IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 1 de 17 Funes Trigonomtricas [ou Circulares] Introduo: A trigonometria originou-se com parte do estudo dos tringulos. O nome tri-gono-metria significa, de certa forma, medida de figurascomtrsngulos[lados]easprimeirasdefiniesdefunestrigonomtricasforamemternosdetringulos.No entanto, as funes trigonomtricas podem ser definidas usando-se o crculo unitrio [trigonomtrico], uma definio que as faz peridicas. Muitos processos que ocorrem naturalmente so peridicos tambm. O nvel da gua em uma bacia sujeita s mares, a presso sangunea em um corao, uma corrente alternada e a posio de molculas de ar transmitindo uma nota musicalvariamregularmente.Taisfenmenos,entreoutros,sorepresentadosporfunestrigonomtricas,tambm conhecidas como funes circulares. Baseado no texto da p. 24 do livro: HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Clculo de uma Varivel. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. Conceito Inicial: O Crculo Trigonomtrico: OCrculoTrigonomtrico,tambmconhecidocomocircunfernciaouciclotrigonomtrico,umacircunfernciaderaio unitrio,centradanaorigemdumsistemadecoordenadascartesianasbidimensional.Nele,foiconvencionadoquea orientaonosentidoanti-horrionosdaracontagempositivadosngulos[ouarcos],econseqentemente,nosentido horrio, os ngulos sero dados como negativos. Unidades Angulares: Asunidadesparanguloso:ograu[],oradiano[rad]eogrado[gr].Valeobservarque,noSI[Sistema InternacionaldeUnidades],aunidadeparanguloplanooradiano.Dasunidadesemquesto,oradianoanicaque dispensaautilizaodeseusmbolo,nestecasorad.Assim,nociclotrigonomtricoabaixo,temosasextremidadesdos quadrantes indicadas com as 3 unidades angulares mencionadas: 900360270180100gr400gr300gr200gr 0grt/2t3t/22t0 Em nosso estudo, as unidades angulares mais utilizadas sero o radiano e o grau. Assim, a converso entre elas pode ser feita atravs de uma regra de trs, usando-se a relao: 180trad Observao: A partir do exposto at aqui, possvel indicarmos um ngulo maior que 360 ou mesmo um ngulo negativo; e isso implicar no comportamento peridico das funes trigonomtricas que veremos a seguir.Arcos cngruos [ou congruentes] So arcos [ou ngulos] de mesma origem e de mesma extremidade, que diferemumdooutroapenaspelonmerodevoltasnociclo trigonomtrico, independente do sentido da orientao. Veja: ... 710 350 1090 730 370 10 = = = = = = Note que: 360 10 370 + = 360 ). 1 ( 10 + 360 360 10 730 + + = 360 ). 2 ( 10 + 360 360 360 10 1090 + + + = 360 ). 3 ( 10 + 360 10 350 = 360 ). 1 ( 10 + 360 360 10 710 = 360 ). 2 ( 10 + Assim, todo ngulootem uma expresso geral do tipo: 360 .0k + = o o , com Z e kSendoko nmero de voltas e 0oa 1 determinao positiva. Para o caso acima, temos: 360 . 10 k + = o ,comZ e k . IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 2 de 17 DefiniodeRadiano:umngulode1radianodefinidocomsendoongulonocentrodocrculounitrioquelimita [determina] um arco de comprimento 1 nesse crculo, medido no sentido anti-horrio [Figura 1].

Figura 1 Figura 2 [Fonte: Wikipdia] Isso implica que 1 radiano corresponde ao arco com o mesmo comprimento do raio da circunferncia em questo [Figura 2]. Notas:apalavraradianoremeteapalavraraio[radius].Quandotemosaparticularidadedoraioserunitrio,ser indiferente falar em arco ou ngulo. Decorrente disso, podemos calcular o comprimento de qualquer arcode uma circunferncia atravs do ngulo centralo , dado em radianos. Assim: R =o Definimos como Permetro ou ComprimentoC , uma volta completa na circunferncia. A relao acima fica assim adaptada: R C = t 2 As Relaes Trigonomtricas no Crculo Trigonomtrico Unitrio Osvaloresdeu sen seromedidosnoeixoxdosistemacartesianoortogonalassociadoeosvaloresdeu cos sero medidosnoeixoy.Osvaloresdeu tg seromedidosnumeixoverticaltangentecircunfernciatrigonomtricana origem os arcos. tgsencoseccotgcossec Osvaloresdesecante[sec]ecossecante[cosec]deumnguloseromedidosnoseixosxey,respectivamente,eos valores da cotangente [cotg] de um ngulo sero medidos num eixo horizontal tangente circunferncia trigonomtrica. Comprimento AP = 1 R = 1 o = 1 rad RComprimento do arco = raio IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 3 de 17 Seno de um ngulo u: O seno de um ngulo u a medida do segmento de reta que liga a origem do sistema cartesiano [ponto O] com a projeo ortogonal da extremidade P do arco de u sobre o eixo y [ponto M]. Veja os quatros possveis casos a seguir com arcos em cada um dos quadrantes. 1 Quadrante 2 Quadrante

sen OM= Note que: ) ( sen sen = 3 Quadrante 4 Quadrante sen OM= Observao: importante verificar que o seno de um ngulouqualquer estar sempre compreendido no intervalo: 1 sen 1 s u s Cosseno de um ngulo u: Ocossenodeumngulouamedidadosegmentoderetaqueligaaorigemdosistemacartesiano[pontoO]coma projeo ortogonal da extremidade P do arco de u sobre o eixo x [ponto M]. Veja os quatros possveis casos a seguir com arcos em cada um dos quadrantes. 1 Quadrante 2 Quadrante cos ON= Note que: ) cos( cos =IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 4 de 17 3 Quadrante 4 Quadrante cos ON= Observao: importante verificar que o cosseno de um ngulouqualquer estar sempre compreendido no intervalo: 1 cos 1 s u s Tangente de um ngulo u: Atangentedeumngulouamedidadosegmentoderetaqueligaaorigemdociclotrigonomtrico[pontoA]coma interseco[pontoT]daretaquepassapelaorigemdosistemacartesianoepelaextremidadePdoarcodeu.Vejaos quatros possveis casos a seguir com arcos em cada um dos quadrantes. 1 Quadrante 2 Quadrante AT = tg Note que: ) ( tg tg = 3 Quadrante 4 Quadrante AT = tg Observao: importante notar que a tangente de um ngulous existir se: 180 . 90 k + = ucomZ k e . Considerando o exposto acima, a tgpode assumir qualquer valor real, ou seja: + < < tg IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 5 de 17 A Relao Fundamental da Trigonometria:1 cos2 2= + u u sen Podemos deduzi-la facilmente atravs do crculo trigonomtrico. Veja: Aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo acima, temos: 2 2 2) ( ) ( ) ( cat cat hip + = 2 2 2) (cos ) ( ) 1 ( u u + = sen 1 cos2 2= + u u sen Alguns Valores Trigonomtricos: Para sua observao, na tabela abaixo apresentamos alguns valores trigonomtricos, alm dos j vistos anteriormente. 030456090120135150180270360 sen 021 22 23 123 22 21 0 1 0 sen cos 123 22 21 0212223 1 0 1 cos tg 033 1 3 3 1 33 0 0 tg Nota: experimente encontrar alguns dos valores trigonomtricos em sua calculadora cientfica! Uma Animao na Web! Em http://mat.absolutamente.net/ra_c_tri.html voc poder interagir com um crculo trigonomtrico para observar a variao dos valores de seno, cosseno e tangente de um ngulo qualquer. Secante, Cossecante e Cotangente de um ngulo u: Veja abaixo as relaes para um ngulo no 1 quadrante. A interpretao para os demais quadrantes fica a cargo do leitor. OS = sec OC = cosec BQ = cotg + importante notar que a secante de um ngulous existir se: 180 . 90 k + = ucomZ k e . Considerando o exposto acima, a secter variao:1 sec s ou 1 sec > + importante notar que a cossecante de um ngulous existir se: 180 . 0 k + = ucomZ k e . Considerando o exposto acima, a cosecter variao:1 cosec s ou 1 cosec > + importante notar que a cotangente de um ngulous existir se: 180 . 0 k + = ucomZ k e . Considerando o exposto acima, a cotgpode assumir qualquer valor real, ou seja: + < < cotgcos u sen u - 1 u IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 6 de 17 Resumo das variaes dos sinais das funes nos quadrantes 1o Q2o Q3o Q4o Q Seno++ Cosseno+ + Tangente++ Cotangente++ Secante++ Cossecante++ Funes com Sinais Positivos nos Quadrantes! - Mais Relaes: Podemos relacionar algumas funes trigonomtricas entre si. Ento segue abaixo, outras relaes trigonomtricas para um arco qualquerx . Inclumos nessa lista, a relao fundamental da trigonometria [vista anteriormente] como lembrete. 1 cos2 2= + x x senxx senx tgcos=xxcos1sec =x senx1cosec =x senxx tgxcos 1cotg = = x tg x2 21 sec + = x x2 2cotg 1 cosec + = Algumas Aplicaes de Funes Trigonomtricas Variao Angular de Movimento: A variao do ngulo Y em relao ao tempo t (em segundos) de uma corrida leve pode ser dada por: ((

