo-nos da propriedade comutativa dos núme-ros relativos, isto é, que “a ordem dos fatores não altera o produto”; pois (–a) x (–b) = [(–1) x a] x [(–1) x b] = [(–1) x (–1)] x (a x b) = 1 x (a x b) = ab.

O que fizemos foi demonstrar que (–1) x (–1) = 1. Para muitos alunos, de-monstrar algo pode ser difícil ou simplesmente inútil. Alguns alunos argumen-tam que, se o professor disse que algo é verdadeiro, então é verdadeiro, ou seja, a palavra dele é suficiente. Claro que, se um professor faz uma certa afirmação em sala de aula, podemos esperar que o que foi dito seja de fato válido; no en-


276


tanto, sob o ponto de vista da Matemática formal, a palavra do professor não é suficiente, como também não o seria um argumento intuitivo. Demonstrar re-sultados pode ser tarefa desafiadora para alunos e professores; porém, é o meio pelo qual a resposta do porquê que procurávamos pode ser encontrada.

Texto complementar

A regra dos sinais é assim tão difícil?(GLAESER, 1985)

A introdução conceitual dos números relativos foi um processo surpre-endentemente lento. Durou mais de 1 500 anos, da época de Diofantes aos nossos dias! Durante todo esse tempo, os matemáticos trabalharam com nú-meros relativos, tendo deles apenas uma compreensão parcial, com espan-tosas lacunas.

A amplitude deste fenômeno parece haver escapado a sagacidade dos historiadores, mais afeitos a estabelecer fatos isolados do que projetar uma visão de conjunto sobre um processo tão demorado.

Muitos professores não percebem que a aprendizagem da regra dos sinais possa comportar dificuldades.

“É claro, pensam eles, que, se um aluno não entende nada de Matemática, fracassará aí como em todos os outros pontos. Mas os números relativos não têm nada de particularmente difícil”.

Há muitos trabalhos didáticos sobre a análise dos conceitos numéricos. Hans Freudenthal, por exemplo, dedicou 160 páginas de sua obra clássica (FREUDENTHAL, 1973) ao exame das numerosas dificuldades observadas na aprendizagem dos números. Todavia, ele mal se refere à regra dos sinais. A leitura das páginas 279-281 de seu livro nem sequer sugere que ele se tenha apercebido do extraordinário fenômeno aqui estudado.

Esse estranho esquecimento é facilmente explicável. À época em que es-creveu o livro, Freudenthal escolhia os temas de suas análises didáticas entre suas observações pessoais. Ora, nenhum matemático da sua geração (nem



277

da nossa) se lembra de haver sido confundido pela regra dos sinais1. Vinte anos antes, as coisas eram diferentes.

Jean Piaget, ao contrário, embora baseando sua didática em uma filosofia pessoal, mostrou-se sensível às observações feitas sobre crianças. Por isso mesmo, a dificuldade concernente aos números relativos não lhe escapou. Da p. 110 à 115 (PIAGET, 1949), ele consagra um denso comentário às difi-culdades provocadas pelos números relativos. Cita também o surpreenden-te texto de d’Alembert que examinaremos adiante. Sua admiração provoca uma reflexão didática. Ele se espanta com o fato de que o matemático - en-ciclopedista “viesse a julgar obscura a noção de quantidade positiva”, sem notar que isto ocorreu com todos os matemáticos até o século XIX! Limita-se a afirmar que a única dificuldade se prenderia ao caráter fixo do número, como se o concebia então. Tal obstáculo desapareceria, para Piaget, ao se entender que um número simboliza uma ação, não um estado.

Tais hesitações do grande d’Alembert são particularmente instrutivas quanto à natureza ativa e não estática do número negativo e do número inteiro em geral. De fato, está claro que, se concebermos toda noção matemática como resultante da percepção, o número negativo não seria justificável, pois corresponderia a uma ausência de percepção, ou ainda menos, e percepções nulas não são suscetíveis de gradação. Espantoso é que essa contradição entre a interpretação sensualista do conhecimento e a realidade matemática, não tenha levado um espírito tão voltado para o concreto e pouco dado às considerações mecânicas como d’Alembert a entender que a natureza essencial do número não é nem estática nem perceptiva e, sim, muito dinâmica e ligada a própria ação, interiorizada em operações.

