funções parte i

Conceitos IniciaisConceitos Iniciais

PAR ORDENADO – conceito primitivoPAR ORDENADO – conceito primitivo

P(x,y) – ponto no plano cartesianoP(x,y) – ponto no plano cartesiano

Abscissa Ordenada

P(x,y)

P (x,0)

P (0,y)

x

y

FUNÇÃO FUNÇÃO DEFINIÇÃODEFINIÇÃOSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quando em B, essa relação será chamada de função quando para para todotodo e qualquer elemento de A estiver associado a e qualquer elemento de A estiver associado a um únicoum único elemento em B.elemento em B.

A relação binária h = {(x;y)| y < x}A relação binária h = {(x;y)| y < x}

xy

A B2

4

1

3

5

h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}

A relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}A relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}

3xy

2

4

1

3

5

g: {(2;5)}g: {(2;5)}

A B

NÃO É FUNÇÃONÃO É FUNÇÃO NÃO É FUNÇÃONÃO É FUNÇÃO

c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}

1xy

A B2

4

1

3

5

f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}

f é uma função de A em B, pois f é uma função de A em B, pois todotodo elemento de A está associado a elemento de A está associado a um únicoum único elemento em Belemento em B

ELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: A ELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: A B B

DOMÍNIO: A = {2, 4}DOMÍNIO: A = {2, 4}CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5}CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}

Não é função

CONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃO CONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃO

Considere a função f: A Considere a função f: A B definida por y = 3x + 2, pode-se B definida por y = 3x + 2, pode-se afirmar que o conjunto imagem de f é:afirmar que o conjunto imagem de f é:

23 xy

A B 23 xy521.3 y

1

2

3

58

11

15

17

822.3 y1123.3 y

23)( xxf

5)1( f

8)2( f

11)3( f

}11,8,5{)Im( f

GRÁFICO DA FUNÇÃO f: A GRÁFICO DA FUNÇÃO f: A B definida por y = 3x + 2 B definida por y = 3x + 2

Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}

1 2 3

11

8

5

x

y

1 2 3

11

8

5

x

y

GRÁFICO DA FUNÇÃO f: GRÁFICO DA FUNÇÃO f: definida por y = 3x + 2 definida por y = 3x + 2

Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. O domínio da função f é {x R | - 3 x 3} 02. A imagem da função f é {y R | - 2 y 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio

VV

(3,3) ou f(3) = 3

(0,2) ou f(0) = 2

(-3,2) ou f(-3) = 2

VVFF

APLICAÇÕES: y =f(x)APLICAÇÕES: y =f(x)

02) Dado que f(1) = 2 e, para todo x, f(x) = 5 f(x – 1), obtenha:

a) f(2)b) f(3)c) f(0)d) f(– 1)

Resposta: 220000 bea

Resposta: 12

y = f(x) = ax + b

a > 0

yD = Im =

FUNÇÃO CRESCENTE

(0, b)

x

y

(0, b)

x

FUNÇÃO DECRESCENTEa < 0

Raiz ou zero da funçãoy = 0

y = x – 2

y

(0, -2)

x2 3

1

4

2

5

3

y = 3x – 6

y

(0, -6)

x2 3

3

4

6

5

9

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO

Δx

Δya

Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).

f(3) = 5

f(-1) = -3

(3, 5)

(-1, -3)

y = ax + b

5 = a(3) + b

-3 = a(-1) + b

3- b a-

5 b 3a

a = 2 b = - 1

f(x) = ax + b

f(x) = 2x – 1

Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15

O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:

x(anos)

y(reais)

0 5

160

800

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,800)

P2(5,160)

800 = a.0 + b

b = 800

160 = a. 5 + 800

-640 = 5a

a = -128

f(x) = a.x+ bf(x) = -128.x+ 800

f(3) = -128.3+ 800 f(3) = 416f(3) = 416

Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00

A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.