|.|

\| =43389t sen Yt t Fonte:GIOVANNI,J.R.;BONJORNO,J.R.Matemtica: uma nova abordagem. Vol. 2. 1. ed. So Paulo: FTD, 2000. Insolao Diria: O modelo matemtico que indica o nmero de horas do dia, com luz solar L, de uma determinada cidade norte americana, t dias aps 1 de Janeiro : Fonte: J. Stewart Clculo Vol. 1 p. 34 ((

t+ = ) 80 t (3652sen 8 , 2 12 ) t ( Lsen cosec todas cos sec tg cotg IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 7 de 17 O Processo Respiratrio: Emummodeloparadescreveroprocessorespiratrio,considera-sequeofluxodearFnatraquia,emambosos sentidos (inspirao e expirao), e a presso interpleural P (presso existente na caixa torcica produzida pelo diafragma e por msculos intercostais) so funes peridicas do tempo t, havendo entre elas uma diferena de fase. Essas funes so descritas, para t > 0, em que k, A, B e C so constantes reais positivas e a freqncia respiratria, por: F(t) = A.sen (.t) com P(t)= C B.F(t + k/) Densidade do Ar: O modelo matemtico desenvolvido pelo pesquisador brasileiro Prof. Csar Monteiro de Barros, determina a densidade do ar (em kg/m3) em funo da altitudeH , em metros, para um limite de at 30.000 m de altitude. | |876 , 029349) 000131914 , 1 ( 58 , 1Hsen = Funes Trigonomtricas Definies FunesTrigonomtricas[ouCirculares]sofunesquepossuempelomenosumadasrelaestrigonomtricasestudas anteriormente.Nossoestudoficarconcentradoemmodelosespecficosdefunesqueenvolvemsomenteosenoouo cosseno de um ngulo. FUNO SENO Definio: uma funo do tipo9 D f : , tal que:x sen x f = ) ( . Representao Grfica: Caractersticas: Domnio:

9 = D Conjunto Imagem:| | { } 1 1 | 1 , 1 Im s s 9 e = = y y Alguns Conceitos Associados: Amplitude [ A] a metade da distncia entre o valor mximo e mnimo da funo (se existirem). Perodo [ p ] o espao [ou menor tempo] necessrio para que a funo execute um ciclo completo. Assim, na funox sen x f = ) (

temos que a Amplitude : 1 = A e o perodo : t = 2 p . Nota: Funes que possuem perodo [e que por isso formam ciclos repetidos] so chamadas de funes peridicas. t = 2 pIFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 8 de 17 FUNO COSSENO Definio: uma funo do tipo9 D f : , tal que:x x f cos ) ( = . Representao Grfica: Caractersticas: Domnio:

9 = D Conjunto Imagem:| | { } 1 1 | 1 , 1 Im s s 9 e = = y y Amplitude: 1 = APerodo:t = 2 p Noteque,sedeslocarmoshorizontalmenteogrficodafunox y cos = emrad 2 / t ,essenovogrficoficar idntico ao grfico da funox sen y = . Por esse motivo, grficos que tm a forma de uma curva seno ou cosseno so chamados de senoidais. Podemos ainda dizer que a DIFERENA DE FASE entre x sen y = e x y cos = 2 / t . FUNO TANGENTE Definio: uma funo do tipo9 D f : , tal que:x tg x f = ) ( . Representao Grfica: Caractersticas:Domnio:)`e + = 9 e = Z k com k x x D ,2/ tt

