2 - derivação de funções

Análise Matemática IDerivação de funções

Joana Peres

MIEQ – 2009/2010

FEUP/MIEQ 1Joana Peres / Análise Matemática I

Definição de derivada

Recordemos que a derivada da função f(x) no ponto x = a do seu domínio é o

limite da razão incremental quando h tende para 0:h

afhaf )()( −+

hafhafaf

h

)()(lim)(0

def −+≡′

→Definição:

axafxfaf

ax −−

≡′→

)()(lim)(def


Em todos os pontos de Df onde este limite existir, fica definida uma novafunção f´(x), designada por (1ª) derivada de f(x).

Definição alternativa : axhhax −=⇔+=fazendo vem que

Interpretação geométrica da derivada

A derivada f ‘(a), quando finita, representa o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = a. A equação da recta tangente ao gráfico da função y=f(x) no ponto P de coordenadas (a,f(a)) é:

))(()( ' axafafy −+=


Isto é, se f’(a) existe )()(lim afxfax

=⇒→

ObservaçãoDerivabilidade implica continuidade, no entanto, continuidade não implica derivabilidade Por exemplo a função |x| é contínua em x = 0

Relação entre derivabilidade e continuidade

TeoremaSe a derivada da função f existir em x = a então a função f é contínua em x = a.


implica derivabilidade. Por exemplo, a função |x| é contínua em x = 0 mas não tem derivada nesse ponto.

Derivadas laterais

Para analisar o comportamento de f(x) nos extremos de um intervalo fechado, ou então quando f(x) apresentar dois ou mais ramos (diz-se neste caso que f(x) é uma função definida seccionalmente), necessitamos frequentemente de recorrer às derivadas laterais da função f(x).

Derivada lateral à direita no ponto x = a

Definição

Derivada lateral à esquerda no ponto x = a

Definição

axafxf

hafhafaf

axh −−

≡−+

≡′++ →→

+)()(lim)()(lim)(

def

0

def

axafxf

hafhafaf

axh −−

≡−+

≡′−− →→

−)()(lim)()(lim)(

def

0

def


Relação entre derivada e derivadas laterais

Teoremaexiste sse existirem e forem iguais as derivadas laterais, sendo

ObservaçãoSe a função f(x) for contínua em x = a, é válido substituir as derivadas laterais pelos correspondentes limites laterais da função derivada,

)()()( afafaf +− ′=′=′

)(af ′

Se a função f(x) não for contínua em x = a isto não pode ser feito.

ExemploMostre que a função não é derivável quando x=0.

)(lim e )(lim xfxfaxax

′′−+ →→

⎩⎨⎧

>+≤

=0 se ,10 se ,

)(xxxx

xf


Tangentes verticais

Quando a tangente ao gráfico de f(x) no ponto (a,f(a)) for vertical , f’(a) não existe nesse ponto (f’(x) tende para ∞ ou para - ∞).

DefiniçãoDizemos que o gráfico da função f(x) apresenta uma tangente vertical no ponto (a,f(a)) se:

seou ; )(lim)()(lim(i) ∞=′∧=→→

xfafxfaxax


seou ; )(lim)()(lim(ii) ∞=′∧=++ →→

xfafxfaxax

)(lim)()(lim(iii) ∞=′∧=−− →→

xfafxfaxax

Exercício:Corresponda o gráfico das funções (a) - (f) com o gráfico das funções derivadas respectivas em (A) – (F)


As quatro regras básicas da derivação de funções

Derivada da soma de duas funções:

Derivada do produto de duas funções:

( ) )()()()( xgxfxgxf ′+′=′+

( ) )()()()()()( xgxfxgxfxgxf ′+′=′

′⎞⎛

( ) )( )( )( xfcxfccxg ′=′⇒=Caso particular: c constante e

Derivada do quociente de duas funções:

Derivada da função composta (Regra da cadeia):

( )2)()()()()(

)()(

xgxgxfxgxf

xgxf ′−′

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) )())(())(( xgxgfxgf ′′=′

( )2)()(

)(1

xgxg

xg′

−=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


Caso particular: Se 1)( =xf então

Função potência:

Função exponencial:

Função potência composta:

Função exponencial composta:

