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CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÂMICOS

Análise de Sistemas Lineares – ASL Prof. Dr. André Bittencourt Leal

1

CAPÍTULO 2 – MODELAMENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DIN ÂMICOS

2.1. Introdução

Um modelamento matemático de um sistema dinâmico é definido como um

conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema precisamente ou,

pelo menos, sensivelmente bem. Observar que um modelo matemático não é único

para um dado sistema. Um sistema pode ser representado de muitas maneiras

diferentes e, portanto, pode haver muitos modelos matemáticos para o mesmo

sistema.

A dinâmica de muitos sistemas sejam eles elétricos, mecânicos, térmicos,

econômicos, etc., pode ser descrita em termos de equações diferenciais. Tais

equações diferenciais podem ser obtidas utilizando-se as leis da Física que

governam um sistema particular, por exemplo, as Leis de Newton dos sistemas

mecânicos e as Leis de Kirchhoff dos sistemas elétricos. A resposta de um sistema

dinâmico a uma entrada pode ser obtida se as equações envolvidas forem

resolvidas.

Simplicidade versus precisão:

É possível melhorar a precisão de um modelo matemático aumentando sua

complexidade. Em alguns casos, incluímos centenas de equações para descrever

um sistema completo. Na obtenção de um modelo matemático, no entanto, devemos

estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e a precisão dos

resultados da análise. Se não for necessária precisão extrema, no entanto, é

preferível obter apenas um modelo razoavelmente simplificado. De fato, geralmente

estaremos satisfeitos se podermos obter um modelo matemático adequado ao

problema sob consideração. No entanto, é importante notar que os resultados

obtidos da análise são válidos somente à medida que o modelo se aproxima de um

dado sistema dinâmico real.



2

2

2

dt

xdMF =

2.2. Sistemas elétricos

Circuito RLC – Série:

Seja o circuito RLC série mostrado ao lado

Aplicando as Leis de Kirchhoff obtemos as seguintes equações

∫

∫

=

=++

0

1

1

eidtC

eidtC

Ridt

diL i

Exercício 1: Obtenha as equações que descrevem o comportamento do circuito

elétrico abaixo.

2.3. Sistemas mecânicos e componentes

Lei fundamental de Newton: ∑∑

=

=

αJT

maF

Elementos de movimento de translação (∑ = maF )

Variáveis: Força, deslocamento linear, velocidade linear, aceleração linear.

• Massa (M): Armazena a energia cinética do movimento de translação (Kg)

F= força (N) ∑ = maF

M= massa (kg)

x= deslocamento (m)

C2C1

R2R1

ei e0 i1 i2

M

x

F

ei e0 i

L R

C



3

0=− KxF

0=−dt

dxBF

FKxdt

dxB

dt

xdM =++

2

2

• Mola linear (K): Armazena energia potencial (N/m)

F= força (N) ∑ = maF

K= elastância (N/m)

x= deslocamento (m)

onde a massa da mola é desprezada!

• Amortecedor (B): Caracteriza o elemento que absorve energia. Representa o

atrito para o movimento de translação (N/m/s).

B= coeficiente de fricção-viscosa ∑ = maF

F= força (N)

x= deslocamento (m)

Exemplo: Obtenha a equação que representa o sistema translacional “amortecedor

viscoso-mola-massa” colocado abaixo:

Onde: M= massa

F= força

x= deslocamento

K= elastância

B= coeficiente de fricção-viscosa

2

2

dt

xdM

dt

dxBKxF

MaF

=−−

=↓+ ∑

ou

x

F

k

B

F

x

M

F

x

K

B



4

T w

J

••= θJT

T B

w

T

θ

K 0=− θKT

T w

J

B

TBwwJ =+•

α

α

JwJT

JT

==

=•

∑

Elementos do movimento de rotação (∑ = αJT )

Variáveis: Torque, deslocamento angular, velocidade angular, aceleração angular.

• Inércia (J): Armazena a energia cinética do movimento de rotação (kg.m2)

J= momento de inércia (kg.m2)

w= velocidade angular (rad/s)

T= torque aplicado ao sistema (N.m)

θ= posição angular (rad)

α= aceleração angular (rad/s2)

ou

onde 2

2

dt

d θθ =••

• Amortecedor (B): Coeficiente de fricção viscosa (Nm/rad/s)

∑ = αJT

• Mola de torção (K): (Nm/rad)

∑ = αJT

Exemplo: Obtenha a equação que representa o sistema mecânico rotacional

mostrado abaixo.

∑ = αJT

•

=− wJBwT ou

0=− BwT



5

Indeformado

δst

Equilíbrio

T=Kδst

P

2.4. Teoria base para modelamento de sistemas mola-massa

Considere um corpo de massa

m preso a uma mola de constante K.

Quando o corpo está em equilíbrio

estático, as forças que atuam sobre

ele são: seu peso P e a força T

exercida pela mola, de módulo

T= Kδst, onde δst representa a

deformação da mola.

Portanto, P=Kδst.

Suponhamos agora que o

corpo é deslocado de uma distância x

da sua posição de equilíbrio e é solta

sem velocidade inicial. O sistema

oscilará em torno daquela posição de

equilíbrio. As forças que atuam sobre

o corpo são: o seu peso P e a força

exercida pela mola, que, nesta

posição, tem módulo T= K(δst + x).

Assim, a resultante das forças

que agem sobre o corpo é dada por:

KxFxKPFF st −=+−+=↓+ ∑ )(δ

uma vez que P=Kδst.

Por fim, temos que ∑ = maF , ou seja

Indeformado

δst

Equilíbrio x

F

2

2

dt

xdmKxF =−



6

Vibrações amortecidas

O sistema vibratório considerado anteriormente foi suposto isento de

amortecimento. Na realidade todas as vibrações são amortecidas, em maior ou

menor grau, pelas forças de atrito. Estas forças podem ser causadas por atrito seco

ou de Coulomb entre sólidos rígidos, por atrito fluido quando o corpo se desloca em

um fluido, ou por atrito interno entre as moléculas de um corpo estático.

Um tipo de amortecimento de especial interesse é o amortecimento viscoso,

causado pelo atrito fluido em velocidades baixas ou moderadas. No atrito viscoso, a

força de atrito é proporcional à velocidade do sólido. Como exemplo ilustrativo,

consideremos um corpo de massa m suspenso por uma mola de constante K, e

suponhamos que unimos a massa a um êmbolo de um cilindro conforme mostrado

na figura abaixo.

O módulo da força de atrito é igual a

dt

dxb

“b” é chamada coeficiente de atrito viscoso,

ou coeficiente de amortecimento viscoso, e

depende das propriedades físicas do fluido

bem como da construção do êmbolo-

cilindro.

