funções de várias variáveis - derivadas parciais

99
Capítulo # 10 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS 10.1 Derivadas parciais 10.2 Diferencial de funções de duas ou mais variáveis 10.3 Derivação de funções compostas de duas ou mais variáveis 10.4 Derivação de integrais em ordem a um parâmetro 10.5 Funções implícitas e a sua derivação 10.6 Máximos e mínimos de funções de duas ou mais variáveis 10.7 Derivada direccional e gradiente 10.8 Máximos e/ou mínimos com restrições: método dos multiplicadores de Lagrange

Upload: osrubens

Post on 11-Aug-2015

333 views

Category:

Documents


12 download

TRANSCRIPT

Page 1: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

Capítulo # 10

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS

10.1 Derivadas parciais 10.2 Diferencial de funções de duas ou mais variáveis 10.3 Derivação de funções compostas

de duas ou mais variáveis 10.4 Derivação de integrais em ordem a um parâmetro 10.5 Funções implícitas e a sua derivação 10.6 Máximos e mínimos de funções

de duas ou mais variáveis 10.7 Derivada direccional e gradiente 10.8 Máximos e/ou mínimos com restrições:

método dos multiplicadores de Lagrange

Page 2: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais
Page 3: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.1 DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

1

10.1 Derivadas parciais 10.1.1 Derivadas parciais de uma função de duas variáveis Seja f(x,y) uma função de duas variáveis definida no ponto (a,b). Se f(x,y) estiver definida numa vizinhança do ponto (a,b) na direcção do eixo Ox, a derivada parcial de f(x,y) em ordem a x no ponto (a,b) é dada por:

fx(a,b) ≡

∂f∂x

(a,b)

≡def.

limh→0

f(a + h,b) − f(a,b)h

⎛ ⎝

⎞ ⎠

(reparar que a variável y é mantida constante (y = b) no cálculo desta derivada)

O significado geométrico desta definição é o seguinte: no ponto P(a,b,f(a,b)), a tangente à superfície de equação z = f(x,y) que é paralela ao plano Oxz faz um ângulo α com a direcção definida pela parte positiva do eixo Ox:

fx(a,b) ≡

∂f∂x

(a,b) = tg α

Page 4: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

2

Se f(x,y) estiver definida numa vizinhança do ponto (a,b) na direcção do eixo Oy, a derivada parcial de f(x,y) em ordem a y no ponto (a,b) é dada por:

fy(a,b) ≡

∂f∂y

(a,b)

≡def.

limk→0

f(a,b + k) − f(a,b)k

⎛ ⎝

⎞ ⎠

(reparar que a variável x é mantida constante (x = a) no cálculo desta derivada)

O significado geométrico desta definição é o seguinte: no ponto P(a,b,f(a,b)), a tangente à superfície de equação z = f(x,y) que é paralela ao plano Oyz faz um ângulo β com a direcção definida pela parte positiva do eixo Oy:

fy(a,b) ≡

∂f∂y

(a,b) = tg β

As derivadas parciais de f(x,y) podem pois ser interpretadas como derivadas de uma função de uma variável, já que se mantém constante uma das duas variáveis enquanto se está a derivar a função f(x,y) em ordem à outra variável. Isto significa pois que as regras de derivação já conhecidas continuam a ser válidas quando estamos a calcular as duas derivadas parciais de f(x,y).

Page 5: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.1 DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

3

Notar que podem ser utilizadas duas notações diferentes para representar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis: a notação fx(a,b) e fy(a,b), que é o equivalente da notação f´(a) para funções de uma variável, e a notação

“diferencial”

∂f∂x

(a,b) e

∂f∂y

(a,b), que é o equivalente da notação

dfdx

(a) para

funções de uma variável. A razão pela qual se utiliza a letra “∂” do alfabeto cirílico na notação “diferencial” das derivadas parciais, em vez da letra romana “d”, só poderá ser devidamente explicada mais adiante quando falarmos de funções compostas de duas ou mais variáveis. Seja como for, sempre que uma derivada qualquer for representada na notação “diferencial” utilizando a letra “∂”, isso permite-nos concluir desde logo que se trata de uma derivada parcial, isto é, de uma derivada de uma função de duas (ou mais) variáveis. Daqui em diante, utilizaremos preferencialmente a notação “diferencial” para representar as derivadas parciais de uma função de duas (ou mais) variáveis, já que é esta a notação que se vê mais frequentemente nos textos de Engenharia.

Exemplo 10.1 Se f(x,y) = sen xy, as derivadas parciais são:

∂f∂x

= y (cos xy);

∂f∂y

= x (cos xy)

Exemplo 10.2 Se f(x,y) = x (ln xy), as derivadas parciais são:

∂f∂x

= (1) (ln xy) + (x)

yx y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = ln xy + 1;

∂f∂y

= (x)

xx y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =

xy

Page 6: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

4

10.1.2 Derivadas parciais de uma função de três variáveis Se f(x,y,z) for uma função de três variáveis definida no ponto (a,b,c), assim como numa vizinhança desse ponto na direcção de cada um dos três eixos coordenados, as derivadas parciais de f(x,y,z) em ordem a x, a y e a z no ponto (a,b,c) são definidas da seguinte forma, respectivamente:

fx(a,b,c) ≡

∂f∂x

(a,b,c)

≡def.

limh→0

f(a + h,b,c) − f(a,b,c)h

⎛ ⎝

⎞ ⎠

(notar que as variáveis y e z são mantidas constantes no cálculo desta derivada)

fy(a,b,c) ≡

∂f∂y

(a,b,c)

≡def.

limk→0

f(a,b + k,c) − f(a,b,c)k

⎛ ⎝

⎞ ⎠

(notar que as variáveis x e z são mantidas constantes no cálculo desta derivada)

fz(a,b,c) ≡

∂f∂z

(a,b,c)

≡def.

liml→0

f(a,b,c + l) − f(a,b,c)l

⎛ ⎝

⎞ ⎠

(notar que as variáveis x e y são mantidas constantes no cálculo desta derivada)

Como no caso de uma função de duas variáveis, as três derivadas parciais da função f(x,y,z) podem ser interpretadas como sendo derivadas de funções de uma variável, já que se mantêm constantes duas das três variáveis enquanto se está a derivar a função f(x,y,z) em ordem à outra variável. Segue-se pois que as regras de derivação já conhecidas continuam a ser válidas quando estamos a calcular as três derivadas parciais de f(x,y,z).

Exemplo 10.3 Calcular as três derivadas parciais da função de três variáveis

f(x,y,z) = exyz sen (x2 + y2 + z2).

∂f∂x

= yz exyz sen (x2 + y2 + z2) + exyz (2x) cos (x2 + y2 + z2) =

Page 7: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.1 DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

5

= exyz

[ yz sen (x2 + y2 + z2) + 2x cos (x2 + y2 + z2)

] ;

∂f∂y

= xz exyz sen (x2 + y2 + z2) + exyz (2y) cos (x2 + y2 + z2) =

= exyz

[ xz sen (x2 + y2 + z2) + 2y cos (x2 + y2 + z2)

] ;

∂f∂z

= xy exyz sen (x2 + y2 + z2) + exyz (2z) cos (x2 + y2 + z2) =

= exyz

[ xy sen (x2 + y2 + z2) + 2z cos (x2 + y2 + z2)

] .

10.1.3 Derivadas parciais de ordem superior As derivadas parciais da função de duas variáveis f(x,y) são elas próprias funções das mesmas duas variáveis:

fx ≡

∂f∂x

= g1(x,y) ; fy ≡

∂f∂y

= g2(x,y)

Notar que Dg1

⊆ Df e Dg2 ⊆ Df , pois poderão existir pontos do domínio de

f(x,y) onde não seja possível calcular

∂f∂x

e/ou

∂f∂y

.

As quatro derivadas parciais de 2ª ordem da função f(x,y) são, por definição, as derivadas em ordem a x e em ordem a y das funções g1(x,y) e g2(x,y):

fxx ≡ (fx)x ≡

∂∂x

∂f∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ≡

∂2f

∂x2

≡def.

limh→0

g1 (x + h, y) − g1 (x, y)h

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

fxy ≡ (fx)y ≡

∂∂y

∂f∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ≡

∂2f∂y∂x

≡def.

limk→0

g1 (x, y + k) − g1 (x, y)k

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Page 8: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

6

fyx ≡ (fy)x ≡

∂∂x

∂f∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ≡

∂2f∂x∂y

≡def.

limh→0

g2 (x + h, y) − g2 (x, y)h

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

fyy ≡ (fy)y ≡

∂∂y

∂f∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ≡

∂2f

∂y2

≡def.

limk→0

g2 (x, y + k) − g2 (x, y)k

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Cada uma das quatro derivadas parciais de 2ª ordem de f(x,y) é, por sua vez, uma nova função de x e de y, pelo que pode também, em geral, ser derivada em ordem a x e a y, originando assim oito derivadas parciais de 3ª ordem da função f(x,y), as quais são representadas por:

fxxx ≡

∂3f

∂x3 fyxx ≡

∂3f

∂x2∂y

fxxy ≡

∂3f

∂y∂x2 fyxy ≡

∂3f∂y∂x∂y

fxyx ≡

∂3f∂x∂y∂x

fyyx ≡

∂3f

∂x∂y2

fxyy ≡

∂3f

∂y2∂x fyyy ≡

∂3f

∂y3

Note-se que a ordem pela qual a derivação é feita é indicada de maneira diferente nas duas notações: na 1ª notação, a ordem de derivação é indicada pela ordem por que estão escritos os índices, lidos da esquerda para a direita, enquanto que na notação “diferencial” a ordem de derivação é indicada pela ordem dos “∂∂” que aparecem no “denominador”, mas lidos da direita para a

esquerda. Assim, por exemplo, fxyy ≡

∂3f

∂y2∂x corresponde a derivar a função

f(x,y) primeiro em ordem a x, depois em ordem a y, e novamente em ordem a y. Prosseguindo desta forma, podemos concluir por indução que uma função de duas variáveis terá, no máximo, 2k derivadas parciais de ordem k. Um raciocínio análogo permitir-nos-ia dizer que uma função de três variáveis, f(x,y,z), poderá ter, no máximo, nove derivadas parciais de 2ª ordem, a saber:

Page 9: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.1 DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

7

fxx ≡

∂2f

∂x2 fxy ≡

∂2f∂y∂x

fxz ≡

∂2f∂z∂x

fyx ≡

∂2f∂x∂y

fyy ≡

∂2f

∂y2 fyz ≡

∂2f∂z∂y

fzx ≡

∂2f∂x∂z

fzy ≡

∂2f∂y∂z

fzz ≡

∂2f

∂z2

Se cada uma destas funções puder ser novamente derivada em ordem a x, a y e a z, vamos obter, no máximo, vinte e sete derivadas parciais de 3ª ordem e, de uma maneira geral, 3k derivadas parciais de ordem k da função f(x,y,z). 10.1.4 Condições de igualdade para derivadas parciais mistas É usual chamar derivada parcial mista de uma função de duas ou mais variáveis a qualquer derivada parcial dessa função em ordem a duas, ou mais, variáveis

diferentes, como por exemplo

∂2f∂y∂x

,

∂2f∂z∂x

,

∂3f

∂y∂x2 ,

∂3f∂z∂y∂x

, etc. Em muitos

casos, é irrelevante a ordem pela qual se fazem as derivações ao calcular uma derivada parcial mista. Para uma função de duas variáveis, demonstra-se que:

Teorema: Se

∂2f∂y∂x

e

∂2f∂x∂y

forem contínuas no ponto (a,b), assim como

numa vizinhança de raio δ centrada nesse ponto, então:

∂2f∂y∂x

(a,b) =

∂2f∂x∂y

(a,b)

Existem resultados análogos a este para as derivadas parciais mistas de ordem superior da função f(x,y), e também para as derivadas parciais mistas de funções de três (ou mais) variáveis. Este conjunto de resultados costuma designar-se por propriedade comutativa das derivadas parciais mistas.

Page 10: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

8

Exemplo 10.4 Verificar a validade da propriedade comutativa das derivadas

parciais mistas de 2ª ordem para a função f(x,y) = sen xy. As derivadas de 1ª ordem de f(x,y) já foram calculadas num exemplo anterior.

∂2f∂y∂x

=

∂∂y

∂f∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

∂∂y

(y (cos xy)) = cos xy – xy (sen xy);

∂2f∂x∂y

=

∂∂x

∂f∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =

∂∂x

(x (cos xy)) = cos xy – yx (sen xy).

Portanto, confirmámos que

∂2f∂y∂x

=

∂2f∂x∂y

.

Se a propriedade comutativa das derivadas parciais mistas for válida para uma função de duas ou mais variáveis, o número de derivadas parciais independentes dessa função fica substancialmente reduzido. Assim, para uma função de duas variáveis, f(x,y), teremos apenas três derivadas parciais de 2ª ordem independentes, em vez de quatro:

∂2f

∂x2 ;

∂2f∂y∂x

∂2f∂x∂y

;

∂2f

∂y2 .

Para a mesma função, teremos apenas quatro derivadas parciais de 3ª ordem independentes, em vez de oito:

∂3f

∂x3 ;

∂3f

∂y∂x2 ≡

∂3f∂x∂y∂x

∂3f

∂x2∂y ;

∂3f

∂y2∂x ≡

∂3f∂y∂x∂y

∂3f

∂x∂y2 ;

∂3f

∂y3 .

Por indução, concluiríamos que f(x,y) terá apenas (k+1) derivadas parciais de ordem k independentes, em vez das 2k derivadas anteriormente obtidas.

Page 11: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.1 DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

9

Para uma função de três variáveis, f(x,y,z), supondo sempre que a propriedade comutativa das derivadas parciais mistas era válida, obteríamos apenas seis derivadas parciais de 2ª ordem independentes, em vez de nove:

∂2f

∂x2 ;

∂2f∂y∂x

∂2f∂x∂y

;

∂2f

∂y2 ;

∂2f∂z∂y

∂2f∂y∂z

;

∂2f

∂z2 ;

∂2f∂z∂x

∂2f∂x∂z

.

Para a mesma função de três variáveis, supondo que a propriedade comutativa das derivadas parciais mistas continuava a ser válida, iríamos obter dez derivadas parciais de 3ª ordem independentes, em vez de vinte e sete. Continuando este processo, poderíamos concluir por indução que a função de três variáveis teria apenas (k+1)(k+2)/2 derivadas parciais de ordem k independentes, em vez das 3k derivadas que tínhamos obtido anteriormente.

Problemas propostos / Secção 10.1 1. Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem de cada uma das funções

seguintes: (a) f(x,y) = ex (cos y – sen y);

(b) f(x,y) =

x + yx − y

;

(c) f(x,y) = xy; (d) f(x,y,z) = x2 ey ln z; (e) f(r,s,t) = (1 – r2 – s2 – t2) e– rst.

2. Se f(x,y) = xm yn, em que m e n são inteiros positivos, verifique que

∂2f∂y∂x

∂2f∂x∂y

.

3. Se f(x,y) = sen xy, verifique que

∂3f

∂y∂x2 ≡

∂3f∂x∂y∂x

∂3f

∂x2∂y .

Page 12: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

10

4. Verifique que a função θ(x,t) = e– n2kt sen nx satisfaz a chamada “equação de transferência de calor” unidimensional:

∂θ∂t

= k

∂2θ

∂x2

em que k e n são constantes, e em que θ representa a temperatura no instante t e no ponto de coordenada x de uma vara isolada situada ao longo do eixo Ox.

5. Se f(x,y) = (x3 + y3)1/3, calcule as derivadas parciais

∂f∂x

e

∂f∂y

.

