apost_matematica solução e gabarito _001

8/3/2019 APOST_Matematica Soluo e Gabarito _001

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Para este exemplar especial, o Comit Editorial da RPMescolheu artigos que pretendem ampliar o conhecimento dos alunos

em diferentes tpicos, bem como temas que motivem discussesou satisfaam a curiosidade terica e histrica de alunosinteressados em Matemtica. Por exemplo, as cnicas so tratadasde modo prtico no texto Sorrisos, sussurros, antenas etelescpios; a intuio desafiada em diferentes situaes notexto Quando a intuio falha; a anlise combinatria utilizadapara discutir a funcionalidade da brincadeira Amigo oculto (ousecreto), etc.

Apresentamos tambm uma seleo de 30 problemas,

cuidadosamente escolhidos entre os publicados na seoProblemas, que abrangem a maioria dos tpicos do ensino mdio.As solues dos problemas propostos esto no fim da revista.Para o ensino fundamental, e tambm para o ensino mdio,selecionamos 30 ...probleminhas, parte integrante da seoProblemas dos nmeros usuais da revista. Os probleminhas socaracterizados por exigir muito pouco conhecimento de contedoespecfico, apenas raciocnio lgico-dedutivo e domnio deoperaes elementares. a parte ldica, permitindo que

professores e alunos se divirtam, resolvendo problemasdesafiadores, e se sintam realizados ao obter as solues. Asrespostas dos probleminhas tambm esto no final da revista.

Os artigos aqui apresentados no esto com as refernciasbibliogrficas, que podem ser encontradas nos exemplares originaisda RPM.

Comit Editorial da RPM

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Contedo

Como escolher namorada pelo horrio dos trens . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Quando a intuio falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Eleies preferncia transitiva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

A divisibilidade e o dgito verificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

O tamanho da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Problema das idades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A ilha dos sapatos gratuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Fraes egpcias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

As dzimas peridicas e a calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Mania de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Usando reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Trigonometria e um antigo problema de otimizao . . . . . . . . . . . . 45

Vale para 1, para 2, para 3, ... Vale sempre? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Semelhanas, pizzas e chopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Sorrisos, sussurros, antenas e telescpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A Matemtica do GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

O problema do amigo oculto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

O princpio da casa dos pombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Probabilidade geomtrica:os problemas dos ladrilhos, do encontro e do macarro . . . . . . . . 83

Alguns problemas clssicos sobre grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Srie harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

O que tem mais: racionais ou naturais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

...probleminhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Solues dos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Respostas dos ...probleminhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

iii


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iv


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1

Joo amava Lcia, que amava Joo. S que Joo, alm

de amar Lcia, tambm amava Letcia e tentava namorar

as duas ao mesmo tempo. Durante a semana, at que

dava, mas quando chegava o sbado noite era terrvel.

As duas queriam Joo e este no possua o dom da

presena ao mesmo tempo em dois lugares. Assim,

alternadamente, ou Lcia ou Letcia ficava sem sair com

Joo, nos embalos de sbado noite. Honesto, Joo decidiu

informar Lcia sobre a existncia de Letcia e Letcia

sobre Lcia. Com choros e lamrias de todos os lados,

Joo continuou dividido, sem saber quem escolher.

Joo usava como meio de transporte os trens

metropolitanos. Para visitar Lcia, Joo pegava trens que

iam no sentido da direita e para visitar Letcia pegava trens

que iam para a esquerda. Quanto a horrios no havia

dvidas: trens para cada lado de meia em meia hora. Mas

como escolher entre Lcia e Letcia?

Letcia, que era professora de Matemtica, props a

Joo um critrio justo, equnime, salomnico para escolher

entre as duas namoradas. A proposta foi: Joo iria para a

estao de trens sem nenhuma deciso. Ao chegar pegaria

o primeiro trem que passasse, fosse para a direita, fosse

para a esquerda. Proposta aceita, Joo comeou a usar

esse critrio aparentemente justo e aleatrio. Depois de

usar o critrio por cerca de trs meses, descobriu que

visitara Letcia muito mais que Lcia, e, se a sorte quis

Como escolher namoradapelo horrio dos trens


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assim, ficou com Letcia e com ela se casou sem nunca haver entendido

por que a sorte a privilegiara tanto. S nas bodas de prata do seu casamento

que Letcia contou a Joo a razo de o trem a ter escolhido muito maisvezes que a concorrente. Letcia estudara os horrios dos trens e verificara

que os horrios eram:

Trens para a esquerda (Letcia): 8h00; 8h30; 9h00; 9h30; ...

Trens para a direita (Lcia): 8h05; 8h35; 9h05; 9h35; ...

Ou seja, considerando, por exemplo, o intervalo de tempo, 8h00 8h30,

o horrio H de chegada na estao, que faria Joo tomar o trem para a

direita, deveria ser tal que 8h00


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Problema 1

Suponhamos que seja possvel colocar uma cordacircundando a Terra, ajustando-a ao equador. Em seguida,retiramos essa corda, aumentamos 1 m no seucomprimento e a recolocamos em volta da Terra, formandouma circunferncia concntrica com o equador. Sabendoque o raio da Terra aproximadamente igual a6 355 000 m, teramos substitudo uma corda deaproximadamente 2 x 3,14 x 6 355 000 m = 39 909 400 mpor uma de 39 909 401 m. Assim, teremos um vo entreo equador e a corda, ou melhor, uma diferena d entre os

raios das duas circunferncias.

Ento, perguntamos: usando-se somente a intuio, qual o valor aproximado de d? Ou seja, qual a larguraaproximada desse vo entre o equador e a corda? Cremosque o leitor dir: no existe vo algum... desprezvelessa diferena... Como a Terra to grande e s seaumentou um metro na corda, claro que o vo muitopequeno e, por conseguinte, desprezvel... Ser?

SoluoVamos calcular o valor de d:

2R 2RT

= 1 ou

d=RRT

= 1/2 0,16 m = 16 cm!

Notamos que d independente do raio, independente,portanto, do comprimento da circunferncia. Que tal fazeralgumas experincias?

Quando a intuio falha


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Problema 2

Passemos, agora, ao segundo exemplo: consideremos um crculo com

raio igual ao raio da Terra. Suponhamos ser possvel cobrir toda a superfciedesse crculo por uma outra superfcie, modelvel, ajustada a ele. Retiramos,em seguida, essa segunda superfcie, aumentamos sua rea de 1 m2 e aremodelamos, at se transformar novamente num crculo, com rea 1 m2

maior. Em seguida, justapomos os dois discos de modo a obter dois crculosconcntricos. Assim, haver uma diferena D entre os raios dos doiscrculos. Perguntamos novamente: usando-se apenas a intuio, qual ovalor aproximado de D?

Cremos que o leitor, dessa vez, alertado pelo problema anterior, teria

maior cautela para emitir um juzo, baseado apenas em sua intuio. Deixamoso clculo de D para o leitor que deve concluir que, agora, D depende doraio e que decresce na medida em que o raiocresce.

Problema 3

Tome uma corda esticada, medindo 400 km, unindo dois pontos, A eB, um em SP e outro no RJ. Tome outra corda com 1 m a mais do que aanterior e fixe suas extremidades nos mesmos pontos A e B. Como elafica bamba, coloque uma estaca de modo a mant-la esticada. Considere a

estaca noa) ponto mdio da corda.b) ponto A correspondente a SP.

Qual a altura, h, dessa estaca? maior ou menor que 1 m?

a)

b)

A h

200 000

200 000,05

SP RJ

B

A

h

400 000

400 001 -h

SP RJ

B


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5

Soluo

a) No tringulo retngulo de hipotenusa medindo 400 001/2 m e cateto

maior medindo 400 000/2, temos, por Pitgoras:

(200 000,05)2 200 0002 = h2, logo,

h2 = (200 000,05 200 000)( 200 000,05 + 200 000), ou h 447 m. Ouseja, a estaca da altura de um prdio de aproximadamente 127 andares!

b) Neste caso, o tringulo retngulo tem cateto maior medindo 400 000 m,e a soma dos comprimentos da hipotenusa e do cateto menor, h, iguala 400 001 m. Por Pitgoras:

400 0002 + h2 = (400 001 h)2 ou h = 0,999 m 1m!

Perplexos com os resultados?

Problema 4

Quantos quadrados so neces-srios para cobrir o Brasil, supondoo processo indicado na figura em queo quadradinho inicial tem 1 cm de ladoe o quadrado externo tem lado igual a4.500 km?

Antes de resolver, faa estimativasdo resultado e compare com ospalpites de seus colegas.

Soluo

1o quadrado: 1 cm de lado3o quadrado: 2 cm de lado5o quadrado: 4 cm de lado

...

...

(2n + 1)o quadrado: 2n cm de lado.

Por tentativas, verifica-se que 229 = 536 870 912 a primeira potnciamaior que 450 000 000 (4 500 km = 450 000 000 cm). Portanto, o(2 x29 +1)o = 59o quadrado j cobre o Brasil.

Podemos resolver o problema de modo mais formal, usando que oslados de todos os quadrados:


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1, 2 , 2, 2 2 , 4, 4 2 , etc.

formam uma progresso geomtrica de razo 2 logo, queremosdeterminar o menor inteiro n tal que n 1 >x, sendo x tal que

2 450 000 000( ) =x

ou, x = +

log(log , )

log,

2450 000 000

2 4 5 8

257 5 e n = 59.

Portanto, o 58o quadrado no cobre o Brasil, mas o 59o, sim.

Este mesmo problema pode ser resolvido com hexgonos e pentgonos.Que tal tentar?

Vejamos agora o que diz nossa intuio na lenda:

O jogo de xadrez

Segundo uma lenda antiga, o jogo de xadrez foi inventado na ndia, paraagradar a um soberano, como passatempo que o ajudasse a esquecer osaborrecimentos que tivera com uma desastrada batalha. Encantado com oinvento, o soberano, rei Shirham, quis recompensar seu sdito Sissa Ben

Dahir, o inventor do xadrez. Shirham disse a Sissa que lhe fizesse um pedido,que ele, rei Shirham, o atenderia prontamente. Sissa disse, simplesmente:

Bondoso rei, d-me ento um gro de trigo pela primeira casa dotabuleiro, dois pela segunda casa, quatro (= 22) pela terceira, oito (= 23)pela quarta, e assim por diante, at 263 gros de trigo pela ltima casa dotabuleiro, isto , a 64a casa.

O rei achou esse pedido demasiado modesto e, sem dissimular seudesgosto, disse a Sissa:

Meu amigo, tu me pedes to pouco, apenas um punhado de gros detrigo. Eu desejava cumular-te de muitas riquezas: palcios, servos e tesourosde ouro e prata.

