LMITE MATEMTICO

En matemtica, el concepto de lmite es una nocin topolgica que formaliza la nocin intuitiva de aproximacin hacia un punto concreto de una sucesin o una funcin, a medida que los parmetros de esa sucesin o funcin se acercan a determinado valor.

En clculo infinitesimal (especialmente en anlisis real y matemtico) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivacin, integracin, entre otros. Si bien, el concepto de lmite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio eucldeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha mtrica, lo que permite definir rigurosamente la nocin de lmite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topolgicos, como pueden ser las redes topolgicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemtica, como puede ser la teora de categoras.

Para frmulas, el lmite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha () como en an a.

Lmite de una funcin

Lmite de una funcin en un punto. Dada una Funcin f definida en una vecindad reducida V del punto x0, se dice que f tiene lmite L, cuando x tiende hacia x0, si cualquiera sea la Sucesin {x0} de puntos de la vecindad V que converja hacia x0, la Sucesin de la Imgenes {f(xn)} converge hacia L.

Informalmente, el hecho que una funcin f tiene un lmite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

Para estudiar el comportamiento de una Funcin en las cercanas de un punto dado, considerando una funcin f, definida en una vecindad reducida V del punto x0:

Al tomar una Sucesin de puntos de esta vecindad que converja hacia x0. Sea dicha Sucesin:

A cada xn de esta Sucesin est asociada su Imagen f(xn) y as se puden formar la Sucesin de las imgenes:

Por tanto se llega a la conclusin que si para cualquier Sucesin de puntos de la vecindad V, que converja hacia x0, la Sucesin de las imgenes converge hacia un mismo nmero L, entonces diremos que L es el lmite de la funcin f, cuando x tiende hacia x0.

Ejemplo en la convergencia de sucesiones

Considerando una funcin constante definida por f(x)=c y sea x0 un punto arbitrario. Entonces, el lmite de f cuando x tiende a x0 es c.

En efecto, si {xn} es una Sucesin que converge hacia x0,{f(xn)} es la Sucesin de trmino ensimo f(xn)=c, la cual evidentemente converge hacia c, por lo que el lmite de f cuando x tiende hacia x0 es c.

Interpretacin geomtrica

Del anlisis de estas funciones puede extraerse la idea intuitiva de que el lmite de una funcin f, cuando x tiende a x0, es L si puede lograrse que f(x) est tan prximo a L como se desee, siempre que se tomen valores de x lo suficiente prximos a x0. Esto significa que la distancia entre f(x) y L puede hacerse tan pequea como se desee y de aqu que para cada nmero positivo , por pequeo que este sea, se tenga que: | f(x) - L | < "para ciertos valores de x".

Se puede concluir que para cada > 0 se debe encontrar un nmero > 0 de tal forma que para todo x satisfaga

0 < | x - x0 | < se tenga | f(x) - L | < . Si para todo > 0 se puede hallar este nmero > 0, se dir que el lmite de la funcin f cuando x tiende a x0 es L.

Definicin geomtrica

Dada una Funcin f definida en una vecindad reducida del punto x0, se dice que f tiene lmite L, cuando x tiende hacia x0, si para todo nmero positivo , existe un nmero positivo , tal que: si 0 < | x - x0 | < entonces | f(x) - L | <

Las dos definiciones anteriores de lmite de una Funcin son equivalentes. En caso de que se satisfaga cualquiera de ellas, diremos que el lmite de una Funcin existe cuando x tiende a x0.

ESTIMACIN GEOMTRICA DE LMITES

Para analizar un lmite de la forma

lim

xaf(x) o

lim

xf(x)

desde el punto de vista geomtrico:

Se traza la grfica de f(x) por mano o con tecnologa, como una calculadora graficadora.

Si se quiere estimar el lmite cuando x a para un nmero real a, se coloca la punta del lpiz (o el cursor "trace" de la calculadora graficadora) en un punto de la grfica a la izquierda de x = a.

