1 8. uma função de duas variáveis aleatórias dadas duas variáveis aleatórias x e y e uma...
TRANSCRIPT
1
8. Uma Função de duas Variáveis Aleatórias
Dadas duas variáveis aleatórias X e Y e uma função
g(x,y), define-se uma nova variável aleatória Z como
Dada a f.d.p. conjunta como obter a f.d.p.
conjunta de Z ? Problemas deste tipo são de interesse do
ponto de vista prático. Por exemplo, um sinal de saída de
um receptor geralmente consiste de um sinal desejado
somado a um ruído, a a formulação acima reduz-se a:
Z = X + Y.
).,( YXgZ
),,( yxf XY ),(zfZ
2
É importante conhecer como a estatística do sinal de entrada, para melhor se projetar o receptor. Neste contexto serão analisados problemas dos seguintes tipos:
Referindo-se em primeiro lugar ao caso em que Z = g(X,Y), tem-se portanto
),( YXgZ
YX
)/(tan 1 YX
YX
XY
YX /
),max( YX
),min( YX
22 YX
zDyx XY
zZ
dxdyyxf
DYXPzYXgPzZPzF
, ,),(
),(),()(
3
onde Dz no plano XY, representa a região tal que é satisfeita. Note que Dz não precisa ser uma região conectada, para determinar .
Este método será ilustrado através de vários exemplos.
zyxg ),(
)(zFZ
X
Y
zD
zD
4
Exemplo 8.1: Z = X + Y. Encontre Solução: Seja Dz a região do plano xy onde representada na figura pela área inferior à esquerda. Calcula-se em primeiro lugar
Integrando-se esta área na direção do eixo x, de até a reta x=z - y. E na direção do eixo y, de a , tem-se:
,),()(
y
yz
x XYZ dxdyyxfzYXPzF
zyx
yzx
x
y
).(zfZ
.)()( zYXPzZPzFZ
5
Pode-se determinar diferenciando diretamente. É importante relembrar a regra da diferenciação de uma Integral devido a Leibnitz. Supondo que:
Então
substituindo h(x,y) por fXY(x,y)
Alternativamente, a integração pode ser resolvida integrando-se primeiro em relação ao eixo y seguido do x.
)(zFZ)(zfZ
)(
)( .),()(
zb
zadxzxhzH
)(
)( .
),(),(
)(),(
)()( zb
zadx
z
zxhzzah
dz
zdazzbh
dz
zdb
dz
zdH
.),(
),(0),(1 ),( )(
dyyyzf
dyz
yxfyyzfdydxyxf
zzf
XY
XYXY
yz
XYZ
6
Neste caso
diferenciando-se em relação a z
,),()(
x
xz
y XYZ dxdyyxfzF
.),(
),( )(
)(
x XY
x
xz
y XYZ
Z
dxxzxf
dxdyyxfzdz
zdFzf
Se X e Y são independentes, então
Substituindo na equação de fZ(x), acima tem-se
)()(),( yfxfyxf YXXY
.)()()()()(
x YXy YXZ dxxzfxfdyyfyzfzf
xzy
x
y
)(*)()( yfxfzf YXZ convolução de fX(x) com fY(y)
7
Como caso particular, suponha que para e que para então fZ(z) é dado por:
ou
0)( xf X 0x0)( yfY ,0y
yzx
x
y
)0,(z
),0( z
z
y
yz
x XYZ dxdyyxfzF
0
0 ),()(
.0,0
,0,),( ),()(
0
0
0 z
zdyyyzfdydxyxfz
zfz
XYz
y
yz
x XYZ
,0,0
,0,)()(),()(
0
0 z
zdxxzfxfdxxzxfzf
z
y YXz
x XYZ
z
x
xz
y XYZ dydxyxfzF
0
0 ),()(
Se X e Y são variáveis independentes, então
8
Exemplo 8.2: Suponha que X e Y são variáveis aleatórias independentes, ambas com distribuição exponencial com parâmetro . Se Z = X + Y, determine Solução: Tem-se:
Exemplo 8.3: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes, uniformemente distribuídas no intervalo (0,1). Determine onde Z = X + Y.
