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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

IZAIAS CORDEIRO NÉRI

FUNÇÕES

Análise de crescimento e decrescimento e de concavidade explorando

os registros de representações semióticas em um ambiente de

geometria dinâmica

SÃO PAULO

2013


MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

FUNÇÕES

Análise de crescimento e decrescimento e de concavidade explorando

os registros de representações semióticas em um ambiente de

geometria dinâmica

Dissertação apresentada como exigência

parcial à Banca Examinadora da

Universidade Bandeirante de São Paulo –

UNIBAN, para obtenção do título de

MESTRE em Educação Matemática sob a

orientação da Professora Doutora Monica

Karrer.

SÃO PAULO

2013

Néri, Izaias Cordeiro

N364f Funções: análise de crescimento e decrescimento e de

concavidade explorando os registros de representações semióticas em um

ambiente de geometria dinâmica. / Izaias Cordeiro Néri. -- São Paulo:

Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013.

x, 141 f.: il.; 31 cm.

Dissertação (MESTRADO) – Universidade Bandeirante

Anhanguera, 2013.

Orientadores: Profª. Drª. Mônica Karrer

Referências bibliográficas: f. 113-114.

1. Funções. 2. Geogebra. 3. Registros de representação semiótica. I. Karrer,

Mônica. II. Universidade Bandeirante Anhanguera. IV. Título.

CDD 515.9


FUNÇÕES: Análise de crescimento e decrescimento e de concavidade

explorando os registros de representações semióticas em um ambiente

de geometria dinâmica

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título

de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade

Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, à seguinte banca examinadora:

AGRADECIMENTOS

Aos Meus Pais, Antônio de Souza Néri e Maria Cordeiro Néri, que desde cedo me

incentivaram a estudar sempre.

À Professora Doutora Monica Karrer, pelo trabalho de orientação muito bem

desenvolvido com dedicação, amizade e empenho. Agradeço pelas horas

dedicadas, pelas leituras, pelas correções e ajustes que ajudaram a enriquecer esse

longo e precioso trabalho de pesquisa.

Ao Professor Doutor Luiz Gonzaga Xavier de Barros, por fazer parte de minha

banca de defesa e contribuir com comentários e criticas que fizeram essa pesquisa

melhorar muito do ponto de vista matemático e da Teoria dos Registros.

À Professora Doutora Maria Cristina Bonomi, que com suas contribuições do

ponto de vista matemático, fizeram essa pesquisa ter um grau maior de rigorosidade

em seu contexto estudado.

Aos professores do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da

UNIBAN, pelas suas aulas e sugestões.

Aos amigos que frequentaram junto comigo algumas disciplinas do programa.

À minha amiga Caroline Fiore, que acompanhou toda minha trajetória no programa

desde dia da prova de ingresso até o dia da defesa.

Ao grande mestre Odilthom Arrebolas, que eu tive o prazer de conhecer durante o

mestrado e compartilhar várias ideias sobre Matemática e Geogebra.

Aos amigos que passaram por lá e deixaram saudades. O moçambicano Pedro

Mateus, Edmar Fernandes, Carlos Latorre, Marcelo Paiva, Patrícia Felipe, Márcia

Teodoro, Júlio e outros mais que não lembro os nomes, mas que contribuíram de

certa forma com discussões em sala de aula acerca de vários temas envolvendo

Matemática e tecnologia.

Aos estudantes do curso de Licenciatura da UNIBAN, pois sem a ajuda deles nada

teria sido feito.

RESUMO

Este trabalho objetivou elaborar, aplicar e avaliar um ambiente de ensino composto

de um experimento sobre os conteúdos de crescimento e decrescimento e de

concavidade de funções de uma variável real. Tal experimento foi concebido de

forma a integrar os ambientes GeoGebra e papel e lápis, prevendo uma entrada

experimental com explorações de representações do registro gráfico, antes da

formalização do conceito no registro algébrico. Com isso, teve-se a intenção de

investigar quais influências tal abordagem traria para a construção do objeto

matemático proposto. A teoria dos registros de representações semióticas embasou

o estudo e a metodologia de Design Experiment foi utilizada como elemento

norteador da elaboração e da condução do experimento. Foram desenvolvidas duas

aplicações, a preliminar e a principal, sendo que a aplicação preliminar, realizada

com quatro estudantes do segundo ano do curso de Licenciatura em Matemática de

uma universidade privada do estado de São Paulo, objetivou avaliar as atividades do

experimento, revelando a necessidade de ajustes nos enunciados e de inclusões de

novas tarefas. Na aplicação principal, o experimento reformulado foi aplicado em

dois estudantes do mesmo curso e da mesma universidade, sendo analisadas suas

produções orais e escritas, além dos registros de telas de seus computadores. Em

geral, os resultados apontaram que os alunos se depararam com a necessidade de

utilizar noções de Cálculo Diferencial para analisar o crescimento e o decrescimento

de certas funções, dado que a análise pela definição se tornou muito complexa nos

casos trabalhados. Ainda, a entrada experimental com explorações de

representações gráficas permitiu que os estudantes construíssem de forma

independente as relações entre crescimento e decrescimento e o sinal da primeira

derivada e entre concavidade e o sinal da segunda derivada. Após o contato

experimental, os sujeitos estabeleceram as relações esperadas, não apresentando

dificuldades em transferi-las quando da solicitação da análise algébrica das funções.

Tal fato pareceu revelar que, para essa dupla, o ambiente de ensino construído

favoreceu a relação entre representações dos registros gráfico e algébrico e permitiu

que os estudantes construíssem os conceitos de forma autônoma.

Palavras-chave: Funções. Registros de Representações Semióticas. GeoGebra.

Design Experiment.

ABSTRACT

This work aimed to develop, implement and evaluate a learning environment composed of an experiment on the contents of growth and degrowth and concavity of functions of a real variable. Such experiment was elaborated to integrate GeoGebra environments and paper and pencils, providing an input experimental with explorations of graphic register, before the formalization of the concept in algebraic register. With that, there was the intention to investigate what influences such an approach it would bring to the construction of the proposed mathematical object. The theory of Semiotic Representations Registers guided the fellowship study and Design Experiment methodology was used as a guiding element of the preparation and conduct of the experiment. Applications were the preliminary and the main, and that the preliminary application was performed with four students of the second year of the Bachelor's Degree in mathematics from a private university in the state of São Paulo with the objective to evaluate the activities of the experiment, revealing needs adjustments in the statements and inclusions of new tasks. In the main application, the experiment formulated was applied to two students of the same course and the same university, and analyzed their oral and written productions as well as registers of their computer screens. In general, the results showed that students were faced with the need to use notions of Differential Calculus to analyze the growth and degrowth of some functions, given that the analysis by definition has become very complex in cases worked. Still, the input experimental with explorations graphical representations allow students to construct independently the relationships between growth and degrowth and the signal of the first derivative and between concavity and the second derivative. After contact experimental subjects have established relationships expected, no significant difficulties in transferring them when applying the analysis of algebraic functions. This fact seemed to reveal that for this pair, the learning environment built favored the relationship between representations of graphical and algebraic registers and allowed students to construct the concepts independently. Keywords: Functions. Semiotic Representation Register. GeoGebra. Design

Experiment.

SUMÁRIO

RESUMO ............................................................................................................................................ 7

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................15

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...........................................................18

2.1 A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS ...............................................18

2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................................24

3. METODOLOGIA DA PESQUISA ...................................................................................................35

3.1 A METODOLOGIA DE DESIGN EXPERIMENT ............................................................................35

3.2 RELAÇÃO DA METODOLOGIA COM O PRESENTE ESTUDO ......................................................38

3.2.2 O Professor-Pesquisador ....................................................................................................39

3.2.3 Material e ambiente de trabalho .......................................................................................40

3.2.4 Previsão de aplicação.........................................................................................................40

4. DESCRIÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO ......................................................................................41

4.1 ANÁLISE DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES.................................................41

4.2 TEOREMA DO VALOR MÉDIO .................................................................................................41

4.3 ANÁLISE DE FUNÇÕES: CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E CONCAVIDADE. ...........................42

4.4 POLINÔMIOS .........................................................................................................................48

4.5 ANÁLISE DE POLINÔMIOS ......................................................................................................48

5. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES .........................................................50

5.1 APRESENTAÇÃO DO AMBIENTE .............................................................................................50

5.2.1 Atividade 01 ......................................................................................................................54

5.2.1.1 Atividade 01 – Situação 01-A – Análise preliminar ..............................................................54

5.2.1.2 Atividade 01 - Situação 01- B – Análise preliminar ..............................................................56

5.2.1.3 Atividade 01 - Situação 01-C – Análise preliminar...............................................................57

5.2.2 Atividade 02 ......................................................................................................................59

5.2.2.1 Atividade 02 - Situação 02-A – Análise preliminar ..............................................................59

5.2.2.2 Atividade 02 - Situação 02-B – Análise preliminar ..............................................................61

5.2.3 Atividade 03 ......................................................................................................................63



5.2.4 Atividade 04 ......................................................................................................................67



5.2.5 Atividade 05 ......................................................................................................................71



5.3 ANÁLISE DA APLICAÇÃO PRELIMINAR ....................................................................................74

6. A APLICAÇÃO PRINCIPAL ...........................................................................................................88

6.1 REDESIGN FINAL ....................................................................................................................88

6.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO PRINCIPAL ..........................................................91

6.3 ANÁLISE DA PRODUÇÃO ALGÉBRICA ....................................................................................106

7 CONCLUSÃO ............................................................................................................................114

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................................119

APÊNDICE I – EXPERIMENTO INICIAL – PROJETO PILOTO .................................................................121

APÊNDICE II – ATIVIDADE PRINCIPAL ...............................................................................................128

APÊNDICE III – PRODUÇÃO ALGÉBRICA ...........................................................................................133

APÊNDICE IV - TERMOS ...................................................................................................................135

Lista de Figuras

FIGURA 1: EXEMPLOS DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES ............................................. 41

FIGURA 2 : GRÁFICO REPRESENTANDO O TVM .............................................................. 42

FIGURA 3: COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO ..................................................................... 43

FIGURA 4: CONCAVIDADE DOS GRÁFICOS ...................................................................... 45

FIGURA 5: CONCAVIDADES DA FUNÇÃO . .................................................... 46

FIGURA 6: AS CONCAVIDADES DA FUNÇÃO ....................................... 47

FIGURA 7: TELA INICIAL DO EXPERIMENTO ...................................................................... 51

FIGURA 8: TELA DO AMBIENTE ATIVIDADES ................................................................. 52

FIGURA 9: TELA DO AMBIENTE TEXTOS ....................................................................... 53

FIGURA 10: TELA DO AMBIENTE VIDEOS ...................................................................... 53

FIGURA11: TELA DO AMBIENTE GEOGEBRA ................................................................ 54

FIGURA 12: ATIVIDADE 01A .......................................................................................... 55

FIGURA 13:ATIVIDADE 01B .......................................................................................... 56

FIGURA 14: ATIVIDADE 01C ......................................................................................... 58

FIGURA 15:ATIVIDADE 02A .......................................................................................... 60

FIGURA 16:ATIVIDADE 02B .......................................................................................... 62


FIGURA 18: ATIVIDADE 03B - FUNÇÃO 01 ...................................................................... 66

FIGURA 19: ATIVIDADE 03B - FUNÇÃO 02 ...................................................................... 66


FIGURA 21: ATIVIDADE 04B .......................................................................................... 70


FIGURA 23: ATIVIDADE 05B .......................................................................................... 73

FIGURA 24:RESPOSTA DA ATIVIDADE 01C - ALUNO 1. ..................................................... 75

FIGURA 25: RESPOSTA DA ATIVIDADE 01C - ALUNO 2. .................................................... 75



FIGURA 28: RESPOSTA DA ATIVIDADE 02A - ALUNO 2. .................................................... 77

FIGURA 29: RESPOSTA DA ATIVIDADE 02A - ITEM 3- DADA PELO ALUNO 1......................... 77

FIGURA 30: RESPOSTA DA ATIVIDADE 02B DADA PELO ALUNO 2. ..................................... 78

FIGURA 31: RESPOSTA DA ATIVIDADE 02B DADA PELO ALUNO 4. ..................................... 79

FIGURA 32: RESPOSTA DA ATIVIDADE 3A DADA PELO ALUNO 1 ........................................ 79




FIGURA 36: RESPOSTA DA ATIVIDADE 3B DADA PELO ALUNO 1 ....................................... 81




FIGURA 40: RESPOSTA DA ATIVIDADE 4A, ITENS A E B, DADA PELO ALUNO 1 ..................... 84

FIGURA 41: RESPOSTA DA ATIVIDADE 4A, ITEM E, DADA PELO ALUNO 1 ............................ 85

FIGURA 42: RESPOSTA DA ATIVIDADE 4B, ITEM A, DADA PELO ALUNO 2 ............................ 85


FIGURA 44: RESPOSTA DA ATIVIDADE 5B DADA PELO ALUNO 1 ........................................ 87

FIGURA 45: RESPOSTA DA ATIVIDADE 5B DADA PELO ALUNO 4 ......................................... 87

FIGURA 46: ATIVIDADE ZERO 01 – AMBIENTE COMPUTACIONAL ...................................... 89

FIGURA 47: ATIVIDADE ZERO 02 – AMBIENTE COMPUTACIONAL ....................................... 90

FIGURA 48 – PRODUÇÃO DA ATIVIDADE ZERO 01 – ALUNO 1 .......................................... 91

FIGURA 49 – PRODUÇÃO DA ATIVIDADE ZERO 01 – ALUNO 2 ........................................... 92

FIGURA 50 - ATIVIDADE ZERO 2 - ALUNO 01 ................................................................... 92

FIGURA 51 - PRODUÇÃO DO ALUNO 2 - ATIVIDADE ZERO 2 .............................................. 93

FIGURA 52 - PRODUÇÃO DO ALUNO 2 – ATIVIDADE ZERO 2 REFEITA ................................ 94

FIGURA 53 – PRODUÇÃO DO ALUNO 1 ........................................................................... 95

FIGURA 54 - PRODUÇÃO DO ALUNO 2 ............................................................................ 96

FIGURA 55 - PRODUÇÃO DO ALUNO 1 - ATIVIDADE 1A NO AMBIENTE PAPEL-LÁPIS E

COMPUTACIONAL ................................................................................................... 97

FIGURA 56 - PRODUÇÃO DO ALUNO 2 – ATIVIDADE 1A .................................................... 99

FIGURA 57: PRODUÇÃO DO ALUNO 1 – ATIVIDADE 1B ................................................... 100

FIGURA 58: PRODUÇÃO DO ALUNO 2 – ATIVIDADE 1B .................................................. 101

FIGURA 59: PRODUÇÃO DO ALUNO 1 – ATIVIDADE 2A .................................................. 102

FIGURA 60: PRODUÇÃO DO ALUNO 1 – ATIVIDADE 2A ITEM E ........................................ 102

FIGURA 61: PRODUÇÃO DA ALUNA 2 – ATIVIDADE 2A ................................................... 103

FIGURA 62: PRODUÇÃO DO ALUNO 2 - ATIVIDADE 2 A, ITEM E ....................................... 103

FIGURA 63: PRODUÇÃO DO ALUNO 1 - ATIVIDADE 2B ................................................... 104

FIGURA 64: PRODUÇÃO DO ALUNO 2 - ATIVIDADE 2B ................................................... 104

FIGURA 65 - PRODUÇÃO DO ALUNO 1 - ATIVIDADE 3A .................................................. 105

FIGURA 66 - PRODUÇÃO DO ALUNO 2 - ATIVIDADE 3A .................................................. 106

FIGURA 67: PRODUÇÃO DO ALUNO 1 ........................................................................... 107

FIGURA 68: PRODUÇÃO ALUNO 2 ................................................................................ 107

FIGURA 69: PRODUÇÃO DO ALUNO 1 ........................................................................... 108

FIGURA 70: PRODUÇÃO ALUNO 2 ................................................................................ 108

FIGURA 71: PRODUÇÃO ALUNO 1 - SOBRE OS INTERVALOS DE CONCAVIDADE ................ 109

FIGURA 72: PRODUÇÃO ALUNO 2 – SOBRE OS INTERVALOS DE CONCAVIDADE ............... 110

FIGURA 73: PRODUÇÃO DO ALUNO 1 - SEGUNDA PARTE DA ATIVIDADE ........................... 111

FIGURA 74: PRODUÇÃO DO ALUNO 2 - SEGUNDA PARTE DA ATIVIDADE ........................... 111

FIGURA 75: PRODUÇÃO DO ALUNO 1 - INTERVALO DECRESCENTE .................................. 112

FIGURA 76: PRODUÇÃO DO ALUNO 2 - INTERVALO DECRESCENTE .................................. 112

Lista de Quadros

QUADRO 1: A DISTINÇÃO DECISIVA PARA TODA ANÁLISE DO FUNCIONAMENTO COGNITIVO DA

COMPREENSÃO – DOIS TIPOS RADICALMENTE DIFERENTES DE TRANSFORMAÇÃO DE

REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS. ............................................................................. 21

QUADRO 2: EXEMPLO DE VARIAÇÃO DE CONGRUÊNCIA OU DE NÃO CONGRUÊNCIA DE UMA

CONVERSÃO. A TOMADA EM CONTA DESSES TRÊS FATORES PERMITE DETERMINAR OS

GRAUS DE CONGRUÊNCIA OU NÃO CONGRUÊNCIA QUE SÃO GERALMENTE

CORRELACIONADOS ÀS VARIAÇÕES DE SUCESSO OU FRACASSO NAS OPERAÇÕES DE

CONVERSÃO .......................................................................................................... 22

QUADRO 3:ANÁLISE DA CONGRUÊNCIA DA ATIVIDADE DE CONVERSÃO (HETEROGENEIDADE)

............................................................................................................................ 23

QUADRO 4: ATIVIDADE 01A NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS ................................................ 55

QUADRO 5:ATIVIDADE 01B NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS ................................................. 57

QUADRO 6: ATIVIDADE 01C NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS ................................................ 58

QUADRO 7: ATIVIDADE 02A NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS. ............................................... 60

QUADRO 8: AMBIENTE 02B NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS. ................................................ 62

QUADRO 9: DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO POSITIVA E NEGATIVA DADA NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS.

............................................................................................................................ 64

QUADRO 10: ATIVIDADE 03A NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS. ............................................. 65

QUADRO 11:ATIVIDADE 03B NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS. .............................................. 67

QUADRO 12: ATIVIDADE 04A NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS .............................................. 69

QUADRO13: ATIVIDADE 04B NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS ............................................... 70

QUADRO 14: ATIVIDADE 05A NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS .............................................. 72

QUADRO 15: ATIVIDADE 05B NO AMBIENTE PAPEL E LÁPIS .............................................. 73

QUADRO 16: DEFINIÇÃO DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÃO NO AMBIENTE

PAPEL-E-LÁPIS ...................................................................................................... 88

15

1. INTRODUÇÃO

Durante os meus anos de docência como professor de Matemática nos níveis

de ensino médio e superior, pude perceber que os alunos possuem grande

dificuldade em realizar transformações de representações que partem do registro

gráfico, como por exemplo, em questões de determinação da expressão algébrica

de uma função a partir de seu gráfico ou de análises de propriedades neste registro.

Ao ingressar no mestrado, pude ter contato com pesquisas que investigaram esse

tipo de dificuldade, normalmente fundamentadas na teoria dos registros de

representações semióticas de Raymond Duval, o qual, segundo Machado (2003),

vem desenvolvendo, desde 1970, relevantes estudos relativos à Psicologia

Cognitiva, os quais apontam para a importância da exploração e da integração de

registros no ensino de Matemática.

