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MATEMÁTICA – 2012

APLICAÇÕES DE FUNÇÃO DE 1o e 2

o GRAU

FUNÇÕES ECONÔMICAS

I - Curvas de oferta e demanda

Uma das definições de "curva de demanda" (procura) é a seguinte: "A curva de demanda é uma

construção teórica que nos diz quantas unidades de um determinado bem de consumo os

consumidores estarão desejosos de comprar, durante um período de tempo, a todos os possíveis

preços, presumindo-se que os gostos dos consumidores, os preços das outras mercadorias e as

rendas dos consumidores se mantenham inalterados". Na mesma linha, a “curva de oferta" é uma

construção teórica que nos diz quantas unidades os produtores de uma mercadoria em determinada

indústria estão dispostos a vender em um certo período de tempo.

Na prática, algumas curvas de oferta e demanda são aproximadamente lineares na faixa de valores

que interessa; outras são não-lineares. No entanto, mesmo nesses casos, as equações lineares podem

oferecer representações de oferta e demanda razoavelmente precisa dentro de uma faixa limitada.

A figura (A) mostra uma representação mais geral de curvas de oferta e demanda, enquanto a figura

(B) representa a oferta e a demanda como funções lineares.

Deve-se observar, como é indicado nas figuras (A) e (B) que apenas as partes das curvas que estão

no 1° quadrante interessa à análise econômica. Isto porque a oferta, o preço e a quantidade de

demanda são, em geral, iguais a 0 ou a um número positivo. Por exemplo, nas formas mais simples

da análise econômica;

(1) A oferta negativa significa que os artigos não estão disponíveis no mercado, porque eles não são

produzidos ou porque eles são retidos até que um preço satisfatório seja oferecido por eles.

(2) O preço negativo significa que são pagos preços aos compradores para a remoção de artigos do

mercado.

(3) A demanda negativa significa que o preço é tão alto que impede a atividade de mercado, até que

os artigos sejam oferecidos a um preço satisfatório.

Os casos apresentados podem ocorrer mas sua incidência não é freqüente, sendo examinada

apenas em análises econômicas mais avançadas.

Devemos compreender que a equação de uma reta não indica a faixa de valores de x (quantidade

demandada ou ofertada) e y (preço) que deverá ser considerada, quando ela é especificada, como no

caso presente, onde interessam apenas os valores positivos ou nulos, ou seja, onde preços ou

quantidades negativas não são significativas, a faixa de valores de x e y é restrita. Essas restrições

baseiam-se na interpretação e no significado da equação para uma aplicação particular, elas não se

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baseiam nas suas propriedades matemáticas inerentes. Deve-se ter em mente esse fato, a fim de

evitar interpretações errôneas, principalmente quando se consideram equações mais complicadas.

No caso presente o domínio das funções de oferta e demanda será sempre * ou assim como

o contradomínio dessas funções.

Curvas de demanda lineares - Normalmente, a declividade de uma curva de demanda linear é

negativa, isto é. à medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui (e à medida que o

preço diminui, a quantidade procurada aumenta), isto é, a função de demanda linear é geralmente

decrescente. Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser nula. Isto é, o preço

é constante, independentemente da demanda. Em outros casos, a declividade de uma curva de

demanda pode ser indefinida, isto é, a procura é constante, independentemente do preço. Note que

neste caso. A curva de demanda é uma reta paralela a Oy e logo, não é gráfico de função . (Observe

as figuras a seguir)

Declividade de demanda negativa

Declividade de demanda nula

Declividade de demanda indefinida

P

qd

PP

qdqd

Observação: Dependendo das informações disponíveis, diferentes formas da reta podem, em cada

caso, ser mais convenientes para se obter a função de demanda.

Exercícios:

1) 10.000 relógios são vendidos quando seu preço é R$ 60,00 e 20.000 relógios são vendidos

quando seu preço é R$ 40,00. Qual é a equação da demanda, sabendo que ela é linear? Esboce o

gráfico dessa função de demanda.

