TTULO DA TAREFA

PROFESSOR: LUCINALDO MELODISCIPLINA: MATEMTICASRIE: 2 ANOSALAS: A e BDATA: ____/____/____ALUNO (A):

progresso aritmtica

LISTA DE PROGRESSO ARITMTICA 2012 - GABARITO

1. Numa P.A. de razo 5, o primeiro termo 4. Qual a posio do termo igual a 44?

Soluo. A posio ser encontrada quando for calculado o nmero de termos. Aplicando a frmula do termo geral com as informaes, temos:

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2. Considere a sequncia dos nmeros positivos mpares, colocados em ordem crescente. Calcule 95 elemento.

a) 95 b) 131 c) 187 d) 189 e) 191

Soluo. Os nmeros mpares positivos so 1, 3, 5,..., com razo 2 (aumentam 2 unidades entre si). O primeiro elemento 1 e nesta sequncia h 95 nmeros.

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3. Numa P.A., cujo 2 termo igual a 5 e o 6 termo igual a 13 o 20 termo igual a:

a) 13 b) 40 c) 41 d) 42 e) nda.

Soluo. Repare que numa progresso aritmtica, qualquer elemento pode ser escrito em funo da razo e do primeiro termo: a2 = a1 + r; a10 = a1 + 9r;...etc. Desta forma escrevemos o 2 e o 6 termo da PA encontrando um sistema de equaes com a1 e r como incgnitas.

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4. Os nmeros , e so os 3 primeiros termos de uma P.A., de termos positivos, sendo x0. O dcimo termo desta P.A. igual a: a) 50 b) 53 c) 54 d) 57 e) 55

Soluo. O termo central de uma progresso aritmtica a mdia aritmtica dos termos equidistantes a ele. No caso de uma de trs termos a, b, c em PA, b = (a + c)/2. Aplicando essa propriedade nos termos da questo, temos:

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OBS: O valor x = -1 foi descartado devido informao que os termos eram positivos. Neste caso 10/-1 = -10. O primeiro termos j seria negativo.

5. A soma dos termos de uma P.A. dada por , n = 1, 2, 3,... Ento o 10o termo da P.A. vale:a) 18 b) 90 c) 8 d) 100 e) 9Soluo. Embora a frmula utilizada da PA seja outra, essa expresso usada para esta PA especificamente. Em qualquer caso, entretanto a soma do 1 termo e a1 so os mesmos pela caracterstica da posio. Logo, S1 = a1. Utilizando a frmula para S2 e assim encontrarmos a razo, temos:

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6. A soma dos 11 primeiros termos da progresso aritmtica 176. Se ento, para qualquer n IN temos:

a) b) c) d) e) Soluo. Pela definio de PA, a11 = a1 + 10r. Logo, 10r = 30 r = 30/10 = 3. Utilizando a frmula da soma, temos:

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7. Numa P.A. de n termos, a soma do primeiro com o de ordem n 120. A soma do sexto termo com o de ordem n 5 :

a) 120 b) 60n c) 90 d) [120(n+1)]/n e) 120n

Soluo. Aplicando a propriedade da PA para os termos equidistantes, temos:

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8.(MACK) Se f(n), n uma sequncia definida por , ento f(200) :

a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) 607

Soluo. Encontrando alguns valores, temos:

i) f(1) = f(0 + 1) = f(0) + 3 = 1 + 3 = 4; ii) f(2) = f(1 + 1) = f(1) + 3 = 4 + 3 = 7;

iii) f(3) = f(2 + 1) = f(2) + 3 = 7 + 3 = 10.

Observamos que esta sequncia de um PA de razo 3. Para calcular f(200) utilizando a frmula do termo geral, comeamos com a1 = 4 e n = 200, ou a0 = 1 e n = 201: .

9. (FUVEST) Sejam a, b, c trs nmeros estritamente positivos em progresso aritmtica. Se a rea do tringulo ABC, cujos vrtices so A(-a,0), B(0, b) e C(c, 0), igual a b, ento o valor de b :

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

Soluo. Repare que as coordenadas esto sobre os eixos. A altura possui medida igual ao valor absoluto de b. A base mede (c (-a)) = (c + a). Aplicando a propriedade da PA onde b = (a + c)/2, temos:

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10. Ache a1 numa P.A., sabendo que r = 1/4 e a17 = 21.

Soluo. Escrevendo a17 em funo de a1 e r, temos: a17 = a1 + 6r.

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11. Os ngulos internos de um tringulo esto em progresso aritmtica e o menor deles a metade do maior. O maior ngulo do tringulo mede:

a) 60o b) 75o c) 80o d) 90o e) 120o

Soluo. Trs temos em PA podem ser escritos como: x r, x, x + r, onde r a razo. Como so ngulos de um tringulo, a soma vale 180. Logo, (x + r ) + x + (x + r) = 180 3x = 180 x = 60. Usando a informao de que o menor a metade do maior, temos: .

Logo, os ngulos so: 40, 60 e 80. O maior mede, portanto, 80.

12. Se em uma P. A. de razo positiva o produto dos trs primeiros termos 384 e a soma 24, ento o quarto termo :

a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

Soluo. Considerando os termos como (x r), x, (x + r) e utilizando as informaes, temos:

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13. (ITA) Quantos nmeros inteiros existem, de 1000 a 10000, que no so divisveis nem por 5 nem por 7 ?

Soluo. O total de nmeros entre 1000 e 10000 T = (10000 1000) + 1 = 9000 + 1 = 9001. Temos:

i) Mltiplos de 5: .

ii) Mltiplos de 7: .

ii) Mltiplos de 5 e 7: .