Como primeira etapa de investigação, foram observados, na literatura,

trabalhos que trataram de conteúdos matemáticos com proximidade temática ao

objeto de nosso estudo e que integraram os diversos registros de representações

semióticas e/ou o uso de recursos computacionais. Apresentando de maneira

sucinta os resultados dessa etapa, foi observado que os estudantes apresentavam

dificuldades na atividade de conversão, principalmente na que envolvia o registro

gráfico. Ainda, vários estudos apontaram as vantagens da utilização de recursos

computacionais, dentre elas, a possibilidade da exploração de relações entre

representações de registros distintos e o fato de este tipo de ambiente favorecer a

autonomia do estudante na construção do conhecimento.

Duval (2009) relata que nos níveis mais avançados de ensino, o registro

monofuncional discursivo1sobressai em relação aos demais, o que nos levou a

refletir sobre a importância de integrar também, no presente trabalho, o registro

gráfico, classificado como monofuncional não discursivo2 e o da língua natural,

classificado como multifuncional discursivo.

1 Vide Fundamentação Teórica 2 Vide Fundamentação Teórica

16

Dentre as funções de uma variável real, optou-se, neste trabalho, pela

exploração das funções polinomiais, dado que estas normalmente representam o

ponto de partida dos cursos de Cálculo Diferencial e Integral.

Visando investigar como essas funções são tratadas na disciplina de Cálculo

Diferencial e Integral presente nos primeiros anos dos cursos da área de exatas,

observou-se, em uma primeira busca, que em alguns livros didáticos, tais como

Anton, Bivens e Davis (2007), Thomas (2002) e Stewart (2003), não há a

preocupação em explorar conversões que partem do registro gráfico. Nas obras

analisadas até o momento, principalmente na parte de exercícios propostos, existe

um único tipo de tarefa que fornece o gráfico como registro de partida, solicitando

uma resolução algébrica. Nos exercícios resolvidos, esses modelos de problemas

simplesmente não são tratados. Dessa forma, essa primeira investigação revelou,

em consonância com o apontado por Duval, o predomínio do registro algébrico no

conteúdo de funções polinomiais nos livros didáticos analisados.

Com isso, partindo da problemática exposta anteriormente, este trabalho

objetivou construir e avaliar um ambiente de ensino sobre o conteúdo de funções

polinomiais, explorando relações entre representações dos registros gráfico,

algébrico e da língua natural, com o auxílio do software GeoGebra.

Desta forma, foram definidas as seguintes questões de pesquisa:

Em que aspectos uma abordagem elaborada com foco na exploração de

diversos registros influencia os estudantes na compreensão das funções propostas

neste estudo?

Como o software adotado, ao viabilizar a análise dinâmica das relações entre

representações dos registros algébrico e gráfico, contribui para a compreensão das

funções propostas neste estudo?

Tem-se por hipóteses que o ambiente elaborado favorecerá o aluno a articular

os registros gráfico e algébrico do conteúdo proposto e que o software adotado

permitirá um acesso mais independente ao objeto matemático.

O experimento faz parte de um ambiente feito como páginas da web, onde

foram utilizadas para sua elaboração as linguagens HTML (HyperText Markup

17

Language) e CSS (Cascading Style Sheets)3. Neste ambiente os sujeitos de

pesquisa poderão encontrar páginas com os seguintes conteúdos: Atividades,

Textos, Vídeos e o GeoGebra.

O experimento é direcionado a estudantes do nível superior de ensino,

especificamente para alunos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral do curso

de Licenciatura em Matemática. Isto porque nessa disciplina são discutidas a

construção e a interpretação de gráficos de funções polinomiais com auxilio dos

conceitos de derivadas de primeira e segunda ordens. Essa abordagem, no ensino

tradicional, normalmente tem por foco uma análise que parte de representações do

registro algébrico e, com isso, pretende-se fornecer, com o presente trabalho, um

cenário diferenciado para tal conteúdo, uma vez que a proposta é partir de uma

análise experimental gráfica antes da formalização algébrica.

O presente estudo é composto por sete capítulos. No primeiro, referente à

introdução, foram apresentados os elementos centrais da dissertação. O capítulo 2

contém a fundamentação teórica e a revisão de literatura. No capítulo 3, apresenta-

se a metodologia adotada e sua relação com o presente estudo e, no capítulo 4, a

descrição do objeto matemático. O capítulo 5 contém a descrição da primeira versão

do design, incluindo o ambiente construído, as atividades elaboradas e os resultados

da aplicação preliminar. No capítulo 6, apresenta-se inicialmente o redesign ocorrido

diante das produções dos sujeitos da aplicação preliminar. Em seguida, são

apresentados os resultados da aplicação principal. O capítulo 7 contém a conclusão

do estudo e sugestões para futuras investigações.

3 Ambiente disponível no CD-ROM que acompanha este trabalho.

18

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

Neste capítulo será apresentada a teoria de registros de representações

semióticas do pesquisador francês Raymond Duval, a qual embasará esse trabalho.

Duval (2009), afirma que é necessária uma abordagem cognitiva no ensino da

Matemática, pois o objetivo não é formar grandes matemáticos e nem

instrumentalizar os alunos com conceitos que só usem no futuro, mas sim contribuir

para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, análise e

visualização, para que sejam capazes de enfrentar um mundo cada vez mais

tecnológico. Essa abordagem cognitiva descreve o funcionamento cognitivo que

possibilita ao próprio aluno compreender e autocontrolar os diversos processos

matemáticos a ele propostos.

De acordo com Duval (2009), do ponto de vista cognitivo, a atividade

matemática se difere das demais áreas do conhecimento devido a questões de

acessibilidade. Enquanto em outras áreas é possível acessar um objeto por meio de

instrumentos, na Matemática é necessária a utilização de representações

semióticas. Com isso, o autor destaca a grande importância das representações

semióticas para a evolução do pensamento matemático e a necessidade da

exploração da variedade de representações semióticas, tais como as figuras, as

notações algébricas, as representações gráficas e da língua natural, no ensino de

Matemática.

Para diversificar os tipos de representações semióticas, Duval (2009) usa o

termo “registro” e destaca como sendo uma paródia de Descartes. Para o

pesquisador, um registro de representação semiótica é um sistema semiótico que

permite o cumprimento de três atividades cognitivas sobre as representações

vinculadas a ele, denominadas formação, tratamento e conversão, as quais serão

descritas adiante.

De acordo com Duval (2009), um registro é considerado monofuncional se os

tratamentos realizados entre as representações desse registro ocorrerem de

maneira algorítmica. Caso contrário, eles são classificados como multifuncionais. Se

permitirem o discurso, são classificados como discursivos. Caso contrário, são

considerados não discursivos. Neste caso, o registro da língua natural é classificado

19

como multifuncional discursivo, o registro algébrico como monofuncional discursivo,

o figural como multifuncional não discursivo e o gráfico como monofuncional não

discursivo.

Segundo Duval (2009), a principal característica da atividade matemática se

encontra na simultaneidade de mobilização de pelo menos dois registros de

representação, ou na possível troca de registro a qualquer momento. Ele afirma que

a compreensão em Matemática se dá quando o sujeito é capaz de coordenar ao

menos dois registros de representação semiótica.

A noção de representação semiótica aparece historicamente em três

retomadas distintas à natureza do fenômeno designado. Pela primeira vez, foi

descrita como representação mental em meados dos anos 1924 e 1926, proposta

por Piaget, e se tratava de um estudo sobre as crenças e as explicações dadas por

crianças em relação a fenômenos naturais e psíquicos. Nesse momento, Piaget

descreve a noção de representação como “evocação dos objetos ausentes”. Pela

segunda vez, foi descrita, provavelmente por Broadbent em 1958 (DUVAL, 2009,

p.31), como representação interna ou computacional entre os anos 1955 e 1960,

destacando o tratamento por um sistema. A representação se apresenta como a

forma de uma informação dentro de um sistema de tratamento, o que difere de uma

evocação de objetos ausentes, ou seja, seria uma codificação da informação. Pela

terceira vez, agora já descrita como representação semiótica por Duval, essa noção

surgiu em algumas décadas passadas e dentro do campo de conhecimento

matemático.

“A especificidade das representações semióticas consiste em serem relativas a um sistema particular de signos, a linguagem, a escritura algébrica ou os gráficos cartesianos, e em poderem ser convertidas em representações ‘equivalentes’ em outro sistema semiótico, mas podendo tomar significações diferentes para o sujeito que as utiliza”. (DUVAL, 2009, p.32)

A noção de representação semiótica considera alguns sistemas semióticos

diferentes e uma operação cognitiva de conversão entre esses sistemas. Por

exemplo, em um problema descrito na língua natural, passar para a forma algébrica

é uma mudança caracterizada como conversão.

Duval (2009) destaca o papel fundamental das representações semióticas na

atividade cognitiva, primeiramente, como função primordial de tratamento da

informação e/ou tomada de consciência. Em seguida, a passagem da forma do

20

representando ao conteúdo representado. Dessa maneira o pesquisador afirma que

não há noésis sem semiósis.

“Tudo se passa como se a compreensão que a grande maioria dos estudantes tivesse de um conteúdo ficasse limitada à forma de representação utilizada.” (DUVAL, 2009, p 34-35).

D´Amore (2005, p.58) dá o significado desses dois termos, sendo a Semiósis

a representação realizada por meio de signos e a Noésis a aquisição conceitual de

um objeto.

A semiósis possui uma diversidade de signos. Peirce (1932, p.153 – 173 apud

DUVAL, 2009, p.35) distingue três tipos de signos: os ícones, os símbolos e os

índices. Benveniste (1974, p. 43-66 apud DUVAL, 2009, p. 36) afirma que a semiósis

não se restringe em apenas possuir uma variedade de signos, mas a oportunidade

de colocá-los em correspondência. Porém, foi Duval quem trouxe à tona os sistemas

semióticos com um papel diversificado no funcionamento do pensamento e a

complexidade dos processos de conversão de um sistema a outro.

Conforme relatado, um registro de representação semiótica deve cumprir três

atividades cognitivas, denominadas formação, tratamento e conversão. Segundo

Duval (2009), a formação pode ser definida como um conjunto de traços perceptíveis

com a possibilidade de serem identificados como representantes de alguma coisa

dentro de um sistema considerado.

O tratamento pode ser definido como a possibilidade de transformar as

representações em outras representações, dentro das regras do sistema, as

representações dentro de um mesmo registro. A conversão pode ser definida como

uma transformação entre representações que faz passar de um registro para outro.

21

Transformação de uma representação semiótica em uma outra representação semiótica

Quadro 1: A distinção decisiva para toda análise do funcionamento cognitivo da compreensão – dois tipos radicalmente diferentes de transformação de representações semióticas. Fonte: Machado (2010, p.15)

Duval (2009) apresenta a conversão por dois pontos de vista: o matemático e

o cognitivo. Na visão matemática, o autor relata que a conversão se caracteriza

somente na escolha de um registro no qual os tratamentos ficam mais “econômicos”,

potentes ou servem de apoio a outro registro. No ponto de vista cognitivo, o

pesquisador apresenta a conversão como sendo primordial aos mecanismos

subjacentes à compreensão. E ele destaca que a compreensão em Matemática se

dá pela capacidade de mudança de registro.

“Porque passar de um registro de representação a outro não é somente mudar de modo de tratamento, é também explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um mesmo objeto. Vemos, então, que duas representações de um mesmo objeto, produzidas em dois registros diferentes, não têm de forma alguma o mesmo conteúdo.” Duval (2009, p.22).

A possibilidade em se ter pelo menos dois tipos de registros diferentes ajuda

a fazer a distinção entre o conteúdo de uma representação com o objeto

representado, pois os registros de representação não são todos de mesma natureza.

Nas operações de conversão aparecem dois tipos de fenômenos de natureza

cognitiva: a) congruência e não congruência; b) heterogeneidade nos dois sentidos

de conversão. Conforme Duval (1995) a existência de congruência em uma

Permanecendo no mesmo sistema: Tratamento

Mudando de sistema, mas conservando a referência aos mesmos objetos: Conversão.

Quase sempre, é somente este tipo de transformação que chama a atenção porque ele corresponde a procedimentos de justificação.

De um ponto de vista “pedagógico”, tenta-se

algumas vezes procurar o melhor registro de

representação a ser utilizado para que os alunos

possam compreender.

Este tipo de transformação enfrenta os fenômenos de não congruência. Isso se traduz pelo fato de os alunos não reconhecerem o mesmo objeto através de duas representações diferentes.

A capacidade de converter implica a coordenação de registros

mobilizados. Os fatores de não congruência mudam conforme

os tipos de registro entre os quais a conversão é, ou deve ser,

efetuada.

22

conversão está vinculada a três condições: correspondência semântica das

unidades de significado; a unicidade semântica terminal e conservação da ordem

das unidades. Em outras palavras, pode-se observar a atividade de conversão

comparando a representação no registro de partida com a representação no registro

de chegada. Caso as três condições acima citadas não forem observadas,

classificamos a conversão como não congruente.

O quadro seguinte mostra exemplos de análise da existência ou não de

congruência na atividade de conversão.

Correspondência semântica das unidades de significado

A unicidade semântica terminal

Conservação da ordem das unidades

O conjunto dos pontos cuja ordenada é superior à abcissa

Sim

Sim

Sim

O conjunto dos pontos que têm uma abcissa positiva

Não “maior que zero” é uma perífrase (um só significado para várias palavras)

Sim

Sim

O conjunto dos pontos cuja abcissa e cuja ordenada têm o mesmo sinal

O produto da abcissa e da ordenada é maior que zero

Não

Não

Não Globalização descritiva (dois casos)

Quadro 2: Exemplo de variação de congruência ou de não congruência de uma conversão. A tomada em conta desses três fatores permite determinar os graus de congruência ou não congruência que são geralmente correlacionados às variações de sucesso ou fracasso nas operações de conversão Fonte: Machado (2010, p.19)

O autor aponta que, no ensino em geral, apenas um sentido de conversão é

privilegiado, supondo que o treino efetuado em um sentido daria automaticamente o

treino da conversão no outro sentido.

Sobre a heterogeneidade das conversões (DUVAL, 1995, p.53 apud

KARRER, 2006, p.42) há um estudo que explora uma atividade de conversão entre

a língua natural e a representação simbólica nos dois sentidos de conversão. O

quadro a seguir mostra a taxa de acertos em cada situação.

23

Quadro 3:Análise da congruência da atividade de conversão (heterogeneidade) Fonte: (Duval, 1995 p.53 apud Karrer, 2006, p.42)

O que se observa da tabela é que a conversão no sentido II para I, em todas

as questões, apresenta um grau de acerto elevado, fato que se atribui por ser uma

transformação congruente. Observa-se que isso não ocorre no sentido contrário,

apresentando um contraste de resultados em questões similares como a 1 e a 3 e

como a 4 e a 5. Isso, segundo Duval (1995), pode ser explicado pelo fenômeno da

não congruência entre os registros de partida e o de chegada.

O autor ainda relata que, quando se desconhecem as características

intrínsecas de um determinado registro, as dificuldades relacionadas à não

congruência das conversões podem agravar. Duval (2003) diz que não se dá

atenção devida a estes dois fenômenos da congruência nas pesquisas em

Educação Matemática. Para o pesquisador, o reconhecimento de conversões não

congruentes e o domínio de uma efetiva coordenação entre os registros são

essenciais para a aprendizagem da Matemática, pois essas atividades dão acesso à

compreensão matemática.

Com base nos pressupostos teóricos apresentados, procuramos elaborar um

ambiente com a preocupação de integrar os registros gráfico, algébrico e da língua

natural, tendo por foco a apresentação do conteúdo partindo de experimentações no

registro gráfico, antes da formalização no algébrico.

24

2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nesta seção, são descritos os trabalhos que compuseram a revisão

bibliográfica do presente estudo, objetivando mostrar as contribuições apresentadas

pelas sequências didáticas voltadas ao ensino de Cálculo Diferencial e ao ensino de

conteúdos considerados pré-requisitos para esta disciplina. Ainda, são descritos

trabalhos que apontaram os benefícios da utilização de software no processo de

ensino e aprendizagem de Matemática.

O trabalho de Scucuglia (2006) teve como proposta estudar o Teorema

Fundamental do Cálculo utilizando calculadoras gráficas, na perspectiva

epistemológica de seres humanos como mídias proposta por Tikhomirov (1981), no

intuito de evidenciar o papel das novas tecnologias no processo de produção de

conhecimento.

O autor realizou experimentos de ensino, aplicando-os em alunos

organizados em duplas, sendo todos estudantes do primeiro ano de graduação em

Matemática da Universidade Estadual Paulista de Rio Claro.

Primeiramente foi elaborada uma atividade preliminar, na qual foram

explorados os temas "Teorema do Valor Médio", "Regra da Cadeia" e o "Teorema

Fundamental do Cálculo", associados ao uso de calculadora gráfica, tendo por base

alguns livros didáticos, dentre eles, “Um Curso de Cálculo” de Luiz Hamilton

Guidorizzi (2001), “Cálculo” de Howard Anton (2000), ”Cálculo com Geometria

Analítica” de Earl Swokowski (1995) e “Cálculo” de James Stewart (2001).

Após isso, foi proposto um experimento denominado pelo autor como

“Primeiro Piloto”, o qual foi desenvolvido em duas sessões, sendo aplicado a apenas

um estudante do primeiro ano da graduação em Matemática. Desse primeiro piloto,

o autor pôde observar que a calculadora gráfica possuía limitações na investigação

dos conceitos propostos nas atividades, tais como a execução de cálculos de

somatórios. Tal constatação ocorreu com base nos dados provenientes da produção

do aluno e nas filmagens das sessões.

O autor ministrou um curso temático sobre Calculadoras TI-83, oferecido pelo

Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática

(GPIMEM), com o objetivo de selecionar sujeitos para seu experimento definitivo. O

25

curso procurou realizar atividades exploratórias sobre as representações múltiplas

de funções e, até mesmo, dar uma familiarização aos estudantes sobre esse tipo de

calculadora gráfica.

Participaram desse curso doze alunos, porém, somente cinco alunas e um

aluno demonstraram interesse em participar do experimento final, sendo todos

estudantes de graduação em Matemática que já haviam passado pelo curso de

Cálculo I.

Como conclusão, o autor relatou que o uso de programas e da calculadora

gráfica valorizam diversas instâncias, tais como os aspectos visuais, a elaboração

de conjeturas e a coordenação entre diferentes representações do objeto

matemático estudado, o que contribuiu para o pensamento dos alunos envolvidos na

pesquisa sobre a investigação dos conceitos de Soma de Riemann e o Teorema

Fundamental do Cálculo.

O trabalho de Farias (2007), acerca de representações matemáticas

mediadas por softwares educacionais, foi elaborado segundo a visão da semiótica

de Charles Sanders Peirce e teve como objetivo investigar as diferentes formas de

representação dos conceitos matemáticos de estudantes e professores de Cálculo

Diferencial e Integral I.

O foco dessa pesquisa teve por base a seguinte questão norteadora: “Quais

são as contribuições das representações matemáticas em uma perspectiva

semiótica, mediadas por softwares educativos, para o conhecimento do futuro

professor de Matemática?”. (FARIAS, 2007. p02)

A autora destacou que sua metodologia foi de caráter qualitativo e os

procedimentos metodológicos foram subdivididos em três momentos distintos:

observações em sala de aula, entrevistas com professores e alunos e aplicação de

atividades investigativas usando o software Winplot.

