funções - parte 2

Funções - parte 2

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Curso: CDI1 - Câmpus AP, CM, CP, CT, DV, MD, PB, PG e TD

Livro: Funções - parte 2

Impresso por: LAURO SCHAFHAUSER FILHO

Data: domingo, 20 março 2016, 14:57

Funções - parte 2 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=4833

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Sumário

2.15 Função Exponencial

2.16 Função Logarítmica

2.17 Funções Trigonométricas

2.18 Função Cotangente

2.19 Função Inversa

2.20 Funções Hiperbólicas


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2.15 Função Exponencial

'Chamamos de função exponencial de base a função de em que associa a cada real o número real ,

sendo um número real, e

O domínio da função exponencial é .

A imagem da função exponencial é

Com relação ao gráfico da função podemos afirmar:

1) a curva que a representa está toda acima do eixo das abscissas, pois para todo ;

2) intercepta o eixo das ordenadas no ponto , pois para todo ;

3) é crescente se e decrescente se

As Figuras 2.55 e 2.56 abaixo mostram os dois tipos de gráfico que podemos ter para :

com

Figura 2.55: Gráfico de para

com



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2_12_FuncaoExponencial.flv

Exemplo 1:Esboce o gráfico da função

Solução:

é uma função exponencial crescente, pois .

Para construir seu gráfico, montamos uma tabela, atribuímos valores positivos e negativos para e calculamos o

valor da função:

Figura 2.57: Gráfico de

Exemplo 2: Esboce o gráfico da função

Solução:

é uma função exponencial decrescente, pois .

Para construir seu gráfico, procedemos como no exemplo anterior:


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Figura 2.58: Gráfico de

Exemplo 3: Para analisar o efeito de um remédio no extermínio de determinada bactéria, cientistas fizeramexperimentos expondo uma população dessa bactéria ao remédio e verificando o tempo necessário para o seuextermínio. Ao final, verificou-se que a população de bactérias dias após a exposição ao remédio poderia ser

estimada por meio da função . Dois dias após a exposição ao remédio a população debactéria reduziu-se a quantos por cento da população inicial? (SOUZA, 2010)

Solução:

Para calcularmos a porcentagem da redução na população de bactérias, precisamos primeiro saber qual a

quantidade inicial de bactérias na população, para isso, basta substituirmos na função

Agora, calculamos a quantidade de bactérias após 2 dias de exposição ao remédio, para isso, substituímos na

função

Agora, utilizamos regra de três para descobrir a que porcentagem a população de bactérias ficou reduzida

está para

está para

assim

Portanto, após 2 dias o número de bactérias reduziu-se a 6,25% da população de bactérias inicial.


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Exemplo 4: Considerando as funções e , verifique através do gráfico qual funçãocrescerá mais rapidamente quando for grande.

Solução:

Para compararmos as funções e devemos construir seus respectivos gráficos no mesmo sistema cartesiano,

atribuindo alguns valores

Figura 2.59. Gráfico das funções e .

Observamos então que para valores de maiores que 4 o gráfico da função fica acima do gráfico

da função . Para , acontece o contrário, o gráfico de fica acima do

gráfico de .

Logo a função exponencial , para valores de maiores que , cresce mais rapidamente que a função potência

.


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Exemplo 5: Dada a função , determine:

a) o esboço do gráfico de

b) o conjunto imagem de Solução:a) Vamos montar a tabela auxiliar para a obtenção de pontos. Lembre-se da necessidade de atribuirmos tambémvalores negativos para !Ponto correspondente do plano cartesiano

Figura 2.60: Representação gráfica da função

b) Para determinar o conjunto imagem, note que o gráfico está completamente acima da reta , logo,

podemos dizer que

APLICAÇÃO:Modelo de Crescimento exponencial: Sempre que existir uma grandeza com valor inicial e que cresça a umataxa igual a por unidade de tempo, então, após um tempo , medido na mesma unidade de , o valor dessa

grandeza será dado por: . Quando o crescimento é positivo e quando ocrescimento é negativo (tem um decrescimento).

