estudo das funÇÕes elementares [parte 2]julio.tomio/calculo 1/mat ensino 03... · chamado em...

IFSC / Função Exponencial e Logarítmica Prof. Júlio César TOMIO

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Retrato de Leonhard Euler

[autoria de Johann G. Brucker]

ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES [Parte 2]

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Inicialmente...

Para melhor se desenvolver no conteúdo de função exponencial e também em outros que veremos a seguir, é importante que você tenha razoável domínio dos conceitos e propriedades da potenciação [ou exponenciação].

Introdução:

Faremos nosso estudo a partir de dois “modelos padrão” de função exponencial, que se diferenciarão pela escolha da base.

As bases padrão serão assim denominadas: Base a , sendo que 0a e 1a .

Base e , sendo que ...718,2e [Número de Euler].

Definição:

Uma Função Exponencial [chamaremos de padrão] é toda função RRf : definida por uma lei de associação do tipo:

x

abxf .)( ou x

aby . , com 0a e 1a .

ou Nota: para ambos os modelos teremos 0b .

xa

ebxf .)( ou xa

eby . , com 0a .

Breve Histórico:

Na matemática, o NÚMERO DE EULER [pronuncia-se óilar], representado por “ e ”, é assim

chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base de muitas funções exponenciais e também dos logaritmos naturais [que estudaremos em breve]. As variantes do nome desse número incluem: número ou constante de Napier, ou ainda, número neperiano. A primeira referência a essa constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a

constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão [muito comum em áreas ligadas à engenharia e a fenômenos naturias e também no cálculo de juros compostos].

h

hhe

/1

0)1(lim

cujo valor é aproximadamente: 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Adaptado de: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler [acessado em: 03/04/2011]

Crescimento e Decrescimento:

Para x

abxf .)( [com 0b ] : Para xa

ebxf .)( [com 0b ] teremos:

edecrescentéxfase

crescenteéxfase

)(1

)(1

edecrescentéxfase

crescenteéxfase

)(0

)(0

Visualmente, os valores da base a : Visualmente, os valores do coeficiente a :

Observação:

Caso tenhamos 0b , haverá uma inversão do crescimento ou decrescimento da função exponencial, isto quer dizer que,

para 0b , no esquema acima, onde a função é crescente será decrescente e vice-versa. Por que isso acontece?

0

função crescente função decrescente

1 0

função crescente função decrescente


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Exemplos de Funções Crescentes:

x

xf 2)(

x

xg

2

3)(

xexh

2.5)(

x

y

4

1

xy 27

x

y

2

17

Exemplos de Funções Decrescentes:

x

xf )14,0()(

x

xg

2

1)(

xexh

2.4)(

x

ey

31

7

xy 27

x

y

2

17

Nota: A função x

ey também é conhecida

como função exponencial natural. Representação Gráfica: Geometricamente, a função exponencial é representada por uma curva aberta, eventualmente chamada de “exponencial”, acompanhada de uma linha reta “imaginária” denominada assíntota horizontal, que limita a curva exponencial. Isso implica em dizer que o gráfico da função exponencial nunca ultrapassará a sua assíntota [nem mesmo irá tocá-la]. Agora, para encontrarmos os interceptos com os eixos coordenados, utilizaremos o procedimento “tradicional”.

Para encontrar o intercepto “y”, substituir 0x na função e encontrar o respectivo y , determinando o ponto ),0( y .

Para encontrar o intercepto “x”, substituir 0y na função e encontrar o respectivo x , determinando o ponto )0,(x .

Observação Importante: você deverá notar que os gráficos das funções exponenciais (padrão) que estudaremos aqui, sempre interceptarão o eixo das ordenadas [y], entretanto nem sempre interceptarão o eixo das abscissas [x].

Aprecie alguns casos:

x

abxf .)(

xabxf .)(

cabxf

x .)(

cabxf

x .)(

0b 0b 0b e 0c 0b e 0c

x

abxf .)(

xabxf .)(

cabxf

x .)(

cabxf

x .)(

0b 0b 0b e 0c 0b e 0c

Atenção! xxxx

21)2.(1)2(2

Cre

sce

nte

D

ecre

scen

te

0

0

y

x

y

x

0

0

y

x

y

x

y

x 0

x 0

y

c

c

y

x 0

x

0

y

c

c


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Através dos exemplos a seguir, faremos uma análise de algumas das propriedades citadas, entre outras:

Ex. 1: Construa o gráfico da função: x

xf 2)(

Note que:

D = R Im =*

R Assíntota HORIZONTAL em 0y . x

xf 2)( é uma Função Crescente [pois 1a ].

Ex. 2: Construa o gráfico da função:

x

xg

2

1)(

Note que:

D = R Assíntota HORIZONTAL em 0y .

Im =*

R )(xg é uma Função Decrescente [pois 10 a ].

Ria [se puderes]

666 besta

333 meio besta

6662 besta quadrada

25,807 raiz de todo o mal

25,807/2 mal cortado pela raiz

Como vai querer o seu corte hoje, senhor?

Hoje vamos de xey .

Perfeitamente!

y

x

y

x


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x

y

x

y

)(xh

)(xg

)(xf

Ex. 3: Esboce graficamente as funções: 12)( x

xh , x

xg 2)( e 12)( x

xf no mesmo plano cartesiano.

Note que:

Dh = R Imh = }1|{ yRy Assíntota HORIZONTAL de )(xh em 1y .

Dg = R Img = }0|{ yRy Assíntota HORIZONTAL de )(xg em 0y .

Df = R Imf = }1|{ yRy Assíntota HORIZONTAL de )(xf em 1y .