Logo, no so mltiplos nem de 5, nem de 7: 9001 (1801 + 1286 257) = 9001 2830 = 6171.

14. Considere a sequncia (1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11,...), cujos termos so os nmeros inteiros positivos que no so mltiplos de 3. A soma dos quarenta primeiros termos dessa sequncia :

a) 600 b) 900 c) 1200 d) 1400 e) 1800

Soluo. Repare que h duas sequncias com razo 3: (1, 4, 7, 10, ...) e (2, 5, 8, 11,..), Como so quarenta termos, encontramos a soma dos vinte termos para a 1 sequncia e dos vinte da 2 sequncia:

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15. As medidas do lado, da diagonal e da rea de um quadrado esto em P.A., nessa ordem. O lado do quadrado mede:

a) b) c) d) 4 e)

Soluo. Expressando na ordem os valores indicados e aplicando a propriedade da mdia aritmtica, temos:

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16. (FUVEST) Seja A o conjunto dos 1993 primeiros nmeros inteiros estritamente positivos. a) Quantos mltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? (R: 132)

Soluo. O 1 mltiplo 15. Encontrando o ltimo mltiplo e utilizando a razo 15, temos:

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b) Quantos nmeros de A no so mltiplos inteiros nem de 3 nem de 5? (R:1063)

Soluo. Calculando os mltiplos de 3 e de 5, retirando depois os de 15, que so as intersees, temos:

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Logo, nmeros que no so mltiplos de 3, nem 5: 1993 (664 + 398 132) = 1063.

17. A soma de 3 nmeros em P.A. 15 e a soma de seus quadrados 107. O menor desses nmeros :

a) -4 b) 1 c) 5 d) 9 e)10

Soluo. Considerando os termos como (x r), x, (x + r) e utilizando as informaes, temos:

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18. Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilometro 3 e outro no quilometro 88. Entre eles sero colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distncia. Determine em quais marcos quilomtricos devero ficar esses novos telefones.

Soluo. um problema de interpolao de 16 meios aritmticos entre 3 e 88. Logo, n = 18. Os marcos sero os termos da PA:

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19. Determine a mdia aritmtica dos seis meios aritmticos que podem ser interpolados entre 10 e 500.Soluo1. Encontrando os meios aritmticos, temos:

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Soluo2. A soma de 10 e 500 ser a soma de cada um dos trs pares de meios, pois so equidistantes. Logo, a soma dos seis meios ser 3(510). A mdia ser M = 3.(510)/6 = 510/2 = 255.

20. Num programa de condicionamento fsico um atleta corre sempre 300 metros a mais do que correu no dia anterior. Sabe-se que no segundo dia ele correu um quilmetro. Ento, no dcimo dia, ele correr:

a) 3.700 metros b) 3.100 metros c) 3.400 metros d) 4.000 metros e) 2.800 metros

Soluo. Se no segundo dia ele correu 1km = 1000m, ento no primeiro dia ele correu 700m. Conhecendo a razo r = 300 e o primeiro termo, aplicamos a frmula do termo geral.

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21. (ENEM 2013 ) As projees para a produo de arroz no perodo de 2012-2021, em uma determinada regio produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produo anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que ser produzida nos primeiros anos desse perodo, de acordo com essa projeo.

a)497,25.b)500,85.c)502,87.d)558,75.e)563,25.

A sequncia apresentada uma progresso aritmtica (PA). Pede-se a soma dos dez primeiros termos (n) desta PA, de forma que o primeiro termo (a1) 50,25 e a razo (r) a diferena entre o segundo e o primeiro termo 51,5 50,25 = 1,25. O ltimo termo dessa PA, o dcimo (a10), calculado atravs da equaoa10=a1+ (n-1)r = 50,25 + 9(1,25) = 61,5. A soma desses dez termos (S10) igual a(a1+a10)102=(50,25+61,5)102=111,755= 558,75.

22. (ENEM 2012) Jogar baralho uma atividade que estimula o raciocnio. Um jogo tradicional a Pacincia, que utiliza 52 cartas. Inicialmente so formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem trs cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente at a stima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que so as cartas no utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte :

a) 21.b) 24.c) 26.d) 28.e) 31.

Sendo x o nmero de cartas que formam o monte, do enunciado, podemos escrever: x = 52 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) x = 52 28 x = 24

23. . (ENEM) O grfico, obtido a partir de dados do Ministrio do Meio Ambiente, mostra o crescimento do nmero de espcies da fauna brasileira ameaadas de extino.Se mantida, pelos prximos anos, a tendncia de crescimento mostrada no grfico, o nmero de espcies ameaadas de extino em 2011 ser igual a:

(A) 465 (B) 493 (C) 498 (D) 538 (E) 699

Soluo. Os nmeros das espcies formam uma Progresso Aritmtica de sete termos com a1 = 239 e a7 = 461. Temos:

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Os valores so calculados de 4 em 4 anos. Logo em 2011, haver 461 + 37 = 498 espcies

25. (UERJ) Leia com ateno a histria em quadrinhos.

Considere que o leo da histria acima tenha repetido o convite por vrias semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre aumentando em 4 unidades o nmero de convites feitos na semana anterior. Imediatamente aps ter sido feito o ltimo dos 492 convites, o nmero de semanas j decorridas desde o primeiro convite era igual a:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16Soluo. A soma dos convites de 492. Os convites semanais formam uma progresso aritmtica de razo 4 com primeiro termo igual a 19. Encontrando o nmero de semanas com a frmula do termo geral e da soma da PA, temos: