1 UNEAL - UNIVERSIDADE ESTADUAL DE ALAGOAS Disciplina: FUNDAMENTOS DE MATEMTICA I Professora: Luciana Resende. Funes Bibliografia BsicaLivro: Pr-clculo Ed. Thomson Valria Zuma Medeiros (coord.) FUNES Funo a relao entre duas grandezas variveis. Dados dois conjuntos no vazios A e B, uma funo de A em B toda relao na qual, para todo elemento de A, existe um NICO correspondente em B. Representado por meio de diagrama: AB

xff(x) Domnio Contradomnio f funo de A em B y = f(x) Notao de funo: f: A Bou A f Bque se l: f uma funo de A em B. Conjunto A o DOMNIO da funo (valores de x)D (f) Conjunto B o CONTRADOMNIO da funo CD (f) y = f(x) a IMAGEM de x pela funo f(Imagem = valores de y)Im (f) QUESTES PROPOSTAS (1 A) 1) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {-1, 0, 1, 3, 4} e a correspondncia entre A e B dada por y = x2, com x A e y B, faa um diagrama e diga se f uma funo de A em B. 2) Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1} e a correspondncia entre A e B dada por y = x- 2, com x Ae y B, faa um diagrama e diga se f uma funo de A em B. 3) Dados A = {-1, 0, 1, 2, 3},B = {1/2, 1, 2, 4, 6, 8} e uma correspondncia entre A e B expressa por y = 2x, com x A e y B, essa correspondncia uma funo de A em B? 4) Observe a tabela abaixo: Ax1491625 By12345 a) Faa um diagrama e diga se f uma funo de A em B. b) Em caso afirmativo, escreva a frmula matemtica dessa funo. Caso contrrio justifique. 5) Considere A gBa funo para qualA = {1, 3, 4}, B = {3, 9, 12} e g(x) o triplo de x, para todo x A. a) Construa o diagrama de flechas da funo b) Determine D(g), CD(g) e Im(g). c) Determine g(3) g(5). d) Determine x para o qual g(x) = 12. 6) Quais dos seguintes diagramas representam uma funo de A em B? Gabarito 1A 1) funo 2) No funo, 0 A e no tem correspondente em B.3) Sim4) a) simb) y =x 5) b) -6c) 4 6) a, b, d, e. FUNES DEFINIDAS POR FRMULAS MATEMTICAS Exemplos 1) Escreva a frmula matemtica que expresse a lei de cada uma das funes abaixo: a) Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$40,00 de visita mais R$20,00 por hora de mo-de-obra. Ento o preo y que se deve pagar pelo conserto de um televisor dado em funo do nmero x de horas de trabalho (mo-de-obra). f y x B y A x ) , ( / | , 2 b) Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os por R$ 20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante dado em funo do nmero x de unidades produzidas e vendidas. c) A Organizao Mundial da Sade recomenda que cada cidade tenha no mnimo14 m2 de rea verde por habitante. A rea verde mnima y que deve ter uma cidade dada em funo do nmero x de habitantes. d) Um tringulo tem base fixa de 6 em e altura varivel de x cm. A rea y, em cm2, dada em funo de x. ZERO OU RAIZ DE UMA FUNO Denomina-se raiz ou zero de uma funo a todo valor de: Exemplo: Seja a funo f(x) = 5x + 10. Para calcularmos sua raiz, devemos ter f(x) = 0. Clculo: 0= 5x + 10 x = -2(-2 a raiz de f) VALOR NUMRICO DE UMA FUNO Chamamos de valor numrico de uma funo o valor que a varively = f(x) assume quando atribumos a x um determinado valor. Podemos substituir a varivel independente x por uma letra (que representa um nmero) ou por uma expresso algbrica (que representa uma combinao de nmeros). QUESTES PROPOSTAS (1) 1) (Oficina de Cidadania/CONSULTEC 2006) Se f uma funo real definida porf(x) = 2x3 -1, ento,f(1) + f(0) f(-1) igual a:a) -3 b) 1 c) 0 d) -1e) 3 2) (CESGRANRIO)Se f(x) = 1 xx x2 4++,ento ||

\|21f : a) 5/24b) - 5/8c) - 5/32d) 5/32 e) 65/24 3) A funo f: R* R dada por f(x) = x +x-1. Determine: a) f(3) - 152f ||