Solução: Neste caso, . O cálculo de FZ(z) deve ser feito usando dois intervalos, 0<z<1 e 1<z<2, como é mostrado na figura.
),()( ),()( yueyfxuexf yY
xX
20 zYXZ
),(zfZ
).( )( 2 0
2 0
)(2 zuezdxedxeezf zzzz xzxZ
).(zfZ
0,)()()( zdxxzfxfzf YXZ
9
x
y
yzx
10 )( za
x
y
yzx
21 )( zb
Fig. 8.5
Para
Para é fácil verificar pela figura que:
,10 z
,21 z
.10 ,2
)( 1 )(2
0
0
0
z
zdyyzdxdyzF
z
y
z
y
yz
xZ
.21 ,2
)2(1)1(1
1 11)(
21
1z
1
1
1
zz
dyyz
dxdyzZPzF
y
zy yzxZ
10
Diferenciando FZ(z) em relação a z, tem-se
Calculando fZ(z) diretamente pela pela convolução de com obtém-se o mesmo resultado acima.
Para ,
Para ,
As figuras a seguir mostram os procedimentos para determinar usando a convolução de duas funções retangulares.
.21,2
,10)()(
zz
zz
dz
zdFzf Z
Z
)(xf X
),( yfY
10 z
21 z
. 1 )()()(
0 zdxdxxfxzfzf
z
YXZ
.2 1 )(1
1 zdxzf
zZ
)(zfZ
11
)(xfY
x1
)( xzf X
xz
)()( xfxzf YX
xz1z
10 )( za
)(xfY
x1
)( xzf X
x
)()( xfxzf YX
x11z z
1z
21 )( zb
Fig. 8.6 (c)
)(zfZ
z20 1
. 1 )()()(
0 zdxdxxfxzfzf
z
YXZ
.2 1 )(1
1 zdxzf
zZ
12
Exemplo 8.3: Seja Determine a p.d.f
Solução: observando a figura abaixo pode-se escrever:
Diferenciando FZ(z) em relação a z, tem-se:
Se X e Y são v.a.`s independentes, a equação reduz-se a:
que representa a convolução de com
.YXZ
),( )(
y
yz
x XYZ dxdyyxfzYXPzF
.),(),(
)()( dyyzyfdydxyxf
zdz
zdFzf XYy
xz
x XYZ
Z
),()()()()(
yfzfdxyfyzfzf YXYXZ
)( zf X ).(zfY
Fig. 8.7
y
x
zyx zyx
y
).(zfZ
13
No caso especial da v.a. Z = X - Y, em que
Neste caso, z pode ser tanto negativo quanto positivo, o que resulta em duas situações distintas, que serão analisadas separadamente, uma vez que as regiões de integração são diferentes. Para
para
parar
Diferenciando em relação a z, obtém-se:
0
0 ),( )(
y
yz
x XYZ dxdyyxfzF
0 ),( )(
zy
yz
x XYZ dxdyyxfzF
.0 ,0)( and ,0 ,0)( yyfxxf YX
,0z
,0z
.0,),(
,0,),()(
0
zdyyyzf
zdyyyzfzf
z XY
XY
Z Fig. 8.8 (b)
y
x
yzx
z
y
x
yzx
zz
(a)
14
Exemplo 8.4: Dado que Z = X / Y, obtenha f.d.p. de Z. Solução: Tem-se que A desigualdade pode ser rescrita como se e se Então o evento precisa ser condicionado ao evento e seu complemento Visto que pelo teorema da probabilidade total:
Como os eventos são mutuamente exclusivos
A figura mostra as áreas correspondentes ao primeiro e ao segundo termo da integração.
. /)( zYXPzFZ zYX / YzX ,0Y
YzX .0Y zYX / 0 YA .