Derivadas de algumas funções elementares e das correspondentes funções compostas

ℜ∈∀=′ − axax aa , )( 1

+ℜ∈∀=′ aaaa xx ,ln)(

ℜ∈∀′=′ − axgxgaxg aa ),())(()))((( 1

+ℜ∈∀′=′ axgaaa xgxg ),( )(ln)( )()(

Função logarítmica: Função logarítmica composta:

+ℜ∈≠∀=′ 1,ln1)(log a

axxa

+ℜ∈≠∀′

=′ 1,ln)()())((log aaxg

xgxga

+ℜ∈≠∀′

=′ 1,)()())((ln a

xgxgxg


xx ee =′)(Caso particular: )()( )()( xgee xgxg ′=′Caso particular:

xx 1)(ln =′Caso particular: Caso particular:

Funções trigonométricas : Funções trigonométricas compostas:

xx cos)sen ( =′

xx sen)(cos −=′

)()(cos))g(sen ( xgxgx ′=′

)()g(sen))((cos xgxxg ′−=′

Derivadas de algumas funções elementares e das correspondentes funções compostas

xx sen )(cos −=

xx

x 22 tg1

cos1) tg( +≡=′

)()g(sen ))((cos xgxxg −=

≡′

=′)(cos

)())g( tg( 2 xgxgx

)('))(tg1( 2 xgxg+≡


Derivada da função exponencial generalizada (1º processo)

fxgxhxh Dxexgxf ∈∀≡= ,))(()( ))(ln()()(

• Reparando que:

Função exponencial generalizada é qualquer função do tipo:

)())(()( xhxgxf = 0)( >xgcom

[ ] [ ] [ ][ ] =′=′=′ ))(ln()( ))(( ))(ln()())(ln()()( xgxheexg xgxhxgxhxh

[ ] )()()())(ln()( ))(( )(⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+′=

xgxgxhxgxhxg xh


• Aplicando a regra da derivada da função composta:

Calcula-se o logarítmo de f(x):

Deriva-se ambos os membros em ordem a x:

[ ] [ ]′=′ )(ln)()(ln xgxhxf

Derivação logarítmica

Derivada da função exponencial generalizada (2º processo)

)(ln)()(ln xgxhxf =⇒)())(()( xhxgxf =

Resolve-se em ordem a f’(x) e substitui-se f(x)

[ ] )()()())(ln()( ))(( )(⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+′=

xgxgxhxgxhxg xh

)()()())(ln()(

)()(

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+′=

′xgxgxhxgxh

xfxf

)()()())(ln()()()( =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+′=′

xgxgxhxgxhxfxf


Derivação de equações: taxas de variação relacionadas

Frequentemente somos confrontados com problemas que envolvem taxas devariação temporal de duas ou mais variáveis, as quais estão relacionadas entre si por meio de uma equação (ou até, por vezes, mais do que uma equação).

Exemplo 1Uma escada com 3 metros de comprimento está encostada a uma parede vertical Se a base da escada deslizar horizontalmente afastando se da parede a


vertical. Se a base da escada deslizar horizontalmente afastando-se da parede a uma taxa constante de 0,3 m/s, a que taxa está o topo da escada a deslizar ao longo da parede? A que taxa está o topo da escada a deslizar quando o topo da escada está a 1 metro acima do solo?

Derivação de equações: taxas de variação relacionadas

A estratégia a utilizar para resolver problemas que envolvam taxas de variação (temporal) relacionadas entre si é a seguinte:

1. Identificar as taxas de variação conhecidas e a(s) taxa(s) de variação que se pretende(m) calcular, interpretando cada uma delas como sendo a derivada de uma variável em ordem ao tempo;

2. Obter, ou deduzir, uma equação (ou mais do que uma) que relacione(m) as variáveis referidas em 1. Em muitos casos, uma figura bem desenhada poderá ser uma grande ajuda neste passo;

3. Derivar ambos os membros da equação (ou equações) obtida(s) em 2. em ordem ao tempo, obtendo desta forma uma equação (ou equações) que relaciona(m) as taxas de variação referidas em 1.;

4. Substituir na equação (ou equações) obtida(s) em 3. os valores numéricos conhecidos das variáveis e das taxas de variação (derivadas) num dado instante, e resolver em ordem à(s) taxa(s) de variação desconhecida(s).


Análise do crescimento e do decrescimento de funções

Ixxxfxfxx

xfxfxx

xfxfxx

∈∀

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<⇒>

≥⇒>−

>⇒>

21

1212

1212

1212

,, )()(:edecrescent

)()(:edecrescentnão

)()(:crescente

Definição de funções monótonas no intervalo I ⊆ Df :

xfxfxx⎪⎪⎩ ≤⇒>− 1212 )()(:crescentenão

crescente decrescente



Teorema (da média do Cálculo Diferencial, ou de Lagrange)

Se f(x) for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, existe pelo menos um número

c ∈ ]a, b[ tal que .

abafbfcf

−−

=)()()('

Variação média de f(x) no intervalo [a, b]

Interpretação geométrica

Existe pelo menos um ponto de ]a, b[ tal que o declive da tangente ao gráfico nesse ponto é igual ao declive da recta que une os pontos (a,f(a) )e (b,f(b))



Teorema

Seja f(x) contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[:

(a) Se f’(x) > 0 em ]a,b[ então f(x) é crescente em [a,b];

(b) Se f’(x) < 0 em ]a,b[ então f(x) é decrescente em [a,b];

(c) Se f’(x) = 0 em ]a,b[ então f(x) é constante em [a,b].

ObservaçãoEste teorema é aplicável a intervalos infinitos, isto é, intervalos do tipo [a,∞[, ]-∞, b] ou ] -∞, ∞[ desde que f(x) seja contínua e derivável em todos os pontos desses intervalos.

(a) (b) (c)


A 2ª derivada de f(x): concavidade

DefiniçãoEm todos os pontos de Df’ onde a função f’(x) puder ser derivada, estará definida uma nova função, f’’(x), que é designada por 2ª derivada de f(x):

[ ] ′′≡ )( )('' def

xfxf

Definição de concavidade

Se f(x) for derivável num intervalo aberto I, dizemos que o gráfico de f(x) tem:

a concavidade positiva (“para cima”) em I se f’(x) for crescente em I

a concavidade negativa (“para baixo”) em I se f’(x) for decrescente em I.


A 2ª derivada de f(x): concavidade

TeoremaSuponhamos que f’’(x) existe num intervalo aberto I.

Se f’’(x) > 0 em I ,o gráfico de f(x) tem a concavidade positiva em I;

Se f’’(x) < 0 em I ,o gráfico de f(x) tem a concavidade negativa em I.

Concavidadenegativa

Concavidadepositiva


A 2ª derivada de f(x): pontos de inflexão

DefiniçãoUm ponto de inflexão (do gráfico) da função f(x) é um ponto de continuidade de f(x) onde a concavidade do gráfico de f(x) muda de sinal.

Ponto de inflexão Ponto de inflexão

Concavidadenegativa

Concavidadepositiva

Ponto de inflexão

a

Concavidadenegativa

Ponto de inflexão

Concavidadepositiva

a


A 2ª derivada de f(x): concavidade e pontos de inflexão

TeoremaSe f’’(x) existir num intervalo aberto contendo o ponto x = a, com a possível excepção desse ponto, e se f(x) for contínua no ponto x = a, este será um ponto de inflexão de f(x) se f’’(x) tiver sinais diferentes à esquerda e à direita do ponto x = a.

ObservaçãoPortanto, no ponto de inflexão propriamente dito, só temos duas alternativas: ou f’’(a) = 0, ou então f’’(a) não existe (mas f(a) tem de existir).ou f (a) 0, ou então f (a) não existe (mas f(a) tem de existir).

(a) (b) (c) (d)


Derivadas de ordem superior a 2 da função f(x)

Qualquer derivada de ordem superior da função f(x) poderá ser definida de forma análoga à 2ª derivada através da seguinte fórmula de recorrência:

( ) ( )[ ] ++ Ζ∈∀′≡ 0

def1 , )()( kxfxf kk

em que:

Observação sobre a notação

até à 3ª derivada usar a notação das linhas: .

a partir da 4ª derivada, é preferível utilizar a notação do índice (k) em

expoente: .

em que o índice (k) em expoente representa a ordem da derivada

por convenção, a “derivada de ordem zero” é a própria função.

( ) ( ) )( ),( 54 xfxf

)( ),( ),( xfxfxf ′′′′′′


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