Soluções dos problemas propostos / Secção 10.1

1. (a)

∂f∂x

= ex (cos y – sen y);

∂f∂y

= – ex (sen y + cos y);

(b)

∂f∂x

= –

2y

(x − y)2 ;

∂f∂y

=

2x

(x − y)2 ;

(c)

∂f∂x

= y xy–1;

∂f∂y

= xy ln x;

(d)

∂f∂x

= 2x ey ln z ;

∂f∂y

= x2 ey ln z ;

∂f∂z

=

x2 ey

z ;

(e)

∂f∂r

= [(r2 + s2 + t2 – 1) st – 2r] e– rst;

∂f∂s

= [(r2 + s2 + t2 – 1) rt – 2s] e– rst;

∂f∂t

= [(r2 + s2 + t2 – 1) rs – 2t] e– rst.

2.

∂2f∂y∂x

∂2f∂x∂y

= m n xm–1 yn–1.

3.

∂3f

∂y∂x2 ≡

∂3f∂x∂y∂x

∂3f

∂x2∂y = – 2y sen (xy) – xy2 cos (xy).

Page 13: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.1 DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

11

4.

∂θ∂t

= – n2 k e– n2kt sen nx;

∂2θ

∂x2 = – n2 e– n2kt sen nx.

5.

∂f∂x

=x2

x3 + y3( )2/3se y ≠ − x ; ∂f

∂x(0, 0) = 1

∂f∂y

=y2

x3 + y3( )2/3se y ≠ − x ; ∂f

∂y(0, 0) = 1

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

.

Gráfico de f(x,y) = (x3 + y3)1/3

Traços de f(x,y) quando y = constante

Page 14: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais
Page 15: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.2 DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

13

10.2 Diferencial de funções de duas ou mais variáveis 10.2.1 Diferencial e aproximação linear

para funções de duas variáveis Dizemos que a função de duas variáveis z = f(x,y) é derivável no ponto (a,b) se

existirem nesse ponto as duas derivadas parciais da função,

∂f∂x

e

∂f∂y

.

Sejam ∆x e ∆y variações ou “incrementos” arbitrários (positivos ou negativos) nas variáveis independentes, e seja ∆f (ou ∆z) a correspondente variação ou “incremento” (não-arbitrário) na função f(x,y):

∆f (ou ∆z)

≡def.

f(a+∆x, b+∆y) – f(a,b) O diferencial (total) da função z = f(x,y) no ponto (a,b), representado por df (ou dz), é definido da seguinte forma:

df (ou dz)

≡def.

∂f∂x

(a,b) ∆x +

∂f∂y

(a,b) ∆y

A relação entre ∆f e df é estabelecida pelo seguinte resultado:

Teorema: Se

∂f∂x

e

∂f∂y

existirem numa vizinhança do ponto (a,b) e

forem contínuas nesse ponto, podemos afirmar que:

∆f (ou ∆z) = df (ou dz) + ε1 ∆x + ε2 ∆y

em que

lim(Δx,Δy)→(0, 0)

ε1 =

lim(Δx,Δy)→(0, 0)

ε2 = 0

Nestas condições, a função z = f(x,y) diz-se diferenciável no ponto (a,b).

Page 16: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

14

Ao contrário do que acontece com funções de uma variável, os termos derivável e diferenciável não são agora, em geral, equivalentes: afirmar que a função é diferenciável implica dizer que é derivável, mas a inversa não é verdadeira. Corolário: Se a função f(x,y) for diferenciável no ponto (a,b), então:

lim(Δx,Δy)→(0, 0)

(∆f – df) = 0

Este corolário significa que, se f(x,y) for diferenciável em (a,b), e se ∆x e ∆y forem “muitos pequenos”, podemos fazer a aproximação ∆f ≈ df, ou seja:

f(a+∆x, b+∆y) – f(a,b) ≈

∂f∂x

(a,b) ∆x +

∂f∂y

(a,b) ∆y ⇒

⇒ f(a+∆x, b+∆y) ≈ f(a,b) +

∂f∂x

(a,b) ∆x +

∂f∂y

(a,b) ∆y ⇒

f(x,y) ≈ f(a,b) +

∂f∂x

(a,b) (x – a) +

∂f∂y

(a,b) (y – b)

em que fizemos x = a + ∆x e y = b + ∆y no último passo. É precisamente este resultado que se costuma chamar a aproximação linear da função z = f(x,y) na vizinhança do ponto (a,b), a qual poderá ser utilizada na prática para calcular valores aproximados de uma função de duas variáveis, como se mostra a seguir:

Exemplo 10.5 Se z = f(x,y) =

x2 + y2 , calcule o valor aproximado de ∆z ao passar do ponto de coordenadas (3, 4) para o ponto de coordenadas (3.04, 3.98).

∂f∂x

=x

x2 + y2∂f∂y

=y

x2 + y2

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

, se (x,y) ≠ (0, 0) ⇒

Page 17: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.2 DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

15

⇒ dz =

∂f∂x

∆x +

∂f∂y

∆y =

x

x2 + y2 ∆x +

y

x2 + y2 ∆y, se (x,y) ≠ (0, 0)

Substituindo x = 3, y = 4, ∆x = 0.04 e ∆y = – 0.02, vem:

dz =

325

(0.04) +

425

(– 0.02) = 0.008

Utilizando a aproximação linear desta função, podemos agora afirmar que:

∆z ≈ dz ⇒ ∆z ≈ 0.008 Neste momento, a única maneira que temos de avaliar o erro cometido com esta aproximação linear é através do valor “exacto” de ∆z dado pela calculadora:

∆z = f(3.04, 3.98) – f(3, 4) = 0.008193287...

10.2.2 Plano tangente ao gráfico de z = f(x,y)

A equação z = f(a,b) +

∂f∂x

(a,b) (x – a) +

∂f∂y

(a,b) (y – b) é a equação de um

plano que passa pelo ponto de coordenadas (a,b,f(a,b)), cujo declive na direcção

de Ox é

∂f∂x

(a,b), e cujo declive na direcção de Oy é

∂f∂y

(a,b).

Definição: Se a função f(x,y) for diferenciável no ponto (a,b), isto é, se as

derivadas parciais

∂f∂x

e

∂f∂y

existirem numa vizinhança do ponto

(a,b) e forem contínuas nesse ponto, a equação do plano tangente ao gráfico da função z = f(x,y) no ponto onde (x,y) = (a,b) é:

z = f(a,b) +

∂f∂x

(a,b) (x – a) +

∂f∂y

(a,b) (y – b)

Page 18: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

16

Exemplo 10.6 Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico da função

f(x,y) =

(x − 1)2 + (y + 2)2 nos pontos (x,y) = (0, 0) e (x,y) = (1, – 2).

∂f∂x

=x − 1

(x − 1)2 + (y + 2)2

∂f∂y

=y + 2

(x − 1)2 + (y + 2)2

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

, se (x,y) ≠ (1, – 2)

No ponto onde (x,y) = (0, 0), obtém-se:

f(0, 0) =

5 ;

∂f∂x

(0, 0) = –

15

;

∂f∂y

(0, 0) =

25

pelo que a equação do plano tangente à superfície nesse ponto será:

z =

5 –

15

x +

25

y

No ponto onde (x,y) = (1, – 2), porém, as derivadas parciais da função dada não existem (a função não é derivável), pelo que não existe qualquer plano tangente à superfície nesse ponto. Se recordarmos que o gráfico desta função é a metade (“folha”) superior de uma superfície cónica com vértice no ponto onde (x,y) = (1, – 2), percebe-se porque é que nesse ponto não faz sentido falar em plano tangente à superfície.

Page 19: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.2 DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

17

10.2.3 Interpretação geométrica do diferencial para uma função de duas variáveis

Podemos utilizar o conceito de plano tangente à superfície de equação z = f(x,y) no ponto onde (x,y) = (a,b) para obtermos uma interpretação geométrica do conceito de diferencial de uma função de duas variáveis e da aproximação linear que lhe está associada. Conforme se pode ver na figura seguinte, ∆f (ou ∆z) representa a variação da coordenada z medida no gráfico da função z = f(x,y), quando passamos do ponto (a,b) para o ponto (a+∆x, b+∆y). Por outro lado, o diferencial df (ou dz) representa a variação da coordenada z medida no plano tangente à superfície z = f(x,y) em (a,b), quando passamos do ponto (a,b) para o ponto (a+∆x, b+∆y):

Utilizam-se por vezes os símbolos alternativos “dx” (em vez de ∆x) e “dy” (em vez de ∆y) para as variações arbitrárias nas variáveis independentes. Todos os resultados atrás apresentados poderão ser reescritos utilizando esta notação alternativa, mas o seu significado mantém-se inalterado.

Page 20: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

18

10.2.4 Diferencial e aproximação linear para funções de três variáveis

Todos estes conceitos podem ser facilmente estendidos a funções de três ou mais variáveis, exceptuando naturalmente a sua interpretação geométrica. Assim, se w = f(x,y,z) for uma função de três variáveis independentes, e se ∆x, ∆y e ∆z representarem variações arbitrárias nas três variáveis independentes, define-se a correspondente variação não-arbitrária na função da seguinte forma:

∆f (ou ∆w)

≡def.

f(a+∆x, b+∆y, c+∆z) – f(a,b,c) E define-se também o diferencial da mesma função:

df (ou dw)

≡def.

∂f∂x

(a,b,c) ∆x +

∂f∂y

(a,b,c) ∆y +

∂f∂z

(a,b,c) ∆z

Se as três derivadas parciais existirem numa vizinhança do ponto (a,b,c) e forem contínuas no mesmo ponto, a função diz-se diferenciável nesse ponto, e então podemos afirmar que:

∆f (ou ∆w) = df (ou dw) + ε1 ∆x + ε2 ∆y + ε3 ∆z , em que:

lim(Δx,Δy,Δz)→(0, 0,0)

ε1 =

lim(Δx,Δy,Δz)→(0, 0,0)

ε2 =

lim(Δx,Δy,Δz)→(0, 0,0)

ε3 = 0.

Ou seja, se f(x,y,z) for diferenciável em (a,b,c), e se ∆x, ∆y e ∆z forem “muitos pequenos”, podemos fazer a aproximação ∆f ≈ df, equivalente a:

f(x,y,z) ≈ f(a,b,c) +

∂f∂x

(a,b,c) (x – a) +

∂f∂y

(a,b,c) (y – b) +

∂f∂z

(a,b,c) (z – c)

que designamos por aproximação linear de f(x,y,z) na vizinhança de (a,b,c)

Page 21: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.2 DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

19

10.2.5 Propagação dos erros experimentais Também no caso das funções de duas variáveis se pode utilizar o conceito de aproximação linear para resolver o seguinte problema importante, chamado problema da propagação dos erros experimentais: os valores numéricos de duas quantidades medidas experimentalmente são substituídos numa dada fórmula, com vista a calcular o valor numérico de outra quantidade relacionada com aquelas. Se se conhecer o erro máximo associado às medições experimentais, qual vai ser o correspondente erro máximo (erro propagado) no valor numérico da quantidade calculada através da fórmula? Para aplicarmos a aproximação linear a este problema, vamos supor que:

• xo e yo são os valores verdadeiros das quantidades que são medidas experimentalmente

• zo = f(xo,yo) é o valor verdadeiro da quantidade que é calculada • x e y são os valores medidos experimentalmente • z = f(x,y) é o valor calculado a partir dos valores medidos • ∆x = x – xo e ∆y = y – yo são os erros cometidos na medição experimental • ∆z = f(x,y) – f(xo,yo) é o erro correspondente na quantidade calculada

Então, de acordo com os conceitos de diferencial e aproximação linear acima desenvolvidos, se os erros experimentais ∆x = x – xo e ∆y = y – yo forem suficientemente pequenos, podemos afirmar que:

∆z ≈ dz =

∂f∂x

(xo,yo) ∆x +

∂f∂y

(xo,yo) ∆y

Contudo, os valores verdadeiros de xo e yo são desconhecidos, pelo que não é

possível calcular os valores verdadeiros de

∂f∂x

(xo,yo) nem de

∂f∂y

(xo,yo). Por

isso, faz-se outra aproximação, que consiste em substituir os valores verdadeiros

∂f∂x

(xo,yo) e

∂f∂y

(xo,yo) pelos valores aproximados

∂f∂x

(x,y) e

∂f∂y

(x,y), donde

resulta a seguinte fórmula aproximada para o erro propagado:

Page 22: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

20

∆z ≈ dz =

∂f∂x

(x,y) ∆x +

∂f∂y

(x,y) ∆y

É fácil concluir por um raciocínio análogo que, se x, y e z forem as quantidades medidas experimentalmente e w for a quantidade que é calculada a partir dessas três por meio da fórmula w = f(x,y,z), o erro propagado ∆w pode ser obtido a partir dos erros experimentais ∆x, ∆y e ∆z pela seguinte fórmula aproximada:

∆w ≈ dw =

∂f∂x

(x,y,z) ∆x +

∂f∂y

(x,y,z) ∆y +

∂f∂z

(x,y,z) ∆z

Como já afirmámos atrás, é muito vezes preferível trabalhar com o erro relativo ∆q/qo (ou erro percentual, se for expresso em percentagem) na medição ou no cálculo de uma quantidade. Porém, como o valor verdadeiro qo é desconhecido, utiliza-se em seu lugar o valor medido ou calculado q, ou seja, o erro relativo (ou percentual) é aproximado por ∆q/q.

Exemplo 10.7 Uma caixa paralelepipédica tem arestas concorrentes num

vértice cujos comprimentos são x, y e z. Se o erro percentual máximo na medição do comprimento de cada uma destas arestas for de 1%, qual é o correspondente erro percentual máximo no valor calculado do volume V da caixa?

Ou seja,

Δxx

≤ 0.01 ∧

Δyy

≤ 0.01 ∧

Δzz

≤ 0.01 ⇒

ΔVV

≤ ?

V = f(x,y,z) = xyz ⇒

⇒ ∆V ≈ dV =

∂f∂x

∆x +

∂f∂y

∆y +

∂f∂z

∆z = yz ∆x + xz ∆y + xy ∆z ⇒

ΔVV

dVV

=

yz Δx + xz Δy + xy Δzx y z

=

Δxx

+

Δyy

+

Δzz

ΔVV

dVV

=

Δxx

+Δyy

+Δzz

Δxx

+

Δyy

+

Δzz

≤ 0.03.

Page 23: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.2 DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

21

(o módulo de uma soma é, no máximo, igual à soma dos módulos das parcelas) O erro relativo percentual máximo no volume da caixa paralelepipédica é 3%.

10.2.6 Relação entre diferenciabilidade e continuidade

para funções de duas ou mais variáveis Ao contrário do que acontece com funções de uma variável, o facto de uma função de duas ou mais variáveis ser derivável num ponto não é garantia de que seja contínua nesse ponto. É necessário invocar uma hipótese mais forte, que é a hipótese de diferenciabilidade da função nesse ponto: Teorema: f(x,y) é diferenciável no ponto (a,b) ⇒

⇒ f(x,y) é contínua no ponto (a,b).

Podemos exprimir este resultado de uma forma alternativa se utilizarmos a definição de função diferenciável em (a,b), que foi apresentada atrás:

Teorema: Se

∂f∂x

e

∂f∂y

existirem numa vizinhança do ponto (a,b)

e forem contínuas nesse ponto, f(x,y) é contínua em (a,b). Resultados análogos a estes são válidos para funções de três ou mais variáveis.

Exemplo 10.8 Mostre que a função f(x,y) =

− 1, se x > 0 ∧ y > 00 , se x ≤ 0 ∨ y ≤ 0

⎧ ⎨ ⎩

é

derivável em (0, 0), mas não é diferenciável em (0, 0).