__
A,
__
SAA
. 0,0,
0,/0,/ /
YYzXPYYzXP
YzYXPYzYXPzYXP
Fig. 8.9
y
x
yzx
(a)
y
xyzx
(b)
AzYXAzYXAAzYXzYX )/()/()()/( /
15
Integrando ambos os lados dessas regiões tem-se
Diferenciando com relação a z tem-se
Note que se X e Y são variáveis aleatórias não negativas, então:
.),( ),( )(0
0
y yzx XYy
yz
x XYZ dxdyyxfdxdyyxfzF
. ,),(||
),()(),()(
0
0
zdyyyzfy
dyyyzfydyyyzyfzf
XY
XYXYZ
y
x
yzx
Fig. 8.10
0
0 ),( )(
y
yz
x XYZ dxdyyxfzF
otherwise.,0
,0,),( )(
0 zdyyyzfyzf XY
Z
16
Exemplo 8.5: X e Y são variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas com média zero, tal que
Mostre que a relação Z = X / Y tem uma função densidade de probabilidade de Cauchy centrada em Soluçao: Usando a fato de que
.12
1),(
22
2
2121
2
2
2
)1(2
1
221
yrxyx
rXY e
ryxf
./ 21 r
,1
)(
12
2)(
221
20
0
2/
221
20
2
r
zdyye
rzf y
Z
),,(),( yxfyxf XYXY
otherwise.,0
,0,),( )(
0 zdyyyzfyzf XY
Z
.12
1)(
2221
21
2
220
rzzr
z
onde,
)1()/(
/1)(
221
221
22
221
rrz
rzfZ
Cauchy centrada em ./ 21 r
17
Integrando-se fZ(z), obtém-se
Exemplo 8.6: Obtenha Solução:
Mas representa a área de um círculo de raio
.1
arctan1
2
1)(
21
12
r
rzzFZ
.),()(22
22
zYX XYZ dxdyyxfzYXPzF
.22 YXZ ).(zfZ
zYX 22,z
.),()(
2
2
z
zy
yz
yzx XYZ dxdyyxfzF
x
y
zzYX 22
z
z
. ),(),(2
1)(
22
2
z
zy XYXYZ dyyyzfyyzfyz
zf
Diferenciando com relação a z, tem-se
18
Exemplo 8.7 : X e Y são variáveis aleatórias independentescom distribuição normal, ambas com média zero e variância Determine se Solução: Tomando a f.d.p. de duas v.a.`s conjuntamente gaussianas com e substituindo em fZ(z)
ondePortanto Z é uma v.a. exponencial com parâmetroExemplo 8.8 : Seja Encontre Solução:
)(zfZ .22 YXZ .2
21 ,0r
),(2
1
cos
cos
1
2
12
2
1)(
2
2
2
222
2/2
/2
0 2
2/
0 22
2/
2/)(22
zUedz
ze
dyyz
edye
yzzf
zz
zzz
zy
yyzZ
.sinzy .2 2
.22 YXZ ).(zfZ
.),()(
22
22
z
zy
yz
yzx XYZ dxdyyxfzF
19
Diferenciando com relação a z, tem-se
Supondo que X e Y são v.a.`s independentes gaussianas
Que representa uma distribuição de Rayleigh.
Portanto representa a magnitude de um v.a. complexa do tipo Z = X + jY. Então o que dizer da fase
),( cos
cos2
12
2
12)(
2222
222222
2/2
/2
0
2/2
0 22
2/2
0
2/)(222
zUez
dz
ze
z
dyyz
ez
dyeyz
zzf
zz
zzz yyzZ
. ),(),()(
2222
22
z
z XYXYZ dyyyzfyyzfyz
zzf
.22 YXZ
?tan 1
Y
X Fazendo e,/tan YXU 0 ,21 r
20
Fazendo e supondo que X e Y são v.a.’s gaussianas com e considerando ainda que a fase principal de está no intervalo pode-se mostrar que U tem distribuição de Cauchy, f.d.p.
Que resulta em:
Em resumo: A magnitude e fase de uma v.a. gaussiana complexa com média zero tem distribuição de Rayleigh e distribuição uniforme respectivamente.