C(reais)

x(quilogramas)

0 20

80

180

Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será?


f(x) = a.x+ b

P1(0,80)

P2(20,180)

80 = a.0 + b

b = 80

180 = a. 20 + 80

20a = 100

a = 5

f(x) = a.x+ b

f(x) = 5.x+ 80

f(1) = 5.1+ 80 f(1) = 85 f(1) = 85

R$ 85 100%

R$102 x

x = 120%

LUCRO DE 20%

Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar:

x(anos)

y(reais)

0 6

500

860


f(x) = a.x+ b

A(0,860)

B(6,500)

860 = a.0 + b

b = 860

500 = a. 6 + 860

-360 = 6a

a = -60f(x) = a.x+ bf(x) = -60.x+ 860

a) f(3) = -60.3+ 860 f(3) = 680

A

B

F

b) f(9) = -60.9+ 860 f(9) = 320

F

c) f(7) = -60.7+ 860 f(7) = 440

F

d) - 60x + 860 < 200 -60x < -660 x > 11anos

F

e) f(13) = -60.13+ 860 f(13) = 440 f(13) = 80

V

Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é

ml

temperatura0 100

20

270


f(x) = a.x+ b

P1(0,20)

P2(100,270)

20 = a.0 + b

b = 20

270 = a. 100 + 20

100a = 250

a = 2,5

f(x) = a.x+ bf(x) = 2,5.x+ 20

y = 2,5x + 20112,5 = 2,5x + 20

92,5=2,5x

37°C = x


y = f(x) = a.x+ b

GRÁFICO PASSA PELA ORIGEM

y = a.x

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR

y = a.x

50 = a.40 a = 5/4

xy

xay

.4

5

.

xg

x

24

.4

530

EXTRAS01)

02)

RESPOSTA:

RESPOSTA: 0,2

y = f(x) = ax2 + bx + c

Vértice

(0,c)

xV

yV

x1 x2

Vértice

(0,c)

xV

yV

x1 x2

y

x x

y

a > 0 a < 0

Raízes : xRaízes : x11 e x e x22

ax2 + bx + c = 0 2 4V V

bx e y

a a

Após o lançamento de um projétil, sua altura h, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada por h(t) = – t2 + 20t. Em relação a este lançamento, analise as afirmações a seguir.

l. A altura máxima atingida pelo projétil foi de 10m.ll. O projétil atingiu a altura máxima quando t=10s.lll. A altura do projétil é representada por uma função polinomial quadrática cujo domínio é [0,20].lV. Quando t = 11, o projétil ainda não atingiu sua altura máxima.Todas as afirmações corretas estão em:

a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III – IV

ACAFE - 2010 PUC – PR - 2010O lucro de uma determinada empresa é dado pela lei L(x) = - L(x) = - xx22 + 8 + 8x x - 7- 7, em que x é a quantidade vendida (em milhares de unidades) e L é o lucro (em reais). A quantidade que se deve vender para que o lucro seja máximo bem como o valor desse lucro são, respectivamente:

A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00

UFSC - 2009

Se o lucro de uma empresa é dado por L(x) = 4(3 – x)(x – 2), onde x é a quantidade vendida, então o lucro da empresa é máximo quando x é igual a:

UFSC - 2013

O lucro, em reais, para a comercialização de x unidades de um determinado produto é dado por L(x) = - 1120 + 148x – x2. Então, para que se tenha lucro máximo, deve-se vender quantos produtos?

UFSC - 2005Tem-se uma folha de cartolina com forma retangular, cujos lados medem 56cm e 32cm e deseja-se cortar as quinas, conforme ilustração a seguir. Quanto deve medir x, em centímetros, para que a área da região hachurada seja a maior possível?

GABARITO: 11

As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor máximo da área em cmmáximo da área em cm22 , que esse retângulo pode assumir. , que esse retângulo pode assumir.

Vértice

5/2

yV

0 5

2x

10 – 2x

A = base x altura

A = 2x . (10 – 2x)

A(x) = – 4x2 + 20x

a = - 4 b = 20 c = 0

RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO

0 = – 4x2 + 20xx2 - 5x = 0x1 = 0 x2 = 5

Área

Área Máxima é o yv

A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2)

A(5/2) = 25cm2

RESUMO GRÁFICO

> 0

x1 x2

x1 x2

y

x

= 0

x1 = x2

x1 = x2x

y

< 0

x1, x2 R

x

y

04)

GABARITO: 1/2

05)

GABARITO: E

06)

GABARITO: E

Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima?

EXERCÍCIOS EXTRAS

01)

GABARITO: A

EXERCÍCIOS EXTRAS

02)

GABARITO: 09

funções parte i

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