1

9. Duas Funções de duas Variáveis Aleatórias

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com f.d.p.conjunta

Considere ainda duas funções e tal que se define duas variáveis aleatórias

Como determinar a f.d.p. conjunta de Z e W,

).,( yxf XY

).,(

),(

YXhW

YXgZ

),( yxg ),,( yxh

?),( wzfZW

wzDyx XYwz

ZW

dxdyyxfDYXP

wYXhzYXgPwWzZPwzF

,),( , ,),(),(

),(,),()(,)(),(

x

y

wzD ,

wzD ,

),(),( wzFwz

wzf ZWZW

DZ é a região de xy tal que:zyxg ),(

wyxh ),(

2

Exemplo 9.1: Suponha que X e Y são v.a. independentes uniformemente distribuídas no intervalo Define-se Determine Solução: Obviamente w e z variam no intervalo Então

Deve-se considerar dois casos : e uma vez que pertencem a diferentes regiões, como mostra a figura.

).,max( ),,min( YXWYXZ

.0ou 0 se ,0),( wzwzFZW

).,( wzfZW

).,0(

).,0(

. ),max( ,),min(,),( wYXzYXPwWzZPwzFZW

zw ,zw

X

Y

wy

),( ww

),( zz

zwa )(

X

Y

),( ww

),( zz

zwb )(

3

Para na Fig. 9.2 (a), a região DZW é representada pela área tal que:

e para tem-se:

como

obtém-se

Então

, , ),(),(),(),( zwzzFzwFwzFwzF XYXYXYZW

,zw

,zw

. , ),(),( zwwwFwzF XYZW

,)( )(),(2

xyyxyFxFyxF YXXY

.0,/

,0,/)(2),(

22

2

zww

wzzzwwzFZW

.otherwise,0

,0,/2),(

2 wzwzfZW

4

As f.d.p. marginais de Z e W são dadas por:

Se e são funções contínuas e diferenciáveis, então é possível desenvolver uma fórmula para obter a f.d.p. conjunta diretamente. Assim as equações

para um dado ponto (z,w), pode ter n soluções representadas pelos pares:

de modo que

,0 ,12

),()(

z

zdwwzfzf

z ZWZ

.),( ,),( wyxhzyxg

.0 ,2

),()(

0 2

w

wdzwzfwf

w

ZWW

),( yxg ),( yxh

),( wzfZW

),,( , ),,( ),,( 2211 nn yxyxyx

.),( ,),( wyxhzyxg iiii

5

Assim observando a figura a pode-se escrever

z

(a)

w

),( wz

z

www

zz

. ),(,),(

,

wwYXhwzzYXgzP

wwWwzzZzP

(b)

x

y1

2

i

n

),( 11 yx

),( 22 yx

),( ii yx

),( nn yx

.),(, wzwzfwwWwzzZzP ZW

Então

Agora é preciso escrever fZW(z,w) em função de fZW(z,w)

6

Após varias manipulações matemática chega-se a

,),(|),(|

1),(|),(|),(

iiiXY

iiiiiXYZW yxf

yxJyxfwzJwzf

Onde:

.det|),(|

11

11

w

h

z

h

w

g

z

g

wzJ |),(|

1 |),(|

ii yxJwzJ

.det),(

, ii yyxx

ii

y

h

x

h

y

g

x

g

yxJ

7

Exemplo 9.2: Suponha que X e Y são duas v.a.’s gaussianas, independentes, ambas com média zero e variância Define-se onde Determine Solução:

Se é uma par de solução então é também solução, pois

Substituindo y tem-se

),/(tan , 122 XYWYXZ .2

).,( wzfZW

.2

1),(

222 2/)(2

yx

XY eyxf

,2/||),/(tan),(;),( 122 wxyyxhwyxyxgz

),( 11 yx ).,( 11 yx

.tanou ,tan wxywxy

.2/|| w

.cos ou ,sec tan1 222 wzxwxwxyxz

.sentan wzwxy Então

8

Assim há dois conjunto de soluções

Calculando o jacobiano

w.zw, yzw, xzw, yzx sencossencos 2211 ).,( wzJ

,cossin

sincos),( z

wzw

wzw

w

y

z

y

w

x

z

x

wzJ

.|),(| zwzJ

),( yxJ

.11

),(22

2222

2222

zyx

yx

x

yx

y

yx

y

yx

x

yxJ

Calculando o jacobiano

9

Substituindo determina-se fZW(z,w)