2) Quando o preço é R$ 90,00 nenhum relógio é vendido; quando os relógios são liberados

gratuitamente, 30.000 são procurados. Qual é a equação da demanda sabendo que ela é linear?

Esboce seu gráfico.

3) Por serem considerados necessários à segurança nacional, são comprados anualmente 50

geradores de serviço pesado, independentemente do preço. Qual é a equação da demanda?

4) O preço do leite foi congelado por 6 meses, no valor de R$ 1,40. Qual é a equação de demanda

nesse período? Qual o gráfico da curva de demanda?

5) Um certo produto tem equação de demanda 2x+4p-6=0, onde p é o preço unitário e x o número

de milhares de unidades. Determine o preço por unidade para uma demanda de 1000 unidades e

determine a demanda se o produto for oferecido gratuitamente.

Curvas de oferta lineares - Normalmente, a declividade de uma curva de oferta linear é positiva,

isto é, à medida que o preço aumenta, a oferta aumenta e à medida que o preço diminui, a oferta

diminui. Em certos casos, a declividade de uma curva de oferta linear pode ser zero, isto é, o preço

é constante, independentemente da oferta (reta paralela a Ox). Em outros casos, a declividade pode

ser indefinida, isto é, a oferta é constante, independentemente do preço (reta paralela a Oy).

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Exercícios:

1) Quando o preço for de R$ 50,00, 50.000 máquinas fotográficas de um determinado tipo estão

disponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00, 100.000 máquinas estão disponíveis no

mercado. Qual é a equação da oferta? Esboce o gráfico dessa curva de oferta sabendo que ela é

linear.

2) Quando o preço for de R$ 25,00 nenhuma bola de um determinado tipo está disponível no

mercado, enquanto que para cada R$ 10.00 de aumento no preço, 20.000 bolas a mais estão

disponíveis. Qual é a equação da oferta, sabendo que a curva é linear?

3) De acordo com os termos de contrato entre a Companhia A e a companhia telefônica, a

Companhia A paga à companhia Telefônica R$ 1.000,00 por mês para chamadas a longa distância,

com duração de tempo limitada. Qual é a equação da oferta?

4) Dada a equação de oferta 3x-8p+l0=0, sendo x em centenas de unidades e p o preço unitário,

qual o preço por unidade pelo qual 200 unidades são ofertadas?

II - Equilíbrio do mercado

Foi visto que no caso da função de demanda, uma elevação no preço corresponde (geralmente) a

uma redução na quantidade demandada e no caso da função de oferta, uma elevação no preço

corresponde a uma elevação na quantidade ofertada. Então, até que nível variará o preço se de um

lado, o consumidor deseja preços sempre menores e de outro, o produtor interessa-se por preços

sempre maiores? E a esse preço, quais serão as quantidades consumidas (demanda) e produzidas

(oferta)? Haverá um preço que satisfará, em termos de quantidade, aos consumidores e produtores;

é o chamado "preço de equilíbrio". O "equilíbrio de mercado" ocorre então num ponto no qual a

quantidade de um artigo procurado é igual à quantidade oferecida. Portanto, supondo que as

mesmas unidades para a quantidade demandada e a quantidade ofertada sejam usadas em ambas as

equações (oferta e demanda), a quantidade de equilíbrio e o preço de equilíbrio correspondem às

coordenadas do ponto de interseção das curvas de oferta e de demanda. Algebricamente, as

coordenadas desse ponto são encontradas, resolvendo-se o sistema formado pelas equações de

oferta e procura.

Obs: Em geral, para um equilíbrio ser significativo economicamente, as coordenadas do ponto de

equilíbrio (interseção das curvas) devem ser positivas ou nulas, isto é, as curvas devem interceptar-

se no 1° quadrante.

Exercícios:

1) Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de demanda p = 10-2q e

p = 3/2q+1.

2) Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de demanda p = 5 - 3q e

p = 4q + 12.