Como Sissa insistisse em seu pedido original, o rei ordenou a seusauxiliares e criados que tratassem de satisfaz-lo. O administrador do palcioreal mandou que um dos servos buscasse um balde de trigo e fizesse logo acontagem. Um balde com cerca de 5 kg de trigo contm aproximadamente


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115 000 gros (como o leitor pode verificar, fazendo, ele mesmo, acontagem...); foi o suficiente para chegar 16a casa do tabuleiro, mas no

alm, pois1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 215 = 216 1 = 65 535*,

enquanto, para chegar 17a casa, seriam necessrios

1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 216 = 217 1 = 131 071

gros de trigo. (Um fato interessante a observar: o nmero de gros detrigo a colocar numa casa igual a todos os gros j colocados nas casasprecedentes mais 1. De fato, pelo penltimo clculo v-se que todos osgros colocados at a 16a casa mais 1 216, que o nmero de gros

correspondentes 17a casa.)Traga logo um saco inteiro (60 kg, aproximadamente 1 380 000 gros)

ordenou o administrador a um dos servos , depois voc leva de volta oque sobrar. Ao mesmo tempo providenciou a vinda de mais uma dezena decontadores de trigo para ajudar na tarefa, que se tornava mais e maistrabalhosa.

O administrador, os servos e os contadores j haviam terminado com 10sacos de trigo (= 10 x 60 x23 000 = 13 800 000 de gros) e mal haviampassado da 23a casa do tabuleiro, visto que

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 222 = 223 1 = 8 388607

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 223 = 224 1 = 16 777215.

A essa altura o rei foi notificado do que estava acontecendo e alertadode que as reservas do celeiro real estavam sob sria ameaa. Insistindo,porm, em atender ao pedido de seu sdito, ordenou que o trabalhocontinuasse.

* Estamos usando o seguinte resultado: dado um nmero q 1 e n um inteiro positivoarbitrrio, seja S = 1 + q + q2+ q3+ . . . + qn, logo qS = q + q2+ q3+ q4+ . . . + qn+1.

Subtraindo a primeira igualdade da segunda, obtemos

qS S q S q

q

nn

= =

+

+

11

11

1, ,ou que a frmula da soma usada, neste texto, para

q = 2 (frmula da soma dos termos de uma progresso geomtrica).


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Mandou convocar mais servos e mais contadores; ao mesmo tempo,mandou chamar os melhores calculistas do reino para uma avaliao do

problema. Esses vieram e, cientificados do que se passava, debruaram-senos clculos. Em menos de uma hora de trabalho, puderam esclarecer o reide que no havia trigo suficiente em seu reino para atender ao pedido deSissa. Mais do que isso, em todo o mundo conhecido na poca no haviatrigo suficiente para atender quele pedido!

No tempo em que isso aconteceu, pensava-se que o mundo fora criadohavia menos de 5 000 anos. Assim, os calculistas do rei puderam dizer-lheque nem mesmo toda a produo mundial de trigo, desde a criao domundo, seria suficiente para atender ao pedido de Sissa.

Vamos ver por qu.

O nmero de gros pedidos por Sissa:

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263 = 264 1 = 18 446 744 073 709 551 615,

valor obtido usando uma calculadora cientfica.

Como verificamos no incio, um balde de 5 kg de trigo contm 115 000gros, logo 1 tonelada de trigo (200 baldes) contm 23 x 106 gros. Aproduo mundial de trigo da ordem de 590 milhes de toneladas (Internet),

ou seja, 23x

590x

1012

gros. Ora, 264

1 dividido por esse nmero degros resulta aproximadamente 1360, isto , seriam necessrios 1360 anosde produo mundial de trigo no nvel de hoje para atender ao pedido deSissa.

Incrvel, no ?!

Baseado nos artigos

Logaritmos um curso alternativo

Renato Fraenkel, RPM4

Quando a intuio falha

Joel Faria de Abreu, RPM 8

De So Paulo ao Rio de Janeiro

com uma corda ideal

Geraldo G. Duarte Jr., RPM 22

Nmeros muito grandes

Geraldo vila,RPM25


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Antes de qualquer eleio nacional importante, sempreso feitas pesquisas, que a populao acompanha com

interesse, em inmeros setores da sociedade: empresas,clubes, escolas, etc. Vou falar aqui de uma pesquisa feitaem uma escola, antes do primeiro turno de uma eleiopara presidente da Repblica.

A histria comeou quando ouvi um colega, professorde Histria, conversando com os alunos de uma turma da3a srie do ensino mdio. Todos eleitores, naturalmente.Perguntava esse meu colega em quem eles votariam nosegundo turno, considerando as hipteses, que ele iria

apresentar, em relao aos trs cadidatos principais, quechamarei aqui de A, B e C. Esse meu colega perguntouento para a turma em quem eles votariam se A e Bfossem para o segundo turno. E a maioria da turma votariaem A. Em seguida ele perguntou em quem votariam se Be C fossem para o segundo turno. E agora a maioria daturma votaria em B. Dando-se por satisfeito, o professorresolveu comear a aula, mas foi interpelado por um aluno,que lhe perguntou se ele no iria propor a hiptese de Ae C irem para o segundo turno. Esse colega respondeu

que no havia necessidade dessa pergunta porquenaturalmente A ganharia de barbada.

A aula comeou e eu me retirei para pensar no casoque agora relato. Na realidade, por incrvel que parea, oprofessor estava errado. Ele no poderia concluir que amaioria da turma preferiria A a C. Para mostrar queesse raciocnio falso, imaginemos que num grupo depessoas a disputa entre A, B e C seja equilibrada da

Eleies preferncia transitiva?-


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seguinte forma: 1/3 das pessoas desse grupotem preferncia por A, B e C nessa ordem;

1/3 das pessoas tem preferncia por B, C e Anessa ordem, e o restante por C, A e B nessaordem.

Se esse grupo for submetido s perguntas feitas pelo meu caro colega,veremos que, na deciso entre A e B, 2/3 preferiro A; tendo que optarentre B e C, 2/3 preferiro B;mas, surpreendentemente, se a decisofor entre A e C, 2/3 preferiro C! O aluno estava, portanto, certo e aterceira pergunta deveria ter sido feita.

Temos aqui um exemplo de uma relao que intuitivamente esperamos

ser transitiva, mas que, na realidade, no . Divagando um pouco, essa no-transitividade da relao preferir pode ter espantado algum dia umcozinheiro de restaurante que s sabia fazer trs pratos: um peixe, umagalinha e uma carne, mas, como nunca tinha tempo de fazer os trs, sempreoferecia dois deles. perfeitamente possvel que, quando havia peixe egalinha, a maioria dos fregueses preferisse peixe. No dia em que haviagalinha e carne, a maioria preferisse galinha e que no dia em que haviapeixe e carne a maioria preferisse carne! Isso pode ocorrer mesmo que osfregueses sejam sempre os mesmos. natural.

Para dar um outro exemplo (as mulheres agora me perdoem), diria queo espanto do cozinheiro pode ser comparado ao da moa que recebeu pedidode casamento de trs pessoas A, B e C. Essa moa, que desejava fazero melhor casamento possvel (na opinio dela, naturalmente), davaimportncia igualmente a trs coisas que os candidatos deveriam ter: cultura,beleza e situao financeira.

Para melhor avaliar os pretendentes, elaresolveu dar notas a esses quesitos paracada um deles. Nota 3 significando bom;nota 2 significando mdio e nota 1 para

ruim. Os resultados esto no quadro:

Veja ento que, apesar de haver um empate tcnico, se os candidatosfossem comparados aos pares, ela iria preferir A a B porque A vence emdois dos trs quesitos; iria preferir B a C pela mesma razo e ainda iriapreferir C a A. Incrvel, no?

Baseado no artigoEleies

Eduardo Wagner,RPM16

1o

2o

3o

1/3

1/3

1/3

A

C

C

C

A

A B

B

B

cultura beleza finanas

A

B

C

3

3

3

2

2

2

1

1

1


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A divisibilidade e o dgito verificador

Introduo

Recentemente fui obrigado a solicitar uma segunda viado meu documento de identidade e, para minha surpresa,acrescentaram um dgito ao final do meu antigo nmerode registro geral (RG). Na ocasio, fiquei curioso: quaisas razes desse dgito adicional? Esclarecimento que srecentemente obtive e que compartilho com o leitor nesteartigo.

Sistemas de informao e a segurana

na transmisso de dados

Por mais cuidadoso que seja o digitador, erros podemocorrer e suas conseqncias podem ser muito srias. preciso, ento, criar mecanismos para detectar o maiornmero possvel de tais erros.

Pesquisas recentes sobre a natureza dos erros dedigitao revelam um fato curioso. Cerca de 79% doserros ocorrem com a digitao equivocada de um nicodgito (ou algarismo), como, por exemplo, digitar 1 573,quando o correto seria 1 673.

Esse tipo de erro recebe o nome de erro singular.

Outros 11% dos erros, chamados de erros detransposio, referem-se troca de dois dgitos (oualgarismos), como, por exemplo, escreverMTAEMTICA, quando o correto seria MATEMTICA.Esses so chamados de erros de transposio. Os demais


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10% dos erros esto distribudos em diversas categorias, nenhuma delasrepresentando mais de 1% do total.

bom que fique claro que existem particularidades em cada sistema decdigos, ou at mesmo em cada idioma, que podem mudar significativamenteessa distribuio de probabilidades. Apenas para citar um exemplo, na Suciaos nmeros de identificao de cada cidado so constitudos por 6algarismos para a data de nascimento (ano/ms/dia), seguidos de 3algarismos para dar conta de duplicaes de datas coincidentes. Muitaspessoas, no entanto, ao digitar, permutam os algarismos do ano com os dodia, criando um erro muito freqente, que no singular nem de transposio(trata-se aqui de um erro de trocas duplas).

Sabendo-se que nos dias de hoje cada vez mais usamos os computadorespara armazenar e processar as informaes digitadas, seria possvel criarum sistema que pudesse identificar com 100% de segurana um erro dedigitao do tipo singular ou de transposio? Um tal sistema daria conta deevitar cerca de 90% dos erros mais freqentes de digitao.

A divisibilidade e uma soluo do problema

O sistema ISBN (International Standard Book Number), criado em 1969para a identificao numrica de livros, CD-Roms e publicaes em braille,

talvez seja um dos pioneiros na utilizao de um dgito de verificao aofinal de cada cdigo, capaz de resolver o problema dos erros singulares ede transposio. Por exemplo, o cdigo ISBN 97-26-62792-3 refere-se aolivro O mistrio do bilhete de identidade e outras histrias (EditoraGradiva, Lisboa, 2001). Com exceo do ltimo dgito da direita, que odgito verificador (DV) (ou dgito de controle, como conhecido emPortugal), os demais 9 dgitos so responsveis por identificar o pas deorigem da obra, a editora e o livro propriamente dito.

