ficha05 10mat a funcoes

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AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTGUA ESCOLA SECUNDRIA DR. JOO LOPES DE MORAIS - MORTGUA

Ficha de Trabalho N05 10 Ano MATEMTICA A Funes Ano Letivo 2013/2014

1- Dois atletas amadores partem ao mesmo tempo de uma povoao com destino cidade mais prxima, seguindo pela mesma estrada. A prova dos corredores A e B representada pelo grfico ao

lado. Diga, se possvel, se verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposies:

I) A estrada sempre a subir desde a povoao at cidade.

II) A vai sempre frente de B. III) B corre em ziguezague de um lado ao outro da

estrada.

IV) A chega em primeiro lugar cidade. V) B corre mais depressa do que A. VI) A corre com velocidade constante.

2- Represente graficamente (sem calculadora) as funes definidas em IR por : 6)()55,0)()23)()12)1)() tsettvduuhcxybxxfa

e indique para cada uma contradomnio, monotonia e os pontos de interseco com os eixos.

3- Seja f a funo real, de varivel real, representada no grfico. 3.1) Estude a funo quanto a:

a) domnio e contradomnio. b) zeros. c) monotonia e extremos (relativos e absolutos). d) sinal e) injectividade. f) paridade e continuidade

3.2) Indique um intervalo onde a funo seja crescente e negativa.

3.3) Calcule a taxa de variao mdia no intervalo 2 ; 3. Que concluso pode tirar ?

3.4) Complete a definio da funo

2,......

21,......

1,......

)(

x

x

x

xf

4- O grfico ao lado relaciona a distncia ao ponto de partida com a hora do dia durante uma excurso de

bicicleta a uma lagoa.

a) A que horas partiram? A que horas chegaram lagoa? Quanto tempo demorou a ida? E o regresso?

A que horas tero parado para almoar e durante

quanto tempo?

b) Qual o domnio de d? E o contradomnio? c) Em que instantes d(h) mxima e mnima e quais os seus valores? d) Qual a velocidade mdia da viagem de ida? E de regresso? Quando andaram mais depressa?

5- De um balo a 200 metros acima do solo, deixa-se cair um saco de areia. 5.1) Sabendo que, desprezando-se a resistncia do ar, a distncia d(t) do

saco de areia, em queda, at ao solo, aps t segundos, dada (em

metros) por 2005)( 2 ttd , determine:

a) a quantos metros do solo se encontra o saco, 3 s aps ser largado?


b) ao fim de quanto tempo o saco atinge o solo?

5.2) Considere a funo

2005

7,0:

2

tt

IRd

a) Construa um quadro de valores e apresente uma representao grfica de d. b) Indique o contradomnio, os zeros e classifique quanto monotonia e injectividade a funo.

6- O Fernando e a irm vivem beira de uma estrada que conduz a um castelo situado a 5Km de distncia. Ambos trabalham no Castelo, ela no perodo da manh e ele no perodo da tarde. Cruzam-

se sempre no caminho para que ela lhe possa entregar a chave do Castelo. Ele sai de casa s 12

horas e demora 15 minutos a fazer cada quilmetro. mesma hora a sua irm sai do Castelo e

dirige-se para casa demorando 20 minutos para percorrer cada quilmetro.

A que horas se cruzam? E a que distncia do Castelo? Qual ser a hora de encerramento para

almoo no Castelo?

7- Uma flecha lanada para cima e a altura h que atinge t segundos depois dada, em metros, por

25305)( 2 ttth .

a) A flecha atingir a altura de 15 m? E de 25 m? b) Qual a altura mxima que atinge? c) A flecha passa duas vezes pela altura 8,75m. Em que instantes?

8- Em dado losango a diagonal maior dupla da menor. Designando por d metade da diagonal menor:

a) Exprima o permetro P em funo de d. b) Encontre algum tipo de proporcionalidade entre P e d? c) Esboce o grfico da funo P. d) Exprima a rea do losango em funo de d e esboce o grfico respectivo, para

8,0 . Pode usar um referencial dimtrico.

9- Uma caixa com tampa, de base quadrada, tem x cm de aresta da base e 100cm de volume. a) Exprima a rea A da caixa em funo de x. b) Indique o domnio da funo A(x). c) Calcule A(5). d) Que acontece a rea A quando x se aproxima de zero?