A pesquisa contou com vinte e um alunos do primeiro ano de Licenciatura em

Matemática da Universidade Estadual Paulista de Rio Claro e com cinco professores

que lecionavam ou já haviam lecionado a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral

I.

26

Das observações em sala de aula, a autora procurou investigar de forma

global o ambiente da sala, avaliando a metodologia utilizada pela professora para a

apresentação da disciplina, evidenciando o papel das representações na resolução

de exercícios. Nesta fase, foi constatada a preocupação da professora em explorar,

na maioria das aulas, as representações algébricas, gráficas e geométricas, sempre

na tentativa de apresentar relações entre elas. Nas entrevistas, a autora buscou

investigar, com os professores, que importância eles davam às representações no

ensino dos conteúdos. Nas entrevistas com os alunos, ela pôde identificar

dificuldades na compreensão e na interpretação dos conceitos envolvidos na aula de

Cálculo I, em relação à exploração de várias representações.

E, por último, nas atividades investigativas com o Winplot, ela procurou

identificar as possíveis dificuldades dos alunos na exploração das várias

representações matemáticas, auxiliadas pelo software Winplot.

Os professores entrevistados relataram que o uso de programas matemáticos

era de fundamental importância para disciplina Cálculo Diferencial e Integral I, pela

ajuda que essa ferramenta possibilita na abordagem dos conceitos matemáticos,

principalmente na exploração de representações gráficas. Já os estudantes

pesquisados relataram que o software Winplot utilizado nas atividades ajudou nos

processos de visualização, em situações nas quais haveria dificuldade ou mesmo

impossibilidade de identificar ângulos e perspectivas de visões sem o uso desse

recurso.

Como conclusão, a autora revelou que, ao explorarmos o universo dos signos

das representações, adicionamos valores na discussão da construção do

conhecimento de futuros professores de Matemática, ressaltando a abordagem por

meio das várias representações de um mesmo objeto Matemático. Destacou, ainda,

que a semiótica fornece suporte à compreensão dos conceitos matemáticos

operacionalizados em diversas formas, tais como, imagens, escrita, modelos lógicos

e leis que fundamentam esses conceitos.

Santos, N. (2009) realizou uma pesquisa bibliográfica e qualitativa, na qual

buscou investigar as possibilidades do estudo das funções polinomiais usando o

software Graph. A autora buscou bases teóricas para se fundamentar acerca dos

temas relacionados à prática docente com o uso de tecnologias e o estudo de

27

funções com o uso de softwares matemáticos. Destacam-se, como elementos

norteadores de seu trabalho, as pesquisas de Perrenoud4 (2000), Tajra5 (2000),

Papert6 (2008) e Moran7 (2007).

Além da pesquisa bibliográfica, foram aplicadas algumas atividades sobre

funções utilizando o software mencionado anteriormente. Esta aplicação foi

realizada com oito alunos concluintes do ensino médio de uma escola estadual de

Santa Catarina e objetivou investigar suas compreensões a respeito de domínio,

imagem, estudo de sinal, esboço e interpretação de gráficos de funções de primeiro

grau e quadráticas.

Ao iniciar as atividades, a pesquisadora fez uma discussão com os alunos

envolvidos na pesquisa sobre algumas situações nas quais as funções polinomiais

eram abordadas, tais como, “a altura de uma criança é função de sua idade; o

salário do vendedor é função do volume de vendas; a área de um quadrado é função

da medida de seus lados” (SANTOS N. 2009. p39). Nesse momento, pôde-se notar

que os sujeitos, após outros exemplos diferentes dos citados, compreenderam o

conceito de função como variação simultânea de duas grandezas.

Em seguida, foi apresentado aos alunos o software Graph, ainda como

processo de familiarização, já que eles relataram que nas aulas de Matemática do

ensino médio não haviam utilizado qualquer recurso computacional. Foram tratadas,

a partir de então, as construções de outras relações de funções com o objetivo de

explorar a visualização gráfica mais detalhadamente, ampliando as análises sobre

os comportamentos das funções e suas variadas formas de representação.

Em um primeiro momento foram trabalhadas as funções polinomiais de

primeiro grau na forma incompleta, ou seja, f(x) = ax, com a≠0, e, em seguida, na

sua forma completa, dada por f(x) = ax + b, com a≠0 e b≠0. Logo após o estudo das

funções polinomiais de primeiro grau, completa e incompleta, e realizada as análises

de suas variações, foram estudadas as funções polinomiais de grau dois, com

4 PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre, Artmed, 2000.192p.

5 TAJRA, Sanmya Feitosa. Informática na Educação: Novas ferramentas pedagógicas para o professor da

atualidade. São Paulo: Érica, 2000.143p. 6 PAPERT, Seymour. A Máquina das Crianças: representando a escola na era da informática. Porto Alegre,

Artmed, 2008. 224p. 7 MORAN, José Manuel. A Educação que desejamos: novos desafios e como chegar lá. Campinas, SP. Papirus, 2007. 174p.

28

exploração dos parâmetros da função, das raízes, dos vértices e dos pontos de

máximo e mínimo. Também houve exploração do registro gráfico de ambas as

funções.

Como resultado, a autora destaca que o uso de softwares matemáticos como

ferramentas para a promoção da aprendizagem pode contribuir no processo de

elaboração dos conceitos relacionados ao ensino de funções. O software Graph dá

uma ênfase maior entre as coordenações de alguns registros, tais como o registro

gráfico e o algébrico, o que proporciona uma melhor condição de aprendizagem em

relação ao estudo de funções.

As possibilidades encontradas no software Graph proporcionaram aos alunos

um novo olhar sobre o conceito de função, evidenciando elementos que

normalmente passam despercebidos quando tal conteúdo é abordado de forma

tradicional, tal como na lousa e/ou em livros didáticos apenas. Isto porque o

dinamismo do software, que permite a rapidez e a facilidade de construção de

gráficos, favorece a investigação e a simulação do comportamento dessas funções.

Paranhos (2009) realizou um trabalho no qual apresentou ideias fundamentais

do Cálculo Diferencial e Integral na resolução de problemas. Fazendo uso dos

softwares Geogebra e Winplot, o autor desenvolveu uma sequência de atividades,

dividida em seis módulos, abordando as ideias básicas de derivada, integral e

maximização de funções. Ele levou em consideração o estudo de funções com uma

e com duas variáveis reais. Não houve uma aplicação experimental, ou seja, a

pesquisa apresentou apenas um repertório de ideias fundamentais do Cálculo

Diferencial e Integral integrando recursos para uma melhor exploração dessas

ideias. O trabalho foi fundamentado na Dialética Ferramenta-Objeto e no Jogo de

Quadros de Régine Douady (2007).

De acordo com a fundamentação apresentada pelo autor, as atividades por

ele propostas foram elaboradas no quadro geométrico e, para isso, ele fez uso de

softwares de geometria dinâmica. Logo após, os gráficos apresentados pelo

programa foram analisados no quadro da geometria analítica, e, em seguida, foram

levados para o quadro das funções e para o quadro algébrico, com o objetivo de

produzir a solução esperada.

29

Os softwares utilizados na pesquisa foram, segundo o autor, adequados ao

desenvolvimento das atividades por apresentarem características para elaboração

de problemas de forma dinâmica, de tal modo que as funções pudessem ser

tratadas e exploradas em diversos quadros.

O autor ainda falou em um repertório representacional para as ideias do

Cálculo Diferencial e Integral, o qual ele apresenta como objeto de sua pesquisa.

Considera-se um repertório representacional o conjunto de representações

preferenciais dos professores, das ideias inerentes ao que se pretende transmitir na

disciplina ministrada.

Ele concluiu que sua pesquisa trouxe como contribuição a questão da

importância do trabalho com representações não tão fixado aos aspectos formais e

de uma abordagem de Cálculo desenvolvida de maneira mais agradável, na qual o

uso de recursos tecnológicos estimulou os estudantes na interpretação e resolução

de problemas. Ainda, ele pôde observar que muitos aspectos conceituais ficaram

mais evidentes e puderam ser mais bem explorados por meio dos recursos do

software.

Melo (2002) fez uma pesquisa objetivando a elaboração e aplicação de uma

sequência de ensino sobre integral, inserida em um ambiente computacional.

A fundamentação teórica desse trabalho foi norteada pela Psicologia

Cognitiva de Jean Piaget e Lev S. Vygostky e pela teoria construcionista de

Seymour Papert.

Sua sequência didática integrou o software Maple e foi composta por quatro

atividades, todas abordando o tema integral. Na primeira ele procurou apresentar a

introdução ao conceito de integral sem se importar com o formalismo exigido do

Cálculo, apenas com atividades envolvendo áreas. Na segunda atividade foi

introduzido o conceito de integral de Riemann, por meio de uma abordagem gráfica.

Na terceira atividade, com abordagem próxima à da segunda, foi desenvolvido o

conceito de integral usando os pontos médios dos intervalos das partições, e, por

fim, a quarta atividade formalizou o conceito de integral em um dado intervalo.

A escolha do software Maple se deu, na definição do pesquisador, por ele

apresentar múltiplas representações, destacando a algébrica e a geométrica, o que

30

facilitaria, na visão do autor, a utilização de cada uma delas para detalhamento no

estudo de funções, limites, derivadas, integrais e outros temas do Cálculo.

A pesquisa contou com trinta alunos de um curso de Matemática de uma

instituição particular de ensino superior, organizados em duplas, uma vez que o

autor previa um ambiente em que houvesse a possibilidade de diálogos, troca de

conjecturas e conclusões.

Os sujeitos de pesquisa ainda não haviam tido contato com o conceito de

integral, somente com tópicos sobre limites e continuidade de funções, conforme

relatou o autor. Inicialmente eles apresentaram algumas dificuldades de manuseio

do software, o que foi sendo sanado ao longo do experimento. Destaca-se que o

software foi apenas uma ferramenta para a construção do conceito de Integral,

sendo o foco do trabalho voltado à interpretação dos resultados obtidos em cada

atividade, tendo por base a fundamentação teórica adotada.

O autor concluiu, por meio dos resultados das aplicações dessa sequência de

ensino, que em um ambiente computacional, o processo de ensino e aprendizagem

de Cálculo passou a ser mais significativo, contextualizado e motivador, tanto aos

alunos quanto aos professores.

Freitas (2009) fez uma pesquisa cujo objetivo foi verificar se a utilização de

um software educativo como o Geogebra possibilitaria a exploração dos registros de

representação e favoreceria os processos de interação do aluno na construção do

conhecimento.

Em seu trabalho a autora buscou identificar que importância os professores

davam ao software Geogebra para o ensino e a aprendizagem de Matemática,

principalmente do ponto de vista representacional, uma vez que o programa permite

a manipulação de pelo menos dois tipos de registros de representação semiótica.

Para essa pesquisa a autora contou com a participação de cinco professores

atuantes na rede estadual de ensino em uma escola da Zona Norte do Estado de

São Paulo. Dois desses professores já tinham conhecimentos prévios de algum

software para o ensino da Matemática e um já havia utilizado o software Winplot.

Foram realizados quatro encontros, uma vez por semana, com duração de

duas horas, sendo realizada, a cada encontro, uma atividade. No primeiro encontro

31

foi apresentada a teoria de registros de representação semiótica de Duval (2003) e

foi realizada uma discussão sobre a importância da interação do aluno com o objeto

de estudo numa visão construtivista. No segundo encontro foram realizadas

construções elementares e exploração das principais características do programa

Geogebra. No terceiro encontro foi explorado o método de inserção das equações

algébricas e foram apresentados alguns outros recursos envolvendo operações. No

quarto e último encontro, além da finalização de atividades do encontro anterior, foi

aplicada uma avaliação para que os professores pudessem avaliar o software e seu

possível uso no ensino da Matemática.

Os professores participantes da pesquisa relataram, após o quarto encontro,

sobre a importância da utilização do Geogebra no ensino, destacando as

possibilidades de acesso aos objetos matemáticos com o manuseio de um ou mais

registros de representação e interação do estudante com a atividade.

Como conclusão a autora relata que um programa educacional como o

Geogebra possibilita uma nova dimensão de contato com os objetos matemáticos

não acessíveis, bem como a possível manipulação entre dois ou mais registros, o

que está de acordo com a fundamentação teórica explorada na pesquisa. Somado a

isso, confere ao estudante participar ativamente no processo da construção do

conhecimento.

Um dos objetivos do trabalho de Santos, S. (2009) foi elaborar uma sequência

de ensino sobre função polinomial do segundo grau integrando um ambiente

informatizado, para favorecer o aprofundamento dos conhecimentos de um grupo de

trinta estudantes do segundo ano do ensino médio de uma escola estadual de São

Paulo. O autor destacou que a escolha dessa série se deu pelo fato de os alunos já

terem visto esse conteúdo anteriormente. Como fundamentação teórica seu estudo

foi embasado na teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval

e na Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau.

Inicialmente foi aplicado um questionário para levantar o perfil dos alunos

participantes e observar quais eram seus conhecimentos a respeito do tema

abordado. Em relação ao perfil dos sujeitos envolvidos, havia nove do sexo

masculino e vinte uma do sexo feminino, todos com idades entre quinze e dezesseis

32

anos, sendo estudantes do período da manhã. A maioria deles utilizava computador

em casa, mas não na escola em aulas de Matemática.

Quanto à análise dos conhecimentos prévios dos alunos com relação ao tema

abordado, foi observado que poucos alunos tinham domínio das funções polinomiais

de segundo grau, fato que motivou o autor a elaborar atividades em ambiente

computacional de modo dinâmico com o objetivo de facilitar a compreensão das

relações entre os registros gráfico e algébrico.

A implementação do ambiente ocorreu no laboratório de informática da

escola, sendo realizados três encontros presenciais. O autor usou como metodologia

de construção do ambiente o Design Instrucional de Filatro (2008) utilizando cinco

fases: análise, desenho, desenvolvimento, implementação e avaliação.

O ambiente foi composto por dez atividades, e, em todas elas, o aluno deveria

fazer anotações ao final de cada uma. As quatro primeiras atividades tinham por

objetivo facilitar a visualização e percepção do aluno que, ao mover o seletor,

observava as implicações das alterações de parâmetros no registro algébrico nas

representações do registro gráfico, o que facilita a conversão entre esses registros.

As três próximas atividades tiveram os mesmos objetivos das anteriores,

porém as funções polinomiais exploradas apresentavam-se na forma canônica

( ) ( ) , com intuito de colaborar para a compreensão da relação entre

essa forma de representação e a forma desenvolvida.

Na etapa seguinte desse experimento o pesquisador buscou explorar

conhecimentos adquiridos pelos sujeitos nas etapas anteriores com atividades onde

eles deveriam sobrepor a curva na forma desenvolvida e também na forma

canônica. Por fim, a última atividade apresentada tinha por objetivo trabalhar com

conversões entre representações dos registros algébrico e gráfico em cada função

polinomial do segundo grau apresentada, totalizando oito funções.

O autor concluiu que o ambiente informatizado e as atividades nele contidas,

bem como sua formatação de apresentação, contribuíram para a compreensão e a

articulação dos registros de representação algébrico e gráfico, bem como no

aprofundamento dos conhecimentos relacionados à função polinomial do segundo

grau.

33

Lucas (2009) apresentou um estudo sobre funções e equações,

especificamente nas equações de 1º e 2º graus e nas funções afim e quadrática.

Este estudo teve como objetivo investigar e analisar a ocorrência de

descontinuidades conceituais na abordagem sobre funções no ensino médio, as

quais normalmente desencadeiam conclusões errôneas sobre as raízes dessas

funções.

Sua pesquisa envolveu doze alunos do ensino médio de um colégio particular

de São Paulo, aplicando neles um instrumento prévio e depois um definitivo,

abordando conceitos gerais de funções e equações. Foi usado como ferramenta de

auxílio o software Graphmática, apenas para os sujeitos plotarem os gráficos sem

perder tempo com esboços feitos no ambiente papel e lápis. O objetivo do

instrumento foi diagnosticar quais eram os conhecimentos mobilizados pelos alunos

para distinguir uma função e uma equação por suas expressões algébricas e, ainda,

a influência dessa distinção na compreensão dos gráficos dessas funções.

O autor fundamentou seus estudos na Teoria de Registros de Representação

Semiótica de Raymond Duval (2003) para compreensão e análise dos protocolos,

valendo-se dos registros na língua natural.

O instrumento piloto foi dividido em duas etapas. Na primeira, o autor a

subdividiu em cinco etapas com atividades que incentivaram os alunos a dar

respostas conceituais e operacionais, todas no ambiente papel e lápis. Já na

segunda etapa, que também foi subdividida em cinco partes, foi utilizado, nas três

primeiras partes, o software Graphmática, envolvendo questões relativas aos

gráficos de funções. As demais partes dessa etapa contemplaram questões

realizadas em ambiente papel e lápis, relacionadas com identificação gráfica de

pontos nos quais suas abscissas representavam raízes de funções, bem como

registros de expressões algébricas de funções com seus valores de raízes dados

nos enunciados.

Dessas atividades encontradas no instrumento piloto, o autor relata que os

sujeitos envolvidos não apresentaram dificuldades que pudessem prejudicar o

entendimento das questões.

34

Uma das conclusões relatadas pelo autor foi que há necessidade das escolas

abordarem conversões entre registros de representação semiótica para a

compreensão do conceito de funções e também para a compreensão da matemática

como um todo, conforme descrito na Teoria de Registros de Representação de

Duval.

Silva (2005) analisou o conhecimento sobre máximos e mínimos em alunos

que já haviam participado de um curso de Cálculo Diferencial e Integral. A pesquisa

foi diagnóstica e embasada na teoria dos registros de representação semiótica de

Raymond Duval (1995). O foco da observação estava no processo ensino-

aprendizagem do conceito de máximos e mínimos abordando quais eram os

sistemas de registros de representação utilizados e as dificuldades nas operações

de tratamento e conversão.

Os sujeitos de pesquisa foram representados por vinte e dois alunos de uma

universidade pública do Estado do Mato Grosso do Sul e foram divididos em grupos

para aplicação de um teste. As questões deste teste diagnóstico foram elaboradas

com o objetivo de realizar observações referentes ao uso das representações

semióticas na resolução de problemas de aplicações dos conceitos de máximos e

mínimos de funções.

Nessa pesquisa o autor fez uma análise de livros didáticos de Cálculo

Diferencial e Integral, num total de cinco títulos, escolhidos pelo critério de maior

utilização por parte dos professores e estudantes pesquisados. A metodologia

utilizada nessa pesquisa foi a Engenharia Didática de Michele Artigue (1988).

Como conclusão, o autor pôde perceber que os alunos apresentavam

dificuldade em reconhecer os vários tipos de registros de representação dos

conceitos de máximo e mínimo de funções de uma variável real. Relatou, também,

que houve problemas com a habilidade de efetuar conversões entre os registros, em

especial, a conversão para o registro gráfico.

No próximo capítulo, apresenta-se a descrição da metodologia de Design

Experiment e sua relação com o presente trabalho.

35

3. METODOLOGIA DA PESQUISA

Dado que este trabalho teve por foco a construção de um experimento de

ensino, objetivando investigar as trajetórias dos estudantes diante de uma nova

abordagem de funções, foi utilizada a metodologia de Design Experiment, conforme

descrição apresentada a seguir.