Os equipamentos que recebem a digitao de um cdigo ISBN, x1x2x3x4x5x6x7x8x9 e seu dgito de verificao x10, esto programados paraverificar se o resultado, S, da expresso

10 x1

+ 9 x2

+ 8 x3

+ ... + 2 x9

+ 1 x10

divisvel por 11 ou no: o algarismo de verificao x10

escolhido de talforma que o resultado dessa conta tenha sempre resto zero na diviso por11. Veja, no exemplo do livro acima, que


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10 9 + 9 7 + 8 2 + 7 6 + 6 6 + 5 2 + 4 7 + 3 9 + 2 2 + 1 3

igual a 319, que divisvel por 11.

Podemos demonstrar um importante resultado com relao a essesistema:

Resultado

Se ocorrer na leitura de um cdigo ISBN um, e apenas um, dos dois

erros (singular ou de transposio), ento a soma S no ser um

mltiplo de 11.

Demonstrao

Caso1: Quando ocorre um erro singular.Seja x1

... xi...x

j...x

10um cdigo ISBN com dgito de verificao x

10

e x x xi1 10K K* o resultado da ocorrncia de um erro singular na i-sima

posio. Chamemos de S e S* as somas correta e errada, respectivamente.Temos, evidentemente, que S divisvel por 11 e

S S i x xi i

* ( )( ) .*

= 11 0

Se admitirmos por hiptese que S* seja mltiplo de 11, ento, como 11

primo, conclumos que 11 divide 11 i ou divide x xi i*

, o que um

absurdo, pois 11 i e x xi i

* so nmeros inteiros no nulos entre 10

e 10. Logo, S* no mltiplo de 11, o que acusa o erro cometido.

Caso 2: Quando ocorre um erro de transposio.

Seja x1

... xi...x

j...x

10um cdigo ISBN, x

10o dgito de verificao e

x1

... xi ... x

j... x

10o resultado da ocorrncia de uma transposio dos

algarismos xi e x

jnas posies i e j (i j). Nesse caso, a diferena

S* S igual a

(11 i)xj+ (11 j)xi (11 i)xi (11 j)xj= (j i)(xj xi) 0.A hiptese de S* ser mltiplo de 11 mais uma vez absurda porque

nos conduziria concluso de que um dos nmeros ji ou xjx

i, que

so nmeros inteiros no nulos entre 10 e 10, mltiplo de 11. Segueque S* no pode ser mltiplo de 11.

Se agora admitirmos que na digitao de um cdigo ISBN s ocorremerros singulares ou de transposio, no mais do que um erro em cada


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nmero, ento no ocorrem erros na digitao de um cdigo ISBN se esomente se a soma S for um mltiplo de 11. bom lembrar que, ao

digitarmos um cdigo ISBN cometendo um erro singular ou de transposio,o equipamento que recebe os dados ser capaz apenas de acusar a existnciade um erro devido ao fato de S no ser divisvel por 11, mas no sercapaz de encontr-lo; o que implica dizer que o digitador tem ainda comotarefa procurar o erro cometido.

O dgito de verificao do RG

Para o Estado de So Paulo e muitos outros Estados brasileiros, o dgitode verificao do RG calculado da seguinte maneira:

Seja x1x2x3x4x5x6x7x8x9 o RG de um indivduo. O dgito de verificao,x10, calculado de modo que a soma

100x10 + 9 x9 + 8x8 + 7x7 + ... + 2x2 + 1x1seja divisvel por 11. Como normalmente se reserva apenas um algarismopara o dgito de verificao, que, neste caso, um inteiro entre 0 e 10 (osrestos possveis na diviso de um inteiro por 11), normalmente se usa aletra X para representar o dgito de verificao 10. Por exemplo, no RGnmero 25 135 622 X, verifique que

10010 + 9 2 + 82 + 76 + 65 + 53 + 41 + 35 + 22 + 10 divisvel por 11.

Observa-se que os raciocnios utilizados na demonstrao do Resultadoanterior, aplicam-se quase totalmente nova expresso aqui utilizada. Comefeito, na ocorrncia de um erro singular no dgito x

ina digitao de um tal

RG, tem-se S* S = i (xi* x

i) para i = 1, 2, ..., 9 e se i = 10, S* S =

100 (x10

* x10), que no podem ser mltiplos de 11 para xi* xi 0, i =1, 2, ..., 10. Na ocorrncia de um erro de transposio entre x

ie x

j, com

1 i < j 9, tem-se S* S = (ji)(xix

j), que no divisvel por 11, se

xix

j 0. No caso, entretanto, em que a transposio se d entre x

ie x

10,

S* S = (100 i) (xix10), que um mltiplo de 11 se i = 1, mesmo quex

1x

10no seja nulo. Isso no tem efeito prtico negativo, pois erros de

transposio de alta probabilidade so aqueles entre dgitos consecutivos. Atroca, portanto, entre o primeiro e ltimo dgitos no nada comum.

J em Portugal, onde o algoritmo de verificao dos documentos deidentificao igual ao nosso, com a diferena de que l se utiliza peso 10


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15

no dgito de verificao em vez de peso 100, esse problema no se d. Osresponsveis pela execuo do sistema decidiram, porm, no utilizar a

letraX para o dgito de verificao 10, optando pelo uso do zero pararepresent-lo. curioso notar, no caso portugus, onde um dgito deverificao 0 pode significar o nmero zero ou o nmero dez, que aconcepo do sistema de deteco de erros singulares e de transposioest comprometida para os portadores de documentos de identificao comdgito de verificao igual a 0 ou 10.

Ficaria a questo: para que o dgito verificador utilize uma s posio,por que no usar a divisibilidade por 10 (cujos restos possveis so s0, 1, ... , 9), em vez de 11? O argumento na prova da proposio mostra

que foi essencial que 11 fosse primo e maior que 10.

bom notar ainda que o sistema brasileiro tambm no uniforme.Recentemente descobri que o dgito de verificao do RG, emitido no RioGrande do Sul, de um amigo gacho, no segue o mesmo algoritmo vlidopara So Paulo e muitos outros Estados.

Baseado no artigo

Aritmtica modular e sistemas de identificao

Jos Luiz Pastore Mello, RPM 48


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16

O raio da Terra aproximadamente 6 400 km..., mas

como que se mede o raio da Terra?

Um grande sbio da Antiguidade, Eratstenes, calculouo raio da Terra h mais de 2 200 anos! Mais do que isso,os sbios daquela poca calcularam tambm as distnciasda Terra Lua e da Terra ao Sol, e os tamanhos dessesastros; e para isso utilizaram noes bsicas desemelhana e proporcionalidade.

Eratstenes viveu no terceiro

sculo a.C., na cidade de Alexandria,que fica no extremo oeste do deltado rio Nilo. Mais ao sul, onde hoje selocaliza a grande represa de Assu,ficava a cidade de Siena, como ilustrao mapa. Naquela poca deveriahaver um trfego regular decaravanas entre as duas cidades; e,talvez por causa desse trfego, sabia-

se que a distncia entre Alexandria e Siena era deaproximadamente 5000 estdios, ou seja, 800 km (tomandoo estdio como igual a 160 metros).

Decerto os viajantes experientes j haviam feito umaboa estimativa dessa distncia. Quem viaja com freqnciapor anos a fio sabe calcular as distncias percorridas, muitoprovavelmente pelo nmero de dias gastos na viagem e

O tamanho da Terra


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pelo que se consegue percorrer numa jornada. E, uma vez conhecida adistncia ao longo das estradas, seria possvel fazer uma estimativa da

distncia em linha reta.

Outra coisa que se sabia que as duas cidades estavam mais ou menosno mesmo meridiano, ou seja, tinham a mesma longitude. Isso intrigante,pois, enquanto seja relativamente fcil fazer uma estimativa da latitude deum lugar, a comparao das longitudes de dois lugares diferentes umproblema bem mais complicado. Decerto eles achavam que as duas cidadesestavam no mesmo meridiano porque para ir de Alexandria a Siena viajava-se diretamente na direo sul.

O que fez Eratstenes

Alm desses dois fatos a distncia de 800 km entre as duas cidades eelas estarem no mesmo meridiano1, dois outros fatos foram cruciais noraciocnio de Eratstenes: devido grande distncia que o Sol se encontrada Terra, os raios solares que chegam ao nosso planeta so praticamenteparalelos; e quando os raios solares caam verticalmente ao meio-dia emSiena (o que era comprovado vendo que as cisternas ficavam totalmenteiluminadas ao meio-dia e o disco solar podia ser visto refletido no fundodessas cisternas),2 em Alexandria eles formavam, com a vertical do lugar,

um ngulo igual a 1/50 da circunferncia completa. Com a medida em graus,isso equivale a dizer que esse ngulo era de 7,2.

1 Isso s verdade aproximadamente, tanto no que se refere distncia entre as duas

cidades, quanto igualdade das longitudes. Veja Alexandria e Assu num bom mapa do

Egito: Assu, a antiga Siena, fica s margens do lago Nasser, pouco mais de 3o a leste de

Alexandria.

Plo Norte

raios solares

S

A

B

7,2

7,2


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18

Veja:

7 2

360

72

36 100

2

100

1

50

,.=

= =

Nesse ponto entra o raciocnio de Eratstenes: se a 1/50 de ngulocorrespondem 800 km de arco, ao ngulo de 360 corresponder 50 x 800 =40 000 km.

Que Matemtica foi usada?

Vamos rever o raciocnio de Eratstenes para identificar os fatosmatemticos usados. Ele entendeu que o ngulo de 7,2 em Alexandria(A na figura anterior) igual ao ngulo central em O, o que pressupe queos raios solares que chegam Terra so paralelos, devido grande distnciado Sol3. Portanto, a igualdade dos ngulos em O e A devida ao fato deeles serem ngulos correspondentes em duas paralelas (AB e OS) cortadaspela transversal OA . O outro fato matemtico utilizado o daproporcionalidade entre arcos e ngulos: os ngulos centrais so proporcionaisaos arcos que subentendem; assim, o ngulo de 7,2 est para o arco AS,assim como 360 est para a circunferncia completa.

Ser que foi isso mesmo?

Sim, ser que Eratstenes mediu mesmo o ngulo de incidncia dosraios solares? Para isso ele teria de se valer de algum aparelho, e teria derealizar uma operao meio sofisticada, difcil de ser feita com preciso.

Parece que ele procedeu de maneira muito mais simples. Em Alexandriacertamente havia um relgio solar, com uma coluna construda bem navertical, cujas sombras projetadas serviam para marcar a hora do dia. Eledecerto esperou o dia do ano em que se sabia que os raios solares incidiamverticalmente em Siena ao meio-dia; e, nesse instante, mediu o comprimentoda sombra projetada pela coluna do relgio solar em Alexandria.

2 Isso tambm s verdade aproximadamente; hoje sabemos que a antiga Siena ficava uns

60 km ao norte do Trpico de Cncer, que o paralelo de maior afastamento norte do Sol

em relao ao equador.