A equação do movimento é

2

2

)(:dt

xdm

dt

dxbxKPFmaF st =−+−+=↓+ ∑ δ

Relembrado que P= Kδst, teremos:

m

K

K

F x

Equilíbrio

b b

2

2

dt

xdmKx

dt

dxbF =−−



7

Exemplos:

1)

∑ =↓+ maF

A) 2122 )(••

=−− xmxxKF

B) 0)( 1111122 =−−−•xbxKxxK

2)

∑ =↓+ maF

A) 112121111 )(•••

=−−−− xmxxkxbxK

ou 0)( 112121111 =+−++•••xmxxkxbxK

B) 2222122 )(•••

=−−− xmxbxxk

ou 0)( 2222122 =++−•••xmxbxxk

b K1

K2

B

A

m

x1

x2

F

b1 K1

K2

A

B

m1

x1

x2

m2

b2



8

b1

b2

x1

x2

K1

K2

m2

m1

y1

K1

b1

K2 m1

m2

y2

3)

∑ =↓+ maF

)()()( 020101

••••−=−+− yxbxxKxxb ii

yKyxb 202 )( =−••

Exercícios: Obtenha o modelo matemático dos sistemas abaixo.

a) b)

b1

b2

xi

x0

y

K1

K2



9

2.5. Função de transferência

A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares

invariantes no tempo é definida como a relação da transformada de Laplace da

saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função

excitação), sob a hipótese de que todas as condições iniciais são nulas.

Considere o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte

equação diferencial:

xbxbxbxbyayayaya mmnnmmnn ++++=++++

•−

•−

−− 11 ...... )1(1

)(0

)1(1

)(0 (n≥m)

onde y é a saída do sistema e x é a entrada. A função de transferência deste

sistema é obtida tomando-se as transformadas de Laplace de ambos os membros

da equação, considerando-se que todas as condições iniciais são nulas, ou

Função de transferência = G(s) = L [saída]

nn

mm

asasasa

bsbsbsb

sX

sYsG

nn

mm

+++++++

==−

−

−

−

1

1

...

...

)(

)()(

110

)110

Usando o conceito da função de transferência, é possível representar a

dinâmica do sistema pelas equações algébricas em s. Se a mais alta potência de s

no denominador da F.T. for igual a n, o sistema é chamado “sistema de n-ésima

ordem”.

Obs.: A aplicabilidade do conceito da função de transferência é limitada aos

sistemas de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo.

Comentários sobre função de transferência

a) A função de transferência é uma propriedade de um sistema em si,

independente da magnitude e da natureza da entrada ou função excitação.

b) A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar a

entrada à saída; no entanto, ela não fornece qualquer informação

concernente à estrutura física do sistema. (As F.T. de muitos sistemas físicos

diferentes podem ser idênticas)

L [entrada] Condições iniciais nulas



10

c) Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída ou

resposta pode ser estudada para várias formas de entradas com vistas ao

entendimento da natureza do sistema.

d) Se a função de transferência de um sistema for desconhecida, ela pode ser

estabelecida experimentalmente introduzindo-se entradas conhecidas e

estudando-se a saída do sistema.

Exemplo: Obtenha a função de transferência do circuito RLC mostrado abaixo, onde

ei é a entrada e eo é a saída.

Aplicando as leis de Kirchhoff para o sistema, obtemos as seguintes equações:

∫ =++ ieidtC

Ridt

diL

1 (i)

∫ = oeidtC

1 (ii)

Achando as transformadas de Laplace das equações (i) e (ii), admitindo condições

iniciais nulas, obtemos:

)()(11

)()( sEsIsC

sRIsLsI i=++ (i)

)()(11

sEsIsC o= (ii)

Isolando I(s) em (ii) temos: )()( sCsEsI o= (iii)

Substituindo (iii) em (i) temos: )()()()(2 sEsEsRCsEsELCs iooo =++

ou )()()1( 2 sEsERCsLCs io =++

Assim, a função de transferência do circuito RLC dado é:

)1(

1

)(

)()(

2 ++==

RCsLCssE

sEsG

o

i

ei e0 i

L R

C )(

)()(

sE

sEsG

i

o=



11

T w

J

B

Exercício: Obtenha a função de transferência G(s)=Eo(s)/Ei(s) do circuito elétrico

mostrado na figura abaixo:

Exemplo: Considerando o sistema rotacional mecânico mostrado na figura abaixo,

obtenha sua função de transferência, sendo que a velocidade angular é a saída e o

torque é a entrada.

Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema, obtemos:

•

•

=−

==∑

wJBwT

wJJT α

ou TBwwJ =+•

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e

considerando as condições iniciais nulas, obtemos:

)()()( sTsBsJs =Ω+Ω

Assim, a função de transferência do sistema é dada por:

BJssT

ssG

+=Ω= 1

)(

)()(

C2C1

R2R1



12

Exercício: Obtenha a função de transferência do sistema mostrado na figura abaixo.

Considere a força “F” como entrada e o deslocamento “x” como saída.

Exercícios: Obter a função de transferência Xo(s)/Xi(s) de cada um dos sistemas

mecânicos mostrados abaixo. No diagrama, xi designa o deslocamento de entrada e

xo o deslocamento de saída.

a) b) c)

Respostas:

a) )()(

)(

21

1

bbsm

b

sX

sX

i

o

++=

b) 2121

1

)()(

)(

kkKKsb

sbK

sX

sX

i

o

++=

c) )()(

)(

21

1

KKsb

Ksb

sX

sX

i

o

+++=

K1

K2

B

F x

xi

xo

m

b1

b2

xi

xo

K1

K2

b

xi

xo

K1

K2

b

y



13

2.6. Linearização de modelos matemáticos não-lineares

Um sistema é não-linear se a ele não se aplica o princípio da superposição.

Assim, para um sistema não-linear a resposta a duas entradas não pode ser

calculada tratando-se uma entrada de cada vez e adicionando-se os resultados.

Exemplos de equações diferenciais não lineares são:

0

0)1(

32

2

22

2

2

2

2

=+++

=+−+

=+

+

xxdt

dx

dt

xd

xdt

dxx

dt

xd

Asenwtxdt

dx

dt

xd

Embora muitas relações físicas sejam representadas muitas vezes por

equações lineares, na maioria dos casos as relações reais não são exatamente

lineares. De fato, um estudo cuidadoso de sistemas físicos revela que mesmo os

chamados “sistemas lineares” são realmente lineares apenas em faixas limitadas de

operação. Na prática, muitos sistemas eletromecânicos, hidráulicos, pneumáticos,

etc., envolvem relações não-lineares entre as variáveis. Por exemplo, a saída de um

componente pode saturar para sinais grandes na entrada. Pode haver, por outro

lado, um espaço morto que afeta em relação a pequenos sinais. (O espaço morto de

um componente é um pequeno intervalo de variações na entrada, dentro do sinal o

componente é insensível). Não-linearidade do tipo lei quadrática pode ocorrer em

alguns componentes. Por exemplo, amortecedores utilizados em sistemas físicos

podem ser lineares em operações de baixa velocidade, porém podem tornar-se não-

lineares para altas velocidades, e a força amortecedora pode tornar-se proporcional

ao quadrado da velocidade de operação.