3.1 A METODOLOGIA DE DESIGN EXPERIMENT

A metodologia de Design Experiment, proposta por Cobb et al. (2003),

norteia a construção de experimentos de ensino para pesquisas em Educação

Matemática, que se originou em meados dos anos setenta nos Estados Unidos. O

surgimento dessa metodologia se deu por dois motivos: pelo fato de serem utilizados

modelos de outras áreas, tais como epistemologia, psicologia e filosofia, para

analisar e entender os desenvolvimentos matemáticos de estudantes, e por haver

uma lacuna entre a prática da pesquisa e a prática de ensino. Daí a necessidade de

um modelo com raízes na Educação Matemática para poder considerar o progresso

de um estudante diante de uma comunicação matemática interativa.

Anteriormente a esse modelo, pesquisas em Educação Matemática

usualmente utilizavam a metodologia experimental, baseada na comparação entre

dois grupos, o de controle e o experimental. Neste caso, selecionavam uma amostra

de sujeitos do grupo experimental e os submetiam a diferentes tratamentos. Em

seguida, eram feitas comparações entre os dois grupos, na intenção de tornar

específicas as diferenças entre eles. Com essa metodologia, a análise conceitual era

omitida e os sujeitos eram meros expectadores, ou seja, não participavam da

construção dos processos metodológicos no contexto dos episódios de ensino, ao

contrário dos Design Experiments, que têm como interesse principal os significados

construídos pelos estudantes.

Conforme Cobb et al. (2003), Design Experiment caracteriza-se como sendo

um tipo de metodologia que possui o objetivo de analisar processos de

aprendizagem de domínios matemáticos específicos. Contudo, eles não são

considerados como uma simples coleção de atividades direcionadas à

36

aprendizagem de um determinado domínio. O autor usa uma metáfora para

descrever essa metodologia como sendo uma ecologia de aprendizagem, devido ao

complexo sistema que ela representa envolvendo vários elementos de tipos e níveis

distintos.

Ainda dentro do contexto de uma ecologia de aprendizagem, existe um

cuidado em elaborar atividades segundo a metodologia de Design Experiment,

referente às questões que serão propostas aos estudantes, ao discurso

desenvolvido, às regras de participação, às ferramentas e materiais utilizados e ao

significado das relações entre esses elementos. Todo trabalho oriundo de um

Design Experiment tem que explicar seu funcionamento e dar sugestões de

adaptações a cada nova circunstância, tendo a possibilidade de gerar e testar novas

hipóteses.

Para Cobb et al. (2003), se a ênfase está focada na análise do pesquisador

acerca do pensamento matemático dos estudantes e das possíveis mudanças

desses pensamentos, o Design Experiment é considerado como sendo um método

científico de investigação. Sendo assim, o pesquisador provoca situações em que o

aluno é convidado a modificar seus pensamentos usuais, e, sem uma contribuição

individual por parte dos alunos, essa metodologia fica sem razão científica para ser

conduzida.

Há a possibilidade de o design ocorrer entre o professor-pesquisador e um

grupo restrito de estudantes ou como experimentos aplicados em classes com maior

número de pessoas. Ainda, o design pode ser voltado a reestruturações escolares, a

um grupo de professores, dentre outras modalidades. De qualquer forma, uma

característica do design é a ruptura entre a divisão dos papéis de professor,

pesquisador e aluno, pois todos fazem parte do processo e são vistos como

colaboradores. Vale dizer que não há um tempo pré-estabelecido, ou seja, as

atividades podem durar tempos aleatórios.

Ressalta-se que este tipo de metodologia possui características comuns,

independente da função e do foco em que se dá o trabalho. Cobb et al. (2003)

afirmam que na metodologia do Design Experiments destacam-se cinco

características convergentes.

37

Primeiramente, ela tem por objetivo desenvolver uma classe de teorias sobre

o processo de aprendizagem e sobre os meios que são projetados para suportar a

aprendizagem.

A segunda característica é sua característica altamente intervencionista. Os

estudos em design são bancos de ensaio para inovações, ou seja, investigam-se

novas formas de aprendizagem visando mudanças educacionais. Há um cuidado a

ser tomado durante a construção do Design Experiment, que consiste em distinguir

os elementos que são alvos da investigação daqueles que poderiam ser

considerados pré-requisitos.

A terceira característica do design refere-se aos seus dois aspectos, um

prospectivo e outro reflexivo. No aspecto prospectivo, o design é realizado como um

modelo de aprendizagem hipotetizado, já no aspecto reflexivo, as conjecturas são

implementadas em diversos níveis de análise.

Ambos os aspectos, quando considerados conjuntamente, formam a quarta

característica do design, que consiste em seu aspecto iterativo. Sobre as

conjecturas geradas, se refutadas, podem ser desenvolvidas novas conjecturas as

quais serão novamente testadas. O resultado é um processo de design iterativo e

cíclico, que caracteriza os ciclos de invenção e de revisão. Há uma notória quebra

da visão tradicional sobre a participação dos pesquisadores, professores e

estudantes que em outros casos possuem papeis fixos e definidos.

A quinta característica recai novamente sobre suas raízes pragmáticas. As

teorias desenvolvidas durante o processo são humildes não somente no sentido de

que estão preocupadas com um domínio específico do processo de aprendizagem,

mas também porque são responsáveis pela atividade de design.

Segundo Karrer (2006), para iniciarmos com esse tipo de metodologia, é

necessário estabelecer as etapas que direcionarão sua construção. Primeiramente,

deve-se definir qual é a intenção teórica da pesquisa, identificando e descrevendo

modelos sucessivos do pensamento do estudante. Além disso, o levantamento

bibliográfico é importantíssimo para auxiliar na delimitação dos elementos que

representam o objetivo da investigação.

38

Neste sentido, o presente trabalho teve por intenção teórica a exploração de

registros, sendo o experimento construído a partir das evidências identificadas na

literatura, as quais apontaram a importância da integração das representações

semióticas, as dificuldades dos estudantes nas conversões que envolviam o registro

gráfico, as vantagens do uso de ambientes computacionais dinâmicos e a

importância de uma entrada experimental antes da formalização do conceito.

A seguir, apresenta-se a relação dessa metodologia com o presente estudo.

3.2 RELAÇÃO DA METODOLOGIA COM O PRESENTE ESTUDO

Dada à característica do presente trabalho, que objetivou elaborar e aplicar

um experimento de ensino sobre funções polinomiais, de forma a adaptá-lo de

acordo com as produções dos estudantes, selecionamos a metodologia do Design

Experiment por ela ser um modelo dinâmico e cambiável, podendo ser realizadas

atividades passíveis de remodelação, conforme o desempenho dos alunos

envolvidos.

Consideramos que uma de suas características é favorecer a investigação

das trajetórias dos estudantes, ou seja, as compreensões dos conceitos que estão

sob investigação pelo pesquisador durante a atividade ainda em andamento.

3.2.1 Sujeitos

Os sujeitos dessa pesquisa foram organizados em dois grupos. O primeiro

contou com quatro sujeitos, estudantes do segundo ano de Licenciatura em

Matemática de uma faculdade particular do Estado de São Paulo, com faixa etária

entre vinte três e trinta e sete anos. Eles já haviam tido contato com a disciplina de

Cálculo I e sabiam os conceitos básicos de derivadas de funções polinomiais.

Esse primeiro grupo participou da aplicação preliminar, a qual objetivou

avaliar se os enunciados das atividades necessitavam de reformulações, antes da

aplicação do experimento ao grupo principal. A escolha desses sujeitos se deu pelo

39

fato de já estudarem na própria universidade em que a coleta foi realizada. Além

disso, a instituição possuía quatro laboratórios de Informática com o software

Geogebra instalado em todos os computadores, favorecendo o acesso dos

estudantes ao local da pesquisa.

Esses sujeitos já haviam tido contato com o software Geogebra e, portanto,

tal fato dispensou uma capacitação a priori. Para retomar alguns comandos, o

ambiente proposto aos sujeitos possuía vídeos explicativos de alguns comandos

requeridos pelo programa.

Essa primeira fase objetivou investigar se os enunciados das atividades

estavam claros e se haveria necessidade de alguma reformulação, antes da

aplicação ao grupo principal.

Na aplicação definitiva das atividades do experimento, contamos com dois

sujeitos, o aluno A, do sexo masculino, e o aluno B, do sexo feminino, ambos

estudantes do segundo ano de Licenciatura em Matemática da mesma universidade

particular dos sujeitos da aplicação preliminar. No momento da aplicação, a idade do

aluno A era de vinte e cinco anos e o aluno B possuía trinta e seis anos. Ambos

possuíam conhecimentos iniciais sobre derivadas de funções polinomiais, tinham

facilidades em usar o computador e conheciam o software Geogebra. O

conhecimento que já possuíam do conteúdo representava o pré-requisito necessário

para desenvolver o experimento, referente à introdução ao conceito de derivada,

englobando somente a interpretação geométrica da derivada de uma função em um

ponto e o cálculo de derivadas. Até o momento da aplicação desse design, eles não

haviam tido qualquer contato com a análise da relação da primeira derivada com

questões de crescimento e decrescimento e da relação da segunda derivada com

questões de concavidade, uma vez que a intenção era introduzir esses tópicos por

meio de nosso experimento.

3.2.2 O Professor-Pesquisador

Na metodologia de Design Experiment, o professor–pesquisador tem o papel

de conduzir o experimento de forma a se adequar à metodologia utilizada, ou seja,

fazendo intervenções apenas nos momentos de bloqueio, propondo novos

40

questionamentos e outras situações, assumindo o papel de orientador do processo.

Ele também tem a responsabilidade de identificar e realizar os ajustes necessários

nos momentos críticos que surgirem durante a condução do experimento. Essa foi a

postura adotada pelo professor-pesquisador do presente estudo. As intervenções

realizadas pelo professor-pesquisador na condução do design estão detalhadas no

capítulo referente à análise da aplicação definitiva do experimento.

3.2.3 Material e ambiente de trabalho

Com o primeiro grupo, o experimento foi realizado no laboratório de

informática da Universidade no período noturno. Foi utilizado um computador para

cada aluno, sendo que em todos eles o software Geogebra e o plug-in javaruntime

foram instalados para rodar os applets do experimento. Além do ambiente

computacional, os alunos foram munidos de fichas de atividades para interagir com

o ambiente. Já o segundo grupo contou com o mesmo instrumental e o experimento

foi realizado no período noturno e aos sábados. Além da produção escrita coletada

por meio dessas fichas, foram consideradas, para análise dos dados, as produções

orais e as telas dos computadores utilizados pelos sujeitos.

3.2.4 Previsão de aplicação

A proposta inicial era de que os alunos executassem o arquivo intitulado

index.html e explorassem o ambiente, que fizessem a leitura dos textos propostos,

assistissem aos vídeos tutoriais sobre alguns comandos do Geogebra, apenas para

maior familiarização com o programa. Após isso, esperava-se que iniciassem as

atividades. Inicialmente previa-se a aplicação das atividades em duas sessões,

porém, dado que o professor-pesquisador evidenciou a necessidade de

reformulações, conforme previsto pela metodologia adotada, foi necessário mais um

encontro.

No próximo capítulo, apresenta-se a descrição do objeto matemático

explorado neste estudo.

41

4. DESCRIÇÃO DO OBJETO MATEMÁTICO

Apresenta-se, nesse capítulo, o embasamento matemático dos conceitos

envolvidos nessa pesquisa, referente ao estudo da variação das funções.

4.1 ANÁLISE DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES

Inicialmente apresenta-se uma noção intuitiva desses dois conceitos. Seja f

uma função definida em um intervalo e sejam pontos desse intervalo.

(a) é dita crescente no intervalo se ( ) ( ) para .

(b) é dita decrescente no intervalo se ( ) ( ) para .

(c) é dita constante no intervalo se ( ) ( ) para todos os pontos

.

Figura 1: Exemplos do comportamento das funções Fonte: ANTON (2007, p.268)

4.2 TEOREMA DO VALOR MÉDIO

TEOREMA: Seja contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo

aberto . Então existe pelo menos um ponto c em ] , tal que:

( ) ( ) ( )

Fonte: ANTON (2007, p. 331)

42

De acordo com Anton (2007), entre dois pontos ( ( )) e ( ( ))

quaisquer de uma função diferenciável , existe pelo menos um ponto onde a reta

tangente ao gráfico de f é paralela à reta secante que passa por A e B, conforme

ilustrado na figura a seguir.

Figura 2 : Gráfico Representando o TVM Fonte: Acervo Pessoal

Note que a inclinação da reta secante que passa por ( ( )) e ( ( )) é

dada por:

( ) ( )

E a inclinação da reta tangente em C é ( ), portanto temos:

( ) ( ) ( )

4.3 ANÁLISE DE FUNÇÕES: CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E

CONCAVIDADE.

Apresenta-se, neste momento, outro tipo de análise de crescimento e

decrescimento de funções, por meio de elementos do Cálculo Diferencial. Em certos

casos, a análise apresentada no item 4.1 demanda um esforço muito maior para

43

determinar os intervalos de crescimento ou decrescimento, o que leva à

necessidade de introduzir uma nova forma de análise.

Os termos crescente e decrescente são utilizados para descrever o

comportamento de uma função em um intervalo, à medida que percorremos o

gráfico no sentido da esquerda para direita.

Figura 3: Comportamento da Função Fonte: Acervo Pessoal

Numa observação intuitiva da figura apresentada anteriormente, sugere-se

que uma função diferenciável é crescente em qualquer intervalo onde cada reta

tangente ao gráfico tenha inclinação positiva e decrescente em qualquer intervalo

onde cada reta tangente ao gráfico tenha inclinação negativa, o que nos leva ao

seguinte teorema.

TEOREMA: Seja uma função contínua em um intervalo fechado e

diferenciável no intervalo aberto .

a) Se ( ) para todo valor de x em , então é crescente em .

b) Se ( ) para todo valor de x em , então é decrescente em

.

c) Se ( ) para todo valor de x em , então é constante em .


Considerando como exemplo duas funções utilizadas no presente trabalho,

apresenta-se a análise de seus intervalos de crescimento e decrescimento por meio

de derivadas.

44

A primeira função é ( ) . Tomemos sua derivada ( ) .

Agora fazendo ( ) .

( )

( )( )

Pela resolução anterior e pelo diagrama de flechas, que representa o estudo

da variação de sinais de , observa-se que ( ) e em e

( ) . O que podemos dizer seguramente, baseado no teorema

apresentado anteriormente, que a função ( ) é crescente nos intervalos

e [ e decrescente no intervalo [

A segunda função é ( ) . Tomemos sua derivada

( ) . Agora fazendo ( )

( )

( )

( )( )

Conforme a resolução acima e pelo diagrama de flechas, que representa o

estudo da variação de sinais de , observa-se que ( ) em e em

e ( ) em e em . Esse resultado nos garante dizer, pelo

teorema citado anteriormente que, a função ( ) é crescente nos

intervalos e [ e decrescente nos intervalos e [ .

Embora o sinal da primeira derivada de f mostre os intervalos onde o gráfico

cresce ou decresce, ele não é ainda capaz de revelar a direção da curvatura do

gráfico, ou seja, se está curvado para cima ou curvado para baixo. Para os

intervalos onde o gráfico de f tiver uma curvatura para cima dizemos que ele é

45

côncavo para cima, e nos intervalos em que o gráfico tiver uma curvatura para baixo,

dizemos que ele é côncavo para baixo.

Figura 4: Concavidade dos gráficos Fonte: Arquivo Pessoal

Para o estudo da concavidade das funções utiliza-se o seguinte teorema.

TEOREMA: Seja uma função duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I.

a) Se ( ) para cada valor de em I, então f é côncava para cima em I.

b) Se ( ) para cada valor de em I, então f é côncava para baixo em I.


Em um mesmo gráfico é possível que se tenham as duas formas de

concavidade, ou seja, muda de côncavo para cima para côncavo para baixo, por

exemplo, e o ponto em que isso ocorre é um elemento de interesse de estudo

chamado ponto de inflexão. Sua definição será dada a seguir:

DEFINIÇÃO: Se f é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto e muda de

concavidade no ponto ( ( )), então dizemos que o ponto do domínio, ou

ponto ( ( )) do gráfico, é um ponto de inflexão de f.


46

Analisa-se, neste momento, a aplicação do teorema sobre a concavidade nas

duas funções polinomiais citadas anteriormente, as quais estão presentes em nosso

experimento.

Para a função ( ) , teremos:

( )

Temos que

( )

Portanto, a função terá concavidade voltada para cima para , e,

analogamente sua concavidade será voltada para baixo para . Conforme ilustra

a figura 5.

Figura 5: Concavidades da função ( ) . Fonte: Acervo Pessoal

Observamos que a função dada anteriormente muda de concavidade quando

, ou seja, a função é côncava para cima quando e côncava para baixo

quando , isso nos leva a concluir que o ponto ( ( )) é ponto de inflexão.

47

Para a função ( ) , teremos:

( )

Temos que:

( )

Então para ( ) temos √

√

, analogamente, para ( )

temos √

ou

√

, conforme ilustra a figura 6.

Figura 6: As concavidades da função ( ) Fonte: Acervo Pessoal

Observamos que a função dada anteriormente muda de concavidade quando

√

e

√

, ou seja, a função é côncava para cima quando

√

√

e

côncava para baixo quando √

ou

√

, isso nos leva a concluir que os

pontos ( √

(

√

)) e (

√

(

√

)) são pontos de inflexão.

48

4.4 POLINÔMIOS

Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma:

( )

Os números são denominados coeficientes do polinômio, sendo

que o coeficiente é chamado de coeficiente dominante, pois multiplica a potência

mais alta de .

4.5 ANÁLISE DE POLINÔMIOS

Segundo Anton (2007), o significado da expressão “esboçar uma curva” está

associado ao uso de Cálculo Diferencial para ajudar no desenvolvimento do esboço

dessa curva desenhada à mão. Como os gráficos hoje em dia podem ser plotados

por meio de softwares, assim como o Geogebra, por exemplo, houve uma mudança

no propósito de esboçar uma curva. Sendo assim, o objetivo de esboçar curvas

consiste em retirar as informações que o gráfico revela sobre as funções.

Dentre as diversas funções, as polinomiais são normalmente consideradas as

mais simples de serem esboçadas e analisadas. Anton (2007, p.284-285) destaca

algumas principais características significativas dos polinômios:

O domínio de um polinômio é .

Os polinômios são contínuos em toda parte.

Os polinômios são diferenciáveis em toda parte, de modo que seus gráficos

não têm bicos nem retas tangentes verticais.

O gráfico de um polinômio (não constante) sempre cresce ou decresce

quando ou . Esse fato se deve porque o limite de um polinômio

não constante quando ou quando é sempre , dependendo

do sinal do termo de maior grau e se o polinômio é de grau par ou impar.

O gráfico de um polinômio de grau n (>2) tem no máximo n cortes com o eixo

, no máximo extremos relativos e pontos de inflexão. Isso porque

todos os itens citados anteriormente estão entre as soluções reais das

49

equações ( ) ( ) ( ) , e os polinômios dessas equações

têm grau , respectivamente.

No capítulo seguinte, serão apresentadas as atividades referentes ao design

inicial proposto.

50

5. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES

Neste capítulo, inicialmente é descrito o ambiente de ensino elaborado, o qual

está disponível em CD-ROM. Em seguida são apresentadas as atividades do

design, acompanhadas de sua análise prévia. Por fim, são descritas as alterações

nos enunciados que se mostraram necessárias após a aplicação preliminar,

culminando no design reformulado, o qual foi aplicado ao grupo principal. Salienta-se

que esta aplicação preliminar teve apenas o objetivo de avaliar o instrumento

elaborado. Desta forma, as atividades foram aplicadas sem a intervenção do

professor-pesquisador, tendo em vista que a intenção era a de verificar se seus

enunciados estavam compreensíveis e se havia necessidade de reformulações no

instrumento antes da aplicação final.

