estudo das funÇÕes elementares [parte 3]julio.tomio/calculo 1/mat ensino 04... · conhecer as...

IFSC / Funções Trigonométricas Prof. Júlio César TOMIO

Página 1 de 38

ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES [Parte 3]

INTRODUÇÃO: ESTUDO DOS TRIÂNGULOS – Uma Breve Revisão

● Triângulos – Definição:

São polígonos com três lados. Os triângulos podem ser classificados quanto aos seus lados ou quanto aos seus ângulos. Observe os quadros a seguir:

Classificação dos triângulos quanto ao tamanho dos LADOS

Triângulo Equilátero

Os três lados têm medidas iguais (e três ângulos iguais de 60º).

d(A,B) = d(B,C) = d(C,A)

Triângulo Isósceles

Dois lados têm a mesma medida (e dois ângulos iguais ou congruentes).

d(A,B) = d(A,C) d(B,C)

Triângulo Escaleno

Todos os três lados têm medidas diferentes (e três ângulos diferentes).

d(A,B) d(B,C) d(C,A)

Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ÂNGULOS INTERNOS

Triângulo Acutângulo

Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.

Triângulo Obtusângulo

Um ângulo interno é obtuso (Â), isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90o.

Triângulo Retângulo

Possui um ângulo interno reto (Â), isto é, com 90o.

Ângulos internos de um triângulo:

Lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º. Os ângulos internos podem ser:

Ângulo Reto: ângulo de 90º

Ângulo Agudo: ângulo menor que 90º (e maior que 0º) 0 < < 90º

Ângulo Obtuso: ângulo maior que 90º (e menor que 180º) 90º < < 180º

● Triângulo Retângulo

Como visto anteriormente, um triângulo retângulo possui um ângulo interno reto. Devido a sua aplicabilidade, faremos o seu estudo em particular.


Página 2 de 38

Lados de um Triângulo Retângulo:

Nomenclatura: Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto

(adjacentes a ele) são os catetos.

Termo Origem da palavra

Cateto Cathetós: (perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó (por baixo) + teino (eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotam-se as seguintes notações:

Letra Lado Triângulo Vértice / Ângulo Medida

a Hipotenusa

A Ângulo reto A = 90°

b Cateto B Ângulo agudo B < 90°

c Cateto C Ângulo agudo C < 90°

O Teorema de Pitágoras:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Então, podemos escrever: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2

Ou ainda, utilizando a simbologia do quadro acima:

a2 = b2 + c2

Ao lado, uma ilustração do teorema em questão: Observando os quadrados sobre os lados do triângulo retângulo, poderíamos enunciar o teorema assim:

“O quadrado da hipotenusa é igual

à soma dos quadrados dos catetos”

Observação:

Dado um triângulo qualquer, podemos identificá-lo, quanto aos ângulos, sem mesmo conhecê-los. Para isto, devemos conhecer as medidas dos seus lados e então aplicarmos o teorema de Pitágoras. Assim:

Se a2 = b2 + c2 teremos um triângulo retângulo [Â = 90º]

Se a2 < b2 + c2 teremos um triângulo acutângulo [Â < 90º]

Se a2 > b2 + c2 teremos um triângulo obtusângulo [Â > 90º]

Importante:

Vale lembrar que “a” é a medida da hipotenusa e sempre será o maior lado de um triângulo retângulo. Porém, para os dois últimos casos (Acutângulo e Obtusângulo) essa nomenclatura não é válida, todavia o valor de “a” está associado ao maior lado destes triângulos.

•

9


Página 3 de 38

Exemplos:

1) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de “x”:

Resolução:

Observação 1: uc unidades de comprimento.

Observação 2: O triângulo em questão é conhecido como um dos “Triângulos Pitagóricos”, pois as medidas dos seus lados correspondem

a números inteiros.

2) Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados ao solo por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que o comprimento de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até o centro da base da torre é de 15 metros, determine a altura desta torre.

Representação Esquemática do Problema: Representação Matemática do Problema: Resolução: O triângulo do problema é um triângulo retângulo de hipotenusa “30”.

Assim sendo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Então:

Solução: A altura da torre é de, aproximadamente, 26 metros.

EXERCÍCIOS – Teorema de Pitágoras

1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores de “x” para cada caso: a) b)

O triângulo em questão é retângulo de hipotenusa “x”. Logo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Então:

(hip)2 = (cat)2 + (cat)2

222

43x

25169x2

25x x = 5 uc

(hip)2 = (cat)2 + (cat)2

222

h1530

2

h225900

225900h

2

675h h 25,98 m

•

4

3 x

Centro da Base da Torre

•

h = ?

15

30


Página 4 de 38

c) d) e) f)

g)

2) Usando o teorema de Pitágoras, calcule os valores de “x” e “y” nas figuras:

a) b) c) Desenho fora de proporção!

3) Uma escada de 25 dm de comprimento se apóia num muro vertical do qual seu pé dista 7 dm. Se o pé da escada se afasta mais 8 dm do muro, determine o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada.


Página 5 de 38

C

B

A

4) Considerando a peça plana a seguir, determine a distância entre os furos:

a) A e B b) B e C

Observação: medidas em mm

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1a) 35 1b) 9 1c) 3 1d) 38,75 1e) 7,5 1f ) 5 1g) 3 2a) x = 53 , y = 52 2b) x = 6, y = 4,8 2c) x = 8, y = 4,8 3) 4 dm 4a) 32,70 mm 4b) 25 mm

Para refletir: Há quem passe pelo bosque e só veja lenha para fogueira. [Tolstoi]

Relações Trigonométricas num Triângulo Retângulo

O Seno, o Cosseno e a Tangente de um ângulo Agudo:

Seja um ângulo agudo de medida . Considere todos os infinitos triângulos retângulos com esse ângulo agudo . Observe na

figura abaixo alguns deles:

A A’ A” A”’

B

B’

B”

B”’

O

1'"

'"'"

"

""

'

''k

OB

BA

OB

BA

OB

BA

OB

AB

2'"

'"

"

"

'

'k

OB

OA

OB

OA

OB

OA

OB

OA

3'"

'"'"

"

""

'

''k

OA

BA

OA

BA

OA

BA

OA

AB

É perceptível que as constantes 1k , 2k e 3k dependem com exclusividade da medida do ângulo ,e não das dimensões

do triângulo para sua obtenção. Então, escolhendo um deles ao acaso, tem-se:

É possível perceber que os triângulos OAB, OA‟B‟, OA”B” e OA”‟B”‟ são semelhantes. Daí segue que a razão entre dois lados quaisquer de um destes triângulos, necessariamente será igual à mesma razão nos outros triângulos. Veja as relações apresentadas ao lado:


Página 6 de 38

cateto adjacente

ca

teto

op

os

to

hipote

nusa

.