Exemplos de curvas características para estas não-linearidades são

mostrados abaixo:

saída

entrada

saída

entrada

saída

entrada



14

Os procedimentos para determinar as soluções de problemas que possuam

sistemas não-lineares, em geral, são extremamente complicados. Devido a esta

dificuldade matemática inerente a sistemas não-lineares, normalmente é necessário

introduzir sistemas lineares “equivalentes” no lugar daqueles não-lineares. Estes

sistemas lineares equivalentes somente são válidos dentro de uma faixa limitada de

operação. Uma vez que um sistema não-linear é aproximado por um modelo

matemático linear, várias ferramentas lineares podem ser aplicadas para fins de

análise de projeto.

O processo de linearização de sistemas não-lineares é importante, pois pela

linearização das equações não-lineares é possível aplicar numerosos métodos de

análise linear que produzirão informação sobre o desempenho de sistemas não-

lineares. O procedimento de linearização apresentado aqui é baseado na expansão

da função não-linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a

retenção apenas do termo linear. Para que possamos desprezar os termos de ordem

mais alta da expansão em série de Taylor, estes termos desprezados devem ser

pequenos, isto é, as variáveis se desviam apenas ligeiramente das condições de

operação.

Para obter um modelo matemático linear para um sistema não-linear,

suporemos que as variáveis variam muito pouco em relação a alguma condição de

operação.

Considere um sistema cuja entrada é x(t) e cuja saída é y(t). A relação entre

y(t) e x(t) é dada por y=f(x). Se a condição de operação normal corresponde a _

x ,_

y ,

então a equação y=f(x) pode ser expandida em série de Taylor em torno desse

ponto de operação como segue:

...)(!2

1)()( 2

_

2

2__

+−+−+= xxdx

fdxx

dx

dfxfy

Onde as derivadas df/dx, d2f/dx2, ... são calculadas em x=_

x .

Se a variação )(_

xx− é pequena, podemos desprezar os termos de maior

ordem em )(_

xx− . Assim, podemos escrever:

)(__

xxkyy −+= onde )(__

xfy = e _xxdx

dfk

=

=



15

ou de outra forma: )(__

xxkyy −=− .

Considerando que _

yy − é a variação em y, podemos fazer _

yyy −=∆ e para

_

xxx −=∆ e então temos xky ∆=∆ , o que indica que as variações na saída são

proporcionais às variações na entrada seguindo uma relação linear.

Exemplo: Seja o sistema cuja relação entrada-saída é dada por y=x2. Considere que

o ponto de operação nominal deste sistema é _

x=3 e linearize o modelo em torno

deste ponto.

O sistema y= f(x) é y=x2, ou seja, y= f(x)= x2. A expansão em série de Taylor é dada

por )(__

xxkyy −+= onde _xxdx

dfk

=

= , ou seja, 3

2=

=x

xk . Logo, k=6.

Assim temos que )(6__

xxyy −+= ou considerando em termo de variações.

Modelo linearizado

onde _

yyy −=∆

Assim, para obter o valor da saída y para uma determinada variação na

entrada ( x∆ ) temos xy ∆=∆ 6 onde _

yyy −=∆ .

Desta forma, se a entrada não for variada, ou seja, se _

xx = )0( =∆x então a

saída vale y=9.

De fato, se utilizarmos o sistema não-linear original obteremos o mesmo

resultado. Se tivermos uma variação um pouco maior, entretanto, como por exemplo

5,0=∆x utilizando o modelo linearizado obtemos y=12.

xy ∆=∆ 6

12

6

1 2 x∆

y∆

linear



16

Ao passo que utilizando o modelo original temos y=x2, como _

xxx −=∆ , temos

que _

xxx +∆= , e assim x=3,5.

Logo, o resultado obtido para 5,0=∆x é y=(3,5)2 = 12,25 resultado este que é

sensivelmente diferente daquele obtido através do modelo linearizado (erro de 2%).

Se observarmos a figura abaixo poderemos analisar melhor a questão da

validade do modelo linearizado.

Observe que para pequenas

variações x∆ a curva que descreve o

sistema real pode ser aproximada por

uma reta tangente à curva no ponto _

x .

Note, entretanto, que se considerarmos variações maiores na entrada x

( x∆ muito grande) a reta não coincide mais com a curva original, ou seja, o modelo

linearizado não serve mais para representar o sistema real (sistema não-linear).

A análise sobre a validade do modelo equivalente é uma tarefa bastante

complicada e deve ser feita de acordo com o que se espera obter de precisão dos

resultados. Em alguns casos pode-se considerar elevado um erro da ordem de 5% e

em outros podemos permitir erros na faixa de 10%, por exemplo. É importante

ressaltar que existe um compromisso entre precisão dos resultados e simplicidade

do modelo, ou seja, se desejamos um modelo mais preciso normalmente obtemos

um modelo mais complexo, e à medida que simplificamos tal modelo, ele passa a

não representar o sistema real de forma tão fiel e exata.

Agora considere um sistema não-linear cuja saída y é uma função de duas

entradas x1 e x2, de modo que y= f(x1,x2).

Para obter uma aproximação linear para este sistema não-linear, podemos

expandir esta equação em uma série de Taylor em torno do ponto de operação

2

_

1

_

, xx .

x∆

y∆

2xy = xy ∆=∆ 6

y

x

y _

y

x _

x



17

Assim tem-se que:

...)())((2)(!2

1)()(),( 2

2

_

222

2

2

_

21

_

121

22

1

_

121

2

2

_

22

1

_

11

2

_

1

_

+

−

∂∂+−−

∂∂+−

∂∂+

−

∂∂+−

∂∂+= xx

x

fxxxx

xx

fxx

x

fxx

x

fxx

x

fxxfy

onde as derivadas parciais são calculadas em 1

_

1 xx = e 2

_

2 xx = . Perto do ponto de

operação (_

xx ≅ ) os termos de ordem mais alta podem ser desprezados. O modelo

matemático linear deste sistema não-linear na vizinhança do ponto de operação

normal é então dado por

)()( 2

_

221

_

11

_

xxkxxkyy −+−=−

onde ),( 2

_

1

__

xxfy = ,

2

_

2

1

_

111

xx

xxx

fk

=

=∂∂= ,

2

_

2

1

_

122

xx

xxx

fk

=

=∂∂=

A técnica de linearização apresentada aqui é válida na vizinhança da

condição de operação. Se as condições de operação variam amplamente, no

entanto, tais equações linearizadas não são adequadas, e equações não-lineares

devem ser utilizadas. É importante lembrar que um modelo matemático particular

usado na análise e no projeto pode representar precisamente a dinâmica de um

sistema real em certas condições de operação, mas pode não ser preciso para

outras condições de operação.

Exemplo: Considere o sistema dado por )(4)(5)( 21 txtxty −= onde y(t) é a saída e

x1(t) e x2(t) são as entradas. Este sistema tem um ponto de operação nominal dado

por 31

_

=x e 92

_

=x . Obtenha um modelo linear equivalente para o ponto de operação

( 2

_

1

_

, xx ).