A explicação de Piaget comporta uma grande dose de verdade, porém não esgota o assunto. Citaremos muitos autores que constantemente insis-tem no caráter dinâmico do número positivo, relacionado sobretudo a ativi-dades de medição.

Tais matemáticos, todavia, têm dificuldade em adotar a mesma atitude diante dos números relativos. Perturbam-se com outros obstáculos não mencionados por Piaget, entre os quais destacamos o que chamamos a am-biguidade dos dois zeros. Durante séculos os matemáticos se impressionaram com o zero absoluto, abaixo do qual nada se poderia conceber. Isto os im-pediu de manejar com facilidade o zero origem, marcado arbitrariamente sobre um eixo orientado. Esta confusão surge, aliás, no curto trecho citado de Piaget, sobre “ausência de percepção” e “gradação de percepções nulas”.

1 Há um ano, eu poderia jurar que jamais havia encontrado a menor dificuldade quanto aos números relativos. Atualmente, vejo que o meu primeiro contato com uma prova totalmente formal da regra dos sinais ocorreu por volta de meus 25 anos, quando do surgimento dos primeiros volumes de Bourbaki. Escrevendo este artigo, vaguei de surpresa em surpresa, ao tomar conhecimento das numerosas sutilezas de entendimento sobre o tema que, antes, me passaram despercebidas.


278


Muitos são os autores a afirmar que “nada poderia ser mais imóvel que a imobilidade”. Para descobrir, a partir daí, o conceito de velocidade negativa, foi necessária toda uma construção intelectual, que só seria verdadeiramen-te possível muito depois.

[...]

Dicas de estudoLer o livro: Números Negativos.

Coleção: Pra Que Serve Matemática?

Autores: Imenes, Jakobo e Lellis.

Div

ulga

ção

Atu

al

Edito

ra.

Esse volume apresenta a noção de número negativo por meio de diversas aplicações práticas: os termômetros e a medição da temperatura, o cálculo da inflação, dos balancetes e dos saldos bancários, as oficinas mecânicas e a cam-bagem das rodas, entre outros. Traz também muitas brincadeiras: jogo de dados; computação gráfica, desenhos no microcomputador; quebra-cabeças numéri-cos etc.

Atividades1. Problema dos bens (adaptado de Luiz Alberto S. Brasil (1977). Aplicações

da Teoria de Piaget ao Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Forense Uni-versitária).

Após um balanço de seus bens, Paulo verificou que havia esquecido de incluir três prestações de R$5.000,00 por pagar. Ao resultado encontrado (R$35.000,00) deveria acrescentar três vezes o número negativo 5 000. Qual é o valor dos bens de Paulo?



279

2. Ganhos e perdas (adaptado de Luiz Alberto S. Brasil (1977). Aplicações da Teoria de Piaget ao Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: Forense Univer-sitária).

Considere o seguinte enunciado: “Um ganho será representado por um nú-mero positivo e a perda por um número negativo. Igualmente, o tempo no futuro será um número positivo e, no passado, um número negativo”.

Expresse as situações abaixo na forma algébrica e indique quais foram as regras de sinais utilizadas.

a) Se você perde R$5,00 por dia, então daqui a três dias terá perdido R$15,00.


280


b) Se perde R$5,00 por dia, há três dias você estava R$15,00 mais rico.



281


Resolução de problemas1.

a) Problema de aplicação.

b) Situação-problema.

c) Problema em aberto.

d) Exercício de reconhecimento.

e) Exercício algorítmico.

2. Movimentando moedas da figura I:

1.º) retire as duas moedas das extremidades da primeira linha e le- �ve-as uma do lado de uma das moedas da penúltima linha e outra ao lado da outra moeda da penúltima linha.

2.º) retire a única moeda da última linha e leve-a acima do espa- �ço intermediário entre as duas moedas que restaram na primeira linha.