\|21 b) f(x+1), para x -1 c) f(a-1), para a1 . 4) As funes f e g so dadas por f(x)= 2x - 3 e g(x) = 3x+ a. Determine o valor de a sabendo que f(2) + g(2) = 8. 5) Seja a funo RR dada por y = x2 - 5x +7. Determine:a) a imagem do nmero 4. b) o nmero real x tal que f(x) = 1. 6) Seja f: RR uma funo tal que: f(x) = x2+ bx + c(b R, cR) f(1) = 2 f(-1) = 12 Determine a)f(2)b) f(-3) 10) Um fazendeiro estabelece o preo da saca de caf em funo da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador, usando a equao P = 50 + n200, em que P o preo em dlares e n o nmero de sacas vendidas. Quanto deve pagar, por saca em reais, um comprador que adquirir 1000 sacas, com o dlar cotado R$ 2,80? a) R$ 130,56. b) R$ 135,65. c) R$ 140,56. d) R$ 145,65. e) R$ 150,56. 11) (COLUNI/2005) Para distribuir diariamente as correspondncias em uma determinada cidade, o numero de carteiros C em funo do nmero de residnciasn , dado por C ( n ) =nn+ 25011. Em um certo bairro da cidade so necessrios seis carteiros para distribuir as correspondncias em x D(f) que faz f(x) = 0 3 um dia. Podemos afirmar que o nmero de residncias desse bairro : a) 600b) 400 c) 450d) 150e) 300 Estudo do Domnio de uma funo (Definir os possveis valores para x) Determinar o domnio de uma funo de varivel real consiste em obter o subconjunto mais amplo de R, cujos elementos possam ser operados pela lei da funo. Esse subconjunto tambm chamado de domnio de validade ou de existncia da funo. Devemos observar que: NO SE PODE DIVIDIR POR ZERO. NO EXISTE RAIZ REAL DE NDICE PAR COM O RADICANDO NEGATIVO. Exemplos: 1. f(x) = 3x2 2x seu domnio todo conjunto dos nmeros reais, ou seja: Dom = R 2. f(x) = xx 4Seu domnio todo o conjunto dos nmeros reais com exceo do valor x = 4 que anula o denominador, ou seja:Dom = R {4} ou Dom = {x R/x 4} 3. f(x) =x seu domnio todo o conjunto dos nmeros reais com exceo dos nmeros negativos , ou seja :Dom = {x R/X 0} 4. =31 x ) x ( f seu domnio todo conjunto dos nmeros reais ( pois o ndice da raiz mpar), ou seja: Dom = R 5. =x1) x ( fseu domnio o conjunto dos nmeros reais positivos, pois x 0 e x 0, ou seja: Dom = {x R / x > 0} QUESTES PROPOSTAS(2 A) Determine o domnio das funes: a) g(x) =11+ x b) f(x) =12+ x

c) h(x) = 46 2 x+4 x

d) f(x) = 42 13++x xxx e) 3 23x x Gabarito 2A a) {x R/ x -1} b) {x R/ x >-1} c) {x R/ x 4 } d) {x R/ x 1 }e) R FUNO DEFINIDA POR VRIAS SENTENAS Uma funo pode ser dividida em vrias sentenas, onde o domnio dela a unio dos domnios das sentenas. Exemplos: 4 QUESTES PROPOSTAS - (2) 1) Seja f: RR uma funo cuja lei envolve mais de uma sentena: =1 32 1) (x se xx se xx f .Calcule: a) f ||

\|27b) f(2) + f(-1) c) f(-4) 25 2) Considere a funof: RR definida por funo < + < =x sex se xx se xx f7 47 1 11 3) ( Determine: a) f||

\|21 b) f 12c) f(3) + f(10) d) f(-2) f(0) GABARITO - (2) 1) a) 5/2 b) -1c) -3/2 2) a) 3/2b) 2 3 +1c) 8d) 4 GRFICO DE UMA FUNO O grfico de uma funo f o conjunto de todos os pontos (x,y) no plano cartesiano tal que x pertence ao domnio de f e y a imagem de f, e y = f(x). Para esboar o grfico de uma funo no plano cartesiano, devemos atribuir valores a x, determinando os respectivos valores numricos de y. D = [a, b] Im = [f(a), f(b)] INTERPRETAO GRFICA Eixo OX eixo das ABSCISSAS Eixo OY eixo das ORDENADAS (x,y) - PAR ORDENADO O ponto P (x,y) f. Domnio intervalo representado pela projeo do grfico sobre o eixo das abscissas. Imagem intervalo representado pela projeo do grfico sobre o eixo das ordenadas. As RAZES de uma funo so as abscissas dos pontos, onde o grfico intercepta o eixo x. Toda reta perpendicular ao eixo das abscissas interceptar o grfico de f no mximo em um ponto. (Teste da reta vertical). OBSERVAES I)O grfico de uma funo no pode passar acima ou abaixo de si mesmo. II) Dois pontos distintos de um grfico no podem possuir a mesma abscissa. 5 Exemplo O grfico abaixo no representa uma funo. Os pontos P e Q possuem a mesma abscissa. QUESTES PROPOSTAS - (3) 1) No plano cartesiano abaixo faa o esboo do grfico de cada funo e identifique o domnio e a imagem de cada uma delas. a) funo f definida por y = x + 1 com a restrio x >1.b) g(x) = 2x +1, comx < -1. c) t(x) = -4, com x > 2. 2) Use o teste da reta vertical para verificar se as curvas abaixo representam uma funo. 3) Identifique quais dos grficos abaixo representam uma funo.