Onde sen , cos e tg [lê-se: seno de , cosseno de e tangente de ] são respectivamente as constantes 1k , 2k e

3k conhecidas como razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Como os valores são constantes, podemos tê-los tabelados, conforme abaixo, ou mesmo numa calculadora científica:

0º 30º 45º 60º 90º

Seno 0 2

1 = 0,500

2

2 0,707

2

3 0,866 1

Cosseno 1 2

3 0,866

2

2 0,707

2

1 = 0,500 0

Tangente 0 3

3 0,577 1 3 1,732

Observações importantes:

• Para nosso estudo de triângulos, a utilização das colunas de 0º e 90º será muito rara. • Numa calculadora científica podemos obter o seno, o cosseno e a tangente de qualquer ângulo (com certas restrições). Veremos mais adiante como surgem tais valores.

Lei Angular de Tales:

“Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares”.

Assim: Se βα 90º, então: βcosαsen e αcosβsen .

Do exposto acima, tem-se então o quadro a seguir:

De maneira geral podemos escrever:

α)(90ºcosαsen ou αcosα)sen(90º

“O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complementar e vice-versa”

Veja os exemplos:

)30º(90ºcos30ºsen

0º6cos30ºsen

)0º4(90ºcos0º4sen

0º5cos0º4sen

)º14(90ºcosº14sen

º76cosº14sen

H

CO

Hipotenusa

OpostoCatetosen

H

CA

Hipotenusa

AdjacenteCatetocos

CA

CO

AdjacenteCateto

OpostoCatetotg

RE

LA

ÇÕ

ES

TR

IGO

NO

MÉ

TR

ICA

S

nu

m T

riâ

ng

ulo

Re

tân

gu

lo

a

c

b


Página 7 de 38

Existem outras razões trigonométricas que são conhecidas como: secante [sec], cosecante [cosec], e cotangente [cotg], que nada mais são do que razões inversas, oriundas das mencionadas anteriormente e que têm grandes aplicações em áreas específicas do conhecimento.

Cada valor trigonométrico, que foi pré-estabelecido e tabelado, é facilmente “encontrado” nas calculadoras científicas disponíveis atualmente. Através do estudo do círculo trigonométrico, que faremos mais a seguir, entenderemos melhor tais valores. Exemplos:

1) No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas indicadas.

Resolução [Cálculo do valor de “x”]:

H

COsen º30

6º30

xsen Substituindo º30sen pelo seu valor (tabelado), temos:

62

1 x 62 x ucx 3

Resolução [Cálculo do valor de “y”]:

H

CAº30cos

6º30cos

y Substituindo º30cos pelo seu valor (tabelado), temos:

62

3 y 362 y ucy 33

Nota: Poderíamos calcular o valor de y de outras formas [Experimente]:

Aplicando o teorema de Pitágoras, pois calculamos anteriormente o valor de x e assim temos dois lados

conhecidos do triangulo retângulo [a hipotenusa e um dos catetos]. Aplicando a relação tg 30º, pois calculamos anteriormente x [que é o cateto oposto ao ângulo de 30º] e assim

restando apenas a incógnita y [cateto adjacente ao ângulo de 30º] na relação com a tangente.

2) No triângulo retângulo abaixo [desenho fora de proporção], determine a medida do ângulo :

Resolução:

Primeiramente, deve-se escolher uma das relações trigonométricas [ sen , cos ou tg ] para utilizar no cálculo do ângulo .

A escolha depende dos lados que “conhecemos” no triângulo. Como, no triângulo dado, temos apenas os catetos

conhecidos, escolheremos a relação de tangente, pois ela envolve os dois catetos na sua relação. Assim:

Dados:

30º de ângulo ao ][C A adjacente cateto y

30º de ângulo ao ][C O oposto cateto x

hipotenusa 6

y

3

4


Página 8 de 38

CA

COtg

3

4tg

Para “isolarmos” o ângulo , fazemos:

3

4tgarc

Escrevendo a expressão, utilizando um padrão americano de escrita [que encontramos na maioria das calculadoras], temos:

3

4tgarc

3

4tan

1

º13,53 [valor obtido em calculadora científica]

Nota: Calculando o ângulo com as outras relações trigonométricas [ sen ou cos], obviamente encontraremos o mesmo

valor de º13,53 , entretanto, para a aplicação destas relações, devemos primeiramente calcular o valor da hipotenusa, que

no exemplo anterior, pode-se verificar facilmente que é de uc5 [aplicando o teorema de Pitágoras].

EXERCÍCIOS – Relações Trigonométricas num Triângulo Retângulo

1) Em cada caso, complete os valores solicitados:

sen

a) cos

tg

sen

cos b)

tg

sen

cos c)

tg

2) Encontre o valor de “x” em cada caso a seguir. As medidas estão em metros.


Página 9 de 38

3) Nas figuras abaixo, determine os valores desconhecidos: a) b)

4) A distância de uma pessoa a uma árvore é de 45m. Essa pessoa tem 1,80m de altura e o ângulo de elevação segundo o qual ela vê o topo da árvore é de 25°. Determine a altura dessa árvore.

Dados: sen 25º = 0,422 cos 25º = 0,906 tg 25º = 0,466

5) Na construção de um telhado foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa.