10- A Dulce encontra-se sobre uma rocha e vai lanar uma bola para cima. A altura h (em metros) da bola relativamente ao solo, ao fim do tempo t (em segundos), dada por h(t) = -5t

2+30t+2.

a) Qual a altura da rocha ? b) A que altura do solo se encontra a bola aps 2 segundos ? c) Em que instante a bola atinge o solo (aproximao a menos de 0,01)? d) Qual a altura mxima atingida pela bola ?

11- Com 100 m de rede vedam-se 3 lados de um terreno rectangular beira de um rio. Exprima a rea do terreno em funo do lado x. Estude o

domnio da funo e esboce o grfico. Faa um estudo da funo

relativamente a zeros, monotonia, extremos e injectividade. Conclua

qual a rea mxima que se pode vedar com os 100 m de rede. Faa um

relatrio com desenhos escala de vrios rectngulos possveis.

12- Que dimenses deve ter uma lata cilndrica com tampa e com 330 ml de capacidade para que seja mnima a quantidade de folha metlica necessria para a construir? (dimenses s centsimas)


13- Um agricultor comprou 6 m de rede para fazer um galinheiro rectangular, como ilustra a figura. Para optimizar o empate de capital

feito na compra da rede, pretende que o galinheiro tenha rea mxima.

Ajude o agricultor a resolver o problema seguindo os seguintes passos:

a) Exprima l em funo de c. b) Exprima a rea A do galinheiro em funo de c. c) Determine o valor de c para o qual a rea mxima e o

correspondente valor de l.

14- Utilize a calculadora grfica para estudar cada uma das as funes seguintes:

2

3)

1)||))intg())))) 32

xyh

xygxyfxyexydxycxybxya

Para cada uma das funes registe:

o grfico;

domnio e contradomnio;

intervalos de monotonia e extremos;

continuidade;

simetrias relativamente origem e ao eixo dos yy;

o que acontece quando x tende para infinito ( ou );

o que acontece nas proximidades dos pontos que no pertencem ao domnio.

15- Um jovem estudante em frias chega gare do caminho de ferro de uma vila portuguesa e precisa de utilizar um carro de aluguer para se deslocar a uma aldeia situada no cimo da serra, a 40 Km da

estao. Foi de imediato abordado por um rapazinho que, muito solcito, lhe perguntou qual dos dois

carros de aluguer ali estacionados queria ele utilizar. Perante a surpresa do estudante, explicou:

"C, s h estes dois carros, mas levam preos diferentes. O Sr. Mota leva 250 pelo transporte da bagagem e 040 por Km; o Sr. Passos cobra 060 por Km, mas no leva nada pelo transporte da bagagem. Sabe? As pessoas da aldeia "Ver-o-Rio ", que fica a 8 Km daqui, s querem ir no carro do Sr. Passos e os da "Beira Serra", que fica a pouco mais de 12 Km da estao, dizem que tanto se lhes d... "

Depois de pensar um pouco, o nosso jovem turista decidiu ir no carro do Sr. Mota, pois precisava de

poupar dinheiro...

a) Parece-lhe uma escolha acertada. E os habitantes das duas aldeias referidas, sabem ou no gerir as suas despesas de transporte?

b) Designe por x a extenso do percurso (em Km) e por f(x) e g(x) o custo das viagens com o Sr. Mota e com o Sr. Passos, respectivamente. Construa num referencial ortogonal, os grficos das

duas funes no intervalo [0,50] (em Km). Utilize os grficos que construiu para justificar

convenientemente as respostas s perguntas feitas em a).

16- Indique as coordenadas do vrtice, o eixo de simetria e as coordenadas dos pontos de interseco com os eixos coordenados das parbolas e seguidamente represente-as graficamente:

542)86)12)1)3()1)3(2) 22222 xxexxydxxycxybxya

17- Escreva as equaes das parbolas com: a) a mesma forma que y = x2 e vrtice em (5 , 2). b) a mesma forma que y = x2 e vrtice em (-2 , 3). c) a mesma forma que y=2x

2 e zeros 1 e 3. d) vrtice em (1 , -2) e zero 1,5.

18- Estude a variao de sinal de cada um dos trinmios seguintes.

)4)(2()274)875)

85)128)22)

22

222

xxfxxexxd

xxcxxbxxa

19- Represente graficamente a funo 128: 2 tttm .

Resolva, grfica e analiticamente, a inequao 51282 xx .