A função é derivável no ponto (0, 0), pois existem

∂f∂x

(0, 0) e

∂f∂y

(0, 0):

∂f∂x

(0, 0) =

limh→0

f(h,0) − f(0,0)h

= 0

Page 24: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

22

∂f∂y

(0, 0) =

limk→0

f(0,k) − f(0,0)k

= 0

Mas a função não é diferenciável em (0, 0), por não ser contínua nesse ponto:

Δf = f(0 + Δx, 0 + Δy) − f(0, 0) = f(Δx,Δy)

df =∂f∂x(0, 0) Δx +

∂f∂y(0, 0) Δy = 0 Δx + 0 Δy = 0

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒

⇒ ∆f – df = f(∆x, ∆y) – 0 = f(∆x, ∆y)

Então, ∀∆x > 0 ∧ ∀∆y > 0, vem f(∆x, ∆y) = – 1 (por causa da definição de f) ⇒ ∆f – df = – 1, ou seja, existem pontos na vizinhança da origem para os quais é impossível garantir que

lim(Δx,Δy)→(0, 0)

(∆f – df) = 0:

Page 25: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.2 DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

23

Problemas propostos / Secção 10.2 1. Calcule a expressão do diferencial para as seguintes funções:

(a) z =

1 + x2 + y2 ;

(b) z = arctg

yx

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ;

(c) w = ln (x2 + y2 + z2);

(d) w = xyz e– x2 – y2 + z2.

2. Utilize a aproximação linear baseada no diferencial de f(x,y) para calcular

o valor aproximado de ∆f = f(Q) – f(P) em cada um dos seguintes casos:

(a) f(x,y) =

x2 + y2 , P(3, 4) e Q(2.97, 4.04);

(b) f(x,y) =

11+ x + y

, P(3, 6) e Q(3.02, 6.05);

(c) f(x,y,z) = e– xyz, P(1, 0, – 2) e Q(1.02, 0.03, – 2.02). 3. Utilize a aproximação linear baseada no diferencial de f(x,y) para calcular

o valor aproximado de:

(a)

15 + 99( )2;

(b) e0.4 ≡ exp [(1.1)2 – (0.9)2].

4. Mostre que os gráficos de f(x,y) =

110

(x2 + y2) +

52

e de g(x,y) =

=

x2 + y2 se intersectam no ponto de coordenadas (3, 4, 5), e têm um plano tangente comum nesse ponto.

5. Em cada caso, obtenha as coordenadas de todos os pontos do gráfico da

função f(x, y) onde o plano tangente é horizontal (paralelo a Oxy): (a) f(x,y) = x3y2; (b) f(x,y) = x2 – xy + y2 – 2x + 4y.

6. Os catetos de um triângulo rectângulo medem 3 cm e 4 cm, com um erro

máximo de 0.05 cm, em valor absoluto. Qual o valor absoluto máximo do erro nos valores calculados de: (a) comprimento da hipotenusa do triângulo; (b) área do triângulo.

Page 26: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

24

Soluções dos problemas propostos / Secção 10.2

1. (a) dz =

x

1 + x2 + y2 dx +

y

1 + x2 + y2 dy;

(b) dz = –

y

x2 + y2 dx +

x

x2 + y2 dy;

(c) dw =

2x

x2 + y2 + z2 dx +

2y

x2 + y2 + z2 dy +

2z

x2 + y2 + z2 dz;

(d) dw = e(– x2 – y2 + z2)

[ yz (1 – 2x2) dx + zx (1 – 2y2) dy +

+ xy (1 + 2z2) dz

]. 2. (a) ∆f ≈ df = 0.014;

(b) ∆f ≈ df = – 0.0007; (c) ∆f ≈ df = 0.06.

3. (a) f(x,y) =

x + y( )2; f(15, 99) ≈ 191.1;

(b) f(x,y) = ex2 – y2 ; f(1.1, 0.9) ≈ 1.4.

4. Equação do plano tangente comum: z = 5 +

35

(x – 3) +

45

(y – 4).

5. (a) Todos os pontos situados no eixo Ox ou no eixo Oy;

(b) (0, – 2, – 4). 6. (a) 0.07 cm;

(b) 0.175 cm2.

Page 27: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.3 DERIV. DE FUNÇÕES COMPOSTAS DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

25

10.3 Derivação de funções compostas de duas ou mais variáveis 10.3.1 A função composta f(g(x,y))

O caso aqui considerado corresponde a

z = f(u)u = g(x,y)

⎫ ⎬ ⎭

⇒ z = f(g(x,y)) = h(x,y).

Neste caso, dizemos que z é uma função composta de x e de y por intermédio de u. Esquematicamente, esta situação pode ser representada da seguinte forma:

Aplicando a conhecida regra de derivação de funções compostas à variável x (com y constante) e depois à variável y (com x constante), obtém-se:

∂z∂x

=dzdu

∂u∂x

∂z∂y

=dzdu

∂u∂y

⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Sempre que estivermos a resolver um problema de derivação de funções compostas envolvendo duas ou mais variáveis, utilizaremos preferencialmente esta notação para as derivadas das várias funções, por ser a mais intuitiva.

Page 28: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

26

Exemplo 10.9 Se z = f(xy), em que f representa uma função derivável

qualquer, mostre que x

∂z∂x

= y

∂z∂y

, ∀f .

Se definirmos u = g(x,y) = xy, resulta z = f(u) = f(xy) = h(x,y), e vem:

∂u∂x

= y ;

∂u∂y

= x.

∂z∂x

=dzdu

∂u∂x

= y dzdu

⇒ x ∂z∂x

= x y dzdu

∂z∂y

=dzdu

∂u∂y

= x dzdu

⇒ y ∂z∂y

= y x dzdu

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

⇒ x

∂z∂x

= y

∂z∂y

, ∀f .

Exemplo 10.10 Se z = f(r), em que r representa a coordenada polar radial,

exprimir

∂z∂x

e

∂z∂y

em função de r e de θ.

z = f(r)

r = x2 + y2⎫ ⎬ ⎭

⇒ z = f

x2 + y2⎛ ⎝

⎞ ⎠ = h(x,y)

r =

x2 + y2 ⇒

∂r∂x

=x

x2 + y2=xr

∂r∂y

=y

x2 + y2=yr

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

∂z∂x

=

dzdr

∂r∂x

=

xr

dzdr

= cos θ

dzdr

(porque x = r cos θ)

∂z∂y

=

dzdr

∂r∂y

=

yr

dzdr

= sen θ

dzdr

(porque y = r sen θ)

Page 29: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.3 DERIV. DE FUNÇÕES COMPOSTAS DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

27

Os resultados acima escritos podem ser facilmente generalizados se w = f(u), e se a variável intermédia depender de três variáveis independentes, ou seja:

w = f(u)u = g(x,y,z)

⎫ ⎬ ⎭

⇒ w = f(g(x,y,z)) = h(x,y,z)

10.3.2 A função composta f(g1(t), g2(t))

Um segundo caso é o seguinte:

z = f(x,y)x = g1 (t)y = g2 (t)

⎬ ⎪

⎭ ⎪

⇒ z = f(g1(t), g2(t)) = h(t). Neste

caso dizemos que z é uma função composta de t por intermédio de x e de y. Esquematicamente, esta situação pode ser representada da seguinte forma:

A derivada da função composta h(t) (por vezes chamada “derivada total”) é obtida calculando a derivada em ordem a t por intermédio de x e por intermédio de y, e adicionando a duas contribuições:

Page 30: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

28

dzdt

=

∂z∂x

dxdt

+

∂z∂y

dydt

Este resultado é uma consequência quase imediata de um teorema referido atrás,

que afirma que ∆z =

∂z∂x

∆x +

∂z∂y

∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y: basta dividir tudo por ∆t,

e depois passar ao limite quando ∆t→0, recordando que ε1→0 e ε2→0.

Exemplo 10.11 Se z = x2y, x = sen t e y = = t3, calcule

dzdt

utilizando a regra

de derivação de funções compostas; calcule depois a mesma derivada por substituição directa de x e y em z, seguida de derivação.

(i) utilizando a regra de derivação de funções compostas:

∂z∂x

= 2xy;

∂z∂y

= x2;

dxdt

= cos t;

dydt

= 3t2

dzdt

=

∂z∂x

dxdt

+

∂z∂y

dydt

=

= 2xy cos t + x2 3t2 =

= 2t3 sen t cos t + 3t2 sen2 t

(ii) por substituição directa de x e y em z, seguida de derivação:

z = x2y = (sen2 t) (t3) = t3 sen2 t ⇒

dzdt

= 3t2 sen2 t + 2t3 sen t cos t.

O resultado acima escrito pode ser facilmente generalizado se w for uma função de três variáveis, sendo cada uma delas, por sua vez, uma função qualquer da mesma variável independente t, ou seja:

Page 31: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.3 DERIV. DE FUNÇÕES COMPOSTAS DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

29

w = f(x,y,z)x = g1 (t)y = g2 (t)z = g 3 (t)

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

⇒ w = f(g1(t), g2(t), g3(t)) = h(t)

10.3.3 A função composta f(x, g(x)) O caso particular em que x = t (ou y = t) merece uma referência especial, pela frequência com que aparece nalgumas aplicações práticas:

z = f(x,y)y = g(x)

⎫ ⎬ ⎭

⇒ z = f(x, g(x)) = h(x).

Neste caso, dizemos que z é uma função composta de x, já que depende de x directamente, e também por intermédio de y:

Resulta então para a derivada da função composta f(x, g(x)) = h(x):

dzdx

=

∂z∂x

+

∂z∂y

dydx

Note-se desta fórmula a importância de utilizar o símbolo “∂” para as derivadas parciais, sem o que seria impossível distinguir “dz/dx” (que aparece no 1º membro) de “∂z/∂x” (que aparece no 2º membro).

Page 32: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

30

Exemplo 10.12 Se z = sen xy e y = arctg x, calcule

dzdx

utilizando a regra de

derivação de funções compostas; calcule depois a mesma derivada por substituição directa de y em z, seguida de derivação.

(i) utilizando a regra de derivação de funções compostas:

∂z∂x

= y cos xy;

∂z∂y

= x cos xy;

dydx

=

1

1 + x2

dzdx

=

∂z∂x

+

∂z∂y

dydx

= y cos xy + x cos xy

dydx

= (cos xy)

y + x dydx

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

= (cos (x arctg x))

arctg x +x

1 + x2⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟

(ii) por substituição directa de y em z, seguida de derivação:

z = sen xy = sen (x arctg x) ⇒

dzdx

= (cos (x arctg x)) (x arctg x)´ = (cos (x arctg x))

arctg x +x

1 + x2⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ .

O resultado acima escrito pode ser facilmente generalizado se w for uma função de três variáveis, sendo duas delas, por sua vez, funções da terceira, ou seja:

w = f(x,y,z)y = g1 (x)z = g2 (x)

⎬ ⎪

⎭ ⎪

⇒ w = f(x, g1(x), g2(x)) = h(x).

Page 33: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.3 DERIV. DE FUNÇÕES COMPOSTAS DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

31

10.3.4 A função composta f(g1(u,v), g2(u,v))

Suponhamos agora que

z = f(x,y)x = g1 (u,v)y = g2 (u,v)

⎬ ⎪

⎭ ⎪

⇒ z = f(g1(u,v), g2(u,v)) = h(u,v).

Dizemos então que z é uma função composta de u e de v por intermédio de x e de y, o que pode ser representado esquematicamente da seguinte forma:

As derivadas parciais da função composta h(u,v) podem ser obtidas se aplicarmos a cada uma das variáveis u e v o mesmo procedimento que foi aplicado no caso anterior à variável t:

∂z∂u

=∂z∂x

∂x∂u

+∂z∂y

∂y∂u

∂z∂v

=∂z∂x

∂x∂v

+∂z∂y

∂y∂v

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Page 34: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

32

Exemplo 10.13 Se z = f(x,y), em que f é uma função diferenciável qualquer,

e se x = u + v e y = u – v, mostre que:

∂z∂u

∂z∂v

=∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2−

∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

, ∀f .

∂z∂u

=∂z∂x

∂x∂u

+∂z∂y

∂y∂u

=∂z∂x(1) +

∂z∂y(1) =

∂z∂x

+∂z∂y

∂z∂v

=∂z∂x

∂x∂v

+∂z∂y

∂y∂v

=∂z∂x(1) +

∂z∂y(−1) =

∂z∂x

−∂z∂y

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

∂z∂u

∂z∂v

=∂z∂x

+∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

∂z∂x

−∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =

∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2−

∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

, ∀f .

Os resultados acima escritos podem ser facilmente generalizados se w for uma função de três variáveis intermédias x, y e z, sendo cada uma delas, por sua vez, uma função qualquer de três variáveis independentes, r, s e t:

w = f(x,y,z)x = g1 (r,s,t)y = g2 (r,s,t)z = g 3 (r,s,t)

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

⇒ w = f(g1(r,s,t), g2(r,s,t), g3(r,s,t)) = h(r,s,t).

10.3.5 A função composta f(x, g(x,v)) O caso particular em que x = u (ou y = v) merece uma referência especial, pela frequência com que aparece em algumas aplicações práticas:

z = f(x,y)y = g(x,v)

⎫ ⎬ ⎭

⇒ z = f(x, g(x,v)) = h(x,v).

Page 35: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.3 DERIV. DE FUNÇÕES COMPOSTAS DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

33

Neste caso, dizemos que z é uma função composta de x e de v por intermédio de x e de y, o que pode ser representado esquematicamente da seguinte forma:

Vem então para as derivadas parciais da função composta f(x, g(x,v)) = h(x,v):

∂z∂x

=∂z∂x

+∂z∂y

∂y∂x

∂z∂v

=∂z∂y

∂y∂v

⎨ ⎪

⎩ ⎪

Há aqui um problema com a notação, já que nos aparece o símbolo

∂z∂x

nos dois

lados da 1ª equação: no 1º membro,

∂z∂x

refere-se à derivada da função composta

h(x,v), enquanto que no 2º membro

∂z∂x

se refere à derivada da função f(x,y).

Uma forma de resolver este problema consiste precisamente em utilizar as letras f e h que representam as funções, em vez de utilizar a variável dependente z. Alternativamente, podemos indicar em índice, para cada derivada parcial, qual é a outra variável independente, que é mantida constante durante essa derivação; esta é a notação que é utilizada em muitas aplicações práticas:

Page 36: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

34

∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ v

=∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ y

+∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ x

∂y∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ v

∂z∂v

⎛ ⎝

⎞ ⎠ x

=∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ x

∂y∂v

⎛ ⎝

⎞ ⎠ x

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Repare-se que agora já não há qualquer dúvida de que a derivada

∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ v

se

refere à função h(x,v), enquanto que a derivada

∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ y

se refere à função f(x,y)!

Exemplo 10.14 Em Termodinâmica, mostra-se que a entalpia é uma função

da pressão e da temperatura, H = f(T,P); por outro lado, a pressão é uma função do volume e da temperatura, através da chamada “equação de estado”, P = g(T,V). Quais as expressões das derivadas parciais da função composta em que a entalpia H aparece como função de T e de V?

O esquema das dependências funcionais é o seguinte:

H = f(T,P)P = g(T,V)

⎫ ⎬ ⎭

⇒ H = f(T, g(T,V)) = h(T,V)

Page 37: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.3 DERIV. DE FUNÇÕES COMPOSTAS DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

35

Portanto, as derivadas parciais

∂H∂T

⎛ ⎝

⎞ ⎠ V

e

∂H∂V

⎛ ⎝

⎞ ⎠ T

são dadas pelas equações:

∂H∂T

⎛ ⎝

⎞ ⎠ V

=∂H∂T

⎛ ⎝

⎞ ⎠ P

+∂H∂P

⎛ ⎝

⎞ ⎠ T

∂P∂T

⎛ ⎝

⎞ ⎠ V

∂H∂V

⎛ ⎝

⎞ ⎠ T

=∂H∂P

⎛ ⎝

⎞ ⎠ T

∂P∂V

⎛ ⎝

⎞ ⎠ T

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

Problemas propostos / Secção 10.3 1. Se z = f(u) e u = x – y, em que f é uma função derivável qualquer, mostre

que

∂z∂x

= –

∂z∂y

.

