Funções Reais:o Caminho Histórico e o

Descaminho DidáticoWanderley Moura Rezende

e Andréa TheesDepartamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática – UFF

rezende@vm.uff.br, wanderley.rezende@gmail.com, andrea.thees@globo.com

Introdução

Caraça (1989): o conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo.

Rezende (2006): Saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função, mas que se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não estudamos como ocorre esta variação, isto é, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação.

Reflexão sobre o ensino de funções reais na educação básica, tendo como referência o seu caminho histórico de construção e os descaminhos de natureza pedagógica e epistemológica - (Rezende, 2003b), Botelho (2005) e Souza Sá (2005).

A Origem Histórica

Conceito de função // conceito de variável

O uso de símbolos na matemática: álgebra desenvolvida na Grécia por Diofanto (200/214-

284/298); álgebra hindu.

Primeiro rompimento com o pensamento aristotélico: Roger Bacon (1214-1294) e Guilherme de Ockham (1300-

1349): ciência experimental - as verdades científicas deveriam, necessariamente, ser obtidas através da experiência.

Representação duplamente significativa: por um lado mostra duas grandezas relacionadas entre si,

variando ao mesmo tempo, e por outro lado ilustra esta variação através de um gráfico.

O conceito de função se estabelece, implicitamente, por meio da curva (uma reta) ...

Filósofos escolásticos - “matematização” do conceito de função

O rompimento definitivo Galileu (1564-1642)

(...) o espaço percorrido por um corpo em queda

livre é diretamente proporcional ao

quadrado do tempo levado para percorrer

este espaço.

S= 4,9Dt= 1,0

t s s s) 0 0,0

1,0 4,9 4,92,0 19,6 14,7 9,83,0 44,1 24,5 9,84,0 78,4 34,3 9,85,0 122,5 44,1 9,86,0 176,4 53,9 9,87,0 240,1 63,7 9,88,0 313,6 73,5 9,89,0 396,9 83,3 9,8

10,0 490,0 93,1 9,811,0 592,9 102,9 9,812,0 705,6 112,7 9,813,0 828,1 122,5 9,814,0 960,4 132,3 9,815,0 1102,5 142,1 9,816,0 1254,4 151,9 9,817,0 1416,1 161,7 9,818,0 1587,6 171,5 9,819,0 1768,9 181,3 9,820,0 1960,0 191,1 9,8

Viète (1540-1603) - fez uso, em seus trabalhos de “uma vogal, para representar uma quantidade suposta

desconhecida ou indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou dados”

surge então o conceito de variável

Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665), e depois Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716) estudo de curvas

O conceito de função “evoluiu” (...) sai, gradativamente, do âmbito do Cálculo, enquanto

relação entre quantidades variáveis, para o âmbito da Teoria dos Conjuntos, como uma operação especial entre conjuntos (início do século XX).

Descaminhos Pedagógicos:Alguns Indicadores

Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (2003a) fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem

dos conceitos básicos do Cálculo.

Problemas de taxas relacionadas e de otimização.

Cabral (1998) quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o

funcional e o diferencial, identificando entre eles uma hierarquia de natureza epistemológica Os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns “O difícil mesmo é encontrar a função” Relação intrínseca entre o terceiro e o quarto nível

Caminho natural para o estudo das funções reais seria caracterizá-las conforme a maneira que variam... Mas, será que este caminho é seguido na educação básica?

Botelho (2005) e Souza Sá (2005): Predominância da representação algébrica

injetividade/sobrejetividade x crescimento/decrescimento, ou quanto e como cresce/decresce

zeros da função x pontos críticos da função

Ausência de tópicos que analisem o comportamento da variabilidade e de exercícios de modelagem

Gráfico - “plotado” através de uma tabela de valores “notáveis” Correspondência estática entre os valores das variáveis “x” e “y”