Sabemos que y=f(x1,x2). Sendo assim, a linearização é obtida por

)()( 2

_

221

_

11

_

xxkxxkyy −+−+= onde

2

_

2

1

_

111

xx

xxx

fk

=

=∂∂= ,

2

_

2

1

_

122

xx

xxx

fk

=

=∂∂=



18

9,3_

=+∆= yyy

Assim temos que )(

2

4)(5 2

_

2

2

_1

_

1

_

xx

x

xxyy −+−+= e então

Modelo linearizado

onde

2

_

22

1

_

11

_

xxx

xxx

yyy

−=∆

−=∆

+∆=

equações auxiliares

Para obter o valor da saída para o ponto de operação nominal utilizamos o

modelo não-linear, ou seja 2

_

1

__

45 xxy −= onde 31

_

=x e 92

_

=x .

Logo, 3_

=y e então a saída do modelo linearizado é 3+∆= yy onde

21 3

25 xxy ∆−∆=∆ .

Vamos considerar variações de 10% em torno do ponto de funcionamento

( 2

_

1

_

, xx ), ou seja, 3,01 =∆ x e 9,02 =∆ x . Assim temos que: 9,06,05,1 =−=∆y e então

Analisando o modelo não-linear 21 45 xxy −= para 3,01 =∆ x e 9,02 =∆ x

temos que 3,31 =x e 9,92 =x , e então: 914293822,39,94)3,3(5 =⇒−= yy .

Observe que o valor obtido através do modelo linearizado difere do resultado

obtido através do modelo não-linear. Uma vez que o modelo não-linear é

considerado o modelo real do sistema e o modelo linearizado é uma simplificação

deste, devemos verificar se o erro entre as duas respostas é significativo, ou se

pode ser desprezado.

O cálculo de erro é dado, de forma genérica, por:

%100% ⋅−

=realvalor

obtidovalorrealvalorerro

21 3

25 xxy ∆−∆=∆



19

Para a comparação entre as respostas obtidas com o modelo linearizado e o

modelo não-linear fazemos:

=%erro

.100%

Sendo assim, para o exemplo anterior temos %100914293822,3

9,3914293822,3% ⋅−=erro

Observe que este erro foi calculado para as respostas considerando as

variações nas entradas iguais a 3,01 =∆ x e 9,02 =∆ x . Se as variações nas entradas

forem maiores, no entanto, o erro% será maior, até que pode ser tão elevado de

forma a não podermos utilizar o modelo linearizado no lugar do modelo não-linear.

Considere por exemplo as seguintes variações nas entradas 21 =∆x e 72 =∆x

e calcule o erro% comparando as respostas obtidas com os dois modelos. Observe

que erro%=7,4%.

2.7. Sistemas de Nível de Líquido

Considere o sistema de nível de líquido mostrado na Figura 2.1. Se a válvula

de entrada do tanque for aberta de certa quantidade, haverá um fluxo de líquido

passando pela mesma. Após alguns instantes a taxa de fluxo (vazão) de entrada

será constante (denotada por Q ). Com a entrada de água no tanque, o mesmo será

inundado até que, em um dado instante, o nível estabiliza num valor H . Neste

instante a vazão de saída valerá obrigatoriamente Q , ou seja, a vazão de entrada de

água é igual à vazão de saída, não havendo mais variação no nível.

Resposta do modelo não-linear – Resposta do modelo linearizado

Resposta do modelo não-linear

%365,0% =erro



20

Figura 2.1 Sistema de nível de líquido com tanque s imples.

onde Q = vazão de líquido em estado estacionário (m3/s)

H = altura do nível de líquido em estado estacionário (m)

iq = variação na vazão de entrada (m3/s)

oq = variação na vazão de saída (m3/s)

h = variação na altura de nível de líquido (m)

A partir do ponto de equilíbrio dado por (Q , H ), se a abertura da válvula de

entrada for modificada, haverá uma variação na vazão de entrada de líquido (qi).

Esta variação provocará uma variação na altura do nível de líquido (h) e,

consequentemente, uma variação na vazão de saída (qo).

Note que utilizamos letras maiúsculas com uma barra sobre as mesmas para

indicar valores estacionários (ponto de equilíbrio) e letras minúsculas para indicar

variações em torno do ponto de equilíbrio. Sendo assim, para indicar a equação

geral que engloba tanto o valor da variável no ponto de equilíbrio ( H ) quanto as

variações em torno deste ponto (h), utilizaremos uma letra maiúscula, mas sem a

barra ( H ). Assim, para o modelamento do nível de líquido temos

( )hHH +=

A taxa de variação na quantidade de líquido armazenado no tanque é igual à

taxa de variação de volume de líquido no mesmo. No entanto, uma vez que a área

da seção transversal do tanque é constante, a taxa de variação no volume de líquido

depende apenas da taxa de variação do nível de líquido, conforme equação abaixo:

oi QQdt

dHA

dt

dV −==

QqQ ii += i

Hh + QqQ oo += o



21

De onde se obtém que

( ) ( ) ( )ooii qQqQhHdt

dA

dt

dV +−+=+=

( ) ( )oioi qqQQdt

dh

dt

HdA −+−=

+

onde V = volume de líquido dentro do tanque (m3)

A = área da seção transversal do tanque (m2)

dtdh = taxa de variação da altura do nível de líquido no tanque (m/s)

dtdV = taxa de variação do volume de líquido no tanque (m3/s)

Sabemos que em equilíbrio não há variação do nível de líquido, portanto

0=dtHd . Sabemos ainda que no equilíbrio a vazão de entrada de líquido é igual a

vazão de saída, ou seja, QQQ oi == . Desta forma temos que:

oi qqdt

dhA −= (1)

Note que a taxa variação do volume de líquido no tanque depende da

diferença entre a variação na vazão de entrada (qi) e a variação na vazão de saída

(qo). Observe que se a variação da vazão de entrada for maior que a variação da

vazão de saída, haverá uma taxa de variação positiva no volume de água no tanque

através do aumento do nível de líquido no mesmo.

Antes de continuar o modelamento matemático de sistemas de nível de

líquido vamos introduzir os conceitos de Capacitância e Resistência Hidráulica para

facilitar a descrição das características dinâmicas destes sistemas.

• Capacitância (C): é definida como sendo a variação na quantidade de líquido

armazenado necessária para causar uma variação unitária na altura de nível de

líquido.

(m) líquido de nível doaltura na variação

)(m armazenado líquido de quantidadena variação 3

=C



22

odQ

dHR =

Obs.: Note que, da mesma forma que a capacitância elétrica, a capacitância

hidráulica tem dimensões de área. Sendo assim, a capacitância de um tanque é

igual à área da seção transversal deste tanque. Observe ainda que a capacidade

(m3) e a capacitância são diferentes.

Uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída durante um

pequeno intervalo de tempo dt é igual à quantidade de líquido adicional armazenada

no tanque, temos que

( )

dh

dtqqC oi

−=

onde ( )dtqq oi − é a variação na quantidade de líquido armazenado (m3)

e dh é a variação na altura do nível de líquido (m)

Escrevendo de outra forma, temos

( )oi qqdt

dhC −= (2)

Obs.: Comparando as equações (1) e (2) podemos notar que a capacitância

do tanque realmente equivale a área de sua seção transversal.

• Resistência (R): designa a oposição imposta à passagem de um fluido por

uma válvula ou por outra restrição qualquer.

Considere o fluxo através de uma restrição colocada na saída de um tanque,

conforme mostrado na Figura 2.1. A resistência ao fluxo de líquido nesta restrição é

definida como a variação na altura de nível no tanque necessária para causar uma

variação unitária na taxa de fluxo, ou seja:

/s)(m fluxo de taxa navariação

(m) líquido de nível novariação3R =

Considerando a definição de resistência, obtém-se que



23

Neste instante, para que possamos continuar nosso estudo sobre

modelamento matemático de sistemas de nível de líquido é importante saber que na

análise de sistemas envolvendo fluxo de fluidos é necessário distinguir os regimes

de fluxo em fluxo laminar e fluxo turbulento, de acordo com o valor do número de

Reynolds. Se o número de Reynolds for maior do que 2300, então o fluxo é

turbulento. O fluxo é laminar se o número de Reynolds for menor do que 2300. O

fluxo de fluido turbulento, na maioria das vezes, tem que ser representado por

equações diferenciais não lineares, enquanto que os sistemas envolvendo fluxo

laminar podem ser representados por equações diferenciais lineares.

Desde que a relação entre a taxa de fluxo e o nível de líquido difere do fluxo

laminar para o fluxo turbulento, consideraremos ambos os casos no que se segue.

Fluxo Laminar

Considere o sistema de nível de líquido da Figura 2.1. Neste sistema, o

líquido flui através da válvula de carga colocada na saída do tanque. Se o fluxo

através desta restrição for laminar, a relação entre a taxa de fluxo e a altura do nível

de líquido no tanque é linear, conforme mostrado na Figura 2.2.

Figura 2.2 Curva da altura de nível de líquido em f unção da taxa de fluxo no regime laminar.

o

o

o



24

Uma vez que no regime de fluxo laminar a relação entre a taxa de fluxo e a

altura de nível é linear, podemos escrever esta relação da seguinte forma: KHQo =

Analisando a definição de resistência observa-se que a mesma consiste na

inclinação da reta que relaciona a taxa de fluxo e a altura de nível de líquido. Assim,

como tal inclinação é constante para qualquer ponto de equilíbrio (Q , H ), a

resistência para o fluxo laminar é constante e será denotada por Rl. Desta forma

vem que αtan====oo q

h

Q

H

dQ

dHRl

Normalmente o valor da resistência oferecida por uma restrição não é

conhecido, mas pode ser determinado medindo-se os valores de altura de nível de

líquido e da vazão de líquido na saída do tanque, estando o sistema em um ponto de

equilíbrio (Q , H ), ou seja:

Q

HR =l (3)

É importante lembrar que como a resistência no fluxo laminar é constante,

então sua determinação pode ser feita para qualquer ponto de operação (Q , H ).

Assim, tendo determinado o valor da resistência oferecida pela restrição, a relação

entre qo e h no fluxo laminar é dada por:

lR

hqo = (4)

Observe que a resistência no fluxo laminar é constante e análoga à

resistência elétrica.

Substituindo (4) em (2) tem-se

−=

lR

hq

dt

dhC i

De onde se obtém que

iqRhdt

dhCR

ll=+ (5)



25

Obtendo a Transformada de Laplace, temos:

(s) QRH(s)sH(s)CR ill=+

Se qi é considerada a entrada e h é a saída, a função de transferência do

sistema é ( )1 +=

sCR

R

(s)Q

H(s)

i l

l

Note que esta função de transferência representa um sistema de primeira

ordem cuja constante de tempo é dada por CRl

.

Fluxo Turbulento:

Conforme explicado anteriormente, no regime de fluxo turbulento existe uma

relação não linear entre a taxa de fluxo e o nível de líquido, a qual pode ser expressa

da seguinte forma: HKQo =

Observe que a relação entre a taxa de fluxo e a altura de nível de líquido é da

forma quadrática, conforme mostrado na Figura 2.3.

Figura 2.3 Curva da altura de nível de líquido em f unção da taxa de fluxo no regime turbulento.

oQ

2

=K

QH o



26

Uma vez que a resistência consiste na inclinação da reta tangente á curva

que relaciona a taxa de fluxo com o nível de líquido, pode-se observar que no fluxo

turbulento a resistência não é constante e depende do ponto de equilíbrio em torno

do qual se está operando. Sendo assim, para cada ponto de operação distinto tem-

se um valor diferente para a resistência oferecida pela restrição. Note que quanto

maior for a taxa de fluxo, maior é a inclinação da reta tangente à curva mostrada

acima, ou seja, maior é a resistência oferecida pela restrição.

Sendo assim, no modelamento matemático de um sistema de nível de líquido

com fluxo turbulento é necessário determinar a resistência apropriada para o ponto

de equilíbrio em torno do qual se deseja operar.

Se o fluxo através da restrição for turbulento, a taxa de fluxo em estado

estacionário é dada por: HKQ =

Uma vez que a resistência consiste na inclinação da reta tangente à curva de

relação entre o fluxo e o nível de líquido, a mesma pode ser obtida da seguinte

forma: o

t dQ

dHR =

Conforme visto anteriormente, no fluxo turbulento sabe-se que HKQo =

Assim, 2

2

K

QH o=

De onde se obtém que: K

H

K

Q

dQ

dH o

o

222

==

Logo, para um determinado ponto de operação HH = e QQo = tem-se que

H

QK =

e assim to

RQ

H

Q

HH

dQ

dH === 22

Portanto, o valor da resistência no fluxo turbulento para um dado ponto de

operação vale:

Q

HRt

2= (6)



27

Note que para cada ponto de equilíbrio obtém-se um valor diferente para a

resistência Rt. No entanto, se trabalhamos em torno de um ponto de equilíbrio,

mantendo pequenas as variações na altura do nível e na taxa de fluxo, nos

afastando bem pouco do ponto de equilíbrio, o valor de Rt pode ser considerado

constante, pois a reta tangente coincide com a curva real.

Em muitos casos práticos o valor do coeficiente K não é conhecido. A

resistência Rt pode ser determinada, então, construindo-se o gráfico da curva da

altura de nível como função da taxa de fluxo, baseado em dados experimentais, e

calculando-se posteriormente a inclinação da curva para o ponto de operação

desejado. Um exemplo de um gráfico deste tipo é mostrado na Figura 2.4, onde o

ponto P é o ponto de operação em estado estacionário. Observe que a linha

tangente à curva no ponto P intercepta a ordenada no ponto ( H− ). Portanto, a

inclinação desta tangente é QH2 . Uma vez que a resistência Rt no ponto de

operação P é dada por QHRt 2= , a resistência é a inclinação da curva no ponto de

operação, conforme definido anteriormente.

