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M@tplus Funções a duas variáveis

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O que é uma função?

Até agora estudamos funções a uma variável, aplicando esse mesmo estudo a problemas da realidade, enquanto regras que transformam de forma única, um determinado valor de entrada num valor de saída.

O valor mensal da prestação de um crédito por 25 anos é função do valor do crédito;

O tempo que se demora numa viagem de 200km é função da velocidade a que se circula.

Contudo, frequentemente, as funções representam um fenómeno dependente de várias grandezas.

O valor mensal da prestação de um crédito é função do valor do crédito e do número de anos de contrato;

O tempo que se demora numa viagem é função da velocidade a que se circula e da distância que se percorre.

Relembrando…

Função real de variável real

Entendemos por função real a uma variável real uma correspondência unívoca, entre dois conjuntos e , que a cada elemento de (denominado objecto), faz corresponder um e um só elemento de (imagem). Os conjuntos e são subconjuntos de .

Em linguagem matemática, temos : , em que para cada existe um e um só tal que . Representamos

:

A chamamos o domínio da função , e a o conjunto de chegada, sendo e subconjuntos de .

Funções reais a duas variáveis reais

Parte I


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Vejamos um exemplo aplicado.

Numa determinada empresa o lucro anual , em milhares de euros, é dependente do custo do trabalho realizado , em milhares de euros, segundo a função 20 √5 .

Se desejarmos determinar o lucro que esta empresa obteve no último ano, sabendo que o trabalho custou 5 milhares de euros devemos:

1. Tomar 5; 2. Calcular 5 20 √5 5 15.

Temos então que a empresa, no último ano, teve um lucro de 15 milhares de euros.

Estamos perante uma função real a uma variável real, ou seja, cada objecto (variável

independente) é representado por um número real, e cada imagem (variável dependente) é também um número real.

O gráfico de uma função real a uma variável real é um conjunto de pontos do tipo , no plano, em que representa o objecto, e a respectiva imagem.

Até agora foram estudadas apenas funções reais a uma variável real sendo, portanto, o domínio um subconjunto de . Passaremos a estudar funções reais a duas variáveis reais , , sendo, por isso, o domínio um subconjunto de . No caso de funções reais a

três variáveis reais, o domínio será um subconjunto de , a quatro variáveis o domínio será um subconjunto de , e assim sucessivamente.

Neste guião, sempre que possível, faremos uma analogia entre funções a uma e a duas variáveis.

NOTA:

Qualquer variável, pertencente a , (ou em geral a , ), é representada usualmente por letras minúsculas quaisquer.

Recorde:

Um conjunto de pontos no plano representa o gráfico de uma função se qualquer recta vertical o intersecta, no máximo, num ponto. Isto porque, numa função, a cada objecto corresponde uma e uma só imagem.

5

15

Fig.1


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16

5

17

Funções reais a duas variáveis reais

Retomando o problema anterior, verificamos que o lucro anual da mesma empresa não é dependente apenas do custo do trabalho , mas também do capital y da mesma, considerado também em milhares de euros. Seja , 20 √5 a função que nos dá o lucro anual da empresa. Estamos perante uma situação em que o nosso objecto é composto por um par de variáveis , , que representam, respectivamente, o custo do trabalho e o capital, do qual resultará o lucro anual , .

Se desejarmos determinar o lucro que esta empresa obteve no último ano, sabendo que o trabalho custou 5 milhares de euros, e que o seu capital é de 16 milhares de euros, devemos:

1. Tomar 5 e tomar 16, ou seja, , 5,16 ;

2. Calcular 5,16 20 √5 5√16 17;

Temos então que a empresa, no último ano, teve um lucro de 17 milhares de euros.

Estamos então perante uma função real a duas variáveis reais, ou seja, cada objecto , (par de variáveis independentes) é representado por um par ordenado de números

reais, e cada imagem , (variável dependente) é um número real.

Função real a duas variáveis reais Uma função real a duas variáveis e , reais, é uma correspondência unívoca que associa a cada par ordenado , , um único número real , . Representamos :

, , O domínio, , é um subconjunto de e o conjunto de chegada é .

Fig.2


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I. Domínio e gráfico de uma função real a duas variáveis reais

Como calcular o domínio de uma função a duas variáveis

O domínio de uma função real a duas variáveis reais é determinado pelas mesmas restrições que o domínio de uma função a uma variável. É claro que este domínio será um subconjunto de , ao passo que o domínio de uma função real a uma variável real é um subconjunto de . O gráfico de uma função real a duas variáveis reais , é um conjunto de pontos do tipo , , no espaço, em que e representam o objecto e , a respectiva imagem.