Obs: O nome Ponto de Equilíbrio dado ao ponto P(qe, pe) advém do seguinte:

Suponha que o bem esteja sendo oferecido a um preço p1 > pe. Traçando uma reta horizontal de

ordenada p1, determinaremos a quantidade demandada correspondente qd e a quantidade oferecida

correspondente qo (figura abaixo). Como qd < qo há uma tendência de queda de preço. Um

raciocínio semelhante indica que se o preço que o bem é oferecido é menor que pe, então a

quantidade demandada é maior que a oferecida, e o preço tende a subir.

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demanda

qd qe qo

oferta

P

q

p

p1

pe

3) Sendo x² +p² =25 e p-x-1=0 respectivamente equações de demanda e oferta de um bem, x em

1000 unidades e p o preço unitário, determine o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio.

Ill - Função receita

É diretamente proporcional à quantidade vendida. É entendida como sendo o produto entre o preço

de venda (p), pela quantidade vendida (q). R = p.q

Na atividade operacional de uma empresa, diversos fatores contribuem para a formação da receita

proveniente do volume de vendas. Fatores como volume de produção e potencial de mercado não

podem ser esquecidas na formação da receita, porém, em pequenos intervalos onde já foram

consideradas as variáveis restritivas e considerando-se o preço constante nesse intervalo de

produção, o rendimento total da empresa será função somente da quantidade vendida.

Por exemplo, se for tomada uma produtora de caixas registradoras que são vendidas a R$ 80,00

cada, se não for vendida unidade alguma, a Receita será 0; se forem vendidas 100.000 unidades, o

rendimento total (receita total) será 8 milhões de reais. Vê-se então que a função receita pode ser

uma função linear cujo gráfico é uma reta que passa pela origem e tem como declividade o preço de

venda (por unidade).

No caso da Receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é R(q) =

p.q onde R é a receita total (rendimento total), p é o preço por unidade do produto e q é a

quantidade vendida. Como p > 0, o gráfico é do tipo:

R

q (quantidade)

R(q) = p.q

Obs.1: Se p(preço) é fixo, R é uma função linear da quantidade vendida. Porém se o preço é dado

pela equação de demanda de um bem, a equação da receita não será linear. Nesse caso R(q) = f(q).q,

onde p = f (q) é a função preço de demanda.

Obs.2: A função Receita Média é a função que a cada q associa q

qR )(, ou q seja, a função Receita

Média coincide com a função preço de demanda.

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Exercícios:

1) Um certo bem tem por equação de demanda p² + x2 - 2500 = 0, onde p é o preço e x a quantidade

demandada. Determine a função receita e a função receita média com seus respectivos domínios.

Qual a receita e a receita média se a quantidade demandada são 40 unidades?

IV - A função custo

Os custos de empresas são classificados em duas categorias: fixos (CF) e variáveis (Cv). Os custos

fixos permanecem constantes em todos os níveis de produção e incluem comumente fatores tais

como aluguel, instalação, equipamentos, etc. Ele permanece constante, independentemente de

volume de produção ou de venda. Os custos variáveis são aqueles que variam com a produção e que

incluem fatores tais como mão-de-obra, matéria prima utilizada, gastos promocionais, etc.

O custo total (C) em qualquer nível de produção é a soma do custo fixo e do custo variável nesse

nível de produção.

Sendo c o custo variável unitário de produção de determinado bem e q a quantidade produzida, o

custo variável é dado por Cv = c.q (nesse caso, o custo variável é função linear da quantidade

produzida e seu gráfico é a equação de uma reta que passa pela origem e tem declividade (c)

positiva).

O custo total (C) pela produção de q unidades do referido bem é dado, então, pela equação C= c.q +

CF, onde c é o custo variável unitário de produção do bem e CF é o custo fixo.

Nesse caso, o custo total é uma função (afim) da quantidade produzida e seu gráfico é uma reta com

declividade positiva (c). C

Cv

Cf

Obs.: A função Custo Médio é a função que a cada q associa q

qC )(.