Reconhecemos que um conjunto de dados tem crescimento exponencial se ao dividirmos o valor da variáveldependente pelo valor da variável dependente imediatamente anterior, , obtemos uma razãoaproximadamente constante. Essa constante é o valor de no modelo de crescimento exponencial.

Exemplo 6: (SVIERCOSKI, 2011, p.71). Em geral, se uma substância tem uma meia-vida de unidades de tempo

(anos, horas, etc.), a quantidade da substância depois de unidades de tempo (a mesma de ), considerando


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Lauro Filho

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Lauro Filho

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cai um d estes

Lauro Filho

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a quantidade inicial, é:

Em um método de marcação utiliza-se como indicador o isótopo do potássio , cuja meia-vida é de horas.Se houver inicialmente, em quantas horas essa substância atingirá ?

Solução:

Do enunciado, temos:

(massa inicial)

(tempo para meia-vida)

(massa final) (tempo pedido no enunciado)

Substituindo esses valores em: teremos:

Usando as propriedades operatórias dos logaritmos, escrevemos:

Portanto, em aproximadamente 42 horas e 6 minutos a substância atingirá 1 g.

Na área ambiental há modelos logísticos de crescimento populacional que usam a exponenciação. Pesquise!!!


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funcao_exponencial_problema.flv


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2.16 Função Logarítmica

LogaritmoDecrescente.flv

Dado um número real , chamamos função logarítmica de base a função de em

que se associa a cada o número , isto é,

Temos e .


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Com relação ao gráfico da função onde e , podemos afirmar:

1) Está todo à direita do eixo

2) Intercepta o eixo das abscissas no ponto ;

3) é crescente se e decrescente se ;

4) É simétrico ao gráfico da função em relação à reta

As Figuras 2.61 e 2.62 abaixo mostram os dois tipos de gráfico que podemos ter para :

para


para



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Exemplo 1: Sabendo-se que a magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser expressa pela função

, na qual representa a energia liberada em quilowatts-hora, pelo terremoto, determine amagnitude de um terremoto que liberar kwh de energia. (SOUZA, 2010)

Solução:

A magnitude do terremoto pode ser obtida substituindo-se na função dada

Pois, se então e então .

Portanto, o terremoto atingiu 8 pontos na escala Richter.

Exemplo 2: Dada a função , determine o valor de para o qual .

Solução:

Primeiramente devemos verificar o domínio desta função, ou seja, a condição de existência do logaritmo

As raízes da equação de segundo grau são e , temos então a

seguinte situação

Portanto, o domínio de será dado por .

Agora, resolvemos .

Pela iguadade de logaritmo, podemos escrever


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cujas raízes são e .

Como ambos os valores pertencem ao domínio de calculado acima, concluímos que os possíveis valores de

para que são e .


a) O domínio da função ;b) o esboço do gráfico.

Solução:a) Por definição, um logaritmando deve ser sempre positivo. Assim, devemos ter: .

Logo, .

b) Para esboçarmos o gráfico da função, montamos uma tabela na qual atribuímos valores a que estejam nodomínio da função, dando especial atenção àqueles que estão nas proximidades do zero, por causa do domínio.Analisando tais pontos, podemos inferir melhor o comportamento da função nas proximidades do zero.

(* Lembre-se que esses valores são escolhidos por você, estudante!)

Agora, basta representar os pontos tabelados no plano cartesiano e traçar uma curva que passe por eles. A

representação gráfica de está na Figura 2.62:


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Figura 2.62: Representação Gráfica da função

Nem sempre as funções logarítmicas ficam à direita do eixo , no plano cartesiano. Isso depende de quem seja ologaritmando, porque é ele quem determina o domínio da função, quando a base é dada. Veja o exemplo 4.


a) O domínio da função ;b) o esboço do gráfico.

Solução:

a) Devemos ter: logaritmando . Aqui, o logaritmando é dado por . Assim,

Logo, b) Para esboçar o gráfico,vamos usar o mesmo procedimento do exemplo 3, mas agora, dando especial atenção aosvalores maiores que que estão próximos de .