Representemos graficamente o domínio e a própria função, para cada uma das funções do exemplo dado:

Função real a uma variável real

20 √5 Calculando o seu domínio, temos que

: 5 0 . Ou seja,

: 0 .

Função real a duas variáveis reais

, 20 √5 Calculando o seu domínio, temos que

, : 5 0 0 . Ou seja,

, : 0 0 .

Atenção:

Um conjunto de pontos no espaço não é sempre gráfico de uma função. Para que seja gráfico de uma função é necessário que, qualquer recta perpendicular ao plano intersecte‐o, no máximo, num ponto. Isto porque, numa função, a cada objecto (neste caso par ordenado , ) corresponde uma e uma só imagem (cota ).

Repare que:

Função a uma variável

Objecto → número real

Imagem → número real

Função a duas variáveis

Objecto → Par ordenado de números reais

Imagem → número real


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Representação gráfica do domínio

Representação gráfica da função

Função 2D

Representação gráfica do domínio Representação gráfica da função

Função 3D

Exercícios:

Na resolução dos exercícios deste guião pode recorrer aos softwares matemáticos Winplot, WinFunc e Nucalc. Pode fazer o download de alguns destes softwares na página http://elearning.ipvc.pt/estg2007/.

1. Represente, graficamente, as seguintes funções:

2 , , 2 , , 3 , √2 e , 2 .

Que conclusões?

Quais destas funções se representam no plano, ou seja, a duas dimensões, e quais delas se representam no espaço, ou seja, a três dimensões?

Como poderemos fazer a distinção?

0 o


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Nota:

Se visualizar o gráfico de uma função real a duas variáveis reais “de cima”, consegue notar o domínio da função, uma vez que este é a projecção do gráfico no plano .

Recorde:

Que lugares geométricos representam, por exemplo, as equações

4 0 4 0 9 0?

Se não os consegue identificar, recorra aos anexos!!!

2. Considere a função real de variável real ln 3 .

a. Represente graficamente a função . b. Determine, se possível, 4 , 10 e 2 . c. Represente geometricamente o domínio da função.

3. Considere agora a função real de variáveis reais , definida por

, .

a. Represente graficamente, com a ajuda de um software adequado, a função .

b. Determine, se possível, 4,2 , 0,1 e 1,0 . c. Dê exemplo de dois pontos que não pertençam ao domínio. d. Represente geometricamente o domínio da função.

4. Considere as seguintes funções reais de variáveis reais.

, 3 4; , ;

, ;

, 4 ;

, 4; , ln 2 3 4;

, 2 ;

, .

a. Calcule, para cada uma das funções, se possível, a imagem dos pares 2,2 , 1,2 , 1,0 e 0,0 .

b. Calcule e represente graficamente o domínio de cada uma das funções.

5. O valor futuro de um investimento que rende 2,5% capitalizados continuamente, é uma função dependente do investimento inicial (em euros) e do tempo que se

mantém o investimento (em semestres), e é definida por , , .

Que conclusões?

Depois de resolver os primeiros exercícios, conclua sobre o que se deve ter em conta no cálculo do domínio de uma função.


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a. Determine 1000,1 e 1000, 2 e interprete a sua resposta, no contexto

do problema.

b. Qual o domínio da função acima descrita se não se considerar o contexto do problema? E se se considerar?

6. Os alpinistas Alfa, Beta e Delta encontram‐se numa montanha cuja superfície pode ser

aproximada pela função , , onde e são as coordenadas oeste‐

este e sul‐norte no mapa e é a altura acima do nível do mar (em km). Relativamente

às coordenadas e , os alpinistas localizam‐se nos pontos 1,2 , 1 ,2√2 e 4,6 , respectivamente.

a. A que altura se encontram os alpinistas Alfa, Beta e Delta?

b. Dê um exemplo de coordenadas da posição de um alpinista, de modo a que a sua altura, acima do nível do mar, seja de 1400 m.

c. As coordenadas de posição obtidas na alínea anterior são únicas?

Até agora…

• Calcular o domínio de uma função a duas variáveis

• Calcular a imagem de um dado objecto ,

• Como calcular, dada uma imagem, os objectos aos quais esta corresponde

Sugestão:

Fixe uma das coordenadas, por exemplo a coordenada oeste‐este, igual a 3.


