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Fundamentos Teóricosdo Pensamento Matemático

Ana Márcia Fernandes Tucci de CarvalhoMagna Natália Marin PiresMarilda Trecenti Gomes

2009Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A,

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C667 Carvalho, Ana Márcia Fernandes Tucci de.; Gomes, Marilda Trecenti.; Pires, Magna Natália Marin. / Fundamentos

Teóricos do Pensamento Matemático. / Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho. Magna Natália Marin Pires. Marilda Trecenti Gomes. — Curitiba : IESDE Brasil S.A. , 2009. 304 p.

ISBN: 978-85-387-0159-0

1. Matemática (História). 2. Matemática - Fundamentos. 3. Filosofia da Ciência. I. Título. II. Pires, Magna Natália Marin. III. Gomes, Marilda Trecenti.

CDD 501

Capa: IESDE Brasil S.A.

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Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). Licenciada em Matemática pela UEL.

Magna Natália Marin Pires

Mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Especialista em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). Graduada em Matemática pelo Centro de Estudos Supe-riores de Londrina, em Química pela Fundação Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de Cornélio Procópio e em Ciências pela Univer-sidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho.

Marilda Trecenti Gomes

Doutora em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Mestre em Matemática pela Universidade Esta-dual de Campinas (Unicamp). Bacharel em Matemática pela Unicamp.

Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho


Sumário

Resolução de problemas ....................................................... 15

O que é um problema? ............................................................................................................ 17

Etapas para resolução de problemas ................................................................................. 22

A construção do conceito de número .............................. 31

Classificação ................................................................................................................................ 31

Seriação......................................................................................................................................... 33

Correspondência – equivalência numérica ..................................................................... 34

Materiais que podem ser utilizados para as operações de classificação e seriação ........................................................................................................... 36

Conhecimento lógico-matemático .................................... 45

Conhecimento físico ................................................................................................................ 45

Conhecimento social ............................................................................................................... 45

Conhecimento lógico-matemático ..................................................................................... 46

Abstração empírica e abstração reflexiva ......................................................................... 47

O jogo ............................................................................................................................................ 49

O desenvolvimento histórico do sistema de numeração decimal ................................................................. 55

A invenção da base ................................................................................................................... 57

Base 10 .......................................................................................................................................... 57

O aparecimento do zero ......................................................................................................... 60


Discussão de processos e desenvolvimento histórico de algoritmos de algumas operações fundamentais ....................................................... 69

Ideias das quatro operações fundamentais .................... 81

Ideias da adição ......................................................................................................................... 81

Ideias da subtração ................................................................................................................... 82

Método da compensação na subtração ........................................................................... 84

Processo curto da divisão ....................................................................................................... 84

Ideias da multiplicação ............................................................................................................ 86

Ideias da divisão ......................................................................................................................... 86

Compreensão dos números racionais: frações .............. 95

Operações com frações ........................................................................................................... 97

O conceito de frações aplicado a todos contínuos .....................................................100

O conceito de frações aplicado a todos discretos .......................................................101

Alguns obstáculos ...................................................................................................................102

Os decimais ..............................................................................109

Comparação entre decimais ...............................................................................................111

Operações com decimais .....................................................................................................112

A construção do pensamento geométrico ...................123

Alguns fatos históricos ..........................................................................................................123

Sentido das medidas .............................................................137

Grandezas mensuráveis e não-mensuráveis ................................................................140

As medidas nas primeiras séries do Ensino Fundamental........................................140

Área e perímetro ....................................................................149


O pensamento algébrico .....................................................159

Histórico ......................................................................................................................................159

Concepções da Álgebra ........................................................................................................160

A Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental ................................................162

Atividades que colaboram no desenvolvimento do pensamento algébrico ....163

Conceitos fundamentais da proporcionalidade .........175

Grandezas diretamente proporcionais ............................................................................177

Grandezas inversamente proporcionais .........................................................................178

A proporcionalidade nas séries iniciais ...........................................................................179

Introdução à Estatística ........................................................189

Avaliação em Matemática ...................................................201

Aprender sem medo: o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende .........217

O domínio afetivo ...................................................................................................................217

O significado do afeto............................................................................................................221

Desenvolver a dimensão afetiva ........................................................................................222

A linguagem matemática e os (des)encontros com a linguagem cotidiana ................................................229

O problema da agência de viagens – linguagem natural versus linguagem matemática .........................................................................................................230

Os desencontros da linguagem matemática ................................................................232

Questões para refletir sobre a linguagem matemática .............................................234