Observação: quando for escolher os valores para atribuir a pense em números tais que sejam potências de ,para facilitar o cálculo do logaritmo.

A Figura 2.63 mostra a representação gráfica dessa função .


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Figura 2.63: Representação gráfica da função

grafico-da-funcao-logaritmica.flv

Exemplo 5 (UFSCar-SP): A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção demadeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático:

com em metros e em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, otempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o corte foi de:

a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2

Solução:

O enunciado nos informa que e a altura está relacionada com o tempo segundo a expressão:

Substituindo temos:

Aplicando a definição de logaritmo, temos:

logo, .Ou seja, transcorreram 8 anos desde o momento da plantação.


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2.17 Funções Trigonométricas

IntrodTrigonometricas%20.flv

Para o estudo das funções trigonométricas, vamos relembrar o conceito de Ciclo Trigonométrico.

Definição: Chamamos de Ciclo Trigonométrico toda circunferência orientada, em que: o centro é a origem do plano cartesiano; o raio é unitário, ou seja, ; o sentido positivo é o anti-horário (sentido contrário ao movimento dos ponteiros do relógio);

O ponto é a origem do ciclo trigonométrico.

Os eixos cartesianos dividem o ciclo trigonométrico em quatro quadrantes. Dizemos que um arco ,de medida , com , pertence a um dos quadrantes se a extremidade P do arco estiver emum dos quadrantes. Isto é:

1º Quadrante se e somente se




Função Seno

Seja um número real. Marcamos o ângulo com medida radianos na circunferência unitária com centro naorigem:


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Figura 2.64: Seno no círculo trigonométrico

Seja o ponto de interseção do lado terminal do ângulo , com essa circunferência.

Note que é um triângulo retângulo, no qual é a hipotenusa, que mede 1, por ser igual ao raio dacircunferência.

Por definição,

No triângulo , o cateto oposto ao ângulo é o segmento que possui a mesma medida que o segmento

. A hipotenusa é o segmento , que, como já dissemos, vale 1. Dessa forma, denominamos de amedida do segmento que é igual a ordenado do ponto em relação ao sistema

Definimos a função seno de como a função de em que a cada faz corresponder o número real

.

O domínio da função é e o conjunto imagem é o intervalo .

A função é periódica e seu período é , já que .

Em alguns intervalos é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, nos intervalos e

é crescente. Já no intervalo ela é decrescente.

Na Figura 2.65 temos o gráfico da função , denominado senóide:

Figura 2.65: Senóide

Para traçar o esboço do gráfico de montamos uma tabela usando os valores limites dos


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quadrantes do ciclo trigonométrico: . Esses valores são suficientes porque nos permite conhecero comportamento da função em uma volta completa no ciclo trigonométrico. Vamos à tabela que nos auxiliará no

esboço do gráfico da função .

Figura 2.66: Gráfico da função

Note que o comportamento da função no intervalo se repete ao longo do eixo horizontal (verifique isso

você mesmo! Use o GeoGebra (basta digitar na linha de comando e teclar enter). Por isso, dizemos

que a função seno de , , tem período radianos. .

Note, ainda, que para a função , oscila entre os números e , incluindo-os. Isso nos

dá o conjunto imagem: .

De um modo geral, o período da função é dado por

Período: radianos


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Esse procedimento vale sempre que quisermos esboçar o gráfico de uma função seno de . Agora, se o arco não forapenas , precisamos alterar um pouco esse processo. É isso que mostraremos no exemplo 1, a seguir:

Exemplo 1: Dada a função . Determine:a) o esboço do gráfico;b) o conjunto imagem;

c) o período de .

Solução:Nessa função, o arco é . Nesse caso, alteramos um pouco o procedimento anterior, para facilitar a obtençãodos pontos a serem representados no plano cartesiano. Para elaborar a tabela sem muita dificuldade, em vez deatribuirmos valores a , podemos atribuir os valores fundamentais (aqueles que separam os quadrantes:

) ao arco e, a partir deles, calcular os correspondentes valores de e de . Com isso,analisamos a função dada em uma volta completa. Veja:


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Para essa função:

Obs.: os valores de são obtidos resolvendo a equação expressão do arco = valor dadoExemplo: para , temos: . E assim sucessivamente...