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Será que o lucro da empresa é de 10 milhares de euros apenas para um valor de custo de trabalho e um valor de capital, ou seja, para um

único par , ?

II. Curvas de nível Na grande maioria dos casos não é fácil representar e interpretar o gráfico de uma função real a duas variáveis reais; portanto recorremos à representação das curvas de nível, que a seguir definimos.

Curvas de Nível

A curva de nível de uma função real a duas variáveis reais , de nível , é o conjunto de pares ordenados , do domínio, que têm a mesma imagem .

Voltando ao nosso exemplo inicial, queremos determinar para que valores de custo de trabalho e de capital , o lucro anual é de 10 milhares de euros!!!

Se calcularmos, por exemplo, , 20 √5 para os pares ordenados

45,625 e 20,0 , temos que 45,625 10 e que 20,0 10, ou seja, a curva de nível associada ao nível 10 da função contém estes pontos.

Estão representados acima o gráfico da função , e duas formas de representação das curvas de nível de . Cada uma das linhas é um lugar geométrico que contém pontos que, por , têm a mesma imagem. No terceiro gráfico interpretamos ainda qual o nível de cada linha,

utilizando a graduação de cor, sendo a cor mais clara utilizada para níveis mais elevados (maiores imagens).

Fig.3

Fig.4 Fig.5


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-2-1

01

2

-2-1

0

12

-4

-2

0

2

4

eixo

Z

eixo Xeixo Y

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Vejamos um outro exemplo.

Consideremos a função real a duas variáveis reais , 4. O domínio desta função é o conjunto . Na figura 6 podemos ver o gráfico de .

Queremos as soluções da equação , 3, ou seja, determinar quais os objectos , cuja imagem é três. Geometricamente, comecemos por identificar a intersecção do

gráfico de com o plano de equação 3, como se ilustra na figura 7. Na figura 8 temos a intersecção com o plano 1.

Assim, as curvas de nível são projecções, do resultado de cada intersecção no plano, como se mostra na figura 10.

-2 -1 0 1 2-2

02

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

eixo X

z=-x2-y2+4

eixo Y

eixo

Z

-2-1

01

2

-2-1

0

12

-4

-2

0

2

4

eixo

Z

eixo Xeixo Y

0 5 10 15 20 25

010

2030

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

eixo Xeixo Y

eixo

Z

Fig.6

Fig.7Fig.8

Fig.10Fig.9

M@tp

Exer

1.

2.

3.

4.

Im

Que

plus

rcícios:

. Considere

a. Cb. D

c. Qp

d. Dq

e. R

. Considere

a. Db. Rc. F

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ue têm image

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e as respecti

yxhz = ),(

e o domínio

da função.

ais (= xgz

mínio da fun

sférica em mima nos quas pontos estassinalado na? E mínima?

unção e das cur

el associada ao nív

tradomínio da fu

Funç

22 += yx

em 0, imagem

terminado n

k. Indique o

ivas curvas d

yxyx

+−

= .

da função.

ln(), = xyyx

ção. Verifiqu

milibares. ais estão tão sob a no mapa ?

rvas de nível?

vel k, em que k é

nção?

ões a duas va

Página 10

42 − .

m 2 e image

na alínea ant

lugar geom

de nível.

)1−y , repre

ue calculando

é imagem dada.

riáveis

0 de 21

m ‐2.

terior,

étrico

esente

o‐o.


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5. Tente agora resolver o exercício 6. b. da primeira parte do guião, encontrando agora não um exemplo, mas todas as soluções.

6. Faça uma correspondência entre as seguintes figuras, de forma a ter o gráfico de uma função e as respectivas curvas de nível.

1

1

ln

ln 2 3 2 4


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y

III. Limites e continuidade

Limite [ELL]

Nas funções reais a uma variável real, calcular o limite de uma função num ponto de abcissa , significa estudar o comportamento das imagens de elementos do domínio próximos de . A facilidade em determinar este limite reside no facto de, na recta real, existirem apenas duas formas de aproximação da abcissa , pela sua direita ou pela sua esquerda. Portanto há, no máximo, duas aproximações a analisar.

Se pelos dois caminhos de aproximação à abcissa , o limite for o mesmo valor , dizemos que existe limite e que

lim

Nas funções reais a duas variáveis reais, o limite é determinado pelo mesmo raciocínio, ou seja, calcular o limite de uma função num ponto de coordenadas , , significa estudar o comportamento das imagens de elementos do domínio próximos de , . A diferença neste cálculo de limite está no facto de, no plano, não existirem duas formas, mas sim infinitas formas de aproximação do ponto de coordenadas , . Portanto, há infinitas aproximações a analisar.