Os problemas da solução:dificuldades com a metodologia da “resolução de problemas” ......243

Os desafios da metodologia da resolução de problemas ........................................243

Problemas com a metodologiada resolução de problemas ....................................244


Outras questões .......................................................................................................................248

Sugestões de problemas ......................................................................................................249

A Geometria Plana e a Geometria Espacial: o que vemos e o que vivemos ...........................................257

Os povos antigos já sabiam .................................................................................................257

Os problemas que encontramos hoje: dificuldades dos alunos e dos professores.....................................................................258

Possibilidades metodológicas e pedagógicas ..............................................................262

Por que (–1) x (–1) = 1?: operações com os números inteiros ...............................269

Números relativos ...................................................................................................................269

Por que (–1) x (–1) = 1? ..........................................................................................................272


Apresentação

Caro EstudanteEssa obra aborda diversos conteúdos matemáticos que são trabalhados

nas séries iniciais do Ensino Fundamental. A intenção das autoras é fazer uma reflexão, junto aos futuros professores destas séries, de forma a possibilitar a com-preensão de conceitos e significados presentes nos referidos conteúdos.

O livro é composto por vinte capítulos.

O primeiro capítulo intitulado Resolução de Problemas, discute uma estra-tégia de ensino que é recomendado por currículos do mundo inteiro.

O segundo capítulo, A Construção do Conceito de Número, apresenta as operações de classificação e seriação como fundamentais no processo de cons-trução do conceito de número.

O terceiro capítulo, Conhecimento Lógico-Matemático, define conheci-mento físico, conhecimento social e finalmente o conhecimento lógico-mate-mático; aborda também a questão da abstração empírica e a abstração reflexiva, fatores importantes na construção de relações.

O quarto capítulo, intitulado como O Desenvolvimento Histórico do Siste-ma de Numeração Decimal, aborda o sistema de numeração que usamos fazendo um breve relato do seu desenvolvimento histórico.

O quinto capítulo, Discussão de Processos e Desenvolvimento Histórico de Algoritmos de Algumas Operações Fundamentais, mostra algumas formas de somar e multiplicar utilizadas por povos da antiguidade.

O sexto capítulo, Ideias das Quatro Operações Fundamentais, chama a atenção do professor para as diferentes ideias que cada operação pode assumir, fator importante na construção do conhecimento matemático.

No sétimo capítulo, Compreensão dos Números Racionais: Frações, discu-te o conceito de frações e procura justificar os procedimentos algorítmicos das operações realizadas com frações.

O oitavo capítulo, Os Decimais, apresenta o número com vírgula e aborda as operações fundamentais neste campo numérico.

No nono capítulo A Construção do Pensamento Geométrico, são apresen-tados alguns elementos históricos da Geometria, apresenta esse campo da Mate-mática valorizando a exploração de objetos e ambientes naturais.


O décimo capítulo, Sentido das Medidas, faz uma abordagem privilegiando o sig-nificado de medir, apresenta algumas unidades básicas, associando-as com a utilização no dia-a-dia.

O décimo primeiro capítulo, intitulado Área e Perímetro, apresenta a diferença entre esses dois conceitos e explora a área de algumas figuras geométricas.

O décimo segundo capítulo, O Pensamento Algébrico, apresenta as várias fases do desenvolvimento da álgebra e sugere caminhos para a abordagem desse conteúdo desde as séries iniciais do Ensino Fundamental.

O décimo terceiro capítulo, Conceitos Fundamentais da Proporcionalidade, discu-te várias estratégias de resolução que podem ser utilizadas para resolução de questões que envolvem esse conteúdo.

O décimo quarto capítulo, intitulado Introdução à Estatística, apresenta as fases do método estatístico assim como tabelas e gráficos, elementos essenciais na aborda-gem desse assunto.

O décimo quinto capítulo, Avaliação em Matemática, procura fazer uma aborda-gem construtiva da avaliação e discute vários instrumentos de avaliação.

Os cinco últimos capítulos discutem questões que, de algum modo, podem difi-cultar o ensino-aprendizagem da Matemática.

O décimo sexto capítulo Aprender sem Medo, discute o relacionamento afetivo entre aquele que ensina e aquele que aprende. O décimo sétimo capítulo, intitulado A Linguagem Matemática e os (Des)Encontros com a Linguagem Cotidiana, mostra como essas duas formas de comunicação podem ser interpretadas pelos alunos.

O décimo oitavo capítulo, Os problemas da Solução, apresenta algumas dificulda-des com a metodologia de “resolução de problemas”.