Exemplo 2: Dada a função , determine:a) o esboço do gráfico;

b) o período de ;

c) o conjunto imagem de .

Solução:

Vamos montar a tabela auxiliar usando o mesmo procedimento descrito no exemplo 1.


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Figura 2.68. Gráfico da função

Na Figura 2.68, a parte em vermelho corresponde aos valores tabelados. Note que esse trecho do gráfico repete-seindefinidamente, o que o torna um período do gráfico. Para calcular sua extensão, fazemos:

Para determinar o conjunto imagem, note que os valores representados no gráfico estão sempre entre 2 e 4. Logo,

.

É importante conseguirmos determinar o período e a imagem de uma função trigonométrica sem precisarmos traçaro gráfico. Tente entender o papel de cada coeficiente, a partir da análise de alguns gráficos.

Dica: Monte uma função no GeoGebra de modo que você consiga variar os coeficientes sem precisar reescrever afunção toda. Para isso, faça o seguinte:- abra um arquivo novo no GeoGebra (se não tiver o programa, instale-o em seu computador. Está disponível nainternet);- na linha de comando escreva " "(sem as aspas). Tecle "enter". Na janela de álgebra vai aparecer essaexpressão " ". Se a bolinha ao lado do " " estiver branca, clique nela. Aparecerá uma linha na janela devisualização. Clique em " " com o botão direito. Escolha "propriedades">"Controle Deslizante". Atribuavalores mínimos e máximos para " ". Exemplo: - insira as demais incógnitas usando o mesmo procedimento: " ", " ". Estabeleça valores mínimos emáximos para cada uma dessas constantes;- insira a função. Na linha de comando digite: y=a+b*sen(kx+ ). Tecle enter.- agora, clique nas bolinhas na janela de visualização para perceber as modificações no gráfico.

Você deverá perceber que e alteram a imagem do gráfico: promove uma translação vertical e alonga ográfico verticalmente; altera o período (comprime ou alonga o gráfico horizontalmente). Somar (ou diminuir) umaconstante à variável no arco desloca o gráfico para a esquerda (ou para a direita).

Exemplo 3: Sabemos que as marés são variações periódicas que podem ser modeladas de acordo com a função

em que o coeficiente determina a variação máxima em relação ao nível médio domar. De modo geral, a água se espalha por uma grande área e sobe/desce apenas alguns centímetros, porém existemalgumas regiões, como a baía de Fun

dy, no Canadá, em que a diferença entre a maré alta e a maré baixa chega a 18 m na lua cheia.

Considerando a baía de Fundy no período da lua cheia determine a função que relaciona a altura da maré, emmetros, em função do tempo , em horas e a altura máxima atingida pela maré. (SOUZA, 2010)

Solução:


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Se na baía de Fundy, a diferença entre a maré alta e a baixa é de 18 m, então a variação máxima em relação ao

nível médio do mar é , ou seja, a função é dada por .

Para determinar a altura máxima atingida pela maré, basta observarmos que , ou seja, o

valor máximo da função é , logo

Exemplo 4: Determine as raízes da função

Solução:

Devemos encontrar os valores de para os quais

Utilizando a seguinte fórmula de transformação em produto

obtemos

Desta forma, para temos duas possibilidades:

Portanto, as raízes de são ou , para

Exemplo 5: As funções trigonométricas também são estudadas em Física. O estudo de corrente alternada é umexemplo. Observe o gráfico U x t abaixo (Figura 2.69), em que é a diferença de potencial. (XAVIER eBARRETO, 2008, p.300).

Figura 2.69: Gráfico U x t


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a) Qual o valor de quando ?b) Em que instante a diferença de potencial atinge o valor máximo?c) o meio ciclo corresponde à inversão de polaridade. Em que instante isso acontece e qual o valor de ?d) Em que instante a diferença de potencial atinge o valor mínimo?e) Quando o ciclo se completa ocorre a inversão de polaridade e se repete outro ciclo. Em que instante isto ocorree qual o valor de ?