Já na aplicação principal, o objetivo consistiu em investigar as produções dos

alunos com base na fundamentação teórica adotada, observando se a abordagem

proposta favoreceria as conversões e os tratamentos entre representações e se o

software contribuiria neste processo.

5.1 APRESENTAÇÃO DO AMBIENTE

O ambiente é composto por quatro partes. Para acessá-las, há uma página

inicial. Essa página é um arquivo html e está intitulado index.html. Ao abri-lo, o aluno

terá a opção de navegar por onde for conduzido pelo professor-pesquisador. A tela

inicial é apresentada na figura 7.

51

Figura 7: Tela inicial do experimento Fonte: Acervo Pessoal

Os quatro botões iniciais levam os sujeitos a outras telas, cada qual com suas

especificidades. Vejamos a seguir o que há em cada uma.

Atividades: Nesse espaço constam as atividades no formato de applets (que

são aplicativos elaborados no GeoGebra e exportados como páginas da web)

sendo que o aluno, ao interagir com esses applets, poderá responder um

questionário preparado para essas atividades no intuito de levantar as bases

dessa pesquisa.

52

Figura 8: Tela do ambiente ATIVIDADES Fonte: Acervo Pessoal

Textos: Nessa página são disponibilizados alguns textos que tratam do

assunto estudado, como por exemplo, temas relativos aos registros de

representações semióticas, aos polinômios, à informática na educação,

dentre outros. Todos os textos estão no formato pdf (portable document file),

e objetivam auxiliar o aluno para um esclarecimento mais abrangente sobre o

tema abordado na pesquisa.

53

Figura 9: Tela do Ambiente TEXTOS Fonte: Acervo Pessoal

Vídeos: Esse espaço contém vídeos tutoriais do programa Geogebra,

destacando alguns comandos e ferramentas mais utilizados.

Figura 10: Tela do ambiente VIDEOS Fonte: Acervo Pessoal

54

GeoGebra: É uma página que faz uma ligação com a página principal do

programa e tem como intenção dar um panorama mais geral da importância

do software no ensino da Matemática.

Figura11: Tela do Ambiente GEOGEBRA Fonte: Acervo Pessoal

5.2 APRESENTAÇÃO DAS ATIVIDADES DO EXPERIMENTO - DESENHO

INICIAL

5.2.1 Atividade 01

A Atividade 01, composta pelas situações 01-A, 01-B, 01-C, tratou da análise

de crescimento e decrescimento de uma função. Na situação 01-A, foi abordado um

exemplo de função polinomial de grau três, na situação 01-B um exemplo de grau

quatro e na situação 01-C um exemplo de grau cinco.

5.2.1.1 Atividade 01 – Situação 01-A – Análise preliminar

Nessa situação foi proposta a função ( ) , no intervalo de

, com o objetivo de fornecer ao estudante um ambiente favorável para

identificar, movimentando o seletor vermelho, os intervalos de crescimento e de

decrescimento da função. Esperava-se que o dinamismo do software pudesse

favorecer essa investigação. Na tela foi apresentada uma representação do registro

55

gráfico. No registro da língua natural materna, eram apresentadas as instruções da

atividade e, no registro algébrico, a função estudada.

Figura 12: Atividade 01A Fonte: Acervo Pessoal

Para essa atividade, os questionamentos propostos no ambiente papel e lápis

foram os seguintes:

Atividade 01A

Pergunta 01-A: Em qual (is) intervalo(s) a função é crescente? E decrescente?

Pergunta 02-A: No intervalo -2 ≤ x ≤ 0, qual o maior valor possível de y(A)? __

Pergunta 03-A: No intervalo 0 ≤ x ≤ 2, qual o menor valor possível de y(A)? __

Quadro 4: Atividade 01A no ambiente papel e lápis Fonte: Acervo Pessoal

Esperava-se que o aluno conseguisse, relacionando representações dos

registros gráfico, algébrico e da língua natural materna, identificar os intervalos em

que a função era crescente e os intervalos em que era decrescente, deslocando o

seletor vermelho. A pergunta 01-A teve por objetivo verificar se a investigação na

56

representação gráfica favoreceria a análise do crescimento/decrescimento da

função. As perguntas 02-A e 03-A tiveram por objetivo analisar se, no intervalo dado,

a função possuía um valor de máximo local e de mínimo local.

Para a resolução desta atividade, esperava-se que os estudantes

estabelecessem principalmente conversões entre representações dos registros

gráfico, algébrico e da língua natural.

5.2.1.2 Atividade 01 - Situação 01- B – Análise preliminar

Nessa situação foi estudado o comportamento da função ( ) ,

no intervalo . Da mesma forma que a atividade 1A, essa situação teve por

objetivo propor ao estudante um ambiente de investigação, para que ele

identificasse, movimentando o seletor vermelho, os intervalos de crescimento e

decrescimento da função para o caso de uma função polinomial de quarto grau.

Essa atividade também possuiu os mesmos registros de representação semióticas

envolvidos na atividade 1A descrita anteriormente.

Figura 13:Atividade 01B Fonte: Acervo Pessoal

57

Essa atividade representou apenas uma diversificação da atividade 1A, pois a

intenção era que fosse usada mais de uma função polinomial com grau maior do que

dois.

Para essa situação, os questionamentos propostos no ambiente papel e lápis

foram os seguintes:

Atividade 01B

Pergunta 01-B: Em qual (is) intervalo(s) a função é crescente? E decrescente?

Pergunta 02-B: No intervalo -2≤x≤-1, qual foi o maior valor de y(A)? _______

Pergunta 03-B: No intervalo -1≤x≤1, qual foi o menor valor de y(A)?_______

Pergunta 04-B: No intervalo 1≤x≤2, qual foi o maior valor de y(A)?________

Quadro 5:Atividade 01B no ambiente papel e lápis Fonte: Acervo Pessoal


registros gráfico, algébrico e da língua materna, identificar os intervalos em que a

função era crescente e os intervalos em que era decrescente, por meio da

manipulação do seletor vermelho. A pergunta 01-B teve como objetivo investigar se

o trabalho no registro gráfico favoreceu a análise de crescimento/decrescimento da

função. As perguntas 02-B, 03-B e 04-B tiveram por objetivo analisar se, no intervalo

dado, a função possuía um valor de máximo local e de mínimo local.




5.2.1.3 Atividade 01 - Situação 01-C – Análise preliminar

Nessa atividade foi estudado o comportamento da função ( ) ,

no intervalo . Novamente o objetivo foi propor aos alunos, por meio da

manipulação do seletor vermelho, a investigação dos intervalos de crescimento e

decrescimento da função, neste momento para o caso de uma função de grau cinco.

Na tela era apresentado o registro gráfico. No registro da língua natural materna

58

eram apresentadas as instruções da atividade e, no registro algébrico, a função

estudada.

Figura 14: Atividade 01C Fonte: Acervo Pessoal

Para essa atividade, os questionamentos propostos no ambiente papel e lápis

foram os seguintes:

Atividade 01C

a) Determinar quais são os intervalos em que a função polinomial

estudada é crescente e quais são os intervalos em que é decrescente.

Quadro 6: Atividade 01C no ambiente papel e lápis Fonte: Acervo Pessoal

59


registros gráfico, algébrico e da língua materna, identificar que os intervalos em que

a função era crescente eram [-1,65; -0,65] e [0,65;1,65] e os intervalos em que ela

era decrescente eram [-2,5; -1,65] , [-0,65; 0,65] e [1,65; 2,5] , considerando a

aproximação de duas casas decimais estabelecida no ambiente computacional.




5.2.2 Atividade 02

A Atividade 02, composta pelas situações 02-A e 02-B, teve por objetivo

fornecer um ambiente favorável para que o estudante pudesse relacionar o

crescimento e decrescimento da função com o sinal do coeficiente angular da reta

tangente ao gráfico da função em um ponto. Na situação 02-A, foi abordado um

exemplo de função polinomial de grau três e na situação 02-B um exemplo de grau

quatro.

5.2.2.1 Atividade 02 - Situação 02-A – Análise preliminar

Nessa atividade a função estudada foi ( ) no intervalo de ,

com o objetivo de observar, a cada movimento do seletor, que havia uma relação

entre os intervalos de crescimento e decrescimento da função com o sinal do

coeficiente angular da reta tangente em um ponto A presente no gráfico de f.

Esperava-se que os estudantes percebessem, por exemplo, que o sinal positivo do

coeficiente angular da reta tangente se dava no intervalo em que a função era

crescente. Na tela era apresentada uma representação do registro gráfico e, ao seu

lado, uma representação do registro simbólico na forma tabular, contendo

informações do sinal do coeficiente angular da reta tangente no ponto A. No registro

da língua natural materna eram apresentadas as instruções da atividade e no

registro algébrico a função estudada. Esperava-se que o aspecto dinâmico do

software pudesse favorecer esse tipo de investigação.

60

Figura 15:Atividade 02A Fonte: Acervo Pessoal

Para essa atividade os questionamentos propostos no ambiente papel e lápis

foram os seguintes:

Atividade 02A

a) Em quais intervalos a reta tangente no ponto A tem inclinação positiva?

b) Em quais intervalos a reta tangente no ponto A tem inclinação negativa?

c) Em quais intervalos a função f é crescente?

d) Em quais intervalos a função f é decrescente?

e) Compare os valores encontrados nos itens anteriores. O que pode perceber

em relação a esses valores?

Quadro 7: Atividade 02A no ambiente papel e lápis. Fonte: Arquivo Pessoal

As perguntas dos itens a e b tiveram por objetivo analisar se os alunos, por

meio de conversões do registro gráfico para a língua natural e do gráfico para o

61

algébrico, apresentariam os intervalos onde a tangente era positiva ou negativa. As

perguntas dos itens c e d objetivaram fornecer ao aluno uma forma de organização

dos intervalos de crescimento e decrescimento para, em seguida, fazer uma

comparação entre os itens a e b e os itens c e d. Esperava-se que o aluno

percebesse que são os mesmos intervalos e conjecturasse, no item e, que, quando

a reta tangente possuísse inclinação positiva, a função teria comportamento

crescente e, quando a reta tangente possuísse inclinação negativa, a função teria

comportamento decrescente.

5.2.2.2 Atividade 02 - Situação 02-B – Análise preliminar

Nessa atividade foi estudado o comportamento da função ( ) ,

no intervalo . O objetivo dessa atividade foi o de relacionar o sinal da

derivada da função com o seu crescimento/decrescimento. Neste caso, tratou-se de

um exemplo de função polinomial com grau quatro. Pode-se observar que nesta

atividade era esperado que o estudante relacionasse o sinal da derivada com o sinal

do coeficiente angular da reta tangente, dado que a interpretação geométrica do

sinal da derivada já consistia em um pré-requisito desses estudantes.

Na tela, poderia ser observada, ao lado da representação do registro gráfico

da função, uma representação do registro da língua natural materna, com

informações sobre a inclinação da reta tangente no ponto A, presente na

representação do registro gráfico. Essa atividade também possuiu os mesmos

registros de representações semióticas envolvidos na atividade 2A descrita

anteriormente.

62

Figura 16:Atividade 02B Fonte: Acervo Pessoal

Para essa atividade os questionamentos no ambiente papel e lápis foram os

seguintes:

Atividade 02B

a) Complete a tabela, colocando os intervalos, no que se pede.

b) Compare os valores encontrados nas colunas da tabela acima e diga o que

pode ser percebido em relação a esses valores?

Quadro 8: Ambiente 02B no ambiente papel e lápis. Fonte: Arquivo Pessoal

63

O item a teve por objetivo coletar informações relacionadas aos intervalos de

crescimento e decrescimento da função. Esperava-se que, ao completar essa

tabela, o aluno estabelecesse a relação entre as colunas A e C e B e D,

apresentando, no item b, a influência do sinal da derivada no crescimento ou

decrescimento da função. Na coluna E era esperado que o aluno observasse que

nos pontos de máximo local, que no caso da função estudada eram os pontos (-1,3)

e (1,3), a derivada era nula.

No item a, esperava-se que o estudante realizasse conversões entre

representações dos registros gráfico e algébrico. Em seguida, no item b, esperava-

se que ele relatasse na língua natural os resultados observados.

5.2.3 Atividade 03

A Atividade 03, composta pelas situações 03-A e 03-B, tratou da análise do

sinal de uma função. Na situação 03-A, foi abordado um exemplo de função

polinomial de grau quatro e, na situação 03-B, dois exemplos, sendo um de função

polinomial de grau três e outro de grau 4.


Nessa atividade a função estudada foi ( ) no

intervalo . O objetivo era que o aluno analisasse em que intervalos a

função era positiva e em que intervalos ela era negativa. Para isso o aluno deveria

deslizar o seletor denotado por “a” e perceber o sinal de y(A), sendo A um ponto

pertencente à representação da função no registro gráfico. Na tela eram

apresentadas duas representações, uma do registro gráfico e uma do registro

simbólico na forma tabular, contendo informações do ponto A, presente no gráfico.

No registro da língua natural materna, eram apresentadas as instruções da atividade

e no registro algébrico a função estudada.

64


No ambiente papel e lápis havia um informativo antes de iniciar a atividade

em si, para que o aluno recordasse o conceito de função positiva e função negativa,

conforme apresentado no quadro a seguir.

Quadro 9: Definição de função positiva e negativa dada no ambiente papel e lápis. Fonte: Acervo Pessoal

65

Em seguida os questionamentos no ambiente papel e lápis foram:

Atividade 3A

a) Em quais intervalos a função é positiva?

b) Em quais intervalos a função é negativa?

c) Quais são as raízes da função estudada?

Quadro 10: Atividade 03A no ambiente papel e lápis. Fonte: Acervo Pessoal

As questões no ambiente papel e lápis da atividade 3A tiveram por objetivo

fornecer ao aluno situações de levantamento dos intervalos onde a função era

positiva e onde era negativa. A importância dessa e das demais atividades que se

seguem será perceptível nas atividades que pedem a análise do comportamento da

função baseada no sinal das derivadas, o que ocorrerá nas atividades 04A e 04B.

Com os itens a, b e c, esperava-se que o estudante estabelecesse

conversões entre representações dos registros gráfico, algébrico e da língua natural.


Nessa atividade, que teve o mesmo objetivo da anterior, foram estudadas

duas funções. Os registros explorados nesta situação foram os mesmos da situação

anterior.

66

Figura 18: Atividade 03B - Função 01 Fonte: Acervo Pessoal

Figura 19: Atividade 03B - Função 02 Fonte: Acervo Pessoal

67

Para essa atividade, os questionamentos no ambiente papel e lápis foram os

seguintes:

Atividade 03B

a) Clique no botão “Função 01” e complete a tabela no que se pede.

b) Clique no botão “Função 02” e a seguir complete a tabela.

Quadro 11:Atividade 03B no ambiente papel e lápis. Fonte: Arquivo Pessoal

O objetivo de cada tabela consistiu em identificar os intervalos obtidos pela

análise da representação gráfica, ao se mover o seletor. Neste caso, esperava-se

que os estudantes estabelecessem conversões entre representações do registro

gráfico, simbólico-tabular e algébrico.

5.2.4 Atividade 04


fornecer um ambiente favorável para que o estudante pudesse relacionar o

crescimento e decrescimento da função com o sinal da função derivada. Na situação

04-A, foi abordado um exemplo de função polinomial de grau três e na situação 04-B

um exemplo de grau quatro.

68


Nessa atividade a função estudada foi ( ) no intervalo .

O objetivo era que o aluno analisasse em quais intervalos a função f era crescente e

comparasse com os intervalos em que a função derivada de f era positiva. O mesmo

se esperava para os intervalos onde a função f era decrescente, ou seja, a

associação disso com os intervalos nos quais a função derivada de f era negativa.

Para isso o aluno deveria deslizar o seletor denotado por “a” e perceber o

movimento do ponto A, sendo A um ponto pertencente à representação da função

no registro gráfico. Na tela eram apresentadas duas representações no registro

gráfico. No registro da língua natural materna, eram apresentadas as instruções da

atividade e no registro algébrico a função estudada. Havia a possibilidade de exibir

e/ou ocultar uma reta tangente ao gráfico no ponto A, com objetivo de auxiliar a

observação da relação entre o sinal da derivada e a inclinação dessa reta tangente

com o comportamento da função em dado intervalo. Na tela, também se contava

com a opção do comando “exibir derivada”, que permitia que o gráfico da função

derivada fosse exibido no mesmo par de eixos da função f, para auxiliar na

visualização do comportamento da função f em relação ao sinal da função derivada

de f.


69


seguintes:

Atividade 04A

a) Em quais intervalos f’ é positiva?

b) Em quais intervalos f’ é negativa?

c) Em quais intervalos f é crescente?

d) Em quais intervalos f é decrescente?

e) Comparando os resultados obtidos anteriormente, o que se pode observar?


Os itens a e b tiveram por objetivo coletar informações relacionadas aos

intervalos onde a função derivada era positiva e/ou negativa. Os itens c e d tiveram

por objetivo coletar informações relacionadas aos intervalos onde a função derivada

era crescente e/ou decrescente. Esperava-se que, ao responder esses itens, o aluno

estabelecesse a relação entre as perguntas dos itens a e b com as perguntas dos

itens c e d, apresentando, no item e, a influência do sinal da derivada da função f na

análise do crescimento ou decrescimento da função f.

Para a resolução dessa atividade, esperava-se que o estudante realizasse

uma operação de tratamento entre representações gráficas da função f e de sua

derivada. Em seguida, no ambiente papel e lápis, esperava-se que o aluno fizesse

conversões entre os registros gráfico e da língua natural ou entre gráfico e algébrico.

No item e era esperado que o aluno relatasse, na língua natural, os resultados

observados.


Nessa atividade, que teve o mesmo objetivo da anterior, foi estudada a função

( ) no intervalo e a sua derivada. Os registros explorados

70

nesta situação foram os mesmos da situação anterior, bem como as características

das telas apresentadas.

Figura 21: Atividade 04B Fonte: Acervo Pessoal


seguintes:

Atividade 04B

a) Mova o seletor “a” com o mouse. Clique na caixa de opção “exibir tangente”.

Em seguida complete a tabela no que se pede.

b) Comparando os resultados observados na tabela anterior, o que se pode

observar? Faça suas anotações.

Quadro13: Atividade 04B no ambiente papel e lápis Fonte: Acervo Pessoal

71

O objetivo dessa atividade foi analisar a influência do sinal da derivada da

função f com o comportamento de crescimento e/ou decrescimento de f em um dado

intervalo. Esperava-se que o aluno fizesse essa correspondência e anotasse no item

b, o que denota o uso do registro de representação na língua natural.

5.2.5 Atividade 05


fornecer um ambiente favorável para que o estudante pudesse relacionar a

concavidade da função f em dado intervalo com o sinal da função segunda derivada

de f. Na situação 05-A, foi abordado um exemplo de função polinomial de grau três e

na situação 05-B um exemplo de grau quatro.


Nessa atividade foi proposta a análise da função ( ) no intervalo

e de sua derivada segunda, ambas apresentadas em tela no registro

gráfico. O objetivo era que o aluno analisasse em quais intervalos a função f’’ era

positiva e comparasse com os intervalos onde a função f tinha concavidade para

cima. O mesmo se esperava para os intervalos onde a função f’’ era negativa,

identificando com os intervalos em que a função f tinha concavidade para baixo.