2. Se z = f(u) e u =

x2 − y2

x2 + y2 , em que f é uma função derivável qualquer,

mostre que x

∂z∂x

+ y

∂z∂y

= 0.

3. Se z = e– x2 – y2, x = t e y =

t , calcule

dzdt

utilizando a regra de

derivação de funções compostas; calcule depois a mesma derivada por substituição directa de x e y em z, seguida de derivação.

4. Se w = sen xyz, x = t, y = t2 e z = t3, calcule

dwdt

utilizando a regra de

derivação de funções compostas; calcule depois a mesma derivada por substituição directa de x, y e z em w, seguida de derivação.

5. Se w =

x2 + y2 + z2 , x = cos 2y e z =

y , calcule

dwdy

utilizando a

regra de derivação de funções compostas; calcule depois a mesma derivada por substituição directa de x e z em w, seguida de derivação.

Page 38: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

36

6. Se z = f(x,y), x = 2u + v e y = u – v, em que f é uma função derivável

qualquer, calcule

∂z∂u

e

∂z∂v

em termos de

∂z∂x

e

∂z∂y

.

7. Se z = f(u) + g(v), u = x – at e v = x + at, em que f e g são funções

deriváveis quaisquer e a é uma constante, calcule

∂z∂x

e

∂z∂t

em termos de

f´(u) e de g´(v). 8. Se z = f(x,y), em que x = r cos θ e y = r sen θ, e em que f é uma função

derivável qualquer, mostre que

∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 +

∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

=

∂z∂r

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 +

1

r2

∂z∂θ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2.

9. Se w = f(ρ), em que ρ =

x2 + y2 + z2 , ρ ≠ 0, sendo f uma função

derivável qualquer, mostre que

∂w∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 +

∂w∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+

∂w∂z

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 =

dwdρ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

.

Soluções dos problemas propostos / Secção 10.3

3.

dzdt

= – (2t + 1) e– (t2 + t).

4.

dwdt

= 6 t5 cos t6.

5.

dwdy

=

− sen 4y + y + 1/2

cos2 2y + y2 + y .

6.

∂z∂u

= 2

∂z∂x

+

∂z∂y

;

∂z∂v

=

∂z∂x

∂z∂y

.

7.

∂z∂x

= f´(u) + g´(v);

∂z∂t

= – a f´(u) + a g´(v).

8.

∂z∂r

= cos θ

∂z∂x

+ sen θ

∂z∂y

;

Page 39: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.3 DERIV. DE FUNÇÕES COMPOSTAS DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

37

∂z∂θ

= – r sen θ

∂z∂x

+ r cos θ

∂z∂y

.

9.

∂w∂x

=

dwdρ

;

∂w∂y

=

dwdρ

;

∂w∂z

=

dwdρ

.

Page 40: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais
Page 41: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.4 DERIVAÇÃO DE INTEGRAIS EM ORDEM A UM PARÂMETRO ________________________________________________________________

39

10.4 Derivação de integrais em ordem a um parâmetro 10.4.1 Derivação de primitivas em ordem a um parâmetro

Em muitas primitivas, como por exemplo

∫ xα dx =

xα+1

α + 1 , ∀α ≠ –1 ∈ IR ,

ou

∫ eαx dx =

eαx

α , ∀α ≠ 0 ∈ IR , a variável α, que é independente da

variável de primitivação x, é geralmente designada pelo nome de parâmetro. Generalizando a definição de primitiva a esta situação, em que a função que queremos primitivar e a sua primitiva são funções de duas variáveis, vem:

∫ f(x,α) dx = F(x,α) + C sse

∂F(x,α)∂x

= f(x,α)

Como sabemos, pela propriedade comutativa das derivadas parciais mistas, tem-

-se que

∂2F∂x∂α

=

∂2F∂α∂x

, se estas derivadas forem contínuas. Vem então:

∂∂x

∂F∂α

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

∂∂α

∂F∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

∂f∂α

Aplicando novamente a definição de primitiva, conclui-se que

∂F∂α

é a primitiva

de

∂f∂α

com respeito a x, isto é,

∂F(x,α)∂α

=

∂f∂α

(x,α) dx, ou, escrevendo este

resultado de uma forma mais sugestiva:

∂∂α

⎛ ⎝

∫ f(x,α) dx

⎞ ⎠ =

∂f∂α

(x,α) dx

Pode demonstrar-se que este resultado é válido em qualquer região do “plano”

x-α no qual a derivada parcial

∂f∂α

seja contínua.

Page 42: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

40

Exemplo 10.15 Sabendo que

∫ eαx dx =

eαx

α , ∀α ≠ 0 ∈ IR , calcular a

primitiva

∫ x eαx dx sem utilizar primitivação por partes.

Calculemos a derivada em ordem a α dos dois membros da equação dada:

(i)

∂∂α

⎛ ⎝

∫ eαx dx

⎞ ⎠ =

∂eαx

∂α dx =

∫ x eαx dx

(ii)

∂∂α

eαx

α

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =

xeαx α − eαx

α2 =

−1

α2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ eαx, ∀α ≠ 0 ∈ IR

Comparando os dois resultados obtidos, podemos concluir que:

∫ x eαx dx =

−1

α2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ eαx, ∀α ≠ 0 ∈ IR

10.4.2 A regra de Leibniz Consideremos agora o integral com respeito a x em [a,b] de uma função f(x,α) que depende de um parâmetro α, para além da variável de integração x. O resultado desta integração vai depender obviamente do valor do parâmetro α:

F(α)

≡def.

a

b∫ f(x,α) dx

O teorema seguinte, conhecido pelo nome de regra de Leibniz, oferece-nos uma alternativa para o cálculo da derivada da função F(α) em ordem a α:

Page 43: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.4 DERIVAÇÃO DE INTEGRAIS EM ORDEM A UM PARÂMETRO ________________________________________________________________

41

Teorema: Se f(x,α) e

∂f∂x

(x,α) forem contínuas numa região do “plano”

x-α, a função F(α)

≡def.

a

b∫ f(x,α) dx é derivável em ordem a

α nessa região, vindo:

dF(α)dα

=

a

b∫

∂f∂α

(x,α) dx

ou, de forma mais sugestiva, substituindo F(α) pela definição:

ddα

⎛ ⎝ ⎜

a

b∫ f(x,α) dx

⎞ ⎠ ⎟ =

a

b∫

∂f∂α

(x,α) dx.

Ou seja, a derivada em ordem ao parâmetro α do integral

a

b∫ f(x,α) dx é igual

ao integral da derivada parcial da função em ordem ao mesmo parâmetro.

Exemplo 10.16 Se F(α) =

1

2∫

sen (α x)x

dx, calcular a derivada

dFdα

.

∂∂α

⎛ ⎝

sen (α x)x

⎞ ⎠ =

1x

[x cos (α x)] = cos (α x) ⇒

dFdα

=

1

2∫ cos (α x) dx =

sen (α x)α

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ x = 1

x = 2 =

=

sen 2αα

sen αα

=

sen αα

(2 cos α – 1)

Neste caso, a derivada

dFdα

não pode ser obtida pelo processo alternativo, que

consiste em calcular primeiro a função F(α) e depois derivar em ordem a α,

porque não existe a primitiva elementar de

sen (α x)x

com respeito à variável x.

Page 44: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

42

10.4.3 A regra de Leibniz generalizada Numa situação ainda mais geral, podemos ter um integral em que, para além da função integranda f(x,α), também os limites de integração dependem de α:

F(α)

≡def.

g1 (α)

g 2 (α)∫ f(x,α) dx

Se definirmos u = g1(α) e v = g2(α), este integral pode ser interpretado como sendo uma função de três variáveis, G(u,v,α), em que u e v são elas próprias funções de α, pelo que temos aqui uma função composta de α do tipo F(α) = = G(g1(α),g2(α),α), cuja derivada “total”, como vimos atrás, é dada por:

dFdα

=

∂G∂u

dudα

+

∂G∂v

dvdα

+

∂G∂α

Como vimos anteriormente,

∂G∂u

= – f(u,α) e

∂G∂v

= f(v,α). Por outro lado, como

∂G∂α

=

u

v∫

∂f∂α

dx (porque u e v são constantes nesta derivação), podemos

concluir que

dFdα

= f(v,α)

dvdα

– f(u,α)

dudα

+

u

v∫

∂f∂α

dx, ou seja:

Teorema: Se f(x,α) for contínua e tiver 1ªs derivadas contínuas numa região

do “plano” x-α, a função F(α)

≡def.

g1 (α)

g 2 (α)∫ f(x,α) dx é

derivável em ordem a α nessa região, vindo:

dF(α)dα

=

ddα

⎛ ⎝

g1 (α)

g 2 (α)∫ f(x,α) dx

⎞ ⎠ =

= f(g2(α),α)

dg2dα

– f(g1(α),α)

dg1dα

+

g1 (α)

g 2 (α)∫

∂f∂α

(x,α) dx

Page 45: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.4 DERIVAÇÃO DE INTEGRAIS EM ORDEM A UM PARÂMETRO ________________________________________________________________

43

Este resultado é conhecido pelo nome de regra de Leibniz generalizada.

Exemplo 10.17 Se F(α) =

1

sen (α x)x

dx, calcular a derivada

dFdα

.

A derivada parcial da função em ordem ao parâmetro já foi calculada atrás:

∂∂α

⎛ ⎝

sen (α x)x

⎞ ⎠ =

1x

[x cos (α x)] = cos (α x)

Utilizando agora a regra de Leibniz generalizada, com

dg2dα

= eα e

dg1dα

= 0:

dFdα

=

sen (α eα )

eα⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ eα +

1

∫ cos (α x) dx =

= sen (α eα) +

sen (α x)α

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ x = 1

x = eα =

= sen (α eα) +

sen (α eα )α

sen αα

= sen (α eα)

1 +1α

⎛ ⎝

⎞ ⎠ –

sen αα

Note-se mais uma vez que, neste caso, a derivada

dFdα

não pode ser obtida pelo

processo alternativo de calcular primeiro a função F(α) e depois derivar em

ordem a α, porque não existe a primitiva elementar de

sen (α x)x

com respeito à

variável x.

Page 46: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

44

Problemas propostos / Secção 10.4

1. Partindo de

1

α2 + x2∫ dx =

arctg

⎛ ⎝

⎞ ⎠ + C, ∀α ≠ 0 ∈ IR , utilize

derivação em ordem ao parâmetro α para calcular

1

α2 + x2( )2∫ dx.

2. Utilize a regra de Leibniz para calcular a derivada das seguintes funções:

(a) F(α) =

1

2∫

e− α y2

y dy;

(b) F(α) =

1

2∫

1 + α x3

x dx.

3. Utilize a regra de Leibniz generalizada para derivar as seguintes funções:

(a) F(α) =

1

α∫

e− α y2

y dy;

(b) F(α) =

α

2α∫

1 + α x3

x dx.

Soluções dos problemas propostos / Secção 10.4

1.

1

α2 + x2( )2∫ dx =

1

2α3 arctg

⎛ ⎝

⎞ ⎠ +

x

2α2 α2 + x2( ) + C, ∀α ≠ 0 ∈ IR .

2. (a)

dFdα

=

1 − e3α

2 α e4α ; (b)

dFdα

=

1 + 8 α − 1 + α3α

.

3. (a)

dFdα

=

12α

3 e− α3 − e− α⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ;

(b)

dFdα

=

43α

1 + 8α4 − 1 + α4⎛ ⎝

⎞ ⎠ .

Page 47: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.5 FUNÇÕES IMPLÍCITAS E SUA DERIVAÇÃO ________________________________________________________________

45

10.5 Funções implícitas e a sua derivação 10.5.1 Uma equação com duas variáveis: F(x,y) = 0 A equação F(x,y) = 0 pode não ter qualquer solução, ou pode ter um número finito de soluções, ou pode ter infinitas soluções. Neste último caso, como já sabemos, aquela equação representa, em geral, uma curva no plano Oxy. Poderá então perguntar-se em que condições é que essa curva, ou uma parte dessa curva, representa o gráfico de uma função do tipo y = f(x), ou x = g(y). Definição: A equação F(x,y) = 0 define y como função implícita de x

numa determinada região D ⊆ IR2, se existir pelo menos uma função y = f(x) que, substituída naquela equação, a transforma numa identidade, ou seja:

∃f(x) : F(x,f(x)) ≡ 0, ∀(x,y) ∈ D

A mesma equação pode definir várias funções implícitas do tipo y = f(x) em regiões diferentes do plano. Por exemplo, a equação x2 + y2 = 1 define

implicitamente duas funções diferentes: a função y =

1 − x2 , se x ∈ [– 1, 1]

e y ≥ 0, e a função y = –

1 − x2 , se x ∈ [– 1, 1] e y ≤ 0.

Teorema: Se F(x,y) e as suas derivadas parciais

∂F∂x

e

∂F∂y

forem contínuas

numa região de IR2 que inclui o ponto (a,b), e se F(a,b) = 0 e

∂F∂y

(a,b) ≠ 0, então existe uma vizinhança do ponto (a,b) onde a

equação F(x,y) = 0 define y como função implícita de x. O facto de sabermos que a equação F(x,y) = 0 define y como função implícita de x não nos garante que seja possível resolver a equação em ordem a y, para sabermos qual é exactamente a função y = f(x) definida pela equação: no caso geral é impossível explicitar a função definida implicitamente por uma equação!

Page 48: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

46

Nos dois pontos assinalados, onde a tangente ao gráfico da curva de equação

F(x,y) = 0 é vertical, o teorema não é aplicável, porque nesses pontos

∂F∂y

= 0

Se fizermos uma pequena alteração ao enunciado do teorema anterior, e

impusermos que

∂F∂x

(a,b) ≠ 0 em vez de

∂F∂y

(a,b) ≠ 0, a conclusão será que a

mesma equação define x como função implícita de y numa vizinhança de (a,b). É portanto perfeitamente possível a mesma equação definir implicitamente y = = f(x) e x = g(y) numa vizinhança do mesmo ponto (a,b), bastando para isso que

as condições

∂F∂x

(a,b) ≠ 0 e

∂F∂y

(a,b) ≠ 0 se verifiquem simultaneamente.

Teorema: Se a equação F(x,y) = 0 definir y como função implícita de x

numa vizinhança do ponto (a,b), essa função é derivável no ponto x = a, sendo a derivada dada por:

dydx

(a) = –

∂F∂x(a,b)

∂F∂y(a,b)

Page 49: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.5 FUNÇÕES IMPLÍCITAS E SUA DERIVAÇÃO ________________________________________________________________

47

Na prática, este resultado obtém-se facilmente se derivarmos ambos os membros da equação F(x,y) = 0 em ordem a x, considerando que a expressão que aparece no 1º membro depende de x directamente, e por intermédio de y = f(x):

F(x,y) = 0y = f(x)

⎫ ⎬ ⎭

⇒ F(x, f(x)) = 0 ⇒

∂F∂x

+

∂F∂y

dydx

= 0 ⇒

dydx

= –

∂F∂x∂F∂y

A este procedimento chama-se derivação implícita da equação F(x,y) = 0. Note--se que, desta forma, conseguimos calcular o valor da derivada de f(x), mesmo que seja impossível resolver a equação F(x,y) = 0 em ordem a y, para saber qual é exactamente a função y = f(x) definida implicitamente pela equação. Se a mesma equação definir x como função implícita de y numa vizinhança do ponto (a,b), não é muito difícil mostrar que a derivada dessa função é dada por:

dxdy

(b) = –

∂F∂y(a,b)

∂F∂x(a,b)

Exemplo 10.18 Mostre que a equação x3 + 3xy2 + y3 = 5 define uma função

implícita y = f(x) na vizinhança de (1, 1), e calcule

dydx

(1).