20- Aps efectuar a representao grfica, estude o sinal das funes definidas em IR por:

||)4|3|2)4|6|2)4|62|)

||34)2|1|3)||5)3||)

xyhxygxyfxye

xydxycxybxya

21- Resolva graficamente, e confirme analiticamente, os sistemas: a)

xy

xy 2 b)

xy

xxy

2

1

2

22- Na figura esto representados os grficos de trs funes de domnio IR: 222 )3()(;1)1()(;3)( xxhxxgxxf

a) Identifique-as. b) De cada parbola, indique as coordenadas do seu vrtice. c) Estude a monotonia e o sinal de cada uma delas.

d) Indique o conjunto soluo da inequao 0)( xg .

23- Dado o trinmio kxkxxf 5)( 2 , determine k de modo que:

IRxxfbIRxxfa ,0)(),0)() .

24- Resolva as inequaes:

1)4(434)1324

35)0)3(8)3()

034)45)04)032)065)

2232

22222

xxxxxhxxx

gxxxf

xxexxdxcxbxxa

25- Represente graficamente o conjunto soluo da condio xyxy 2 .

Indique quais os nmeros reais que so maiores que os respectivos quadrados.

26- Represente graficamente as funes definidas por:

2,108

23,5

3,12

)()1se)1(2

1se12)()

2

2

xxx

x

xx

xgbxx

xxxfa

27- Considere a funo

1xse,|3-x|3-

1se,)(

2 xxxxm .

a) Represente graficamente a funo. b) A funo injectiva? Justifique. c) Indique o contradomnio.

d) Indique o conjunto soluo de cada uma das condies: 2)(e0)( xmxm .

28- Represente graficamente as funes xxxgxxf 2)(e9)( 32 .

A partir dos grficos de f e g, esboce os grficos de:

1)3()(1)3()())2()()(2)()

)()()()()|)(|)(|)(|)()

)5()()5()()5)()(5)()()

6655

4433

2211

xgxgxfxffxgxgxfxfe

xgxgxfxfdxgxgxfxfc

xgxgxfxfbxgxgxfxfa

29- Dispe-se de 1000 Euros para vedar uma parte de um terreno rectangular. A vedao dever ser feita em tijolo num dos

lados e em rede nos trs lados restantes, conforme o ilustrado

ao lado. Cada metro de rede custa 5 Euros e cada metro de

parede em tijolo, 15 Euros. Qual a rea mxima que se

consegue vedar?

Tente resolver o problema seguindo os passos que se sugerem:


a) Exprima c em funo de x e mostre que a rea que se consegue vedar, em funo de x, dada

por 22100)( xxxA .

b) Determine o valor de x para o qual a rea mxima e qual o valor dessa rea. (Utilize as capacidades grficas da sua calculadora e confirme analiticamente).

30- Num jogo de futebol o guarda-redes repe vrias vezes a bola em jogo atravs de um pontap de baliza. Imagine que num desses pontaps a altura h em relao ao relvado e a distncia d alcanadas

pela bola foram relacionadas atravs da funo ),d(d,)d(h 560020 , ambas em metros.

a) Calcule h(48) e interprete o valor encontrado. b) Obtenha a distncia d alcanada pela bola. c) Obtenha a altura mxima atingida pela bola.

31- A expresso 25.5 xxy traduz o pulo de um gato em que y a altura ao cho e x a distncia

alcanada na horizontal, ambas em metros.

a) Determine a distncia a que o gato caiu. b) Obtenha a altura mxima atingida pelo gato.

c) Qual o significado da inequao 6)( xy ? Resolva-a analiticamente.

d) Escreva-a na forma khxay 2)( e modifique-a de modo a variar apenas a altura do salto.

32- Pretende-se imprimir um texto numa pgina rectangular de 104cm de permetro, com as margens de 4cm no topo e de 3cm em baixo e dos lados.

a) Exprima a largura y em funo da altura x e mostre que a rea ocupada

pelo texto dada, em funo de x, por 32253xxA(x) 2 .

b) Quais devem ser as dimenses da pgina para que o texto ocupe uma rea mxima, e qual o valor dessa rea, a menos de 0.1 cm

2?

c) Para se introduzir uma imagem decidiu-se que a rea A(x) ocupada pelo texto deve ser superior ou igual a 248cm

2. Determine analiticamente os

valores de x que satisfazem essa condio.