Para isso o aluno deveria deslizar o seletor denotado por “a” e perceber o sinal da

função derivada segunda no registro gráfico. Na tela, onde estava apresentado o

gráfico da função derivada segunda, eram apresentadas duas representações, uma

do registro gráfico e uma do registro simbólico na forma tabular, contendo

informações do ponto B, presente no gráfico.

72



seguintes:

Atividade 05A

a) Em quais intervalos f’’ é positiva?

b) Em quais intervalos f’’ é negativa?

c) Em quais intervalos f possui concavidade para cima?

d) Em quais intervalos f possui concavidade para baixo?



O objetivo dessa atividade foi analisar a influência do sinal da função derivada

segunda com a concavidade do gráfico da função f em um dado intervalo. Esperava-

se que o aluno fizesse essa correspondência e anotasse suas conclusões no item e.

Nos itens a, b, c, d e e, esperava-se que o estudante estabelecesse

conversões entre representações dos registros gráfico e simbólico-tabular,

fornecendo a resposta ou na língua natural ou no registro algébrico.

73


Nessa atividade foi proposta a análise da função ( ) no

intervalo e de sua derivada segunda, ambas apresentadas em tela no

registro gráfico. Os registros explorados nesta situação foram os mesmos da

situação anterior, bem como as características das telas apresentadas.

Figura 23: Atividade 05B Fonte: Acervo Pessoal


seguintes:

Atividade 05B

a) Mova o seletor “a” com o mouse. Em seguida complete a tabela no que se pede.

b) Comparando os resultados observados na tabela anterior o que se pode observar. Faça

suas anotações.

Quadro 15: Atividade 05B no ambiente papel e lápis Fonte: Acervo pessoal

74

O objetivo dessa atividade foi analisar a influência do sinal da função derivada

segunda com a concavidade do gráfico da função f em um dado intervalo. Esperava-

se que o aluno fizesse essa correspondência e anotasse suas conclusões no item b.

A seguir, são apresentados os resultados da aplicação preliminar, a qual

visou avaliar o instrumento, para que fosse possível realizar as adequações

necessárias antes da aplicação ao grupo principal.

5.3 ANÁLISE DA APLICAÇÃO PRELIMINAR

Nesta seção, são apresentadas as alterações realizadas no design a partir

das produções fornecidas pelos estudantes na aplicação preliminar. Conforme já

relatado, nessa primeira aplicação, não houve interferências do professor-

pesquisador, dado que o objetivo consistia apenas em avaliar se os estudantes

compreendiam os enunciados, para que, caso houvesse a necessidade de

reformulações, estas fossem realizadas antes que o instrumento fosse aplicado ao

grupo principal. Essa aplicação preliminar foi realizada com quatro estudantes do

segundo semestre do curso de Licenciatura de uma universidade particular de

ensino superior que já haviam tido contato apenas com o significado geométrico do

sinal da derivada e com as regras de cálculo.

Em geral, os estudantes não apresentaram dificuldades na análise do

crescimento/decrescimento das atividades 1A e 1B. Já na atividade 1C, devido às

limitações do software em relação às aproximações numéricas, cada aluno

apresentou uma resposta particular, conforme descrito a seguir.

75

Figura 24:Resposta da atividade 01C - Aluno 1. Fonte: Acervo Pessoal

Figura 25: Resposta da atividade 01C - Aluno 2. Fonte: Acervo Pessoal


76


Tal fato nos levou a repensar se valeria a pena manter a atividade. Apesar de

ela representar uma oportunidade de discussão das limitações do software neste

tipo de trabalho, ela também poderia trazer prejuízos na construção do

conhecimento, dado que o momento era de um primeiro contato dos alunos com

este tipo de análise para funções polinomiais de grau maior do que dois. Com isso,

para o estudo principal, optou-se por excluí-la.

Na atividade 2-A, pela análise das produções dos estudantes, notou-se que o

objetivo foi atingido. Todos associaram corretamente o sinal da reta tangente com a

análise de crescimento/decrescimento da função, conforme ilustrado pela produção

do aluno 2.

77

Figura 28: Resposta da atividade 02A - Aluno 2. Fonte: Acervo Pessoal

Somente o aluno 1, apesar de aparentemente estabelecer a relação

esperada, apresentou problemas no registro da língua natural escrita, no momento

em que concebeu que a função tem inclinação positiva e não que a reta tangente ao

gráfico da função tem inclinação positiva, conforme ilustrado a seguir.

Figura 29: Resposta da Atividade 02A - item 3- dada pelo aluno 1. Fonte: Acervo Pessoal

78

Além disso, este aluno considerou um dos extremos do intervalo como 1,1 e

não como 1. Apesar disso, como a maioria dos estudantes teve sucesso nesta

atividade, não foram realizadas alterações nos enunciados das tarefas propostas.

Na atividade 2-B, a produção dos estudantes revelou a necessidade de

pequenas reformulações no enunciado. Em primeiro lugar, notou-se que a coluna E

da tabela do item a, da forma como foi proposta, não favoreceu ao estudante a

reflexão da relação entre ponto de máximo local e derivada nula.

Notou-se também, na produção de dois alunos, que eles iniciavam o intervalo

no valor -2,1, conforme pode ser observado na produção do aluno 2.

Figura 30: Resposta da Atividade 02B dada pelo aluno 2. Fonte: Acervo Pessoal

Caso esse fato ocorra no estudo principal, tal equívoco será discutido com os

sujeitos. Outra situação que será discutida com os alunos do estudo principal antes

da aplicação do design refere-se ao trabalho com intervalo fechado ou aberto, dado

que três alunos trabalharam com intervalo aberto e um com intervalo fechado. Para

o aluno que trabalhou com o intervalo fechado, a conclusão de que o intervalo de

crescimento coincidia com o intervalo em que o sinal da derivada era positivo não se

estabeleceu, conforme se pode observar a seguir.

79

Figura 31: Resposta da Atividade 02B dada pelo aluno 4. Fonte: Acervo Pessoal

Diante dessa análise, somente o enunciado referente ao caso da derivada

nula foi alterado, porém, essa aplicação preliminar apontou diversas questões que

poderão ocorrer com os alunos da aplicação principal e que provavelmente gerarão

debates entre os sujeitos do experimento e o professor-pesquisador.

Na atividade 3A, pela análise das produções dos estudantes, notou-se que o

objetivo foi atingido, mas com alguns detalhes a serem discutidos para a aplicação

do experimento principal. Conforme apresentado a seguir, notou-se que dois alunos

inseriram nas respostas o infinito, apesar de o enunciado restringir o domínio da

função no intervalo [-3,4].

Figura 32: Resposta da Atividade 3A dada pelo aluno 1 Fonte: Acervo Pessoal

80

Observou-se também, que o aluno 1, em sua resposta dada no item a, iniciou

o intervalo em -1,10, enquanto o correto deveria ser apenas no -1.


Já os alunos 2 e 3 utilizaram intervalos fechados, até mesmo para o infinito.

No item a, no primeiro intervalo, pôde-se notar que eles respeitaram a restrição do

domínio apresentada no enunciado, uma vez que o iniciaram no -3. Já no terceiro

intervalo deste mesmo item, usaram o infinito e não o valor estipulado no domínio da

função.


81


Na atividade 3B observou-se que todos os alunos forneceram apenas o valor

da abscissa do ponto para o qual f(x) = 0, enquanto esperava-se que apresentassem

o ponto por coordenadas no formato (x, y). Isso apontou a necessidade de uma

correção na descrição dessa atividade no ambiente papel e lápis e, com isso,

alterou-se na coluna em que estava apenas descrito f(x) = 0, para (x,y) onde f(x) = 0,

Observaremos, a seguir, as respostas dos alunos, relatando para cada um os

equívocos encontrados nessa primeira análise.

Figura 36: Resposta da Atividade 3B dada pelo Aluno 1 Fonte: Acervo pessoal

82

Para este caso, a função proposta foi ( ) . Os

resultados esperados na coluna onde se pedia ( ) , para cada item, seriam os

pontos ( ) ( ) ( ) ( ). Já na coluna onde se pedia ( ) deveriam

aparecer os intervalos , e ,e, por fim, na coluna onde se pedia

( ) deveríamos ter os intervalos .Observa-se que o aluno 1, no

item a, terceira coluna, inseriu o intervalo com a ordem dos elementos trocada.

Vemos também, que na segunda coluna do item a, como foi pedido o intervalo em

que a função era maior que zero, o número um, que é uma raiz, deveria ficar fora da

resposta, o que não ocorreu na resposta dada pelo aluno. No item b, todas as

respostas estão corretas, apesar de na primeira coluna o aluno fornecer somente o

valor da abscissa do ponto, conforme relatado anteriormente.


O aluno 2, no item a, primeira coluna, inseriu sua resposta com formato de

intervalo e não como par ordenado. Observa-se também que o aluno 2 usou

equivocadamente intervalo fechado no infinito em todas as suas respostas. A

resposta dada ao item a, segunda coluna, parece indicar uma confusão entre função

positiva com intervalo de crescimento. No item b, ele usou intervalo fechado em

todos os extremos. Esses resultados reforçam a retomada de alguns conceitos

básicos sobre coordenadas no plano e intervalos antes da aplicação do experimento

principal.

83


O aluno 3 cometeu os mesmos erros do aluno 2. Ele utilizou intervalo fechado

no infinito e também confundiu no item a, segunda coluna, função positiva com

intervalo de crescimento da função.


84

Conforme podemos observar, o aluno 4 também apresenta apenas a abscissa

do ponto e não o seu formato em coordenadas (x, y). As respostas do item b,

segunda e terceira colunas, foram apresentadas de forma correta. Já no item a,

somente a terceira coluna apresenta resposta de forma correta.

Essa atividade revelou a necessidade de algumas alterações no ambiente

papel e lápis, como por exemplo, deixar mais explícito na primeira coluna que o

ponto deverá ser apresentado no formato de coordenadas (x, y). Com relação ao

uso adequado da notação de intervalos, será feita uma abordagem preliminar sobre

o tema antes da aplicação do experimento principal.

Na atividade 4A, solicitou-se a análise da função ( ) , sendo

esperado como resposta no item a, os intervalos , no item b, o

intervalo , no item c, os intervalos , no item d, o intervalo

. Por fim, no item e, esperava-se que o aluno estabelecesse uma

correspondência entre os itens a-c e b-d, percebendo que são iguais, relatando a

influência do registro gráfico da primeira derivada com o comportamento do registro

gráfico da função.

Na aplicação, apareceram diversas respostas divergentes ao esperado no

ambiente papel e lápis. Alguns alunos ainda continuaram colocando intervalo

fechado para o infinito. Conforme já relatado, será realizada uma revisão de

intervalos com o grupo principal para que esse tipo de equívoco seja amenizado.

O aluno 1 cometeu um engano em relação às respostas dos itens a, b, c e d,

pois ele fez a observação da função f e não da f’ como pedido, conforme se pode

observar pelas respostas dadas por ele.

Figura 40: Resposta da Atividade 4A, itens a e b, dada pelo aluno 1 Fonte: Acervo Pessoal

85

Pode-se, também, observar problemas na língua natural na conclusão pedida

no item e do ambiente papel e lápis.

Figura 41: Resposta da Atividade 4A, item e, dada pelo aluno 1 Fonte: Acervo Pessoal

Na atividade 4B, solicitou-se a análise da função ( ) , sendo

esperado como resposta na primeira coluna da tabela (vide Apêndice I) os intervalos

e na segunda coluna, os intervalos . Nas colunas

seguintes, eram esperados os mesmos intervalos, respectivamente, pois era

provável que o aluno estabelecesse uma correspondência entre as respostas das

duas primeiras colunas com as respostas apresentadas nas duas últimas. Pretendia-

se investigar se o aluno conseguiria observar que os resultados eram iguais e, por

sua vez, relatar a influência do registro gráfico da primeira derivada com o

comportamento do registro gráfico da função.

Alguns alunos ainda continuaram a colocar o infinito com intervalo fechado,

como pode ser visto na produção do aluno 2 a seguir.

Figura 42: Resposta da Atividade 4B, item a, dada pelo aluno 2 Fonte: Acervo Pessoal

86

Na Atividade 5A, na qual foi solicitada a análise da função ( ) e

de sua segunda derivada, foi esperado como resposta nos itens a e c, os intervalos

, nos itens b e d, os valores e por fim, no item e era esperado que o

aluno formalizasse a igualdade dos valores encontrados nos itens descritos

anteriormente.

Apenas dois alunos, dos quatro envolvidos na pesquisa, participaram dessa

atividade. Ambos responderam de forma coerente. Segue a produção do aluno 4.


Na Atividade 5B, na qual foi solicitada a análise da função

( ) e de sua segunda derivada, foi esperado como resposta na

primeira coluna do item a o intervalo ] e na segunda coluna os intervalos

. Já no item b, o esperado era o estabelecimento de uma

87

relação entre os valores dos intervalos das duas primeiras colunas com as duas

últimas.

A produção do aluno 1 mostrou que ele acertou os valores esperados no item

a, porém ainda colocou a notação de infinito com intervalo fechado, conforme

ilustrado na figura a seguir.

Figura 44: Resposta da Atividade 5B dada pelo aluno 1 Fonte: Acervo Pessoal

O objetivo esperado no item b, dado na língua natural, foi atingido, conforme

se pode observar pela produção do aluno 4 na figura a seguir.

Figura 45: Resposta da atividade 5B dada pelo aluno 4 Fonte: Acervo Pessoal

A análise das produções dos alunos revelou que não há necessidade de

alteração no ambiente papel e lápis dessa atividade para a aplicação do

experimento principal.

No capítulo seguinte, descreve-se a aplicação principal.

88

6. A APLICAÇÃO PRINCIPAL

6.1 REDESIGN FINAL

Além das alterações anteriormente citadas no instrumento, após a

apresentação dessa pesquisa à banca de qualificação, algumas adaptações e

inclusões sugeridas também nortearam a reestruturação do design, antes de sua

aplicação principal. Neste redesign, algumas tarefas presentes no ambiente

computacional foram suprimidas e, ao mesmo tempo, foram adicionadas novas

atividades, com a finalidade de fortalecer a exploração dos conceitos de crescimento

e decrescimento de funções por meio de uma análise algébrica. A versão final, em

sua íntegra, é apresentada no Apêndice II.

Nos ambientes papel e lápis e computacional foram adicionadas duas tarefas

iniciais intituladas de “atividades zero”, ambas com o objetivo de explorar a definição

algébrica do comportamento de uma função. A definição dada é apresentada no

quadro a seguir.

Uma função , real de variável real, é crescente em A, A ( ), se, e somente se, para

quaisquer números e do conjunto A, ocorre ( ) ( )

Uma função , real de variável real, é decrescente em A, A ( ), se, e somente se, para

quaisquer números e do conjunto A, ocorre ( ) ( )

Quadro 16: Definição de crescimento e decrescimento de função no ambiente papel-e-lápis Fonte: Anton, 2007, p.268

Foi apresentada em seguida, no ambiente papel e lápis, a análise de

crescimento da função ( ) . Neste caso, o professor-pesquisador

apresentou detalhadamente as etapas de análise algébrica. O objetivo consistiu em

apresentar aos alunos que, pela análise algébrica, poderia se garantir que a função

era crescente para quaisquer dois valores do domínio da função.

Como parte da tarefa desse primeiro exemplo, após a apresentação da

análise algébrica, foi solicitado aos sujeitos que verificassem experimentalmente, por

meio do ambiente computacional, essa mesma situação de crescimento da função.

No ambiente havia dois pontos nomeados de com a possibilidade de movê-

89

los com auxílio do mouse. O aluno poderia observar os resultados em um registro

tabular à esquerda da tela e no registro gráfico à direita. A tela dessa atividade é

apresentada na figura 46.

Figura 46: Atividade Zero 01 – Ambiente Computacional Fonte: Acervo Pessoal

O próximo passo foi apresentar aos sujeitos da pesquisa uma nova função,

agora decrescente, para que eles fizessem uma análise algébrica. A apresentação

da função foi dada por meio de um quadro onde estava descrita a frase a seguir.

“Agora tente você. Analise algebricamente o comportamento da função ( ) ”

O objetivo dessa tarefa consistiu em investigar se o aluno saberia analisar o

comportamento de uma nova função, utilizando também um procedimento algébrico.

Seguindo as atividades do experimento, o próximo passo foi desenvolver a

atividade intitulada “atividade zero 02”. Essa atividade consistiu em fazer a análise

do comportamento da função ( ) algebricamente e, em seguida, observar o

equivalente no registro gráfico, por meio da atividade proposta no ambiente

computacional.

90

Figura 47: Atividade Zero 02 – Ambiente Computacional Fonte: Acervo Pessoal

Novamente, no ambiente havia dois pontos nomeados de com a

possibilidade de movê-los com auxílio do mouse. O aluno poderia observar os

resultados em um registro tabular à esquerda da tela e no registro gráfico à direita e

com isso perceber o comportamento da função dada, comparando o observado com

o obtido na análise algébrica.

Por fim, foi solicitado o mesmo tipo de análise para a função ( ) .

Nesta etapa, o objetivo era que o aluno percebesse que a análise algébrica dessa

função não era tão elementar quanto à das situações anteriormente apresentadas,

sendo necessária, então, uma nova forma de tratar tal caso. Deste modo, essa

situação despertaria a motivação de avaliar tal função por uma nova abordagem, ou

seja, a análise do crescimento/decrescimento de funções por meio do uso de

derivadas se mostraria como uma necessidade no tratamento de funções mais

complexas.

A partir daí, foram realizadas, nos ambientes computacional e papel e lápis,

as relações entre crescimento/decrescimento e o sinal da primeira derivada e as

relações entre concavidade e o sinal da segunda derivada. Nesta etapa,

primeiramente a exploração foi realizada de forma experimental no registro gráfico e,

91

em seguida, foi feita a análise algébrica dessas relações. Esperava-se que o

trabalho com os dois tipos de representação pudesse favorecer a construção desse

conceito.

6.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO PRINCIPAL

Nesta seção, são apresentados os resultados da análise da aplicação

principal, tendo por base a teoria dos registros de representações semióticas de

Duval (2009). Essa aplicação principal contou com dois estudantes do segundo

semestre do curso de Licenciatura de uma universidade particular de ensino superior

que já haviam tido contato apenas com o significado geométrico do sinal da derivada

e com as regras de cálculo.

Em geral, na situação atividade zero 01, os estudantes apresentaram uma

boa produção. Nessa atividade foi pedido que o estudante analisasse

algebricamente o comportamento da função ( ) . Seguem as produções

dos alunos.

Figura 48 – Produção da Atividade Zero 01 – Aluno 1 Fonte: Acervo Pessoal

92

Nas figuras 49 e 50, pôde-se observar que os dois alunos revelaram uma

produção satisfatória, apresentando corretamente a conclusão sobre o

comportamento da função dada. É provável que o trabalho anterior com o professor-

pesquisador, referente à análise algébrica do crescimento da função ( ) ,

tenha favorecido a análise dessa nova situação.

Na atividade zero 02, na qual foi pedida aos alunos a análise do

comportamento da função ( ) , esperava-se que os sujeitos chegassem à

conclusão, algebricamente, de que essa função seria sempre crescente e, em

seguida, confirmassem tal conclusão no ambiente computacional.

Observando a produção do aluno 1, conforme apresentado na figura 51 a

seguir, pôde-se notar que ele fatorou a diferença de cubos e, a partir daí, não

conseguiu avaliar o crescimento da função pela análise algébrica. Ao utilizar o

recurso computacional, observou que a função era sempre crescente.