Dados: sen 20° = 0,342 cos 20° = 0,939 tg 20° = 0,363

6) Na peça plana abaixo, encontre o valor das medidas faltantes e também a distância entre os (centros dos) furos A e B: Observações:

Medidas em mm.

Precisão das medidas em centésimos de mm.

120º

Esp. 10

A

B

C

R.15

80

60

35

yB

yA

xC

xA


Página 10 de 38

7) Considerando a peça plana triangular apresentada abaixo, determine: a) a distância entre os furos F1 e F2; b) o perímetro da peça; c) o ângulo interno formado entre os lados A e B. Obs.: medidas em mm. 8) Determine a medida “L” sabendo que o raio da circunferência é 29,5 mm. 9) Determine o valor do ângulo no tronco de cone:

Observação: desenho fora de proporção.

10) Calcule a medida do angulo “A” na peça a seguir.

20

50

70

15

100

75

15

F1

F2

A

B

L

2

0

3

6

100


Página 11 de 38

11) Qual o valor do diâmetro “X” no tronco de cone abaixo. Obs.: medidas em mm. 12) Calcule o valor da cota “x” na „chapa de engate‟ apresentada. Obs.: medidas em mm. 13) Encontre o valor da medida solicitada na peça em questão. Obs.: medidas em mm.

14) Prove que, num triângulo retângulo que tem um dos ângulos agudos igual a 30º, a hipotenusa sempre tem o dobro da medida de um dos catetos.

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1a) sen = 0,45 / cos = 0,89 / tg = 0,50 / = 26,57º 1b) sen = 0,60 / cos = 0,80 / tg = 0,75 / = 36,87º

1c) sen = 0,83 / cos = 0,55 / tg = 1,50 / = 56,31º 2a) x = 8 m 2b) x = 2 m 2c) x = 30°

3a) x = 2uc e y = 4 uc 3b) x = 28,39 uc 4) 22,77 m 5) x = 5,05 m

6) xA = 27,01 mm / xC = 52,99 mm / yA = 27,5 mm / yB = 50 mm / d(A,B) = 25,98 mm

7a) 67,08 mm 7b) aprox. 285,25 mm 7c) 61,19º 8) L = 51,10 mm 9) = 4,57º

10) Â = 36,25º 11) X = 28,66 mm 12) x = 46,02 mm 13) x = 12,03 mm

Para refletir:

Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. [Jacques Chapellon]

50


Página 12 de 38

A

C

D 3

13

x

60º

Relações Trigonométricas num Triângulo Qualquer

Quando nos deparamos com situações em que não é possível adequá-las facilmente com triângulos retângulos, podemos optar por trabalhar com triângulos quaisquer. Para tanto, temos as relações abaixo [entre outras] que nos ajudarão na busca de soluções para os problemas mais diversos.

Observe as relações [veja desenho ao lado]:

Lei dos Cossenos: Acos2.b.c.cba

222 ˆ

Lei dos Senos: 2RCsen

c

Bsen

b

Asen

a

ˆˆˆ

Cálculo de Área [Triângulo]: 2

Csena.b.S

ˆ

Exemplo 1:

Resolução:

Detalhando as informações dadas no desenho, temos a figura 1, a seguir.

Inicialmente, calcularemos o comprimento do segmento AC:

Aplicando Pitágoras, temos:

222

32AC

1394AC2

13AC

Agora, aplicando a Lei dos Cossenos [figura 2], temos:

Acos2.b.c.cba222 ˆ

60ºcos2.x.3.3x13222

3x9x132

04 3x x2

Resolvendo a equação quadrática, encontramos:

x‟ = 4 e x” = –1 [não serve!]

Então, o perímetro (2p) do terreno, é: 2p = AB + BC + CD + DA

2p = 2 + 3 + 3 + x

2p = 8 + 4

2p = 12 km = 12.000 m

R

a

b

c

A

B

C

B A

C

D 3

3

2

B A

C

D 3

3

2

•

60º

Considere o terreno de uma grande fazenda com a forma representada no

desenho ao lado. Sabe-se que: BC = CD = 3 km, AB = 2 km, 60ºCDA ˆ e

90ºCBA ˆ . Deseja-se cercar o terreno e, para isto, é necessário conhecer

o seu perímetro. Sabendo que o metro “corrido” de cerca de aço [tela] tem custo de R$ 23,50 (incluindo mão-de-obra completa), quanto gastará para a realização de tal tarefa?

Figura 1

Agora, como o metro de cerca custa R$ 23,50, temos o custo total [C]:

C = 12000.(23,50)

C = 282.000,00

Portanto, será gasto R$ 282.000,00 para cercar toda a fazenda.

Figura 2

2

16x.9x13

2


Página 13 de 38

R

a

b

c

A

B

C

Exemplo 2: [PUC – PR / Adaptado] Determine a distância do ponto A ao ponto B [que está inacessível], sendo que são conhecidos os dados, conforme a figura abaixo. Resolução: Inicialmente, identificamos que o ângulo do vértice B é 45º e chamaremos de “x” a distância do ponto A até o ponto B. Agora então, para este caso, aplicaremos a Lei dos Senos. Assim:

Bsen

b

Csen

c

ˆˆ

45ºsen

80

105ºsen

x

2

2

80

4

62

x

4

6280

2

2x

)( 6220

2

2x )( 62402x

2

6240x

)(

2

2

2

6240x

)(

2

12440x

)(

)( 32220x 34040x 109,28ABx metros

Tópico Extra: Existem ainda muitas outras relações que podem ser utilizadas para determinar medidas relacionadas a um triângulo. Abaixo, algumas relações especiais para calcularmos a área de um triângulo qualquer, que não envolvem relações trigonométricas [veja desenho ao lado].

4R

ca.b.S

Enunciando a relação acima, temos: A área de um triângulo qualquer é o produto das medidas dos seus três lados dividido por quatro vezes o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

A relação c)b).(pa).(pp.(pS , sendo que “p” é o semiperímetro, definido por: 2

cbap

é conhecida como Fórmula de Heron [ou Herão].

Nota: Vale lembrar aqui a “tradicional” fórmula para cálculo da área de um triângulo qualquer: 2

alturabaseS

.


