matemática - resumos vestibular - funções i

8/14/2019 Matemtica - Resumos Vestibular - Funes I

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Entendendo as funesDefinies

CaractersticasRepresentao

Exerccios Resolvidos

Atendendo a muitos pedidos segue um resumo que preparei sobre "funo", tentandoexplicar como importante conhecer este conceito e saber trabalhar com as funes nosdiversos temas da matemtica.

Sejam algumas definies essenciais

Antes vamos entender o conceito de "relao". Dizemos que existe uma relao entreduas coisas quando existe um elo de ligao, uma correspondncia, uma vinculao

entre elas. Por exemplo:A)uma colheita e o nvel de chuvas numa regio,B)a temperatura e o volume de vendas de roupas pesadas numa cidade,C)a dosagem de um remdio e a cura de uma doenaUsando a representao de conjuntos podemos visualizar estes exemplos maisfacilmente. Dentro de cada conjunto podemos apresentar seus elementos (valores) eassoci-los na relao. Assim, temos:

A)Colheita: tonelada Precipitao 1000 litros

B)Temperatura : C Volume de Vendas : R$


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C)Dosagem do remdio : mcg % de melhora

Observe que do conjunto origem partem os elos de ligao ao conjunto destino. Assim,podemos ter as seguintes situaes:

a)todos os elementos da origem tem um e somente um correspondente no destino.

b)existem elementos da origem sem correspondente no destino

c)existem elementos no destino sem correspondente na origem


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d)existem elementos da origem com mais de um correspondente no destino

e)existem elementos do destino com mais de um correspondente na origem

Com esta noo de "relao" em mente e, particularmente, evidenciando as situaesacima ilustradas, podemos definir o que vem a ser uma "funo".Entre as vrias definies de funo encontradas no Dicionrio Aurlio, destaco:"...correspondncia entre dois ou mais conjuntos". Porm, matematicamente falando,para termos uma funo no basta haver a relao (correspondncia) entre os elementosdos conjuntos. necessrio que:1)todos os elementos da origem tenham correspondente no destino2)existe apenas um elemento no destino para cada elemento na origemAssim, nos tens citados anteriormente somente as letras b e d no so funes, pois emb sobram elementos na origem (fere a condio 1) e em d existem dois elemntos nodestino correspondentes ao mesmo elemento na origem (fere a condio 2).

Por outro lado, os demais tens (a,c,e) so funes porque atendem as condies 1 e 2.


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Agora, que j sabemos o que funo, vamos avanar em algumas definiescomplementares para o estudo das funes.

Definies complementares

a) Contradomnio o conjunto dos elementos do destino

b) Domnio o conjunto dos elementos da origem

c) Imagem o conjunto dos elementos do destino ligados pela funo

Exemplificando, temos:

Domnio: A = {1,3,4,5}Contradomnio: B = {2,5,6,8,10}Imagem: I = {2,6,8,10}Com base nessas definies podemos representar as funes de forma genrica.Representemos cada elemento do domnio pela letra x (varivel independente) e cadaelemento da imagem pela letra y (varivel dependente). Assim, representariamos afuno genricamente como y=f(x) onde f indicada por f: A -> B (A aplicado em B).Graficamente temos:

Se o os conjuntos A e B (origem e destino) so subconjuntos de |R (numeros reais) asfunes recebem o nome de funes reais.ExemploSe f: |R -> |R e f(x) = x2 + 1, calcule o conjunto imagem do domnio definido por A ={1,2,5}.Neste caso, a origem (domnio) e o destino (contradomnio) so os nmeros reais e cada


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elemento da origem est ligado ao elemento do destino pela expresso (funo) x 2 + 1,logo o conjunto imagem ser I= {2,5,26}, j que:y1 = f(1) = 1 + 1 = 2y2 = f(2) = 4 + 1 = 5y3 = f(5) = 25 + 1 = 26

Caractersticas particulares

As funes apresentam certas particularidades que precisam ser conhecidas. Assimtemos:

a) Funo parUma funo f: A -> B par se para cada x pertencente a A temos f(x) = f(-x)Exemplo:f(x) = x2 par, pois:

f(x) = x2 e f(-x) = (-x)2 = x2Logo, f(x) = f(-x), portanto f(x) par

b) Funo mparUma funo f: A -> B mpar se para cada x pertencente a A, temos f(-x) = - f(x)Exemplof(x) = x3f(-x) = (-x)3= -x3Logo, f(-x) = -f(x), portanto f(x) mpar

c) Funo sobrejetoraQuando o contradomnio e a imagem de uma funo so iguais, chamamos esta funode sobrejetoraExemplo

Como o conjunto imagem e o contradomnio so o mesmo conjunto {3,5,7}, ento f(x) sobrejetora, isto , todos os elementos do contadomnio tem correspondente nodomnio.

d) Funo injetoraQuando os elementos da imagem possuem um nico elemento do domnio, chamamosesta funo de injetora.