3.

a) 100 99

99= +

b) 34 33

33= +

c) 31 3333

3= + −

A construção do conceito de número1. Ao classificar, agrupamos por semelhanças e separamos por diferenças;

e ao seriar, ordenamos diferenças. Isso é percebido ao compreender

Gabarito


284


um número como o 6. Agrupamos conjuntos de objetos que tenham essa quantidade de elementos e os separamos dos que não o têm. Pela ordenação, colocamos o 6 depois do 5 e antes do 7, ou seja 5 < 6 < 7.

2. As propriedades fundamentais da seriação são:

Transitividade – se 3 é menor que 4, e 4 é menor que 5, então 3 é menor que 5.

Reciprocidade – 7 é menor que 10, então 10 é maior que 7.

3. Para a construção do conceito de número é necessário compreender que a cardinalidade se refere à quantidade de elementos de uma coleção. Exem-plo: 5 blusas. A ordinalidade se refere ao lugar que esse determinado núme-ro ocupa numa sequência ordenada. Exemplo: 5.º andar.

Conhecimento lógico-matemático1. Conhecimento físico: refere-se a objetos do mundo exterior, como identificar

características de um objeto (cor, tamanho etc.) ou saber que, se um objeto está em nossas mãos e o soltarmos, ele pode cair.

Conhecimento social: diz respeito ao saber sobre coisas estabelecidas social-mente, como nomes de objetos, dias em que se comemoram determinadas datas.

Conhecimento lógico-matemático: refere-se às relações criadas pelo sujei-to.

2. São 4 formas, 2 tamanhos, 2 espessuras e 3 cores.

Se multiplicarmos 4 x 2 x 2 x 3 = 48 peças.

O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal1. Homens de diferentes civilizações contavam de maneiras diversas. Alguns

usavam apenas dois nomes e com esses dois expressavam várias quantida-des fazendo associações. Outros representavam as quantidades por traços


285

Gabarito

em pedras ou madeira. Outros usavam partes do corpo, como dedos, braços, ombros e outros.

2. É provável que foram os 10 dedos das mãos.

3. Os hindus criaram o sistema que utilizamos hoje e os árabes divulgaram. Por isso o nome: números hindu-arábicos.

Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais1.

a) 153 + 87

1 5 3

+ 8 7

1 13 10

2 4 0

7 + 3 = 10

8 + 5 = 13•

0 + 1 = 1••

240

b) 25 + 145

25 → 125 →165→ 170

145 → 45 → 5


286


2 5 +

1 4 5

1 (para 100)

6 (para 20 + 40)

+ 1 0 (para 5 + 5)

1 7 0

2.

a) 125 x 34

1 x 34 = 34

2 x 34 = 68

4 x 34 = 136

8 x 34 = 272

16 x 34 = 544

32 x 34 = 1 088

64 x 34 = 2 176

128 x 34 = 4 352

Como queremos 125 x 34, fazemos

4 352 – 34 = 4 318

4 318 – 34 = 4 284

4 284 – 34 = 4 250

(25 + 25 + 25 + 25 +25) x 34 = 850 + 850 + 850 + 850 + 850 = 4 250

b) 248 x 15

2 4 8

x 1 5

3 0 0 0 (para 15 x 200 = 3000)

6 0 0 (para 15 x 40 = 600)

1 2 0 (para 15 x 8 = 120)

3 7 2 0Esse material é parte integrante do Curso de Atualização do IESDE BRASIL S/A,


287

Gabarito

2 4 8

x 1 5

4 0 (para 5 x 8 = 40)

2 0 0 (para 5 x 40 = 200

1 0 0 0 (para 5 x 200 = 1 000)

8 0 (para 10 x 8 = 80)

4 0 0 (para 10 x 40 = 400)

2 0 0 0 (para 10 x 200 = 2 000)

3 7 2 0

Ideias das quatro operações fundamentais1.

a) Ideia de completar.

b) Ideia de tirar.

c) Ideia de comparar.

2. Ideia de repartir e ideia de medir.


1. 12

0 5= , 15

0 2= , 45

0 8= ,

2. Parte do todo, quociente e razão.

3)

a) Quociente

b) Razão


288


Os decimais1. A função da vírgula nos números decimais é separar o inteiro das partes.