Ex. 4: Construa o gráfico da função: 1.2 x

ey

Ex. 5: Represente graficamente as funções x

xf 2)( e x

xg 2)( no mesmo sistema de coordenadas cartesianas.

x f(x) g(x)

–2 1/4 –1/4

–1 1/2 –1/2

0 1 –1

1 2 –2

2 4 –4

Atenção!

xxg 2)(

)2()(x

xg

)2.(1)(x

xg

xxg 21)(

)(xf

)(xg

x

y


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Ex. 6: Determine a lei de formação x

abxf .)( da função exponencial que graficamente passa pelos pontos )3/1,0(A ,

)1,1(B e )3,2(C .

Ex. 7: Uma população “experimental” tem atualmente 200 indivíduos e cresce a uma taxa de 5% ao ano.

a) Escreva uma fórmula para a população “P” em função do tempo “t”, em anos. b) Avalie a população daqui a 10 anos.

Ex. 8: Para cada uma das funções dadas a seguir, indique se é de crescimento ou decaimento exponencial e encontre a taxa

percentual constante [de crescimento ou decaimento] utilizando como base o modelo genérico: niQQ )1(.0 .

a) t

P )307,1(.2100

b) n

Q )81,0(.50

c) t

tT )035,0(.13,14)(

d) x

xV )14,1(.8000)(

e) x

xf 2)(

f) x

ey

g) x

xN4,0)2(.18000)(


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0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Tópico Especial: Função Exponencial x Progressão Geométrica [PG] Veja o comparativo:

x

abxf )(

1

1

n

n qaa

x

xf 23)(

123

n

na

0x 0

23)0( f 03)0( f 1n 11

1 23

a 031 a

1x 1

23)1( f 06)1( f 2n 12

2 23

a 062 a

2x 2

23)2( f 12)2( f 3n 13

3 23

a 123 a

3x 3

23)3( f 24)3( f 4n 14

4 23

a 244 a

4x 4

23)4( f 48)4( f 5n 15

5 23

a 485 a

Podemos observar que os valores obtidos são os mesmos [indicados pelas setas verdes]. A diferença está na defasagem dos

valores de x em relação aos valores de n , pois na PG o termo inicial é o “primeiro termo” [ 1n ].

Podemos dizer que uma Progressão Geométrica [PG] é uma Função Exponencial com Domínio Natural, ou seja, D = ℕ.

Graficamente, temos:

x

xf 23)(

123

n

na

Gráficos plotados no MS Excel.

Observe que a Função Exponencial, além de contínua, pode apresentar valores negativos em seu Domínio, enquanto a Progressão Geométrica sempre iniciará no “primeiro termo”.

Vale comentar ainda que quando quisermos usar o termo “exponencial” para indicar o crescimento [ou a variação] de uma grandeza em determinado fenômeno, o termo “geométrico” é uma opção de sinônimo. Veja os exemplos abaixo:

... devemos tomar uma atitude, pois a epidemia está crescendo exponencialmente...

... devemos tomar uma atitude, pois a epidemia está progredindo geometricamente...

Exercícios – Função Exponencial

1) Construa cada dupla de gráficos das funções abaixo no mesmo sistema cartesiano ortogonal.

a) x

xf 3)( e x

xg )3/1()(

b) 1

2)(

x

xf e 12)( x

xg

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-2 -1 0 1 2 3 4 5


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2) Construa o gráfico das funções dadas, determinando o conjunto imagem e representando as respectivas assíntotas.

a) 12)( x

xf b) 22 x

y c) 1

3)(

x

xg

d) 2

3)(

x

xh e) x

xf2

2)( f)

x

xg

2

3

1)(

g)

x

y

3

1

3) Determine a lei para a função exponencial x

abxf .)( e ax

ebxg .)( , cujos valores são dados na tabela a seguir.

x f(x) g(x)

–2 1,47200 – 9,0625

–1 1,84000 – 7,2500

0 2,30000 – 5,8000

1 2,87500 – 4,6400

2 3,59375 – 3,7123

4) Determine uma fórmula x

aby . para cada função exponencial que tem seu gráfico demonstrado a seguir.

a) b) 5) Associe cada gráfico a sua respectiva função, justificando sua escolha.

I. xy 3

II. xy 2

III. xy 2

IV. xy )5,0(

V. 23 xy

VI. 2)5,1( xy


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6) Esboce o gráfico de cada função e descreva seu Domínio, Imagem, Crescimento [ou Decrescimento] e assíntota.

a) x

xf 2.3)( c) x

exf3

.4)(

b) x

xf 5,0.4)( d) x

exf

.5)(

7) Verifique se cada uma das funções dadas a seguir é de crescimento ou decaimento exponencial e encontre a taxa

percentual constante de crescimento ou decaimento. Lembre-se do modelo: niQQ )1(.0 .

a) t

tP )09,1(5,3)(

b) t

tP )018,1(3,4)(

c) x

xf )968,0(963,78)(

d) x

xf )9968,0(56073)(

8) A expressão x

xN2,0

31500)( permite calcular o número de bactérias existentes em uma cultura experimental, ao

completar “ x ” horas após o início de sua observação. Pergunta-se:

a) Qual a taxa percentual [de crescimento] na função em questão?

b) Qual o número de bactérias existentes no início da observação?

c) Quantas bactérias existirão na cultura após 20 minutos?

d) Quantas bactérias existirão na cultura após 1 semana?

9) As seguintes funções dão as populações “P” de 4 cidades: A, B, C e D, com o tempo “t” em anos:

t

D

t

C

t

B

t

A PPPP )9,0.(900)08,1.(200)03,1.(1000)12,1.(600

a) Qual cidade tem maior taxa percentual de crescimento? Qual é essa taxa?

b) Qual cidade tem maior população inicial? Que população é essa?

c) Alguma cidade está diminuindo o tamanho populacional? Qual é sua taxa percentual de redução?

10) No Parque “Sol e Neve”, um trenó percorre o trajeto de uma pista até cair numa piscina, conforme o gráfico abaixo.