A equação dada define uma função implícita y = f(x) na vizinhança de (1, 1):

F(x,y) = x3 + 3xy2 + y3 − 5

∂F∂x(x,y) = 3x2 + 3y2

∂F∂y(x,y) = 6xy + 3y2

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

são contínuas, ∀(x,y) ∈ IR2

F(1, 1) = 1 + 3 + 1 – 5 = 0;

∂F∂y

(1, 1) = 6 + 3 = 9 ≠ 0

Page 50: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

48

Para calcularmos

dydx

(1), derivamos ambos os membros da equação dada em

ordem a x, considerando que y é função de x:

3x2 + 3y2 + 6xy

dydx

+ 3y2

dydx

= 0 ⇒

dydx

= –

3x2 + 3y2

6xy + 3y2

Substituindo x = 1 e y = 1 nesta equação, obtém-se

dydx

(1) = –

23

.

Como se pode ver da figura, a equação dada define implicitamente três funções diferentes do tipo y = f(x) no seu domínio de validade. Contudo, não é fácil resolver a equação do 3º grau em ordem a y para deduzir qual é a função cujo gráfico passa por (1, 1), com vista a calcular a sua derivada nesse ponto. Se utilizarmos derivação implícita, como vimos, esta dificuldade é superada.

Page 51: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.5 FUNÇÕES IMPLÍCITAS E SUA DERIVAÇÃO ________________________________________________________________

49

10.5.2 Uma equação com três variáveis: F(x,y,z) = 0 A equação F(x,y,z) = 0 pode não ter qualquer solução, ou pode ter um número finito de soluções, ou pode ter infinitas soluções. Neste último caso, como já sabemos, aquela equação representa, em geral, uma superfície no espaço a três dimensões. Definição: A equação F(x,y,z) = 0 define z como função implícita de x e

de y numa determinada região D ⊆ IR3, se existir pelo menos uma função z = f(x,y) que, substituída naquela equação, a transforma numa identidade, ou seja:

∃f(x,y) : F(x,y,f(x,y)) ≡ 0, ∀(x,y,z) ∈ D

A mesma equação pode definir várias funções implícitas do tipo z = f(x,y) em regiões diferentes do espaço. Por exemplo, a equação x2 + y2 + z2 = = 1 define implicitamente duas funções diferentes, que podem ser obtidas se resolvermos a

equação em ordem a z: a função z =

1 − x2 − y2 , se x2 + y2 ≤ 1 e z ≥ 0, e a

função z = –

1 − x2 − y2 , se x2 + y2 ≤ 1 e z ≤ 0. A versão do teorema da função implícita aplicável a este caso é a seguinte:

Teorema: Se F(x,y,z) e as suas derivadas parciais

∂F∂x

,

∂F∂y

e

∂F∂z

forem

contínuas numa região de IR3 que inclui o ponto (a,b,c), e se

F(a,b,c) = 0 e

∂F∂z

(a,b,c) ≠ 0, então existe uma vizinhança do

ponto (a,b,c) onde a equação F(x,y,z) = 0 define z como função implícita de x e de y.

Como no caso anterior, o facto de sabermos que a equação F(x,y,z) = 0 define z como função implícita de x e de y não nos garante que a equação possa ser resolvida em ordem a z: na maior parte dos casos, é impossível exprimir z como função explícita de x e de y.

Page 52: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

50

Nos pontos situados sobre as duas curvas assinaladas, na transição de f1 para f2 e de f2 para f3, onde o plano tangente ao gráfico da superfície F(x,y,z) = 0 é

vertical, o teorema não é aplicável, porque nesses pontos

∂F∂z

= 0.

A mesma equação, F(x,y,z) = 0, pode também definir y como função implícita de x e de z, y = g(x,z), ou x como função implícita de y e de z, x = h(y,z). Para

que tal seja verdade, bastará substituir no teorema a condição

∂F∂z

(a,b,c) ≠ 0 por

∂F∂y

(a,b,c) ≠ 0 ou por

∂F∂x

(a,b,c) ≠ 0, respectivamente. É portanto perfeitamente

possível a mesma equação definir implicitamente z = f(x,y) e y = g(x,z) e x = = h(y,z) numa vizinhança do mesmo ponto (a,b,c). Teorema: Se a equação F(x,y,z) = 0 definir z como função implícita de x

e de y numa vizinhança do ponto (a,b,c), essa função é diferenciável em (a,b), sendo as derivadas parciais dadas por:

∂z∂x(a,b) = −

∂F∂x(a,b,c)

∂F∂z(a,b,c)

∂z∂y(a,b) = −

∂F∂y(a,b,c)

∂F∂z(a,b,c)

Na prática, estes resultados podem ser obtidos se derivarmos ambos os membros de F(x,y,z) = 0 em ordem a x e em ordem a y, reparando que a expressão que define F depende de x e de y directamente, mas também por intermédio de z:

Page 53: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.5 FUNÇÕES IMPLÍCITAS E SUA DERIVAÇÃO ________________________________________________________________

51

F(x,y,z) = 0z = f(x,y)

⎫ ⎬ ⎭

⇒ F(x, y, f(x,y)) = 0 ⇒

∂F∂x

+∂F∂z

∂z∂x

= 0

∂F∂y

+∂F∂z

∂z∂y

= 0

⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

∂z∂x

= −

∂F∂x∂F∂z

∂z∂y

= −

∂F∂y∂F∂z

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

.

A este procedimento chama-se derivação implícita da equação F(x,y,z) = 0. Desta forma, conseguimos calcular o valor das derivadas parciais de z = f(x,y), mesmo que seja impossível resolver a equação F(x,y,z) = 0 em ordem a z para saber qual é exactamente a função f(x,y). Se a mesma equação definir y como função implícita de x e de z, y = g(x,z), ou x como função implícita de y e de z, x = h(y,z), não é muito difícil mostrar que:

y = g(x,z):

∂y∂x(a,c) = −

∂F∂x(a,b,c)

∂F∂y(a,b,c)

∂y∂z(a,c) = −

∂F∂z(a,b,c)

∂F∂y(a,b,c)

.

x = h(y,z):

∂x∂y(b,c) = −

∂F∂y(a,b,c)

∂F∂x(a,b,c)

∂x∂z(b,c) = −

∂F∂z(a,b,c)

∂F∂x(a,b,c)

.

Exemplo 10.19 Mostre que a equação x2 – 3yz2 + xyz = 2 define uma

função implícita z = f(x,y) na vizinhança do ponto (2, 2, 1),

e calcule

∂z∂x

(2, 2) e

∂z∂y

(2, 2).

A equação dada define implicitamente z = f(x,y) numa vizinhança de (2, 2, 1):

Page 54: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

52

F(x,y,z) = x2 − 3yz2 + xyz − 2

∂F∂x(x,y,z) = 2x + yz

∂F∂y(x,y,z) = − 3z2 + xz

∂F∂z(x,y,z) = − 6yz + xy

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

são contínuas, ∀(x,y,z) ∈ IR3

F(2, 2, 1) = 4 – 6 + 4 – 2 = 0;

∂F∂z

(2, 2, 1) = – 12 + 4 = – 8 ≠ 0

Para calcularmos

∂z∂x

(2, 2), derivamos os dois membros da equação dada em

ordem a x, sem esquecer que z é função de x e de y:

2x – 6yz

∂z∂x

+ yz + xy

∂z∂x

= 0 ⇒

∂z∂x

= –

2x + yz− 6yz + xy

Substituindo x = 2, y = 2 e z = 1, obtém-se

∂z∂x

(2, 2) =

34

.

Para calcularmos

∂z∂y

(2, 2), derivamos os dois membros da equação dada em

ordem a y, sem esquecer que z é função de x e de y:

0 – 3z2 – 6yz

∂z∂y

+ xz + xy

∂z∂y

= 0 ⇒

∂z∂y

= –

− 3z2 + xz− 6yz + xy

Substituindo x = 2, y = 2 e z = 1, obtém-se

∂z∂y

(2, 2) = –

18

.

Como se pode ver na figura seguinte, a equação dada define implicitamente duas funções diferentes do tipo z = f(x,y) no seu domínio de validade:

Page 55: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.5 FUNÇÕES IMPLÍCITAS E SUA DERIVAÇÃO ________________________________________________________________

53

Se a equação F(x,y,z) = 0 definir implicitamente as funções z = f(x,y), y = g(x,z) e x = h(y,z), existe uma relação entre as derivadas parciais destas funções que é importante em várias aplicações práticas:

∂x∂y

= −

∂F∂y∂F∂x

∂y∂z

= −

∂F∂z∂F∂y

∂z∂x

= −

∂F∂x∂F∂z

∂x∂y

∂y∂z

∂z∂x

= – 1

Cada uma destas derivadas parciais refere-se a uma função implícita diferente. Para salientar este facto, é costume escrever este resultado utilizando a notação atrás introduzida, na qual se indica em índice, para cada derivada parcial, qual é a outra variável independente, que é mantida constante durante essa derivação:

∂x∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ z

∂y∂z

⎛ ⎝

⎞ ⎠ x

∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ y

= – 1

Analogamente se poderia concluir que:

∂x∂z

⎛ ⎝

⎞ ⎠ y

∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ x

∂y∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ z

= – 1.

Page 56: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

54

Exemplo 10.20 Verifique que

∂P∂V

⎛ ⎝

⎞ ⎠ T

∂V∂T

⎛ ⎝

⎞ ⎠ P

∂T∂P

⎛ ⎝

⎞ ⎠ V

= – 1 para a equação

de estado dos gases perfeitos, PV = nRT, em que P é a pressão do gás, V é o volume, T é a temperatura absoluta, e n e R são duas constantes.

Neste caso, é possível verificar a relação dada, já que a equação de estado pode ser facilmente resolvida em ordem a P, ou a V, ou a T, isto é, as três funções que são definidas implicitamente pela equação de estado podem ser explicitadas:

1. P(V,T) =

n R TV

∂P∂V

⎛ ⎝

⎞ ⎠ T

= –

n R T

V2 ;

2. V(T,P) =

n R TP

∂V∂T

⎛ ⎝

⎞ ⎠ P

=

n RP

;

3. T(P,V) =

P Vn R

∂T∂P

⎛ ⎝

⎞ ⎠ V

=

Vn R

.

Multiplicando membro-a-membro estes três resultados, obtém-se:

∂P∂V

⎛ ⎝

⎞ ⎠ T

∂V∂T

⎛ ⎝

⎞ ⎠ P

∂T∂P

⎛ ⎝

⎞ ⎠ V

= –

n R T

V2⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟

n RP

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Vn R

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ = –

n R TP V

= –

n R Tn R T

= – 1.

Problemas propostos / Secção 10.5 1. Em cada um dos casos seguintes, utilize o processo de derivação implícita

para calcular

dydx

, supondo que y é uma função implícita de x:

(a)

x +

y = 1; (b) x2/3 + y2/3 = 1; (c) x2 (x – y) = y2 (x + y); (d) 5y2 + sen y = x2.

Page 57: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.5 FUNÇÕES IMPLÍCITAS E SUA DERIVAÇÃO ________________________________________________________________

55

2. O gráfico da equação x3 + y3 = 3xy chama-se “Folium de Descartes”.

(a) Calcule

dydx

, supondo que y é uma função implícita de x;

(b) Obtenha a equação da tangente a esta curva no ponto (3/2, 3/2); (c) Em que ponto(s) com x > 0 e y > 0 é que a tangente a esta curva é

horizontal (paralela ao eixo Ox)? 3. O gráfico da equação x2 – xy + y2 = 9 é uma elipse centrada na origem.

(a) Obtenha as equações das tangentes a esta curva nos pontos onde ela intersecta o eixo Ox, e mostre que as tangentes são paralelas;

(b) Determine os pontos da elipse onde a tangente é horizontal (paralela ao eixo Ox);

(c) Determine os pontos da elipse onde a tangente é vertical (paralela ao eixo Oy).

4. Em cada um dos casos seguintes, utilize o processo de derivação implícita

para calcular

∂z∂x

e

∂z∂y

, supondo que z é uma função implícita de x e de y:

(a) x2 – 3yz2 + xyz = 2; (b) ln (1 + z) + xy2 + z = 1; (c) y ex = 5 sen 3z + 3z; (d) exy cos (yz) – eyz sen (xz) + 2 = 0.

5. Em cada caso, utilize derivação implícita para obter a equação do plano

tangente à superfície cuja equação é dada, no ponto P indicado: (a) x2 + 4y2 + z2 = 18, P(1, 2, 1); (b) x2y – 4z2 = – 7, P(– 3, 1, – 2); (c) x2 + y2 + 4z2 = 12, P(2, 2, 1); (d) xz – yz3 + yz2 = 2, P(2, – 1, 1).

Page 58: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

56

Soluções dos problemas propostos / Secção 10.5

1. (a)

dydx

= –

y1/2

x1/2 ;

(b)

dydx

= –

y1/3

x1/3 ;

(c)

dydx

=

3x2 − 2xy − y2

x2 + 2xy + 3y2 ;

(d)

dydx

=

2x10y + cos y

.

2. (a)

dydx

=

y − x2

y2 − x ;

(b) y = – x + 3; (c) (21/3, 22/3).

“Folium de Descartes” 3. (a) y = 2x + 6 em (– 3, 0) e y = 2x – 6 em (3, 0);

(b) a tangente é horizontal em (

3 , 2

3) e em (–

3 , – 2

3); (c) a tangente é vertical em (2

3 ,

3) e em (– 2

3 , –

3).

Page 59: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.5 FUNÇÕES IMPLÍCITAS E SUA DERIVAÇÃO ________________________________________________________________

57

4. (a)

∂z∂x

=

2x + yz6yz − xy

,

∂z∂y

=

xz − 3z2

6yz − xy ;

(b)

∂z∂x

= –

y2 (1 + z)2 + z

,

∂z∂y

= –

2xy (1 + z)2 + z

;

(c)

∂z∂x

=

y ex

15 cos 3z + 3 ,

∂z∂y

=

ex

15 cos 3z + 3 ;

(d)

∂z∂x

=

y exy cos (yz) − z eyz cos (xz)

y exy sen (yz) + y eyz sen (xz) + x eyz cos (xz) ,

∂z∂y

=

x exy cos (yz) − z exy sen (yz) − z eyz sen (xz)

y exy sen (yz) + y eyz sen (xz) + x eyz cos (xz) .

5. (a) x + 8y + z = 18;

(b) 6x – 9y – 16z = 5; (c) x + y + 2z = 6; (d) x + 3z = 5.

Page 60: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais
Page 61: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.6 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

59

10.6 Máximos e mínimos de funções de duas ou mais variáveis 10.6.1 Definições Seja f(x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior do domínio Df. Dizemos que f(x,y) tem um máximo relativo (ou máximo local) em (a,b) se:

∃δ > 0 : f(a,b) ≥ f(x,y) , ∀(x,y) ∈ V(δ;(a,b))

em que V(δ;(a,b))

≡def.

{(x,y): 0 < (x – a)2 + (y – b)2 < δ2} representa uma vizinhança de raio δ do ponto (a,b). Analogamente, f(x,y) terá um mínimo relativo (ou mínimo local) em (a,b) se:

∃δ > 0 : f(a,b) ≤ f(x,y) , ∀(x,y) ∈ V(δ;(a,b))

Se (a,b) for um ponto-fronteira de Df, devemos substituir nestas definições V(δ;(a,b)) por V(δ;(a,b)) ∩ Df. Dizemos que f(x,y) tem um máximo absoluto (ou máximo global) em (a,b) se:

f(a,b) ≥ f(x,y) , ∀(x,y) ∈ Df

Analogamente, f(x,y) terá um mínimo absoluto (ou mínimo global) em (a,b) se:

f(a,b) ≤ f(x,y) , ∀(x,y) ∈ Df

Segue-se pois destas definições que o máximo absoluto de f(x,y), caso exista, é o maior de todos os seus máximos relativos, e analogamente o mínimo absoluto de f(x,y), caso exista, é o menor de todos os seus mínimos relativos. Os máximos e/ou mínimos de uma função (relativos ou absolutos) são por vezes designados genericamente por extremos da função (relativos ou absolutos).