2. A tecla da calculadora com o ponto tem a função da vírgula.

3.

a) 2,15

b) 1,875

c) 0,246

d) 1,05

A construção do pensamento geométrico1. Por vários motivos, entre eles:

a Geometria permite desenvolver o senso espacial, dando capacidade de �comparar, classificar, identificar e descrever figuras geométricas;

auxilia na construção do conhecimento matemático; �

proporciona o pensamento ligado às relações espaciais e à capacidade de �síntese;

favorece a ligação entre a linguagem habitual e a linguagem formalizada �da Matemática.

2. A Geometria é um corpo do conhecimento social e politicamente construído ao longo da história. A história diz que a Geometria teve início no Egito anti-go, com as medições das terras às margens do rio Nilo, após suas enchentes. Com o conhecimento da Geometria foi possível desenvolver outros campos como navegação, construção, agricultura e outros. Importantes matemáti-cos estão ligados ao desenvolvimento da Geometria: Tales, Pitágoras, Eucli-des, Platão e muitos outros.

3. Os níveis de entendimento são:

visual; �

descritivo/analítico; �


289

Gabarito

dedução informal; �

rigor. �

4. A Geometria Euclidiana se refere às transformações que somente mudam a posição do objeto; seu tamanho, distâncias e direções se conservam. A Ge-ometria Projetiva trabalha com as propriedades espaciais que se conservam ao projetar um objeto; conserva-se a retitude e não a medida. Na Geometria Topológica, as figuras são submetidas a transformações violentas que as le-vam a perder suas propriedades.

Sentido das medidas1. Para se fazer medições mais precisas é necessário um modelo de referência

fixa, ou seja, um instrumento de medida que seja utilizado como medida-pa-drão. O modelo-padrão deve ser invariável em função do tempo e do lugar. Devido a isso, tomou-se a iniciativa de unificar mundialmente os padrões de medidas.

2. Medir é comparar grandezas de mesma espécie.

3. São eles:

Inferência transitiva – ao medirmos uma parede com uma fita métrica, preci-samos entender que a medida tanto da fita quanto da parede são compara-das por uma medida comum, por exemplo, o metro e os centímetros.

Compreensão de medidas – as unidades de medidas devem ser constantes, um centímetro é sempre igual; não seria útil medir dois comprimentos em palmos se utilizássemos mãos de tamanhos diferentes.

Área e perímetro1.

a) (A)

b) (P)

c) (A)


290


d) (A)

e) (P)

2. área = 12 x 12 = 144cm2.

3.

1.º) Topológico: a área está associada à superfície; e o perímetro, ao contor-no. Portanto o conceito de área e perímetro correspondem a objetos geomé-tricos distintos.

2.º) Dimensional: a unidade para medir perímetro é unidimensional (possui apenas uma dimensão) e a unidade para medir área é bidimensional.

3.º) Computacional: corresponde à aquisição das fórmulas de área e períme-tro. Exemplo: para um quadrado de lado a, a área será a2 e o perímetro será

a + a + a + a = 4a.

4.º) Variacional: área e perímetro não variam necessariamente no mesmo senti-do, e superfícies de mesma área podem ter perímetros distintos e vice-versa.

O pensamento algébrico1. Numa equação, o símbolo ou a letra que representa um número é uma in-

cógnita porque possui valor sem depender de outras condições. Numa fun-ção, os símbolos ou letras que representam números são chamados variá-veis, pois seus valores estão condicionados aos valores de outras variáveis. Por exemplo: para calcular o perímetro de um quadrado podemos escrever que P = 4 . a (sendo a o valor do lado do quadrado). Nessa expressão, o valor de P depende do valor de a, então P e a são variáveis.

2.

1.ª) Retórica ou verbal: o pensamento era expresso com palavras.

2.ª) Sincopada: surgiu com o grego Diofanto, que usava a letra grega “sigma” para representar a incógnita numa equação. Os hindus utilizavam abrevia-ções para representações algébricas.

3.ª) Simbólica: utiliza somente símbolos.