33- Seja f a funo polinomial de grau 3, cuja representao grfica se apresenta ao lado. a) Indique um intervalo onde: I) f positiva e crescente. II) f negativa. b) Determine, recorrendo a intervalos, o conjunto-soluo das condies:

I) 0)( xf II) 0)4()( 2 xxf

(em II) recorra sobreposio dos grficos de 24dee)( xyxf ) c) Uma das expresses seguintes define f(x). Verifique que I), II) e IV) no definem f(x).

d) Represente na sua calculadora o grfico de f(x) e procure, no intervalo [0,1], dois valores

diferentes de x para os quais 3)( xf .

e) Indique para que valores de k: i. a funo )()( kxfxg tem dois zeros positivos e um negativo.

ii. a funo kxfxg )()( tem um nico zero.

34- Sejam f e g funes reais cuja variao de sinal se apresenta no quadro seguinte:

x -2 1 3

Sinal de f(x) - 0 - - - 0 +

Sinal de g(x) + 0 - 0 + + +

a) Indique o conjunto-soluo das condies: 0)1()2()

0)()()(0)()()

xgxfIII

xgxfIIxgxfI

y

c

m

13)()1)(3()(33)()1)(1)(3() 23223 xxxIVxxIIIxxxIIxxxI


b) Justifique que f e g no so pares. c) Sabendo que f e g so funes polinomiais, respectivamente de grau 3 e 2, cujo coeficiente de

maior grau 2 para as duas funes, defina f e g na forma de produto de factores do 1 grau.

35- Numa aula de Fsica, dois jovens depositaram num recipiente cilndrico de 10 cm de dimetro interior uma esfera metlica com 2 cm de raio. Seguidamente deitaram gua

no recipiente at que esta ficasse tangente esfera.

a) Que quantidade de gua tiveram de deitar no recipiente? b) Um dos jovens sugeriu que se substitusse aquela esfera por outra maior de

modo que, sem variar a quantidade de gua, a superfcie desta ainda ficasse

tangente nova esfera. Ser isto possvel? Caso afirmativo determina um

valor aproximado do raio da nova esfera a menos de 0,1 cm.

36- Na figura ao lado, a base tem a forma de um cubo, com x metros de aresta, onde assenta um prisma triangular regular. A altura ao cume 7.

a) Mostre que o volume V dado por 32 )7(2

1)( xxxxV .

b) Determine o valor de x, a menos de uma centsima, tal que V = 100 m3.

37- O fabrico das embalagens de carto para o leite processa-se numa fbrica a partir de folhas

quadradas com 30cm de lado por recorte e dobragem como indica a figura.

a) Verifique que o volume da embalagem pode ser expresso em funo de x por

xxxxV 450602)( 23 .

b) Determine o valor do volume mximo que os pacotes de leite podero ter.

38- Diga qual o valor lgico das afirmaes seguintes. Em cada caso explique porqu. i. Se um polinmio admite apenas trs razes reais ento do 3 grau.

ii. Se um polinmio P tem mais razes do que um polinmio Q, ento o grau do polinmio P maior do que o grau do polinmio Q.

iii. Qualquer polinmio de grau superior ao primeiro admite sempre, pelo menos, uma raiz real.

39- Na figura est representado, em referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revoluo. A altura do cilindro 3 e uma das bases est contida no

plano xOy, sendo o seu centro o ponto (0, 1, 0) e o seu raio igual a 1.

Seja 20,b e seja f a funo que, a cada valor de b, faz corresponder o permetro da seco produzida no cilindro pelo plano de

equao y=b.

Qual o mximo da funo f ?

(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12


40- O Antnio, o Bruno e o Carlos so trs amigos que tomam banho de maneira diferente.

O Antnio toma duche e no tem por hbito fechar a gua enquanto se ensaboa.

O Bruno costuma tomar banho de imerso.

O Carlos toma duche mas, ao contrrio do Antnio, fecha sempre a gua enquanto se ensaboa. O Antnio, o Bruno e o Carlos resolveram representar graficamente o banho de cada um deles,

relacionando o tempo de durao do banho (em minutos) com a gua gasta (em litros).