3 No tempo de Eratstenes j era sabido que o Sol se encontrava a uma imensa distncia da

Terra.


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De posse do comprimento dessa sombra (AB na figura) e da altura BCda coluna, ele teria desenhado um tringulo retngulo ABC (numa folha

de papiro, com certeza), com lados AB e BC proporcionais aos ladosAB e BC, respectivamente, do tringulo ABC, que tambm retnguloemB (veja as figuras). Seria agora relativamente fcil medir o ngulo deincidncia, ou seja, o ngulo ACB do tringulo ABC da figura.Eratstenes teria verificado que esse ngulo era de 1/50 da circunfernciacompleta, ou seja, 7,2.

A igualdade do ngulo de incidncia emA com o ngulo ACB decorrede esses ngulos serem alternos internos; e a igualdade dos ngulos ACBe ACB devida semelhana dos tringulos ACB e ACB.

O raio da Terra

Da circunferncia terrestre podemos passar ao raio da Terra semnecessidade de novas medies.

No caso da Terra, como C= 400 000 km e lembrando que C= 2r,

calcula-se r C= 2 6370 km, usando para a aproximao 3,14.

Eratstenes, Ptolomeu e Cristvo Colombo

J dissemos que Eratstenes viveu no sculo terceiro a.C.,

provavelmente entre 276 e 196 a.C., dizem os historiadores mais abalizados.Portanto, era pouco mais jovem que Arquimedes (287-212 a.C.). Ele nofoi o primeiro a se preocupar com a medida do tamanho da Terra. Aristteles(384-322) e Arquimedes fazem referncias a outras estimativas e citamvalores do tamanho da Terra. Mas eles no explicam de onde provm suasinformaes, por isso mesmo esses eventuais clculos anteriores aEratstenes no so levados em conta.

A AB B

7,2

C C

7,2


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20

O clculo do tamanho da Terra aparece num livro de Ptolomeu sobreGeografia, livro esse que foi muito usado no tempo das grandes navegaes.

Por razes no bem esclarecidas at hoje, ou Ptolomeu valeu-se de umclculo do raio terrestre diferente do que fez Eratstenes, ou registrou umestdio de outro comprimento que o do tempo de Eratstenes4.

Seja como for, em sua Geografia, Ptolomeu utiliza um valor do raio daTerra que est abaixo do valor fornecido por Eratstenes. E apresenta ummapa do mundo ento conhecido, o qual contm mais dois erros importantes:a largura leste-oeste do mar Mediterrneo est exageradamente alta, bemcomo a largura leste-oeste da sia. Em conseqncia desses trs erros, adistncia do Oeste europeu (Espanha, Portugal) ao Leste asitico (Japo,

Coria), para quem navegasse pelo oceano Atlntico em direo oeste,seria bem mais curta do que realmente . Cristvo Colombo valeu-se dissopara convencer os reis de Espanha de que sua viagem s ndias seria vivel5.Sua sorte foi estar errado em pensar que no havia terra em seu caminho,pois, fosse isso verdade, ele teria perecido.

Baseado no artigo Se eu fosse professor de Matemtica

Geraldo vila, RPM54

4 Cabe notar tambm que no h acordo sobre o valor exato do estdio em metros.

5 interessante notar que razes de ordem tcnica ao menos em parte levaram Portugal

a no aprovar a proposta de Colombo. Com efeito, os especialistas encarregados de julgar

essa proposta constataram corretamente que a distncia a ser percorrida na viagem seria

muito mais longa do que Colombo previa, sendo impossvel levar vveres e gua em

quantidades suficientes para toda a viagem.


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Problema das idades

Tenho o triplo da idade que tu tinhas quando eu tinha aidade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho,

teremos juntos 56 anos. Qual a minha idade?

Esse problema, com enunciado em estilo de umacharada, est hoje meio fora de moda, mas foi clebrenuma poca em que havia uma preocupao de resolveresse e outros tipos de problemas por Aritmtica e nopor lgebra.

Vamos abordar o problema geometricamente. Serepresentarmos graficamente, num sistema de

coordenadas cartesianas, a evoluo da idade de umindivduo atravs do tempo, obteremos sempre uma retaparalela bissetriz do primeiro quadrante.

Na realidade, obteremos a prpria bissetriz se tomarmoso ano zero como sendo o ano de seu nascimento, poisno ano 1 ele ter 1 ano, e assim sucessivamente (isso um fato do qual a experincia j mostrou que podemos

convencer mesmo uma pessoa que jamais estudou Geometria Analtica).

Ja idade de uma pessoa d anos maisvelha ter como grfico uma retaparalela, j que a diferena entre asidades dos dois permanecer constantee igual a d.

0

i

t

d


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22

Voltemos ento ao nosso problema. H dois indivduos em causa, umque fala, chamamo-lo deE,e um que escuta, T. Evidentemente E maisvelho que T(... quando eu tinha a idade que tu tens...), digamos, d anos,de modo que seus grficos de idades se assemelham aos da figura da pginaanterior.

H trs pocas mencionadas noproblema, que chamaremos P (passada),A(atual) e F (futura). A maneira como serelacionamA e P (... quando eu tinha a idadeque tu tens...) e a maneira como serelacionam A e F (... quando tu tiveres aidade que eu tenho...) mostram que elas sesituam no grfico como nos casos da figuraao lado.

A inclinao de 45o das retas desenhadas acarreta que todos ossegmentos verticais compreendidos entre elas tm comprimento d.

O dado de que a idade que E tem napoca A (isto , OX) o triplo da idadeque T tinha na poca P (isto , OZ),

juntamente com o fato de XY= YZ= d,obriga a que OZ seja tambm d (estouevitando escrever a equao 2d + OZ =3OZ, j que isso pode ser visto na figura).Mas, ento, a reta grfica da idade de Etem que passar por Z e a figura correta a que est ao lado.

Agora ento claro que, na poca F, a idade de T 3d enquanto ade E 3d + d. Logo os dois juntos tm 7d, que deve ser 56. Logo, d

tem que ser 8 e a idade que eu tenho 3 x 8 = 24, que a resposta.

Baseado no artigo

Uma soluo geomtrica para

o problema das idades

Jos Paulo Q. Carneiro,RPM16

0

i

t

d

P

Z

Y

X

E

T

A F

0

i

t

d

P

X

E

T

A F


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23

Cena no 1 O problema

Um dia, estava eu na faculdade tranqilamentepensando na vida quando chegou um colega e me fez umaproposta inusitada:

Voc quer comprar de graa (?!) um sapato?

claro que eu topei de cara comprar de graa (?!) umsapato, embora desconfiasse que houvesse algum rolo.As condies eram:

1. Comprar um selinho desse meu amigo. Preo R$ 3,00;

2. Juntar mais R$ 27,00 e o selinho e levar a umadeterminada loja. Eu receberia um par de sapatos comvalor de mercado de R$ 30,00 e mais dez selinhos novalor de R$ 3,00;

3. Vender os dez selinhos que eu seria restitudo dosR$ 3,00 iniciais de compra do selinho do meu amigo edos R$ 27,00 que anexei para retirar o sapato da loja.

Dei R$ 3,00 ao meu colega pelo selo, fui loja, retireium par de sapatos por R$ 27,00 e ganhei os dez selinhos

que me iriam restituir tudo o que investira.Vendi os dez selinhos com alguma facilidade. Fiz ento

um balano: eu tinha at ento gasto R$ 30,00, recebidoR$ 30,00 e mais um par de sapatos. Um par de sapatos degraa, portanto. Como isso seria possvel? No estariaessa promoo violando a Lei de Lavoisier ou a SegundaLei da Termodinmica? Fiquei estarrecido com o problema.Como interpret-lo?

A ilha dos sapatos gratuitos


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Cena no 2 As explicaes convencionais

Aturdido com o problema que aparentemente violava leis naturais nunca

dantes questionadas, sa a conversar com meus colegas de faculdade. Oprimeiro a tentar responder foi Altarimando. Ele se entusiasmou.

No se preocupe se essa promoo fere ou no as leis da natureza. Oimportante que funciona. Assim como voc conseguiu comprar sapatosde graa, vamos expandir o negcio para comprar arroz de graa, roupa degraa, etc. Talvez esse seja o perdido caminho para a humanidade alcanaro Nirvana, o to desejado Shangril. No se esquea de que as Leis deMercado so superiores Lei de Lavoisier.

Desconfiei que ele estava mais para poeta transcendental que crtico deMatemtica e Fsica e fui procurar o Souzinha, um crtico de tudo. Logodeu seu parecer, claro e taxativo, incisivo e demolidor, caracterstico detodo jovem de menos de quarenta anos:

Estamos diante da chamada Bola-de-neve, Conto da venda sucessivaou ainda da Corrente da felicidade. um estratagema que favorecebarbaramente os compradores iniciais e altamente desvantajoso para osfinais. O universo possvel de compradores um nmero finito e oscompradores dos selinhos so: 1 na primeira etapa, 10 na segunda, 100 na

terceira, etc. Ou seja, os envolvidos na corrente so em nmero de100 + 101 + 102 + 103+ ...

Quando o somatrio excede o nmero de possveis compradores, acorrente pra e os ltimos no tero para quem vender os selos, sendoprejudicados.

Logo, essa artimanha to simplesmente uma falcia. Continuam vlidos,portanto, a Lei de Lavoisier e o Segundo Princpio da Termodinmica.

Fiquei feliz, confesso, por essa explicao do Souzinha.

As pessoas como ns, que estudam Matemtica, com a mente criada edisciplinada por critrios lgico-formais cartesianos tm verdadeiro horrora situaes que fujam desse modo e, o que pior, funcionem. Se isso pudesseocorrer, ficaramos inseguros, e toda uma vida ficaria questionada.

Cena no 3 A explicao diferente

Quando eu j estava disposto a encerrar o assunto, encontrei um velhoamigo, Ado, estudante de Economia na Getlio Vargas.


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Apesar de jovem, Ado crtico ponderado e profundo em seusconhecimentos.

S como curiosidade, expus a ele o problema e as duas respostas que eutinha ouvido at ento.

Ado, filosoficamente, comeou a raciocinar socraticamente.

Quanto mesmo que a loja recebe por par de sapatos vendido?

Ora, Ado, respondi, o enunciado claro. Ela recebe R$ 30,00 por parde sapatos.

Acho que a temos uma pista, no esse o valor, ponderou Ado. E

continuou: Admitamos uma ilha com 1 111 pessoas potencialmente clientes dos

sapatos e mais uma pessoa, que o dono da loja, totalizando 1 112 pessoas.O dono da loja prope o negcio a um primeiro cliente. Compre um selo porR$ 3,00, adicione R$ 27,00 e deflagre o processo. Esse primeiro clientevende dez selos. Dez compradores vendem depois para 100 outroscompradores. J so 111 compradores. Os cem compradores vendem agorapara 1 000 compradores. Esses ltimos 1000 compradores, que j gastaram,cada um, R$ 3,00 pelo selo, no tm mais para quem vender. Uma de suas

opes perder esse selo. Outra (mais razovel) acrescentar R$ 27,00 eir buscar o seu par de sapatos, que, como sabemos, vale no mercadoR$ 30,00. Logo, esses ltimos compradores no sero prejudicadosfinanceiramente (s no tero os seus sonhos de sapatos grtis).

