ficha de aula - progressÃo aritmÉtica (p.a.)

r = a2 – a1, r = a3 – a2, ..., r = an – an – 1, n 2

r = a2 – a1, r = a3 – a2, ..., r = an – an – 1, n 2

MATEMÁTICA – ÁLGEBRA (3os anos)

ASSUNTO: PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)Prof. Edvaldo Benjamim

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

1. DEFINIÇÃO

É toda sequência de números na qual cada termo, a partir do 2o, é a soma do anterior com uma CONSTANTE.

Exemplos:

a) (4, 8, 12, 16, 20) cada termo a partir do 2º é igual ao anterior mais 4. (8 = 4 + 4, 12 = 8 + 4, 16 = 12 + 4, 20 = 16 + 4).

b) (4, 0, -4, -8, -12) cada termo a partir do 2º é igual ao anterior mais -4. (0 = 4 – 4, -4 = 0 – 4, -8 = -4 – 4, -12 = -8 – 4).

Essa constante é denominada RAZÃO (r) da progressão aritmética.

(a1, a2, a3, ..., an – 1, an, ...) é P.A. an = an – 1 + r, n 2.

Nos exemplos: a) r = 4 e b) r = - 4.

Nota-se que:

SINTETIZANDO:

Fórmula de recorrência:

a1 = aan = an – 1 + r, n N, n 2, onde a e r são números reais dados.

2. CLASSIFICAÇÃO

As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:

a) P.A. Crescente Quando a razão é positiva (r > 0)b) P.A. Decrescente Quando a razão é negativa (r < 0)c) P.A. Constante ou Estacionária Quando a razão é nula (r = 0)

Matemática – Prof. Edvaldo Benjamim Página 1

Exemplos:

a) (0, 3, 6, 9, ...) é uma P.A. onde r = 3. Logo, a P.A. é crescente.b) (8, 5, 2, -1, -4, ...) é uma P.A. onde r = -3. Logo, a P.A. é decrescente.c) (5, 5, 5, 5, ...) é uma P.A. onde r = 0. Logo, a P.A. é constante ou estacionária.

3. PROPRIEDADES

As progressões aritméticas obedecem às seguintes propriedades:

1ª) Em uma P.A. o termo médio é a média aritmética dos extremos.

Exemplo: Na P.A. (3, 9, 15, 21, 27, 33), temos: .

De modo geral, se a, b e c são termos consecutivos de uma P.A., então:

2ª) A soma de dois termos equidistantes dos extremos (segundo e penúltimo, terceiro e antepenúltimo, etc.) é igual à soma dos extremos.

Exemplo: Seja a P.A. (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70).

Os termos a3 e a5 estão igualmente distantes dos extremos a1 e a7, respectivamente.

Observe que: a3 + a5 = a1 + a7 = 80

Esquema:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70

SINTETIZANDO:

Observação: Dois termos equidistantes dos extremos têm, sempre, a soma de seus índices igual a n + 1.

Exemplo: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)


p + q = n + 1

Soma 80

Soma 80

Soma 80

3 + 5 = 7 + 1REFORÇANDO...

Nota: Em toda P.A., cada termo a partir do segundo, é a média aritmética do anterior e do posterior.

Exemplo: Na P.A. (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) .

4. NOTAÇÕES ESPECIAIS (N.E.)

Para se obter uma P.A. com 3, 4 ou 5 termos, fazemos uso das chamadas Notações Especiais (N.E.). São elas:

1. (x – r, x, x + r) ou (x, x + r, x + 2r) Para uma P.A. de três termos;

2. (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y), onde (r é a razão da P.A.) Para uma P.A. de quatro termos.

3. (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r) ou (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r) Para uma P.A. de cinco termos.

P1. Verifique quais das seguintes sequências são progressões aritméticas:

a) (3x, x, -x, -3x, ...) d) (11, 7, 4, 0, -4, ...)

b) e)

c) f) (1, 3, 6, 10, 15, …)

P2. Calcule a razão de cada P.A.:

a) d)

b) (-2, 0, 2, 4, ...) e) (13, 7, 1, -5, ...)

c) f) (-7, - 10, -13, -16, ...)

P3. Sendo x + 3, x + 5 e 4x – 2 números consecutivos de uma P.A., determine o valor de x.