Página 14 de 38

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS [OU CIRCULARES] ● Introdução:

A trigonometria originou-se com parte do estudo dos triângulos. O nome tri-gono-metria significa, de certa forma, medida de figuras com três ângulos [lados] e as primeiras definições de funções trigonométricas foram em ternos de triângulos. No entanto, as funções trigonométricas podem ser definidas usando-se o círculo unitário [trigonométrico], uma definição que as faz periódicas. Muitos processos que ocorrem naturalmente são periódicos também. O nível da água em uma bacia sujeita às mares, a pressão sanguínea em um coração, uma corrente alternada e a posição de moléculas de ar transmitindo uma nota musical variam regularmente. Tais fenômenos, entre outros, são representados por funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares.

Baseado no texto da p. 24 do livro: HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma Variável. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

● Conceito Inicial: O Círculo Trigonométrico:

O Círculo Trigonométrico, também conhecido como circunferência ou ciclo trigonométrico, é uma circunferência de raio unitário, centrada na origem dum sistema de coordenadas cartesianas bidimensional. Nele, foi convencionado que a orientação no sentido anti-horário nos dará a contagem positiva dos ângulos [ou arcos], e consequentemente, no sentido horário, os ângulos serão dados como negativos.

● Unidades Angulares:

As unidades para ângulo são: o grau [ º ], o radiano [ rad ] e o grado [ gr ]. Vale observar que, no SI [Sistema Internacional de Unidades], a unidade para ângulo plano é o radiano. Das unidades em questão, o radiano é a única que dispensa a utilização de seu símbolo, neste caso “rad”. Assim, no ciclo trigonométrico abaixo, temos as extremidades dos quadrantes indicadas com as 3 unidades angulares mencionadas:

90º

0

360º

270º

180º

100gr

400gr

300gr

200gr 0gr

0º

Em nosso estudo, as unidades angulares mais utilizadas serão o radiano e o grau. Assim, a conversão entre elas pode ser feita através de uma regra de três, usando-se a relação:

180º rad

Observação: A partir do exposto até aqui, é possível indicarmos um ângulo maior que 360º ou mesmo um ângulo negativo; e isso implicará no comportamento periódico das funções trigonométricas que veremos a seguir.

Arcos côngruos [ou congruentes]

São arcos [ou ângulos] de mesma origem e de mesma extremidade, que diferem um do outro apenas pelo número de voltas no ciclo trigonométrico, independente do sentido da orientação. Veja:

...º710º350º1090º730º370º10

Note que: º360º10º370 º360).1(º10

º360º360º10º730 º360).2(º10

º360º360º360º10º1090 º360).3(º10

º360º10º350 º360).1(º10

º360º360º10º710 º360).2(º10

Assim, todo ângulo tem uma expressão geral do tipo:

º360.0 k , com k

Sendo k o número de voltas e 0 a “1ª determinação positiva”.

Para o caso acima, temos: º360.º10 k , com k .


Página 15 de 38

Definição de Radiano: um ângulo de 1 radiano é definido com sendo o ângulo no centro do círculo unitário que limita [determina] um arco de comprimento 1 nesse círculo, medido no sentido anti-horário [Figura 1].

Figura 1 Figura 2 [Fonte: Wikipédia]

Isso implica que 1 radiano corresponde ao arco com o mesmo comprimento do raio da circunferência em questão [Figura 2]. Notas: a palavra “radiano” remete a palavra raio [radius]. Quando temos a particularidade do raio ser unitário, será indiferente falar em arco ou ângulo.

Decorrente disso, podemos calcular o comprimento de qualquer arco de uma circunferência através do ângulo central ,

dado em radianos.

Assim: R

Definimos como Perímetro ou Comprimento C , uma volta completa

na circunferência. A relação acima fica assim adaptada:

RC 2

● As Relações Trigonométricas no Círculo Trigonométrico Unitário

Os valores de sen serão medidos no “eixo y” do sistema cartesiano ortogonal associado e os valores de cos serão

medidos no “eixo x”. Os valores de tg serão medidos num eixo vertical tangente à circunferência trigonométrica na

origem os arcos.

tgsencosec cotg

cossec

Os valores de secante [sec] e cossecante [cosec] de um ângulo serão medidos nos eixos “x” e “y”, respectivamente, e os valores da cotangente [cotg] de um ângulo serão medidos num eixo horizontal tangente à circunferência trigonométrica.

Comprimento AP = 1

R = 1

= 1 rad

R

Comprimento do arco = raio


Página 16 de 38

Seno de um Ângulo :

O seno de um ângulo é a medida do segmento de reta que liga a origem do sistema cartesiano [ponto O] com a projeção

ortogonal da extremidade “P” do arco de sobre o eixo “y” [ponto M]. Veja os quatros possíveis casos a seguir com arcos

em cada um dos quadrantes.

1º Quadrante 2º Quadrante

θsenOM

Note que:

θ)(senθsen


θsenOM

Observação: É importante verificar que o seno de um ângulo qualquer estará sempre compreendido no intervalo:

1sen1

Cosseno de um Ângulo :

O cosseno de um ângulo é a medida do segmento de reta que liga a origem do sistema cartesiano [ponto O] com a

projeção ortogonal da extremidade “P” do arco de sobre o eixo “x” [ponto M]. Veja os quatros possíveis casos a seguir com arcos em cada um dos quadrantes.


θcosON

Note que:

θ)cos(θcos


Página 17 de 38


θcosON

Observação: É importante verificar que o cosseno de um ângulo qualquer estará sempre compreendido no intervalo:

1cos1

Tangente de um Ângulo :

A tangente de um ângulo é a medida do segmento de reta que liga a origem do ciclo trigonométrico [ponto A] com a

intersecção [ponto T] da reta que passa pela origem do sistema cartesiano e pela extremidade “P” do arco de . Veja os

quatros possíveis casos a seguir com arcos em cada um dos quadrantes.


AT = tgθ

Note que:

θ)(tgθtg


AT = tgθ

Observação: É importante notar que a tangente de um ângulo só existirá se: º180.º90 k com Zk .