1G - Bianchini

GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO INEQUAÇÕESCRESCIMENTO E

DECRESCIMENTO

DEFINIÇÃO

ESTUDO DO SINAL

ZERO DA FUNÇÃOTABELA DE

VALORES

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

1G – Dante

DEFI NI ÇÃO

FUNÇÃOLI NEAR

GRÁFI CO NOPLANO

CARTESI ANO

CRESCI MENTO EDECRESCI MENTO

POSI ÇÃO RELATI VAENTRE DUAS RETAS

I NEQUAÇÕES

ZERO DAFUNÇÃO

PROPORCI ONALI DADE

TAXA DEVARI AÇÃO

TABELA DEVALORES

EQUAÇÃO DO1° GRAU

ESTUDO DOSI NAL

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

2G - Machado

DEFINIÇÃO

CONCAVIDADE

PONTO DEMÁXIMO EPONTO DE

MÍNIMO

GRÁFICO NOPLANO

CARTESIANO

IMAGEM

CRESCIMENTO EDECRESCIMENTO

TABELA DEVALORES

VÉRTICE

VALORMÁXIMOE VALORMINIMO

RAÍZES ESINAIS DAFUNÇÃO

INEQUAÇÕESEQUAÇÃO DO2° GRAU

DOMÍNIO

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

2G - Dante

Equação do 2° grau

Imagem da Função

COORDENADAS DO Vértice

Valores Máximo e Mínimo

Inequações

Abertura da parábola

INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE

Tabela de valores

Taxa de variação

Gráfico no Plano

Cartesiano

Definição

Concavidade

EIXO DE SIMETRIA

SINAL DA FUNÇÃO

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

EXP - Smole

SITUAÇÕES PROBLEMA DEFINIÇÃO

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

TABELA DE VALORES

GRÁFICO NO PLANO

CARTESIANO

FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO

EXPONENCIAL

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

EXP - Dante

DEFINIÇÃO

TABELA DE VALORES

DOMÍNIO E IMAGEM

FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENT

E

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

INJETIVIDADEEQUAÇÃO EXPONENCIAL

PROBLEMA INTRODUTÓRIO

PROPRIEDADES DA

POTÊNCIA

GRÁFICO NO PLANO

CARTESIANO

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

LOG - Smole

OPERADOR LOGARITMO

PROPRIEDADES DOS

LOGARITMOS

GRÁFICO NO PLANO

CARTESIANO

FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENT

E

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

TABELA DE VALORES

FUNÇÃO INVERSA DA FUNÇÃO

EXPONENCIAL

EQUAÇÃO LOGARITMICA

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

DEFINIÇÃO

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

LOG - Iezzi

DEFINIÇÃOGRÁFICO NO

PLANO CARTESIANO

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

OPERADOR LOGARITMO

FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO

LOGARÍTMICA

ÁLGEBRA

GEOMETRIA

CÁLCULO

Algumas Considerações

Qual o motivo desta omissão? Qual a dificuldade em se tratar, no ensino

médio, de assuntos como “variabilidade” ou “taxa de variação”?

Precisamos recuperar os “escolásticos”...

Atividades do Minicurso

Resolver as questões 1, 3, 4 e 5 Preencher o formulário Não é necessário identificação Duração: 30 minutos Quem terminar, pode resolver as

questões 2 e 6

Algumas Propriedades Preliminares

y = ax3 + bx2 + cx + d x y Δy Δ2y Δ3y Δ4y

0,00 0,00

a = 0 0,00 0,00 0,00

b = 0 0,00 0,00 0,00 0,00

c = 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

d = 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

dx = 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Resolução Comentada

1) A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia?

Tempo (horas)

0 1 2 3 4

Espaço (km)

40 70 100 130 160

dt = 1

t S(t) ΔS Δ2S0 401 702 1003 1304 160

dt = 1

t S(t) ΔS Δ2S0 401 70 302 100 30 03 130 30 04 160 30 0

s é uma função afim do tipos(t) = at +b

Substituindo, temos:40 = s(0) = a.0 + b = b → b = 4070 = s(1) = a.1 + b → a = 70 – b = 70 – 40 = 30

Logo, s(t) = 30t + 40

Como estamos procuramos s(120), basta substituir:120 = 30.t + 40 → t = 8/3

Ou seja, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia depois de 2h e 40min.

2) Um estudante anotou a posição de um móvel ao longo do tempo e obteve a seguinte tabela:

Tempo (s)

0 10 20 30 40 50

Posição (cm)

17 45 81 125 177 237

Calcular a posição do móvel nos instantes 5 s e 35 s.

dt = 10

t s(t) Δs Δ2s0 17

10 4520 8130 12540 17750 237

dt = 10

t s(t) Δs Δ2s0 17

10 45 2820 81 3630 125 4440 177 5250 237 60

dt = 10

t s(t) Δs Δ2s0 17

10 45 2820 81 36 830 125 44 840 177 52 850 237 60 8

s é uma função quadrática do tipo s(t) = at2 +bt + c

811720400

451710100

172040020.20.)20(81

171010010.10.)10(45

170.0.)0(17

2

2

2

ba

ba

bacbas

bacbas

cccbas

Substituindo, temos:

Resolvendo o sistema, temos:

5

12811720

25

1400

25

1

200

8

917200

811720400

903420200

bba

a

ba

ba

Logo, 175

12

5)(

2

ttts

Como queremos a posição do móvel nos instantes 5s e 35s, basta achar s(5) e s(35):

Ou seja, a posição do móvel no instante 5s era 30cm e no instante 35s era150cm.