. ,1
/1)(
2
u
uufU
).2/,2/(
,/tan YXU 0 ,21 r
. otherwise,0
,2/2/,/1
1tan
/1
)sec/1(
1)(tan
|/|
1)(
22
Ufdud
f
21
Line of sight signal (constant)
a
Multipath/Gaussian noise
Considere agora no exemplo 8.8 que X e Y tem médias e , respectivamente (diferentes de zero). Então tem distribuição de Rician. Tal esquema é usado para modelar situações de desvanecimento em múltiplos caminhos, onde há uma componente dominante constante adicionado a um ruído gaussiano com média zero. A parte constante é devido à componente do sinal em visada direta, enquanto que a v.a. gaussiana com média zero corresponde às componentes devido aos múltiplos caminhos aleatórios adicionadas incoerentemente. (veja o diagrama abaixo). A envoltória de tais sinais tem uma f.d.p. de Rician.
XY 22 YXZ
Rician Output
22
Exemplo 8.9: Considerando ainda exemplo 8.8, onde X e Y tem médias diferentes de zero. Solução:
,2
1),(
222 2/])()[(2
YX yx
XY eyxf
,sin ,cos , ,sin 22 YXYXzy
22 YXZ
,2
2
2
)(
202
2/)(
/23
/2
/)cos(/2
/2
/)cos(2
2/)(
/2
/2
/)cos(/)cos(2
2/)(
222
22
222
22
222
zI
ze
dedeze
deeze
zf
z
zzz
zzz
Z
onde
0
cos2
0
)cos(0
1
2
1)( dedeI
23
Exemplo 8.10: Determine Solução: As funções max e min são não lineares
).,min( ),,max( YXWYXZ
).(zfZ
,,
,,),max(
YXY
YXXYXZ
,,,
,,),max()(
YXzYPYXzXP
YXzYYXzXPzYXPzFZ
Assim:
x
yzx yx
zX
YX
),( )( YXzXPa
Fig. 8.12
x
y
zY
YX yx
zy
),( )( YXzYPb
x
y
),( zz
)(c
(eventos disjuntos) ).,(,)( zzFzYzXPzF XYZ Se X e Y forem independentes
)()()( yFxFzF YXZ ).()()()()( zFzfzfzFzf YXYXZ
24
W = min(X , Y). Isto significa que
.,
,,),min(
YXX
YXYYXW
. ,,),min()( YXwXYXwYPwYXPwFW
x
yyx
wy
(a)
x
y
yx wx
x
y
),( ww
(c)
, ),()()(
,11)(
wwFwFwF
wYwXPwWPwF
XYYX
W
Se X e Y forem independentes: )()()()( )( wFwFwFwFwF YXYXW
).()()()()()( )( wfwFwFwfwfwfwf YXYXYXW
25
Exemplo 8.11: Seja X e Y v.a.`s independentes com distribuição exponencial com parâmetro . Determine Se
Mas,
Substituindo
Assim W = min ( X, Y ) é ainda exponencial com parâmetro 2.
).,min( YXW
).(wfW
)()()()( )( wFwFwFwFwF YXYXW
).()()()()()( )( wfwFwFwfwfwfwf YXYXYXW
,)( )( wYX ewfwf ,1)( )( w
YX ewFwF
).(2)1(22 )( 2 wUeeeewf wwwwW
26
Solução: como X e Y assumem somente valores inteiros o o mesmo é verdadeiro para Z. Logo dá um número finito de opções para X e Y. Assim, se X= 0, então Y deve ser n; se X = 1, então Y deve ser n-1, etc. De modo que o evento é a união de (n + 1) eventos mutuamente exclusivos dado por:
que resulta
nYXn , ,2 ,1 ,0
. ) ,(
,)()(
0
0
n
k
n
k
knYkXP
knYkXPnYXPnZP
, , knYkXAk
}{ nYX
kA
.,,2,1,0 nk
Exemplo 8.13 (caso discreto): Seja X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson com parâmetros e respectivamente. Determine a f.d.p. de Z=X+Y.
12
27
)()( , knYPkXPknYkXP
Se X e Y são independentes, então
. , ,2 ,1 ,0 ,!
)(
)!(!
!
!)!(!
) ,()(
21)(
021
)(2
0
1
0
21
21
21
nn
e
knk
n
n
e
kne
ke
knYkXPnZP
n
n
k
knkknn
k
k
n
k
O que representa a f.d.p. de uma variável aleatória de Poisson com parâmetro Isso significa que a soma de duas variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Poisson, é ainda uma variável aleatória de Poisson.
,21