Introduo, teoria e aplicaes

Prof. Marco Andr Argenta

Prof. Marcos Arndt

2. Viga de Euler-Bernoulli:

Hipteses bsicas:

a) Existe uma linha neutra onde no ocorre trao nem

compresso;

b) As sees que so planas e perpendiculares ao eixo

longitudinal antes da deformao permanecem planas e

indeformveis no plano;

c) O material elstico, linear e homogneo;

d) Tenses normais y e z so muito pequenas quando

comparadas com a tenso axial x e, por esta razo, so

desprezadas.

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 2

Equilbrio:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 3

0)()()( 0 dxxpdQxQxQV )(xpdx

dQ

00 dxpdxQdxMdMMM )(xQdx

dM

10

Da Resistncia dos Materiais:

Logo:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 4

)()(

2

2

xMdx

xvdEI

2

2 )()(

dx

xvdEI

dx

dxQ

)()(

2

2

2

2

xpdx

xvdEI

dx

d

Eq. diferencial que rege o problema: Encontrar v tal

que

com condies de contorno:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 5

Neumann) deou naturais (c.c. em

Dirichlet) deou essenciais (c.c. em

2

2

2

2

t

v

Qdx

vdEI

dx

d

Mdx

vdEI

dx

dvvv

Forma Forte ),0( em )()(

2

2

2

2

Lxpdx

xvdEI

dx

d

Aplicando o Met. dos Resduos Ponderados: Encontrar v

respeitando as c.c. tal que

para toda funo peso w admissvel.

Para garantir a compatibilidade entre a equao

diferencial e a equao integral tambm necessrio

que:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 6

vw em 0

Forma Forte 0)()(

2

2

2

2

wdxxpwdxdx

xvdEI

dx

d

vdx

dw em 0

Integrando por partes o 1o termo:

Integrando por partes mais uma vez o 2o termo:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 7

02

2

2

2

pwdxdxdx

dw

dx

vdEI

dx

dw

dx

vdEI

dx

d

02

2

2

2

2

2

2

2

pwdxdxdx

wd

dx

vdEI

dx

dw

dx

vdEIw

dx

vdEI

dx

d

Como e

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 8

vw em 0 tQdx

vdEI

dx

d

em

2

2

tv

wdx

vdEI

dx

dw

dx

vdEI

dx

dw

dx

vdEI

dx

d

2

2

2

2

2

2

t

wQwdx

vdEI

dx

d

2

2

Como e

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 9

vdx

dw em 0

tMdx

vdEI em

2

2

tv

dx

dw

dx

vdEI

dx

dw

dx

vdEI

dx

dw

dx

vdEI

2

2

2

2

2

2

tdx

dwM

dx

dw

dx

vdEI

2

2

Logo, a equao

transforma-se em:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 10

02

2

2

2

2

2

2

2

pwdxdxdx

wd

dx

vdEI

dx

dw

dx

vdEIw

dx

vdEI

dx

d

02

2

2

2

pwdxdx

dx

wd

dx

vdEI

dx

dwMwQ

t

t

Ento, o problema transforma-se em encontrar a funo

v que satisfaz as c.c. essenciais e a equao:

para todo w tal que .

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 11

Forma Fraca

v

dww em 0

dx e 0

t

t dx

dwMwQpwdxdx

dx

wd

dx

vdEI

22

2

2

Particularizando para a viga abaixo com extremidade

esqueda engastada e extremidade direita livre:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 12

naturais) (c.c. em

0

0

)essenciais (c.c. 0 em 0

0

2

2

2

2

Lx

dx

vdEI

dx

d

dx

vdEI

x

dx

dvv

Logo, o problema transforma-se em encontrar a funo v

tal que e

para todo w tal que .

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 13

Forma Fraca

0)0(0

xdx

dww

000

2

2

2

2

0

2

2

0

2

2

LLL

L

pwdxdxdx

wd

dx

vdEI

dx

dw

dx

vdEIw

dx

vdEI

dx

d

0)0(0

xdx

dvv

LL

pwdxdxdx

wd

dx

vdEI

00

2

2

2

2

- Extremidade engastada:

- Extremidade simplesmente apoiada:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 14

0)0( v

00

xdx

dv

0)( Lv

0Lxdx

dv

0)0( v

0)0(

0

2

2

xdx

vdEIM

0)( Lv

0)(2

2

Lxdx

vdEILM

- Extremidade tipo engaste mvel:

- Extremidade livre:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 15

00

xdx

dv

0)0(

0

2

2

xdx

vdEI

dx

dQ

0Lxdx

dv

0)(2

2

Lxdx

vdEI

dx

dLQ

0)0(

0

2

2

xdx

vdEIM

0)0(

0

2

2

xdx

vdEI

dx

dQ

0)(2

2

Lxdx

vdEILM

0)(2

2

Lxdx

vdEI

dx

dLQ

- Carga concentrada na extremidade:

- Momento aplicado em extremidade:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 16

1

0

2

2

Qdx

vdEI

dx

d

x

22

2

Qdx

vdEI

dx

d

Lx

1

0

2

2

Mdx

vdEI

x

22

2

Mdx

vdEI

Lx

- Apoios elsticos (molas transversais e rotacionais):

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 17

00

2

2

x

RE

xdx

dvk

dx

vdEI

)0(

0

2

2

vkdx

vdEI

dx

dTE

x

Lx

RD

Lxdx

dvk

dx

vdEI

2

2

)(2

2

Lvkdx

vdEI

dx

dTD

Lx

Utilizando o Mtodo de Galerkin:

No MEF a formulao fraca aplicada a cada elemento

finito (e), logo:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 18

n

i

ii wxw1

.)(

en

j

jj

e

h vxv uNT

1

.)(

nx 21

N

nTe vvv 21u

en

i

ii wxw wNT

1

.)(

nTe www 21w

n

j

jjh vxvxv1

.)()(

Aplicando formulao fraca:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 19

eTeTe

h

dx

d

dx

xvduBu

N

2

2

2

2 )(

2

2

2

2

2

2

1

2

dx

d

dx

d

dx

dx n

B

eTeT

dx

d

dx

xwdwBw

N

2

2

2

2 )(

0

et

et

ee dx

dMQdxpdxEI eT

Te NNNuBBw

Como a formulao fraca deve ser vlida para todo w admissvel, ou seja, para qualquer vetor w, ento:

Ou, na forma matricial:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 20

eeefuK

et

et

e dx

dMQdxxpe

NNNf )(

0

et

et

ee dx

dMQdxpdxEI eT

NNNuBB

e

dxEI Te BBK

Utilizando o Mtodo de Galerkin:

para qualquer conjunto de valores wi.

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 21

n

i

ii wxw1

.)(

n

j

jj

e

h vxv1

.)(

01111

2

2

12

2

et

et

ee

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

j

j

jw

dx

dMwQdxwpdxw

dx

dv

dx

dEI

01 1

2

2

2

2

n

i

ii

iij

n

j

ji wdx

dMQdxpvdx

dx

d

dx

dEI

et

et

ee

Logo:

Ou matricialmente:

15/06/2012 Mtodo dos Elementos Finitos I 22

eeefuK

dxdx

d

dx

dEIK

jie

ije

2

2

2

2

et

et

e dx

dMQdxxpf iii

e

i

)(

ni

dx

dMQdxpvdx

dx

d

dx

dEI

et

et

ee

iiij

n

j

ji

1

01

2

2

2

2