Os grficos que representam os banhos do Antnio, do Bruno e do Carlos, so respectivamente:

(A) Q, P e R (B) R, P e Q (C) Q, R e P (D) Nenhum

41- Uma funo afim f, de declive 2, intersecta o eixo dos yy no ponto de ordenada 3. Podemos concluir que a funo f(x-2) intersecta o eixo dos yy no ponto de ordenada

(A) 7 (B) -1 (C) 5 (D) 6

42- De uma funo g, de domnio IR, sabe-se que: g(0)=1, g estritamente crescente em 0, + e g par. Indique qual das afirmaes verdadeira ?

(A) g injectiva (B) o contradomnio de g 0, + (C) g no tem zeros (D) g estritamente crescente em IR

43- Na figura esto representados dois ciclistas, A e B, pedalando, a caminho de um cruzamento. Ao chegarem ao cruzamento, ambos

continuam em frente. No instante t=0, os ciclistas A e B encontram-

se, respectivamente, a 40 m e a 30 m do cruzamento. Os ciclistas

pedalam ambos mesma velocidade, que se mantm constante.

Qual dos grficos seguintes pode ser o da funo que, para cada

valor de t, d a distncia d entre os dois ciclistas ?

44- Seja f uma funo de domnio IR, injectiva e tal que f(0)=0. Qual das afirmaes seguintes verdadeira?

(A) f no tem zeros (B) f tem exactamente 1 zero

(C) f tem exactamente 2 zeros (D) f tem mais do que 2 zeros

45- Seja h a funo, de domnio [-3 , 2], definida por h(x)=x2+1. Qual o contradomnio de h ? (A) [-8 , 5] (B) [5 , 10] (C) [0 , 5] (D) [1 , 10]

46- Um corpo move-se em linha recta segundo a lei tt)t(s 42 2 .

A velocidade mdia no intervalo de tempo 32, segundos : (A) 14 (B) - 6 (C) - 14 (D) 6

47- A figura ao lado representa o grfico de uma funo h. Qual das afirmaes verdadeira?

(A) A imagem de 2 1. (B) A funo h negativa em 0, . (C) 1 um zero de h . (D) 2 mnimo absoluto de h.


48- Um tanque tem a forma de um paraleleppedo rectngulo, com 7 m de comprimento, 5 m de largura e 4 m de altura. Admita que o tanque est vazio. Num certo instante, aberta uma torneira que verte

gua para o tanque, taxa de 2 m3

por hora, at este ficar cheio.

Qual a funo que d a altura, em m, da gua no tanque, t horas aps a abertura da torneira?

140,0,35

2)()(140,0,24)()(

70,0,35

2)()(70,0,24)()(

tt

thDttthC

tt

thBttthA

49- Qual a expresso analtica da funo quadrtica de vrtice em (2,3) e com ordenada na origem 7?

7)3(2)()(7)3(2)()(

2)3()()(3)2()()(

22

22

xxfDxxfC

xxfBxxfA

50- Considere a funo quadrtica 93)( 2 xxf .

Qual das afirmaes verdadeira?

(A) O eixo de simetria do grfico de f x = 3.

(B) IRxxf ,0)( .

(C) O contradomnio de f ,9 . (D) O vrtice da parbola que representa f o ponto ),( 93 .

51- Sendo f a funo do lado esquerdo e g a funo do lado direito, g pode ser definida

por:

3)2()()(

3)2()()(

3)2()()(

3)2()()(

xfxgD

xfxgC

xfxgB

xfxgA

52- Seja f a funo quadrtica que verifica as seguintes condies: 0)5()1(

1)2(

ff

f

A expresso analtica de f :

)5)(1(9

1)()5)(1(

9

1)(2)1(9)()5)(1()( 2 xxDxxCxBxxA

53- Na figura est representada parte de uma parbola, que o grfico de uma certa funo g, de domnio IR. Seja h a funo, de domnio IR,

definida por 2)3()()( xxgxh

Qual pode ser o conjunto dos zeros da funo h?

9,5,1)(5,3,2,3)(4,3,2)(4,1,3)( DCBA

54- A figura ao lado representa o grfico de uma funo f. Qual o contradomnio da funo | f | ?

(funo mdulo da funo f )

5,2)(3,2)(

5,0)(2,5)(

DC

BA

55- Qual dos polinmios tem razes 3 , 1 e 4 e tal que P(2) = - 60 ?

)4)(1)(3(6)()4)(1)(3(10)(

)4)(1)(3()()4)(1)(3()(

xxxDxxxC

xxxBxxxA

f g

g

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