Page 62: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

60

Se imaginarmos o eixo Oz na sua posição habitual, a interpretação geométrica dos máximos e mínimos relativos de uma função de duas variáveis é evidente: são respectivamente os pontos mais elevados ou menos elevados da superfície de equação z = f(x,y), se considerarmos apenas uma vizinhança desses pontos. Uma interpretação análoga é válida para os máximos e mínimos absolutos da função, se considerarmos agora todo o domínio da função:

10.6.2 Pontos críticos e extremos relativos de f(x,y) O resultado mais importante que é utilizado na determinação dos extremos relativos de f(x,y) é o seguinte teorema: Teorema: Se (a,b) for um ponto-interior de Df onde f(x,y) tem um extremo

relativo, e se f(x,y) for derivável no ponto (a,b), então:

∂f∂x

(a,b) =

∂f∂y

(a,b) = 0.

Este teorema exprime apenas uma condição necessária, mas não suficiente.

Page 63: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.6 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

61

Isto significa que podem existir pontos interiores de Df onde

∂f∂x

=

∂f∂y

= 0, mas

que não são extremos relativos de f(x,y). Tais pontos são normalmente designados por pontos de sela da função f(x,y) (porque o gráfico de f(x,y), na vizinhança do ponto (a,b), é “parecido com uma sela”). Os pontos de Df onde se anulam simultaneamente as duas derivadas parciais de 1ª ordem de f(x,y) são designados por pontos críticos (ou pontos estacionários):

∂f∂x

= 0

∂f∂y

= 0

⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Como vimos, a equação do plano tangente à superfície de equação z = f(x,y) no

ponto (a,b) é: z = f(a,b) +

∂f∂x

(a,b) (x – a) +

∂f∂y

(a,b) (y – b). Portanto, se o ponto

(a,b) for um ponto crítico de f(x,y), a equação reduz-se a z = f(a,b), ou seja, em termos geométricos, os pontos críticos de f(x,y) são todos os pontos do gráfico de f(x,y) onde o plano tangente à superfície é horizontal (isto é, paralelo a Oxy).

Exemplo 10.21 Calcule as coordenadas de todos os pontos críticos da função

f(x,y) = (1 – x2) (1 – y2).

∂f∂x

= − 2x 1 − y2( ) = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 1 ∨ y = − 1

∂f∂y

= − 2y 1 − x2( ) = 0 ⇒ y = 0 ∨ x = 1 ∨ x = − 1

⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

x = 0 y = 1 y = – 1

y = 0 (0, 0) impossível impossível x = 1 impossível (1, 1) (1, – 1)

x = – 1 impossível (– 1, 1) (– 1, – 1) Conclui-se que f(x,y) tem cinco pontos críticos com as seguintes coordenadas:

Page 64: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

62

(0, 0); (1, 1); (1, – 1); (– 1, 1) e (– 1, – 1)

Pelo que ficou dito atrás, podemos afirmar que os pontos críticos de f(x,y) se dividem em máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela. Para analisarmos a natureza de cada um dos pontos críticos de f(x,y), podemos aplicar directamente as definições de máximo/mínimo relativo, ou então utilizar um teste envolvendo as segundas derivadas parciais de f(x,y). Nesse teste intervém um determinante funcional (isto é, cujos elementos são funções em vez de números) de 2ª ordem chamado Hessiano de f(x,y), que é definido da seguinte forma:

∆(x,y)

≡def.

∂2f

∂x2∂2f∂y∂x

∂2f∂y∂x

∂2f

∂y2

=

∂2f

∂x2

∂2f

∂y2 –

∂2f∂y∂x

⎝ ⎜

⎠ ⎟

2

Para que o Hessiano possa ser calculado, basta que existam as derivadas parciais

∂2f

∂x2 ,

∂2f

∂y2 e

∂2f∂y∂x

no ponto em causa.

Page 65: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.6 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

63

Teorema: Se (a,b) for um ponto crítico de f(x,y), se as derivadas de 2ª ordem de f(x,y) forem contínuas numa vizinhança de (a,b), e se:

i) ∆(a,b) > 0 ∧

∂2f

∂x2(a,b) < 0 ⇒ f(a,b) é um máximo relativo;

ii) ∆(a,b) > 0 ∧

∂2f

∂x2(a,b) > 0 ⇒ f(a,b) é um mínimo relativo;

iii) ∆(a,b) < 0 ⇒ f(x,y) tem um ponto de sela em (a,b). Se ∆(a,b) = 0, o teorema é inconclusivo.

Em (i) e (ii), podemos substituir

∂2f

∂x2(a,b) < 0 (> 0) por

∂2f

∂y2(a,b) < 0 (> 0), já

que as duas derivadas têm o mesmo sinal sempre que ∆(a,b) > 0 (Porquê?).

Exemplo 10.22 Calcule as coordenadas de todos os pontos críticos da função f(x,y) = 4xy – x4 – y4 e analise a sua natureza utilizando o teste do Hessiano.

Começamos por calcular todos os pontos críticos:

∂f∂x

= 4y − 4x3 = 0 ⇒ y = x3

∂f∂y

= 4x − 4y3 = 0 ⇒ x = y3

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

x = 0 ⇒ y = 0x = 1 ⇒ y = 1x = − 1 ⇒ y = − 1

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Os pontos críticos de f(x,y) têm coordenadas (0, 0), (1, 1) e (– 1, – 1). Analisemos agora a natureza destes pontos críticos pelo teste do Hessiano:

∂2f

∂x2 = – 12x2;

∂2f

∂y2 = – 12y2;

∂2f∂y∂x

= 4

Page 66: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

64

(a,b)

∂2f

∂x2(a,b)

∂2f

∂y2(a,b)

∂2f∂y∂x (a,b) ∆(a,b) Natureza do

pto. crítico

(0, 0) 0 0 4 – 16 pto. sela (1, 1) – 12 – 12 4 128 máx. rel.

(– 1, – 1) – 12 – 12 4 128 máx. rel.

Os resultados que acabámos de enunciar podem ser facilmente estendidos a funções de três ou mais variáveis. Assim, diremos que a função de três variáveis f(x,y,z) tem um máximo relativo no ponto (a,b,c) se:

∃δ > 0 : f(a,b,c) ≥ f(x,y,z), ∀(x,y,z) ∈ V(δ;(a,b,c))

e analogamente se define mínimo relativo, máximo absoluto e mínimo absoluto. Os pontos críticos ou estacionários de f(x,y,z) são agora todos os pontos onde se anulam simultaneamente as três derivadas de 1ª ordem da função:

Page 67: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.6 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

65

∂f∂x

= 0

∂f∂y

= 0

∂f∂z

= 0

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

O Hessiano de f(x,y,z) será agora um determinante de 3ª ordem envolvendo as derivadas de 2ª ordem de f(x,y,z), pelo que a análise da natureza dos pontos críticos por este processo se torna muito complicada, e não será aqui estudada. 10.6.3 Extremos absolutos de f(x,y) De acordo com um teorema enunciado atrás, se f(x,y) for uma função contínua num domínio compacto (isto é, fechado e limitado) Df, então f(x,y) tem um máximo absoluto e um mínimo absoluto em Df. Para localizarmos os dois extremos absolutos de f(x,y) em Df, temos de localizar em primeiro lugar todos os extremos relativos de f(x,y) em Df, os quais terão obrigatoriamente de pertencer a uma das três categorias seguintes:

• Pontos críticos de f(x,y) no interior de Df;

• Pontos do interior de Df onde

∂f∂x

e/ou

∂f∂y

não existem;

• Pontos da fronteira de Df. Resta calcular o valor da função em cada um destes pontos: o maior valor corresponde ao máximo absoluto de f(x,y) em Df, e o menor valor corresponde ao mínimo absoluto de f(x,y) em Df.

Page 68: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

66

Exemplo 10.23 Calcule o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função

f(x,y) = 3xy – 6x – 3y + 7 na região triangular de vértices (0, 0), (3, 0) e (0, 5).

∂f∂x

= 3y − 6 = 0 ⇒ y = 2

∂f∂y

= 3x − 3 = 0 ⇒ x = 1

⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⇒ ponto crítico em (1, 2)

Não há pontos do interior de Df onde

∂f∂x

e/ou

∂f∂y

não existam.

As três rectas que constituem a fronteira do domínio triangular têm equações y = 0 (0 ≤ x ≤ 3), x = 0 (0 ≤ y ≤ 5) e y = – 5/3 x + 5 (0 ≤ x ≤ 3):

y = 0 ⇒ f(x, 0) = – 6x + 7, com 0 ≤ x ≤ 3 ⇒ extremos em (0, 0) e (3, 0)

x = 0 ⇒ f(0, y) = – 3y + 7, com 0 ≤ y ≤ 5 ⇒ extremos em (0, 0) e (0, 5)

Page 69: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.6 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ________________________________________________________________

67

y = – 5/3 x + 5 ⇒ f(x, – 5/3 x + 5) = – 5x2 + 14x – 8, com 0 ≤ x ≤ 3 ⇒

⇒ extremos em (3, 0), (0, 5) e (7/5, 8/3)

(a,b) (0, 0) (3, 0) (0, 5) (7/5, 8/3) (1, 2) f(a,b) 7(máx.) – 11(mín.) – 8 9/5 1

Concluímos que o máximo absoluto da função é igual a 7 e ocorre no ponto (0, 0), e que o mínimo absoluto da função é igual a – 11 e ocorre no ponto (3, 0).

Se a função não for contínua, ou se o domínio Df não for fechado e limitado, não há qualquer garantia de que a função apresente um máximo absoluto ou um mínimo absoluto. Contudo, a determinação dos pontos críticos e a análise da sua natureza permite, em geral, obter os extremos absolutos da função, se existirem.

Problemas propostos / Secção 10.6 1. Para cada uma das funções dadas, obtenha as coordenadas de todos os

pontos críticos, e averigúe qual a natureza de cada um desses pontos:

(a) f(x,y) = (x2 + 2y2) e1 – x2 – y2;

(b) f(x,y) = x4 + y4;

(c) f(x,y) = xy e1/8 (x2 + 4y2); (d) f(x,y) = x3 – 3xy2; (e) f(x,y) = 4xy (x2 – y2); (f) f(x,y) = 4x2ey – 2x4 – e4y.

2. Em cada caso, determine os extremos absolutos da função f(x,y) na

região R indicada: (a) f(x,y) = x2 – 3y2 – 2x + 6y, sendo R a região quadrada com

vértices em (0, 0), (0, 2), (2, 0) e (2, 2); (b) f(x,y) = x2 + 2y2 – x, sendo R a região circular definida pela

condição {(x,y): x2 + y2 ≤ 4}.

Page 70: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

68

Soluções dos problemas propostos / Secção 10.6 1. (a) Mínimo relativo em (0, 0), máximos relativos em (0, 1) e (0, – 1),

pontos de sela em (1, 0) e (– 1, 0); (b) Mínimo relativo e absoluto em (0, 0); (c) Ponto de sela em (0, 0); (d) Ponto de sela em (0, 0); (e) Ponto de sela em (0, 0); (f) Máximos relativos em (1, 0) e (– 1, 0).

2. (a) O máximo absoluto é 3 e ocorre em (0, 1) e em (2, 1);

o mínimo absoluto é – 1 e ocorre em (1, 0) e em (1, 2);

(b) O máximo absoluto é

334

e ocorre em

−12,152

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ e em

−12, −

152

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ; o mínimo absoluto é –

14

e ocorre em

12, 0⎛

⎝ ⎞ ⎠ .

Page 71: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.7 DERIVADA DIRECCIONAL E GRADIENTE ________________________________________________________________

69

10.7 Derivada direccional e gradiente 10.7.1 Definição de derivada direccional de f(x,y)

Como é sabido, as derivadas parciais

∂f∂x

e

∂f∂y

representam a taxa de variação

da função f(x,y) na direcção positiva do eixo Ox e do eixo Oy, respectivamente. Se quisermos saber a taxa de variação de f(x,y) noutra direcção qualquer do plano Oxy, temos de recorrer ao conceito mais geral de derivada direccional de uma função real (ou escalar), que é definida da seguinte forma:

D u f(x,y) [ou

dfds

(P)]

≡def.

limΔs→0

f(Q) − f(P)Δs

em que f(Q) e f(P) são os valores que a função f(x,y) assume nos pontos Q e P, situados sobre uma semi-recta com origem em P e dirigida segundo o vector

unitário

u =

u1, u 2 , sendo ∆s =

→PQ a distância entre esses dois pontos:

Page 72: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

70

10.7.2 Definição de gradiente de f(x,y) Se f(x,y) for uma função real (ou “escalar”) derivável, e se {

i ,

j } for um

referencial ortonormal, define-se o gradiente desta função, representado por grad f, como sendo o seguinte vector:

grad f

≡def.

∂f∂x

i +

∂f∂y

j =

∂f∂x, ∂f∂y

O vector grad f pode ser calculado ∀(x,y) ∈ Df

, e é um vector que tem a sua

origem no próprio ponto (x,y), ao contrário do vector de posição

r , cuja extremidade é o ponto (x,y):

Repare-se que os pontos onde grad f =

0 são os pontos onde

∂f∂x

=

∂f∂y

= 0, isto

é, são os pontos críticos de f(x,y).

Page 73: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.7 DERIVADA DIRECCIONAL E GRADIENTE ________________________________________________________________

71

A linearidade do gradiente de f(x,y) é uma consequência da linearidade da operação de derivação parcial. Se a e b forem duas constantes quaisquer, e se f e g forem duas funções diferenciáveis de duas variáveis, vem:

grad (a f + b g) ≡ a grad f + b grad g A regra de derivação do produto tem a seguinte consequência em termos do gradiente, em que f e g são duas funções diferenciáveis de duas variáveis:

grad (f g) ≡ f grad g + g grad f O grad f é invariante com respeito a mudanças de referencial, ou seja, o vector que se obtém em qualquer ponto do plano é independente do sistema de coordenadas escolhido. Existe uma notação alternativa para representar o gradiente de f(x,y), a qual utiliza um operador vectorial diferencial chamado operador del (ou operador nabla), representado pelo símbolo ∇ (um delta maiúsculo “invertido”):

≡def.

∂∂x, ∂∂y

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Se “aplicarmos” o operador ∇ à função f(x,y), obtemos precisamente o vector grad f acima definido:

∇f =

∂∂x, ∂∂y

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

(f) =

∂f∂x, ∂f∂y

= grad f

Exemplo 10.24 Represente graficamente o gradiente de f(x,y) = x2 – y2. O gradiente da função f(x,y) = x2 – y2 é o seguinte vector:

grad f (ou ∇f) =

∂f∂x, ∂f∂y

=

2x, − 2y

Page 74: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

72

Para melhor clareza, a grandeza do vector grad f(x,y) foi dividida por um factor constante no gráfico a seguir representado:

10.7.3 Relação entre derivadas direccionais e gradiente O gradiente de f(x,y) tem um papel fulcral no cálculo de derivadas direccionais. De facto, se a função f(x,y) for diferenciável e se P(x,y) e Q(x+∆x,y+∆y) forem dois pontos do domínio de f(x,y) tais que ∆x ≈ 0 e ∆y ≈ 0, a aproximação linear que estudámos atrás permite-nos escrever que:

∆f = f(Q) – f(P) ≈

∂f∂x

(P) ∆x +

∂f∂y

(P) ∆y

Page 75: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.7 DERIVADA DIRECCIONAL E GRADIENTE ________________________________________________________________

73

Atendendo agora a que grad f

≡def.

∂f∂x, ∂f∂y

e

→PQ =

→Q − P =

Δx, Δy , esta

aproximação pode ser reescrita como um produto escalar de dois vectores:

∆f = f(Q) – f(P) ≈ grad f .