Agora faamos um raciocnio. Quanto recebeu a loja de sapatos e quantospares de sapatos foram entregues? Curiosamente voc ver que a loja norecebe R$ 30,00 por par de sapatos vendido.

A loja recebeu em dinheiro:

do 1o comprador: 3,00 + 27,00 = 30,00de 10 compradores: 10 x 27,00 = 270,00de 100 compradores: 100 x 27,00 = 2 700,00de 1000 compradores: 1000 x 27,00 = 27 000,00Total R$ 30 000,00

Total de pares de sapatos vendidos = 1111

Receita mdia da loja por par de sapatos: R$ 30 000,00/1111R$ 27,03


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Concluso

A loja vende cada par de sapatos a R$ 30,00 e recebe na prtica R$ 27,00

e no R$ 30,00, como supostamente se poderia pensar. V-se, portanto,que cada pessoa para ganhar um par de sapatos precisa entregar o sinal(entrada) e ter o trabalho de vender dez outros sapatos. O caso em estudo um processo que traz embutido um trabalho de venda como custo. Custoesse que pago pela loja (30,00 27,03) = 2,97 por par de sapatos. umacomisso de venda. Tudo claro, Botelho?

Fiquei a pensar. Como as coisas ainda estavam algo confusas dentro demim, pedi apoio Revista do Professor de Matemtica.

A resposta da RPM1. Se a histria se passasse no instante em que nosso amigo Botelho acabou

de vender seus dez selinhos, o que estaria acontecendo que dez pessoas(os compradores dos selinhos) teriam se cotizado para comprar um parde sapatos para ele.

2. Na histria, nada obriga que cada comprador se limite a adquirir um parde sapatos apenas. Para citar um caso extremo, podemos supor que oprimeiro comprador, em vez de vender os 10 selinhos que recebeu daloja, fica com eles e com isso compra mais dez pares de sapatos a

R$ 27,00 cada, recebe 100 selinhos, etc., at acabar com o estoque daloja. Depois, revende todos os sapatos ao preo oficial de R$ 30,00. Emvez de um par de sapatos de graa, ganha muito mais.

3. Do ponto de vista da loja, o que ela fez corresponde simplesmente avender cada par de sapatos a R$ 27,00, exceto o primeiro, vendido porR$ 30,00. Os selinhos so apenas um truque de marketing. A loja vendepor R$ 27,00, mas, como o preo usual R$ 30,00, a diferena divididaentre alguns felizardos, ou espertos. O exemplo do economista Ado,em que cada habitante da ilha compra apenas um par de sapatos, o

extremo oposto do caso 2 acima. Na prtica ocorrem, em geral, situaesintermedirias em que algumas pessoas formam estoque para revenda(podendo em seguida organizar cartis para manipular os preos, masisso j seria outra histria).

Baseado no artigoNa ilha dos sapatos gratuitos

Manoel Henrique C. Botelho, RPM 7


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Quando se menciona Fibonacci, ou seja, Leonardo

Fibonacci (1170, 1240?), tambm conhecido como

Leonardo Pisano ou Leonardo de Pisa, pensa-se logo no

clebre problemados coelhos, apresentado e resolvido no

seuLiber Abaci, conduzindo clebre seqncia 1, 1,

2, 3, 5, 13, ..., que at hoje leva seu nome. Mas o livro

contm muito mais: entre os problemas nele tratados, a

maioria sem grande interesse para ns, leitores de hoje,

pois tratam de Aritmtica usando os algarismos indo-

arbicos ou de Matemtica Comercial, encontramos

verdadeiras jias matemticas, como um relacionado com

a maneira egpcia de lidar com fraes.

Como sabemos, os egpcios s trabalhavam com

fraes unitrias, isto , da forma 1/n, sendo n um

nmero natural [ exceo de 2/3 e, s vezes, das fraes

da forma n/(n + 1)]. Obviamente, em seus problemas

matemticos apareciam fraes da forma m/n, que

deviam ento ser escritas usando-se somente fraes

unitrias distintas. Ou seja, era necessrio escrever

m

n n n nk= + + +

1 1 1

1 2 L, com n1, n2, ..., nk naturais

distintos.

No discutiremos aqui as interpretaes apresentadas

pelos eruditos para essa insistncia egpcia em trabalhar

com fraes unitrias. Esse hbito, embora pesado e

inconveniente, sobreviveu at a Idade Mdia. Em verdade,

os egpcios, por meio de tabelas apropriadas e mtodos

Fraes egpcias


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engenhosos, conseguiam lidar muito bem com as fraes unitrias. O leitor

mais curioso poder consultar o livro Mathematics in the Time of the

Pharaohs de autoria de R. J. Gillings, Dover, 1982, ou, para uma leituraleve, a RPM 15, p. 21.

No bvio que qualquer nmero racional m/n, com m < n, possa ser

escrito como soma de fraes unitrias. Uma prova da acuidade matemtica

de Fibonacci ter percebido a necessidade de mostrar isso. Ele no apresenta

uma demonstrao formal, como o faramos hoje, mas d um mtodo

inteiramente geral que resolve o problema.

A regra ... que voc divide o nmero maior pelo menor; e

quando a diviso no exata, verifique entre que dois naturaisa diviso est. Tome a maior parte, subtraia-a, e conserve o

resto ...

Em linguagem de hoje, a regra seria:

Subtraia da frao dada a maior frao unitria que no

maior do que ela. Repita o processo at obter 0.

Por exemplo, escrevamos a frao 4/13 como soma de fraes unitrias

distintas:

3 < 13/4 < 4 1/3 > 4/13 > 1/4

Portanto, 4/13 1/4 = 3/52.

Mas, ento, 17< 52/3 < 18 1/17 > 3/52 > 1/18.

Logo, 3/52 1/18 = 2/936 = 1/468. Aqui, a diviso de 936 por 2 exata,

e o processo termina.

Assim, 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468.

No difcil demonstrar que o processo descrito por Fibonacci sempre

funciona. Para mostrar que o mtodo funciona, demonstraremos que osnumeradores das diferenas sucessivas (mesmo antes de simplificar)

decrescem estritamente (no exemplo acima, as diferenas so 3/52 e

2/936). Ento, como toda sucesso estritamente decrescente de nmeros

naturais no negativos finita (veja O princpio da descida infinita de

Fermat, RPM 32), o processo obrigatoriamente tem fim.

Com efeito, consideremos a fraoa

bcom a < b.


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Suponha que b = qa + r, 0 r< a. Se r= 0, ento,a

b q=

1e a

demonstrao est terminada. Podemos, portanto, supor que r 0.

Ento,b

aq

r

aq

b

aq= + < < +implicando 1, ou

1 1

1q

a

b q> >

+

.

Assim,a

b q

r a

b q

+

= +

+

1

1 1( ).

Mas, como a r < a, os numeradores das diferenas sucessivas so

estritamente decrescentes quando r0, o que queramos demonstrar.

Baseado no artigo

Um problema de Fibonacci

Joo Pitombeira de Carvalho,RPM17


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30

Em uma prova de concurso, destinado principalmente

a professores de Matemtica, figurava a seguinte questo:

Os nmeros racionais a e b so representados, no

sistema decimal, pelas dzimas peridicas

a = =3 0181818 3 018, ... , e b = =1 1 48148 1 1 48, ... ,

Encontre, justificando, uma representao decimal

de a b.

Como a e b so racionais, tambm o a b; e,

portanto, sua representao decimal peridica. Na prova,

era permitido o uso de calculadora. Mas por meio dacalculadora jamais se descobrir o perodo, pelo menos

com a certeza exigida pelo justifique. Alm disso, a

calculadora no conseguir nem mesmo dar uma idia do

perodo, se ele for muito longo. De fato, o perodo pode

ter um comprimento maior do que o nmero de dgitos

que a calculadora exibe no visor.

Um primeiro expediente que poderia ocorrer seria fazer

a subtrao por meio do esquema usado habitualmente

para decimais finitos. Isso funcionaria bem em casos maissimples. Por exemplo:

0 444

0 333

0 111

, ...

, ...

, ...

o que estaria correto, pois4

9

3

9

1

9 = .

As dzimas peridicase a calculadora


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31

Mas, no caso em questo, o desencontro entre os perodos das duas

dzimas apresentadas dificulta o emprego dessa estratgia (a qual, alis,

precisaria ser discutida em termos conceituais). Vejamos:

Como a subtrao usual feita da direita para a esquerda, no se sabe

bem por onde comear, antes de descobrir o perodo.

Por conseguinte, o caminho natural calcular as geratrizes de a e b,

subtrair as fraes correspondentes, e ento encontrar uma representao

decimal para essa frao.

Utilizando esse procedimento, encontra-se:

a b = + +

= + =3

18

990 1148

999 11292

1485

2777

1485 .

Neste ponto, o mtodo mais usado por todo mundo dividir 2777 por

1485 (ou 1292 por 1485, ganhando uma etapa) pelo algoritmo tradicional,

e aguardar o primeiro resto que repete. Deste modo, obtm-se:

Como se repetiu o resto 1040, a partir da, os algarismos 7, 0, 0, 3, 3, 6

iro se repetir. Logo, a b = 1 8700336, .

Vamos agora fazer alguns comentrios:

1. Algumas pessoas envolvidas no processo de aprendizagem da Matemtica

(alunos, professores, pais, etc.) expressam s vezes a crena de que,

com o advento da calculadora, nunca mais haver ocasio de usar o

algoritmo tradicional da diviso. Alguns at usam isso como um argumento

para proibir o uso da calculadora em certas fases iniciais da aprendizagem:

necessrio primeiro que o aluno aprenda o algoritmo tradicional, e s

depois lhe ser permitido usar a calculadora; seno, ele no ter

motivao para aprender tal algoritmo.

1 2 9 2 0 1485

1 0 4 0 0 0 8700336

5 0 0 0

5 4 5 0

9 9 5 0

1 0 4 0

,


36/136

32

Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que ns, professores, temos

que exercer nossa criatividade para criar problemas desafiadores, que

coloquem em xeque at mesmo a calculadora, deixando claras as suaslimitaes, em vez de proibir o uso da calculadora, que uma atitude

antiptica, repressora, e totalmente contrria ao que um aluno espera de

um professor de Matemtica. De fato, para um leigo ou iniciante em

Matemtica, nada mais matemtico do que uma calculadora, e ele

espera que um professor v inici-lo ou ajud-lo com essa ferramenta, e

no proibi-lo de us-la.

