Funções TrigonométricasFunções Trigonométricas

Casos GeraisCasos Gerais

As funções do tipo trigonométricas As funções do tipo trigonométricas são escritas na formasão escritas na forma

( ) . ( )f x a b trig cx d

a, b, c e d são constantes, com b e c diferentes de zero.

trig é uma das funções estudadas

ExemplosExemplos

( ) 3.cos , 0, 3, 1 0

( ) 2 5. 2 , 2, 5, 2 3 3

f x x temos a b c e d

f x tg x temos a b c e d

GráficosGráficos

Os valores de Os valores de a a e e bb alteram os valores de y. alteram os valores de y. O valor de O valor de a a faz com que o gráfico “suba”, faz com que o gráfico “suba”,

para a>0, e “desça”, para a<0, |para a>0, e “desça”, para a<0, |a|a| unidadesunidades

Exemplo: Exemplo: f(x)=2+sen(x)f(x)=2+sen(x)

O valor de O valor de b “esmaga” ou “estica” a b “esmaga” ou “estica” a função na função na verticalvertical

Se b>0, esticaSe b>0, estica Se 0<b<1, esmagaSe 0<b<1, esmaga Se b<0, fica simétrico em relação ao eixo Se b<0, fica simétrico em relação ao eixo

x, ou seja, troca de posição e estica.x, ou seja, troca de posição e estica.

Exemplo: Exemplo: f(x)= 3.senx, f(x)= 3.senx, b maior que zero.b maior que zero.

Exemplo: Exemplo: f(x)= (1/3).senx, f(x)= (1/3).senx, 0<b<1. 0<b<1.

Exemplo: Exemplo: f(x)= -3.senx, b<0.f(x)= -3.senx, b<0.

Os valores de Os valores de c c e e dd alteram os valores de x. alteram os valores de x. A constante A constante cc altera o período da função, ou altera o período da função, ou

seja, “estica” ou “esmaga” a função na seja, “estica” ou “esmaga” a função na horizontalhorizontal..

C>0, esmaga a funçãoC>0, esmaga a função 0<c<1, estica0<c<1, estica C<0, simétrica em relação ao eixo do xC<0, simétrica em relação ao eixo do x

f(x)=senxf(x)=senx

f(x)=sen(2x)f(x)=sen(2x)

f(x)=sen(1/2x)f(x)=sen(1/2x)

f(x)=sen(-1/2x)f(x)=sen(-1/2x)

Para calcular o período de uma função qualquer Para calcular o período de uma função qualquer basta usar basta usar

Período=Período=( )

| |

per trigo

c

ExemploExemplo

Calcule o período das funçõesCalcule o período das funções

( ) 1 2

3f x tg x

( )

| | 2

per tgp

c

( ) 3cos2

xf x

(cos) 24

1| |2

perp

c

A constanteA constante d faz com que o gráfico ande d faz com que o gráfico ande |d/c| para:|d/c| para:

Direita, se d<0Direita, se d<0 Esquerda, se d>0Esquerda, se d>0

ExercíciosExercícios

(UFRGS) Se (UFRGS) Se f(x)=a+b.senx f(x)=a+b.senx tem como tem como gráficográfico

então, qual o valor de a e b?então, qual o valor de a e b?

Observando o gráfico da função seno na Observando o gráfico da função seno na origem, ele vale 0.origem, ele vale 0.

Já o gráfico da questão, ele começa no 1. Já o gráfico da questão, ele começa no 1. É como se ele tivesse subido 1 unidade.É como se ele tivesse subido 1 unidade.

Logo, a=1Logo, a=1

A primeira concavidade da função seno é A primeira concavidade da função seno é voltada para baixo. Já no gráfico, ela é voltada para baixo. Já no gráfico, ela é voltada para cima, ou seja, houve uma voltada para cima, ou seja, houve uma translação em relação ao eixo do x.translação em relação ao eixo do x.

Quando isso acontece é porque o b é Quando isso acontece é porque o b é negativo. negativo.

Agora, qual o valor de b?Agora, qual o valor de b?

Analisando a função seno novamente, a Analisando a função seno novamente, a distância do começo do gráfico (x=0) até o distância do começo do gráfico (x=0) até o valor máximo e mínimo é 1.valor máximo e mínimo é 1.

O que é lógico porque O que é lógico porque f(x)=senx=1.senxf(x)=senx=1.senx

Já no gráfico da questão, a distância do Já no gráfico da questão, a distância do início até o valor máximo e mínimo são 2 início até o valor máximo e mínimo são 2 unidades.unidades.

Logo, b= -2Logo, b= -2

(Faap - SP) Considerando x entre 0° e 360°, o (Faap - SP) Considerando x entre 0° e 360°, o gráfico a seguir corresponde a:gráfico a seguir corresponde a:

a)a) y= sen(x+1)y= sen(x+1)

b)b) y= 1+sen xy= 1+sen x

c)c) y= sen x + cos x y= sen x + cos x

e) y= 1-cos xe) y= 1-cos x

2 2cosy sen x x

A dúvida é: a função é seno ou cosseno?A dúvida é: a função é seno ou cosseno?

A única alternativa que traz cosseno o A única alternativa que traz cosseno o valor de b vale -1 e a=1. O que não é valor de b vale -1 e a=1. O que não é verdade.verdade.

Sabemos pelas alternativas que a função Sabemos pelas alternativas que a função é a seno.é a seno.

O período não mudou, logo c=0.O período não mudou, logo c=0.

A distância do começo do gráfico até seus A distância do começo do gráfico até seus pontos de máximo e mínimo é 1, logo pontos de máximo e mínimo é 1, logo a=1.a=1.

Em relação ao eixo do x o gráfico do seno Em relação ao eixo do x o gráfico do seno não andou, logo d=0.não andou, logo d=0.

Assim, Assim, f(x)=1+sen x.f(x)=1+sen x.

Alternativa: bAlternativa: b