Exemplo:


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Como os elementos da imagem {3,5,7} esto ligados a apenas um elemento do domnio{1,3,5}, ento f(x) injetora

e) Funo bijetoraQuando uma funo ao mesmo tempo sobrejetora e injetora chamamos esta funo debijetora.Exemplo:

Como os elementos do contradominio {6,8,10} so os mesmos da imagem e s existeum nico elo de ligao entre esses elementos, ento f(x) sobrejetora e injetora, logo bijetora.

f) Funo inversa

Sendo f:A -> B uma funo bijetora, chama-se funo inversa de f, a funo f-1: B -> Atal que se (a,b) pertence a f ento (b,a) pertence a f-1ExemploSe o consumo de combustivel uma funo da distancia percorrida a distanciapercorrida uma funo inversa do consumo de combustivel.Ento se:


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Logo

Observao:S pode existir a funo f-1(x) se f(x) for bijetora.Na realidade o que acontece na funo inversa f-1(x) a troca da imagem de f(x) peloseu domnio. Assim, dada uma funo y=f(x) o que devemos fazer para obter a suainversa ( somente se esta for bijetora, claro) o seguinte:1 ) trocamos x por y e y por x2 ) isolamos o yExemplo:Seja y=f(x)=3x + 2Ento:1 ) trocamos x por y: x = 3y + 22 ) isolamos y : 3y = x - 2, ou seja y = (x-2) / 3logo, a funo inversa de f(x) = 3x + 2 f -1(x) = (x-2) / 3Se verificarmos veremos, por exemplo, que:f(1) = 3.1 + 2 = 5, que nos d o par ordenado (1,5)Se fizermos f-1 (5) = (5 - 2) / 3 = 1, que nos d o par (5,1)Comparando os pares ordenados verificamos a troca de y(imagem) pelo x(dominio)

Funo Composta

Quando estabelecemos uma funo f(x) entre dois conjuntos e verificamos existir umanova funo g(x) entre o conjunto imagem da funo anterior e um novo conjunto,


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chamamos de funo composta aquela que liga diretamente os elementos do primeiroconjunto com este ltimo.Exemplo:

Definindo:Dado f: A -> B e g: B -> C, chama-se de funo composta de g e f a funo de A -> Cdefinida por g(f(x)) para todo x pertencente a A, e representa-se por:g(f(x)) = (g o f) (x)Exemplo:Seja f(x) = 300 + 10x e g(x) = (x - 100) / 5Ento (g o f) (x) ser g(f(x)), ou seja:g(f(x)) = [(300 + 10x) - 100] / 5g(f(x)) = (200 + 10x) / 5 = 40 + 2xEnto : (g o f) (x) = 40 + 2xIsto quer dizer que com esta nova funo h(x) = 40 + 2x podemos atingir o ltimoconjunto diretamente sem passar pelo segundo conjunto, conforme ilustrao a seguir:

Representao no Sistema Cartesiano Ortogonal


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A forma intuitiva do aprendizado das funes atravs da representao de conjuntos trocada, na prtica, pelo Sistema Cartesiano, onde colocamos o domnio no eixo do x eo contradomnio (onde estaro as imagens) no eixo do y.Desta forma podemos visualizar melhor os pares ordenados (x,y) e o comportamentodas funes que se deseja estudar.

Assim temos:

Desta forma, inclusive, fica fcil identificar se determinada relao uma funo ouno.Exemplo:

Conforme verificamos no grfico, no se trata de uma funo ,j que de um elemento dodomnio parte mais de um elo de ligao no contradomnio.