V - Ponto de Ruptura

(Break Even Point) - (ou ponto de nivelamento )

O ponto P de interseção das curvas C (Custo Total) e R (Receita) refere-se ao nível de atividade da

empresa em que ela não obtém nem Lucro nem Prejuízo, ou seja, a receita é igual ao custo total. Ele

representa também a quantidade na qual o produtor está para romper o equilíbrio - isto é, a

quantidade para a qual existe um rendimento suficiente apenas para cobrir os custos. A empresa

fará, certamente, todo o esforço necessário para ultrapassar esse ponto, gerando, conseqüentemente,

uma parcela de lucro, rompendo essa situação.

Para se obter as coordenadas de PR, basta achar a interseção das curvas R e C. No caso de funções

lineares (retas), o ponto PR delimita duas regiões:

uma à esquerda, representando o Prejuízo (pois para cada q<qp, o custo total é maior que a receita) e

uma à direita, representando o Lucro (pois para cada q>qp, o custo total é menor que a receita).

A abscissa qmax representa a quantidade máxima de produção da empresa, ou seu nível de atividade

máxima (Unidades fabricadas e / ou Vendidas) para a estrutura de custo considerada.

É importante notar que quanto mais próximo PR estiver da origem, menor será a quantidade a ser

fabricada (ou vendida) para que a empresa passe a operar com lucro.

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qr

PR

R

C

qmax

PR (q ;C(q ) = R (q ) ) R R R

VI - A função lucro

A função lucro é definida por L = R - C, onde R é a função receita e C a função custo total.

No caso de funções lineares, L = (p - c)q - Cf, onde p é o preço de venda por unidade, c é o custo

variável unitário do produto e Cf é o custo fixo. Então, nesse caso, o lucro é uma função (afim) da

quantidade vendida (ou fabricada). (Note que o ponto de ruptura é obtido fazendo L = 0)

Exercícios:

1) 0 custo unitário de produção de um bem é R$ 5,00 e o custo associado à produção é R$ 30,00. Se

o preço da venda do referido bem é R$ 6,50 determinar:

a) A função custo total;

b) A função receita;

c) A função lucro;

d) O ponto de ruptura;

e) A produção necessária para um lucro de R$ 120,00.

2) Um fabricante vende seu produto a R$ 25,00 por unidade. Os seus custos fixos estimados em R$

13.000,00 e os custos variáveis em 40% do rendimento total. Sua capacidade média de produção é

5.000 unidades/mês. Determinar:

a) A equação do custo variável;

b) A função receita;

c) A função custo total;

d) A função lucro;

e) O ponto de ruptura;

f) Qual o lucro obtido na produção e venda de sua capacidade máxima?

VIl – Observação

É fácil compreender que o comportamento de uma grandeza e suas variações, bem como a relação

entre as variáveis, nem sempre é linear.

Sabe-se, por exemplo, que entre a receita obtida e a quantidade vendida existe uma relação e pode-

se estabelecer um modelo que interprete a relação funcional entre as variáveis que certamente não

poderá ser linear, pois, de acordo com as restrições de mercado, crescimento populacional, etc., a

receita não poderá crescer indefinidamente. Outras funções, além de lineares, são utilizadas para

representar situações que ocorrem na prática.

3) O custo de produção de determinada mercadoria é dado por um custo fixo de R$ 32,00, que

inclui despesas como salário, energia elétrica, água e impostos mais um custo variável de R$ 5,00

por peça produzida. Considerando a receita da mercadoria, isto é, o preço de venda seja de R$

82,00, determine a função lucro dessa mercadoria, que calcula o lucro de acordo com o número de

unidades vendidas.