Solução:

a) Para , .

b) O valor máximo de é atingido quando .

c)

d)

e)

Função cosseno

Seja um número real. Denominamos de a medida do segmento que é igual a abcissa doponto em relação ao sistema .


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Figura 2.70: Cosseno no círculo trigonométrico

Definimos a função cosseno como a função de em que a cada faz corresponder o número real

.

O domínio da função cosseno é e o conjunto imagem é o intervalo .

A função é periódica e seu período é , já que .

Em alguns intervalos é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, nos intervalos a

função é decrescente. Já no intervalo ela é crescente.

Na Figura 2.30 temos o gráfico da função , denominado cossenóide:

Figura 2.71: Cossenoide

Para traçar o gráfico da função usamos os mesmos procedimentos descritos para a função

.



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a) o esboço do gráfico;

b) o período da função ;

c) o conjunto imagem de .

Solução:a) para o esboço do gráfico, montamos a tabela auxiliar, usando os arcos padrões, como segue:

Agora, basta marcar os pontos no plano cartesiano. A linha em vermelho representa a parte do gráfico referente àtabela. Porém, é importante lembrar que, como o domínio da função é o conjunto dos números reais, e a tabelacontempla pontos da função dentro de uma volta no círculo, o gráfico não pode se restringir apenas ao trecho emvermelho. O gráfico dessa função está na Figura 2.72.


b) Para determinar o período da função, observamos a quantidade de radianos necessária para que a função dê umavolta completa. No gráfico, isso está representado pelo comprimento horizontal do trecho em vermelho, isto é:

Período= .c) Note que o gráfico da função está completamente inserido na faixa de amplitude vertical de [0,2]. Logo,

.

Exemplo 2: Ao longo do ano, dias e noites podem ter duração maior ou menor do que12 horas. A duração do diaem Vitória (ES), por exemplo, pode ser descrita por uma função do tipo trigonométrica:

, em que expressa a quantidade de horas de duração do dia, emfunção do número de dias passados de 21 de dezembro de 2008. Qual a duração do dia em 19/10/2008? (SOUZA,2010)

Solução:

A data 19/10/2008 corresponde a 63 dias anteriores a 21/12/2008, então, devemos substituir na

função , assim

Utilize uma calculadora para efetuar os cálculos do cosseno!


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Exemplo 3: Determine os valores de para os quais é definida a função

.

Solução:

Pela definição de logaritmo, temos duas condições a verificar:

1ª condição: pois, por definição, a base de um logaritmo deve ser positivo e diferente de 1, e

senx é limitado superiormente por 1.

2ª condição: , pois o logaritmando deve ser sempre positivo.

Para a 1ª condição: Para devemos ter .

Para a 2ª condição:Quanto a , utilizando as fórmulas de arco duplo, obtemos

E substituindo , teremos , ou seja,

Assim, a inequação referente à 2ª condição torna-se:

Que podemos reescrever da forma

Para que este produto seja positivo (maior que zero, como exige a inequação), devemos ter

• e , o que seria impossível, pois acarretaria ou

• e , o que implicaria e , resultando,portanto, em

o que seria impossível, pois acarretaria

Ou devemos ter

o que implicaria e , resultando portanto em

Das duas condições analisadas,


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Como o domínio da função deve atender todas as restrições, fazendo a interseção dessas soluções parciais,

concluímos que

.

Função Tangente

Seja um número real. A Figura 2.73 representa a do ângulo em relação ao sistema :

Figura 2.73: Tangente no círculo trigonométrico

Definimos a função tangente como a função de em que a cada faz


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corresponder o número real .

O domínio da função tangente é e o conjunto imagem é o conjunto .

O gráfico da função , é mostrado na Figura 2.74:

Figura 2.74: Gráfico da tangente


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Exemplo 1: Uma função é dita periódica se existir um número real , tal que

qualquer que seja o valor de pertencente ao domínio de . Ao menor número real positivo que verifica estapropriedade chamamos período da função, em outras palavras, as funções periódicas repetem a curva do seugráfico em intervalos de amplitude igual à do seu período.

Determine o domínio e o período da função .

Solução:

Para facilitar os cálculos, chamaremos

Sabemos que o domínio da função é dado por então devemos ter

ou seja

Observando o gráfico da função tangente, visto anteriormente, para descrever um período completo

devemos ter , ou seja, o período da função é . Da mesma forma,

para a função temos

Então,

Exemplo 2: Dada a função , determine:a) o domínio da função;b) o esboço do gráfico;c) o período da função.


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Solução:a) Para encontrar o domínio da função, usamos a restrição de que o arco não pode estar no mesmo lugar geométrico

dos arcos côngruos a e . Genericamente, devemos ter:

Expressão para o arco Então,

Logo,

Observe que as duas representações para na verdade remetem à mesma. Atribua valores diferentes para eobserve que os pontos fora do domínio são os mesmos.Para que serve o domínio mesmo?

b) O domínio serve para descobrirmos pontos que não possuem imagem pela função em análise. Para esse caso,

como os pontos de abscissas da forma não estão no domínio, na construção da tabelatemos que pensar em valores suficientemente próximos desses valores de . Para entendermos um pouco melhor,vamos construir uma tabela auxiliar, mas usando os arcos em graus. Como os arcos côngruos a 90º e 270º não

pertencem a , vamos analisar o comportamento da função perto desses valores.

Comecemos verificando o comportamento de perto de 90º. Observe a tabela:

Observe que, à medida que o valor do arco se aproxima de 90º, através de valores menores que 90º, os valores para

aumentam indefinidamente. Nesse caso, dizemos que quando o arco se aproxima de 90°, através de valoresmenores que 90°, a função tende ao infinito. Por outro lado, observe que quando valores para o arco se aproximam

de 90°, através de valores maiores que 90°, diminui indefinidamente. Nesse caso, dizemos que tende aomenos infinito, quando o arco se aproxima de 90° através de valores maiores que 90°. Voltaremos a essa noção como estudo da teoria de Limites.

Investigue você mesmo o comportamento da função tangente para valores próximos de .Você já deve ter percebido que para a função tangente não teremos pontos a serem marcados no plano cartesiano damesma forma que tínhamos para as funções seno e cosseno. Mesmo assim, podemos ter uma boa ideia do gráfico apartir das análises anteriormente descritas. Na tabela seguinte , com representa um arco próximode 90°, mas menor que 90°, enquanto 90° representa um arco próximo de 90°, mas maior que 90°. Veja:


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c) Período: (observe que o gráfico apresentado no intervalo repete-se em todo odomínio da função).

Desafio: Investigue a função tangente com o apoio do Software GeoGebra!

Figura 2.76: Lugar Geométrico da tangente no plano cartesiano


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A mesma ideia usada para o gráfico da função tangente, deve ser usada para a função

cotangente, .


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2.18 Função Cotangente


Figura 2.77: Cotangente no círculo trigonométrico

Definimos a função cotangente de como a função de em que a cada faz


O domínio da função cotangente é e o conjunto imagem é o conjunto .



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Figura 2.78: Gráfico da cotangente de

O gráfico da Figura 2.78 pode ser elaborado usando-se os mesmos procedimentos descritos no Exemplo 2 da seçãoanterior, analisando-se com maior cuidado os pontos próximos dos arcos cuja cotangente não existe, isto é, para

esboçar o gráfico devemos olhar mais atentamente para a vizinhança dos pontos da forma .

Função cossecante


Figura 2.79: Cossecante no círculo trigonométrico

Definimos a função cossecante como a função de em que a cada faz



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O domínio da função cossecante é e o conjunto imagem é o conjunto


Figura 2.80: Gráfico da função:

Na Figura 2.80, note, por exemplo, que para valores próximos de , mas à direita do zero (isto é, valores que

são maiores que zero), quanto mais próximo de zero o estiver, a imagem de , , assume um valor maior.