Grfico (I)Grfico (II)Grfico (III)

Grfico (IV)Grfico (V) Grfico (VI) 4) Para cada uma das funes construa o grfico e d o domnio e o conjunto-imagem. a) 0) O maior valor de x corresponde a um maior valor de f(x). Ex: f(x) = 2x 1 Demonstrao . . . . FUNO DECRESCENTE (m < 0) O maior valor de x corresponde a um menor valor de f(x). Ex: f(x) = - x +1 Demonstrao EQUAO DA RETA Podemos determinar a equao de uma reta a partir de dados geomtricos. Quando temos dois pontos da reta (x1, y1) e (x2, y2) podemos calcular o coeficiente angular m (ou inclinao) por: Coeficiente angular (declividade) m = tg =xyx xy y=1 21 2 Considerando (x, y) um ponto genrico; tendo o coeficiente angular m e um ponto (x1, y1) da reta, a equao calculada por: y y1 = m (x x1) Esta equao est na forma ponto-inclinao. Efetuando os produtos e reagrupando os termos, podemos reescrever esta equao em uma forma conhecida como forma inclinao-interseo: y = mx + b Esta equao pode ser escrita na forma padro que a equao geral da reta ax + by + c = 0 Nesta equao o coeficiente angular (declividade) m dado por m = ba OBSERVAES A equao da reta e seu grfico so totalmente determinados uma vez que se conhea o coeficiente angular e um nico ponto desta reta. Quando m = 0, a equao se reduz a y = b e a reta horizontal. Uma reta vertical dada por uma equao da forma x = a e no o grfico de uma funo; a declividade da reta no definida. Exemplo 1) Considere a reta que passa pelos pontos (-3;-5) e (-1;1). a) Determine o coeficiente angular m. b) Considerando m e o ponto (-3,-5) determine a equao da reta nas formas: ponto inclinao, inclinao-interseo e na forma geral. c) Resolva a questo anterior considerando m e o ponto (-1; 1). d) Comparando as equaes gerais encontradas nos itens b e c, faa um comentrio sobre elas. Soluo 9 QUESTES PROPOSTAS - (5) 1) Escreva a funo f(x) = mx + b sabendo que: a) f(2) = -2 e f(1) = 1 b) f(1) = 5 e f(-3) = -7 2) Obtenha, em cada caso, aequao da reta, cujo grfico passa pelos pontos: a) (-1,1) e (2,0) b) (3,0) e (0,4) 3) Dados os grficos das funes de IR em IR , escreva a funo f(x) = mx + b correspondente: 4) Em cada caso determine a equao da reta na forma y = mx + b. a) Reta com inclinao 8 passando pelo ponto (-2,3). b) Reta passando pelos pontos (2,1) e (-1,5). c) Reta com inclinao -3 e interseo com o eixo y no ponto 2. d) Reta com inclinao -1/2 passando pelo ponto (0,0). e) Reta passando pelos pontos (2/3,1) e (-4/7,1). f) Reta passando pelos pontos (-2,1/2) e (-2,-1). 5) (UEG-GO) Em uma fbrica, o custo de produo de 500 unidades de camiseta de 1000 unidades de R$3000,00. Sabendo que o custo das camisetas dado em funo do nmero produzido atravs da expresso c(x) = qx + b, em que x a quantidade produzida e b o custo fixo, determine: a) os valores de b e q; b) o custo de produo de 800 camisetas. 6) Desde o incio do ano, o preo do pacote de macarro nos supermercados vem subindo a uma taxa constante de 2 centavos por ms. No dia primeiro de novembro, o preo era R$1,56. Expresse o preo do macarro em funo do tempo e determine quanto custava o pacote de macarro no incio do ano. 7) Uma empresa de software est produzindo atualmente uma mdia de 500 cpias de um certo jogo de computador por semana a um custo de R$42.500,00. O custo uma funo linear do nmero de cpias produzidas e aumenta de R$1.875,00 por semana para cada 25 cpias produzidas a mais. Determine o valor do custo para um nvel de produo de 550 cpias por semana. GABARITO - (5) 1) a) f(x) = -3x +4 b) f(x) = 3x +2 2) a) f(x) = -x/3 + 2/3 b) f(x) = -4x/3 + 4 3) a) f(x) = -x/2 +5 b) f(x) = 2x +4 4) a) y = 8x+19 b) y = -4x/3 + 11/3 c) y = -3x +2 d) y = -x/2 e) y = 1 f) x = -2 5) a) b=2400 e q=3/5. b) R$2880,00 6) f(x) = 2x + 136 (em centavos) ou 0,02x + 1,36 Preo em janeiro R$1,36. 