P4. As medidas dos lados de um triângulo estão em P.A., nesta ordem: x + 4, 2x + 4 e 5x – 2. Determine o perímetro (medida da soma dos lados) do triângulo.

P5. (Faap – SP) A sequência x2, (x + 1)2, (x + 3)2 é uma P.A.. Calcule o valor de x.

P6. Seja a P.A. (a1, a2, a3, ...), com a1 = - 16 e a2 = - 13. Calcular a razão de cada P.A.:

a) (a1, a3, a5, ...) b) (a2, a4, a6, ...)

P7. Em cada P.A., calcular a razão e classificá-la:

a) O termo geral é an = 3 + 4n, n N *.

b) A P.A. é dada por a1 = 6 e an = 2 an – 1 – 6, com n 2.

c) O termo geral é an = 13 – 3n, n N *.

P8. (2x, 3x, x2) é uma P.A.. Obter essa sequência.

P9. (x + 3, x – 4, 1 – 2x) é P.A.. Calcular a razão.

P10. Numa P.A. de três termos, a soma e o produto desses termos valem, respectivamente, 3 e -24. Escrever essa sequência.

P11. Obter uma P.A. de três termos na qual a soma dos extremos e a soma dos quadrados dos termos são, respectivamente, -4 e 30.

P12. Uma P.A. decrescente de cinco termos satisfaz as condições:

I) a soma dos termos é zero; II) o produto do 2º pelo 4º termos vale – 16.

Obter essa sequência.

P13. Numa P.A. de quatro termos, a soma desses termos e a soma dos dois primeiros valem, respectivamente, 23 e 8,5. Obter essa sequência.

P14. Provar que se é P.A., então (bc, ac, ab) é P.A..

P15. Provar que se as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em P.A., então elas são proporcionais a 3, 4 e 5.

P16. Determine x de modo que (x, 2x + 1, 5x + 7) seja uma P.A..

P17. Determine a de modo que (a2, (a + 1)2, (a + 5)2) seja uma P.A..

P18. Obtenha uma P.A. de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.


P19. Obtenha uma P.A. crescente formada por três números inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma.

P20. Obtenha 3 números em P.A., sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é .

P21. Uma P.A. é formada por 3 termos com as seguintes propriedades:

I) seu produto é igual ao quadrado de sua soma; II) a soma dos dois primeiros é igual ao terceiro. Obtenha a P.A..

P22. Obtenha 3 números em P.A. de modo que sua soma seja 3 e a soma de seus quadrados seja 11.

P23. Obtenha uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o produto é 3465.

P24. A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é – 6, o produto do primeiro deles pelo quarto é – 54. Determine esses termos.

P25. Obtenha uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e o dos meios seja 77.

P26. Obtenha 4 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 22 e a soma de seus quadrados é 166.

P27. Obtenha uma P.A. de 5 termos, sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é 3025.

P28. Obtenha uma P.A. decrescente com 5 termos cuja soma é –10 e a soma dos quadrados é 60.

P29. Determine o 3º termo c da P.A. (a, b, c).

P30. Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A., nessa ordem. Quanto mede o lado do quadrado ?

P31. No triângulo, as medidas dos ângulos internos estão em P.A..


A B

Cy + 2°

11x - 2°5x + 10°

Sendo o menor ângulo e o maior, faça o que se pede:

a) Determine x e y.

b) Qual a razão da P.A. ?

c) Quanto mede cada ângulo.

5. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.

Seja a P.A. (a1, a2, a3, ..., an – 1, an). Podemos determinar um termo qualquer dessa P.A., bastando, para isso, conhecer o primeiro termo e a razão. Para tanto, fazemos uso da chamada FÓRMULA DO TERMO GERAL, que é a seguinte:

Conhecidos a1 e r.

Onde:

an termo geral da P.A. (último termo considerado).

a1 primeiro termo da P.A..

n número de termos da P.A..

r razão da P.A..

Observação 1: Conhecidos dois termos quaisquer de uma P.A., vale a expressão:

Onde os índices m e n são tais que: n > m e an e am são dois termos quaisquer da P.A..

P32. Determine o sexto termo da P.A. (4, 7, 10, ...).

P33. Calcular o primeiro termo de uma P.A. cujo quinto termo é 17 e a razão é 3.

P34. Calcular o número de termos de uma P.A. sabendo que o primeiro termo é 5, o último é 50 e a razão é 5.

