ficha de aula - logaritmos

MATEMTICA - LGEBRA

GOVERNO DE PERNAMBUCO ESCOLA DE REFERNCIA EM ENSINO MDIO

C L V IS B E V IL A Q U A ALUNO(A): _________________________________ SRIE: 2 TURMA: ____ TURNO: ____ DATA: ___ /___ /10 DISCIPLINA: MATEMTICA REA: LGEBRA PROF.: EDVALDO BENJAMIM

MATEMTICA LGEBRA L O G A R IT M O1 . IN T R O D U O

L o g a r it m oLogaritmo de um nmero positivo b numa base a , 0 < a { 1, o expoente da potncia qual deve-se elevar a para se obter b .

log a b = x m ax = b

(b > 0 e 0 < a { 1)

Exemplos: Calcule, pela definio, os seguintes logaritmos: a) log 2 4 = b) log 3 81 = c)

f) log 5 1 = g) h) i) =

= =

=

d) log 7 7 = e) log 16 0,25 =

j) log 10 0,01 =

O B S E R V A E S

1. Na igualdade na base a .

, b denominado LOGARITMANDO ou ANTILOGARITMO de x

antilog a x = b m log a b = xProf. Edvaldo Benjamim Pgina 1

MATEMTICA - LGEBRA2. Quando a base do logaritmo NO escrita ela vale 1 0 . Ex.: log 100 = log 10 100.

2 . C O N D I O D E E X IS T N C IA ( C .E .)Existe log a b m b > 0 e 0 < a { 1. Assim, NO EXISTE logaritmo de 0 (zero) nem logaritmo de um NMERO NEGATIVO. Tambm NO EXISTE logaritmo cuja base seja 0 (zero) ou NEGATIVA. Exemplos: a) log 2 0 = b) log 4 (-16) = c) log 0 100 = d) log (-2) 32 =

3 . P R O P R I E D A D E S IM E D IA T A SDecorrem da definio as seguintes propriedades imediatas: 1) log a 1 = 0 2) log a a = 1 3) log a am = m 4)

5) log a b = log a c m b = c

As propriedades imediatas acima so vlidas se: a , b e c so NMEROS POSITIVOS, com a { 1 , e se m um NMERO REAL. Exemplos: Resolva, usando as propriedades imediatas, os seguintes logaritmos: a) log 2 1 = b) log 4 4 = c) log 5 512 = d) log 100 = e)

=

f) Se log 2 (x2) = log 2 16, calcule o valor de x.

E X E R C C IO S D E F IX A O

F1. Calcule pela definio os seguintes logaritmos: a) log 3 9 = b) log 8 16 = c) log 2 128 = d) log 5 625 = e) log 1000 = F2. Qual o valor de

f) g)

= =

h) log 25 0,008 = i) j)

= = ?

Prof. Edvaldo Benjamim

Pgina 2

MA

M CA

0 01

1 25

100

4

3

3

a)

=

F7 Calcul o valor d : a) =

b)

= .

F9. Calcul o valor d : a) = ?

As propri dad s op ratrias qu envolvem lo aritmos s o: (Condi es de Exist ncia (C.E.): 0 < a { 1 b > 0 c > 0 e m )

1 LOGARITMO DO PRODUTOEm qualquer base (obedecendo s C.E.), o lo aritmo do produto de dois ou mais nmeros reais e positivos i ual soma dos lo aritmos dos nmeros dados. Para dois nmeros (obedecendo s C.E.), temos que:

Exemplos: a) lo2

(3 4) = lo

2

3 + lo

2

43

b) lo c) lo

3

(4 5 6) = lo 210 = lo

3

4 + lo

5 + lo

3

610

10

10

(2 3 5 7) = lo

10

2 + lo

3 + lo

10

5 + lo

Pr . d

ld B

i

P

P

D

P

I

C

I

G

P

A

4 . P R O P R IE D A D E S O P E R A

G

P

P

B

P

I

P

B

P

@

F10. Qual o valor d

@

F8 Calcul o valor d

b)

R IA S

8

6

6

5

!

@

@

F

B

P

P

!

F6 upondo

>0

{ 1 calcul os s uint s lo arit os:

3

7

% %

F5

u l o

lo do lo

it o d

n b s

b)

32

76

2

F4

u l o

lo d y = lo

lo

9 + lo

lo 1000

=

c)

=

10

7

&

& &

$ 1 $

&

&

lo

0 001 lo

0 64

lo

$

%" "!

' $

' $

$ 1 $

&

! "% $

# "# ! " ! B

F3 Coloqu

od

s nt os s uint s n

os

$

A

is: 0 001

" %0 ) % ( " %0 ) % ( @ @ @ E P I P 4 H 9 9

=

i

3

MA 2 LOGARITMO DO QUOCIENTE

M CA

Em qualquer base (obedecendo s C.E.), o lo aritmo do quociente de dois nmeros reais e positivos i ual diferen a entre o lo aritmo do dividendo e o lo aritmo do divisor. Para dois nmeros (obedecendo s C.E.), temos que:

Exemplos: a) b) c) = lo = lo= lo2

3 - lo

2

4 7 = 0 - lo5 = lo3

3

1 - lo6 - lo

3

7 = - lo

3

710

10

10

10

(2 3) - lo

10

5 = lo

2 + lo

10

3 - lo

3 LOGARITMO DA POTNCIAEm qualquer base (obedecendo s C.E.), o lo aritmo de uma pot ncia de base REAL e positiva i ual ao produto do expoente pelo lo aritmo da base da pot ncia. Para uma pot ncia qualquer (obedecendo s C.E.), temos que:

Exemplos: a) lo b) c)2

4 CASO PARTICULAREm qualquer base (obedecendo s C.E.), o lo aritmo de um RA CAL, de radicando positivo e ndice tambm positivo (diferente de 1), i ual ao produto de uma FRA (numerador = expoente do radicando e denominador = ndice do radical) pelo lo aritmo do radicando na base (do lo aritmo) dada. Para um radicando qualquer (maior que zero), temos que:

Em que: q > 1 e p .Pr . d ld B i P

i

ce ih

g gc fed Y c b a `Y

y

37 = 7 lo

2

3

u

u

x x

q

u

V T XW R U s u w

q

w

Q S s

q

t

Q R

A

s

s

t

r

s

s

t

x

q

w

w

p

10

5

v

4

MATEMTICA - LGEBRAExemplos: a) b) c)

5) LOGARITMO QUE APRESENTA SUA BASE EM FORMA DE POTNCIAEm qualquer base (obedecendo s C.E.), o logaritmo de um nmero b (b > 0) que tem sua base em forma de potncia (de expoente no -nulo) igual ao produto do INVERSO do expoente da potncia da base pelo logaritmo do nmero b na base da potncia que representa a base (do logaritmo). Para um logaritmo que tem sua base sendo uma potncia (maior que zero e diferente de 1), temos:

Em que: n

Exemplos: a) b)

c)

O B S E R V A E S

Sendo 0 < a { 1, b > 0 e c > 0, em geral:

e

5 . C O L O G A R IT M OO oposto do logaritmo, em qualquer base a (0 < a { 1), de um nmero positivo denominado cologaritmo, na base a , desse nmero positivo.Prof. Edvaldo Benjamim Pgina 5

MATEMTICA - LGEBRA

ou

Exemplos: a) colog 5 2 = - log 5 2 = b) c)

6. M U DA N A D E BA SENa aplicao das propriedades operatrias os logaritmos devem estar t o d o s numa mesma base. Assim:

O B S E R V A E S

1) A propriedade da mudana de base pode tambm ser assim apresentada;

Se a , b e c so nmeros reais positivos e a e c diferentes de 1 . 2) Se a e b so nmeros reais p o s i t i v o s e d i f e r e n t e s de 1 , ento tem-se:


F11. Calcular: a)

b)

Pgina 6


MAc) e) g)

M CA

F12. Desenvolver aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c s o nmeros reais positivos): a)

b)

c)

d)

e) F13. Qual a express o cujo desenvolvimento logartmico :

So aquelas que apresentam a i c

Utilizando as propriedades operatrias, pode-se resolver equaes que envolvem logaritmos. A resoluo de equaes logartmicas se d em trs etapas b sicas: 1) Estabelecem-se as condies de existncia (C.E.) dos logaritmos; 2) Resolve-se a equao utilizando as propriedades operatrias; 3) Faz-se a interseco entre a soluo encontrada e as condies de existncia.

Pr . d

ld B

i

P

gf

k

k

e e d

i

7. EQ U A

E S L O G A R T M IC A Si no l i d ou na se do logaritmo.

h

d) f) h)

A

h

j

i

7

MATEMTICA - LGEBRA

O B S E R V A O

Faz-se, tambm, a interseco entre os logaritmandos da equao para se encontrar a condio de existncia (C.E.).

N O T A

Para resolver uma equao com logaritmos, deve-se considerar: a. O fato de a base ser sempre maior que ZERO e DIFERENTE de 1; b. O fato de o ANTILOGARITMO ser SEMPRE maior que ZERO; c. A DEFINIO de logaritmo; d. As PROPRIEDADES OPERATRIAS; e. A MUDANA DE BASE. Podemos classificar as equaes logartmicas em trs tipos: 1 Tipo: Equaes do tipo: 2 Tipo: Equaes do tipo:

3 Tipo: Equaes do tipo: Incgnita Auxiliar p so as equaes que resolvemos fazendo inicialmente uma mudana de incgnita. Exemplos: 1 p Equaes redutveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base: Resolva as seguintes equaes: a) log2 (2x 5) = log2 3 b) log3 (3 x) = log3 (3x + 7) R.: S = {4} R.: S = {-1}

2 p Equaes redutveis a uma igualdade entre um logaritmo e um nmero real: Resolva as seguintes equaes: a) log5 (2x 3) = 2 b) log2 (x2 + x 4) = 3 R.: S = {14} R.: S = {-4; 3}


l m m

Pgina 8

MATEMTICA - LGEBRA3 p Equaes que so resolvidas por meio de uma mudana de incgnita: Resolva as seguintes equaes: a) (log3 x)2 2 log3 x = 3 b)

R.: S = {64; 2}

4 p Equaes que envolvem utilizao de propriedades ou de mudana de base: Resolva as seguintes equaes: a)

b) 2 log x = log (2x 3) + log (x + 2) c) log4 x + logx 4 = 2

R.: S = {2} R.: S = {4}


F14. Resolva as seguintes equaes logartmicas: a) log4 (3x + 2) = log4 (2x + 5) b) log2 (5x2 14x + 1) = log2 (4x2 4x 20) c)

g) h)

i) log x (log x 1) = 12 j) log2 (x 3) + log2 (x + 3) = 4 l) log x + log (x 21) = 2

d) log3 (2x 11) = 3 e) f)

m) log3 (x2 x 5) log3 x = 1

R esp ostas a) S = {3} b) S = {3, 7} c) S = {2} d) S = {19}Prof. Edvaldo Benjamim

e) S = {3} f)

i)

j) S = {5} l) S = {25} m) S = {5}Pgina 9

g) S = {2, 16} h)

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