Figura 2.4 Curva experimental para determinação da resistência no fluxo turbulento

P

o

o



28

Considere a condição de operação na vizinhança do ponto P. Defina um

pequeno desvio na altura do nível a partir do valor de regime estacionário como h e

a correspondente pequena variação da taxa de fluxo como oq . Então, a inclinação

da curva no ponto P pode ser dada por: to

RQ

H

q

h === 2tanθ

A aproximação é válida apenas se os desvios na altura de nível e na taxa de

fluxo são pequenos, de forma que a reta tangente não difere muito da curva real.

Tendo determinado o valor da resistência, pode-se reescrever a equação (2) da

forma: t

i R

hq

dt

dhC −=

Ou ainda como:

itt qRhdt

dhCR =+ (7)

Obs.: Note que as equações (5) e (7) são idênticas, exceto pelo tipo de resistência

considerado.

Linearização da equação não linear que descreve o sistema de nível de líquido

O mesmo resultado pode ser obtido fazendo-se a linearização do modelo

matemático não linear do sistema de nível com fluxo turbulento, conforme mostrado

a seguir.

A equação geral é dada por oi QQdt

dHC −=

Mas como HKQo = , temos

HKQdt

dHC i −= (8)

Em regime estacionário tem-se HKQdt

dHC i −=

Sabe-se que no equilíbrio não há variação no nível de líquido, ou seja, que

0=dt

dH. Sabe-se ainda que QQi = . Desta forma, conclui-se que HQK = .



29

Isolando dtdH na equação (8) obtém-se ( ) HC

KQ

CHQf

dt

dHii −== 1

,

Expandindo em série de Taylor e desprezando os termos de 2a ou maior

ordem, temos )(2

)(1

___

HHHC

KQQ

Cdt

dH

dt

dHii −−−+=

Substituindo HQK = , tem-se )(2

)(1

HHHC

QQQ

Cdt

dH

dt

dHi −−−=−

Mas 0=dt

dH, QQq ii −= e HHh −=

Logo ( )

hH

Qq

dt

dhC

dt

HhdC

dt

dHC i

2

−==+=

Fazendo Q

HRt

2=

Obtém-se

ti R

hq

dt

dhC −= (9)

Podemos reescrever a equação (9) na forma itt qRhdt

dhCR =+

Obtendo então a Transformada de Laplace, temos (s) QRH(s)sH(s)CR itt =+

Se qi é considerada a entrada e h é a saída, a função de transferência do

sistema é

( )1+=

sCR

R

(s)Q

H(s)

t

t

i (10)

Note que, da mesma forma que para o fluxo laminar, esta função de

transferência representa um sistema de primeira ordem cuja constante de tempo é

dada por CRt .



30

Sistemas de Nível de Líquido com Interação

Seja o sistema de nível de líquido contendo dois tanques interligados por um

cano, conforme mostrado na Figura 2.5. Considerando que o fluxo através do cano é

laminar, a resistência ao fluxo de líquido nesta restrição é definida como a variação

na diferença de nível entre os dois tanques, necessária para causar uma variação

unitária na taxa de fluxo, ou seja:

/s)(m fluxo dena taxa variação

(m) nível dediferença na variação3

=R

Figura 2.5 Sistema de nível de líquido com dois tan ques.

Considerando a definição de resistência, apresentada acima obtém-se

R

hhq 21

1−=



31

e i

RL

C

2.8. Sistemas análogos

Sistemas que podem ser representados pelo mesmo modelo matemático,

mas que são diferentes fisicamente são chamados de sistemas análogos. O

conceito de sistemas análogos é muito útil na prática pelas seguintes razões:

a) A solução da equação diferencial que descreve o sistema físico pode ser

diretamente aplicada aos sistemas análogos em qualquer outro campo.

b) Uma vez que um tipo de sistema pode ser mais fácil de manejar

experimentalmente que outro, em vez de construir e estudar um sistema mecânico

(ou sistema hidráulico ou pneumático), podemos construir e estudar seu análogo

elétrico, pois sistemas elétricos ou eletrônicos são, em geral, mais fáceis de tratar

experimentalmente.

Esta seção apresenta analogias entre sistemas mecânicos e elétricos. O

conceito de sistemas análogos, no entanto, é aplicável a outras espécies de

sistemas, e analogias entre sistemas mecânicos, elétricos, hidráulicos, pneumáticos,

térmicos e outros podem ser estabelecidos.

Analogias mecânico-elétricas

Os sistemas mecânicos podem ser estudados pelo uso de seus análogos

elétricos, que podem ser mais facilmente construídos do que os modelos dos

correspondentes sistemas mecânicos. Há duas analogias elétricas para sistemas

mecânicos: a analogia “força-tensão” e a analogia “força-corrente”.

• Analogia Força-Tensão: considere os sistemas mecânico e elétrico mostrados

abaixo.

F

x B

k

M



32

A equação diferencial para o sistema mecânico é FKxdt

dxB

dt

xdM =++

2

2

(1)

Enquanto a equação diferencial para o sistema elétrico é ∫ =++ eidtC

Ridt

diL

1 (2)

Em termos da carga elétrica q, esta última equação torna-se eqCdt

dqR

dt

qdL =++ 1

2

2

(3)

Comparando as equações (1) e (3) verificamos que as equações diferenciais

para os dois sistemas são idênticas. Estes sistemas são denominados sistemas

análogos, e os termos que ocupam posições correspondentes nas equações

diferenciais são chamados de “grandezas analógicas”.

• Analogia Força-Corrente: considere os sistemas mecânico e elétrico

mostrados abaixo.

A equação diferencial para o sistema mecânico é FKxdt

dxB

dt

xdM =++

2

2

(1)

Considerando agora o sistema elétrico. Aplicando a lei de Kirchhoff relativa a

correntes, obtemos SCRL iiii =++ (2)

Onde dt

deCi

R

eiedt

Li CRL === ∫ ,,

1 (3)

Assim, (4)

Note que o fluxo magnético concatenado Ψ é relacionado com e pela seguinte

equação edt

d =Ψ.

Assim podemos reescrever (4) da seguinte forma: SiLdt

d

Rdt

dC =Ψ+Ψ+Ψ 11

2

2

F

x B

k

M eRL Cis

is iL iR iC

dt

deCi

R

eiedt

Li CRL === ∫ ,,

1



33

Regras utilizadas para fazer analogias mecânico-elétricas

1- Analogia Força-Tensão: A cada ponto que se desloca no sistema mecânico, e no

qual tem-se particular interesse, corresponde uma malha-fechada no circuito

elétrico. Nestas malhas são colocados os elementos elétricos análogos aos

mecânicos, conforme tabela mostrada a seguir.

SISTEMAS MECÂNICOS SISTEMAS ELÉTRICOS

Força F (torque T) Tensão e (V)

Massa M (momento de inércia J) Indutância L

Coeficiente B de atrito viscoso Resistência R

Constante K da mola Recíproco de capacitância C1

Deslocamento x (deslocamento angular θ) Carga q

Velocidade _

x (velocidade angular _

θ ) Corrente i

2- Analogia Força-Corrente: A cada ponto que se desloca no sistema mecânico, e

no qual tem-se particular interesse, corresponde um nó no circuito elétrico análogo,

onde se ligam fontes de corrente e outros elementos análogos aos mecânicos, de

acordo com a tabela a seguir.

SISTEMAS MECÂNICOS SISTEMAS ELÉTRICOS

Força F (torque T) Corrente i

Massa M (momento de inércia J) Capacitância C

Coeficiente B de atrito viscoso Recíproco da Resistência R1

Constante K da mola Recíproco da Indutância L1

Deslocamento x (deslocamento angular θ) Enlace de fluxo magnético Ψ

Velocidade _

x (velocidade angular _

θ ) Tensão e (V)



34

Exemplo: Obtenha o sistema elétrico análogo ao sistema mecânico mostrado na

figura abaixo.

a) Usando analogia Força-Tensão

b) Usando analogia Força-Corrente

Resolução:

a) Sabemos que cada ponto que se desloca no sistema mecânico corresponde a

uma malha fechada no circuito elétrico. Teremos, portanto, duas malhas no circuito

elétrico.

Sabemos também que uma velocidade no circuito mecânico corresponde a uma

corrente no circuito elétrico. Assim, como temos interesse em determinar duas

velocidades ( 2

_

1

_

, xx ), o circuito elétrico terá duas correntes distintas (i1,i2), uma em

cada malha.

onde K

C1=

O sentido das correntes i1 e i2 é determinado analisando-se as velocidades 1

_

x

e 2

_

x . Se 2

_

1

_

xx = , então o amortecedor não sofre qualquer força. Logo, para que a

tensão no resistor seja nula quando i1 = i2, é necessário que as correntes tenham

sentidos opostos em R.

K1 K2

F x1 x2

B

M1 M2

+

-

C2C1

L2L1

Ri1 i2

Sist. Mec

Sist. Elét.

F

V

M

L

B

R

K

C1

x

q

_

x i



35

b) Da mesma forma que no item anterior, a resolução deste item pode ser feita

através da observação da existência de dois pontos onde nos interessa conhecer as

velocidades ( 1

_

x e 2

_

x ). Note, no entanto, que na analogia força-corrente, uma

velocidade é análoga a uma tensão e, desta forma, temos dois nós no circuito,

representados abaixo por V1 e V2 (dois pontos de tensão).

onde KL 1= e BR 1= .

Observe que, da mesma forma que no sistema mecânico, onde a força sobre o

amortecedor B depende das velocidades 1

_

x e 2

_

x , a corrente sobre a resistência R

depende das tensões V1 e V2.

Exercício: Obtenha a função de transferência )(

)()( 1

sV

sIsG = do circuito análogo

encontrado no item a) do exemplo anterior.

iC2

C1L2L1

RV1 V2 Sist. Mec

Sist. Elét.

F

i

M

C

B R

1

K

L1

x

Ψ

_

x

V



36

Diagrama de blocos

Um diagrama de blocos é uma representação das funções desempenhadas

por cada componente e do fluxo de sinais. As variáveis são ligadas umas às outras

através de blocos funcionais, em sentido único, indicando explicitamente uma

propriedade unilateral.

Bloco

onde Y(s)= G(s)X(s)

Ponto de soma

onde E(s)=X(s) – C(s)

Diagrama de blocos de um sistema realimentado

• Função de transferência de malha aberta (FTMA)

É a razão do sinal alimentado C(s) para o sinal de erro atuante E(s)S e é

dada por:

)()()(

)(sHsG

sE

sCFTMA ==

Pois )()()( sYsHsC = e )()()( sEsGsY =

Logo )()()()( sEsGsHsC =

G(s) X(s) Y(s) X(s) E(s)

C(s)

+ –

+-

X(s) E(s) Y(s)

C(s)

G(s)

H(s)



37

• Função de transferência de malha fechada (FTMF)

É a razão do sinal de saída Y(s) para o sinal de entrada X(s) e é obtida da

seguinte forma: )(

)(

sX

sYFTMA=

onde )()()( sEsGsY = mas )()()( sCsXsE −= e )()()( sYsHsC = .

Assim )()()()( sYsHsXsE −= e [ ] )()()()(1)(

)()()()()()(

sXsGsHsGsY

sYsHsGsXsGsY

=+−=

e então )()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sX

sY

+=

• Sistema realimentado sujeito a uma perturbação (distúrbio)

A figura abaixo mostra o diagrama de blocos de um sistema de malha

fechada sujeito a uma perturbação P(s).

Considerando que o sistema é linear, e que possui duas entradas X(s) e P(s),

podemos aplicar o princípio da Superposição para a saída Y(s) da seguinte forma:

(i) Examinando o efeito da perturbação P(s)→ X(s)=0

Redesenhando o diagrama de blocos, temos

)()()(1

)(

)(

)(

21

21

sHsGsG

sG

sP

sY

+=

+-

X(s) E(s) Y(s)

P(s)

G (s)2

H(s)

G (s)1 ++

Y (s)1P(s)G (s)2

H(s)G (s)1

+-



38

+-

X(s) Y (s)2G (s)2

H(s)

G (s)1

(ii) Examinando o efeito da entrada X(s) → P(s)=0

Redesenhando o diagrama de blocos, temos

)()()(1

)()(

)(

)(

21

212

sHsGsG

sGsG

sX

sY

+=

(iii) Resposta devido à aplicação simultânea das duas entradas

)()()()(1

)()()(

)()()(1

)()()()(

21

21

21

221 sX

sHsGsG

sGsGsP

sHsGsG

sGsYsYsY

++

+==

[ ])()()()()()(1

)()( 1

21

2 sPsXsGsHsGsG

sGsY +

+=

Procedimentos para construção de diagramas de blocos

1- Escrever as equações que descrevem o comportamento dinâmico de cada

elemento (resistor, capacitor, mola, massa,...);

2- Obter as transformadas de Laplace das equações admitindo condições iniciais

nulas;

3- Representar cada equação transformada por Laplace individualmente em

forma de blocos;

4- Montar elementos em um diagrama de blocos completo.



39

Exemplo 1: Representar o circuito mostrado na figura abaixo usando diagrama de

blocos.

Resistor Capacitor

1- )()()( tetRite oi += 1- ∫=t

o dttiC

te0

)(1

)(

2- R

sEsEsI oi

1)]()([)( −= 2- )(

1)( sI

sCsEo =

3- 3-

4-

sRCsHsG

sG

sE

sE

i

o

+=

+=

1

1

)()(1

)(

)(

)(

Exemplo 2: Obtenha uma representação em diagrama de blocos para o sistema

abaixo.