P35. Determinar quantos múltiplos de 6 existem entre 100 e 500.


an = a1 + (n – 1)

an = am + (n – m)

P36. Seja f(n), com n N, uma sequência definida por:

. Determinar o valor de f(20).

Observação 2: Às vezes, em determinados problemas de P.A., é conveniente colocar os termos da P.A. em função do primeiro termo a1 e da razão r da P.A., lembrando que:

Observação 3: Dada a P.A. (a1, a2, a3, ..., ap, ..., aq, ..., an), se p + q = n + 1, então:

Exemplo: Seja a P.A. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36). Observe que:

a2 a8

ap aq

p = 2 e q = 8. Logo, p + q = n + 1 2 + 8 = 9 + 1 e

ap + aq = an + a1 a2 + a8 = a9 + a1 8 + 32 = 36 + 4.

Não esqueça !!! n número de termos da P.A..

P37. Escrever a P.A. cujo terceiro termo é 7 e o décimo termo é 21.

P38. Que relação deve existir entre os números a, b e c para que sejam, respectivamente, o quarto, o sétimo e o décimo segundo termo de uma progressão aritmética ?

P39. Em uma P.A., o sétimo termo é o quádruplo do segundo termo. Calcule o décimo segundo termo, sabendo que a soma do quinto com o nono termo é 40.

P40. O primeiro termo de uma P.A. é 3 e o último é 9. Escreva a P.A., sabendo que o número de termos é igual à razão.

P41. Em uma P.A., o primeiro termo é 2 e o sexto termo é 17. Qual é a razão dessa P.A. ?

P42. Escreva a P.A. cujo segundo termo é 18 e o décimo termo é – 6.

P43. A diferença entre o quinto e o segundo termo de uma P.A. é 1. Calcule a razão.


a2 = a1 + r; a3 = a1 + 2r; a4 = a1 + 3r; ...; a10 = a1 + 9r; e assim por diante.

ap + aq = an + a1

P44. Em uma P.A., o sexto termo é o triplo do segundo termo. Calcule o décimo termo, sabendo que a soma do terceiro termo com o quinto termo é 40.

P45. Determine o centésimo número natural ÍMPAR.

P46. Determine quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 1000.

P47. (FEI – SP) Ache o décimo termo da P.A. .

P48. Numa P.A., determinar:

a) o 10º termo, dados a1 = -6 e r = 7;

b) a razão, dados a1 = 8 e a20 = 32;

c) o 1º termo, dados a30 = e r = .

d) a ordem (posição) do termo que vale – 8, dados a1 = e r = .

P49. Calcular o n-ésimo número par:

a) positivo; b) não-negativo.

P50. Calcular o n-ésimo número ímpar:

a) positivo; b) negativo.

P51. Obter a P.A. na qual o 4º e o 7º termos são, respectivamente, 11 e 26.

P52. Numa P.A., a soma do 2º e do 5º termos vale 8 e a soma do 3º e do 7º termos é 20. Obter o 100º termo.

P53. Numa P.A., a soma do 1º e do 6º termos vale 14 e o quociente entre o 4º e o 3º termos é

. Obter essa sequência.

P54. Na P.A. (a1, a2, a3, ...), a2 a3 = 28 e an – an – 2 = -6, n 3. Determinar essa sequência.

P55. Quantos números inteiros positivos, com quatro algarismos, não são divisíveis por 6 ?

P56. Calcule o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5.

P57. Obtenha o 12º, o 27º e o 100º termos da P.A. (2, 5, 8, 11, ...).

P58. Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é – 8 e o vigésimo é 30.


P59. Obtenha a razão da P.A. em que a2 = 9 e a14 = 45.

P60. Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23º termo é 86.

P61. Determine a P.A. em que se verificam as relações: a12 + a21 = 302 e a23 + a46 = 446.

P62. Quantos números ímpares há entre 14 e 192 ?

P63. Qual é o primeiro termo NEGATIVO da P.A. (60, 53, 46, ... ).

P64. As progressões aritméticas 5, 8, 11, ... e 3, 7, 11, ... têm 100 termos cada uma. Determine o número de termos iguais nas duas progressões.

P65. Numa P.A., temos a4 = 0,7 e a5 = 0,9. Calcule o 12º termo dessa P.A..