Considerando o exposto acima, a θtg pode assumir qualquer valor real, ou seja: θtg


Página 18 de 38

Agora, vamos verificar “graficamente” alguns valores trigonométricos no Círculo abaixo:

Alguns Valores Trigonométricos Notáveis:

Para sua observação, na tabela abaixo apresentamos alguns valores trigonométricos, além dos já vistos anteriormente.

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º

sen

0 2

1

2

2

2

3

1 2

3

2

2 2

1

0

1

0

sen

cos

1 2

3

2

2

2

1

0 2

1

2

2

2

3

1

0

1

cos

tg

0 3

3

1

3

∄

3

1 3

3

0

∄

0

tg

Nota: experimente encontrar alguns dos valores trigonométricos em sua calculadora científica!

A Relação Fundamental da Trigonometria: 1cos22

sen

Podemos deduzi-la facilmente através do círculo trigonométrico. Veja:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo acima, temos:

222)()()( catcathip

222)(cos)()1( sen

1cos

22 sen

cos

sen

1

x

y


Página 19 de 38

Uma Animação na Web!

Em http://mat.absolutamente.net/ra_c_tri.html você poderá “interagir” com um círculo trigonométrico para observar a variação dos valores de seno, cosseno e tangente de um ângulo qualquer.

Secante, Cossecante e Cotangente de um Ângulo :

Veja abaixo as relações para um ângulo no 1º quadrante. A interpretação para os demais quadrantes fica a cargo do leitor.

OS = sec θ OC = cosec θ BQ = cotg θ

É importante notar que a secante de um ângulo só existirá se: º180.º90 k com Zk .

Considerando o exposto acima, a θsec terá variação: 1θsec ou 1θsec

É importante notar que a cossecante de um ângulo só existirá se: º180.º0 k com Zk .

Considerando o exposto acima, a θcosec terá variação: 1θcosec ou 1θcosec

É importante notar que a cotangente de um ângulo só existirá se: º180.º0 k com Zk .

Considerando o exposto acima, a θcotg pode assumir qualquer valor real, ou seja: θcotg

Resumo da Variação dos Sinais das Funções nos Quadrantes

1o Q 2o Q 3o Q 4o Q

Seno + + – –

Cosseno + – – +

Tangente + – + –

Cotangente + – + –

Secante + – – +

Cossecante + + – –

As Funções com Sinais Positivos nos Quadrantes!

sen cosec

todas

cos sec

tg cotg


Página 20 de 38

Mais Relações:

Podemos relacionar algumas funções trigonométricas entre si. Então segue abaixo, outras relações trigonométricas para um

arco qualquer x . Incluímos nessa lista, a relação fundamental da trigonometria [vista anteriormente] como lembrete.

1cos22

xxsen x

xsenxtg

cos

xx

cos

1sec

xsenx

1cosec

xsen

x

xtgx

cos1cotg

xtgx22

1sec xx22

cotg1cosec

Veja alguns exemplos:

a) ?º150t g 3

3

3

3

3

2

2

1

2/3

2/1

º30cos

º30

º150cos

º150º150tg

3

1

sensen

b) ?º60cosec 3

32

3

3

3

2

3

21

2/3

1

º60

1º60cosec

sen

c) ?º120sec 21

21

2/1

1

º60cos

1

º120cos

1º120sec

d) ?º225cotg 11

1

º45

1

º225

1º225cotg

tgtg

ou ainda: 12/2

2/2

º45

º45cos

º225

º225cosº225cotg

sensen

● Algumas Aplicações de Funções Trigonométricas

Variação Angular de Movimento:

A variação do ângulo “Y” em relação ao tempo “t” (em segundos) de uma corrida “leve” pode ser dada por:

4

3

3

8

9tsenY

Fonte: GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática: uma nova abordagem. Vol. 2. 1. ed. São Paulo: FTD, 2000.

Insolação Diária:

O modelo matemático que indica o número de horas do dia, com luz solar “L”, de uma determinada cidade norte americana, “t” dias após 1º de Janeiro é:

Fonte: J. Stewart – Cálculo Vol. 1 – p. 34

)80t(

365

2sen8,212)t(L


Página 21 de 38

O Processo Respiratório:

Em um modelo para descrever o processo respiratório, considera-se que o fluxo de ar “F” na traquéia, em ambos os sentidos (inspiração e expiração), e a pressão interpleural “P” (pressão existente na caixa torácica produzida pelo diafragma

e por músculos intercostais) são funções periódicas do tempo “t”, havendo entre elas uma diferença de fase. Essas funções são descritas, para t > 0, em que “k”, “A”, “B” e “C” são constantes reais positivas e “ß” é a freqüência respiratória, por:

F(t) = A.sen (ß.t) com P(t)= C – B.F.(t + k/ß)

Densidade do Ar:

O modelo matemático desenvolvido pelo pesquisador brasileiro Prof. César Monteiro de Barros, determina a densidade do ar

(em kg/m3) em função da altitude H , em metros, para um limite de até 30.000 m de altitude.

876,029349)000131914,1(58,1 Hsen

● Funções Trigonométricas – Definições Funções Trigonométricas [ou Circulares] são funções que possuem pelo menos uma das relações trigonométricas estudas anteriormente. Nosso estudo ficará concentrado em modelos específicos de funções que envolvem somente o seno ou o cosseno de um ângulo. FUNÇÃO SENO

Definição: É uma função do tipo Df : , tal que: xsenxf )( .

Representação Gráfica:

Características:

Domínio: D Conjunto Imagem: 11|1,1Im yy

Alguns Conceitos Associados:

Amplitude [ A ] é a metade da distância entre o valor máximo e mínimo da função (se existirem).

Período [ p ] é o espaço [ou menor tempo] necessário para que a função execute um ciclo completo.

Assim, na função xsenxf )( temos que a Amplitude é: 1A e o período é: 2p .

Nota: Funções que possuem período [e que por isso formam ciclos repetidos] são chamadas de funções periódicas.

2p

1A


Página 22 de 38

FUNÇÃO COSSENO

Definição: É uma função do tipo Df : , tal que: xxf cos)( .