Se por todos os caminhos possíveis de aproximação ao ponto , , contidos no domínio, o limite for o mesmo valor , dizemos que existe limite e que

lim

, ,,

a

b

x

a x

y

x

z

a

b

y

a

k

x


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Dizemos que não existe limite de uma função real a uma variável se:

• por caminhos distintos de aproximação à abcissa , as respectivas imagens tenderem para valores diferentes

OU • este for infinito por algum caminho

de aproximação.

Este é um exemplo em que não existe limite, no ponto de abcissa 1.

Dizemos que não existe limite de uma função real a duas variáveis num ponto , se:

• por caminhos distintos de aproximação

a , , as respectivas imagens tenderem para valores diferentes;

OU • este for infinito por algum caminho de

aproximação. Este é um exemplo em que não existe limite, no ponto de coordenadas 0,0 .

IMPORTANTE

Para mostrarmos que não existe limite, basta que, pela aproximação a , por dois caminhos distintos, as imagens tendam para valores distintos, ou que um limite, por qualquer aproximação a , seja infinito.

Para mostrarmos que existe limite:

• Substituimos na expressão da função , por , e se o resultado for um valor , este é o limite.

o Se o resultado for uma indeterminação, apenas conseguiremos mostrar a existência do limite pela definição, que simbolicamente se expressa do seguinte modo.

kyxfbayx

=→

),(lim),(),(

εδδε <−⇒<−+−<∈>∃>∀⇔ kyxfbyaxDyx f ),()()(0 e ),( :0 0 22 .


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Exemplos:

1. Consideremos uma outra função , ,

representada ao lado.

Veremos o limite da função no ponto (1,0). Intuitivamente, podemos dizer que à medida que nos aproximamos do ponto de coordenadas 1,0 , por qualquer caminho, contido no domínio, as imagens aproximam‐se da imagem 1, ou seja,

lim, ,

1 11

1

Veremos o limite da função no ponto 0,1 . Podemos dizer que à medida que nos aproximamos do ponto de coordenadas 0,1 , por qualquer caminho contido no semi‐plano

0 , as imagens tendem para ∞. No entanto, se nos aproximamos por um caminho contido no semi‐plano 0, as imagens tendem para +∞. Neste caso, dizemos que não existe limite de no ponto de coordenadas 0,1 .

Pela representação das curvas de nível da função , concluiríamos a inexistência de limite nos pontos do tipo 0, , .

2. Consideremos agora a função definida por , . O domínio da função

é o conjunto 0,0 . Como calcular o limite lim , , , ?

Substituindo na função, chegamos a uma indeterminação,

Fig.12

Fig.11


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lim, ,

,10 0 0

2 0 3 000

Representando graficamente a função, e as respectivas curvas de nível, intuímos que não existirá tal limite.

Como provar?

Devemos encontrar dois caminhos e do domínio, que se aproximem do ponto de coordenadas 0,0 , tais que as imagens desses pontos, por , se aproximem de valores diferentes. Isso parece acontecer com as rectas bissectrizes do plano, logo, tomando

: e : , e calculando os limites

lim, ,

, lim, ,

, lim10

2 3 lim2 2

lim, ,

, lim, ,

, lim10

2 3 lim 2 2

Temos dois limites diferentes, o que basta para provar que a função não possui limite nesse ponto.

Importante

Calcular e representar as curvas de nível de uma determinada função real a duas variáveis reais, torna‐se imprescindível para a compreensão do comportamento desta, que nos é difícil, por vezes, visualizar.

Fig.13 Fig.14


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Exercícios:

1. Calcule os seguintes limites.

a. lim , , x y

b. lim , ,

c. lim , ,

d. lim , ,

2. Calcule o limite, se existir. No caso de não existir limite, justifique.

a. lim , ,

b. lim , ,

c. lim , ,

d. lim , ,


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NOTA :

Nas funções reais a duas variáveis, são válidos todos os resultados que se consideram para funções a uma variável, relativamente à continuidade, ou seja:

• Qualquer função polinomial, racional ou irracional é contínua no seu domínio;

• Qualquer função trigonométrica é contínua no seu domínio;

• Quaisquer funções exponenciais ou logarítmicas são contínuas no seu domínio.