Nesse caso, dizemos que quando tende a zero através de valores maiores que zero, tende ao infinito. Aoobservarmos valores menores que zero, que estão à esquerda do zero, percebemos que quanto mais próximo de 0 ovalor dado a estiver, menor será a imagem correspondente. Dizemos, nesse caso, que quando tende a zero

através de valores menores que zero, a imagem tende ao menos infinito.Quando acontecem casos como o que analisamos para na Figura 2.80, dizemos que em temos uma

assíntota vertical ao gráfico de . Com o estudo de limites entenderemos isso melhor!


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Exemplo 1: Faça o gráfico e dê o domínio da função .

Solução: Inicialmente, lembremos que . Logo, a função não está definida para valores

de tais que . Assim, para determinar o domínio da função, devemos impor a condição de que o

arco da função cossecante (nesse exemplo, o arco é ) deve ser diferente dos valores tais que

. Em símbolos,

Como é uma constante, chamemos .Daí, podemos escrever que

Logo,

Para o gráfico, usamos a mesma ideia para apresentada para o gráfico da função tangente, mas agora para os arcos

côngruos a e , pois esses são os arcos de 1 volta para os quais o valor do seno é zero.Vamos lá:


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Na Figura 2.81 apresentamos o gráfico da função


Note que nas abscissas (valores de ) para as quais não existe , temos uma assíntota vertical. A linha dográfico não intercepta essas assíntotas.


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Função Secante


Figura 2. 82: Secante no círculo trigonométrico

Definimos a função secante de como a função de em que a cada faz


O domínio da função secante é e o conjunto imagem é o conjunto



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Figura 2.83: Gráfico da secante de .

Para esboçar o gráfico ou determinar o domínio da função secante, basta proceder de modo análogo ao que foi feitopara a função cossecante. O único detalhe é que, para determinar o domínio, devemos impor a restrição: expressão

do arco .


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2.19 Função Inversa

Outro tipo importante de operação que podemos fazer com funções é o cálculo da função inversa,porém, nem todas as funções admitem inversa! Vejamos a definição:

Deste modo, dizemos que é a função inversa de e escrevemos , como mostra a Figura

2.84.

Figura 2.84: Função composta

InversaSimples.flv

InversaComGrafico.flv


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funcao-inversa.flv

Vejamos os exemplos abaixo:

Exemplo 1: Calcule a inversa da função .Solução:

Como já estudamos, podemos reescrever a função da seguinte forma

Então, “trocamos a variável por e a variável por na função , ou seja

Depois, isolamos a variável na equação

Portanto, .

Vejamos agora a simetria dos gráficos de e em relação à função identidade.

Figura 2.85: e sua inversa

Exemplo 2: Calcule a inversa da função .Solução:

Reescrevemos em termos de e e trocamos as variáveis e


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Depois isolamos a variável

Portanto, .

Graficamente, obtemos


Exemplo 3: Obtenha, se existir, a inversa da função Solução:

Temos e , assim e para a inversa,

deveríamos ter .Supondo que a inversa exista, calculamos

Mas, esboçando os gráficos de e , obtemos


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Uma opção para funções deste tipo é restringirmos o seu domínio, de forma que a função inversaexista.

Vejamos, se esboçarmos apenas ou apenas , então e seriamfunções.

Logo, se restringirmos o domínio da função para

obtemos a inversa


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Ou, se restringirmos o domínio da função para obtemos a

inversa


Exemplo 4: Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretária daSaúde de um município verificaram que o custo da vacinação de por cento da população local era de,

aproximadamente, milhares de reais. Obtenha uma expressão que forneça aporcentagem da população vacinada em função do valor gasto pela Secretaria da Saúde.


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Solução:Neste problema temos em função de , queremos inverter esta relação, logo, precisamos encontrar

em função de . Para isso, usamos o conceito de função inversa visto anteriormente, obtendo:

Portanto, a função fornece a porcentagem da população vacinada.

A função não é bijetora, porém, ao restringir o domínio da função seno para o intervalo

ela se torna bijetora. Essa restrição é chamada de restrição principal e é a seguinte:

Portanto, com essa restrição, a função seno admite inversa.

A função inversa do seno é chamada arco-seno, e denotada por onde e

.

Assim definimos

Figura 2.90: Gráfico do arco-seno


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Na Figura 2.91 a seguir podemos ver os gráficos da função arco-seno e sua inversa:

Figura 2.91: Gráfico do seno e do arco-seno

A restrição principal do cosseno é a função:

que é bijetora. Logo, com essa restrição, a função cosseno admite inversa.

A função inversa do cosseno é chamada arco-cosseno, e denotada por onde

.

Assim definimos


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Figura 2.92: Gráfico do Arco-cosseno

Na figura a seguir podemos ver os gráficos da função arco-cosseno e sua inversa:

Figura 2.93: Gráficos do cosseno e do arco-cosseno.

Exemplo 1: De acordo com o Exemplo 2 da seção 2.18.2, quanto tempo após o dia o 21 de dezembrode 2008 houve um dia com duração de 12,84 horas em Vitória (ES)?Solução:

Vimos que a função , expressa a quantidade de horas deduração do dia, em função do número de dias passados de 21/12/2008 em Vitória, assim


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Utilizando a função inversa Arco-cosseno

Note que trocamos por para converter o ângulo para graus e utilizamos uma calculadora paracalcular o arco-cosseno!

Portanto, 56 dias após 21/12/2008, em 15/02/2009, a duração do dia foi de 12,84h.

A função inversa da tangente é chamada arco-tangente, e denotada por onde

.

Assim definimos

Figura 2.94: Gráfico da arco-tangente

Na figura a seguir podemos ver os gráficos da função arco-tangente e sua inversa:


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Figura 2.95: Gráficos da tangente e da arco-tangente

Da mesma forma, podemos definir as demais funções trigonométricas inversas:

A função inversa da função é a função tal que

onde e



onde e

Figura 2.97: Gráfico da arco-secante de


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onde e

Figura 2.98: Gráfico da arco-tangente

As funções trigonométricas inversas são usadas quando queremos descobrir um ângulo a partir dovalor da tangente desse ângulo, ou do cosseno do ângulo. Situações desse tipo são bastanterequeridas na Álgebra Linear. Por exemplo:

Exemplo 1: (STEINBRUCH, 1987, p.12) Calcular o ângulo entre os vetores e

.Solução:o ângulo entre os dois vetores é dado por:

onde é o produto escalar dos vetores e .

é o módulo do vetor

é o módulo do vetor Então:


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2.20 Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas são semelhantes às funções trigonométricas, porém, enquanto os gráficos dasfunções trigonométricas têm relação com a elipse, os gráficos das funções hiperbólicas têm relaçãocom a hipérbole.

Entre outras aplicações, as funções hiperbólicas surgem em movimentos vibratórios, dentro de sólidoselásticos, e mais genericamente, em muitos problemas nos quais a energia mecânica é gradualmenteabsorvida pelo meio ambiente. Este tipo de função aparece frequentemente na solução de equaçõesdiferenciais, em problemas onde é necessário encontrar a posição de equilíbrio entre dois corpos, porexemplo.

Definimos a função seno hiperbólico como a função de em que a cada faz


O domínio da função seno hiperbólico é e o conjunto imagem é também .


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Figura 2.99: Gráfico do seno hiperbólico

Definimos a função cosseno hiperbólico como a função de em que a cada faz


O domínio da função cosseno hiperbólico é e o conjunto imagem é o intervalo

Figura 2.100: Gráfico do cosseno hiperbólico

Exemplo 1: Um cabo de telefone é pendurado entre dois postes separados a 20 m, na forma de um

tipo de curva chamada catenária, de equação dada por , onde e sãomedidos em metros. Calcule a altura do cabo no ponto central entre os dois postes.


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Solução:

O ponto central entre os dois postes está localizado em metros, substituindo este valor

na função cosseno hiperbólico obtemos

Definimos a função tangente hiperbólica como a função de em que a cada faz


O domínio da função tangente hiperbólica é e o conjunto imagem é o intervalo .

Figura 2.101: Gráfico da tangente hiperbólica

A partir das funções hiperbólicas definidas acima, podemos definir as demais funções hiperbólicas:


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funções - parte 2

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