Características:

Domínio: D Conjunto Imagem: 11|1,1Im yy

Amplitude: 1A Período: 2p

Note que, se “deslocarmos horizontalmente” o gráfico da função xy cos em rad2/ , esse novo gráfico ficará

idêntico ao gráfico da função xseny . Por esse motivo, gráficos que têm a forma de uma curva seno ou cosseno são

chamados de senoidais. Podemos ainda dizer que a DIFERENÇA DE FASE entre xseny e xy cos é 2/ .

FUNÇÃO TANGENTE

Definição: É uma função do tipo Df : , tal que: xtgxf )( .


Características:

Domínio:

ZkcomkxxD ,2

/

Conjunto Imagem: Im

Amplitude: .temnão Período: p

A função xtgxf )( tem assíntotas verticais em

Zkcomkx ,2

.

p =

Assíntota Vertical

2p

x

1A


Página 23 de 38

Observações:

Pesquise e reflita sobre a representação gráfica das funções )(sec xy , )(cosec xy e )(cotg xy .

As funções trigonométricas, considerando certas restrições, possuem inversa. As funções xseny e xy cos , por

exemplo, têm como inversas: xy sen arc e xy cos arc , respectivamente. [Procure saber mais!]

Nas calculadoras científicas mais comuns encontraremos as funções inversas sen arc e cos arc , por exemplo,

representadas por -1

sin e -1cos , respectivamente. Esta última representação [com expoente (–1)] é apenas um padrão

de simplificação, muito provavelmente de origem norte-americana. ● Variando Parâmetros das Funções Circulares

Vamos estudar o comportamento gráfico da função circular SENO, através da variação dos parâmetros: Amplitude, Período, Deslocamento Vertical e Descolamento Horizontal (Fase). O raciocínio é análogo para o comportamento da função COSSENO. Deslocamento Vertical:

O Deslocamento Vertical do gráfico de uma função trigonométrica do tipo )(xsenay se dá pela análise do termo “a”.

Veja:

)()( xsenxf

)(1)( xsenxg

)(3)( xsenxh

)(3)( xsenxt

Assim, concluímos que o Desloc. Vertical [ DV ] é dado por: aDV

Fique Ligado!

Observe as notações abaixo:

2)2( xsenxsen

pois

xsenxsen 22

x

y

)(xf

)(xg

)(xh

)(xt


Página 24 de 38

Variação da Amplitude:

A variação de amplitude de uma função trigonométrica do tipo )(. xsenby se dá pela análise do termo “b”, em módulo.

Veja:

)()( xsenxf

)(2)( xsenxg

)(4)( xsenxh

Nota: caso o parâmetro “b” seja negativo, a amplitude não mudará, porém o gráfico terá uma “inversão na onda”. Veja:

)(3)( xsenxf )(3)( xsenxg

Assim, definimos que a Amplitude [ A ] é dada por: || bA

x

y

)(xf

)(xg

)(xh

x

y

x

y


Página 25 de 38

x

y

Variação do Período:

A variação do período de uma função trigonométrica do tipo )(cxseny se dá pela análise do termo “c”, em módulo.

Veja:

)()( xsenxf 1c

2)(

xsenxg

2

1c

3)(

xsenxh

3

1c

Observe que: à medida que o valor de “c” diminui, o período da função aumenta. Desta forma, se aumentarmos o valor de “c”, o período da função diminuirá.

Assim, temos que o período [ p ] é dado por: ||

2

cp

)(xf

)(xg

)(xh

x

y

x

y


Página 26 de 38

Deslocamento Horizontal (Diferença de Fase):

O Deslocamento Horizontal [ou diferença de fase] de uma função trigonométrica do tipo )( dcxseny se dá pela

análise conjunta dos termos “c” e “d” da função. Veja:

)()( xsenxf

2)(

xsenxg

2)(

xsenxh

Observação:

Veja que:

2cos

xsenx

)(xf

)(xg

)(xh


Página 27 de 38

Agora, observe estes exemplos:

2)(

xsenxf

22)(

xsenxg

23)(

xsenxh

Assim, podemos definir que o

Deslocamento Horizontal [ DH ]

é dado por: c

dDH

Nota: Os gráficos [de variação de parâmetros] apresentados acima foram feitos no Winplot 1.32 e no Maple 13.

)(xf

)(xg

)(xh


Página 28 de 38

atg

atgatg

21

22

tgbtga

tgbtgabatg

1)(

● A Função Periódica Genérica [ou Generalizada]: Agora, podemos escrever uma função periódica generalizada:

)()( dcxsenbaxf ou )(cos)( dcxbaxf

Sendo que:

Amplitude: || bA Período: ||

2

cp

Desloc. Horizontal:

c

dDH

Desloc. Vertical: aDV

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCOS: Tais transformações apresentadas abaixo, não farão parte de nosso estudo neste momento. Entretanto, torna-se oportuno apresentá-las agora. Procure relembrar e aprender um pouco mais! Fórmulas de Adição e Subtração de Arcos:

asenbbsenabasen coscos)(

senbsenababa coscos)(cos

Fórmulas de Arco Duplo:

asenaasen cos22 asenaa 22cos2cos

Fórmulas de Arco Metade:

2

cos1

2

aasen

2

cos1

2cos

aa

a

aatg

cos1

cos1

2

Fórmulas de Transformação de Soma em Produto [Prostaférese]:

2cos

22

babasenbsenasen

)cos()cos(

)(

ba

basenbtgatg

2cos

22

babasenbsenasen

)cos()cos(

)(

ba

basenbtgatg

2cos

2cos2coscos

bababa

222coscos

basen

basenba

Agora, para refletir...

Não se pode transformar o que não se aceita. [Jung] É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. [Sócrates]

Para Descontrair [se você puder!]

y = sen(x) y = cos(x) y = tg(x) y = cotg(x)

y = |x| y = x y = x2 x2 + y2 = r2

y = y = y =


Página 29 de 38

EXEMPLOS – Construindo o Gráfico de uma Função Trigonométrica [através do conhecimento dos parâmetros]

1) Através do “uso” dos parâmetros; construa [passo a passo] o gráfico da função: )2/(2)( xsenxg .