Figura 50 - Atividade zero 2 - Aluno 01 Fonte: Acervo Pessoal

Figura 49 – Produção da Atividade Zero 01 – aluno 2 Fonte: Acervo Pessoal

93

Diante disso, o professor-pesquisador interveio e solicitou ao aluno que

avaliasse o comportamento da função sem realizar a fatoração. O aluno 1, após

realizar algumas anotações no papel, relatou: “ como estão elevados ao cubo, o

sinal da base não se altera então, por exemplo se eu tiver como o número menos

três e como o menos dois, elevando ao cubo teria menos vinte e sete menor que

menos oito, o que é verdade. E para qualquer número que eu tiver um menor que o

outro, seja negativo ou positivo, vai dar certo sempre” Apesar da fala um pouco

confusa, o professor- pesquisador notou que o aluno havia compreendido que a

função seria sempre crescente.

Já na produção do aluno 2, pôde-se observar que suas manipulações

algébricas apresentaram incorreções, conforme ilustrado na figura 52.

Figura 51 - Produção do Aluno 2 - Atividade zero 2 Fonte: Acervo Pessoal

O aluno foi questionado sobre sua produção e em seguida foi sugerido que

refizesse a questão. Após realizar algumas tentativas sem sucesso, o professor-

pesquisador interveio sugerindo ao aluno que partisse de uma análise semelhante à

realizada pelo Aluno 1. A partir daí, ele forneceu a seguinte produção.

94

Figura 52 - Produção do Aluno 2 – Atividade Zero 2 Refeita Fonte: Acervo Pessoal

No item “a” da Atividade 1A, foi solicitada aos alunos a análise do

comportamento (crescimento/decrescimento) da função ( ) no domínio

dos reais. Essa atividade se apresentava exclusivamente no ambiente papel e lápis

e seu objetivo era mostrar que, partindo da análise utilizada nos exercícios

anteriores, seria mais complexo fazer o estudo do comportamento dessa função.

Esperava-se, com essa atividade, despertar nos estudantes a motivação para o

estudo de funções por outro tipo de abordagem, no caso, uma que incluísse o uso

de derivadas aliado a explorações no recurso computacional.

O aluno 1 apresentou uma análise algébrica satisfatória, mas não se

manifestou em relação ao comportamento da função por este tipo de estratégia,

conforme apontado na figura a seguir.

95

Figura 53 – Produção do Aluno 1 Fonte: Acervo Pessoal

A partir daí, o professor-pesquisador interveio questionando se a função era

crescente ou decrescente. O relato fornecido pelo aluno acerca dessa observação

foi: “Precisamos saber o sinal de cada número e para termos a certeza exata

do comportamento da função”. Outra frase dita pelo aluno e que vale destacar:

“Quando vemos o gráfico feito no programa, observamos que a função é crescente

em um determinado intervalo e decrescente em outros, varia o intervalo.” Em virtude

dessa última afirmação do aluno 1, o professor-pesquisador perguntou se havia a

necessidade do ambiente computacional como apoio para essas observações,

sendo que a resposta do aluno foi: “Sim, vejo que o ambiente computacional dá

maior chance de visualização do que está acontecendo com a função e quando

vamos mexendo com o mouse ele nos dá as posições a cada ponto dentro do

intervalo, daí dá para ver fácil onde é crescente ou decrescente a função”.

Neste contexto, destacamos o estudo de Santos, N. (2009), o qual revelou

que os programas de computador contribuem no processo de elaboração de

conjecturas relacionados ao ensino de funções.

O aluno 2 também apresentou uma análise algébrica satisfatória e mostrou a

dificuldade em avaliar o comportamento da função quanto ao

crescimento/decrescimento, uma vez que, em sua análise, afirmou que isso

dependeria do intervalo considerado.

96

Figura 54 - Produção do Aluno 2 Fonte: Acervo Pessoal

Com isso, o professor-pesquisador relatou aos alunos que esse tipo de

análise poderia ser realizado de outra forma e que isso seria discutido em momento

posterior.

A partir daí, os alunos passaram às atividades já presentes na aplicação

preliminar, salvo algumas readequações, as quais previam uma entrada

experimental no ambiente computacional seguida da análise algébrica utilizando

derivadas. Esperava-se, nesta etapa, que os estudantes pudessem conjecturar, por

meio de uma investigação experimental, o que deveria ocorrer com o sinal da

primeira derivada para que a função fosse crescente e o que deveria ocorrer com o

sinal da primeira derivada para que a função fosse decrescente, para, em seguida,

constatar tal fato algebricamente.

Neste aspecto, o diferencial do experimento estaria no fato de que o aluno

construiria esse conhecimento tendo o recurso computacional como elemento de

apoio, o qual seria formalizado em seguida pelo professor-pesquisador.

Na atividade 1A, a proposta era estudar a função ( ) no intervalo

de inicialmente no ambiente computacional. Esperava-se que os alunos

observassem em quais intervalos a reta tangente no ponto A, presente no ambiente,

teria inclinação positiva ou negativa e, em seguida, comparassem com os intervalos

onde a função era crescente ou decrescente.

97

A produção do aluno 1 é apresentada a seguir. Nota-se que ele fez uma

observação nas respostas dos itens a e b, relatando que nos extremos locais da

função a reta tangente não teria inclinação nem positiva e nem negativa.

Figura 55 - Produção do Aluno 1 - Atividade 1A no ambiente papel-lápis e computacional Fonte: Acervo Pessoal

O professor-pesquisador interrogou o aluno sobre a questão de ele ter

fechado o intervalo na resposta com uma ressalva no registro da língua natural. O

relato do aluno foi: “percebi que no ponto de máximo ou de mínimo a inclinação da

reta tangente tinha valor zero e como zero não é nem positivo e nem negativo, eu

incluí o número e fiz uma observação, pensei que ‘podia’!”.

O professor-pesquisador relatou aos dois alunos sobre o uso de intervalos

fechados ou abertos com uma breve explicação sobre a inclusão ou não de um

ponto no intervalo. Os alunos entenderam bem a questão proposta e perceberam

que nessa atividade, nos itens a e b, os intervalos seriam abertos nos pontos

críticos.

98

No item e, no qual foi pedida a relação entre a inclinação da reta tangente e a

análise de crescimento/decrescimento da função, o resultado esperado foi atingido

pelo aluno 1.

Na produção do aluno 2, apresentada na figura 57, pôde-se observar que

suas respostas foram satisfatórias, apresentando incorreções apenas no fechamento

do intervalo no item a e no equívoco na conclusão do item e, quando relatou que “os

itens b e c são iguais”. Diante disso, o professor-pesquisador o questionou sobre o

fechamento do intervalo no item a. O aluno relatou que: “Coloquei o intervalo

fechado achando que assim poderia incluir os pontos -1 e 1 também na resposta, ou

seja, ele fazia parte do crescimento da função”. O professor-pesquisador interveio

novamente questionando sobre o fato de os pontos -1 e 1 fazerem parte também do

intervalo em que a reta tangente tinha inclinação negativa, sendo assim esses

pontos seriam possíveis em ambos os casos. Logo a aluna percebeu que nesses

pontos, o intervalo deveria ser aberto. Confirmamos isso em sua outra fala: “Como a

inclinação da reta tangente é uma relação com o ângulo que essa reta faz com o

eixo x, no ponto crítico a tangente é zero e, portanto, nem negativa e nem positiva”.

É provável que a dificuldade apresentada pelos estudantes nesta atividade

tenha ocorrido pelo mesmo motivo que o relatado por SILVA (2005), o qual

observou, em seus sujeitos, dificuldades em reconhecer os vários sistemas de

registros de representação dos conceitos relacionados com máximos e mínimos de

funções de uma variável.

Ainda, sobre a produção que revelava que os itens b e c eram iguais, o aluno

relatou que cometeu um engano, dizendo que o correto seria afirmar que os itens b

e d eram iguais. O professor-pesquisador, após esse diálogo com o aluno 2,

entendeu que foi apenas um engano simples na redação da questão.

99

Figura 56 - Produção do aluno 2 – Atividade 1A Fonte: Acervo pessoal

Na atividade 1B, na qual foi estudada a função ( ) , no

intervalo [-2, 2], esperavam-se os mesmos objetivos da atividade 1A, sendo a única

diferença a função polinomial dada.

Para essa atividade, na produção do aluno 1 apresentada na figura a seguir,

notamos que os intervalos aparecem novamente fechados na análise da inclinação

positiva ou negativa da reta tangente e, nos pontos incorretamente incluídos, o aluno

não fez uma observação, como realizado na atividade 1A. Quando questionado

sobre isso pelo professor-pesquisador, o aluno respondeu que achava

desnecessário fazer tal observação, pois já havia relatado sobre isso no exercício

anterior.

100

Figura 57: Produção do Aluno 1 – Atividade 1B Fonte: Acervo Pessoal

Em sua conclusão, feita no item e, o aluno 1 cometeu um erro na língua

natural, dado que, onde deveria aparecer a frase “ a inclinação da reta tangente é

positiva” ele mencionou que a “reta tangente é positiva”. O professor-pesquisador

fez uma intervenção sobre esse erro na língua natural mostrando ao aluno a

diferença entre essas frases e, com isso, o aluno observou o seu equívoco.

A produção do aluno 2 para a atividade 1B é apresentada na figura a seguir,

sendo que podemos notar o mesmo equívoco cometido na atividade anterior no que

se refere aos intervalos fechados. Com isso, o professor-pesquisador fez o mesmo

tipo de intervenção realizada com o aluno 1.

Apesar da necessidade de intervenção, consideramos satisfatórias as

respostas do aluno 2, dado que ele estabeleceu a associação do comportamento da

função com a inclinação da reta tangente à curva em um determinado intervalo.

101

Figura 58: Produção do Aluno 2 – Atividade 1B Fonte: Acervo Pessoal

Na atividade 2A, na qual foi estudada a função ( ) no intervalo

[-2; 2], teve como objetivo relacionar a influência do sinal da primeira derivada com o

comportamento da função f.

A produção do Aluno 1 seguiu um formato que ele já vinha desenvolvendo no

que se refere ao conceito de intervalo fechado ou aberto. Neste aspecto, o

professor-pesquisador optou por discutir sobre esse fato posteriormente, no

momento de formalização da relação entre o sinal da primeira derivada e o

crescimento/decrescimento da função.

Fazendo uma análise sobre essa produção, observamos que o Aluno 1

atingiu o objetivo da atividade.

102

Figura 59: Produção do Aluno 1 – Atividade 2A Fonte: Acervo Pessoal

Em sua conclusão, no item e, mostrado na figura a seguir, podemos observar

que o aluno cometeu um pequeno equívoco na língua natural, uma vez que, onde

deveria estar escrito “a função derivada é positiva”, ele escreveu “a derivada é

positiva”. Com isso, o professor-pesquisador fez uma intervenção relatando ao aluno

sobre tal fato, apesar de esse tipo de linguagem ser usualmente utilizado.

Figura 60: Produção do Aluno 1 – Atividade 2A item e Fonte: Acervo Pessoal

Já a produção do Aluno 2 foi satisfatória, atingindo os objetivos propostos,

conforme podemos observar na figura 61 a seguir.

103

Figura 61: Produção da Aluna 2 – Atividade 2A Fonte: Acervo Pessoal

No item e, referente à conclusão da atividade, o Aluno 2 apresentou o mesmo

equívoco do Aluno 1. Nesta situação, o professor-pesquisador fez o mesmo tipo de

intervenção, informando que a função derivada seria positiva ou negativa e não a

derivada.

Figura 62: Produção do Aluno 2 - Atividade 2 A, item e Fonte: Acervo Pessoal

Na atividade 2B, foi estudada a função ( ) , no intervalo

[-2,2], tendo os mesmos objetivos da atividade anterior, ou seja, a análise da

influência do sinal da função derivada de f no comportamento da função f. Vejamos

as produções dos alunos sujeitos da pesquisa.

As produções dos alunos 1 e 2 revelaram que eles atingiram os objetivos

propostos, ou seja, efetuaram satisfatoriamente a relação entre o sinal da função

derivada com a análise de crescimento/decrescimento da função, conforme ilustrado

a seguir.

104

Figura 63: Produção do Aluno 1 - Atividade 2B Fonte: Acervo Pessoal

Figura 64: Produção do Aluno 2 - Atividade 2B Fonte: Acervo Pessoal

Notamos que, apesar das intervenções anteriormente realizadas pelo

professor-pesquisador, os alunos continuaram utilizando em suas produções

escritas, afirmações do tipo “a derivada é positiva” ou “a derivada é negativa”.

Tendo em vista que os alunos conseguiram estabelecer a relação entre o

sinal da função primeira derivada e a análise de crescimento/decrescimento da

função, o professor-pesquisador formalizou os resultados obtidos pelos estudantes,

apresentando a definição usualmente presente nos livros didáticos a respeito desse

conceito.

105

A atividade 3A, na qual foi estudada a função ( ) no intervalo de

[-2,2] , teve como objetivo analisar a influência do sinal da segunda derivada da

função no estudo da concavidade.

A produção do Aluno 1 para essa atividade, apesar de satisfatória, revelou

alguns pontos que necessitaram de intervenção. Em primeiro lugar, o aluno não

observou que a função estava definida no intervalo [-2,2] e não nos reais. Ao

questionar o aluno sobre isso, ele relatou que foi o ambiente que proporcionou tal

equívoco, pois nele, o ponto inicial do gráfico da derivada estava fora da tela visível.

Tal fato revelou a necessidade de uma pequena adaptação no ambiente. Apesar

disso, o professor-pesquisador entendeu a ocorrência e concluiu que o aluno

compreendeu a situação proposta.

Figura 65 - Produção do Aluno 1 - Atividade 3A Fonte: Acervo Pessoal

A produção do Aluno 2 também se deu de forma satisfatória, apesar de ele ter

cometido o mesmo equívoco do Aluno 1.

106

Figura 66 - Produção do Aluno 2 - Atividade 3A Fonte: Acervo Pessoal

A conclusão apresentada pelo aluno 2 no item “e” revelou que os objetivos

esperados foram atingidos

Nesta fase, o professor-pesquisador formalizou o conceito, apresentando a

definição usualmente presente nos livros didáticos sobre o estudo de concavidade.

6.3 ANÁLISE DA PRODUÇÃO ALGÉBRICA

Após o trabalho no ambiente computacional, foi proposta a análise algébrica

das duas principais funções polinomiais abordadas: ( ) e

( ) . O objetivo desta etapa foi verificar se as relações estabelecidas

na parte experimental no registro gráfico seriam transferidas pelos sujeitos quando

solicitados a realizar uma análise algébrica. Desta forma, procuramos inverter o

sentido usual abordado nos livros didáticos, que normalmente fornecem as relações

entre crescimento/decrescimento e concavidade e o Cálculo Diferencial e parte de

situações propostas no sentido de conversão do algébrico para o gráfico. As tarefas

dessa seção podem ser verificadas no Apêndice III.

107

As tarefas foram divididas em duas partes com algumas subdivisões. Na

primeira parte, foi analisada a primeira função mencionada anteriormente. As

produções dos alunos são apresentadas a seguir.

Na primeira parte, foi solicitada a análise dos intervalos de crescimento e

decrescimento da função polinomial ( ) . Nesta situação, ambos os

alunos apresentaram respostas satisfatórias, denotando sucesso na transferência

dos conceitos construídos na abordagem experimental. Vejamos a produção do

Aluno 1 em relação à primeira parte dos itens "a" e "b".

Figura 67: Produção do Aluno 1 Fonte: Acervo Pessoal

A seguir, apresentamos a produção do Aluno 2, com relação aos mesmos

itens anteriormente citados.

Figura 68: Produção Aluno 2 Fonte: Acervo Pessoal

108

Vejamos as produções do Aluno 1 e do Aluno 2 nos itens que tiveram o

objetivo de analisar em quais intervalos a função teria comportamento decrescente.

Figura 69: Produção do Aluno 1 Fonte: Acervo pessoal

Figura 70: Produção Aluno 2 Fonte: Acervo Pessoal

109

Para essa mesma função, foi pedida a determinação dos intervalos em que a

função apresentava concavidade para cima e dos intervalos em que ela apresentava

concavidade para baixo.

Figura 71: Produção Aluno 1 - Sobre os intervalos de Concavidade Fonte: Acervo pessoal

Podemos observar que nessa produção, o Aluno 1 cometeu um engano na

notação de intervalo, ou seja, ele usou “0 > x > 2", quando o correto seria “0 < x < 2”.

Além disso, no item "b", ele cometeu outro engano, colocando como resposta

“x > 2”, quando o correto seria ”x > 0”, apesar de no item "a" ele ter observado que o

intervalo seria x>0. O professor-pesquisador conversou com o aluno sobre o fato

ocorrido e ele percebeu o engano cometido, tanto na notação do intervalo como no

registro do item b.

Vejamos a seguir a produção do Aluno 2.

110

Figura 72: Produção Aluno 2 – Sobre os intervalos de Concavidade Fonte: Acervo Pessoal

Percebemos que o Aluno 2, no item "a" dessa tarefa, cometeu um pequeno

engano em sua resposta sobre o intervalo, uma vez que não considerou o domínio

dado no enunciado. Apesar disso, quando o professor-pesquisador conversou com

ele sobre o engano, o aluno relatou que houve apenas uma distração no momento

de registrar sua resposta.

Na análise da concavidade para baixo, verificamos que as produções dos dois

alunos foram satisfatórias.

Na segunda parte dessa atividade, foi solicitado o mesmo tipo de análise para

a função ( ) . Observamos que as produções também foram

satisfatórias na análise de crescimento/decrescimento, conforme apresentado a

seguir.

111

Figura 73: Produção do Aluno 1 - Segunda parte da atividade Fonte: Acervo Pessoal

Figura 74: Produção do Aluno 2 - Segunda parte da atividade Fonte: Acervo Pessoal

.

112

Figura 75: Produção do Aluno 1 - Intervalo decrescente Fonte: Acervo Pessoal

Figura 76: Produção do Aluno 2 - Intervalo decrescente Fonte: Acervo Pessoal

Observando as produções dos alunos, podemos perceber que suas respostas

estão coerentes com o esperado de cada tarefa. Houve apenas um equívoco na

produção do Aluno 2 no item "b", quando ele colocou [1,0], quando o correto seria

113

[ -1,0]. Apesar disso, tal fato ocorreu devido a uma distração e não por falta de

compreensão do conceito.

Comparando as produções do ambiente computacional com as apresentadas

na análise algébrica, concluímos que os dois alunos conseguiram perceber as

relações da influência da primeira e segunda derivadas no comportamento das

funções analisadas, estabelecendo, com sucesso, conversões entre representações

dos registros gráfico, algébrico e da língua natural.

114

7 CONCLUSÃO

Nesse capítulo serão apresentadas as conclusões do estudo, fazendo uma

retomada dos objetivos da pesquisa, da problemática evidenciada e das hipóteses

inicias. Ainda, serão descritos os papéis desempenhados pelos sujeitos envolvidos

em nossa pesquisa, assim como as influências do ambiente computacional criado

durante o processo do design. Por fim, serão apresentadas sugestões de futuras

investigações.