150178449175

35.12

5

35)35(

3017121175

5.12

5

5)5(

2

2

s

s

3) Uma escala N de temperatura foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é a seguinte:

º C º N

18º 0º

43º 100º

Em que temperatura a água ferve na escala N?

dt = 25

t t(c) Δt Δ2t18 043 100 100

t é uma função afim do tipot(c) = ac +b

Como estamos procuramos t(c) quando c = 100º C, basta substituir:

Substituindo, temos:

7241002510043

018

43.100

18.0

.)(

baaba

ba

ba

ba

bcact

Logo, 724)( cct

3287240072100.4)( ct

Ou seja, na escala N, a água ferve a 328º.

4) Uma pessoa possui um gravador de vídeo dotado de um contador que registra o número de voltas dadas pelo carretel da direita. A fita, de seis horas de duração, está parcialmente gravada. O contador indica 1750 ao final do trecho gravado e 1900 ao final da fita. Medindo o tempo de gravação correspondente às primeiras 100, 200, 300 e 400 voltas, foram encontrados os dados ao lado:

Quanto tempo de gravação resta na fita?

Volta (n)

Tempo (t)

100 555

200 1176

300 1863

400 2616

dn = 100

n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176300 1863400 2616

dn = 100

n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176 621300 1863 687400 2616 753

dn = 100

n t(n) Δt Δ2t100 555200 1176 621300 1863 687 66400 2616 753 66

t é uma função quadrática do tipo t(n) = an2 +bn + c

186330090000

117620040000

55510010000

1863300.300.)300(

1176200.200.)200(

555100.100.)100(

2

2

2

cba

cba

cba

cbat

cbat

cbat

Substituindo, temos:

Resolvendo o sistema, temos:

65410040000

62110030000

130820080000

62110030000

18631001000055530090000

11761001000055520040000

: temos,(III) e (II) em dosubstituin ,

10010000555 ),(

186330090000

117620040000

55510010000

ba

ba

ba

ba

baba

baba

Logo

bacquetemosIde

IIIcba

IIcba

Icba

0100

522.100

10000

33.10000555

100

52299621100621100

10000

3330000.

10000

333310000

cc

bbbaa

Logo, nnnt 22,50033,0)( 2

Vamos encontrar agora o f(x) quando o contador marca o final do trecho gravado, ou seja:

25,241.19135.925,106.101750.22,51750.0033,0)1750( 2 t

O tempo de gravação que ainda resta na fita é a diferença entre o tempo total da fita (6h = 6h.60min = 360min = 360min.60s = 21.600s) e o tempo de gravação (19.241,25s):

21.600s - 19.241,25s = 2.358,75s ou seja, 39min e 31s

5) Um ônibus de 48 lugares foi alugado para uma excursão. O preço por passageiro é de R$ 30,00 reais acrescido de uma taxa de 1 real por lugar vazio no ônibus. Determinar uma função que relacione o número de lugares vazios com a rentabilidade do dono do Ônibus.

6) (UERJ-2002) O movimento uniformemente acelerado de um objeto pode ser representado pela seguinte progressão aritmética:

7 11 15 19 23 27...

Estes números representam os deslocamentos, em metros, realizados pelo objeto, a cada segundo. Determine a função horária que descreve a posição deste objeto. (adaptado)

Referências BOTELHO, L.M.L. (2005) Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma

Proposta. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói.

BOYER, C. B. História da Matemática. (1991) 2a edição. Edgard Blücher, São Paulo, tradução de Elza Gomide de título original, Edgard Blucher, S. Paulo, 1974.

BOYER, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications Inc., New York.

CABRAL, T. C. B. (1998) Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. USP, São Paulo.

CARAÇA, B. de J. (1989) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a edição. Livraria Sá da Costa Editora, Lisboa.

LIMA, E.L., CARVALHO, P.C.P., WAGNER, E. & MORGADO, A.C. (2001) A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. v. 1. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro

KLINE, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, v.1. Oxford University Press, de Oxford, Inglaterra..

REZENDE, W. M. (2003a) O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. USP, São Paulo.

REZENDE, W. M. (2003b) Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. UFF, Niterói.

RÜTHING, D. (1984) Some Definitions of The Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki. The Mathematical Intelligencer, v. 6, (4), 72-77.

SIERPINSKA, A. (1987) Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits. Educational Studies in Mathematics, 18.

SOUZA SÁ, S. L. de (2005) Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas no Ensino Básico. Monografia de Pós-gradução. UFF, Niterói.

Cronograma do Minicurso

Recepção inscritos – 14:00h às 14:15h Apresentação – 14:15h às 14:45h Atividades propostas – 14:45h às 15:15h Modelagem – 15:15h às 16:15h Intervalo – 16:15h às 16:30h Resolução Comentada - 16:30h às 17:00h Opção extra – 17:00h às 17:15h Avaliação final – 17:15h às 17:30h