Trecho I: D = [ 0 , 2 ] Trecho II: D = ] 2 , 5 ]

Trecho III: D = ] 5 , 8 ] Trecho IV: D = ] 8 , 10 ]

Sabendo que o trecho I é modelado por uma função quadrática, o trecho II por uma função linear, o trecho III por uma função exponencial e o trecho IV por uma função constante, pede-se:

a) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho I?

b) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho II?

c) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho III?

d) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho IV?

Observação: Neste exercício, calcule todos os valores solicitados com a máxima precisão numérica e escreva a resposta da questão [a] com arredondamento de 2 casas decimais e as demais respostas com números inteiros.


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11) Considerando-se as taxas de natalidade e mortalidade, a população da cidade A apresenta crescimento de 5% ao ano,

e a população da cidade B aumenta, a cada ano, 1500 habitantes em relação ao ano anterior. Em 1990, a população

da cidade A era de 200.000 habitantes e a população da cidade B era de 220.000 habitantes.

a) Obtenha a lei que representa a população P de cada uma das duas cidades em “t” anos, a partir de 1990.

b) Forneça a população de A e de B em 2003.

c) Construa os gráficos que representam as leis [obtidas no item “a”] no mesmo sistema cartesiano ortogonal.

Para refletir: Podemos escolher o que semear, mas somos obrigados a colher aquilo que plantamos. [Provérbio chinês]

Tópico Extra: Conversão da Base de uma Função Exponencial

Conversão de uma função de base e para uma função de base a [segundo os modelos padrão aqui definidos]:

xa

ebxf .)( x

abxf .)(

Exemplos:

[a] xexg 23)( xexg )2(3)( xxg )389,7(3)(

[b] xexh 5)( xexh )1(5)( xxh )368,0(5)(

Conversão de uma função de base a para uma função de base e [segundo os modelos padrão aqui definidos]:

x

abxf .)( xa

ebxf .)(

Exemplos:

[a] xxg 27)( 2ln7)( xexg xexg 693,07)(

[b] x

xh

3

14)( )3/1ln(4)( xexh xexh 099,14)(

Note que, neste último caso, aplicamos uma relação que se utiliza de um logarítmo natural [que estudaremos a seguir].

axx ea ln

Esquentando o Processador!

Considere que: ba 00 beacom

Multiplicando toda a equação por a : aba 2

Subtraindo 2b nos dois membros da equação: 222 babba

Desmembrando os produtos: )())(( babbaba

Simplificando a equação por )( ba : bba

Como inicialmente definimos que ba : bbb bb 2

Dividindo a toda equação por b : 12

Então: 12 . É possível? Existe algum erro?

Descontração: Concentre-se no pequeno texto abaixo e deixe que a sua mente leia corretamente o que está escrito. 35T3 P3QU3N0 T3XTO 53RV3 4P3N45 P4R4 M05TR4R COMO NO554 C4B3Ç4 CONS3GU3 F4Z3R CO1545 1MPR3551ON4ANT35! R3P4R3 N155O! NO COM3ÇO 35T4V4 M310 COMPL1C4DO, M45 N3ST4 L1NH4 SU4 M3NT3 V41 D3C1FR4NDO O CÓD1GO QU453 4UTOM4T1C4M3NT3, S3M PR3C1S4R P3N54R MU1TO, C3RTO? POD3 F1C4R B3M ORGULHO5O D155O! SU4 C4P4C1D4D3 M3R3C3!

P4R4BÉN5!


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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS


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3) x

xf )25,1(.3,2)( e x

exg2231,0

.8,5)(

4a) x

y )2.(3 [que é a mesma que: 2/

2.3x

y ] 4b) x

ey )/1.(2 [que é a mesma que: x

ey

.2 ]

5) I. O gráfico (a) é o único gráfico formado e posicionado como o gráfico de x

ay com 1a .

II. O gráfico (d) é o simétrico de x

y 2 com relação ao eixo y

III. O gráfico (c) é o simétrico de x

y 2 com relação ao eixo x.

IV. O gráfico (e) é o simétrico de x

y 5,0 com relação ao eixo x.

V. O gráfico (b) é o gráfico de x

y

3 transladado para baixo em 2 unidades.

VI. O gráfico (f) é o gráfico de x

y 5,1 transladado para baixo em 2 unidades.

6)

7a) i = 0,09 e assim P(t) é uma função de crescimento exponencial de 9%.

7b) i = 0,018 e assim P(t) é uma função de crescimento exponencial de 1,8%.

7c) i = –0,032 e assim f(x) é uma função de decaimento exponencial de 3,2%.

7d) i = –0,0032 e assim f(x) é uma função de decaimento exponencial de 0,32%.

8a) i = 24,57% 8b) N(0) = 1500 bactérias 8c) N(1/3) = 1614 bactérias 8d) N(168) = 1,612 . 1019 bactérias

9a) Cidade A, com 12%. 9b) Cidade B, com 1000 habitantes. 9c) Cidade D, com 10%.

10a)

12

5

2

1 2 xxy 10b)

3

4

3

4 xy 10c)

xy )5,0(.256 10d) 1y

11a) A partir de 1990: PA = 200.000(1,05)t e PB = 220.000 + 1500t 11b) Em 2003: PA = 377.129 hab. e PB = 239.500 hab.


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LOGARITMAÇÃO Introdução: Resolvendo algumas equações exponenciais básicas

Vamos resolver as seguintes equações exponenciais:

a) 05122 x

b) 964

13

1

x

c) 23 x

Utilizando somente os conceitos básicos de potenciação, não poderemos solucionar rapidamente a equação do item “c”. Para chegarmos com precisão à solução da referida equação, precisaremos conhecer a operação logaritmação. Vejamos: Matematicamente, podemos escrever um número específico de várias formas:

O número 4

3 pode ser escrito na forma )25,0.(3

4

13 . Note que, obviamente, ambas as formas indicam o valor: 75,0 .