Em nossa pesquisa, pretendíamos elaborar, aplicar e avaliar um experimento

de ensino sobre a análise do comportamento de funções, construído de forma a

explorar representações dos registros gráfico, algébrico e da língua natural, nos

ambientes papel e lápis e Geogebra. Para isso, foi criado um ambiente

computacional contendo as tarefas propostas aos sujeitos envolvidos na pesquisa,

vídeos explicativos, o software Geogebra e material de leitura adicional. Tal

experimento previa uma entrada experimental com explorações de representações

do registro gráfico, antes da formalização do conceito no registro algébrico. Com

isso, teve-se a intenção de investigar quais influências tal abordagem traria para a

construção do objeto matemático proposto, por meio da análise das produções

escritas e orais dos estudantes e dos registros nas telas de seus computadores.

Como fundamentação do nosso estudo, utilizamos a teoria dos registros de

representações semióticas de Duval (1995, 2000, 2006). Apresentando de forma

resumida, a revisão de literatura do presente estudo, composta pelos estudos de

Lucas (2009), Santos S.(2009), Santos N. (2009), Silva (2005) Scucuglia (2006),

Farias (2007), Melo (2002), Paranhos (2009) e Freitas (2009), revelou a importância

de se trabalhar com relações entre representações de registros distintos, as

dificuldades dos estudantes em conversões e as vantagens do uso de recursos

computacionais no ensino de um objeto matemático. Particularmente, os softwares

dinâmicos podem favorecer a independência dos estudantes, tendo em vista que

suas conjecturas podem ser testadas, antes da formalização do conceito.

Tal fato nos motivou a elaborar um experimento que pudesse integrar

principalmente os registros gráfico, algébrico e da língua natural, utilizando, para a

parte experimental, uma ferramenta dinâmica que permitisse ao sujeito realizar

115

experimentações e levantar hipóteses, antes da apresentação da definição formal do

conceito e do trabalho algébrico para a análise do comportamento de funções.

Para a construção e condução e do experimento, foi utilizada a metodologia

de Design Experiment de Cobb et al. (2003), uma vez que ela permite a elaboração

de experimentos de ensino de domínios matemáticos específicos, com intuito de se

obter alguma inovação no ensino da Matemática.

Como o foco dessa metodologia está no sujeito, visando a análise de sua

trajetória, o levantamento de suas dificuldades e a possibilidade de avanços, o

experimento pôde ser remodelado em função das produções dos estudantes.

O experimento foi aplicado em duas etapas. Inicialmente, na etapa preliminar,

participaram do experimento quatro alunos de um curso de Licenciatura em

Matemática de uma universidade particular do Estado de São Paulo. Eles já haviam

tido contato com o software Geogebra e já haviam estudado o significado

geométrico do sinal da derivada e as regras de cálculo. A aplicação do experimento

se deu no laboratório de informática da própria Universidade e esta etapa objetivou

avaliar as atividades do desenho inicial. Notou-se que os sujeitos entenderam o

propósito das atividades, apesar de apresentarem dificuldades no registro algébrico

e na língua natural, no que se refere ao uso da notação de intervalos. Desta forma,

considerando as produções escritas e orais dos estudantes, os registros das telas de

seus computadores e partindo das sugestões recebidas na qualificação, em

consonância com a metodologia adotada, o desenho inicial foi reestruturado, de

modo a fornecer aos estudantes um contato inicial de análise de crescimento e

decrescimento de funções por meio da definição, fazendo com que o Cálculo

Diferencial surgisse como uma necessidade para a análise desse tipo de

comportamento no estudo de funções mais complexas. Ainda, foi realizada a

inclusão de uma atividade na qual os sujeitos resolviam algebricamente os mesmos

itens abordados anteriormente no ambiente computacional, visando investigar se o

contato experimental no registro gráfico poderia favorecer posteriormente a análise

algébrica.

A aplicação principal contou com a participação de dois alunos da mesma

universidade citada anteriormente, os quais não fizeram parte da aplicação

preliminar. Eles possuíam características semelhantes aos quatro alunos anteriores,

116

tais como, idade, semestre matriculado no curso, conhecimento do programa

Geogebra e contato com o objeto matemático em estudo.

Para esse novo grupo, não houve a necessidade de alterações do ambiente

ou redesign das atividades, porém, houve situações em que o professor-pesquisador

teve que realizar interferências ao longo da aplicação, fornecendo novos

questionamentos e orientações. Por exemplo, em determinado momento, foi

necessário revisar a notação de intervalos com uma aula expositiva. Neste caso,

coube ao professor-pesquisador detectar os momentos críticos, estabelecendo

intervenções somente quando os alunos apresentavam construções equivocadas ou

bloqueios.

Como primeira hipótese, consideramos que o experimento elaborado

favoreceria o aluno a articular os registros gráfico e algébrico do conteúdo proposto.

Em relação a essa hipótese, concluímos que os estudantes conseguiram

evidenciar, na maioria dos casos, os registros necessários para a tarefa. As

conjecturas obtidas por meio da experimentação no registro gráfico foram

institucionalizadas pelo professor-pesquisador e as conversões para o registro

algébrico ocorreram satisfatoriamente. Houve, em alguns casos, equívocos na

representação dos intervalos e nas representações em língua natural. Apesar disso,

consideramos que as dificuldades em trabalhar com mais de um registro relatadas

por Lucas (2009), foram amenizadas neste estudo, uma vez que os alunos

conseguiram transferir os conhecimentos obtidos a partir do registro gráfico quando

solicitados a fazer uma análise algébrica. Assim como no trabalho de Lucas (2009),

que evidenciou que o ambiente por ele criado e suas atividades contribuíram para a

compreensão e articulação dos registros algébrico e gráfico, consideramos que o

nosso experimento atingiu o mesmo objetivo, satisfazendo, assim, a nossa primeira

hipótese. Neste sentido, apoiados em Duval (2009), notamos a questão da

importância de se manipular mais de um registro de representação semiótica para

compreensão de um conceito matemático.

A segunda hipótese desse estudo considerava que o software adotado

permitiria um acesso mais independente ao objeto matemático.

117

Consideramos que esta hipótese também foi confirmada, dado que os

estudantes conseguiram evidenciar, de forma independente e com poucas

intervenções do professor-pesquisador, as relações entre o Cálculo Diferencial e o

comportamento de uma função, aplicando suas conclusões posteriormente na

análise algébrica das funções exploradas anteriormente no software. Em

consonância com Freitas (2009), consideramos que o software Geogebra forneceu a

possibilidade de um novo modelo de contato com os conceitos matemáticos,

favorecendo a mobilização simultânea de dois ou mais registros e o trabalho

independente na construção do conhecimento.

Desta forma, retomaremos, neste momento, as questões de pesquisa do

presente estudo.

A primeira questão de pesquisa foi: “Em que aspectos uma abordagem

elaborada com foco na exploração de diversos registros influencia os estudantes na

compreensão das funções propostas neste estudo?”

Concluímos que a abordagem proposta nessa pesquisa, ao integrar

principalmente os registros gráfico, algébrico e da língua natural, influenciou

positivamente os sujeitos na construção de uma sólida compreensão das relações

existentes entre o comportamento de uma função e suas primeiras e segundas

derivadas, uma vez que eles puderam verificar tais relações de acordo com as

especificidades dos registros envolvidos. Ressaltamos que Santos S. (2009)

também concluiu em sua pesquisa que a articulação entre dois registros, algébrico e

gráfico, contribuiu para a compreensão e aprofundamento de conceitos relacionados

às funções polinomiais.

A segunda questão de pesquisa foi: “Como o software adotado, ao viabilizar a

análise dinâmica das relações entre representações dos registros algébrico e

gráfico, contribui para a compreensão das funções propostas neste estudo?”

Concluímos que o software Geogebra, devido ao seu aspecto dinâmico,

contribuiu de forma eficaz nas investigações experimentais e que o seu uso, mesmo

na forma de applets dentro do ambiente, permitiu a visualização e manuseio de dois

ou mais registros de representação semiótica. Ainda, os estudantes se mostraram

motivados durante o processo e independentes na construção do conhecimento.

118

Neste contexto, concordamos com Melo (2002), que concluiu que num ambiente

computacional, o ensino de Cálculo passou a ser mais significativo, contextualizado

e motivador aos alunos. Apesar disso, vale destacar que o programa apresenta

limitações, como a relacionada com a precisão de números. Tal fato nos levou a

abandonar uma questão presente no experimento preliminar, referente à Atividade

1C, dado que sua aplicação fez com que os estudantes efetuassem conclusões

incorretas. Limitações com softwares ou dispositivos eletrônicos como calculadoras

gráficas que possuem programas internos específicos, também foram encontradas e

relatadas por Scucuglia (2009).

Diante das evidências obtidas, consideramos que o uso de um ambiente

computacional bem direcionado, construído de forma a integrar a manipulação de

mais de um registro de representação semiótica para o estudo de funções,

favoreceu, para os sujeitos participantes, o aprendizado dos conceitos abordados.

Como sugestões para novas investigações, indicamos o mesmo tipo de

dinâmica para a exploração de outros tipos de função, tais como as trigonométricas,

as racionais e as polinomiais com grau específico. Ainda, este tipo de exploração

também pode ser usado para o ensino de outras ciências, como, por exemplo, na

interpretação de gráficos usados em Física no estudo dos movimentos em

Cinemática.

Esperamos que este trabalho possa contribuir para a área de Educação

Matemática, representando um material adicional para o ensino do comportamento

de funções por meio do estudo de derivadas.

119

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121

APÊNDICE I – EXPERIMENTO INICIAL – PROJETO PILOTO

Atividade 1A

Função estudada: ( )

Atividade Experimental

Pergunta 01-A: Em qual (is) intervalo(s) a função é crescente? E decrescente?

Crescente Decrescente

Pergunta 02-A: No intervalo , qual o maior valor possível de y(A)? __________________

Pergunta 03-A: No intervalo , qual o menor valor possível de y(A)? ___________________

Atividade 1B



Pergunta 01-B: Em qual (is) intervalo(s) a função é crescente? E decrescente?


Pergunta 02-B: No intervalo , qual foi o maior valor de y(A)? _____________________

Pergunta 03-B: No intervalo , qual foi o menor valor de y(A)?_______________________

Pergunta 04-B: No intervalo , qual foi o maior valor de y(A)?_________________________

122

Atividade 1C



a) Determinar quais são os intervalos em que a função polinomial estudada é

crescente e quais são os intervalos em que é decrescente.


Atividade 2A



a) Em quais intervalos a reta tangente no ponto A, tem inclinação positiva?

b) Em quais intervalos a reta tangente no ponto A, tem inclinação negativa?

c) Em quais intervalos a função f é crescente?

d) Em quais intervalos a função f é decrescente?

123

e) Compare os valores encontrados nos itens anteriores. O que pode perceber

em relação a esses valores?

Atividade 2B



a) Complete a tabela, colocando os intervalos, no que se pede.

A B C D E

Crescente Decrescente ( ) ( ) ( )

b) Compare os valores encontrados nas colunas da tabela acima e diga o que pode ser

percebido em relação a esses valores?

Função Positiva e Função Negativa

Definição: Dizemos que uma função é positiva quando ( ) , e analogamente,

( ) negativa quando

124

Atividade 3A

Função estudada: ( ) ( )( )( )( )


a) Em quais intervalos a função é positiva?

b) Em quais intervalos a função é negativa?

c) Quais são as raízes da função estudada?

Atividade 3B



a) Complete a tabela no que se pede.

Intervalos ou ponto onde ocorre

( ) ( ) ( )

b) Clique no botão “Função 02” e a seguir complete a tabela.

Intervalos ou ponto onde ocorre

( ) ( ) ( )

125

Atividade 4A



a) Em quais intervalos f’ é positiva?

b) Em quais intervalos f’ é negativa?

c) Em quais intervalos f é crescente?

d) Em quais intervalos f é decrescente?


Atividade 4B



a) Mova o seletor “a” com o mouse. Clique na caixa de opção “exibir tangente”. Em seguida

complete a tabela no que se pede.

Intervalos

( ) ( ) Crescente Decrescente

126

b) Comparando os resultados observados na tabela anterior o que se pode observar.

Faça suas anotações.

Atividade 5A



a) Em quais intervalos f’’ é positiva?

b) Em quais intervalos f’’ é negativa?

c) Em quais intervalos f possui concavidade para cima?

d) Em quais intervalos f possui concavidade para baixo?


127

Atividade 5B



a) Mova o seletor “a” com o mouse. Em seguida complete a tabela no que se

pede.

Intervalos

( ) ( ) Côncava Para Cima

Côncava Para baixo

b) Comparando os resultados observados na tabela anterior o que se pode

observar. Faça suas anotações.

Obs.: Para auxiliar nas observações clique nas caixas de opção.

128

APÊNDICE II – ATIVIDADE PRINCIPAL

ATIVIDADE ZERO 01

Função estudada: ( ) , definida em


Vamos analisar algebricamente o comportamento dessa função.

Uma função , real de variável real, é crescente em A, A ( ), se, e

somente se, para quaisquer números e do conjunto A, ocorre

( ) ( )

Uma função , real de variável real, é decrescente em A, A ( ), se, e

somente se, para quaisquer números e do conjunto A, ocorre

( ) ( )

Sejam x1 e x2 elementos quaisquer de R. Considerando ,

verificaremos se ( ) ( ) ou se ( ) ( ). De acordo com a definição

apresentada anteriormente, se ( ) ( ) a função f será crescente e se

( ) ( ) a função f será decrescente.

Como a função é dada por ( ) , teremos que .

( ) e ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Logo, ( ) é crescente.

Agora verifique experimentalmente essa mesma situação. Para isso, abra a

“atividade zero 01” no ambiente computacional. Mova o ponto , de modo que

sempre tenha e compare o resultado obtido anteriormente com o que se

observa no experimento.

Agora tente você. Analise algebricamente o comportamento da função

( )

129

ATIVIDADE ZERO 02

Função estudada: ( ) , definida em


Agora resolva esta situação algebricamente, tomando dois pontos quaisquer

do domínio de f de modo que e analise o comportamento da função. Em

seguida, “abra a atividade zero 02” no ambiente computacional mova o ponto ,

de modo que sempre tenha e compare o resultado obtido algebricamente

com o que se observa no experimento.

ATIVIDADE 1A

Função estudada ( )

Atividade no ambiente papel e lápis

a) Tente fazer a mesma análise da atividade anterior para ( ) ,

definida em . O que você observa?

Devido à complexidade deste tipo de análise, introduziremos outra forma de

avaliar o crescimento/decrescimento de uma função, utilizando, para isso, o cálculo

diferencial.

ATIVIDADE 1A

Função estudada ( ) no intervalo

Atividade experimental

No ambiente computacional, mova o seletor, com auxílio do mouse e responda as

questões a seguir.

a) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, a reta tangente no ponto

A tem inclinação positiva?

130

b) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, a reta tangente no ponto

A tem inclinação negativa?

c) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, a função f é crescente?

d) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, a função f é decrescente?

e) Compare os resultados encontrados nos itens anteriores. O que pode

perceber em relação a esses resultados?

ATIVIDADE 1B



No ambiente computacional, mova o seletor, com auxílio do mouse e responda

as questões a seguir.

a) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, a reta tangente no ponto

A tem inclinação positiva?

b) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, a reta tangente no ponto

A tem inclinação negativa?

c) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, a função f é crescente?

d) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, a função f é decrescente?

131

e) Compare os resultados encontrados nos itens anteriores. O que pode

perceber em relação a esses resultados?

ATIVIDADE 2A



a) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, f’ é positiva?

b) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, f’ é negativa?

c) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, f é crescente?

d) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, f é decrescente?


ATIVIDADE 2B



c) Mova o seletor “a” com o mouse. Clique na caixa de opção “exibir tangente”.

Em seguida complete a tabela no que se pede.

Intervalos

( ) ( ) F(x) Crescente F(x) Decrescente

132

d) Comparando os resultados observados na tabela anterior, o que se pode

observar? Faça suas anotações.

ATIVIDADE 3A



a) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, f’’ é positiva?

b) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, f’’ é negativa?

c) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, f possui concavidade para

cima?

d) Em quais intervalos, considerando o domínio dado, f possui concavidade para

baixo?


133

APÊNDICE III – PRODUÇÃO ALGÉBRICA

Análise algébrica

1. Seja ( )

a) Determinar algebricamente o(s) intervalo(s) em que f é crescente

a. Considerando o domínio D(f) = [-2, 2]

b. Considerando o domínio D(f) = R

c. Compare o resultado do item a. com o da atividade 1A

b) Determinar algebricamente o(s) intervalo(s) em que f é decrescente




c) Determinar algebricamente o(s) intervalo(s) em que f tem concavidade para

cima




134

d) Determinar algebricamente o(s) intervalo(s) em que f tem concavidade para

baixo




2. Seja ( )

a) Determinar algebricamente o(s) intervalo(s) em que f é crescente




b) Determinar algebricamente o(s) intervalo(s) em que f é decrescente




135

APÊNDICE IV - TERMOS

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

O senhor (a) foi convidado (a) a participar desse estudo, que tem como tema

“FUNÇÕES: Análise de crescimento e decrescimento e de concavidade explorando os

registros de representações semióticas em um ambiente de geometria dinâmica”, por ser

aluno do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo e

por frequentar o 3º semestre do referido curso. O objetivo dessa pesquisa é investigar em

que aspectos uma abordagem diferenciada sobre o conteúdo de funções polinomiais de

grau maior que dois influencia na construção desse objeto matemático.

Ao participar deste estudo os senhores permitirão que sejam coletados os dados

necessários por meio de questionário, entrevistas e áudio-gravações para uso desta

pesquisa.

Declaro que eu, Izaias Cordeiro Néri, portador do RG 25.292.140-9 SSP, e do CPF

258.062.608-52, residente à Rua Gondomar, 46 São Paulo- São Paulo, aluno do Mestrado

Acadêmico em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN,

Campus Marte, estou realizando um estudo sobre funções polinomiais, com orientação da

Profa. Dra. Monica Karrer, RG 9.304.497-5 e CPF: 09715887830.

Em qualquer momento do estudo, o Sr.(a) terá acesso aos profissionais

responsáveis pela pesquisa para esclarecimento de eventuais dúvidas. Os contatos poderão

ser feitos por telefone (11) 8157-4591 ou (11) 5827-0069, ou via e-mail:

[email protected] ou [email protected].

Fica, portanto, estabelecido que o(a) Sr.(a) está participando de livre e espontânea

vontade e que, se desejar, tem o direito de desistir de sua participação a qualquer momento.

As informações nessa pesquisa serão mantidas em sigilo, garantindo, desta forma, seu

anonimato. A divulgação dos resultados será utilizada somente para esta pesquisa.

Não haverá despesas pessoais para o participante em qualquer fase do estudo.

São Paulo, ____,_______________,201____.

Profa. Dra. Monica Karrer

Izaias Cordeiro Néri

136

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Entendo que fui convidado (a) a participar como voluntário (a) dessa pesquisa

e acredito ter sido suficientemente informado (a) segundo o que li e o que me foi

explicado a respeito da mesma. Ficaram claros para mim quais os propósitos do

estudo, as garantias de confidencialidade e de esclarecimentos permanentes bem

com o fato de que minha participação é isenta de despesas.

Eu, _____________________________________________________,

concordo voluntariamente em participar deste estudo e poderei retirar o meu

consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem penalidades

ou perda de qualquer benefício que eu possa ter adquirido com a minha participação

neste estudo.

Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e

Esclarecido deste colaborador para a participação neste estudo.

Pesquisador responsável pelo estudo

Izaias Cordeiro Néri

RG 25.292.140 – 9

______/_____/ _____

RG

funÇÕes análise de crescimento e decrescimento e de ... · geogebra. 3. registros de...

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