Comportamento de uma funo

Analisando o grfico de uma funo nos eixos cartesianos podemos observar detalhesimportante como:

a) Raiz ou zero de uma funoOs pontos onde o grfico da funo corta o eixo do x so chamados de razes da funoe pelo fato de suas ordenadas serem nulas d-se, tambm, o nome de zeros da funo.

Exemplo:


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Os pontos 1 e 5 so os zeros ou razes da funo f(x).

b) Sinal de uma funoA funo dita positiva (f(x) > 0 ) em todos os pontos acima do eixo do x e negativa(f(x) < 0 ) em todos os pontos abaixo do eixo do x.Exemplo:

Nos pontos 'a esquerda de 1 e 'a direita de 5, f(x) positiva (+) e entre os pontos 1 e 5 negativa (-).

c)Funo crescente e decrescenteSe num determinado intervalo ao aumento de x acarreta o aumento de y a funo dita

crescente. Se, por outro lado, o aumento de x provoca o decrscimo de y, ento a funo dita decrescente.Exemplo:

No intervalo entre os pontos 0 e 2 f(x) decrescente. j entre os pontos 2 e 4 ela crescente.

Exerccios Resolvidos

1) Dado A = {-2, 0, 1, 2, 7} e a funo f : A -> |R onde f(x) = 2x -1, pergunta-se:a) Qual o domnio de f?

b) Qual a imagem de f?c) Qual o valor de h=[ f(-2) + 4f(0) ] / [f(1) - f(7) ] ?


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Resolvendo:a) D = A = {-2,0,1,2,7}b) Como f(x) = 2x -1, o conjunto imagem ter os elementos:f(-2) = 2. -2 - 1 = -5

f(0) = 2. 0 - 1 = -1f(1) = 2. 1 - 1 = 1f(2) = 2. 2 - 1 = 3f(7) = 2. 7 - 1 = 13Ento:I = {-5,-1,1,3,13}c) Se f(-2) = -5, f(0) = -1, f(1) = 1 e f(7) = 13, ento:h = [ -5 + 4.(-1) ] / [1 - 13] = -9 / -12 = 3/4

2) Dados:A = { x pertence a |N | x < 7 } e b = { x pertence a |N | x par }

a funo f : A -> B onde f(x) = 2xQual o domnio e a imagem de f ?

Resolvendo:O domnio de f o prprio A= {0,1,2,3,4,5,6}Aplicando a funo f(x) = 2x no domnio A , temos os elementos:f(0) = 0, f(1) = 2, f(3) = 6, f(4) = 8, f(5) = 10. f(6) = 12logo, a imagem de f dada pelo conjunto I = {0,2,4,6,8,10,12}

3) Obtenha o elemento da funo f: |R -> |R onde f(x) = {2x +1 ) / 5 cuja imagem igual a 3.

Resolvendo:Como y = f(x) e sabemos o valor da imagem (y, no caso), ento basta calcularmos:3 = (2x + 1) / 5 ou seja 15 = 2x + 1, ou ainda 2x = 14 , logo x = 7

4) Na figura a seguir a rea y da regio azulada uma funo de x

Determine:a) a rea y = f(x)b) a rea quando x = 3 cmc) o valor de x para uma rea de 64cm2

Resolvendo:


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a) a rea nada mais do que o valor da rea sem o deslocamento de x, menos a reaproduzida pelo seu (de x) deslocamento.Ento:y = 96 - (12-x).(8-x), que simplificando nos d y = 20x - x2b) para x = 3, temos f(3) = 20.3 - 9 = 51

c) Se y = 64, ento 64 = 20x - x2

Resolvendo a equao temos duas razes (16 e 4) onde somente x = 4 atende aoproblema.

5) Dado h(x) = (x2 + 1 ) 1/2, calcule a sua inversa

Resolvendo :1) trocando x por y, temos : x = (y2 + 1)1/22) isolando y. temos : x2 = y2 + 1y2 = x2 - 1, logo y = (x2 - 1) 1/2Ento h-1(x) = (x2 - 1) 1/2

6) Sendo f(x) = x2 - 1, calcule (f o f-1) (x)

Resolvendo:Se y = f(x) = x2 - 1, para calcular f-1(x), temos:x=y2 - 1 ou y2 = x + 1 logo y = (x + 1)1/2Ento (f o f-1) (x) = f ( f-1(x)) = [ ((x+1)1/2)2 - 1 ] = x + 1 - 1 = x

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