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4) Uma fábrica vende seu produto por R$ 25,00, os seus custos fixos estão

estimados em R$ 13.000,00 e o custo unidade é 40% do preço de venda. Sua

capacidade máxima de produção é de 5.000 unidades. Determine:

a) O lucro obtido para a produção máxima

b) O ponto de equilíbrio

Obs: O ponto de equilíbrio será aquele em que a Receita Total é igual ao Custo Total, a partir deste

ponto haverá oferta.

5) A receita mensal (em reais) de uma empresa é R(p) = 20000p – 2000p², sendo p o preço de venda

de cada unidade.

a) Qual a receita quando o preço de venda de cada unidade é de R$ 8,00?

b) Qual o preço de venda de cada unidade para gerar uma receita de R$ 45.500,00?

c) Qual o preço de venda que maximiza a receita? Qual a receita máxima?

d) Representar graficamente a função receita dada.

6) O lucro mensal (em reais) de uma empresa é L(p) = –3000p² +36000p – 81000, sendo p o preço

de venda de cada unidade.

a) Qual o lucro quando o preço de venda de cada unidade é de R$ 4,20? E quando o preço de venda

unitário é R$ 8,00?

b) Determine o intervalo de preço de venda para o qual a receita da empresa passa a superar as

despesas?

c) Qual o preço de venda que maximiza o lucro? Qual o lucro máximo?

d) Representar graficamente a função lucro dada.

e) Para que valores de p o lucro é superior a R$ 20.250,00?

7) O lucro mensal L (em reais) de uma microempresa é L(p) = – 4000p² + 48000p – 128000, sendo

p o preço de venda de cada unidade. Obter o preço de venda que maximiza o lucro e o valor do

lucro máximo;

8) Seja q = 20 - p a equação da demanda de um bem e C = 2q + 17 a equação do custo total

associado. Pede-se:

a) Determinar a função receita e seu gráfico;

b) Determine o ponto de ruptura;

c) Determine a função lucro e seu gráfico;

d)Determinar o valor de q para que L seja máximo.

9) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada

bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$

5,50 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,90, calcule:

a) o preço de uma corrida de 10 km.

b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 19,00 pela corrida.

10) O custo variável unitário de um bem é R$12,00 e o custo fixo é R$60,00.

Sabendo que o preço de venda do produto é R$20,00, determine:

a) a função do custo total.

b) a função receita Total.

c) A função Lucro total.

11) A quantidade de equilíbrio (q) para um produto é aquela a ser produzida e

comercializada tal que o custo de produção (C) é igual a receita de vendas (R). Se

R = 10q e o custo é C = 4q+1800, qual a quantidade de equilíbrio para este produto?

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12) Seja a oferta de um produtor dada pela função q = 0,1p - 40 e a função que

representa a demanda dos consumidores é q = 500 - 0,2p. Nestas condições, qual

a quantidade e o preço de equilíbrio deste mercado?

13) Esboce o gráfico da Função Custo C(q)=24000+7q e da Função Receita R(q)=15q sobre os

mesmos eixos . Sobre o gráfico, marque o custo fixo e o custo variável por unidade. Para quais

valores de q a firma ganha dinheiro? Explique sua resposta graficamente. Ache a fórmula para

Função Lucro. Faça o gráfico, marcando o ponto crítico.

14) Um operário recebe de salário R$ 600,00, mais R$ 10,00 por hora extra trabalhada (2,0 pontos).

a) Determine uma expressão que relacione o salário em função da quantidade de horas extras

trabalhadas no mês.

b) Sabendo que 50 é o número máximo permitido de horas extras em um mês, esboce o gráfico da

função obtida no item anterior.

15) O custo de fabricação de um bem é dado por: C(x) = 3x + 50, pede-se:

a) o custo de produção de 10 unidades;

b) a quantidade produzida para um custo de R$ 200,00.

16) O lucro na venda de x unidades de um produto é dado pela relação:

L(x) = 5x – 200. Pede-se:

a) o lucro na venda de 80 unidades;

b) a quantidade vendida para um lucro de R$ 240,00;

c) a quantidade vendida para que não haja nem lucro e nem prejuízo.