Note-se tambm que, mesmo usando o algoritmo tradicional da diviso,

como fizemos, a calculadora permanece til para efetuar as

multiplicaes e subtraes envolvidas no processo, minorando as

possibilidades de erro e poupando trabalhos repetitivos e inteis.

2. O trabalho de diviso ficaria simplificado, se tivssemos observado que

o divisor 1485 tem o fator comum 5 com a base do sistema decimal

(um detalhe nem sempre lembrado). Desse modo:

1292

1485

1292

5 297

1

10

2584

297

1

108

208

297

0 8

1

10

=

= = +

=

+ ,2208

297 0 8 0 070336 0 8700336= + =, , , , pois

Os nmeros envolvidos no algoritmo da diviso ficam menores.

3. Existiria um outro mtodo para encontrar uma representao decimal de

208

297(ou de

1292

1485, mas j vimos que basta o primeiro), que no fosse

o algoritmo tradicional da diviso? A resposta sim.

Basta tomar as sucessivas potncias de 10, a saber: 10, 100, etc., at

que encontremos uma que deixe resto l, quando dividida por 297.

2 0 8 0 297

1 0 0 0 0 70336

1 0 9 0

1 9 9 0

2 0 8

,


37/136

33

No difcil fazer isso, experimentando com a calculadora:

103 = 3 x 297 + 109; 104 = 33 x 297 + 199; 105 = 336 x 297 + 208;

106 = 3367 x 297 + 1.

A partir da, obtm-se:1

2973367

1

10 16=

, e portanto:

208

297208 3367

1

10 1700336

1 10

1 1 10

700336

101

1

10

1

6

6

6

6 6

=

=

=

+ +110

0 700336700336700336 0 70033612

+

= =K K, , ,

onde a ltima passagem vem da propriedade das progresses geomtricas

infinitas: 11

1

2+ + + =

q qq

K , quando 1 < q < 1.

Observe que o perodo da dzima tem comprimento 6, que justamente

o expoente da menor potncia de 10 que deixa resto 1, quando dividida

por 297.

4. Pode-se ter certeza de que, ao testar as potncias de 10, vamos acabar

encontrando sempre uma que deixe resto 1, quando dividida por 297 ?

A resposta positiva, sempre que o denominador (no caso, o 297) for

primo com 10 ( por isso que devemos antes deixar de fora os fatores

2 e 5), e pode ser encontrada nos livros de Teoria dos Nmeros.

Baseado no artigo

As dzimas peridicas e a calculadora

Jos Paulo Q. Carneiro,RPM 52


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34

Mania de Pitgoras

Elisha Scott Loomis, professor de Matemtica emCleveland, Ohio (Estados Unidos), era realmente umapaixonado pelo Teorema de Pitgoras. Durante 20 anos,

de 1907 a 1927, colecionou demonstraes desse teorema,agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou ThePythagorean Proposition (A Proposio de Pitgoras).A primeira edio, em 1927, continha 230 demonstraes.Na segunda edio, publicada em 1940, esse nmero foiaumentado para 370 demonstraes. Depois do falecimentodo autor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo

National Council of Teachers of Mathematics daquelepas.

O Professor Loomis classifica as demonstraes doteorema de Pitgoras em basicamente dois tipos: provasalgbricas (baseadas nas relaes mtricas nostringulos retngulos) e provas geomtricas (baseadasem comparaes de reas). Ele se d ao trabalho deobservar que no possvel provar o teorema de Pitgorascom argumentos trigonomtricos porque a igualdadefundamental da Trigonometria, cos2x + sen2x = 1, j umcaso particular daquele teorema.

Como sabemos, o enunciado do teorema de Pitgoras o seguinte: A rea do quadrado cujo lado a hipotenusade um tringulo retngulo igual soma das reas dosquadrados que tm como lados cada um dos catetos. Sea, b so as medidas dos catetos e c a medidada hipotenusa, o enunciado equivale a afirmarque a2 + b2 = c2.


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35

Documentos histricos mostram que os egpcios e os babilnios muitoantes dos gregos conheciam casos particulares desse teorema, expressos

em relaes como

3 4 5 13

41

1

4

2 2 2 2 2 2+ = + =e ( ) ( ) .

O fato de que o tringulo de lados 3, 4 e 5 retngulo era (e ainda ) tilaos agrimensores. H tambm um manuscrito chins, datado de mais demil anos antes de Cristo, onde se encontra a seguinte afirmao: Tome oquadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raizquadrada dessa soma a hipotenusa. Outros documentos antigos mostram

que na ndia, bem antes da era Crist, sabia-se que os tringulos de lados3, 4, 5, ou 5, 12, 13, ou 12, 35, 37 so retngulos.

O que parece certo, todavia, que nenhum desses povos sabia demonstraro teorema. Tudo indica que Pitgoras foi o primeiro a prov-lo. (Ou algumda sua Escola o fez, o que d no mesmo, pois o conhecimento cientficonaquele grupo era propriedade comum.)

A mais bela prova

Qual foi a demonstrao dada por Pitgoras? No se sabe ao certo, poisele no deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que

foi uma demonstrao do tipo geomtrico, isto , baseada na comparaode reas. No foi a que se encontra nos Elementos de Euclides, e que ainda hoje muito encontrada nos livros de Geometria, pois tal demonstraoparece ter sido concebida pelo prprio Euclides. A demonstrao de Pitgoraspode muito bem ter sido a que decorre das figuras abaixo:

Do quadrado que tem a + b como lado, retiremos 4 tringulos iguais aodado. Se fizermos isso como na figura esquerda, obteremos um quadradode lado c. Mas se a mesma operao for feita como na figura direita,restaro dois quadrados, de lados a e b respectivamente. Logo, a rea do

a b b

b cc

cb

a

a

a


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36

quadrado de lado c a soma das reas dos quadrados cujos lados medem ae b.

Essa , provavelmente, a mais bela demonstrao do teorema dePitgoras. Entretanto, no livro de Loomis ela aparece sem maior destaque,como variante de uma das provas dadas, no sendo sequer contada entreas 370 numeradas.

Apresentamos a seguir algumas demonstraes do teorema de Pitgorasque tm algum interesse especial, por um motivo ou por outro. As 4 primeirasconstam da lista do Professor Loomis.

A prova mais curta

tambm a mais conhecida. Baseia-se na seguinte conseqncia dasemelhana de tringulos retngulos:Num tringulo retngulo, cada cateto a mdia geomtrica entre a hipotenusae sua projeo sobre ela. Assim, se m en so respectivamente as projees doscatetos a e b sobre a hipotenusa c, temosa2 = mc, b2 = nc, enquanto m + n = c.

Somando, vem a2

+ b2

= c2

.A demonstrao do presidente

James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas4 meses (pois foi assassinado em 1881), era tambm general e gostava deMatemtica. Ele deu uma prova do teorema de Pitgoras baseada naseguinte figura.

A rea do trapzio com bases a, b ealtura a + b igual semi-soma das

bases vezes a altura. Por outro lado, amesma rea tambm igual soma dasreas de 3 tringulos:

a ba b

aab

bab

c++ = + + = +

2 2 2 2

2 2 2

( ) ,

implicando a2 + b2 = c2.

ab

c

m n

b

ba

a

cc


41/136

37

A demonstrao de Leonardo da Vinci

O grande gnio tambm concebeu uma

demonstrao do teorema de Pitgoras, quese baseia na figura ao lado.

Os quadrilteros ABCD, DEFA, GFHIe GEJI so congruentes. Logo, oshexgonos ABCDEF e GEJIHF tm amesma rea. Da resulta que a rea doquadrado FEJH a soma das reas dosquadradosABGFe CDEG.

A demonstrao de Papus

Na realidade, no se trata apenas de uma nova demonstrao, mas deuma generalizao bastante interessante do teorema de Pitgoras. Em vezde um tringulo retngulo, toma-se um tringulo arbitrrioABC; em vez dequadrados sobre os lados, tomam-se paralelogramos, sendo dois delesquaisquer, exigindo-se que o terceiro cumpra a condio de CD ser paraleloaHA, e com o mesmo comprimento.

O teorema de Papus afirma que a rea do paralelogramo BCDE asoma das reas de ABFG e AIJC. A demonstrao se baseia na simplesobservao de que dois paralelogramos com bases e alturas de mesmo

comprimento tm a mesma rea.Assim, por um lado, AHKB tem a mesma rea que ABFG e, por outro

lado, a mesma rea que BMNE. Segue-se que as reas de BMNE eABFG so iguais. Analogamente, so iguais as reas de CDNM e CAIJ.Portanto, a rea de BCDE a soma das reas de ABFG e CAIJ.

O teorema de Pitgoras caso particular do de Papus. Basta tomar otringuloABCretngulo e trs quadrados em lugar dos trs paralelogramos.

A

B

C

D

EF

G

H

I

J

A

B M

N

C

DE

FK

GH

I

L

J


42/136

38

O argumento de Polya

No meu entender, entretanto, a demonstrao mais inteligente do teorema

de Pitgoras no est includa entre as 370 colecionadas pelo ProfessorLoomis. Ela se acha no livro Induction and Analogy in Mathematics, deautoria do matemtico hngaro George Polya.

O raciocnio de Polya se baseia na conhecida proposio, segundo aqual as reas de duas figuras semelhantes esto entre si como o quadradoda razo de semelhana.

Lembremos que duas figuras F e F dizem-se semelhantes quando acada ponto A da figura F corresponde um pontoAem F, chamado o seu

homlogo, de tal maneira que se, A, B so pontos quaisquer de F eA, B so seus homlogos em Fento a razoAB/AB uma constantek, chamada a razo de semelhana de F para F. Por exemplo, doistringulos so semelhantes se, e somente se, os ngulos de um deles socongruentes aos ngulos do outro. Por outro lado, dois quadrados quaisquer,um de lado l e outro de lado l, so semelhantes e a razo de semelhanado primeiro para o segundo k=l/l.

Em vez do teorema de Pitgoras, Polya procura provar a seguinteproposio mais geral (que, diga-se de passagem, j se acha nosElementos

de Euclides):

Se F, Fe Fso figuras semelhantes, construdas respectivamente

sobre a hipotenusa c e sobre os catetos a, b de um tringuloretngulo, ento a rea de F igual soma das reas de Fe F.

O enunciado acima implica que a razo de semelhana de Fpara Fb/a, de F para F c/a e de F para F c/b.

Por simplicidade, escrevamos Fem vez de rea de F, G em vez derea de G, etc.

F

F

F


43/136

39

Se G, G, G so outras figuras semelhantes construdas sobre ahipotenusa e os catetos, respectivamente, em virtude da proposio acima

enunciada, teremos:

G

G

b

a

F

F

"

"

= =

2

2, logo

G

G

F

F

"

"

= .

De modo anlogo teremos G

F

G

F

= .

Portanto, G/F= G/F= G/F= , digamos. Escrevendo de outromodo: G = F, G= F e G= F.