I

II

III


Página 30 de 38

2) Através do “uso” dos parâmetros; construa [passo a passo] o gráfico da função: )2(21)( xsenxf .

I II

III IV

V VI


Página 31 de 38

EXEMPLOS – Encontrando uma Função Trigonométrica através da sua Representação Gráfica

1) Determine uma função geradora do gráfico abaixo.

A função geradora pode ser:

23

1cos

xy . Outra possibilidade seria:

xseny

3

1

2) Escreva uma função trigonométrica que representa o gráfico dado a seguir.

Uma função geradora do gráfico é: )2/(cos34 xy . Outra poderia ser: )(34 xseny


Página 32 de 38

EXERCÍCIOS – Funções Trigonométricas [ou Circulares] 1) Esboce o gráfico das funções dadas a seguir, indicando para cada caso, a amplitude, o período, os deslocamentos e também o conjunto Imagem. [Obs.: não é necessário representar mais que um período da função dada]

a) f(x) = 3.sen(x)

b) f(x) = –3.sen(x)

c) f(t) = 5.cos(t)

d) f(t) = –5.cos(t)

e) y = 1 + sen(x)

f) y = cos(x/2)

g) y = sen(5x) + 1

h) y = sen(x + )

2) Com base no círculo trigonométrico ao lado, determine os valores pedidos a seguir.

a) sen 30º = _________ i) sen 270º = _________

b) cos 60º = _________ j) cos 270º = _________

c) sen 150º = _________ k) sen (–90º) = _________

d) cos 150º = _________ l) cos (–90º) = _________

e) sen 90º = _________ m) sen 315º = _________

f) cos 90º = _________ n) sen (–45º) = _________

g) sen 210º = _________ o) cos 315º = _________

h) cos 210º = _________ p) cos (–45º) = _________

Observação: Confira as respostas em sua calculadora científica!

3) Em 10 de fevereiro de 1990, a maré alta numa determinada cidade foi à meia noite. A altura de água no porto é uma

função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baixa. A altura (em pés) é aproximada pela fórmula:

ty

6cos9,45

, onde “t” é o tempo em horas desde a meia noite de 10 de fevereiro de 1990.

a) Esboce um gráfico dessa função em 10 de fevereiro de 1990 [de t = 0 até t = 24h] b) Qual era a altura da água à maré alta? c) Quando foi a maré baixa e qual era a altura da água nesse momento? d) Qual é o período desta função e o que ele representa em termos das marés?

e) Qual é a amplitude desta função e o que ela representa em termos das marés?

4) [UCS / Adaptada] Nossa respiração é um fenômeno cíclico, com períodos alternados de inspiração e expiração. Em um

determinado adulto, a velocidade do ar nos pulmões [m/s] em função do tempo, em segundos, decorrido a partir do início

de uma inspiração é dada pela equação:

5

25,0)(

tsentv

. Assim, determine o tempo de um ciclo respiratório

completo desse adulto [em segundos] e a maior velocidade que o ar pode atingir no fenômeno em questão.

5) Num certo lugar, as marés altas ocorrem à 0 h e às 12 h com altitude de 0,9 m , enquanto que as marés baixas ocorrem

às 6 h e às 18 h com altitude de 0,1 m . Nessas condições, qual a função que descreve a altitude do mar [em metros] em

relação ao horário “t”, em horas?

i) y = 2.sen(x + )

j) y = 0,5(cos 3x) + 1

k) y = – 2 + cos(t/4)

l) y = – 2 + 2.sen(4x)

m) y = 3.cos(x + ) – 1

n) y = 1 + 2.sen(x + /2)

o) y = – cos(2t) – 2

p) y = 1 – 3.cos(x + )


Página 33 de 38

6) Quando uma onda senoidal se propaga em uma corda, sua fonte realiza, na vertical, um movimento harmônico simples e

tem sua posição y , em função do tempo t , dada pela lei )(cos)( tAty , em que A é a amplitude, é a fase

inicial e é a pulsação do movimento. Sabendo que uma onda se propaga de acordo com a equação

tty

42cos3)(

, analise as sentenças abaixo assinalando [V] para as afirmações verdadeiras e [F] para as falsas.

( ) A amplitude é igual a 3.

( ) A fase inicial é igual a /4.

( ) A pulsação da onda é igual a 2.

( ) A posição da vertical da onda é 2, para o tempo decorrido de 3/2.

7) Determine a função geradora de cada um dos gráficos dados a seguir:


Página 34 de 38

8) Utilizando como referência o triângulo ao lado, mostre que a tangente de

um ângulo pode ser calculada através da divisão do seno pelo cosseno do

mesmo ângulo, ou seja: x

xx

cos

sentg .

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS NOTA: Alguns dos gráficos apresentados a seguir contêm “deformidades” na sua curvatura!

1a)

Amplitude: 3A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: zeroDV

Deslocamento Horizontal: zeroDH

Conjunto Imagem: }33{Im y/Ry

1b)

Amplitude: 3A

Período: 2p




1c)

Amplitude: 5A

Período: 2p




1d)

Amplitude: 5A

Período: 2p




a

c

b

y = 3 sen x

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 90 180 270 360

y = -3 sen x

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 90 180 270 360

y = 5 cos t

-5-4-3-2-1012345

0 90 180 270 360

y = -5 cos t

-5-4-3-2-1012345

0 90 180 270 360

)(3 xseny

)(cos5 ty

)(cos5 ty

)(3 xseny


Página 35 de 38

1e)

Amplitude: 1A

Período: 2p

Deslocamento Vertical: 1DV



1f)

Amplitude: 1A

Período: 4p




1g)

Amplitude: 1A

Período: 5/2p




1h)

Amplitude: 1A

Período: 2p


Deslocamento Horizontal: DH


1i)

Amplitude: 2A

Período: 2p




y = sen (x) + 1

-2

-1

0

1

2

0 90 180 270 360

y = cos(x/2)