Se mueve la punta del lpiz a lo largo de la grfica hacia x = a desde la izquierda y se leen la coordenada-y al avanzar. El valor al que tiende la coordenada-y (si lo hay) es el lmite

lim

xa-f(x)

Se repiten los dos pasos hacia arriba, esta vez comenzando en un punto de grfica a la derecha de x = a, y, acercndose a x = adesde la derecha. El valor al que tiende la coordenada-y (si lo hay) es

lim

xa+f(x)

Si existen los lmites derecho y izquierdo y tienen lo mismo valor L, entonces

lim

xa+f(x)

existe y es igual a L.

Para estimar un lmite cuando x +, se coloca la punta del lpiz (o el cursor "trace" de la calculadora graficadora) en un punto de la grfica hacia el extremo derecho, y se mueve la punta del lpiz hacia el derecho, leyendo la coordenada-y al avanzar. El valor al que tiende la coordenada-y (si lo hay) es el lmite

lim

x++f(x)

Para x -, se comienza hacia el extremo izquierdo y se mueve al lpiz a la izquierda.

Ejemplo

La siguiente figura muestra la grfica def(x). Primero, calculamos el lmite def(x) a medida quex 0 por la izquierda:

limx0-

f(x)

Principio del formulario

Final del formulario

Entonces,

limx0-

f(x)

=-1

Prximamente, calculamos el lmite def(x) a medida quex 0 por la derecha:

limx0+

f(x)

Principio del formulario

Final del formulario

Entonces,

limx0+

f(x)

= 3

Como los lmites derecho y izquierdo son desiguales, concluimos que

limx0

f(x)

no existe.

ESTIMACIN NUMRICA DE LMITES

Para analizar un lmite de la forma

lim

xaf(x) o

lim

xf(x) numericamente:

Haga una tabla de los valores de f(x) usando valores de x que se acerca a a por ambos lados.

Si el lmite existe, los valores de f(x) se acercarn al lmite a medida que x se acerca a a por ambos lados.

Cuanto ms exacto desea estimar este lmite, ms cercano a a deber elegir los valores de x.

Para un lmite cuando x +, use valores positivos de x que se vuelven arbitrariamente grande.

Para un lmite cuando x -, use valores negativos de x cuyas magnitudes se vuelven arbitrariamente grande.

Ejemplos

1.Para estimar

limx3

x2-9x-3

, hacemos una tabla con valores dexque se acercan a 3 desde ambos lados:

xacercndose a 3 por la izquierda

xacercndose a 3 por la derecha

x

2.9

2.99

2.999

2.9999

f(x)

=

x2-9x-3

5.9

5.99

5.999

5.9999

3

3.0001

3.001

3.01

3.1

6.0001

6.001

6.01

6.1

Como los valores def(x) parecen acercarse a 6 a medida quexse acerca a 3 por ambos lados, estimamos que el lmite es 6.

2.Para estimar

limx +

x2-x + 12x2-3

, hacemos una tabla con valores dexacercndose a +:

xacercndose a +

x

10

100

1000

10,000

f(x)

=

x2-x + 12x2-3

0.461929

0.495124

0.499501

0.49995

+

Como los valores def(x) parecen acercndose a 0.5 a medida quexse acerca a 3 por ambos lados, estimamos que el lmite es 0.

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LMITES

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real ykes unescalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:

Lmite de

Expresin

Una constante

La funcin identidad

El producto de una funcin y una constante

Una suma

Una resta

Un producto

Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

Elnmero e

Funcin f(x)acotaday g(x)infinitesimal

.

Indeterminaciones

Las propiedades generales permiten, junto con la definicin, calcular lmites indeterminados mediante transformaciones algebraicas. Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considerecomo el lmite que tiende a infinito yal lmite cuando tiende a 0; y no al nmero0):

Operacin

Indeterminacin

Sustraccin

Multiplicacin

Divisin

Elevacin a potencia

Ejemplo.

0/0 es una indeterminacin, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un lmite que tiende a cero sobre otro que tambin tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

Ntese que hubiera sido imposible eliminar las indeterminaciones en los ejemplos anteriores si no se hubiera supuesto, desigualdad que se deduce de la definicin.

Regla de l'Hpital[editar]

Artculo principal:Regla de l'Hpital

Esta regla hace uso de laderivaday tiene un uso condicional. sta slo puede usarse directamente en lmites que son igual a 0/0 o a /. Otrasformas indeterminadasrequieren alguna manipulacin algebraica, por lo general, establecer que el lmite es igual ay, tomar ellogaritmo naturalen ambos miembros, y entonces aplicar laregla de l'Hpital.