Que significam essas 3 ltimas igualdades? Elas querem dizer que, seconseguirmos achar 3 figuras semelhante especiais F, Fe F, construdassobre a hipotenusa e os catetos do nosso tringulo, de tal maneira que setenha F= F+ F, ento teremos tambm G = G+ G sejam quais

forem as figuras semelhantes G, Ge Gconstrudas do mesmo modo.Com efeito, teremos G = F, G= F e G= F, logo G+ G= F+ F= (F+ F) = F= G.

Agora s procurar as figuras especiais. Mas elas esto facilmente aonosso alcance. Dado o tringulo retngulo ABC, tracemos a altura CD,

baixada do vrtice do ngulo reto Csobre a hipotenusaAB.

A figura Fser o prprio tringuloABC. Para FescolheremosADCe

faremos F= BCD. Evidentemente, F, Fe Fso figuras semelhantes.Mais evidentemente ainda, temos F= F+ F.

Baseado no artigo

Mania de Pitgoras

Euclides Rosa, RPM 02

A BD

C


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40

Usando reas

Neste artigo, procuraremos mostrar que diversas

demonstraes em Geometria e Trigonometria tornam-se

fceis e elegantes quando usamos o conceito de rea.

Como primeiro exemplo, comparemos duas solues de

um conhecido problema.

Provar que a soma das distncias de um ponto

qualquer interior a um tringulo equiltero aos lados

constante.

1a soluo

Consideremos o tringulo equiltero ABC da figura, um

ponto P interior e as perpendiculares PX, PY e PZ aosseus lados. Tracemos por P, BC paralelo a BC,

nformando o tringulo equiltero ABC. Tracemos ainda

as alturas AEe CF desse tringulo e a perpendicular

PQ a CF.

Pela congruncia dos tringulos PQC e PYC,

conclumos que PY = CQ e, como PQFZ um retngulo,

temos que PZ = QF. Logo,

A

Z

Q

P

X

Y

D

E

F

B

B C

C


45/136

41

PY + PZ = CQ + QF = CF . (Para simplificar a notao, usaremos o

mesmo smbolo para representar um segmento ou a sua medida.)

Ora, as alturas AE e CF do tringulo equiltero ABC so iguais e,

portanto,

PY + PZ = AE. (1)

Prolongando AE at a base BC do tringulo, obtemos ED = PX.

Finalmente, na igualdade (1), somamos PX do lado esquerdo e ED do

lado direito para obter

PX + PY + PZ = AE + ED = AD, altura de ABC.

2a soluo

Consideremos agora o tringulo

equiltero ABC com lado a e altura

h, como na figura ao lado. Traando

os segmentos PA, PB e PC, temos

que a soma das reas dos tringulos

PBC, PCA e PAB igual rea de

ABC. Logo,

aPX aPY aPZ ah

2 2 2 2

+ + =

e o problema est resolvido. Repare que na primeira soluo usamos apenas

o conceito de congruncia de tringulos, mas a construo das linhas

auxiliares pode ser considerada um pouco artificial. Na segunda soluo,

quando o conceito de rea foi utilizado, o resultado apareceu de forma bem

mais natural.

Vejamos, ento, alguns teoremas que podem ser demonstrados com o

auxlio das reas.

1) O teorema da bissetriz A bissetriz de um ngulo de um tringulo divide o lado oposto em

segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Esse enunciado quer dizer que se, AD for bissetriz do ngulo A do

tringulo ABC, entoDB

DC

AB

AC= .

A

Z

h

P

X

Y

B C


46/136

42

Para demonstrar, preciso lembrar que, se dois tringulos possuem

mesma altura, a razo entre suas reas igual razo entre suas bases.

Portanto, na figura, a razo entre as reas dos tringulos ADB e ADC igual a BD/DC. Por outro lado, qualquer ponto da bissetriz de um ngulo

eqidista de seus lados e, portanto, as perpendiculares DE e DF aos

lados AB e AC so iguais. Logo,

e o teorema est demonstrado.

2) O teorema de Tales

Sejam B e C pontos dos lados AB e AC, respectivamente, do

tringulo ABC. Se BC for paralelo a BC, entoAB

AB

AC

AC

=

.

Demonstrao

Se BC paralelo a BC, ento os tringulos

BCB e BCC tm mesma rea porque

possuem mesma base BC e alturas relativas

a essa base tambm iguais. Acrescentando a

esses tringulos o tringulo ABC, conclumos

que os tringulos ABC e ABC tambm

possuem mesma rea. Se dois tringulos

possuem mesma altura, ento a razo entre suas

reas igual razo entre suas bases, logo,

AB

AB

AB C

ABC

AB C

AB C

AC

AC

=

=

=

A

A

A

A

( )

( )

( )

( )

o que prova o teorema.

O teorema de Tales e sua recproca so importantssimos em Geometria

porque a partir deles podemos obter os teoremas relativos semelhana de

tringulos e as propriedades da homotetia. A vantagem da demonstrao

A

B

E

D

F

C

A

B

B

C

C

BD

DC

ABD

ADC

AB DE

AC DF

AB

AC= = =

A

A

( )

( )

.

.

1

21

2


47/136

43

que aqui apresentamos est no fato que nela no importa se os segmentos

AB e AB so comensurveis ou no. A demonstrao tradicional,queusa

o feixe de paralelas, s fica completa com a incmoda passagem ao limite.

3) As frmulas trigonomtricas

As funes trigonomtricas aparecem pela primeira vez na escola

secundria, definidas para ngulos agudos, como razes entre lados de um

tringulo retngulo. Usando figuras particulares, conseguimos calcular os

valores das funes trigonomtricas para 30, 45, 60 e 18 e podemos

antecipar diversas frmulas que, mais tarde, sero deduzidas em contexto

mais geral. Para ilustrar, vamos mostrar a frmula do seno do arco duplo.

Se 0 < a < 45, ento sen2a = 2senacosa

Para demonstrar, consideremos a figura

formada por dois tringulos retngulos

congruentes OCA e OCB, em que fizemos

OA = OB = 1.

Temos, ento, que CA = CB = sen a,

OC= cosa e, traando AD perpendicular a

OB, AD = sen 2a. Ora, o dobro da rea do

tringulo OAB igual a OB.AD e tambm

igual a AB.OC.

Logo, 1sen2a = 2senacosa, ficando demonstrada a frmula.

4) A lei dos senos

Os lados de um tringulo so proporcionais aos senos dos ngulos

opostos.

Para uma demonstrao alternativa da lei dos senos, podemos partir do

fato de que a rea, AAAAA, de um tringulo igual metade do produto de dois

lados pelo seno do ngulo formado por eles, ou seja,

A = = =1

2

1

2

1

2bc A ac B ba C sen sen sen .

Ora, considerando a primeira igualdade e multiplicando por a ambos os

membros, obtemos

a abc Aa

A

abcA

A

= =1

2 2sen ou

sen.

A

aaO

1

D

B

C

q


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44

Como o mesmo pode ser feito para as outras igualdades, conclumos

a

A

b

B

c

Csen sen sen= = .

Muitos problemas possuem tambm solues bonitas e elegantes usando

reas e este artigo termina convidando o leitor a incluir a idia em sua

caixa de ferramentas de soluo de problemas.

Baseado no artigo

Usando reas

Eduardo Wagner, RPM 21


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45

Regiomontanus

A cidade de Kningsberg, na Prssia (atualKalimingrado, na Rssia), conhecida na Matemticadevido ao famoso problema das pontes (ver artigo nestelivro), resolvido pelo matemtico suo Leonhard Euler(1707-1783). Outro acontecimento importante que marcaa vida da cidade, cujo nome significa Montanha do Rei, o fato de nela ter nascido Johann Mller (1436-1476), umdos maiores matemticos do sculo XV, mais conhecidocomo Regiomontanus, uma latinizao do nome de suacidade natal.

Regiomontanus realizou diversos estudos nas reas deAstronomia, Geometria e Trigonometria. Em seu livro maisfamoso, De Triangulus Omnimodes, escrito em 1464 eimpresso apenas em 1533, Regiomontanus apresenta umaviso moderna da Trigonometria com dados tabelados devrias funes trigonomtricas. curioso notar que,mesmo tendo sido escrito antes do conceito de notaodecimal, as tabelas trigonomtricas contidas no livro noapresentam fraes devido utilizao de um crculo deraio 100 000 000 de unidades, o que produzia apenas

valores inteiros para as aproximaes utilizadas.A importncia dos conhecimentos em Astronomia de

Regiomontanus fez com que ele fosse convidado peloPapa Sisto IV para trabalhar na confeco de umcalendrio mais acurado do que o que vinha sendo usadopela Igreja. Aps a realizao do trabalho, a gratido doPapa foi tal que rapidamente o astrnomo se tornou seuprincipal conselheiro. Depois de um ano em Roma,Regiomontanus faleceu, tendo sido anunciado, como causa

Trigonometria e um

antigo problema de otimizao


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46

de sua morte, o flagelo de uma peste. Existem especulaes de que eletenha sido envenenado por alguma pessoa descontente com a alta influncia

de um no italiano sobre o Papa e a Igreja romana. Alguns historiadoresespeculam ainda que, se no tivesse falecido to cedo, talvez tivessecondies de realizar uma moderna compreenso do sistema solar, como afeita por Coprnico, 100 anos depois.

Entre os interessantes problemas propostos por Regiomontanus,destacamos um de 1471 como o primeiro problema de extremos encontradona Histria da Matemtica desde a antiguidade. O problema o seguinte:

Suponha uma esttua de altura h sobreum pedestal de altura p. Um homem de

altura m (m < p) enxerga do p ao topoda esttua sob um ngulo , que varia de

acordo com a distncia d entre o homem ea base do pedestal. Determinar d para queo ngulo de viso seja o maior possvel.

Uma soluo engenhosa para o problema

Apesar de o problema poder ser resolvido com tcnicas do Clculo,apresentamos uma soluo que, embora engenhosa, dispensa essas tcnicas.

Inicialmente marcamos na figura os pontosA, B e C representando respectivamente otopo da esttua, o p da esttua e os olhos doobservador. Em seguida, traamos a reta rque passa por C e paralela linha do cho.Traamos ento a nica circunferncia , comcentro na mediatriz do segmento AB, quepassa pelos pontos A e B e tangencia a retar. Chamamos de Ct o ponto de tangncia dacircunferncia com a reta r. Se C percorrer

livremente a reta r, qualquer possibilidade para o ngulo de viso, , serdada por uma localizao de C em r.

Provaremos que assume o maior valor possvel quando C coincidecom C

t. Para isso, mostraremos que, se a medida do nguloAC

tB,

ento > para qualquer posio de C diferente de Ct.