Observe que na forma 1ª forma, a fração pode ser considerada uma divisão e na 2ª forma, a operação utilizada é a multiplicação. Sem formalismos matemáticos, podemos, em muitos casos, trocar uma operação em que um número está envolvido, sem alterar o seu valor. Fazendo uso de um raciocínio similar, podemos transformar as expressões:

23 x

x2log3

↳ forma exponencial ↳ forma logarítmica

Agora então, podemos considerar a definição da operação LOGARITMAÇÃO:

baxb x

alog

x

aea

b

com 10

0

Observemos que, simplesmente, a operação logaritmação tem o seu resultado chamado de logaritmo. Veja a comparação:

63.2 operação: multiplicação

resultado: produto [6]

símbolo (sinal da operação): “ . ”

38log 2 operação: logaritmação

resultado: logaritmo [3]

símbolo (sinal da operação): “ log ”

Números a serem operados

ℝ

base logaritmando ou antilogaritmo

logaritmo Símbolo da operação

expoente

base


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Através da definição, podemos observar também que o logaritmo é um expoente na operação de potenciação. Veja:

823 38log2 255

2 225log5

3225 532log2 273

3 327log3

100102 2100log10 100010

3 31000log10

813 x

x81log3

Neste último caso, aplicando a definição de logaritmação, temos que:

x81log3 813 x

4

33 x

4x 481log3

Bases dos Logaritmos:

Como vimos anteriormente, a base “a” dos logaritmos deve satisfazer as condições: a > 0 e a 1.

Entretanto, temos duas bases consideradas padrão para os logaritmos. Elas definem nomes aos logaritmos. Veja: Logaritmo Decimal Base 10

↳ Quando fazemos uso de um logaritmo decimal, a base 10 não precisa ser escrita, pois a consideramos como uma base padrão. Veja o exemplo:

31000log1000log 10

Logaritmo Natural Base e

↳ Quando fazemos uso de um logaritmo natural [às vezes chamado

também de logaritmo Neperiano], a base e não precisa ser escrita, pois a

consideramos como uma base padrão. Lembre-se que e = 2,7182818284...

[Número de Euler]. Note que, para isso, mudamos o símbolo log para ln .

Veja o exemplo:

9078,61000log1000ln e

Observação:

A grande maioria das calculadoras científicas da atualidade calcula facilmente logaritmos na base 10 e na base e .

Normalmente essas funções se encontram em teclas adjacentes. Todavia, calculadoras com tecnologia mais moderna já

calculam logaritmos em qualquer base [obviamente maior que zero e diferente de um]. Consequências da Definição:

Através da definição: baxbx

a log , podemos facilmente comprovar que:

1log aa 01log a mam

a log bbaa

log

Em particular, se escrevemos a expressões acima com logaritmos naturais, teremos:

1ln e 01ln memln b

be ln

Exemplos:

17log7 01log12 143log14

3 3232log22

114log14 01log 5110log51 14

14log88

1log ee 01log e 2ln2

e 77lne

Experimente você!

Escreva algumas expressões do tipo

xba log com valores numéricos

“inapropriados” para a base “ a ” ou

para “ b ” e veja se você consegue

encontrar o correspondente valor do

logaritmo “ x ”. Com isso, tire suas

próprias conclusões!


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Propriedades da Logaritmação:

Algumas propriedades existentes na logaritmação são exclusivas dessa operação e muito úteis em inúmeras situações. [a demonstração das mesmas ficará a cargo do leitor] São elas:

cbcb aa loglog cbcb aaa loglog)(log

bnb a

n

a log.log cbcb aaa loglog)/(log

Exemplos:

1212loglog 1010 xx 8log2log)82(log 222

mm 14)4(log18log 55 xx 3/13/13/1 log14log)14(log

2log.72log 4/1

7

4/1 3log17log)3/17(log 444

)3(log.2)3(log2

xx 10loglog)10/(log xx

Mudança de Base:

Podemos de certa forma, escolher a base mais apropriada para a resolução de um problema que, de alguma maneira envolva logaritmos. A escolha da “nova” base poderá ser em função do próprio problema ou da utilização de uma calculadora científica. Assim: Para mudarmos a base “a” de um logaritmo qualquer, para uma base “c” de livre escolha [c > 0 e c 1], utilizamos a

relação:

a

bb

c

ca

log

loglog

Veja uma “justificativa” para essa relação:

xba log

Aplicando a definição de logaritmação...

bax

Aplicando a propriedade da logaritmação em ambos os membros [escolhendo a base “c”]...

ba c

x

c loglog

Aplicando a propriedade da potência do logaritmando no 1º membro...

bax cc loglog.

Isolando o “x” no 1º membro...

a

bx

c

c

log

log

Como consideramos inicialmente xba log , temos que:

a

bb

c

ca

log

loglog .

Exemplos:

Mudando o 14log3 para a base 10 temos: 3log

14log

3log

14log14log

10

103

Mudando o 14log3 para a base e temos: 3ln

14ln

3log

14log14log3

e

e

Como caso particular, a fórmula da mudança de base de um logaritmo já “adaptada” para mudar para a base e :

a

bba

ln

lnlog


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Exemplos – Logaritmação 1) Calcule o valor dos logaritmos [resolva sem usar calculadora]:

a) 36log6 b) 01,0log10 c) 243log9

Fazemos: x36log6 Fazemos: N01,0log10 Fazemos: y243log9

Aplicando a definição, temos: Aplicando a definição, temos: Aplicando a definição, temos:

366 x 01,010 N 2439 y

266 x 100

110 N 52 3)3( y

2x 1)100(10 N 52 3)3( y

Portanto: 12 )10(10 N 52 y

236log6 21010 N 2

5y

2

5243log9

2N 201,0log10

Agora, voltamos à questão “c” não bem resolvida na introdução desse capítulo. Na ocasião, queríamos determinar o valor

de “ x ” na expressão:

23 x

2) Determine o valor de 7log3

Resolução: Aplicando a fórmula da mudança de base, temos:

771,1477,0

845,0

3log

7log7log3 Então: 771,17log3 [Obs.: escolhemos mudar para base 10 para resolvermos com a calculadora]

Observe que poderíamos encontrar o logaritmo por outro processo. Veja:

Aplicando a definição de logaritmo, temos:

x7log3 73 x

7log3log x

7log3log. x 3log

7logx 771,1x

3) Determine o valor de “ x ” na equação 52 32 x .