P66. (UFPE) Num clube social em que os mandatos de todas as diretorias tiveram a mesma duração, o nono diretor iniciou seu mandato em 1º de janeiro de 1934 e o vigésimo sétimo diretor iniciou o seu mandato em 1º de janeiro de 1988. Determine a data em que o primeiro diretor desse clube iniciou seu mandato.6. INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar, inserir ou intercalar k MEIOS ARITMÉTICOS (são os termos da P.A.) entre os números a e b (a extremo esquerdo da P.A. e b extremo direito da P.A.) significa obter

uma P.A. de extremos a1 = a e an = b, com n = k + 2 termos. Para determinar os meios

dessa P.A. (termos que estão entre a e b) é necessário calcular a razão da P.A., dada por:

Depois de encontrada a razão da P.A., obtemos os demais termos da P.A. assim:

a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, a4 = a3 + r, ..., an – 1 + r = b.

P67. Interpole quatro meios aritméticos entre 2 e 27.

P68. Interpole oito meios aritméticos entre 5 e 50.

P69. Insira seis meios aritméticos entre e .

P70. Inserindo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da P.A. obtida ?


P71. Intercale 5 meios aritméticos entre – 2 e 40.

P72. Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da interpolação seja ½ ?

P73. Intercale 12 meios aritméticos entre 100 e 200.

P74. Quantos números inteiros e positivos, formados com 3 algarismos, são múltiplos de 13 ?

P75. De 100 a 1000, quantos são os múltiplos de 2 ou 3 ?

P76. Quantos números inteiros e positivos, formados de dois ou três algarismos, NÃO são divisíveis por 7 ?

P77. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, NÃO divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

P78. Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da P.A. ?7. SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA

Gauss, genialidade desde a infância

Carl Friedrich Gauss (1977 – 1855) foi um dos maiores matemáticos de sua época – talvez de todos os tempos. Sua aptidão para lidar com números veio à tona logo na infância. De suas muitas façanhas, a primeira ocorreu logo aos 10 anos, quando frequentava a escola. Conta-se que seu professor, tido como muito exigente, certo dia, para manter a classe ocupada, mandou que os alunos somassem todos os números de 1 a 100, isto é, que efetuassem a seguinte adição:

O menino Gauss, quase que imediatamente, entregou o resultado. O professor, ao conferir as respostas dos alunos, notou que a única correta era a de Gauss (5050), apresentada sem cálculos. Qual teria sido o raciocínio utilizado pelo menino Gauss ? Talvez ele tenha percebido que era muito mais fácil efetuar a adição, não na ordem em que os números foram apresentados, e sim das extremidades para o meio. Somando aos pares, Gauss contou 50 somas, cada uma igual a 101, como mostra o esquema:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100


1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

101

101

101

Daí, o resultado: 50 101 = 5050. Uma outra façanha ocorreu quando Gauss, aos 19 anos, construiu, com base nas regras euclidianas, o polígono regular de dezessete lados. Gauss foi brilhante também como físico e astrônomo, tendo realizado importantes estudos na óptica geométrica.

A soma Sn dos n primeiros termos da P.A. (a1, a2, a3, ..., an, ...) é dada por:

Onde:Sn soma dos n primeiros termos da P.A.; an n-ésimo termo da P.A.;a1 primeiro termo da P.A.; n número de termos da P.A..

ou seja,

P79. Calcular a soma dos quinze primeiros termos da P.A. (3, 5, 7, 9, ...).

P80. A soma dos cinco primeiros termos de uma P.A. é 45. Sabendo que a1 = 1, calcular a razão.

P81. Determinar a soma dos n primeiros números pares positivos.

P82. Determine a soma dos múltiplos de 9 compreendidos entre 65 e 249.

P83. (F. M. Pouso alegre – MG) Um coronel dispõe seu regimento num triângulo completo, colocando um homem na primeira linha, dois na segunda, três na terceira, e assim por diante. Forma, assim, um triângulo com 171 homens. Qual é o número de linhas ?

P84. Calcule a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (3, 8, 13, 18, ...).

P85. Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.A. .

P86. Quantos termos deve ter a P.A. (9, 6, 3, ...), para que a soma seja nula ?


A soma dos termos de uma P.A. finita é igual ao produto da semi-soma dos termos extremos pelo número de termos.