A

r

a

l

B

C

Ct


51/136

47

SeD o ponto de encontro daretaACcom a circunferncia ,

temos que tambm amedida do ngulo ADB e,denotando por a medida dongulo CBD, tem-se, no tringulo

BCD,

+ + 180 = 180. Logo, = + implicando > .

Uma vez verificado que ACtB o ngulo de mximo campo visual,determinaremos agora a distncia d, entre o observador e a base do

pedestal, para que esse ngulo seja atingido.Se Q o ponto de interseco da reta AB com r, sendo as retas r e

AB, respectivamente, tangente e secante a aplicando potncia no pontoQ encontraremos a distncia d procurada:

(QCt)2 = QB.QA ou d2 = (pm)(pm + h)

Uma aplicao

Em outubro de 1931, aps cincoanos de construo, foi inaugurado no

alto do morro do Corcovado o cartode visitas do Rio de Janeiro, a esttuado Cristo Redentor. A altura total daesttua de 30 m, seu pedestal mede8 m, e admitiremos um observadorcom 1,70 m de altura.

A que distncia esse observador deve ficar da base do pedestal do CristoRedentor para que o seu ngulo de viso seja o maior possvel?

Usando a frmula d2 = (pm)(pm + h) para p = 8 m, m = 1,70 m

e h = 30 m, obtemos uma distncia de aproximadamente 15 m. Seria preciso,porm, que o terreno em volta do Cristo fosse aproximadamente plano dentrodesse raio.

Baseado no artigoTrigonometria e um antigo

problema de otimizao

Jos Luiz Pastore Mello, RPM 52

A

D

r

l

B

CC Ct


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48

As afirmaes abaixo, sobre nmeros naturais, soverdadeiras para os nmeros 1, 2, 3 e muitos outros.

Perguntamos: elas so verdadeiras sempre?

Verdadeiro ou falso?

1. nN, n < 100.

2. nN, n2 + n + 41 um nmero primo.

3. nN*, 991n2 + 1 no um quadrado perfeito.

4. nN*, a soma dos n primeiros nmeros mpares n2.

5. nN*, 2n + 2 a soma de dois nmeros primos.

Vejamos:

1. n < 100 uma sentena verdadeira para n = 1,n = 2, n = 3 e outros, mas torna-se falsa para qualquernmero natural maior do que 99. Portanto,

n N, n < 100 uma sentenafalsa.

2. n2 + n + 41 um nmero primo uma sentenaverdadeira para n = 1, n = 2, n = 3 e outros. De fato,

ela verdadeira para todos os nmeros naturaismenores do que 40 (o que foi verificado por Euler em1772). Porm, o nmero

402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 41 x 41 no primo, mostrando que a sentena

n N, n2 + n + 41 um nmero primo umasentena falsa.

Vale para 1, para 2, para 3, ...Vale sempre?


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49

3. 991n2 + 1 no um quadrado perfeito uma sentena verdadeira paran = 1, n = 2, n = 3 e, mesmo aps muitas e muitas tentativas, no se

acha um nmero que a torne falsa.Pudera! O menor nmero natural n para o qual 991n2 + 1 umquadrado perfeito

12 055 735 790 331 359 447 442 538 767 e, portanto, a sentena

n N*, 991n2 + 1 no um quadrado perfeito falsa.

4. A soma dos n primeiros nmeros mpares n2 uma sentenaverdadeira para n = 1, n = 2, n = 3 e, como no caso anterior, apsmuitas e muitas tentativas, no se acha um nmero natural que a torne

falsa. Neste caso, tal nmero no existe, pois, como veremos adiante,essa sentena verdadeira sempre.

5. 2n + 2 a soma de dois nmeros primos uma sentena verdadeirapara n = 1, n = 2, n = 3 e, como nos dois exemplos anteriores, apsmuitas e muitas tentativas, no se encontra um nmero natural que atorne falsa. Mas agora temos uma situao nova: ningum, at hoje,encontrou um nmero que tornasse a sentena falsa e ningum, athoje, sabe demonstrar que a sentena verdadeira sempre.

A sentena a famosa conjetura de Goldbach feita em 1742, em uma

carta dirigida a Euler:

Todo inteiro par, maior do que 2, a soma de dois nmeros primos.

No se sabe, at hoje, se essa sentena verdadeira ou falsa.

Em suma, dada uma afirmao sobre nmeros naturais, se encontrarmosum contra-exemplo, saberemos que a afirmao no sempre verdadeira.E se no acharmos um contra-exemplo? Nesse caso, suspeitando que aafirmao seja verdadeira sempre, uma possibilidade tentar demonstr-larecorrendo ao princpio da induo.

Princpio da induo finita

Seja S um conjunto de nmeros naturais, com as seguintes propriedades:

1. 0 S

2. kN, se kS, ento k+ 1 S.

Nessas condies, S =N.


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Vamos ver como esse princpio nos permite demonstrar que verdadeira

a sentena 4: nN*, a soma dos n primeiros nmeros mpares n2.

Demonstrao

Seja S o conjunto dos nmeros naturais n para os quais a soma dos nprimeiros nmeros mpares n2.

1. 1 S, pois a soma dos 1 primeiros nmeros mpares 1 = 12.

2. Vamos supor que k S, isto , que a soma dos kprimeiros nmerosmpares seja k2.

Vamos provar que k + 1 S, isto , que a soma dos k+ 1 primeirosnmeros mpares (k+ 1)2.

Estamos supondo que 1 + 3 + 5 + ... + 2k 1 = k2 e queremos provarque1 + 3 + 5 + ... + 2k + 1 = (k+ 1)2. Basta observar que

1 + 3 + 5 + ... + (2k 1) + (2k+ 1) = k2 + (2k+ 1) = (k+ 1)2.

O princpio da induo nos garante, agora, que S = IN*, ou seja, aafirmao a soma dos n primeiros mpares n2 verdadeira para todosos nmeros naturais maiores do que zero.

Uma lenda

Aps a criao do mundo, em um mosteiro escondido na ndia, o GrandeCriador colocou uma placa de bronze e nela fixou trs bastes cobertos dediamantes. Em um dos bastes, em ordem decrescente de tamanho, colocou64 discos de ouro. E assim disse aos monges: Transfiram esta pilha dediscos para outro basto, movendo, ininterruptamente, um disco de cadavez e nunca permitindo que um disco fique acima de um menor. Quandoterminarem esta tarefa e os 64 discos estiverem em outro basto, estetemplo se reduzir a p e com um estrondo de troves o mundo acabar.

Dizem os sbios que o mundo foi criado h 4 bilhes de anos

aproximadamente e os monges, desde a criao, esto movendo os discosna razo de um disco por segundo. Ser que veremos o mundo acabar?

Como muito difcil imaginar osmovimentos feitos com uma pilha de64 discos, imaginemos uma pilha comUm disco: a transferncia se d comapenas 1 movimento: m

1= 1.

1


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Dois discos

Para 2 discos, a transferncia requer 3 movimentos: m2

= 3.

Trs discos: m3 = 7.

Quatro discos: m4= 15.

J podemos deduzir como deslocar n discos com um menor nmeropossvel de movimentos. Para tal, observe que o deslocamento do maiordisco, do basto em que se encontra inicialmente para um outro, requer queesse segundo basto esteja vazio, pois o maior disco no pode ficar sobreum menor. Como, para se mover o maior disco, nenhum outro pode estarsobre ele, todos os outros discos tero que estar no terceiro basto. Assim,a estratgia com menor nmero de movimentos ser: movem-se n 1discos para o basto de trs, com m

n-1movimentos; em seguida, move-se

o n-simo disco para o outro basto da frente, com 1 movimento; finalmentemovem-se os n 1 discos do basto de trs para o da frente, com m

n1

movimentos. Tem-se:m

n= m

n1+ 1 + m

n1= 2m

n1+ 1

Faamos uma tabela com o nmero de discos e o nmero de movimentosmnimo para mud-los de um basto para outro:

1 1 1

7 1 7

3 1 3


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52

n 1 2 3 4 5 6 ...

mn 1 3 7 15 31 63 ...

Precisamos descobrir o valor de m64

porque, m64

segundos aps acriao do mundo, ele acabar e j se passaram 4 bilhes de anos!

Observando a segunda linha da tabela, vemos que os seus nmeros so,a menos de 1: 2, 4, 8, 16, 32, 64, ou seja, 2 1, 22, 23, 24, 25, 26, o quenos leva a fazer a seguinte conjetura:

mn

= 2n1

Essa sentena verdadeira para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, mas serverdadeira sempre?

Tentemos demonstr-la por induo.

Seja S o conjunto dos nmeros naturais n tais que n discos somovidos com 2n 1 movimentos.

1. 1 S, pois para 1 disco necessitamos de 1 = 21 1 movimentos.

2. Vamos supor que k S, isto , kdiscos so removidos com 2k 1movimentos.

Vamos provar que k+ 1 S, isto , que mk+1 = 2k+1 1.

J vimos que mk+ 1

= 2mk+ 1.

mk + 1

= 2k 1 + 1 + 2k 1 = 2 . 2k 1 = 2k+ 1 1,

e isso mostra que k+ 1 S.

O princpio da induo nos garante que n discos podem sempre serremovidos com 2n 1 movimentos e, em particular, m

64= 264 1.

E assim ficamos sabendo que, 264 1 segundos aps a criao do

mundo, ele terminar. Com um pouco mais de Matemtica ficaremos sabendose isso ocorrer logo.

Faamos alguns clculos.

Quantos segundos tem um ano?

Resposta:

60 60 24 3651

431 557 600 2 1024 1024 32 33 554 432

25 = < = = .


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Exagerando, vamos supor que os monges faam 225 movimentos porano (na verdade fazem uns milhes a menos). Com isso, o mundo acabar

em 2

22

64

25

39= anos.

239 = 210 x 210 x 29 = 1 024 x 1 024 x 1 024 x 512 > 512 x 109

Passaram-se at hoje 4 bilhes de anos, ou seja, 4 x 109 anos.

Podemos ficar tranqilos faltam mais do que 508 bilhes de anos paraos monges terminarem sua tarefa isso, supondo que eles no errem nocaminho.

Baseado no artigoVale para 1, para 2, para 3, ...

Vale sempre?

Renate Watanabe, RPM 09


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As histrias que vamos contar envolvem dois amigos

que gostam de freqentar bares e restaurantes, alm de

discutir problemas de Matemtica. Em pelo menos duas

situaes, surgiram interessantes problemas cujas solues,

alm de elegantes, so bastante educativas.

Primeira histria

Augusto e Joo foram a um restaurante para comer

pizza. O primeiro pediu uma grande e o segundo, uma

mdia e uma pequena, todas do mesmo sabor.

Curiosamente, o preo da pizza grande era exatamente

igual soma dos preos das pizzas mdia e pequena. Logo

aps os pedidos, surgiu naturalmente o problema de saber

quem vai comer mais. O fato de os preos a pagar serem

iguais no quer dizer nada, po

apost_matematica solução e gabarito _001

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