Resolução:

52 32 x

5log2log 32 x

5log2log)32( x

2log

5log)32( x

32log

5log2 x

2

32log

5log

x

339,0x


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4) O álcool na corrente sanguínea de um motorista [canadense] foi quantificado e alcançou o nível de 2 g/l (gramas por litro) logo depois de ele ter bebido uma considerável quantidade de bebida alcoólica. Considere que esse nível “N” decresce de acordo com a fórmula N(t) = 2.(0,5)t, onde “t” é o tempo, medido em horas, a partir do momento em que o nível inicial foi constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo, se o limite permitido de álcool no sangue, para dirigir com segurança, é de 0,8 g/l no Canadá?

Resolução:

t

tN )5,0.(2)(

t

)5,0.(28,0

t

)5,0(2

8,0

t

)5,0(4,0 !

t)5,0(log4,0log

5,0log.4,0log t

t5,0log

4,0log ht 322,1

Resposta: O motorista deverá esperar, aproximadamente, 1h 20min antes de dirigir seu veículo.

5) A população de um país cresce de acordo com a lei P = P0 . e i.n, onde “i” é a taxa de crescimento anual, “n” é o número de anos e “P0” é a população num instante para o qual n = 0 (população inicial). Em quantos anos a população desse país, com taxa de crescimento anual de 3,5%, duplicará?

Observação Importante!

Muito cuidado na aplicação da propriedade: bnb a

n

a log.log

Assim, observe que:

Para 3

)2(log x podemos escrever )2(log.3 x pois o “ 3 ” é o expoente do logaritmando “ x2 ”.

Para 3

2log x NÃO podemos escrever x2log.3 pois o “ 3 ” NÃO é o expoente do logaritmando “ x2 ” [é apenas

expoente do “ x ” que é somente uma parte do logaritmando].

# Para completar, 3

2log x poderia ser escrito como: xxx log.3301,0log2log2log33

Veja outro procedimento:

t

tN )5,0.(2)(

t

)5,0.(28,0

])5,0.(2log[8,0logt

t

)5,0(log2log8,0log

)5,0(log.2log8,0log t

)5,0(log.]2/8,0[log t

t)5,0(log

)4,0(log

ht 322,1


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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Uma função f definida por RRf

*: tal que xxf alog)( , com 0a e 1a é denominada função logarítmica.

Geometricamente, a função logarítmica é representada por uma curva aberta, normalmente chamada de “logarítmica”. Devido ao domínio desta função, a sua representação gráfica contará com uma assíntota vertical, que dará uma limitação na representação desta curva. Agora, para encontrarmos os interceptos com os eixos coordenados, utilizaremos o procedimento “tradicional”.

Para encontrar o intercepto “x”, substituir 0y na função e encontrar o respectivo x , determinando o ponto )0,(x .

Para encontrar o intercepto “y”, substituir 0x na função e encontrar o respectivo y , determinando o ponto ),0( y .

Observação: você poderá perceber a seguir, que os gráficos das funções logarítmicas (no modelo padrão dado acima) que estudaremos aqui, sempre interceptarão o eixo das abscissas [x], entretanto nem sempre interceptarão o eixo das ordenadas [y]. A intersecção com o eixo das ordenadas dependerá de uma variação do modelo padrão apresentado. Através dos exemplos a seguir, faremos uma análise de algumas das propriedades citadas, entre outras:

Ex. 1: Construa o gráfico da função: xxf 2log)(

tabela

x f(x) f(x) = log2 (x)

½ –1 → f(½) = log2 (½) = –1

1 0 → f(1) = log2 (1) = 0

2 1 → f(2) = log2 (2) = 1

4 2 → f(4) = log2 (4) = 2

8 3 → f(8) = log2 (8) = 3

Note que:

D = *

R Im = R Assíntota VERTICAL em 0x . xxf 2log)( é uma Função Crescente [pois 1a ].

Ex. 2: Construa o gráfico da função: xxg 2/1log)(

tabela

x g(x) g(x) = log1/2 (x)

½ 1 → g(½) = log1/2 (½) = 1

1 0 → g(1) = log1/2 (1) = 0

2 –1 → g(2) = log1/2 (2) = –1

4 –2 → g(4) = log1/2 (4) = –2

8 –3 → g(8) = log1/2 (8) = –3

Note que:

D = *

R Assíntota VERTICAL em 0x .

Im = R xxg 2/1log)( é uma Função Decrescente [ 10 a ].

y

x 1 4 8 0

3

2

1

2

–1

1/2

y

x

1

1/2

8 0

1

–3

–1

–2

2 4


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Ex. 3: Construa o gráfico da função: )1(log)( 2 xxh

tabela

x h(x) h(x) = log2 (x – 1)

3/2 –1 → h(3/2) = log2 (3/2 – 1) = –1

2 0 → h(2) = log2 (2 – 1) = 0

3 1 → h(3) = log2 (3 – 1) = 1

5 2 → h(5) = log2 (5 – 1) = 2

9 3 → h(9) = log2 (9 – 1) = 3

Note que:

D = }1|{ xRx Im = R

Assíntota VERTICAL em 1x . )1(log)( 2 xxh é uma Função Crescente [pois 1a ].