O décimo nono capítulo, A Geometria Plana e a Geometria Espacial, apresenta pro-blemas mais comuns encontrados por estudantes quando estudam esses conteúdos.

O vigésimo e último capítulo, Por que (-1) x (-1) =1? aborda operações com núme-ros inteiros e discute algumas dificuldades encontradas para demonstrar alguns resulta-dos nesse campo da matemática.

Ao tratar das questões descritas anteriormente, o objetivo é que você, futuro pro-fessor, possa se embasar teoricamente para poder desenvolver a educação matemática na sala de aula.

As Autoras


Magna Natália Marin Pires Marilda Trecenti Gomes

[...] o verdadeiro prazer em estudar Matemática é o sentimento de alegria que vem da

resolução de um problema – quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.

Thomas Butts

Se pretendemos tornar a Matemática útil e prazerosa, acreditamos que a resolução de problemas, uma das tendências da educação matemática, é um excelente caminho para alcançarmos esse objetivo.

A resolução de problemas deve ser o ponto central de atenção do pro-fessor de Matemática e os problemas devem ser o ponto-chave para o desenvolvimento dos conteúdos curriculares. Por meio dos problemas, os estudantes podem:

investigar e compreender os conteúdos matemáticos; �

desenvolver e aplicar estratégias para a resolução dos mesmos; �

relacionar a Matemática com situações cotidianas; �

ver a Matemática de forma atraente e desafiadora. �

Polya (1994) afirma que “a resolução de problemas foi a coluna verte-bral da instrução matemática desde o Papiro de Rhind”.

Educadores matemáticos acreditam ser necessário que os alunos se tornem capazes de propor e resolver problemas, conhecer técnicas diver-sas, compreender as implicações matemáticas de um problema, trabalhar em grupo para resolvê-lo, aplicar ideias matemáticas a problemas abertos, acreditar na importância da resolução de problemas para a real aprendiza-gem da Matemática e na importância desta para a vida cotidiana.

Resolução de problemas


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Fundamentos Teóricos do Pensamento Matemático

Pretende-se que os alunos aprendam a valorizar a Matemática, sentindo-se seguros em fazer Matemática e em resolver problemas de todas as categorias. Que esses alunos possam comunicar-se por meio dessa ciência, aprender a ra-ciocinar matematicamente, formular hipóteses e argumentar a validez de uma hipótese.

Resolver problemas é a razão principal de se aprender e ensinar Matemática. É por meio dessa prática que se inicia o aluno no exercício de pensar matemati-camente e nas aplicações da Matemática na Educação Básica. Resolver proble-mas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma nova situação, atendendo a um objetivo. Ao resolver problemas, o aluno desen-volve determinadas estratégias que, em geral, se aplicam a um grande número de situações. Dante (1995, p. 84) salienta que:

aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. Certamente outros objetivos da Matemática devem ser procurados, mesmo para atingir o objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. Mas o significado principal de aprender tais conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das situações-problema.

Ensinar a resolver problemas requer que o professor coloque os alunos frente a diferentes situações. Ele deve encorajá-los a pensar por si mesmos, a levanta-rem suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutirem com seus colegas como e por que determinada estratégia resolve ou não o problema.

É importante, também, que o professor considere dois fatores que desempe-nham papel fundamental na resolução de problemas: os conceitos e as habilida-des da criança para encontrar a solução. Esses fatores são construídos de acordo com o repertório de problemas previamente resolvidos, daí a importância dos alunos resolverem uma variedade de problemas.

Ao propor essas questões, o professor deve estar atento aos problemas mate-máticos que não têm como objetivo encontrar uma resposta numérica e, mesmo que se encontre essa resposta, é apenas um ponto intermediário nesse processo. Assim, é essencial uma interpretação ou uma análise da questão a ser resolvida.

Às vezes, um problema requer simplesmente que o aluno desenvolva um sis-tema de organização dos dados de uma forma adequada ou que se traduza uma situação matemática em uma linguagem mecânica eficiente. Ou então o pro-blema exige que se crie uma unidade de medida ou um instrumento de maior precisão do que os dados pelos modelos usuais de medida.



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O que é um problema?Saviani (1999) coloca que uma questão por si só não caracteriza um proble-

ma, mesmo que sua resposta seja desconhecida. O que caracteriza um problema é aquela questão cuja resposta, além de não ser conhecida, deseja-se conhecer.