-1

-0,5

0

0,5

1

0 180 360 540 720

y=sen(5x)+1

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 18 36 54 72

y=sen(x+p)

-1

-0,5

0

0,5

1

-270 -180 -90 0 90 180 270 360

y=2 sen(x+p)

-2

-1

0

1

2

-270 -180 -90 0 90 180 270 360

)( xseny

)(2 xseny

)(1 xseny

1)5( xseny

)2/(cos xy


Página 36 de 38

1j)

Amplitude: 2/1A

Período: 3/2p



Conjunto Imagem: }2/32/1{Im y/Ry

1k)

Amplitude: 1A

Período: 8p




1l)

Amplitude: 2A

Período: 2/p




1m)

Amplitude: 3A

Período: 2p




1n)

Amplitude: 2A

Período: 2p


Deslocamento Horizontal: 2/DH


y=0,5(cos3x)+1

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 30 60 90 120

y=(cosx/4)-2

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 360 720 1080 1440

y=2sen(4x)-2

-4

-3

-2

-1

0

0 22,5 45 67,5 90

y=3cos(x+p)-1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-270 -180 -90 0 90 180 270 360

y=2sen(x+p/2)+1

-2

-1

0

1

2

3

-180 -90 0 90 180 270 360

)4(22 xseny

)2/(21 xseny

1)(cos3 xy

)4/(cos2 ty

1)3.(cos5,0 xy


Página 37 de 38

1o) Função: 2)2(cos ty

Amplitude: 1A

Período: p




1p) Função: )(cos31 xy

Amplitude: 3A

Período: 2p




3a)

3b) 9,9pés 3c) Às 6h e às 18h com altura de 0,1pé 3d) 12h [discutir significado] 3e) 4,9pés [discutir significado]

9,90

7,45

2,55

0,10

2,55

7,45

9,90

7,45

2,55

0,10

2,55

7,45

9,90

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Alt

ura

da

mar

é (

pé

s)

t (horas)

10 de fevereiro de 1990


Página 38 de 38

4) 5 segundos e 0,5 m/s 5)

ty

6cos4,05,0

6) V – F – V – F

7a)

)2(23)( xsenxf 7b)

xxf

4

3cos9,01,0)( 7c)

22

1)(

xsenxf

7d)

2

3

2

1cos)(

xxf 7e)

2)(

xsenxf 7f)

2cos35)(

xxf

Tópico Extra: As Funções Trigonométricas Hiperbólicas

As funções trigonométricas, até aqui estudadas, são funções trigonométricas circulares, pois seus valores estão associados

à circunferência 122 yx . Assim, as funções trigonométricas hiperbólicas têm seus valores associados à hipérbole

[equilátera] 122 yx . Essas funções hiperbólicas podem ser identificadas pelo “h” presente na simbologia que as

descrevem e são, de certa maneira, “similares” as funções trigonométricas circulares. Veja algumas relações:

2)(

xxee

xsenh

2

)(

xxee

xcosh

)(

)()(

xcosh

xsenhxtgh

)(

)()(

xsenh

xcoshxghcot

)(

1)(

xcoshxsech

)(

1)(

xsenhxcosech 1)()(

22 xsenhxcosh relação notável da trigonometria hiperbólica

Interessou? Pesquise e procure saber mais!

Curiosidade Científica: Por volta do século III antes de Cristo, Erastóstenes mediu o raio da Terra sem utilizar qualquer tipo de instrumentos de precisão. O valor que ele calculou estava errado em apenas 1% do valor determinado pela alta tecnologia dos nossos dias.

Leia o pequeno artigo abaixo!

Erastóstenes (285 – 194 a.C.) foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego. Nasceu em Siena na Grécia, e morreu em Alexandria. Erastóstenes é lembrado nos dias de hoje (no meio científico), principalmente por seu "crivo" para determinar números primos. Porém, talvez seu trabalho mais interessante seja a medida da Terra. Sua tentativa não foi a primeira nem a última na antiguidade, mas em tudo foi a de mais sucesso.

Erastóstenes suspeitou que a Terra fosse esférica e, com auxílio da trigonometria, mediu com engenhosidade e relativa precisão o perímetro da circunferência polar de nosso planeta. Ele observou que num dia de solstício de verão [o dia mais longo do ano, que é 21 de junho, no Hemisfério Norte], em Siena (hoje Assuã, no Egito), o sol brilhava diretamente para dentro de um poço profundo. Ao mesmo tempo, em Alexandria, cidade que se localizava no mesmo meridiano de Siena, o sol não iluminava o fundo de um poço. Colocando uma vara na vertical era possível perceber que formava uma sombra. Conforme concluiu, este fato só poderia ser possível se a Terra fosse esférica. Assim verificou que esta sombra indicava que

os raios do sol formavam com a vertical do lugar, um ângulo que era de um cinquenta avos de uma circunferência, ou

seja, = 360º/50 = 7,2º.

Se é o ângulo formado por A com a sombra produzida pelos raios solares, então o ângulo

SÔA é igual a , ou seja, um cinquenta avos da circunferência. A distância entre Siena e

Alexandria foi estimada em 5.000 estádios (aprox. 800 km) que era a unidade utilizada na época, e como a circunferência da Terra deveria ser 50 vezes essa distância, foi encontrado um perímetro de 250.000 estádios. Textos posteriores indicavam 252.000 ao invés de 250.000 estádios, talvez para fornecer uma cifra redonda de 700 estádios por grau. Um estádio era, segundo alguns estudos, próximo de um décimo de milha (aprox. 160m). Assim 250.000 estádios é o mesmo que (aproximadamente) 40.000 quilômetros e o diâmetro polar da Terra foi calculado como 12.732 km, aproximadamente. Hoje, sabemos que o verdadeiro diâmetro polar mede 12.713,5 km. Interessou? Pesquise e procure saber mais!

Adaptado de: http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/medida_raio_terra.html

http://pt.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes

http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/medida_raio_terra.html

http://pt.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes

estudo das funÇÕes elementares [parte 3]julio.tomio/calculo 1/mat ensino 04... · conhecer as...

Documents