P87. (FGV – SP) Quantos termos devemos tomar na progressão aritmética (-7, -3, ...), a fim de que a soma valha 3150 ?

P88. A soma dos sete primeiros termos de uma P.A. é 84. Sabendo que a1 = 3, calcule a razão.

P89. Determine a soma dos n primeiros números ímpares positivos.

P90. Calcule x nas equações:

a) 1 + 4 + 7 + ... + x = 117 b) 5 + x + ... + 30 = 105

P91. (U. E. Ponta Grossa – PR) Em uma P.A. finita temos a1 = 8 e an = 38. Calcule a soma dos termos dessa P.A., sabendo que o número de

termos é igual à razão.

P92. Ao comprar um terreno, uma pessoa paga R$ 1.750,00 de entrada e o restante em prestações mensais consecutivas e de valores crescentes, durante três anos. Sendo a primeira prestação de R$ 650,00, a segunda de R$ 700,00, a terceira de R$ 750,00, e assim por diante, qual é o total pago pelo terreno ?

P93. Uma progressão aritmética de 9 termos tem razão 2 e soma de seus termos igual a 0. Determine o sexto termo da progressão.

P94. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é – 15. Calcule a soma do sexto termo dessa P.A. com o décimo quinto termo.

P95. Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de uma vereda retilínea e distando 1 m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada na mesma vereda, a 15 m da primeira roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Começando e terminando na fonte, qual é o percurso total que ele terá que caminhar até regar todas as roseiras ?

P96. Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em P.A., 202, 206, 210, ..., por distração não foi somada a 35ª parcela. Qual a soma encontrada ?

P97. Calcule o quociente entre a soma dos termos de índice ímpar e a soma dos termos de índice par da P.A. finita (4, 7, 10, ..., 517).

P98. Qual é a soma dos múltiplos positivos de 5 formados por 3 algarismos ?

P99. Sendo f: R R, definida por f(x) = 2x + 3, calcule o valor de f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(25).

P100. Se

Calcule o valor de A + B.


T1. O valor de a para que (a + 1, a + 5, 3a + 1) seja uma progressão aritmética é:

a) 1 b) 0 c) – 2 d) 4 e) n.d.a.

T2. Para que a progressão aritmética de razão r = 5 – 2x seja decrescente, x deve assumir valores no intervalo:

a) b) c) d) e)

T3. (FGV – SP) A sequência (3m, m + 1, 5) é uma P.A.. Sua razão é:

a) -3 b) 3 c) 7 d) -7 e) impossível de se determinar

T4. (U. Caxias do Sul – RS) O valor de x para que a sequência (2x, x + 1, 3x) seja uma progressão aritmética é:

a) b) c) 3 d) ½ e) 2

T5. O segundo e o quarto termo de uma P.A. valem, respectivamente, x e y. O primeiro termo é:

a) b) c) d) x – y e) n.d.a.

T6. Sendo o terceiro termo de uma P.A. igual a 21 e o oitavo termo igual a 6, o seu vigésimo termo será:a) 10 b) – 10 c) 30 d) – 30 e) – 15

T7. O 135º número natural ÍMPAR é igual a:

a) 270 b) 269 c) 135 d) 271 e) 273

T8. O primeiro termo de uma progressão aritmética, com a7 = 12 e razão igual a 5, é:

a) – 18 b) 18 c) 42 d) – 42 e) 2

T9. Se a sequência (a, 2a – 1, ...) é uma P.A. e o quarto termo é igual a 21, calcule a razão.

a) 6 b) 5 c) 1 d) 8 e) 10

T10. Em uma P.A., sabe-se que a10 = 10 e a12 = 22. O décimo terceiro termo é:

a) 34 b) 24 c) 28 d) 30 e) 44


T11. (Unicap – PE) Sabe-se de uma P.A. que a soma do sexto termo com o décimo sexto é 58 e que o quarto termo é o quádruplo do segundo. Qual, entre os números abaixo, NÃO é termo dessa progressão ?

a) 8 b) 11 c) 20 d) 25 e) – 1

T12. (UECE) Seja (a1, a2, a3, a4, a5) uma P.A. crescente. Se a1 e a5 são as raízes da equação x2 – 16x – 36 = 0, então a2 – a1 é igual a:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) n.d.a.