Por ejemplo:

Lmites trigonomtricos[editar]

1.

2.

3.

4.

5.

Demostraciones

Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos lmites trigonomtricos, requieren el uso de lainecuacinsin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,/2), que relacionaxcon las funcionessenoytangente. Luego dividimos por sin(x), obteniendo:

Invirtiendo los trminos de lainecuacin y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el lmite cuandoxtiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando elteorema del sndwicho teorema de estriccin, el lmite necesariamente vale 1:

El tercero de los lmites se logra demostrar utilizando las propiedades de los lmites y el valor obtenido en el lmite anterior. Es decir:

FUNCIONES CONTINUAS O CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN

En esencia, una funcin es continua si su grfica es una lnea seguida, no interrumpida.

La definicin matemtica de continuidad comprende las propiedades de los lmites. En la definicin de lmite el valor de no se especifica; es decir este lmite depende nicamente de los valores de en la vecindad de (o sea, cerca de), pero no en el valor de.

Por consiguiente, puede ser o no ser igual a.

Si existe, y tambin existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en.

Es decir, se dice que una funcin es continua en si:

Entonces se puede decir que una funcin f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en cada punto del intervalo en cuestin.

De la definicin de continuidad se deduce que la grfica de una funcin que es continua en un intervalo, es una lnea ininterrumpida (es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lpiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o tambin se hace posible trazar una curva con slo situar unos pocos puntos y dibujar una lnea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificar en el caso de varias clases de curvas.

Ejemplos; aplicacin de la definicin de continuidad

Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7.

Solucin: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.

Primera, f (7) = 5, de modo que f est definida en x = 7.

Segunda, por tanto, f tiene limite cuando X > 7

Tercera por tanto f es continua en 7

Ejemplo 2: Demostrar que g(x) = x2 3 es continua en 4.

Solucin: la funcin g est definida en x = 4; g (4) = 13. Tambin:

Por tanto, g es continua en 4.

Decimos tambin que una funcin es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese intervalo. En esta situacin, la grfica de la funcin es conexa sobre el intervalo por ejemplo, f(x) = x2 es continua en el intervalo [2,5], porque para cualquier funcin polinomial.

Esto significa que una funcin polinomial es continua en todo punto.

Se concluye que tal funcin es continua en todo intervalo. Decimos que las funciones polinomiales son continuas en todas partes, o de manera ms sencilla, que son continuas.

Ejemplo: las funciones son polinomiales. Por tanto son continuas. Por ejemplo, son continuas en 3.

Ejemplo prctico de aplicacin (continuidad)

Un mayorista distribuye un producto que se vende por libra (o fraccin de libra), cobra $2 por libra si se ordenan 10 o menos libras. Si se ordenan ms de 10 libras, el mayorista cobra $20 ms $1,40 por cada libra que exceda de las 10. Por tanto, si se compran x libras por un costo total de C(x) dlares, entonces C(x) = 2x Si 0 x 10 ; y C(x) = 20 + 1.4 ( x - 10 ) se 10 < x ; esto es

Para esta funcin, C(10) = 20 y

Por tanto,existe y es igual a C (10). En consecuencia C es continua en 10.

Propiedades de las funciones continuas

Dadas las funciones f y g continuas en x = a, se verifica que:

la funcin (f + g) (x) = f(x) + g(x) es continua en x = a.

la funcin (f - g) (x) = f(x) - g(x) es continua en x = a.

la funcin (f g) (x) = f(x) g(x) es continua en x = a.

la funcin (f / g) (x) = f(x) / g(x) es continua en x = a, siempre que g(a) 0.

Estas propiedades son consecuencia directa de las propiedades de los lmites.

Repblica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para la Educacin Universitaria

I.U.T. Dr. Delfn Mendoza

Tucupita, edo. Delta Amacuro

LIMITES

Y

FUNCIN CONTINUA

FACILITADOR:

INTEGRANTES:

C.I

Frank Gonzlez

Seccin:

L0BI77

Ing. Bentez Mario

21.084.958

Febrero, 2015