que representa a f.d.p de uma v.a. de Rayleigh r.v com parâmetro As f.d.p. marginais de Z e W, são dadas por:

|,),(|/1|),(| ii yxJwzJ

.2

|| ,0 ,

),(),(),(

22 2/2

2211

wzez

yxfyxfzwzf

z

XYXYZW

,0 ,),()(22 2/

2

2/

2/

zez

dwwzfzf zZWZ

.2

,2

|| ,1

),()(

0

wdzwzfwf ZWW

,),(|),(|

1),(|),(|),(

iiiXY

iiiiiXYZW yxf

yxJyxfwzJwzf

10

Que representa uma v.a. uniformemente distribuída no intervalo Observa-se ainda que

assim Z e W são v.a.’s independentes.

Resumo: Se X e Y são variáveis aleatórias gaussianas e independentes, com média zero e com variâncias iguais, então as variável aleatórias têm respectivamente, distribuições Rayleigh e uniforme.

Se X e Y são variáveis aleatórias independentes então

Z=g( X,Y ) e W=h( X,Y ) são ainda independentes.

).2/,2/(

)()(),( wfzfwzf WZZW

),/(tan , 122 XYWYXZ

11

Exemplo 9.3: Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais ambas com parâmetro . Define-se U = X + Y, V = X - Y. Encontre a f.d.p. conjunta e as marginais de U e V. Solução:

Como u = x + y, v = x - y, implica que sempre e portanto, há somente um par de solução.

assim:

.0 ,0 ,1

),( /)(2

yxeyxf yxXY

.2

,2

vuy

vux

,|| uv

2 11

1 1 ),(

yxJ

, || 0 ,2

1),( /

2 uvevuf u

UV

,0 ,2

1),()( /

2

/2

ueu

dvedvvufuf uu

u

uu

u UVU

. ,2

1

2

1),()( /||

||

/2

||

vedueduvufvf u

v

u

v UVV

12

Variáveis Auxiliares:

Suponha que Z = g( X,Y )

onde X e Y são duas variáveis aleatórias. Neste caso pode-se determinar a f.d.p. da v.a. Z, usando uma variável auxiliar, definida por W = X ou W = Y. A f.d.p. Z pode ser obtida integrando-se .

Exemplo 9.4: Suponha que Z = X + Y e seja W = Y tal que a

Tem-se

),( wzfZW

. , 11 wzxwy

)(zfZ

1 1 0

1 1 ),( yxJ

),(),(),( 11 wwzfyxfyxf XYXYZW

,)()()( dwwfyzfzf YxZSe x e Y são independentes

,),(),()( dwwwzfdwwzfzf XYZWZ

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Exemplo 9.5: Sejam e variáveis aleatórias independentes. Define-se

Encontre a f.d.p. da v.a. Z.

Solução: Usando a variável auxiliar W = Y, tem-se

)1,0( UX )1,0( UY

).2cos(ln2 2/1 YXZ

,, 12/)2sec(

1

2

wyex wz

.)2(sec

10

)2(sec

),(

2/)2sec(2

12/)2sec(2

11

11

2

2

wz

wz

ewz

w

xewz

w

y

z

y

w

x

z

x

wzJ

,10 ,

, )2(sec),( 2/)2sec(2 2

wz

ewzwzf wzZW

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Encontre a função densidade de Z. Solução: Podemos fazer uso da variável auxiliar W = Y neste caso. Temos então a solução única:

e usando

Fazendo as devidas substituições, obtemos

,

,

1

2/)2sec(1

2

wy

ex wz

.)2(sec

10

)2(sec

),(

2/)2sec(2

12/)2sec(2

11

11

2

2

wz

wz

ewz

w

xewz

w

y

z

y

w

x

z

x

wzJ

,10 ,

, )2(sec),( 2/)2sec(2 2

wz

ewzwzf wzZW

(9-58)

PILLAI

15

Agora para encontrar fZ(z) integra-se fZW(z,w) em relação a z

fazendo então

Como w varia de 0 a 1, u varia de

que representa a f.d.p. de uma variável aleatória gaussiana com média zero e variância unitária.

. )2(sec),()(1

0

2/)2tan(22/1

0

2 2

dwewzedwwzfzf wzzZWZ

)2tan( wzu .)2(sec2 2 dwwzdu

.a

, ,2

1

2

2

1)( 2/

1

2/2/ 222

zedu

eezf zuzZ