T13. A soma dos termos extremos de uma progressão aritmética de 9 termos é igual a 26. Se o terceiro termo dessa progressão é 5, a razão é:

a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) – 1

T14. (FURG – RS) Que relação deve existir entre os números a, b e c para que sejam, respectivamente, o quinto, o oitavo e o décimo quarto termo de uma progressão aritmética ?

a) 3a = b + 4c b) c) c = 4b – 3a d) e) a = 4c – 3b

T15. (Mackenzie – SP) Se f(n), com n N, é uma sequência definida por ,

então f(200) é:

a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) 607

T16. (F. C. M. Santos – SP) Inserindo cinco meios aritméticos entre 18 e 138, obtemos a razão:

a) 138 b) 5 c) 30 d) 25 e) 20

T17. Interpolando-se m termos, com m N e m > 1, entre 1 e m2, obtém-se uma P.A. de razão igual a:

a) b) m + 2 c) m – 1 d) e)

T18. (U. Taubaté – SP) O número mínimo de termos que se deve interpolar entre os números

a = 10 e b = 100, para que a P.A. assim formada tenha razão menor que , é:

a) 134 b) 133 c) 100 d) 10 e) 135

T19. O valor de x para que a sequência (8, x + 3, 20) seja uma P.A. é:

a) 7 b) 16 c) 14 d) 11 e) 1


T20. Em uma P.A. em que a7 = p e a11 = q, podemos concluir que:

a) b) c) a21 = 3p d) a8 = a7 + p e) n.d.a.

T21. Em uma P.A. de quatro termos, a soma deles é 42. Sabendo que o primeiro termo é 3, calcule a razão.

a) 8 b) 3 c) 15 d) 5 e) n.d.a.

T22. A soma de três números inteiros positivos e consecutivos é 3a. O menor deles é:

a) a – 1 b) 2a c) a d) a – 2 e) necessariamente 1

T23. (F. M. ABC – SP) Em uma P.A. em que S2 = 10 e S4 = 28, o primeiro termo é x2 e a razão x. Ache o valor de x.

a) b) c) 1 d) 3 e) 2

T24. A soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 250 é igual a:

a) 3325 b) 3850 c) 3500 d) 3825 e) 3675

T25. (Mackenzie – SP) Seja a função , cujo conjunto imagem é {0, 1, 2, 3, ..., 20}.

A soma de todos os elementos do domínio da função é:

a) 210 b) 231 c) 400 d) 441 e) n.d.a.

T26. (Cesgranrio) Se X = (1 + 3 + ... + 49) é a soma dos números ímpares de 1 a 49, e Y = (2 + 4 + ... + 50) é a soma dos números pares de 2 a 50, então X – Y vale:

a) – 50 b) – 25 c) 0 d) 25 e) 50

T27. (FEI – SP) Três números positivos formam uma progressão aritmética crescente. A sua soma é 15 e a soma de seus quadrados é 107. O primeiro desses números é:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0,5

T28. Três números positivos estão em P.A.. A soma deles é 12 e o produto, 28. O valor do termo do meio é:

a) 2 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

T29. (F. Belas Artes – SP) As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em P.A. de razão 50°. O maior ângulo desse triângulo mede:

a) 60° b) 90° c) 110° d) 120° e) 150°


T30. (Fesp – PE) Numa progressão aritmética finita, sabemos que a soma de seus termos é 5,

que o último termo é do primeiro e que a razão é o inverso do número de termos.

Podemos afirmar então que o número de termos da progressão é:

a) 8 b) 5 c) 4 d) 6 e) 3

T31. (ALFENAS – MG) A progressão aritmética (20, x2 + x, ...) é decrescente se:

a) – 5 < x < 4 b) – 4 < x < 5 c) – 5 < x < - 4 d) 4 < x < 5 e) x < 0

T32. (PUCC – SP) A média aritmética dos duzentos primeiros termos de uma progressão aritmética é 318. Se o 1º termo dessa progressão é – 80, a razão é igual a:

a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

T33. (PUC – SP) Um escritor escreveu, em um certo dia, as vinte primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior, mais cinco linhas. O livro tem dezessete páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro ?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 17

T34. (CESESP – PE) Dois andarilhos iniciam juntos uma caminhada. Um deles caminha uniformemente 10 km por dia e o outro caminha 8 km no 1º dia e acelera o passo de modo a caminhar mais ½ km a cada dia que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de dias caminhados para que o 2º andarilho alcance o primeiro:

a) 10 b) 9 c) 3 d) 5 e) 21T35. (U. F. PA – 85) Sabendo que a sequência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1) é uma P.A., determinar o valor de x.