Em outras palavras, para que uma situação seja um problema, é necessário que o sujeito:

esteja ciente dessa situação; �

esteja interessado em resolver essa situação; �

não tenha elementos necessários para proceder diretamente. �

Para o professor realizar um trabalho coerente com a proposta da resolução de problemas, é necessário que conheça a classificação de questões matemáticas a seguir, segundo Butts (1980).

Exercícios de reconhecimentoEsse tipo de exercício verifica apenas se o estudante reconhece ou relembra

um fato, uma definição ou um teorema.

Exemplos:

a) Assinale os desenhos que representam figuras planas.

1 23 4

Resposta: 1, 4.

b) Circule os números pares:

95 – 160 – 12 – 355 – 1 002 – 501 – 2

Resposta: 160, 12, 1 002, 2.


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Exercícios algorítmicosPodem ser resolvidos com um algoritmo específico ou executando-se um

procedimento passo a passo.

Exemplos:

a) Arme e efetue:

32,7 + 1,34 =

Resposta:

32,7

34,04

+ 1,34

b) Resolva a seguinte equação do 1.º grau:

y + 4 – 8y = 23

Resposta:

–7 y = 23 – 4

–7 y = 19

y = 7

19

y = – 7

19

Problemas de aplicaçãoNessa categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas soluções

requerem que o estudante:

faça a formulação simbólica do problema; �

manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já �conhecidos, para então obter a resposta.



19

Exemplos:

a) Mamãe foi à feira e gastou R$4,00 com verduras e R$5,00 com frutas. Com quanto voltou para casa se saiu com R$10,00?

Resposta:

Estratégia 1

R$4,00 + R$5,00 = R$9,00

R$10,00 – R$9,00 = R$1,00

Estratégia 2

Chamaremos de X a quantidade de dinheiro que sobrou

x + 5 + 4 = 10

x + 9 = 10

x = 10 – 9

x = 1

Ela voltou para casa com R$1,00.

b) O dobro de um número somado a 7 é igual a 13. Qual é esse número?

Resposta:

Chamaremos o tal número de x.

2 x + 7 = 13

2 x = 13 – 7

2 x = 6

x = 26

x = 3

O número é 3.


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Problemas em abertoUm problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia para sua

resolução. Porém, apresenta muitas vantagens, como a abordagem de diversos conteúdos matemáticos num único problema.

Exemplos:

a) Numa sala, com bancos de dois lugares, a diretora da escola reuniu um grupo de estudantes. Pediu que se sentassem de dois em dois nos ban-cos. Feito isso, sobraram 15 estudantes em pé. Para que ninguém ficas-se em pé, a diretora pediu que os estudantes se sentassem de três em três nos bancos. Dessa forma, nenhum estudante ficou em pé, mas cinco bancos ficaram vazios. Finalmente, ela pediu que os meninos se sentas-sem de dois em dois, ocupando a metade dos bancos, e que as meninas ocupassem a outra metade dos bancos, sentando-se de três em três. As-sim, nenhum estudante ficou em pé e nenhum banco ficou vazio.

Quantos são os estudantes? Quantas são as meninas? Quantos são os meninos? Quantos são os bancos?

Resposta:

Chamaremos de x o número de bancos e de y o número de estudantes.

2 x + 15 = y2 . 30 + 15 = y60 + 15 = yy = 75 estudantes

2 x + 15 = y3 x – 15 = y

2 x + 15 = 3 x – 1515 = 3x – 2x – 1515 + 15 = xx = 30 bancos

Tomemos H como meninos e M como meninas.

H = 2

2 x

H = 2

2 . 30

H = 2

60

H = 30

M = 2

3 x

M = 2

3 . 30

M = 2

90

M = 45

30 meninos e 45 meninas, total de 75 alunos e 30 bancos.



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b) O gavião chega a um pombal e diz:

– Adeus, minhas cem pombas!

– As pombas respondem em coro:

– Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você, meu caro gavião, cem pássaros seremos então!

Quantas pombas estão no pombal?

Resposta:

Estratégia 1

100 – 1 = 99 (subtraímos o gavião).

99 : 3 = 33 (dividimos por 3 porque são a quantidade de pombas mais 2 tantos, ou seja, 3).

Estratégia 2

Chamaremos de x a quantidade de pombas que estamos procurando:

x + 2 x + 1 = 100

3 x = 100 – 1

3 x = 99

x = 3

99

x = 33

Estão no pombal 33 pombas.

É importante ressaltar que a classificação dos problemas depende também do conhecimento do resolvedor. O problema das pombas, que foi apresentado anteriormente, pode ser classificado como problema de aplicação se o resolve-dor encontrar a solução utizando uma equação do primeiro grau, por exemplo; porém, se o resolvedor utilizar outra estratégia, ele pode ser considerado como um problema em aberto.


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Situações-problemaNessa categoria não estão os problemas em si, mas situações nas quais um

dos passos principais é identificar o problema inerente para, num passo se-guinte, resolvê-lo. Outro passo importante é testar se a solução encontrada é satisfatória. Caso não seja, o problema deve ser retomado e revisto, ou um novo problema deve ser identificado, e o processo deve ter continuação até que a solução ideal se apresente.

Exemplos:

a) Esboce um estacionamento.

b) Apresente a distribuição de alimentos para a merenda escolar de uma semana.

Nota-se que as questões das duas primeiras categorias (exercícios de reconhecimento e exercícios algorítmicos) exigem muito pouco dos alunos, não permitindo a exploração dos conhecimentos que eles trazem, nem o desenvol-vimento de sua criatividade. Dessa maneira, devem ser exploradas com menor intensidade, podendo ser utilizadas nos casos em que o professor deseja saber se o aluno conhece fatos específicos do conteúdo.

Os problemas das três últimas categorias (problemas de aplicação, problemas em aberto e situações-problema) permitem uma desenvoltura maior dos alunos, possibilitando ao professor uma visão mais abrangente do conhecimen-to deles.

As categorias problemas em aberto e situações-problema são as que mais pos-sibilitam reflexões, discussões e, consequentemente, aprendizado significativo.

O conjunto de problemas encontrado nos livros de Matemática não é suficien-temente extenso, nem variado o bastante para dar ao aluno um conjunto adequa-do de questões. O professor pode complementar esses problemas com outros inventados por ele mesmo ou retirados de livros paradidáticos ou periódicos da área. Assim, pode organizar seu próprio repertório, extenso e variado, com o objetivo de se preparar para o trabalho com problemas criativos e reais.

Etapas para resolução de problemasSegundo Polya (1994), para se obter sucesso na resolução de problemas

é necessário observar as seguintes etapas:



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1. compreender o problema;

2. elaborar um plano;

3. executar o plano;

4. fazer a verificação ou o retrospecto.

Em cada etapa, o professor pode fazer questionamentos ou considerações que ajudem os alunos na resolução dos problemas, conforme os exemplos a seguir.

Compreender o problema:a) O que se pede no problema?

b) Quais são os dados e as condições do problema?

c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?

d) É possível estimar a resposta?

Elaborar um plano:a) Qual é o seu plano para resolver o problema?

b) Que estratégia você tentará?

c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resol-ver este?

d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.

e) Tente resolver o problema por partes.

Executar o plano:a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.

b) Efetue todos os cálculos indicados no plano.

c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resol-ver o mesmo problema.


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Fazer retrospecto ou verificação:a) Examine se a solução obtida está correta.

b) Existe outra maneira de resolver o problema proposto?

c) É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhan-tes?

Desse modo, em uma aula de resolução de problemas, o professor deve fazer o papel de incentivador e moderador das ideias geradas pelos alunos. Agindo assim, os alunos participam ativamente, “fazendo Matemática”, e não passiva-mente, “observando” a Matemática “ser feita” pelo professor.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode ser modesto, mas se desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter. (POLYA, 1994, p. 48)

O professor deve apresentar aos alunos problemas desafiadores, reais e interessantes, que não sejam resolvidos diretamente por um ou mais algoritmos. É necessário, também, que seja dado um tempo razoável para que leiam e compre-endam o problema, certificando-se de que foi entendido por todos. Infelizmente, uma das maiores dificuldades do aluno ao resolver um problema é o momento de leitura e compreensão do texto.

Deve-se criar, entre os alunos, um clima de busca, exploração e descoberta, deixando claro que o mais importante para obter a resposta correta é pensar e trabalhar no problema durante o tempo necessário para resolvê-lo.

O professor precisa trabalhar no sentido de focalizar, enfatizar e valorizar a análise do problema, os procedimentos que podem levar à solução e à revisão da solução obtida, e não, simplesmente, enfatizar a resposta correta.

Acertar a resposta não é, necessariamente, o mais importante na resolução de problemas. É bom para o aluno saber o que fez e como fez, e por que sua ação foi apropriada ou não. Isso deve ser parte integrante da etapa de retrospecto e verificação da resolução.

Primordialmente, deve-se incentivar os alunos a pensar. Assim, a função de orientador e facilitador da aprendizagem realizar-se-á mais facilmente, poden-do-se perceber como pensam e encaminham a solução do problema, que es-



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tratégias tentam usar, que dificuldades precisam superar etc. O professor, dis-cretamente, pode propiciar aos alunos “ideias brilhantes”, fazendo com que se lembrem de fatos e os utilizem adequadamente. É importante proporcionar ao aluno a satisfação de tê-las obtido. Alunos resolvedores de problemas se sentem seguros e, em geral, demonstram grande interesse pela Matemática.

Texto complementar

Sobre a resolução de problemas(BURIASCO, 1995, p. 1)

Uma das atuais grandes tendências da Educação Matemática é a resolu-ção de problemas, assim chamada porque considera que o estudo da Ma-temática é resolver problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática deve ser desenvolvido sempre partindo de problemas. Examinemos o quadro abaixo:

Esquema de aula

na tendência tradicional

Esquema de aula

na tendência de resolução de problemasO professor explica a matéria (teoria).

O professor apresenta um problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).

O professor mostra exemplos. Os alunos tentam resolver o problema com o conhe-cimento que possuem.

O professor propõe “exercícios” semelhantes aos exemplos dados para que os alunos resolvam.

Quando os alunos encontram algum obstáculo (falta de algum conteúdo necessário para a resolução do problema), o professor apresenta, de alguma forma, esse conteúdo.

O professor (ou um aluno) resolve no quadro-de-giz os exercícios.

Resolvido o problema, os alunos discutem sua so-lução; se necessário, com a ajuda do professor. Essa discussão envolve todos os aspectos da resolução do problema, inclusive os do conteúdo necessário.

O professor propõe aos alunos outros “exercícios” já não tão se-melhantes aos exemplos que ele resolveu.

O professor apresenta outro problema escolhido por ele ou pelo(s) aluno(s).


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Esquema de aula

na tendência tradicional

Esquema de aula

na tendência de resolução de problemas

O professor (ou um aluno) resolve os exercícios no quadro-de-giz.

O professor propõe “problemas”, se for o caso, ou mais “exercícios”.

Correção dos “problemas” e dos “exercícios”.

O professor começa outro assunto.

De acordo com essa tendência, o prazer em estudar Matemática é a ale-gria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade na resolução, maior a satisfação.

Na proposta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas, uma das questões mais importantes é como apresentar um problema, de modo que os alunos:

queiram resolvê-lo; �

compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução. �

Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência do professor, nas aulas de Matemática, ensinar a arte de resolvê-los.

Dicas de estudoLer o livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática

Autor: Luiz Roberto Dante.

Editora: Ática.

A obra explora um pouco sobre a teoria de Resolução de Problemas e depois apresenta uma coletânea de problemas interessantes que podem ser trabalha-dos desde a pré-escola.



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Atividades1. Classifique os seguintes problemas segundo as categorias de Thomas Butts.

a) Quantas lajotas quadradas, de 30cm de lado, preciso para ladrilhar uma varanda de 10m de comprimento por 6m de largura?

b) Construa, em um material à parte, a maquete de um campo de futebol.

c) Utilizando medidas inteiras, encontre dez retângulos que tenham perí-metro igual a 80cm.

d) O triângulo que possui um ângulo de 90º é chamado:

e) Quais são os valores de n para 7n + 4 > 8?

2. Dez moedas estão dispostas formando um triângulo, como na figura I. Movi-mentando apenas três moedas, obtenha a formação triangular da figura II.

Figura I Figura II


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3. O número 30 pode ser expresso por 5 x 5 + 5. Agora, expresse:

a) o número 100, usando quatro vezes o algarismo 9;

b) o número 34, usando quatro vezes o algarismo 3;

c) o número 31, usando somente o algarismo 3, quantas vezes queira.



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Resolução de problemas1.

a) Problema de aplicação.

b) Situação-problema.

c) Problema em aberto.

d) Exercício de reconhecimento.

e) Exercício algorítmico.

2. Movimentando moedas da figura I:

1.º) retire as duas moedas das extremidades da primeira linha e le- �ve-as uma do lado de uma das moedas da penúltima linha e outra ao lado da outra moeda da penúltima linha.

2.º) retire a única moeda da última linha e leve-a acima do espa- �ço intermediário entre as duas moedas que restaram na primeira linha.

3.

a) 100 99

99= +

b) 34 33

33= +

c) 31 3333

3= + −

Gabarito


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