7) f(550)=46250 POSIES DE DUAS RETAS NO PLANO CARTESIANO RETAS PARALELASr // s Duas retas, no verticais, so paralelas se, e somente se, elas tm o mesmo coeficiente angular, isto : mr = ms RETAS PERPENDICULARES rs Duas retas, no verticais, so perpendiculares se, e somente se, seus coeficientes angulares so simtricos e inversos, isto mr = rm1 10 RETAS CONCORRENTES Coeficientes diferentes mr ms. Possui interseo entre elas. A interseo entre duas retas o ponto onde as retas se interceptam, se houver tal ponto. Dadas as retas y1= 3x + 1 e y2= -4x +1, a interseo entre elas o ponto no plano onde y1= y2, ou seja: 3x + 1 = -4x +1 7x = 0 x = 0 y = 1 (pode-se substituir em qualquer das equaes, j que o ponto a interseo de ambas). Da, o ponto (0, 1) a interseo das duas retas. Exemplo 1) Determine a equao da reta que passa pelo ponto (0,-5) e perpendicular reta y =-3x +4 Soluo QUESTES PROPOSTAS - (6) 1) Determine a equao da reta paralela reta dada, que passa pelo ponto A. Esboce o grfico das retas: a) 2x y = 5; A (2,3) b) x + 2y = 3; A (0,4) c) y = 3x -2; A(1,1) 2) Determinar a equao da reta, perpendicular reta dada, que passa pelo ponto P. Esboce o grfico das retas: a) y = 4x +5; P(1;-3) b) x y 7 = 0; P(-2,-3) 3) Encontre o ponto de interseco entre as retas da questo 2 letra b. 4) A poligonal ABCD da figura abaixo o grfico de uma funo f cujo domnio o intervalo -1 x 7. Sabe-se que AB paralelo a CD e BC paralelo ao eixo dos x. Nessas condies, calcule: a) a inclinao da reta AB e sua equao. b) a equao da reta CD. c) o valor de f(3) + f(-1) d) o valor de f(7) - f(4,5) GABARITO - (6) 1) a) y = 2x -1 b) y = -x/2 +4 c) y = 3x-2 2) a) y=-x/4 -11/4 b) y = -x -5 3) I(1, -6) 4) a) 2/3 b) y=2x/3 2/3c) 2d) 5/3 APLICAES IMPORTANTES DAS FUNES LINEARES FUNES COMO MODELOS MATEMTICOS Uma representao matemtica de uma situao real recebe o nome de modelo matemtico. Em matemtica financeira por exemplo aparecem frequentemente as funes: custo, receita e lucro. A funo CUSTO C(x) total funo dos custos fixos (ou custos indiretos, como seguro, aluguel, salrio do contador etc.), custos variveis (os custos envolvidos diretamente na produo) e quantidades produzidas. Logo, o custo total dado por C total = c fixo + c varivel A funo RECEITA R(x) a receita auferida com a venda de x unidades. (Preo de venda). R(x) = preo.(x) 11 A funo LUCRO L(x) a diferena entre a receita e o custo, ou seja, L(x) = R(x) C(x) Supondo que a quantidade produzida seja igual quantidade vendida, as curvas de receita total e custo total podem ser representadas e analisadas no mesmo grfico, conforme a figura a seguir. A interseo das curvas R(x) e C(x) o ponto onde a receita igual ao custo (ponto no qual o lucro nulo). Supondo as curvas representadas no grfico anterior, no intervalo [0, 2[, o custo maior que a receita (existe prejuzo) e no intervalo x > 2, a receita maior que o custo (existe lucro). A varivel x, que representa o nmero de unidades de um certo produto que foram fabricadas e vendidas, chamada de nvel de produo. QUESTES PROPOSTAS - (7) 1) (UNEAL/2007) O custo de uma empresa, para fabricar x unidade por ms de certo produto, dado em reais, por 4000 + 25x. O