Nota:

Em algumas situações, a representação de várias curvas exponenciais e/ou logarítimicas, num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, pode fazer com que comparação entre as curvas e, consequentemente, a leitura do gráfico se torne um pouco inconveniente. Além do mais, dependendo dos valores, fica quase impossível representar o eixo horizontal [por exemplo] totalmente “na escala”, neste caso, na escala linear.

Em tais situações, pode ser conveniente adotarmos em um, ou até nos dois eixos do sistema cartesiano ortogonal, uma escala logarítmica. A conversão da escala de um eixo, de linear para logarítmica, além de mudar as proporções desse eixo, modifica também o “formato” da curva. Veja: Eixos com Escalas Lineares Eixo Horizontal com Escala Logarítmica [proporção reduzida no eixo horizontal]

Observe que, na representação gráfica da esquerda, fica quase incompatível a utilização de uma escala linear no eixo horizontal [note que 103 = 1000].

Agora perceba que, na representação gráfica da direita, a posição dos valores no eixo horizontal [com escala logarítmica] é

correspondente ao expoente das potências em x .

No caso apresentado acima, a conversão da escala linear [ x ] para a escala logarítmica [ x ] foi feita foi através da

relação:

xx 10log

Finalmente, considere uma situação em que uma representação gráfica não será feita com o auxílio de algum software matemático, ou seja, você precisará fazê-la manualmente. Neste caso, se houver a necessidade de representação de um ou dois eixos em escala logarítmica, você encontrará alguns tipos de papéis milimetrados com tais escalas, nas papelarias e lojas do ramo ou mesmo na internet.

Interessou? Pesquise e procure saber mais!

y

x 2 5 9 0

3

2

1

3

–1

3/2

1

xy 10log

y

x 100 102 103 0

3

2

1

101

–1

10-1

xy 10log

y

x’ 100 102 103

3

2

1

101

–1

10–1


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Comparativo: Logarítmica Exponencial

A função logarítmica RRf

*: definida por xxf alog)( e a função exponencial

*: RRg definida por

xaxg )( são inversas uma da outra [procure saber mais sobre o conceito de função inversa].

Note que seus gráficos representados a seguir, são simétricos em relação à reta xy [que é a bissetriz dos quadrantes

ímpares, também conhecida como função identidade]. Essa simetria é uma característica de funções inversas entre si.

O Crescimento “Rápido” da Função Exponencial e a “Lentidão” do Crescimento Logarítmico

Uma característica marcante das funções exponenciais com base maior que 1, é o rápido crescimento dos valores de “y”

quando aumentamos os valores de “x”. Por outro lado, temos como característica marcante das funções logarítmicas com

base maior que 1, o vagaroso crescimento dos valores de “y” quando aumentamos os valores de “x”. Para melhor ilustrar,

apresentamos a seguir o gráfico das funções: x

ey , 2

xy , xy e xy ln .

Característica e Mantissa [de um Logaritmo Decimal] Observe os logarítmos decimais dados a seguir:

30103,02log

30103,120log 30103,012,0log

30103,2200log 30103,0202,0log

30103,32000log 30103,03002,0log

Interessou? Pesquise e procure saber mais!

Nota: mcN 10log

Sendo: ticacaracterísc com Zc

mantissam com [1,0[m


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Exercícios – Logaritmação e Função Logarítmica

1) Calcule os logaritmos [utilize a calculadora, se necessário]: Lembrete:

a) 125log5 g) 14log3

b) 10log h) 12log0

c) 1log3 i) 14log1

d) 1ln j) )8(log2

e) 10log2 k) 0log5

f) eln l) 16log 2

2) Construa o gráfico das funções logarítmicas dadas a seguir, determinando o Domínio e o Conjunto Imagem.

a) xxf 3log)(

b) xxg 3/1log)(

c) xy ln

d) ||log xy Para este caso, note que: D = R*

e) )2(log)( xxh Para este caso, note que: D = { x R | x > –2 }

3) Uma reserva florestal possui 10.000 árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é: y(t) = 10000.(2)–t.

4) Uma certa imobiliária acredita que o valor “V” de um imóvel numa determinada região no litoral do Brasil varia segundo a lei V(t) = 60000.(0,9)t, em que “t” é o número de anos a partir de hoje. Pergunta-se:

a) Qual é o valor atual desse imóvel? b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel? c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos? d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$ 35.429,40?

5) O valor de um determinado veículo nos EUA decresce com o passar do tempo. Daqui a “t” anos o valor (em dólares) desse automóvel será de V = 4000.(0,8)t. A partir de hoje; daqui a quantos anos ele valerá a metade do valor que tem atualmente?

6) Numa cidade do interior, um médico pediatra, após registrar por vários anos o crescimento de pacientes com idades entre

1 e 12 anos, chegou à seguinte fórmula que indica a altura média das crianças: ih

7,0

10 , sendo “h” a altura em metros

e “i” a idade em anos. Sabendo isso, qual será a altura média de crianças de 8 anos de idade na referida cidade?

7) Um cliente de banco fez uma aplicação financeira com um capital de R$ 10.000,00. Sabendo que o banco aplica juros compostos a uma taxa de 6% ao ano, calculados anualmente, responda:

a) Qual é o montante que o cliente terá a receber após 3 anos? b) Quanto tempo deverá deixar aplicado o capital para receber um montante de R$ 13.000,00?

Lembrete: Utilize a fórmula de juros compostos: M = C.(1 + i)t, em que “M” representa o montante acumulado, “C” o valor do capital (inicial), e “i” a taxa de juros (ao ano – neste caso) e “t” o tempo de aplicação (em anos – neste caso).

8) Uma pessoa fez uma aplicação financeira de R$ 10.000,00 a juro composto (capitalização acumulada) de 1,8% ao mês. Após quanto tempo terá um total de R$ 11.534,00?