Conjunto Imagem: 9 = Im Amplitude: . tem noPerodo:t = p A funox tg x f = ) ( tem assntotas verticais em )`e + = Z k com k x ,2tt. t = 2 px p = t 5t/2 9t/4 Assntota Vertical IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 9 de 17 Observaes: + Pesquise e reflita sobre a representao grfica das funesx y sec = ,x y cosec =ex y cotg = . + As funes trigonomtricas, considerando certas restries, possuem inversa. As funesx sen y =ex y cos = , por exemplo, tm como inversas:x y sen arc = e x y cos arc = , respectivamente. [Procure saber mais!] +Nascalculadorascientficasmaiscomunsencontraremosasfunesinversassen arc ecos arc ,porexemplo, representadas por -1sene -1cos , respectivamente. Esta ltima representao [com expoente (1)] apenas um padro de simplificao, muito provavelmente de origem norte-americana. Variando Parmetros das Funes Circulares Vamos estudar o comportamento grfico da funo circular SENO, atravs da variao dos parmetros: Amplitude, Perodo, Deslocamento Vertical e Descolamento Horizontal (fase). O raciocnio anlogo para o comportamento da funo COSSENO. Variao da Amplitude: Representando esses mesmos grficos, porm agora, apresentando-os em um nico perodo, temos: Variao do Perodo: IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 10 de 17 Representando esses mesmos grficos, porm agora, apresentando-os em um nico perodo, temos: Deslocamento Vertical: Representando esses mesmos grficos, porm agora, apresentando-os em um nico perodo, temos: Deslocamento Horizontal (diferena de fase):

Fique Ligado! Observe as notaes abaixo: 2 ) 2 ( + = + x sen x sen pois x sen x sen + = + 2 2IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 11 de 17 a tga tga tg2122=tgb tgatgb tgab a tg= 1) (Representando esses mesmos grficos, porm agora, apresentando-os em um nico perodo, temos: Observao:|.|

\|+ =2costx sen x Funo Peridica Genrica [ou Generalizada]: Agora, podemos escrever uma funo peridica generalizada: ) ( ) ( d cx sen b a x f + + =ou) ( cos ) ( d cx b a x f + + = Sendo que: Amplitude:| | b A =Perodo: | |2cpt=Desloc. Horizontal: cdDH=Desloc. Vertical:a DV = Transformaes Trigonomtricas para Arcos: Tais transformaes apresentadas abaixo,no faro partede nosso estudo neste momento. Entretanto, torna-se oportuno apresent-las agora. Procure relembrar e aprender um pouco mais! a senb b sena b a sen cos cos ) ( =

senb sena b a b a = cos cos ) ( cos a sena a sen cos 2 2 = a sen a a2 2cos 2 cos =

2cos 12a asen =||.|

\| 2cos 12cosa a + =||.|

\|

aa atgcos 1cos 12 + =||.|

\| ||.|

\|||.|

\| + = +2cos22b a b asen b sen a sen ||.|

\|||.|

\| + = 2cos22b a b asen b sen a sen

||.|

\|||.|

\| + = +2cos2cos 2 cos cosb a b ab a ||.|

\|||.|

\| + = 2 22 cos cosb asenb asen b a Agora, para refletir... No se pode transformar o que no se aceita. (Jung) Nota:Osgrficosdasvariaes aquiapresentadosforamretirados doartigo:FunoTrigonomtrica: UmEnfoqueAplicadoaoEnsino Tcnico,deautoriadasProfessoras Maristela de Quadros Alb e Rosane Maria Jardim Filippsen. Para Descontrair! IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 12 de 17 EXERCCIOS Funes Trigonomtricas [ou Circulares] 1)Esboceogrficodasfunesdadasaseguir,indicandoparacadacaso,aamplitude,operodo,osdeslocamentose tambm o conjunto Imagem. [Obs.: no necessrio representar mais que um perodo da funo dada] a)f(x) =3.sen(x)b)f(x) = 3.sen(x) c)f(t) =5.cos(t) d)f(t) = 5.cos(t) e)y =1 + sen(x) f)y =cos(x/2) g)y =sen(5x) + 1 h)y =sen(x + t) 2)Com base no crculo trigonomtrico ao lado, determine os valores pedidos a seguir. a)sen 30 = _________i) sen 270 = _________ b)cos 60 = _________j) cos 270 = _________ c)sen 150 =_________k)sen (90) =_________ d)cos 150 =_________l) cos (90) =_________ e)sen 90 = _________m) sen 315 = _________ f)cos 90 = _________n)sen (45) =_________ g)sen 210 =_________ o)cos 315 = _________ h)cos 210 =_________p)cos (45) =_________ Observao: Confira as respostas em sua calculadora cientfica! 3) Em 10 de fevereiro de 1990, a mar alta numa determinada cidade foi meia noite.A altura de gua no porto uma funo peridica, pois oscila regularmente entre mar alta e baixa. A altura (em ps) aproximada pela frmula: |.|

\|+ = t y6cos 9 , 4 5t, onde t o tempo em horas desde a meia noite de 10 de fevereiro de 1990. a)Esboce um grfico dessa funo em 10 de fevereiro de 1990 [de t = 0 at t = 24h] b)Qual era a altura da gua mar alta? c)Quando foi a mar baixa e qual era a altura da gua nesse momento? d)Qual o perodo desta funo e o que ele representa em termos das mars? e)Qual a amplitude desta funo e o que ela representa em termos das mars? 4) (UCS) Nossa respirao um fenmeno cclico, com perodos alternados de inspirao e expirao. Em um determinado adulto, a velocidade do ar nos pulmes em funo do tempo, em segundos, decorrido a partir do incio de uma inspirao dada pela equao |.|

\| =525 , 0 ) (tsen t vt. Determine o tempo do ciclo respiratrio completo desse adulto [em segundos]. 5) Num certo lugar, as mars altas ocorrem 0 h e s 12 h com altitude de 0,9 m , enquanto que as mars baixas ocorrem s 6 h e s 18 h com altitude de 0,1 m . Nessas condies, qual a funo que descreve a altitude do mar [em metros] em relao ao horrio t, em horas? i) y = 2.sen(x + t) j) y = (cos 3x) + 1 k)y = 2 + cos(t/4) l) y = 2 + 2.sen(4x) m) y = 3.cos(x + t) 1 n)y = 1+ 2.sen(x + t/2) o)y = cos(2t) 2 p)y = 1 3.cos(x + t) IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 13 de 17 6) Quando uma onda senoidal se propaga em uma corda, sua fonte realiza, na vertical, um movimento harmnico simples e tem sua posioy , em funo do tempot , dada pela lei) . cos( ) ( t A t y e o + = , em queA a amplitude,o a fase inicialeeapulsaodomovimento.Sabendoqueumaondasepropagadeacordocomaequao ((

|.|

\|+ = t t y42 cos 3 ) (t, analise as sentenas abaixo assinalando [V] para as afirmaes verdadeiras e [F] para as falsas.

( ) A amplitude igual a 3.( ) A fase inicial igual a t/4.( ) A pulsao da onda igual a 2.( ) A posio da vertical da onda 2, para o tempo decorrido de 3t/2. 7) Determine a funo geradora de cada um dos grficos dados a seguir: IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 14 de 17 8) Utilizando como referncia o tringulo ao lado, mostre que a tangente de umngulopodesercalculadaatravsdadivisodosenopelocossenodo mesmo ngulo, ou seja: xxxcossentg = . RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS NOTA: Alguns dos grficos apresentados a seguir contm deformidades na sua curvatura! 1a)Amplitude:3 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:zero DV = Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 3 3 { Im s s e = y / R y 1b)Amplitude:3 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:zero DV = Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 3 3 { Im s s e = y / R y 1c)Amplitude:5 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:zero DV = Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 5 5 { Im s s e = y / R y 1d)Amplitude:5 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:zero DV = Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 5 5 { Im s s e = y / R y- a c b | y = 3 sen x-3-2-101230 90 180 270 360y = -3 sen x-3-2-101230 90 180 270 360y = 5 cos t-5-4-3-2-10123450 90 180 270 360y = -5 cos t-5-4-3-2-10123450 90 180 270 360IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 15 de 17 1e)Amplitude:1 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:1 = DV Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 2 0 { Im s s e = y / R y 1f)Amplitude:1 = A Perodo:t 4 = p Deslocamento Vertical:zero DV = Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 1 1 { Im s s e = y / R y 1g)Amplitude:1 = A Perodo:5 / 2t = p Deslocamento Vertical:1 = DV Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 2 0 { Im s s e = y / R y 1h)Amplitude:1 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:zero DV = Deslocamento Horizontal:t = DH Conjunto Imagem:} 1 1 { Im s s e = y / R y 1i)Amplitude:2 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:zero DV = Deslocamento Horizontal:t = DH Conjunto Imagem:} 2 2 { Im s s e = y / R yy = sen (x) + 1-2-10120 90 180 270 360y = cos(x/2)-1-0,500,510 180 360 540 720y=sen(5x)+1-1-0,500,511,520 18 36 54 72y=sen(x+p)-1-0,500,51-270 -180 -90 0 90 180 270 360y=2 sen(x+p)-2-1012-270 -180 -90 0 90 180 270 360IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 16 de 17 1j)Amplitude:2 / 1 = A Perodo:3 / 2t = p Deslocamento Vertical:1 = DV Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 2 / 3 2 / 1 { Im s s e = y / R y 1k)Amplitude:1 = A Perodo:t 8 = p Deslocamento Vertical:2 = DV Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 1 3 { Im s s e = y / R y 1l)Amplitude:2 = A Perodo:2 / t = p Deslocamento Vertical:2 = DV Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 0 4 { Im s s e = y / R y 1m)Amplitude:3 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:1 = DV Deslocamento Horizontal:t = DH Conjunto Imagem:} 2 4 { Im s s e = y / R y 1n)Amplitude:2 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:1 = DV Deslocamento Horizontal:2 / t = DH Conjunto Imagem:} 3 1 { Im s s e = y / R y y=0,5(cos3x)+1-1,5-1-0,500,511,50 30 60 90 120y=(cosx/4)-2-3-2,5-2-1,5-1-0,500 360 720 1080 1440y=2sen(4x)-2-4-3-2-100 22,5 45 67,5 90y=3cos(x+p)-1-4-3-2-1012-270 -180 -90 0 90 180 270 360y=2sen(x+p/2)+1-2-10123-180 -90 0 90 180 270 360IFSC / Clculo IProf. Jlio Csar TOMIO Pgina 17 de 17 1o)Amplitude:1 = A Perodo:t = p Deslocamento Vertical:2 = DV Deslocamento Horizontal:zero DH = Conjunto Imagem:} 1 3 { Im s s e = y / R y 1p)Amplitude:3 = A Perodo:t 2 = p Deslocamento Vertical:1 = DV Deslocamento Horizontal:t = DH Conjunto Imagem:} 4 2 { Im s s e = y / R y 3a) 3b) 9,9ps3c) s 6h e s 18h com altura de 0,1p3d) 12h [discutir significado]3e) 4,9ps [discutir significado] 4) 5 segundos 5) |.|

\|+ = t y6cos 4 , 0 5 , 0t 6) V F V F 7a) ) 2 ( 2 3 ) ( x sen x f + =7b) |.|

\|+ + = t x x f43cos 9 , 0 1 , 0 ) (7c) |.|

\|+ =221) (tx sen x f 7d) |.|

\|+ =2321cos ) (tx x f 7e) |.|

\|+ =2) (tx sen x f7f) |.|

\| + =2cos 3 5 ) (tx x f Para refletir: costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. (Scrates) y=-cos(2x)-2-3-2,5-2-1,5-10 45 90 135 180y=-3cos(x+p)+1-2-101234-270 -180 -90 0 90 180 270 3609,907,452,550,102,557,459,907,452,550,102,557,459,900,02,04,06,08,010,012,0-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26Altura da mar (ps)t (horas)10 de fevereiro de 1990