→PQ

Dividindo ambos os membros por ∆s =

Δx2 + Δy2 =

→PQ , obtém-se:

ΔfΔs

=

f(Q) − f(P)Δs

grad f ⋅→PQ

→PQ

= grad f .

→PQ→PQ

= grad f .

u

em que

u =

u1, u 2 é um vector unitário com a direcção de

→PQ. No limite,

quando ∆x→0 e ∆y→0, e portanto ∆s→0, obtém-se o seguinte resultado exacto:

D u f(x,y) = grad f .

u =

∂f∂x

u1 +

∂f∂y

u2

Ou seja, o valor numérico da derivada direccional de f(x,y) em cada ponto do seu domínio é igual ao produto escalar do gradiente de f(x,y) nesse ponto pelo vector unitário

u que define a direcção em que se pretende calcular a derivada. A função f(x,y) tem pois infinitas derivadas direccionais em cada ponto do seu domínio, uma para cada escolha do vector

u . Se

u =

i =

1, 0 recuperamos a

derivada parcial

∂f∂x

, e se

u =

j =

0, 1 recuperamos a derivada parcial

∂f∂y

.

10.7.4 Duas propriedades importantes do gradiente Se grad f ≠

0 , e se θ representar o ângulo entre o vector grad f e um vector

unitário arbitrário

u , então, como é sabido, da definição de produto escalar:

Page 76: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

74

D u f(x,y) =

grad f

u cos θ =

grad f cos θ (já que

u = 1) ⇒

⇒ –

grad f ≤

D u f(x,y) ≤

grad f (porque – 1 ≤ cos θ ≤ 1). Daqui podemos extrair a seguinte conclusão: Teorema: O valor máximo da derivada direccional

D u f(x,y), em cada ponto onde f(x,y) for diferenciável, ocorre quando os vectores

u e grad f tiverem a mesma direcção (θ = 0); esse valor máximo de

D u f(x,y) é igual a

grad f , isto é, à norma (ou grandeza) do vector gradiente nesse ponto.

O valor mínimo de

D u f(x,y) ocorrerá obviamente quando

u e grad f tiverem direcções opostas, isto é, quando θ = π, e é igual a –

grad f . Portanto, em cada ponto, o vector grad f (se for ≠

0 ) aponta sempre na direcção

em que f(x,y) aumenta mais rapidamente. Esta direcção é normal às curvas de nível de f(x,y), como se refere no teorema seguinte:

Teorema: Em cada ponto onde f(x,y) for diferenciável, o vector grad f é normal à curva de nível da função f(x,y) que passa por esse ponto.

De facto, ao longo de uma curva de nível, como sabemos, f(x,y) = k. Então, se (xo, yo) for um ponto qualquer situado sobre essa curva de nível, e se

u for um dos dois vectores unitários tangentes à curva de nível em (xo, yo), a derivada de f(x,y) nesse ponto e nessa direcção será igual a zero: [

D u f] (xo, yo) = 0.

Page 77: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.7 DERIVADA DIRECCIONAL E GRADIENTE ________________________________________________________________

75

Atendendo a que

D u f = grad f .

u , concluímos que no ponto (xo, yo) se tem

grad f .

u = 0, ou seja, o vector grad f no ponto (xo, yo) é normal ao vector

u , e portanto é normal à curva de nível que passa por esse ponto.

Exemplo 10.25 Se f(x,y) = 10 + 0.003 x2 – 0.004 y2, qual o vector unitário

que define a direcção segundo a qual f(x,y) aumenta mais rapidamente no ponto (40, 30)? Qual é o valor da derivada de f(x,y) nesse ponto e nessa direcção?

grad f =

∂f∂x, ∂f∂y

=

0.006 x, − 0.008 y

[grad f] (40, 30) =

0.24, − 0.24 ⇒

grad f[ ] (40,30) = 0.24

2 O vector unitário com a direcção do vector [grad f] (40, 30) será então:

u =

grad f[ ] (40,30)grad f[ ] (40,30) =

12, − 1

2

No ponto (40, 30), f(x,y) aumenta mais rapidamente na direcção do vector

unitário

12, − 1

2, sendo o valor da derivada nesse ponto e nessa direcção

dado por:

[

D u f] (40, 30) =

grad f[ ] (40,30) = 0.24

2 .

10.7.5 Derivadas direccionais e gradiente:

extensão a funções de três variáveis As definições e os resultados acima obtidos para funções de duas variáveis podem agora ser facilmente aplicados a funções de três variáveis.

Page 78: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

76

Assim, a derivada direccional de uma função real (ou escalar) de três variáveis é definida da seguinte forma:

D u f(x,y,z) [ou

dfds

(P)]

≡def.

limΔs→0

f(Q) − f(P)Δs

em que f(Q) e f(P) são os valores que a função f(x,y,z) assume nos pontos Q e P, situados sobre uma semi-recta com origem em P e dirigida segundo o vector

unitário

u =

u1, u 2 , u 3 ; ∆s =

→PQ é a distância entre esses dois pontos.

Se {

i ,

j ,

k } for um referencial ortonormal no espaço tridimensional, define-se

o gradiente da mesma função, representado por grad f, como sendo o seguinte vector:

grad f

≡def.

∂f∂x

i +

∂f∂y

j +

∂f∂z

k =

∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z

O operador del (ou nabla) em três dimensões é definido da seguinte forma:

≡def.

∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Utilizando este operador diferencial, podemos representar o vector grad f(x,y,z) numa notação alternativa:

grad f =

∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

(f) = ∇f

Continuam a ser válidas em três dimensões as duas propriedades do gradiente que foram referidas atrás para o caso de funções de duas variáveis, ou seja:

grad (a f + b g) ≡ a grad f + b grad g

grad (f g) ≡ f grad g + g grad f

Page 79: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.7 DERIVADA DIRECCIONAL E GRADIENTE ________________________________________________________________

77

Se f(x,y,z) for uma função diferenciável, e se

u =

u1, u 2 , u 3 for um vector unitário qualquer no espaço a três dimensões, pode mostrar-se que a derivada direccional de f(x,y,z) na direcção definida pelo vector

u é dada por:

D u f(x,y,z) = grad f .

u =

∂f∂x

u1 +

∂f∂y

u2 +

∂f∂z

u3

Daqui podem ser tiradas duas conclusões, válidas se grad f ≠

0 :

Teorema: Em cada ponto onde f(x,y,z) for diferenciável, o valor máximo

da derivada direccional

D u f(x,y,z), ocorre na direcção do vector grad f, e é igual a

grad f , isto é, à norma do vector gradiente nesse ponto.

Teorema: Em cada ponto onde f(x,y,z) for diferenciável, o vector grad f

é normal à superfície de nível da função f(x,y,z) que passa por esse ponto.

Exemplo 10.26 Se f(x,y,z) = 10 + xy + xz + yz, calcule grad f e, em seguida,

a derivada de f no ponto (1, 2, 3) na direcção definida pelo vector

v =

1, 2, − 2 .

grad f =

∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z

=

y + z, x + z, x + y

[grad f] (1, 2, 3) =

5, 4, 3

v =

9 = 3 ⇒

u =

v v

=

1/3, 2 /3, − 2/3

[

D u f] (1, 2, 3) = [grad f] (1, 2, 3) .

u =

5, 4, 3 .

1/3, 2 /3, − 2/3 =

= 5/3 + 8/3 – 6/3 = 7/3

Page 80: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

78

Problemas propostos / Secção 10.7 1. Calcule grad f no ponto P para cada uma das funções seguintes:

(a) f(x,y) = exp (– x2 – y2), P(0, 0);

(b) f(x,y) = (x2 + xy)3, P(– 1, – 1);

(c) f(x,y) = (x2 + y2)– 1/2, P(3, 4); (d) f(x,y,z) = y2 – z2, P(17, 3, 2); (e) f(x,y,z) = ex sen y + ey sen z + ez sen x, P(0, 0, 0); (f) f(x,y,z) = 2

x y z , P(3, – 4, – 3). 2. Calcule a derivada direccional da função f no ponto P na direcção do

vector

v : (a) f(x,y) = x2 + 2xy + 3y2, P(2, 1),

v =

1, 1 ; (b) f(x,y) = (sen x) (cos y), P(π/3, – 2π/3),

v =

4, − 3 ; (c) f(x,y,z) = ln (1 + x2 + y2 – z2), P(1, – 1, 1),

v =

1, 2, − 2 ;

(d) f(x,y,z) =

10 − x2 − y2 − z2 , P(1, 1, – 2),

v =

3, 4, − 12 . 3. Determine o valor máximo da derivada direccional da função f no ponto

P, e a direcção para a qual esse valor ocorre:

(a) f(x,y) = arctg

xy

, P(1, – 2);

(b) f(x,y) =

xx + y

, P(0, 2);

(c) f(x,y,z) = exp (x – y – z), P(5, 2, 3);

(d) f(x,y,z) =

x y2 z3 , P(2, 2, 2). 4. Se a temperatura T (em ºC) num ponto de coordenadas (x,y,z) de um

sólido metálico for dada por T(x,y,z) =

xyz

1 + x2 + y2 + z2 , calcule:

(a) A taxa de variação da temperatura com a distância na direcção da origem no ponto (1, 1, 1);

(b) O valor máximo da taxa de variação da temperatura com a distância no ponto (1, 1, 1), e a direcção para a qual esse valor ocorre.

Page 81: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.7 DERIVADA DIRECCIONAL E GRADIENTE ________________________________________________________________

79

Soluções dos problemas propostos / Secção 10.7 1. (a)

0, 0 ; (b)

− 36, − 12 ;

(c)

−3125

, − 4125

;

(d)

0, 6, − 4 ; (e)

1, 1, 1 ;

(f)

2, − 32, − 2 .

2. (a) 8

2 ;

(b) –

1320

;

(c)

13

;

(d) –

3126

.

3. (a)

15

, na direcção de

u =

−25, − 1

5;

(b)

12

, na direcção de

u =

1, 0 ;

(c)

3 , na direcção de

u =

13, − 1

3, − 1

3;

(d) 2

14 , na direcção de

u =

114, 214, 314

.

4. (a) –

38

;

(b)

38

, na direcção de

u =

13, 1

3, 1

3.

Page 82: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais
Page 83: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

81

10.8 Máximos e/ou mínimos com restrições: método dos multiplicadores de Lagrange

Muitos dos problemas mais importantes de maximização e/ou minimização de funções que nos aparecem na prática são problemas em que são impostas uma ou mais restrições às variáveis independentes da função, pelo que elas deixam efectivamente de ser independentes. Este tipo de problemas pode em geral resolver-se utilizando uma técnica devida a Lagrange, conhecida pelo nome de método dos multiplicadores (de Lagrange). 10.8.1. Máximos e/ou mínimos de f(x,y), sujeita à restrição g(x,y) = 0 Supondo que o eixo Oz está situado na sua posição habitual, o problema acima enunciado corresponde geometricamente à determinação dos pontos mais elevados e dos pontos menos elevados da curva de intersecção da superfície de equação z = f(x,y) com a superfície cilíndrica de equação g(x,y) = 0:

Page 84: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

82

Este tipo de problemas pode, por vezes, ser resolvido substituindo a restrição g(x,y) = 0 na expressão que define a função z = f(x,y), eliminando uma das variáveis (x ou y), e calculando em seguida os máximos e/ou mínimos da função de uma variável (y ou x) assim obtida. Contudo, este método de substituição/eliminação nem sempre pode ser aplicado, pois pode ser difícil, ou mesmo impossível, resolver a equação g(x,y) = 0 em ordem a uma das variáveis. Por outro lado, mesmo que isso seja possível, este método origina por vezes soluções espúrias (falsas) do problema. Por estas razões, é geralmente preferível utilizar uma técnica alternativa, denominada método dos multiplicadores de Lagrange, e que é baseada no seguinte resultado: Teorema: Se f(x,y) e g(x,y) tiverem primeiras derivadas parciais contínuas,

e se

∂g∂x

e

∂g∂y

não forem simultaneamente nulas, então os

máximos e/ou mínimos relativos de f(x,y), sujeita à restrição g(x,y) = 0 são pontos situados sobre esta curva, para os quais se tem:

grad f = λ grad g (ou ∇f = λ ∇g) ⇔

∂f∂x

= λ∂g∂x

∂f∂y

= λ∂g∂y

⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

A constante de proporcionalidade λ é normalmente chamada multiplicador de Lagrange. Portanto, se as condições do teorema forem satisfeitas, os máximos e/ou mínimos relativos de f(x,y), sujeita à restrição g(x,y) = 0, poderão ser obtidos resolvendo o seguinte sistema de três equações simultâneas em x, y e λ:

∂f∂x

= λ∂g∂x

∂f∂y

= λ∂g∂y

g(x,y) = 0

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

Page 85: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

83

Uma vez resolvido o sistema, porém, o valor de λ poderá ser desprezado, pois apenas nos interessam as coordenadas dos máximos e/ou mínimos relativos de f(x,y), sujeita à restrição g(x,y) = 0. Se o sistema tiver várias soluções diferentes, aquela para a qual f(x,y) for maior/menor será, respectivamente, o máximo/mínimo absoluto procurado, podendo contudo haver mais do que um ponto nestas condições. Se, porém, o sistema tiver só uma solução, ou se tiver várias soluções às quais corresponde o mesmo valor da função, há que utilizar outros processos para decidir se a solução encontrada corresponde a um máximo absoluto ou a um mínimo absoluto. Frequentemente, esta decisão pode ser tomada apenas com base na interpretação geométrica do problema.

Exemplo 10.27 Obtenha as coordenadas do(s) máximo(s) e/ou mínimo(s) da

função f(x,y) = x2 + y2, quando sujeita à restrição x + y = 2, utilizando primeiro o método de substituição/eliminação, e depois o método dos multiplicadores de Lagrange.

• Método de substituição / eliminação:

x + y – 2 = 0 ⇒ y = 2 – x ⇒ f(x, 2 – x) = x2 + (2 – x)2 = 2x2 – 4x + 4

(2x2 – 4x + 4)´ = 4x – 4 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = 1

• Método (dos multiplicadores) de Lagrange:

∂f∂x

= 2x ;

∂f∂y

= 2y ;

∂g∂x

= 1 ;

∂g∂y

= 1

2x = λ2y = λx + y − 2 = 0

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ⇒

x = 1y = 1λ = 2( ) ← sem interesse

⎨ ⎪

⎩ ⎪

Quer por um método quer pelo outro, obtivemos uma única solução, que é o ponto de coordenadas (1, 1), onde a função assume o valor f(1, 1) = 2.

Page 86: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

84

Para decidirmos se se trata de um máximo ou de um mínimo, basta neste caso recorrer à interpretação geométrica do problema proposto. O plano vertical de equação x + y = 2 intersecta o parabolóide circular de equação z = x2 + y2 segundo uma parábola, cujo vértice, localizado em (1, 1, 2), é o ponto da curva mais próximo de Oxy, isto é, com o valor mínimo da coordenada z. Podemos então concluir que f(1, 1) = 2 é o valor mínimo de f(x,y) = x2 + y2, quando esta função está sujeita à restrição x + y = 2:

O problema que temos vindo a tratar é passível duma interpretação geométrica alternativa em duas dimensões, equivalente à que foi dada em cima. De facto, como os vectores grad f e grad g são normais às curvas de nível das funções f(x,y) e g(x,y), respectivamente, segue-se que as curvas f(x,y) = k e g(x,y) = 0 terão de ser tangentes em cada ponto onde os vectores grad f e grad g forem colineares (grad f = λ grad g), ou seja, em cada ponto onde a função f(x,y), sujeita à restrição g(x,y) = 0, tiver um valor máximo ou mínimo igual a k. Esta interpretação geométrica, contudo, não é aplicável aos pontos que sejam máximos e/ou mínimos relativos de f(x,y), independentemente da restrição

g(x,y) = 0 (onde grad f =

0 ), nem aos pontos onde

∂g∂x

e

∂g∂y

= 0 ⇔ grad g =

0 :

Page 87: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

85

Exemplo 10.28 Utilize o método das curvas de nível para decidir se a solução obtida no exemplo anterior corresponde a um máximo ou a um mínimo da função f(x,y) = x2 + y2, quando sujeita à restrição x + y = 2.