9) Maria quer aplicar R$ 6000,00 com o objetivo de, após 15 meses, obter um montante de R$ 9.348,00. A que taxa mensal de juro composto deve aplicar esse capital?

10) Uma empresa recebeu R$ 106.627,10 de juros sobre uma aplicação de R$ 500.000,00, à taxa de 2,8% ao bimestre, capitalizável bimestralmente. Determine o tempo que este capital ficou aplicado.


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11) Em quantos anos, 500g de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirá a 100g?

Use: Q = Q0 .(e)–r.t, em que Q é a massa da substância, Q0 é a massa inicial, “r” é a taxa e “t” é o tempo em anos.

12) O número de bactérias de uma determinada cultura, “t” horas após o início de um experimento, é relacionado pela expressão N(t) = 1200.(2)0,4t. Nestas condições, determine:

a) Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38.400 bactérias? b) Qual a quantidade de bactérias após 11h de experimento? c) Qual a taxa percentual de crescimento do número de bactérias?

13) A produção de um determinado tipo de peça numa empresa é expressa pela função y = 100 – 100.e–0,2d, onde “y” é o número de peças produzidas e “d” o número de dias necessários para produzi-las. A produção de 87 peças será alcançada em quantos dias?

14) Segundo uma pesquisa, após “x” meses da constatação da existência de uma epidemia, o número de pessoas por ela

atingidas é x

xf2

4152

00020)(

. Daqui a quanto tempo, o número de pessoas atingidas por esta epidemia será de 2000?

15) Ao lado, está representado o gráfico de

uma função logarítmica do tipo f(x) = loga x.

a) Determine qual é esta função [calcule o valor de “a”].

b) Encontre o valor de “m”. Nota: Observe que a função é CRESCENTE.

16) A seguir, está representado o gráfico de

uma função logarítmica do tipo f(x) = loga x.

a) Determine qual é esta função.

b) Encontre o valor de “k”. Nota:

Observe que a função é DECRESCENTE.

17) Numa certa cultura existem 1000 bactérias em determinado instante. Após 10 minutos, existem 4000. Quantas bactérias

existirão em 1 hora, sabendo que elas aumentam através da fórmula ktePP 0 , em que P é o número de bactérias, t é o

tempo em horas e k é a taxa de crescimento?

18) Em uma experiência de aprendizado, os psicólogos Miller e Dollard registraram o tempo que uma menina de 6 anos levava para encontrar uma bala escondida em uma série de tentativas. A menina levou 210 segundos para achar sua 1ª bala e 86 segundos para achar a 2ª. Suponha que o tempo necessário para encontrar a bala pudesse ser modelado por uma

função do tipo: nk

eAT.

, onde “n” é o número de balas encontradas e “k” e “A” são constantes.

a) Determine os valores das constantes A e k. b) Quanto tempo levaria a menina para encontrar a décima bala?

O que você pode concluir a respeito da função dada, em relação ao resultado encontrado agora?

y

x

1

k

9

0

1

–2

y

x 1 4 8 0

m

2


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19) Devido a um inovador programa rural de saúde pública, a mortalidade infantil no Senegal está sendo reduzida a uma taxa de 10% ao ano. Quanto tempo levará para que a mortalidade infantil seja reduzida a 50%, sabendo que essa situação

pode ser modelada por uma função exponencial do tipo t

byy 0 ?

20) Um grupo de estudantes resolveu repetir a medição da altura do Pico da Neblina feita na década de 60. Para isso, escalaram essa montanha e levaram um barômetro. Chegando ao cume da montanha, efetuaram várias medições da pressão atmosférica no local e obtiveram o valor médio de 530 mmHg. A pressão atmosférica P(h) a uma dada altura h (em metros, em relação ao nível do mar) é fornecida pela função:

h.0 .P)h(P e

sendo “e” a base do sistema de logaritmos naturais, P0 = 760 mmHg a pressão atmosférica no nível do mar, e “” um

número que depende principalmente da temperatura média no local de medição. Sabendo-se que, nas condições desse experimento, = – 0,00012 e que os estudantes usaram uma calculadora científica para auxiliar nos cálculos (utilizando 3

casas decimais), qual foi a altura que encontraram para o Pico da Neblina?

21) Uma peça com temperatura de 200ºC é exposta ao ar [com temperatura ambiente de 20ºC] e após 30 segundos sua temperatura atinge 120ºC. Sabendo que seu resfriamento obedece à função: T = c.ekt + Ta , sendo que:

T temperatura c , k constantes

t tempo Ta temperatura ambiente

a) Determinar a temperatura da peça após 1 hora. b) Determinar o tempo necessário para que a temperatura da peça atinja 40ºC.

22) O quociente de x

x

2

4

log

log apresenta um valor constante. Que valor é esse? [Justifique algebricamente sua resposta]

23) Um OVNNI foi avistado por 65/1 da população de Votuporanga [SP]. O número de pessoas que ficará sabendo do

fenômeno após x horas do acontecido é dado por xk

ec

Pxf

..1

)(

, onde P é a população da cidade em questão e

c e k são constantes que determinam a velocidade de propagação da notícia. Sabendo que 9/1 da população soube da

aparição 3 horas após o ocorrido, então quanto tempo se passou até que 5/1 da população soubesse da aparição do

incrível OVNNI [objeto voador “nervoso” não identificado]?

24) [HIMONAS; HOWARD – Adaptada] Na análise do crescimento de populações humanas, um tipo de equação conhecida

como equação logística oferece um modelo mais realista que o crescimento exponencial. Por exemplo: alguns cientistas

modelam a população mundial usando a equação logística:

te

P.016,0

9,51,6

2,73

onde t é o número de anos após o ano 2000 e P é a população mundial em bilhões de habitantes [aproximadamente].

Pergunta-se, de acordo com o modelo em questão: a) Qual a população mundial no ano de 2000 e no ano de 2050?

b) Em que ano a população mundial chegará a 10 bilhões de habitantes?

c) Qual a tendência da população mundial em longo prazo? [Esta função apresenta uma assíntota horizontal]

d) Faça um esboço representando graficamente o problema em questão.