3. Exemplo para resolver a questão:


291

Gabarito

O gavião chega a um pombal e diz:

– Adeus, minhas cem pombas!

As pombas respondem em coro:

– Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você, meu caro gavião, cem pássaros seremos então!

Quantas pombas estão no pombal?

Podemos utilizar p para pombas e escrever: p + 2p + 1 = 100

Resolvendo essa equação temos que p = 33.

Nesse caso, utilizamos a Álgebra com a concepção de procedimentos para resolver problemas.

Conceitos fundamentais da proporcionalidade1. Estratégia escalar

Caixas

4

1

Preço

84

20

Então:

Caixas

4

1

Preço

8

2

: 44

20

Estratégia funcional:

Se 4 caixas custam 8 reais, uma caixa custa 8 : 4 = 2.


292


Estratégia da regra de três:

4

1

8

4 8

8

42

=

=

=

=

xx

x

x

2. A altura de uma pessoa adulta não se relaciona proporcionalmente a sua idade.

Introdução à Estatística1. Atualmente, grande quantidade de informações são apresentadas em revis-

tas, jornais e outros meios de comunicação, por meio de tabelas ou de grá-ficos estatísticos; daí a importância do trabalho com Estatística nas escolas, para preparar os alunos para uma boa atuação na sociedade.

2. Essa resposta dependerá dos gráficos encontrados pelos alunos em jornais, revistas e outros. É bem provável que apareçam pictogramas, gráficos de se-tores, gráficos de barras, gráficos de linhas e outros.

3. Um gráfico de setores não deve conter grande número de setores porque as informações serão confundidas e ficará difícil uma boa leitura.

Avaliação em Matemática1. Certificar, regular e orientar.

2. É aquela que se situa no centro da formação. Tem a função de regular a ativi-dade de ensino e o processo de aprendizagem.

3. Relatórios, provas, portfolios, resenhas, resumos, apresentações, seminário, entre outros.


293

Gabarito

Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende1. Está se referindo a um conjunto extenso e não delimitado de sentimentos e

de humor (estado de ânimo) que diferem da pura cognição.

2. São eles:

fatores afetivos e crenças sobre a natureza da Matemática; �

Matemática e Cultura – a Matemática como conhecimento cultural; �

a influência na história pessoal, nas atitudes e considerações; �

interação entre cognição e afeto; �

o autoconceito d � o aluno como aprendiz de Matemática;

A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana1. São os desencontros entre os conceitos matemáticos e os termos usados no

cotidiano dos alunos.

2. Pode não permitir a compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos.

Os problemas da solução: dificuldades com a meto-dologia da “resolução de problemas”1. Dentre outras temos:

os estudantes são realmente capazes de explorar os problemas e encon- �trar ou inventar estratégias para resolvê-los?

o professor está realmente preparado para discutir as diversas possibilida- �des de soluções?


294


qual o problema adequado? Como escolher um problema que desafie a �todos os alunos?

todas as ideias e conceitos matemáticos podem ser introduzidos por meio �de problemas?

2. Entre outros temos:

os estudantes participam ativamente do processo de construção do co- �nhecimento.

os estudantes têm oportunidade de explorar as situações-problema e re- �solvê-las, são encorajados a usar diferentes tipos de estratégias.

torna a Matemática mais atraente. �

A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos1. Resposta pessoal, pois depende da caneta e do livro que se está medindo.

2.

a) Aproximadamente 13,68 unidades dessa medida.

b) As respostas não são iguais porque as unidades de medidas utilizadas são diferentes.

3. Porque depende da unidade de medida utilizada. Quanto maior a unidade de medida, menor o número de vezes que ela “cabe” numa das dimensões do objeto; e quanto menor a unidade de medida, maior será o número de vezes que ela caberá numa dimensão do objeto (medir é comparar).

Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com números inteiros1. R$35.000,00 + 3 (– R$5.000,00) =

R$35.000,00 – R$15.000,00 =

R$20.000,00


295

Gabarito

O valor dos bens de Paulo é R$20.000,00.

2.

a) (–5) x 3 = – R$15,00

b) (–5) x (–3) = R$15,00


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