No plano Oxy, as curvas de nível da função f(x,y) = x2 + y2 são uma família de circunferências centradas na origem, de equação x2 + y2 = k (k > 0), e a própria origem (k = 0); a restrição é representada pela recta de equação x + y = 2. Como se pode verificar da figura seguinte, esta recta é tangente à curva de nível de equação x2 + y2 = 2 (k = 2), e o ponto de tangência tem coordenadas (1, 1). Como a curva de nível correspondente a k = 2 é, de todas as curvas de nível que intersectam a recta x + y = 2, aquela a que corresponde o menor valor de k, podemos concluir que o ponto (1, 1) tem de ser um mínimo de f(x,y) = x2 + y2, quando sujeita à restrição x + y = 2:

Page 88: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

86

Note-se que o problema aqui resolvido é equivalente a procurar o ponto do plano Oxy situado sobre a recta de equação x + y = 2 cuja distância à origem

das coordenadas é mínima, já que essa distância é dada por d =

x2 + y2 , e portanto f(x,y) = d2; ou seja, no ponto onde f(x,y) tiver o seu valor mínimo, também a distância d será mínima. Frequentemente, problemas deste tipo poderão aparecer com este “enunciado geométrico” equivalente.

Page 89: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

87

10.8.2. Máximos e/ou mínimos de f(x,y,z), sujeita à restrição g(x,y,z) = 0 A restrição que é imposta à função f(x,y,z) significa, em termos geométricos, que apenas estamos interessados em encontrar os pontos situados sobre a superfície de equação g(x,y,z) = 0 onde f(x,y,z) tem o seu máximo e/ou mínimo. Como no caso anterior, é possível nalguns casos utilizar o método de substituição e eliminar uma das três variáveis, ficando pois o problema reduzido a um problema de máximos e mínimos de uma função de duas variáveis. Em geral, contudo, e pelas mesmas razões apontadas atrás, para obtermos os extremos relativos de f(x,y,z), sujeita à restrição g(x,y,z) = 0, é preferível aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange, que neste caso envolve a resolução do seguinte sistema de quatro equações simultâneas em x, y, z e λ:

∇f = λ ∇gg(x,y,z) = 0⎧ ⎨ ⎩

∂f∂x

= λ∂g∂x

∂f∂y

= λ∂g∂y

∂f∂z

= λ∂g∂z

g(x,y,z) = 0

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Uma vez resolvido o sistema, porém, o valor de λ poderá ser desprezado, pois apenas nos interessam as coordenadas (x,y,z) dos extremos relativos de f(x,y,z), sujeita à restrição g(x,y,z) = 0. Se o sistema tiver várias soluções diferentes, aquela para a qual f(x,y,z) for maior/menor será, respectivamente, o máximo/mínimo absoluto procurado, podendo contudo haver mais do que um ponto nestas condições. Se, porém, o sistema tiver só uma solução, ou se tiver várias soluções às quais corresponde o mesmo valor da função, há que utilizar outros processos (por exemplo, com base na interpretação geométrica do problema) para decidir se a solução obtida corresponde a um máximo absoluto ou a um mínimo absoluto.

Page 90: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

88

Exemplo 10.29 Calcule os máximos e/ou mínimos de f(x,y,z) = x2 + y2 + z2

sujeita à restrição x2 – z2 – 1 = 0.

• Método de substituição / eliminação: Tentemos em 1º lugar eliminar a variável z da função f(x,y,z):

z2 = x2 – 1 ⇒ f(x, y, ±

x2 − 1) = x2 + y2 + (x2 – 1) = 2x2 + y2 – 1 = h(x,y) Calculemos agora os pontos críticos desta função:

∂h∂x

= 4x = 0∂h∂y

= 2y = 0

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇒ x = 0 ∧ y = 0.

Esta é, porém, uma solução falsa ou espúria, porque não existe nenhum ponto com a coordenada x = 0 sobre a superfície de equação x2 – z2 – 1 = 0. Tentemos agora eliminar a variável x da função f(x,y,z):

x2 = z2 + 1 ⇒ f(±

z2 + 1, y, z) = (z2 + 1) + y2 + z2 = y2 + 2z2 + 1 = k(y,z) Calculemos agora os pontos críticos desta função:

∂k∂y

= 2y = 0

∂k∂z

= 4z = 0

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇒ y = 0 ∧ z = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1.

Esta é a solução do nosso problema. Nos pontos (1, 0, 0) e (– 1, 0, 0) a função f(x,y,z), quando sujeita à restrição x2 – z2 – 1 = 0, apresenta um extremo cujo valor é: f(1, 0, 0) = f(– 1, 0, 0) = 1.

Page 91: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

89

• Método (dos multiplicadores) de Lagrange:

∂f∂x

= 2x ;

∂f∂y

= 2y ;

∂f∂z

= 2z

∂g∂x

= 2x ;

∂g∂y

= 0 ;

∂g∂z

= – 2z

(Para calcular as derivadas parciais da função g(x,y,z), que aparece na equação de restrição g(x,y,z) = 0, é essencial colocar todas as variáveis do mesmo lado da referida equação)

2x = λ 2x2y = 02z = λ (−2z)x2 − z2 − 1 = 0

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Da 2ª equação, obtemos y = 0. Da 1ª equação, obtemos x = 0 (impossível, pois implica que z2 = – 1) ou λ = 1. Substituindo λ = 1 na 3ª equação, obtém-se 2z = – 2z ⇒ z = 0. Substituindo z = 0 na 4ª equação, obtém-se x2 = 1 ⇒ x = ± 1. Portanto, obtivemos novamente as duas soluções já encontradas acima pelo método de substituição, ou seja, os pontos (1, 0, 0) e (– 1, 0, 0), onde a função f(x,y,z), quando sujeita à restrição x2 – z2 = 1, tem um extremo cujo valor é 1. Para decidirmos se este extremo corresponde a um máximo ou a um mínimo absoluto, vamos recorrer à interpretação geométrica do problema proposto. Notemos então que este problema é equivalente a procurar os pontos do espaço Oxyz situados sobre o cilindro hiperbólico de equação x2 – z2 = 1 cuja distância à origem das coordenadas é mínima ou máxima, já que essa distância é dada por

d =

x2 + y2 + z2 , e portanto f(x,y,z) = d2:

Page 92: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

90

Ora, como se pode verificar na figura anterior, não há nenhum ponto situado sobre o referido cilindro hiperbólico que se encontre a uma distância máxima da origem, mas há de facto dois pontos que se encontram a uma distância mínima da origem, os quais correspondem às duas soluções que foram obtidas acima. Concluímos assim que o extremo acima obtido corresponde ao valor mínimo da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 , quando sujeita à restrição x2 – z2 = 1.

10.8.3. Máximos e/ou mínimos de f(x,y,z), com as restrições

g(x,y,z) = 0h(x,y,z) = 0⎧ ⎨ ⎩

As duas restrições que são impostas à função f(x,y,z) significam neste caso que o ponto (x,y,z) deverá estar situado sobre a curva de intersecção das superfícies g(x,y,z) = 0 e h(x,y,z) = 0, e é apenas sobre essa curva que deveremos procurar os máximos e/ou mínimos da função f(x,y,z).

Page 93: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

91

Como nos casos anteriores, podemos tentar aplicar o método de substituição se,

partindo das equações simultâneas

g(x,y,z) = 0h(x,y,z) = 0⎧ ⎨ ⎩

, conseguirmos exprimir duas

das variáveis em função da terceira, reduzindo assim este caso a um problema de máximos e mínimos de uma função de uma variável. Contudo, pelas mesmas razões que foram apontadas nos casos anteriores, para

obtermos os extremos relativos de f(x,y,z), com as restrições

g(x,y,z) = 0h(x,y,z) = 0⎧ ⎨ ⎩

, é

normalmente preferível utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange, que neste caso envolve a resolução de um sistema de cinco equações simultâneas em x, y, z e dois multiplicadores de Lagrange, λ1 e λ2 (notar que o número de multiplicadores de Lagrange é igual ao número de restrições que são impostas):

∇f = λ1 ∇g + λ 2 ∇hg(x,y,z) = 0h(x,y,z) = 0

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ⇔

∂f∂x

= λ1∂g∂x

+ λ 2∂h∂x

∂f∂y

= λ1∂g∂y

+ λ 2∂h∂y

∂f∂z

= λ1∂g∂z

+ λ 2∂h∂z

g(x,y,z) = 0

h(x,y,z) = 0

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Como sempre, depois de resolvido o sistema, há que decidir se as soluções obtidas correspondem a máximos ou a mínimos absolutos da função f(x,y,z),

quando sujeita às restrições

g(x,y,z) = 0h(x,y,z) = 0⎧ ⎨ ⎩

.

Se o sistema acima escrito tiver várias soluções, é em geral suficiente avaliar f(x,y,z) para cada uma delas: o valor maior corresponderá ao máximo absoluto e o valor menor ao mínimo absoluto. Porém, se o sistema tiver uma única solução, ou se tiver várias soluções às quais corresponde o mesmo valor da função, teremos de utilizar outros processos (por exemplo, considerações geométricas) para decidir se a solução encontrada corresponde a um máximo absoluto ou a um mínimo absoluto.

Page 94: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

92

Exemplo 10.30 Calcule os máximos e/ou mínimos de f(x,y,z) = x2 + y2 + z2

com as restrições

y = x + 3z = y − 2

⎧ ⎨ ⎩

.

• Método de substituição / eliminação: Tentemos eliminar as variáveis y e z da função f(x,y,z):

y = x + 3 ⇒ z = y – 2 = (x + 3) – 2 = x + 1 ⇒

⇒ f(x, x + 3, x + 1) = x2 + (x + 3)2 + (x + 1)2 = 3x2 + 8x + 10 = k(x) Calculemos agora os pontos críticos desta função:

dkdx

= 6x + 8 = 0 ⇒ x = – 4/3 ⇒ y = 5/3 ⇒ z = – 1/3.

Esta é a solução do nosso problema: a função f(x,y,z), quando sujeita às

restrições

y = x + 3z = y − 2

⎧ ⎨ ⎩

, apresenta um extremo no ponto (– 4/3, 5/3, – 1/3), que

tem o valor f(– 4/3, 5/3, – 1/3) = 14/3.

• Método (dos multiplicadores) de Lagrange:

∂f∂x

= 2x ;

∂f∂y

= 2y ;

∂f∂z

= 2z

∂g∂x

= – 1 ;

∂g∂y

= 1 ;

∂g∂z

= 0

∂h∂x

= 0 ;

∂h∂y

= – 1 ;

∂h∂z

= 1

Page 95: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

93

2x = λ1 (− 1) + λ 2 (0) = − λ12y = λ1 (1) + λ 2 (− 1) = λ1 − λ 22z = λ1 (0) + λ 2 (1) = λ 2y = x + 3z = y − 2 = x + 1

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

Somando membro-a-membro as três primeiras equações, obtém-se:

2x + 2y + 2z = 0 ⇒ x + y + z = 0 Substituindo agora nesta equação y (da 4ª eq.) e z (da 5ª eq.), vem:

x + (x + 3) + (x + 1) = 0 ⇒ x = – 4/3 ⇒ y = 5/3 ⇒ z = – 1/3 que é a mesma solução obtida acima pelo método de substituição / eliminação. Para decidirmos se este extremo corresponde a um máximo ou a um mínimo, vamos mais uma vez recorrer à interpretação geométrica do problema proposto. Notemos então que o problema é equivalente a procurar os pontos do espaço Oxyz situados sobre a recta de equações {y = x + 3; z = y – 2} cuja distância à origem das coordenadas é mínima ou máxima, já que essa distância é dada por

d =

x2 + y2 + z2 , e portanto f(x,y,z) = d2:

Page 96: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

94

Como se pode verificar na figura anterior, não há nenhum ponto situado sobre a referida recta que se encontre a uma distância máxima da origem, mas há de facto um ponto que se encontra a uma distância mínima da origem, o qual corresponde à solução que foi obtida acima.

Problemas propostos / Secção 10.8 1. Determine, caso existam, os valores máximo e/ou mínimo absoluto de

cada uma das funções seguintes, sujeitas à(s) restrição(ões) indicada(s), e interprete geometricamente os resultados obtidos em cada caso: (a) f(x,y) = x2 – y2, se x2 + y2 = 4; (b) f(x,y) = xy, se 4x2 + 9y2 = 36; (c) f(x,y,z) = x2 + y2 + z2, se 3x + 2y + z = 6; (d) f(x,y,z) = x + y + z, se x2 + 4y2 + 9z2 = 36; (e) f(x,y,z) = x2 + y2 + z2, se x + y + z = 1 e x + 2y + 3z = 6; (f) f(x,y,z) = z, se x2 + y2 = 1 e 2x + 2y + z = 5.

2. Determine os pontos da elipse de equação x2 + xy + y2 = 3 que se

encontram mais próximos e mais afastados da origem das coordenadas. 3. Determine quais os pontos da superfície de equação z = xy + 5 que se

encontram mais próximos da origem das coordenadas. 4. Determine três números positivos cuja soma é 27, por forma a que a soma

dos quadrados desses números tenha o menor valor possível. 5. Que dimensões que deve ter uma caixa paralelepipédica inscrita dentro de

uma superfície esférica de raio a, por forma a que o seu volume tenha o valor máximo possível?

6. Determine os pontos mais elevado e mais baixo (com respeito ao plano

Oxy) da curva de intersecção do cone de equação z2 = x2 + y2 com o plano de equação x + 2y + 3z = 3.

Page 97: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

95

7. Se x, y e z forem os comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo, sendo z o comprimento da hipotenusa, e se P for o valor fixo do perímetro do mesmo triângulo, qual o valor máximo da sua área A?

Soluções dos problemas propostos / Secção 10.8

1. (a) máximo f(2, 0) = f(– 2, 0) = 4, mínimo f(0, 2) = f(0, – 2) = – 4;

(b) máximo f

3 2 /2 , 2( ) = f

− 3 2 /2 , − 2( ) = 3, mínimo f

3 2 /2 , − 2( ) = f

− 3 2 /2 , 2( ) = – 3;

(c) mínimo f(9/7, 6/7, 3/7) = 18/7; (d) máximo f(36/7, 9/7, 4/7) = 7, mínimo f(– 36/7, – 9/7, – 4/7) = – 7; (e) mínimo f(– 5/3, 1/3, 7/3) = 25/3; (f) máximo f(–

2 /2, –

2 /2, 5 + 2

2 ) = 5 + 2

2 , mínimo f(

2 /2,

2 /2, 5 – 2

2 ) = 5 – 2

2 .

Page 98: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

CAPÍTULO # 10: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: DERIVADAS PARCIAIS ________________________________________________________________

96

2. Pontos mais próximos: (1, 1) e (– 1, – 1), à distância

2 ; pontos mais afastados: (

3 , –

3) e (–

3 ,

3), à distância

6 .

3. Pontos (2, – 2, 1) e (– 2, 2, 1), à distância 3 da origem.

4. x = y = z = 9.

5. x = y = z =

2a3

.

Page 99: Funções de várias Variáveis -  Derivadas Parciais

10.8 MÁXIMOS E/OU MÍNIMOS COM RESTRIÇÕES ________________________________________________________________

97

6. Ponto “mais baixo”:

− 15 + 9 520

,− 15 + 9 5

10,9 − 3 5

4⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ;

Ponto “mais elevado”:

− 15 − 9 520

,− 15 − 9 5

10,9 + 3 5

4⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ .

7. A =

3 − 2 24

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ P2, com P = (2 +

2 ) x.