E…

A soma de duas funções contínuas num dado ponto é contínua nesse ponto;

O produto de duas funções contínuas num dado ponto é contínua nesse ponto;

O quociente de duas funções contínuas

num dado ponto, no qual a função denominador não se anula, é contínua nesse ponto;

A composição de duas funções, f e g, é contínua num ponto se g for contínua nesse ponto e f for contínua na imagem, por g, desse ponto.

Continuidade

Depois de explorarmos a noção de limite, torna‐se fácil explorar o conceito de continuidade de uma função real a duas variáveis.

Em funções a uma variável, dizemos que uma função é contínua num ponto de abcissa do seu domínio se se verificarem as seguintes condições:

• lim ;

• lim . Uma função diz‐se contínua se for contínua em todos os elementos do seu domínio.

Em funções a duas variáveis, dizemos que uma função é contínua num ponto de coordenadas , do seu domínio se se verificarem as seguintes condições:

• lim , , , ;

• lim , , , , . Uma função diz‐se contínua se for contínua em todos os elementos , do seu domínio.

Analisando a função definida por

, 20 √5 , vemos que a

função é a soma de funções polinomiais e irracionais, logo concluimos que a função é contínua no seu domínio.


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Exemplos:

1. Consideremos a função real a duas variáveis reais , definida por

, , 0,0

2 , 0,0.

O domínio da função é , em que os pontos do domínio , 0,0 têm imagem definida por uma expressão e o ponto , 0,0 tem imagem 2.

A função é contínua para todos os pares de objectos , \ 0,0 , pois é

uma função racional.

Falta averiguar a continuidade para o par 0,0 .

Calcula‐se

I. lim , , 0;

II. 0,0 2;

Como lim , , , 0,0 , a função não é contínua no ponto 0,0 .

Repare:

Para que uma função seja contínua num ponto, é obrigatório que exista limite nesse ponto e que este, por sua vez, seja igual à imagem desse ponto.

Se no cálculo de limite se determinar que este não existe, conclui‐se logo que a função não é contínua no ponto.


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4

4

4

‐4

4

4

4

‐4

2. Dada a função definida por , 16 160 16

, temos que:

o domínio da função é o conjunto

, : 16 , : 16 , :16 (ou seja, o interior, o exterior e a circunferência de centro 0,0 e de raio 4, que

se discrimina pois a função muda de expressão nos pontos que estão sobre esta circunferência);

• a função é contínua para todos os pontos do conjunto , : 16 por se obter por uma expressão polinomial nesses pontos;

• a função contínua para todos os pontos do conjunto , : 16 por ser constante, igual a zero, nesses pontos;

• falta mostrar a continuidade para os pontos do conjunto , : 16 .

Como a circunferência é constituída por uma infinidade de pontos, não poderemos mostrar um a um; no entanto sabemos que verificam a igualdade 16, logo, tomando , , : 16 , temos que

por caminhos interiores à circunferência,

lim, ,

, lim, ,

16

16 16 16 16 0,

e por caminhos exteriores à circunferência,

lim , , , lim , , 0 0.

4

4

‐4

4


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Logo, também nos pontos da circunferência, a função é contínua, ou seja, a função é contínua no seu

domínio.

3. Consideremos agora a função definida por:

, 16 161 16

.

Neste caso, a função não é contínua sobre os pontos da circunferência de centro 0,0 e de raio 4, porque

por caminhos interiores à circunferência,

lim, ,

, lim, ,

16 16

16 16 16 0

por caminhos exteriores à circunferência,

lim , , , lim , , 1 1

Exercícios:

1. Considere as seguintes funções:

, , , , ln

a. Determine o domínio e discuta a continuidade de cada uma delas.

b. Determine o limite, se possível, das funções , e no ponto de coordenadas 0,0 .

2. Discuta, recorrendo às representações gráficas das funções e respectivas curvas de nível, a continuidade de e de , dadas por:

a. , ln 4 1 , 0,00 , 0,0

, ln 4 1 , 0,01 , 0,0

b. , 4 36 4 36 3 4 36

, 4 36 4 36 0 4 36

Fig.15

Fig.16


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3. Verifique se as seguintes funções são contínuas na origem.

a. ,

b. , ln 1

c. , 2ln 2 2

4. Seja , , 0,0

0 , 0,0.

a. Calcule o domínio de .

b. Determine o limite da função, na origem.

c. Estude a continuidade de .

Bibliografia [LH] Larson, R., Hostetler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, 2006 [BHJ] Bortolossi, H .J., Cálculo Diferencial a Várias Variáveis, Edições Loyola, S. Paulo, 2002.

[ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.1, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999.

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