a) – 2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 6

T36. (CESGRANRIO – 80) Em uma progressão aritmética de 41 termos e de razão 9, a soma do termo do meio com o seu antecedente é igual ao último termo. Então, o termo do meio é:

a) 369 b) 189 c) 201 d) 171 e) 180

T37. (UNICAP – 87) Sabe-se, de uma progressão aritmética, que a soma do 6º termo com o 16º termo é 58 e que o 4º termo é o quádruplo do 2º termo. Qual entre os números abaixo NÃO é termo desta progressão ?

a) 8 b) 11 c) 20 d) 25 e) – 1

T38. (U. E. CE – 92) Seja (a1, a2, a3, ..., ak, ..., a50) uma progressão aritmética. Se a2 = 14, a5 – a3 = 18 e ak = 239, então k é igual a:

a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30


T39. (CESGRANRIO – 89) Em uma progressão aritmética de nove termos, a soma a1 + a9 vale 20. Então, a soma dos nove termos da progressão vale:

a) 75 b) 80 c) 85 d) 90 e) 95

T40. (CESGRANRIO – 87) A soma dos inteiros consecutivos 1, 2, 3, ..., 1985 e 1986 é:

a) 1 873 791 b) 1 895 518 c) 1 953 591 d) 1 973 091 e) 1 983 518

T41. (U. C. SALVADOR – 91) No decorrer de uma viagem que teve a duração de 6 dias, um automóvel percorreu 60 km no 1º dia, 80 km no 2º dia, 100 km no 3º dia e assim, sucessivamente, até o 6º dia. O total de quilômetros percorridos por esse automóvel durante os 6 dias foi:

a) 220 b) 380 c) 460 d) 580 e) 660

T42. (CESGRANRIO – 91) Se S3 = 0 e S4 = -6 são, respectivamente, as somas dos três e quatro primeiros termos de uma progressão aritmética, então a soma S5 dos cinco primeiros termos vale:

a) – 6 b) – 9 c) – 12 d) – 15 e) – 18

T43. (FGV – 81) A soma dos números naturais NÃO superiores a 1000, NÃO divisíveis por 7, é:

a) 429 429 b) 500 500 c) 500 500/7 d) 999 999/7 e) n.d.a.

T44. (PUC – SP – 85) Na sequência (a0, a1, a2, ...) onde a0 = 1 e an + 1 = an + n, para n N, a soma dos 7 primeiros termos é:

a) 41 b) 42 c) 43 d) 63 e) 64

T45. (EAESP – FGV – 80) A soma dos 50 primeiros termos de uma P.A. na qual a6 + a45 = 160 é:

a) 3480 b) 4000 c) 4200 d) 4320 e) 4500

T46. (F. C. M. STA. CASA – 82) Para que a soma dos termos da sequência (-81, -77, -73, ...) seja um número positivo, deve-se considerar no MÍNIMO:

a) 35 termos b) 39 termos c) 41 termos d) 42 termos e) 43 termos

T47. (Unopar – PR) O nonagésimo número natural ímpar é:

a) 179 b) 169 c) 159 d) 149 e) 139

T48. (UPF – RS) Em relação à sequência an = 3n + 5, com n N*, a alternativa incorreta é:

a) A razão da P.A. é um número par.b) A sequência é uma P.A. crescente.c) O quinto termo da P.A. é um múltiplo de 4.


d) A soma dos seis primeiros termos é 93.e) an não admite termos negativos.

T49. (ITA – SP) O valor de n que torna a sequência 2 + 3n, -5n, 1 – 4n uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [-2, -1] b) [-1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

T50. (Mackenzie – SP) A média aritmética de 20 números em progressão aritmética é 60. Retirados o primeiro e o último termos da progressão, a média aritmética dos termos restantes será:

a) 18 b) 60 c) 20 d) 50 e) 30

P1. (a), (b), (c) e (e).

P2. a) . b) 2. c) - ½ . d) 0. e) – 6. f) – 3.

P3. x = 3.

P4. 30.

P5. .

P6. a) 6; b) 6.