- Equações no tempo:

(a) [ ] 0)()(1

)()( 211

11 =−++− ∫ dttitiC

tiRtei

(b) [ ] 0)(1

)()()(1

22

22121

=++− ∫∫ dttiC

tiRdttitiC

(c) )()(1

22

tedttiC o=∫

i

+

-

+

-

C

R

ei eo

+-E(s)i

E (s)o

I(s)

R

1 E (s)oI(s)sC

1

+-E(s)i E (s)o

sRC

1

ei eo

+

-

+

-

i2i1

R2

C2C1

R1



40

- Equações na freqüência (aplicando Laplace):

(a) 0)(1

)(1

)()( 21

11

11 =−++− sIsC

sIsC

sIRsEi

(b) 0)(1

)()(1

)(1

22

2211

21

=++− sIsC

sIRsIsC

sIsC

(c) )()(1

22

sEsIsC o=

- Agrupando os termos (sem eliminar qualquer variável):

(a)

+

+= )(

1)(

1)( 2

111

11 sI

sCsE

RsC

sCsI i

(b) )()( 121221

22 sI

CCRCsC

CsI

++=

(c) )(

1)( 2

2

sIsC

sEo =

Exemplo 3: Obtenha uma representação do diagrama de blocos para o sistema

elétrico abaixo:

I1++

E(s)i E (s)oI2

11

1

1 RsC

sC

+ 21221

2

CCRCsC

C

++2

1

sC

1

1

sC

ei eo

+

-

+

-

i2i1

R2

C2C1

R1 ea

Ea

+-

I1+-

E(s)i E (s)oI2

++

1

1R

1sC 2R

2

1sC

( )

2

112211

222

2

11

1)(

)()()()()(1

)(

)()()()()(

)(

)()()(

sCsE

sEsCsIsIsIsIsC

sE

sEsIRsER

sEsEsI

R

sEsEsI

o

aa

oaoa

ai

=

−=⇒−=

+=⇒−=

−=



41

T w

J

B

ei eo

R2

R1

L2L1

C2

C1

Exercícios: Obtenha uma representação em diagramas de blocos para os sistemas

mostrados abaixo.

a) b)

Onde F é a entrada e x a saída. Onde F é a entrada e x a saída.

c)

Onde T é a entrada e w a saída.

d) e)

Onde ei é a entrada e eo a saída

Onde xi é a entrada e xo a saída.

b1

b2

xi

x0

y

K1

K2

m

F

x

K

b

K1

K2

B

F x



42



43

Um diagrama de blocos complicado, envolvendo muitas malhas de

realimentação, pode ser simplificado por um rearranjo passo a passo, usando as

regras de álgebra de diagrama de blocos.

Na simplificação de um diagrama de blocos deve-se lembrar que:

1- O produto das F.T. no sentido direto deve permanecer o mesmo.

2- O produto das F.T. ao redor de um laço deve permanecer o mesmo.

Procedimento para a redução de diagramas de blocos

Passo 1: Combine todos os blocos em cascata usando a transformação 4.

Passo 2: Combine todos os blocos em paralelo usando a transformação 5.

Passo 3: Elimine todas as malhas de retroação secundárias usando a transformação

13.

Passo 4: Desloque os pontos de soma para a esquerda e os pontos de junção para

a direita das malhas principais usando as transformações 6, 9 e 10.

Passo 5: Repita os passos de 1 a 4 até que a forma canônica seja obtida.

As transformações 1, 2, 3, 7, 8, 11 e 12 são algumas vezes úteis e a

experiência com a técnica de redução determinará suas aplicações.

Exercício: Simplifique o diagrama de blocos mostrado abaixo.

X(s)G2

Y(s)+

-+- ++ G3G1

H1

H2



44

G2 ++

G3

G +G2 3

G G1 4 ++

H1

141

41

1 HGG

GG

−

+-

H2

G +G2 3

141

41

1 HGG

GG

−

X+-

H2

Y

141

3241

1

)(

HGG

GGGG

−+

G1 G4 G G1 4

Exemplo 1: Reduza o seguinte diagrama de blocos à forma canônica.

X(s)G2

Y(s)+++- ++

G3

G1

H1

H2

G4

Passo 1:

Passo 2:

Passo 3:

Passo 4: não se aplica

Passo 5: repetição do passo 1



45

Exemplo 2: Reduza o seguinte diagrama de blocos à forma canônica.

X(s)+- + - K

S

0,1

Y(s)

X(s)+- + -

S

0,1

Y(s)

X(s)+-

0,1

Y(s)

)1,01()1(

1,01)1(1)1(

1,01

1)1(

)()(1

)(

KsK

KFTMF

KsK

K

sK

KsK

K

FTMF

sHsG

sGFTMF

+++=

+++=

+++

++=

+=

Y(s)X(s)

1

1

+s

1+s

K

1)1( ++ sK

K

)1,01()1( KsK

K

+++

Forma canônica



46

Exemplo 3: Reduza o diagrama de blocos seguinte a uma forma de malha aberta.

Solução: Uma vez que os passos 1, 2 e 3 não se aplicam, passamos diretamente ao

passo 4. Deslocamos então o ponto de soma “f” para depois de G1, deixando o resto

inalterado.

X +

+G1

-

H1

G2+

-

G1

Transformação 7

Em seguida, deslocamos o ponto de junção “b” além de G1.

X +

+

G1

-

G H1 1

G2+

-

Transformação 9

Redispomos os pontos de soma “f” e “g” usando a seguinte regra:

X +

+

G1

Y

-

H1

G2

H2

G4

G3+

-+

+

f g h a

f

b

c

f

d

f

f g

g a

b

c

a

b

c

1

1

G

++ +

-

Z

YX

W

++

X

W

+-

Y

Z



47

-+

G1

-

G H1 1

G2+

-

Transformação mostrada acima

Combinamos, então, os blocos em paralelo na malha de retroação:

G1

+

G H1 1

G2+

-

Transformação 5

H2

Combinamos os blocos em cascata:

G1

+

G2+

-

Transformação 4

H2

Eliminamos a malha de retroação mais interna,

G1+

-

Transformação 13

H2

G4

G3

+

+X Y

f

g g

g

g h

g a c

c

a

c

d

1

1

G

1

11

G−

111

11 HG

G

−

12121

2

1 HGHGG

G

+−



48

Combinando os blocos em cascata e eliminando a malha de retroação em H2:

G1

Transformação 4 e 13

G4

+

+X Y

Finalmente, as transformações 4 e 5 nos dão:

Transformação 4 e 5

X Y

h a

23212121

32

1 HGGHGHGG

GG

++−

23212121

243214214214321

1 HGGHGHGG

HGGGHGGHGGGGGGG

++−++−+

modelamento matemÁtico de sistemas ... - … · capÍtulo 2 – modelamento matemÁtico de...

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