Notas: c ℤ Calcule o valor de “k” com a máxima precisão numérica e escreva o seu valor final com arredondamento de 3 casas decimais.

Usando os valores encontrados de “c” e “k”, calcule o tempo solicitado com a máxima precisão numérica e escreva a resposta final

com arredondamento de 1 casa decimal.


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25) [HIMONAS; HOWARD] Um investigador sabe que h horas após a morte o corpo humano atinge uma temperatura de:

h

aa TTT )6,0()37(

onde aT é a temperatura [em graus Celsius] do ar no ambiente em que se encontra o corpo. Determine há quanto tempo

morreu uma pessoa encontrada em um quarto no qual a temperatura é de Cº22 , sabendo que a temperatura do corpo é

Cº26 .

26) Escreva as funções exponenciais dadas na base natural [ e ].

a) xxf 2)( b) 143)( xxg c) 12

15)(

x

xh

27) Escreva as funções dadas com logarítmos de base natural.

a) xxf 3log)( b) )12(log3)( 2 xxg c) )14(log43)( 2 xxh

28) Aplicando as propriedades de logaritmação, determine o valor de y [em função de x ] nas expressões dadas a seguir:

a) )654(log)2(log xxy b)

2ln1

yx

c) yx 5log10log 42 d) xyx 4logloglog2

1933

29) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. Assim, I é dado pela fórmula:

0

10E

Elog

3

2I

onde “E” é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7.10–3 kWh. Pergunta-se:

a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter?

b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1a) 3 1b) 1 1c) 0 1d) zero 1e) 3,322 1f) 1 1g) 2,402 1h) 1i) 1j) 1k) 1l)

2a) 2b)

*

RD f e Rf Im [gráfico fora de proporção] *

RDg e Rg Im [gráfico fora de proporção]

y

x 1 3 9 0

2

1

y

x

1 9

0

3

–2

–1


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2c) 2d) *

RD e RIm

*

RD e RIm

2e) 3) 3 anos

4a) R$ 60.000,00

4b) 10%

4c) R$ 48.600,00

4d) 5 anos

5) aprox. 3 anos

6) 1,15 m

7a) R$ 11.910,16

7b) aprox. 4 anos e 6 meses

8) 8 meses

16a) f(x) = log1/3 x 16b) k = 1/3 17) 4.096.000 18a) k 0,89276 e A 512,79

18b) T(10) 0,07 s [Note que este valor parece absurdo] A função, possivelmente, não modela corretamente o fenômeno.

19) aprox. 6,58 anos 20) aprox. 3008 m (O Pico da Neblina, no AM, é o ponto mais alto do Brasil, com 2994 metros)

21a) T = 20ºC 21b) t 112 s 22) 1/2 23) 4,0 h

24a) P(0) = 6,1 e P(50) = 8,36 bilhões de habitantes

24b) t 98,5 anos no ano de 2098. 24d)

24c) A população tende para 12 bilhões de habitantes

25) Aproximadamente 2h 35min

}2|{ xRxDh

Rh Im

t [anos após 2000]

P [bilhões de hab.]

12

6,1

0 100 200 300

10

09) 3% a.m.

10) 7 bimestres

11) aprox. 53,6 anos

12a) 12h 30min

12b) 25.335 bactérias

12c) 31,95 %

13) 10,2 dias [ou seja, no 11o dia]

14) aprox. 7 dias

15a) f(x) = log2 x

15b) m = 3


Página 25 de 25

26a) 2ln)( xexf ou xexf 693,0)( 26b) 4ln)1(3)( xexg ou )1(386,13)( xexg

26c) 1)2/1ln(5)( xexh ou xexh 693,051)(

27a) 3ln

ln)( xxf ou xxf ln910,0)( 27b) 2ln

)12(ln3)(

xxg ou )12(ln328,4)( xxg

27c) 10ln

)14(ln43)(

2

xxh ou )14(ln 2737,13)( xxh

28a) xxy 352 28b) 12 xey

28c) 220xy 28d) xy 2

29a) E = 7.109 kWh 29b) Fica multiplicada por 1010

Abaixo, um texto interessante para você ler e refletir profundamente...

“As Três Peneiras”

Um rapaz procurou Sócrates e disse-lhe que precisava contar-lhe algo sobre alguém. Sócrates ergueu os olhos do livro que estava lendo e perguntou: - O que você vai me contar já passou pelas três peneiras? - Três peneiras? - indagou o rapaz. - Sim! A primeira peneira é a VERDADE. O que você quer me contar dos outros é um fato? Caso tenha ouvido falar, a coisa deve morrer aqui mesmo. Suponhamos então que seja verdade, deve então passar pela segunda peneira: a BONDADE. O que você vai contar é uma coisa boa? Ajuda a construir ou destruir o caminho, a fama do próximo? Se o que você quer contar é verdade e é coisa boa, deverá passar ainda pela terceira peneira: a NECESSIDADE. Convém contar? Resolve alguma coisa? Ajuda a comunidade? Pode melhorar o planeta? Arremata Sócrates: - Se passou pelas três peneiras, conte!! Tanto eu, como você e seu irmão, iremos nos beneficiar. Caso contrário, esqueça e enterre tudo. Será uma fofoca a menos para envenenar o ambiente e fomentar a discórdia entre irmãos. Devemos sempre ser a estação terminal de qualquer comentário infeliz.

Veja isso:

Novo produto no mercado:

É o “Inacreditável” Papel Higiênico Logarítmico!

Não é montagem! A foto ao lado foi tirada pelo autor deste material num supermercado de Joinville – SC.

estudo das funÇÕes elementares [parte 2]julio.tomio/calculo 1/mat ensino 03... · chamado em...

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