P7. a) r = 4; P.A. crescente. b) r = 0; P.A. constante. c) r = -3; P.A. decrescente.

P8. (0, 0, 0) ou (8, 12, 16).

P9. – 7.

P10. (-4, 1, 6) ou (6, 1, -4).

P11. (-5, -2, 1) ou (1, -2, -5).

P12. (8, 4, 0, -4, -8).


P13. .

P14. Demonstração.

P15. Demonstração.

P16. .

P17. .

P18. (5, 8, 11) para x = 8 e r = 3; (11, 8, 5) para x = 8 e r = - 3.

P19. (-1, 0, 1), (0, 1, 2) ou (1, 2, 3).

P20. (2, 6, 10) ou (10, 6, 2).

P21. (0, 0, 0) ou (6, 12, 18).

P22. (-1, 1, 3) ou (3, 1, -1).

P23. x = 8 e y = 1 (5, 7, 9, 11); x = 8 e y = -1 (11, 9, 7, 5).

P24. -9, -4, 1 e 6.

P25. (3, 7, 11, 15) ou (-15, -11, -7, -3).

P26. (1, 4, 7, 10) ou (10, 7, 4, 1).

P27. (-3, 1, 5, 9, 13) ou (13, 9, 5, 1, -3).

P28. (2, 0, -2, -4, -6).

P29. c = 2b – a.

P30. .

P31. a) 7° e y = 58°. b) 15°. c) 45°, 60° e 75°.

P32. a6 = 19.

P33. a1 = 5.

P34. n = 10.

P35. 67 múltiplos.


P36. f(20) = 97.

P37. (3, 5, 7, ...).

P38. .

P39. a12 = 35.

P40. (3, 6, 9).

P41. r = 3.

P42. (21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0, -3, -6, ... ).

P43. .

P44. a10 = 50.

P45. a100 = 199.

P46. 128 múltiplos.

P47. .

P48. a) 57. b) . c) . d) 12.

P49. a) 2n. b) 2n – 2.

P50. a) 2n – 1. b) – 2n + 1.

P51. (-4, 1, 6, ...).

P52. 390.

P53. (-8, -2, 4, ...).

P54. (10, 7, 4, ...) ou (-1, -4, -7, ...).

P55. 7500.

P56. 83.

P57. a12 = 35, a27 = 80 e a100 = 299.

P58. r = 2.

P59. r = 3.


P60. a1 = -2.

P61. (89, 93, 97, ...).

P62. 89 números ímpares.

P63. n 9,5. Concluímos que an < 0 para n = 10, 11, 12, ...; portanto o primeiro termo negativo da P.A. é a10.

P64. 25.

P65. a12 = 2,3.

P66. No ano de 1910.

P67. (2, 7, 12, 17, 22, 27).

P68. (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50).

P69. .

P70. a6 = 30.

P71. (-2, 5, 12, 19, 26, 33, 40).

P72. 43 meios aritméticos.

P73. .

P74. 69 números inteiros e positivos.

P75. 601 múltiplos.

P76. 849 números inteiros e positivos.

P77. 6171 números inteiros.

P78. a6 = 30.

P79. S15 = 255.

P80. r = 4.

P81. Sn = n + n2.

P82. S = 3150.

P83. 18 linhas.

P84. S30 = 2265.


P85. .

P86. 7 termos.

P87. 42 termos.

P88. r = 3.

P89. Sn = n2.

P90. a) x = 25. b) x = 10.

P91. S6 = 138.

P92. R$ 56.650,00

P93. a6 = 2.

P94. a6 + a15 = -1,5.

P95. 1820 m.

P96. 14662.

P97. .

P98. 98550.

P99. f(1) + f(2) + ... + f(25) = 725.

P100. A + B = 12.

T1. D T5. B T9. B T13. B T17. C T21. D

T2. E T6. D T10. C T14. B T18. E T22. A

T3. C T7. B T11. D T15. C T19. D T23. E

T4. B T8. A T12. C T16. E T20. B T24. ET25. B

T26. B

T27. D


T28. D

T29. C

T30. B

T31. A

T32. D

T33. C

T34. B

T35. C

T36. B

T37. D

T38. B

T39. D

T40. D

T41. E

T42. D

T43. A

T44. B

T45. B

T46. D

T47. A

T48. A

T49. B

T50. B


ficha de aula - progressÃo aritmÉtica (p.a.)

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