preo de venda da unidade do produto de R$ 35,00. Qual o nmero mnimo de unidades do produto que deve ser fabricadas em um ms para que o lucro da empresa, naquele ms, seja de pelo menos R$ 8.000? A) 1000 B) 1100C) 1200 D) 1300E) 1400 2) O custo mensal fixo de uma fbrica que produz esquis $4.200, e o custo varivel $55 por par de esquis. O preo de venda 105 por par de esquis. (a) Se x pares de esquis so vendidos durante um ms, expresse o lucro mensal como uma funo de x. (b) Use o resultado da parte (a) para determinar o lucro de dezembro se 600 pares de esquis forem vendidos nesse ms. (c) Quantos pares de esquis devem ser vendidos para que a fbrica encerre um ms sem lucro nem prejuzo? 3) Um fabricante produz certo tipo de pea, com o custo total mensal fixo de R$ 2.490,00 e mais o custo de R$7,50 por unidade produzida. Ele vende cada unidade por R$13,50. Para no ter prejuzo qual o total de unidades que ele deve produzir e vender no ms? 4) (PISM/2005) Um fabricante vende um jeans por R$ 110,00. O custo total de produo do jeans consiste em um gasto fixo de R$7.500,00 somado ao custo de confeco de R$60,00 por unidade. Para no ter prejuzo, o fabricante precisa vender, no mnimo: a) 75 unidades b) 15 unidadesc) 300 unidades d) 150 unidadese) 175 unidades 5) Uma fbrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.100,00. Cada bolsa fabricada custa R$25,00e vendida por R$ 45,00. Para que a fbrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela dever fabricare vender mensalmente quantas bolsas? 6) (UFAL/2007) Para um fabricante, que s produz certo tipo de pea, o custo total mensal representado por um valor fixo de R$ 800,00 e mais o custo de R$6,00 por unidade produzida. Ele vende cada unidade por R$ 10,00. Use essas informaes para analisar as informaes que seguem. 0 0 Se ele produzir e vender x peas em um ms, a quantia que receber por essa venda. Em reais, ser R(x) = 800 + 6x. 1 1 Se ele produzir e vender x peas em um ms, seu lucro, em reais, ser dado porL(x) = 4x 800. 2 2 Em um ms em que produziu e vendeu 500 peas, seu lucro foi de R$ 2700,00. 3 3 Para ter um lucro de exatamente R$ 2500,00 em um ms, deve produzir e vender no ms um total de 400 unidades. 4 4 Certo ms que no teve prejuzo, ele produziu e vendeu um mnimo de200 peas. 7) Uma firma de servios de fotocpias tem um custo fixo de 800,00 por ms e custos variveis de 0,04 por folha que reproduz. Expresse a funo custo total em funo do nmero x de pginas copiadas por ms. Se os consumidores pagam 0,09 por folha, quantas folhas a firma tem que reproduzir para no ter prejuzo? 8) (PETROBRAS/2006) O grfico abaixo apresenta o preo de custo de determinado tipo de biscoito produzido por uma pequena fbrica, em funo da quantidade produzida. 12 Se o preo final de cada pacote equivale a 58do preo de custo, um pacote de 0,5kg vendido, em reais, por: (A) 0,90(B) 1,20(C) 1,24(D) 1,36(E) 1,44 9) (BANCO DO BRASIL/2006-SP)Seja y = 12,5 x 2000 um funo descrevendo o lucro mensal y de uma comerciante na venda de x unidades de um determinado produto. Se, em um determinado ms, o lucro auferido foi de R$20.000,00, significa que a venda realizada foi, em nmero de unidades, de A) 1440 B)1500C) 1600D) 1760 E) 2000 GABARITO(7) 1) c2) a) L(x) = 560x-4200 b)25800 c)84 3) 415 4) d 5) 455 6) FVFFV 7)160008) e 9) d OBSERVAO As funes custo, receita e lucro tambm podem ser no-lineares. Na prxima apostila teremos exemplos destas funes. Bom estudo! Profa.:Luciana Resende